Distancia entre dos puntos

CONTENIDO

1. INTRODUCCION

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

2.1 distancia entre dos puntos en dos dimensiones

2.2 definición matemática

2.2.1 como calcular la distancia entre dos puntos en dos dimensiones

2.2.2 ejemplos

3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

3.1 distancia entre dos puntos en tres dimensiones

3.1.1 como calcular la distancia entre dos puntos en tres dimensiones

3.2 ejemplos

5. BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

El presente tema de distancia entre dos puntos, en dos y tres dimensiones en

cálculo de varias variables pretende ser una ayuda para los estudiantes que inician

en el tema de vectores y será complementado con ejercicios sobre el tema.

Distancia entre dos puntos

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. “El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas. Con la geometría analítica se puede encontrar y determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Uno muy importante y fundamentales: la distancia entre dos puntos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.”1

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1 ANONIMO, distancia entre dos puntos en el espacio, página 1

Distancia entre dos puntos en dos dimensiones

“Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela

a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia

de sus abscisas.” 2

Definición matemática: En matemáticas, “la distancia euclidiana o euclídea es la

distancia "ordinaria" (que se mediría con una regla) entre dos puntos de un espacio

euclídeo, la cual se deduce a partir del teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, en un espacio bidimensional, la

distancia euclidiana entre dos puntos P1 y P2, de

coordenadas cartesianas (x1, y1) y (x2, y2)

respectivamente, es:

”3

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2 ANONIMO, distancia entre dos puntos, página 1

3 ANONIMO, distancia euclidiana, Página 1

Como calcular la distancia entre dos puntos en dos dimensiones “Consideremos dos puntos en el sistema coordenado rectangular P(x1, y1) y Q(x2,

y2).

Construimos un triángulo rectángulo, trazando por P una paralela al eje x y por Q

una paralela al eje y, de tal manera que el segmento P Q sea la hipotenusa

La distancia del punto P al punto T es |P T| = |x2 − x1| y la distancia del punto Q al

punto T es |QT| = |y2 − y1|.

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

(|P Q|) 2 = (|P T|) 2 + (|QT|) 2

(|P Q|) 2 = (|x2 − x1|) 2 + (|y2 − y1|) 2

Luego,

|P Q| = √ (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2

Entonces, dados dos puntos sobre el sistema cartesiano bidimensional P(x1, y1) y

Q(x2, y2), la distancia entre P y Q, representada por |P Q|, está dada por:

|P Q| = √ (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2” 4

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4 PANIAGUA, GEOMETRIA VECTORIAL Y ANALITICA página 20

Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar la distancia entre los puntos A (2, −5) y B (−4, −1).

La distancia entre los puntos A (2, −5) y B (−4, −1) es:

|AB| = √ (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2

|AB| = √ ((−4) − (2))2 + ((−1) − (−5))2

|AB| = √ (−6)2 + (4)2

|AB| = √ 52 |AB| = 2√ 13 unidades

Ejemplo2. Calcula la distancia entre los puntos P1 (7, 5) y P2 (4, 1)

Demostración

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d está dada

por:

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como

también el segmento de recta

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Ejemplo 1 tomado de Juan guillermo paniagua, geometria vectorial y analitica

pagina 22

Ejemplo 2 tomado de anonimo, distancia entre dos puntos pagina 1

Distancia entre dos puntos en tres dimensiones

“Consideremos dos puntos en el sistema coordenado rectangular tridimensional Q

(x1.y1, z1) y R(x2, y2, z2). Los puntos A(x1, y1, 0) y T(x2, y2, 0), son la proyección

de Q y R en el plano x y, respectivamente

Como A y T son puntos en el plano x y, la distancia de A a T es:

|AT| = √ (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2

Al trazar el segmento QS paralelo al segmento AT obtenemos el triángulo

rectángulo QRS. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

”5

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5 PANIAGUA, geometría vectorial y analítica, pagina

Ejemplos

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Ejemplo 1 tomado de Juan Guillermo Paniagua, geometría vectorial y analítica

página 30

Ejemplo 2 tomado de anónimo, distancia en el espacio, página 1

Ejemplo 3 tomado de THOMAS, George, Calculo de varias variables, Edición

undécima, página 850

BIBLIOGRAFIA

ANONIMO, distancia entre puntos en el espacio, páginas 1,4.

Paniagua, Pérez, geometría vectorial y analítica, Año 2011, paginas 22,30

THOMAS, George, Calculo de varias variables, Edición undécima, Editorial

Pearson (Addison Wesley), Año 2005 , Paginas 850