dinámica del universo de condiciones topológicas en mundos...

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados

del

Instituto Politécnico Nacional

DEPARTAMENTO DE FÍS ICA

Dinámica del Universo de Condiciones Topológicas en Mundos Brana.

Tesis que presenta

Miguel Ángel García Aspeitia

para obtener el Grado de

Doctor en Ciencias

en la Especialidad de

Física

Director de Tesis: Dr. Tonatiuh Matos Chassin

México, Distrito Federal Agosto, 2011

Dedicada con todo mi Amor a Yasmín, Martha, Miguel y Luís.

DECLARACIÓN.

El material de esta tesis es propia del autor y no ha sido considerada anteriormente en otras publicaciones conocidas. Cabe señalar que el material obtenido de otros trabajos de investigación, así como tesis están debidamente citados a lo largo de este trabajo.

Miguel Ángel García Aspeitia. México D.F. a 01 de Junio del 2011.

AGRADECIMIENTOS

A Dios: Por su gran inspiración, paciencia, fe y por permitirnos desentrañar los misterios de este hermoso Universo. Al Dr. Tonatiuh Matos: Por su guía, paciencia y sabiduría a lo largo del desarrollo de esta investigación. Por todas esas charlas y creer en mi, a o largo de estos años. Por brindarme su amistad y formarme como científico. A mi amada esposa Yasmín Alcántara: Gracias por caminar a mi lado y ser mi inspiración, gracias por no dejarme claudicar y mostrarme lo hermoso que es vivir a tu lado. Una vida no alcanzaría para agradecerte todo lo que me has dado y lo mucho que me has hecho feliz. A mis padres Martha Aspeitia y Miguel García: Por su paciencia educándome cada día, gracias por su apoyo e inspiración, gracias por esas miles de horas de discusiones científicas que me regalaban, sin ustedes nada de esto hubiera sido posible. A mi hermano Luís García-Aspeitia. Por ser mi confidente, por confiar en mi y estar siempre junto a mi, aunque estés lejos. Al Dr. Abdel Pérez Lorenzana. Por esas discusiones tan largas y tan enriquecedoras que teníamos, por ser mi guía y el doctor, que con su paciencia y enseñanzas, supo inspirarme y generar nuevas ideas en este mundo científico. A mis sinodales. Los Doctores Rubén Cordero, Eduard de la Cruz, Hugo Compean. Por haber revisado pacientemente mi tesis y con sus sugerencias y comentarios hacerme mejor investigador. A mis amigos. Sergio, Alejandro, Aidé, Julio, Blanca, Ivan, Juan, Pablo, Sergio (El compa), Aldrin, Fercho. Gracias por estar ahí y ser mi apoyo en los momentos difíciles tanto científicos como personales. Ustedes hacen que la vida en el CINVESTAV sea excelente. Al departamento de física del CINVESTAV. Por darme un lugar donde desarrollarme como científico y permitirme estar a la vanguardia de mi rama. A CONACyT. Por otorgarme mi beca de doctorado y haber mantenido mis estudios a lo largo de estos tres años de investigación y desarrollo científico. Miguel Ángel García Aspeitia.

RESUMEN

Recientemente, diversas observaciones (SnIA, WMAP, Lentes

Gravitacionales) confirman que desconocemos aproximadamente el 96%

del contenido total de nuestro Universo, cuyas entidades dominantes son

conocidas como materia y energía oscura.

Con la finalidad de proponer soluciones a dichos problemas, esta tesis se

enfoca en abordar los problemas desde el punto de vista topológico

mediante la introducción de dimensiones extras con el uso de Teoría de

Branas y la suposición de materia oscura que se comporta como campo

escalar débilmente interactuante.

La idea principal se basa en introducir dos branas esféricas S3 dadas por

la métrica de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) en un

espacio de fondo cinco dimensional del tipo Anti’d Sitter-Schwarzchild

(AdS-S), cuyos contenidos son campos de espín 0 en la brana interior

(brana oculta), campos de espín 1 en la brana exterior (nuestro Universo)

y campos de espín 2 en el fondo 5D. Mediante el modelo anterior, se

estudia la dinámica de dichas branas en los regímenes de altas y bajas

energías, su evolución y una posible colisión debido a los efectos

inflacionarios producidos por el campo de espín 0. Similarmente

mediante teoría de perturbaciones se estudian los efectos producidos por

los campos de espín 0 y los posibles efectos sobre nuestro Universo.

