distribuciÓn de probabilidad · la información que sigue representa el número de llamadas...

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

VARIABLES DISCRETAS

JUAN JOSÉ HERNÁNDEZ OCAÑA [email protected] 09/03/2015

Variable aleatoria UNA VARIABLE ALEATORIA ES AQUELLA DONDE LOS RESULTADOS SE PRESENTAN AL AZAR


VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Es aquella característica que únicamente puede tomar valores contables expresados en números enteros

Adopta valores claramente separados por un intervalo, por ejemplo ◦ Número de clientes

◦ número de consumidores

◦ Número de automóviles producidos en un mes

◦ ASOCIADO AL PROCESO DE CONTAR¡¡¡


Variable aleatoria discreta

◦ Una variable aleatoria discreta Y es el resultado de una

relación funcional que asocia al espacio muestral S de un experimento aleatorio, con un conjunto discreto de números reales


DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

“ Es el listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado”

Para una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad se define por medio de una función de probabilidad f(x)

La función de probabilidad proporciona la probabilidad para cada valor que puede asumir la variable aleatoria


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.0277778 0.0555556 0.0833333 0.1111111 0.1388889 0.1666667 0.1388889 0.1111111 0.0833333 0.0555556 0.0277778

Título

del eje

Al tirar dos dados la probabilidad de obtener la suma de 7 es de 0.166, ya que implica todas las siguientes posibilidades 1+6; 6+1; 2+5; 5+2; 3+4 y 4+3 La probabilidad de obtener la suma de 12 al tirar dos dados es sólo de 0.277


Distribución de probabilidad Variable aleatoria discreta

La podemos representar mediante el empleo de una tabla y/o gráfica , a partir de las cuales podemos calcular las probabilidades asociadas a cada valor posible de la variable aleatoria discreta.

“ entonces una distribución de probabilidad nos dice cómo se distribuyen los valores de la variable y sus correspondientes probabilidades”


Condiciones 1.- f(x) ≥ 0

2.- ∑ f(x) = 1


Cómo calcularla? NOSOTROS ASIGNAMOS LA FUNCIÓN

PUEDE SER ÁGUILA EN EL LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS

O LA RESPUESTA SI EN UNA ENCUESTA


Sea x Número de águilas en el evento de lanzar dos monedas

Espacio muestral S

SOL SOL

ÁGUILA SOL SOL ÁGUILA

ÁGUILA ÁGUILA

x 0 1 2

f (x) 1/4 2/4 ¼


Si en un supermercado se atendió a 3 clientes en un determinado periodo , los cuales pueden ser mujeres o hombres, y además si se sabe que el 50% de los clientes van a un supermercado son hombres y el 50% son mujeres.

¿ Cuál es la función de distribución de probabilidad del número de mujeres atendidas?

HHH 1/8

HHM 1/8

HMH 1/8

HMM 1/8

MHH 1/8

MHM 1/8

MMH 1/8

MMM 1/8


Cómo calcularla? 1.-Conocer/definir el espacio muestral

2.- Definir nuestro evento

3.- Calcular todas las probabilidades de ocurrencia ( que pueden ir desde cero hasta el máximo teórico)

4.- La suma nos debe dar 1 ( uno)


HHH 1/8

HHM 1/8

HMH 1/8

HMM 1/8

MHH 1/8

MHM 1/8

MMH 1/8

MMM 1/8

1. P(0)= HHH = 1/8 2. P(1) = HHM, HMH, MHH=3/8 3. P(2)= HMM, MHM, MMH= 3/8 4. P(3)= MMM= 1/8

X 0 1 2 3 TOTAL

f(X) 1/8 3/8 3/8 1/8 1

El evento es que aparezca mujer


VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

PROCEDIMIENTO

1.-REALIZAR LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

2.- CALCULO DE VALOR ESPERADO


Podemos considerar al valor esperado de una variable X como una medida de tendencia central de una distribución de probabilidad

Mientras que la media implica la suma de todos los valores divididos entre el número de datos, el valor esperado considera las probabilidades asociadas a cada valor y emplea el producto de éstas y sus valores.


empleando el ejemplo anterior , calcula el valor esperado de la asistencia de mujeres

X 0 1 2 3 TOTAL

f(X) 1/8 3/8 3/8 1/8 1


, a

E(X)= 0(.125)+ 1(.375)+ 2(.375)+ 3(.125)= 1.5

Si se considera que el estudio se emplearon 100 supermercados y en cada uno se empleó la misma información, ¿ a cuántas mujeres se atendieron en promedio? ◦ 1.5( 100) =150

X 0 1 2 3 TOTAL

P(X) 1/8 0.125

3/8 0.375

3/8 0.375

1/8 0.125

1


EJERCICIO H representa el número de veces que un consumidor acude a un supermercado en una semana, y tomando en cuenta la siguiente tabla de distribución de probabilidades

◦ Cuál es el valor esperado de H

◦ cuál es su desviación estándar

h 0 1 2 3

f(h) .125 .125 .5 .25


Una distribuidora de automóviles reportó las ventas de los últimos 300 días:

en 54 días no se vendieron automóviles ;

en 117 días se vendió 1 auto;

en 72 días se vendieron 2;

en 42 días se vendieron 3,

en 12 días se vendieron 4

en 3 días se vendieron 5 autos ◦ Calcular el valor esperado

◦ Calcular desviación estándar

◦ ¿ cuál es la probabilidad de vender un día 3 o más unidades?

◦ ¿ cuál es la probabilidad de vender 2 o menos

x F(x)

0 0.18

1 0.39

2 0.24

3 0.14

4 0.04

5 0.01


x F(x)

0 0.18

1 0.39

2 0.24

3 0.14

4 0.04

5 0.01

F(x) x

0

.39

.48

.42

.16

0.05

1.5 JUAN JOSÉ HERNÁNDEZ OCAÑA [email protected] 09/03/2015

La información que sigue representa el número de llamadas diarias al servicio de emergencia

◦ Convierta esta información sobre el número de llamadas en una distribución de probabilidad

◦ ¿cuál es la media de la cantidad de llamadas de emergencia

◦ ¿ cuál es la desviación estándar?

llamadas Frecuencia

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

f(x) Xf(.x) X- u f(x)

.16 0 .4624

.2 .2 .098

.44 .88 .0396

.18 .54 .3042

.02 .08 .1058


Numero de horas frecuencia

1 20

2 38

3 53

4 45

5 40

6 13

7 5

8 36

Total 250

Un análisis de la cantidad de horas que se estacionan los automóviles Calcular Valor esperado Desviación estándar


EJERCICIO TAREA

La siguiente es la información sobre el arribo de clientes en un banco en el intervalo de 15 minutos ◦ Cuál es el valor esperado de clientes que se

espera que arriben

◦ cuál es su desviación estándar

Numero de clientes

0 1 2 3 4 5

P(x) .15 .25 .25 .2 .1 .05


Tarea

La distribución de probabilidad de reclamaciones por daños pagados por una aseguradora de automóviles se presenta a continuación. ◦ Emplee el pago esperado por choque

para determinar la prima de seguro contra daños que permitiría a la empresa salir sin pérdidas

◦ ( cuál es el valor esperado?)

◦ ¿ cuál es la desviación estándar?

Pago probabilidad

0 0.9

400 0.04

1000 0.03

2000 0.01

4000 0.01

6000 0.01


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