Finalmente se exponen correcciones en las ecuaciones de Tolman-

Oppenheimer –Volkoff (TOV) para velocidades de rotación galácticas,

producidas por los términos cuadráticos en el tensor energía momento de

las ecuaciones modificadas de Einstein.

ABSTRACT

Recently, diverse observations (SnIA, WMAP, Gravitational Lensing)

confirm that we unknown approximately the 96% of the Universe

content, whose dominant entities are known as dark matter and dark

energy.

With the aim of propose solutions of that problems, this thesis points to

board the problems from the topological point of view through the

introduction of extra dimensions with the braneworld theory and the

supposition that the dark matter behaves as weak interacting scalar field.

The main idea is introduce two spherical branes S3 with the Friedmann-

Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) metric embedded in a five

dimensional Anti’d Sitter-Schwarzchild (AdS-S) bulk, whose contents

are spin zero fields in the interior brane (hidden brane), spin one fields in

the exterior brane (our Universe) and spin two fields in the 5D bulk.

Through the previous model, it is study the dynamics of this branes in the

high and low energy regimes, the evolution and possible collision due to

the inflationary effects of the spin zero field. Similarly through the

perturbation theory it is study the effects produced by the spin zero field

and the effects in our Universe. Finally it is expose the corrections in the

Tolman- Oppenheimer –Volkoff (TOV) equations for galactic rotation

velocities produced by the quadratic terms in the energy tensor

momentum of the modified Einstein equations.

Indice general

1. Prefacio 8

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Preludio. 11

2.1. Relatividad General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Cosmologıa Estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. Radiacion Cosmica de Fondo (CMB). . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2. Inflacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Introduccion a las Dimensiones Extras. 34

3.1. Mundos Branas (Brane-World) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1. Teorıa-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2. Branas cıclicas o modelo Ekpyrotico. . . . . . . . . . . . . 35

3.1.3. Modelo ADD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.4. Modelos de Randall-Sundrum. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.5. Modelo DGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Cosmologıa con Consideraciones Topologicas 46

4.1. Explorando la dinamica del Universo a partir de consideraciones

topologicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1. El Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.2. Ecuaciones de Friedmann modificadas. . . . . . . . . . . . 50

4.1.3. Los Escenarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.4. La Dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1

INDICE GENERAL 2

4.2. Ventaja de los modelos Ekpyroticos o Cıclicos sobre los modelos

Inflacionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3. Branas con campo escalar de materia oscura: La perspectiva dinami-

ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.1. Ecuaciones de constriccion en un mundo brana cinco di-

mensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.2. Perturbaciones cosmologicas y ecuaciones de conservacion

sobre la brana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.3. Sistemas dinamicos con potencial escalar cuadratico en la

brana oculta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4. Huellas de branas en el CMB (Perspectivas) . . . . . . . . . . . . 82

5. Consideraciones Topologicas a Nivel Galactico. 86

5.1. Correcciones de Mundos Brana para ULBDM. El Contexto Galacti-

co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.1. Ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volko! en la brana. . 87

5.1.2. Materia oscura bosonica ultra ligera (ULBDM) a escalas

galacticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.3. Ecuaciones modificadas de TOV con halos compuestos por

ULBDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2. Analisis a nivel galactico con una ecuacion de estado de la forma

P = !"2 (Perspectivas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6. Conclusiones y Expectativas. 97

6.1. Conclusiones en el Nivel Cosmologico. . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2. Conclusiones en el Nivel Galactico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3. Conclusiones generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4. Expectativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A. Notacion y Convenciones 100

B. Ecuaciones de Einstein Cinco Dimensionales. 101

INDICE GENERAL 3

C. Ecuaciones de Einstein sobre la Brana. 102

Indice de figuras

2.1. Representacion pictorica del espacio tiempo, ası como su defor-

macion debida a la presencia de materia (o energıa), segun lo pro-

puesto por la teorıa general de la relatividad. . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Posibles geometrıas para un Universo homogeneo e isotrpo. " > 1

representa un Universo cerrado, " < 1 representa un Universo

abierto y " = 1 representa un Universo plano. . . . . . . . . . . . 14

2.3. El esquema muestra los diferentes contenidos del Universo ası co-

mo sus porcentajes. La suma total de las componentes debe dar

igual a uno!

i "i = 1 para que concuerde con las observaciones

de un Universo plano. (Figura tomada de los archivos de la NASA.

Riess) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. Simulaciones numericas del comportamiento de la materia oscura a

escalas cosmologicas basadas en el comportamiento de la partıcula

hipotetica WIMP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Primera contribucion de Feynman a la polarizacion del vacıo, q

representa el momento del foton virtual y k el momento de la

partıcula virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Espectro de radiacion cosmica de fondo medida por el instrumento

FIRAS a bordo del satelite COBE. La imagen muestra uno de los

espectro de cuerpo negro mas precisos que se pueden obtener en

la naturaleza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4

INDICE DE FIGURAS 5

2.7. Espectro de potencias de las anisotropıas de la temperatura de

la radiacion cosmica en terminos del momento multipolar. Los

datos son obtenidos de WMAP (2006), Acbar (2004), Boomerang

(2005), CBI (2004) y VSA (2004). Tambien se muestra el modelo

teorico (Lınea solida). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8. Campo escalar oscilando alrededor de un mınimo de potencial V (x) 27

3.1. Representacion tridimensional de una variedad compleja de Calabi-

Yau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Espectro de masas de K-K para un campo escalar complejo en el

cırculo, a) utilizando la descomposicion (3.11) y b) en modos pares

e impares. Ambos espectros son equivalentes (Figura tomada de

[59]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1. Dos branas concentricas de tamano a1 y a2 respectivamente, con

tensiones # iguales y energıas de vacıo #1, #2 y #3 respectivas a

cada region generada por ambas branas. . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2. Modelo de dos branas planas separadas por una distancia b0. La

brana oculta contiene un campo escalar y la brana visible (nuestro

Universo) contiene el modelo estandar de partıculas (Tomada de

[12]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Modelo para estudiar una sola brana (brana oculta), la cual con-

tiene un campo escalar. Se considera por simplicidad, la existencia

de simetrıa Z2 (Tomada de [12]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4. Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-

diciones iniciales "!!! 0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa

ultraligera de m! " 10!32GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5. Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-

diciones iniciales "!!! 1 y "V ! 0 asumiendo una masa ultrali-

gera de m! " 10!32GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

INDICE DE FIGURAS 6

4.6. Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" !0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV

para k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.7. Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" !0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV

para k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.8. Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" ! 1

y "V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para

k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.9. Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" ! 1

y "V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para

k = 10!3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.10. Espectro de potencias del CMB con efectos del mundo brana, los

parametros de las fluctuaciones de radiacion oscura $C" (no con-

fundir con energıa oscura) forman parte de las perturbaciones a la

curvatura a gran escala para la materia (denotados en la grafica

por %") (Figura obtenida de [65] ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1. Solucion numerica de la ecuacion (5.16); donde se muestran la so-

lucion numerica (lınea continua) y el campo de soluciones (flechas).

La grafica es generada en unidades arbitrarias con condiciones ini-

ciales "0 = 2 para el nucleo del objeto astrofısico. . . . . . . . . . 92

5.2. Velocidades de rotacion para las curvas isotermicas (5.19) y Navarro-

Frenk-White (5.20) en verde y rojo respectivamente. Las curvas

de rotacion fueron graficadas en unidades arbitrarias. . . . . . . . 93

5.3. Velocidades de rotacion de las isoterma (5.19) (lınea continua)

y de Navarro-Frenk-White (5.20) (lınea punteada) ası como un

conjunto de velocidades de rotacion de galaxias escogidas al azar

[13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

INDICE DE FIGURAS 7

5.4. Solucion numerica de la ecuacion (5.26); donde se muestran la so-

lucion general de la ecuacion diferencial (lınea continua) ası como

su campo de soluciones (flechas). La grafica es generada en unida-

des arbitrarias con condiciones iniciales "0 = 1 para el nucleo del

objeto astrofısico con las correcciones de "2 para el BEC. . . . . . 96

Capıtulo 1

Prefacio

Dejen eso para quien lo entienda, que yo no quiero ruido con el Santo Oficio,

que soy ignorante y tiemblo de decir alguna proposicion malsonante o torcer la

genuina inteligencia de algun lugar. Yo no estudio para escribir, ni menos para

ensenar (que fuera en mı desmedida soberbia), sino solo por ver si con estudiar

ignoro menos. Ası lo respondo y ası lo siento...

Fragmento de: Respuesta a la muy ilustre Sor Filotea de la Cruz, Sor Juana

Ines de la Cruz.

1.1. Introduccion

Las piedras angulares de la fısica del siglo XX han sido, la Teorıa de la Re-

latividad General (TGR) y el Modelo Estandar de partıculas (ME); las cuales

han dado cabida a un sin fin de predicciones teoricas, que han sido confirmadas

en experimentos tanto terrestres como espaciales (LAGEOS, WMAP, Planck).

Como es bien sabido, la TGR y el ME son el esqueleto de la cosmologıa ac-

tual cuyo exito en la explicacion de los fenomenos de nuestro Universo no ha

tenido precedentes en la historia de la humanidad. Sin embargo, observaciones

actuales realizadas con los mas modernos experimentos confirman que descono-

cemos aproximadamente el " 96 % de nuestro Universo. Dichos paradigmas son

debidos a dos entidades conocidas como materia y energıa oscura cuya dinamica

8

CAPITULO 1. PREFACIO 9

y composicion es desconocida hasta el momento de la escritura de esta tesis.

Diversas propuestas teoricas buscan explicar la verdadera naturaleza de la

materia y energıa oscura en nuestro Universo. Entre las mas citadas para ma-

teria oscura son como ejemplos: Materia oscura frıa (CDM), Materi oscura ca-

liente (HDM), modos de Kaluza-Klein (KK), Gravedad modificada Newtoniana

(MOND) y Materia oscura bosonica ultra ligera (ULBDM) que en particular

contiene a Campo escalar de materia oscura (SFDM), entre otras y para energıa

oscura son como ejemplo: Constante Cosmologica (#), Campos Escalares (Quin-

taesencia, Phantom, K-Esencia, etc..) y Teorıas de altas dimensiones, entre otras.

De entre las propuestas mas aceptadas, se encuentran los modelos de altas

dimensiones los cuales nos dan un panorama que sugiere una topologıa distinta

a la estructura 4-dimensional trabajada con la TGR y provee de una amplio

espectro de nueva fısica. Como mencionaremos mas adelante, existe una gran

variedad de teorıas que entran dentro de los modelos de branas; entre los mas

importantes, se encuentra la teorıa M , modelos cıclicos, modelo DGP, modelo

RS, modelo ADD entre otros.

En efecto, la finalidad de esta tesis es basarse en la hipotesis de candidatos que

expliquen tanto materia como energıa oscura en nuestro Universo. Cabe senalar

que aunque existen una diversidad de propuestas que buscan dar solucion a los

problemas de materia y energıa oscura, en esta tesis trataremos el problema desde

el punto de vista de las dimensiones extras en particular de la moderna Teorıa

de Branas (Brane World Theory).

En particular, nuestro modelo es tratado bajo la suposicion de un fondo

cinco dimensional donde convive con dos branas cuatro dimensionales inmersas1;

ası como la hipotesis de que la materia oscura se comporta como un campo

escalar real (SFDM) debilmente acoplado con la gravedad [1]-[10].

El acoplamiento de ambas teorıas generara predicciones interesantes acerca

de la naturaleza del espacio-tiempo ası como de la dinamica de sus componentes

[11], [12], [13]; debido a que de forma natural, un espacio tiempo con dimensiones

1Dicho modelo es una generalizacion al modelo de Randall-Sundrum donde se supone unfondo tipo Minkowski [35]-[36].

CAPITULO 1. PREFACIO 10

extras genera expansion acelerada a causa de la presencia de una densidad de

energıa del vacıo distinta de cero respectiva al fondo 5D. De igual manera cabe

senalar que la presencia de un campo escalar que se comporta como materia

oscura en una brana hermana, explicarıa la razon del porque la unica interaccion

entre la materia oscura y los campos del modelo estandar es vıa gravitacional

[11], [12], [13].

De igual manera...

La tesis esta dividida en los siguientes puntos importantes:

1. En el preludio, se dara una breve revision de la relatividad general, el

modelo estandar y la cosmologıa moderna.

2. En la introduccion a las dimensiones extras, se revisaran los modelos mas

exitosos e importantes de teorıas de altas dimensiones que se trabajan en

la investigacion mundial.

3. En la cosmologıa con consideraciones topologicas se analizara teorıa de

branas con un SFDM como candidato a materia oscura, su dinamica y sus

consecuencias en la cosmologıa.

4. En la seccion de consideraciones topologicas a nivel galactico se analizaran

las consecuencias en la dinamica galactica y de objetos astrofısicos muy

energeticos debidos a una teorıa de branas con ULBDM como materia

oscura.

5. Finalmente se daran conclusiones generales del trabajo realizado.

Capıtulo 2

Preludio.

¿Palabras? Sı, de aire, y en el aire perdidas. Dejame que me pierda entre

palabras, dejame ser el aire en unos labios, un soplo vagabundo sin contornos

que el aire desvanece. Tambien la luz en sı misma se pierde.

Destino del Poeta. Octavio Paz.

2.1. Relatividad General.

La teorıa general de la relatividad es una teorıa geometrica basada en el

Principio de Equivalencia, que puede ser citado de la siguiente manera: Ob-

servadores en caıda libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a

observadores inerciales. No hay experimentos locales que puedan distinguir entre

estas dos situaciones.

En efecto; la Teorıa General de la Relatividad describe la gravedad como la

curvatura del espacio-tiempo debida a la interaccion con la materia y energıa a

traves de la ecuacion (2.6) (Observese figura 2.1)

Por otra parte, es posible definir matematicamente el espacio-tiempo como

una variedad diferencial de dimension 4 (M4, g) de signatura sign(#+++). Con

distancias locales medidas por el elemento de lınea:

ds2 = gµ!dxµ $ dx! . (2.1)

11

CAPITULO 2. PRELUDIO. 12

Figura 2.1: Representacion pictorica del espacio tiempo, ası como su deformacion

debida a la presencia de materia (o energıa), segun lo propuesto por la teorıa

general de la relatividad.

Donde la suma va sobre los ındices µ, & = 0...d # 1. La 1-forma dxµ provee una

base de coordenadas locales del espacio cotangente de la variedad M.

Toda partıcula inmersa dentro del espacio tiempo sigue trayectorias geodesi-

cas dadas por la ecuacion:

d2x"

d' 2+ $"

µ!

dxµ

d'

dx!

d'= 0, (2.2)

cuyo significado fısico es equivalente al provisto por las leyes de Newton pero

generalizado para un espacio curvo. El gran logro de la relatividad general, es

que el espacio tiempo tambien juega un papel en la dinamica, evolucionando

en conjunto con la materia y la energıa contenida en el. La manera apropiada

de describir la dinamica del espacio tiempo, es mediante la accion de Einstein-

Hilbert.

S[xµ, g] =

" #1

2((R# 2#) + £ME

$%#gd4x, (2.3)

donde (2 = 8)G, R es el escalar de Ricci, # la constante cosmologica y £ME el

Lagrangiano de materia provisto por el modelo estandar (SU(3)&SU(2)&U(1)).

Antes de puntualizar la ecuacion de Einstein, es util descomponer el tensor de

Riemann es su partes componentes como


Rµ!#$ = Cµ!#$ +2

d# 2

%Rµ[#|g!|$] #R![#|gµ|$]

&+

2R

(d# 1)(d# 2)gµ[#|g!|$], (2.4)

donde el tensor de Ricci y el escalar de Ricci estan dados por:

Rµ! ' g#$Rµ#!$ yR ' gµ!Rµ! (2.5)

y el tensor de Weyl Cµ!#$ es libre de traza.

Al minimizar la accion (2.3) $S = 0 resultan las ecuaciones de campo de

Einstein

Gµ! = Rµ! #1

2gµ!R + #gµ! = (2Tµ! , µ, & = 1..,4 (2.6)

donde la parte izquierda de la ecuacion se atribuye a la dinamica del espacio

tiempo y el lado derecho a los campos que prevalecen dentro del espacio tiempo.

La constante cosmologica # se le atribuye la actual aceleracion del Universo 1 y

tiene un valor fijo obtenido por observaciones de |"obs" | ! (10!12GeV )4 [20].

La ecuacion (2.6) es valida para una variedad diferencial de n-dimensiones, sin

embargo fısicamente solo ha sido corroborado para cuatro dimensiones. El lector

puede notar, que para que la ecuacion (2.6) sea consistente dimensionalmente,

es necesario cambiar la constante (2 ( (2(4+n) = 8)G4+n para (n " 1) [21].

2.2. Cosmologıa Estandar.

El estudio de la dinamica y evolucion del Universo es estudiado por la cosmo-

logıa mediante las herramientas de la relatividad general y el modelo estandar

de partıculas. La cosmologıa estudia desde momentos despues de la singularidad

inicial hasta la actual aceleracion de Universo teniendo un exito sin precedentes

en la fısica teorica.

La cosmologıa moderna, esta basado en la teoria de la gran explosion (Big

Bang) la cual supone como hipotesis principales, la homogeneidad e isotropıa a

1Actualmente la constante cosmologica es uno de los paradigmas de la cosmologıa actualcuyo problema sera tratado en las secciones posteriores.


grandes escalas. Bajo estas premisas, es posible escribir la metrica mas general

para un espacio con estas caracterısticas como:

ds2 = #dt2 + a(t)2

'dr2

1#Kr2+ r2d*2 + r2sen2*d+2

(, (2.7)

donde K = 0, 1,#1 corresponde a una geometrıa plana, esferica e hiperbolica

respectivamente (Ver figura 2.2) y a(t) es el factor de escala asociado con el

tamano del Universo.

Figura 2.2: Posibles geometrıas para un Universo homogeneo e isotrpo. " > 1

representa un Universo cerrado, " < 1 representa un Universo abierto y " = 1

representa un Universo plano.

Con lo que respecta a lo contenido en el Universo, es posible describir la

materia y energıa en el Universo mediante el tensor energıa-momento para como:

Tµ! = (" + p)UµU! + pgµ! ( Tµ! = diag(#", ,p), (2.8)

con ", p, Uµ la densidad de energıa, presion y el cuadrivector velocidad respecti-

vamente.

Si se aplica la ecuacion anterior a las ecuaciones de Einstein es posible obtener:

'a

a

(2

+K

a2# #

2=

8)G

3" (2.9)

y


2a

a+

'a

a

(2

+K

a2# # = #8)Gp, (2.10)

donde es posible definir H(t) = a/a y la respectiva ecuacion de continuidad

)µT µ! = 0 como:

"# 3a

a(p + ") = 0. (2.11)

Las ecuaciones anteriores describen el Universo desde el punto de vista de la

relatividad general en cuatro dimensiones.

Actualmente tenemos conocimiento que el Universo contiene las siguientes

componentes:

Figura 2.3: El esquema muestra los diferentes contenidos del Universo ası como

sus porcentajes. La suma total de las componentes debe dar igual a uno!

i "i = 1

para que concuerde con las observaciones de un Universo plano. (Figura tomada

de los archivos de la NASA. Riess)

1. Fotones. Las mediciones actuales de la temperatura de los fotones es de

T = 2,725± 0,002 K [14], (WMAP (2006), Acbar (2004)) . Cuya densidad

de energıa esta dada por la distribucion de Bose-Einstein


"% = 2

"d3p

(2))3

1

ep/T # 1p. (2.12)

Donde el factor 2 es debido a los estados de spin del foton. Expresando

la Integral (2.12) de la siguiente manera, mediante el cambio de variable

x ' p/T se tiene

"% =8)T 4

(2))3

" #

0

dxx3

ex # 1, (2.13)

por tanto

"% =)2

15T 4. (2.14)

Es util escribir la ecuacion anterior de la siguiente manera

"%

"cr=

)2

15

'2,725K

a

(4 1

8,098& 10!11h2eV 4

=2,47& 10!5

h2a4, (2.15)

donde h = 0.72± 0.08. Como es posible ver de la ecuacion anterior (2.15),

los fotones dependen del factor de escala lo que implica que tienen una

dependencia temporal a(t) y no espacial. Sin embargo, es posible encontrar

pequenas perturbaciones espaciales, las cuales corresponden a las aniso-

tropıas generadas por el CMB [14].

2. Bariones. Mediciones a diferentes desplazamientos al rojo (redshift) 2 nos

dan a conocer que la densidad de bariones en el Universo escala como

a!3 [14] por lo que es preciso realizar una comparacion entre la densidad

crıtica de tal manera que tengamos una mejor imagen entre la densidad de

bariones y la densidad crıtica

2Es conveniente definir el factor de la estreches de una longitud de onda que viaja en unespacio tiempo que evoluciona como 1 + z ' !obs/!emit = 1/a(t) [14]


"b

"cr= "ba

!3, (2.16)

donde "b es la razon de la densidad de bariones entre la densidad crıtica

actualmente.

Cabe mencionar que resultados preliminares utilizando la CMB nos dan un

estimado de "bh2 = 0,024+0,004!0,003.

3. Materia no barionica. La mayor parte de la materia en el Universo, es

invisible a los detectores actuales. Sin embargo, existen tecnicas gravita-

cionales capaces de obtener mediciones de la densidad de materia total,

puesto que se comporta con un decaimiento igual a la materia barionica

dado por la siguiente relacion

"m = "m"cra!3. (2.17)

Resultados recientes concuerdan en que el parametro de densidad en el Uni-

verso deberıa ser de alrededor de " * 0.3. Cabe senalar que la naturaleza

de dicha materia es desconocida actualmente, sin embargo se han realizado

esfuerzos tanto teoricos como experimentales para develar dicho misterio

[1]-[13], [15]-[16], [18] (Ver figura 2.4).

Algunas de las propuestas para tratar de resolver el misterio de la mate-

ria oscura son: Materia oscura frıa (CDM por sus siglas en ingles) cuya

partıcula fundamental puede ser predicha por la extension supersimetrica

del modelo estandar (SUSY), materia oscura campo escalar (SFDM por sus

siglas en ingles), materia oscura fuzzy, etc... Sin embargo, en los siguientes

capıtulos nos enfocaremos en el modelo SFDM como posible candidato a

materia oscura y se tratara en el contexto de dimensiones altas dimensiones.

4. Neutrinos.

Los neutrinos son parte fundamental de la cosmologıa y constituyen ac-

tualmente el 0,02 % aproximadamente del total de nuestro Universo. Como


Figura 2.4: Simulaciones numericas del comportamiento de la materia oscura a

escalas cosmologicas basadas en el comportamiento de la partıcula hipotetica

WIMP.

es bien sabido, los neutrinos son fermiones cuya estadıstica esta dada por

la distribucion de Fermi-Dirac con potencial quımico igual a cero.

Observaciones de neutrinos solares [23], atmosfericos [24] y terrestres (Ex-

perimentos en CERN y en plantas nucleares) sugieren oscilaciones entre los

distintos sabores de neutrinos. Lo que implicarıa neutrinos masivos cuya

densidad de energıa viene dada de la forma

"! = 2

" )p2 + m2

!

ep/T! + 1d3p. (2.18)

Donde la ecuacion anterior (2.18) a altas temperaturas se reduce a [14]

"! = 37

8

'4

11

(4/3

"%, (2.19)

donde "% es la densidad de energıa de los fotones. La cantidad de neutri-

nos puede ser calculada mediante el parametro de densidad dado por la

siguiente relacion


"! =m!

94h2eV, m! += 0 (2.20)

donde cotas de la masa3 de los neutrinos nos dan el porcentaje mencionado

anteriormente de la cantidad de neutrinos en el Universo.

5. Energıa oscura. La energıa oscura en una de las componentes del Universo

mas desconocidas por la fısica moderna. Su existencia es propuesta debido a

observaciones realizadas por dos grupos encargados de analizar supernovas

[25], [26]. La conclusion obtenida por ambos equipos es que el Universo se

esta acelerando contrario a lo que los modelos teoricos predicen.

Una de las explicaciones para la aceleracion actual del Universo es la exis-

tencia de una energıa que corresponde alrededor del 72 % de la energıa

total del Universo. Candidatos posibles a energıa oscura son la constante

cosmologica, quinta-esencia, k-esencia entre otros. Actualmente, el candi-

dato mas aceptado por la comunidad cientıfica para energıa oscura es la

constante cosmologica debido a su capacidad de reproducir muchas de las

observaciones cosmologicas. Sin embargo los problemas teoricos para la ex-

plicacion de la constante cosmologica son trascendentales y su analisis nos

puede llevar al entendimiento de la gravedad cuantica.

Cabe senalar algunos de los principales problemas de la constante cos-

mologica:

El problema del ajuste fino o “fine tunning”. Es posible inferir que

la densidad de energıa del vacıo deberıa ser no mayor que el valor de la

densidad crıtica del Universo dado por la siguiente ecuacion [30]

|"# ,"-| # 3H20

8)G, (2.21)

donde H0 es la constante de Hubble con un valor aproximado de H0 =

100h km seg!1Mpc!1, ,"- es la densidad promedio y G es la constante de

3Es importante mencionar, que si la masa del neutrino fuera cero m! = 0 su comportamientoserıa parecido al del foton.


la gravitacion (Apendice A). Donde en unidades fısicas es posible obtener

|"v| # 10!29g/cm3 ! 10!47GeV 4. (2.22)

Por otra parte, si sumamos todas las contribuciones de las energıas del

punto cero para todos los modos normales de un campo de masas m por

encima del “cuto! ”del numero de onda # >> m [30] (Ver Figura 2.5)

tendrıamos en el espacio de Fourier la siguiente ecuacion

k

q+k

q q

Figura 2.5: Primera contribucion de Feynman a la polarizacion del vacıo, q re-

presenta el momento del foton virtual y k el momento de la partıcula virtual.

,"- = 4)

" "

0

k2dk

(2))3

1

2

%k2 + m2 $ #4

16)2, (2.23)

si pensamos que es correcta la relatividad general a escala de Planck [30]

#2 $ (8)G)!1 se tiene

,"- ! 2!10)!4G!2 = 2& 1071GeV 4 (2.24)

por lo que entre las ecuaciones (2.22) y (2.24) se tiene una diferencia de

" 118 ordenes de magnitud. Lo que genera una discrepancia muy grande

entre los valores observacionales (2.22) y los valores teoricos.

Avances teoricos de las ultimas decadas usando SUSY reducen el valor

teorico de la densidad a la mitad [20], [30]. Por lo que la discrepancia entre


los valores teoricos y observacionales siguen estando vigente hasta nuestros

dıas.

El Problema de la coincidencia. El problema de la coincidencia, se

refiere al porque esta sucediendo la aceleracion del Universo actualmente y

no sucedio en otra epoca.

Es claro que bajo la premisa del principio antropico, la aceleracion del Uni-

verso no pudo haber sucedido antes pues no se hubiesen podido virializar las

estructuras de nuestro Universo y tanto los cumulos de galaxias, galaxias,

sistemas solares, planetas y vida no hubiesen podido existir.

Sin embargo respuestas dadas por el principio antropico (desde un punto de

vista detractor al principio antropico) no son suficientes para justificar la

existencia y dominacion de la energıa oscura en la epoca actual por lo que

es necesario esfuerzos teoricos con respecto a la comprension de la energıa

oscura como entidad dominante de nuestro Universo actual.

2.2.1. Radiacion Cosmica de Fondo (CMB).

La CMB, es una emision uniforme de radiacion de energıa termal de cuerpo

negro que viene de todas partes del cielo. La radiacion es isotropa al menos en

una parte en 10,000 (Ver figura 2.6). En otras palabras, son fotones los cuales

permean el Universo a una temperatura de alrededor de " 2,726K y provienen

de la ultima dispersion de los electrones a corrimientos al rojo de z " 1100.

*Anisotropıas Primarias. Las anisotropıas de la radiacion cosmica de fon-

do es dividida en los dos siguientes tipos: anisotropıas primarias, debida a los

efectos de la ultima superficie de dispersion y las anisotropıas secundarias, las

cuales son debidas a los efectos tales como la interaccion entre la radiacion cosmi-

ca de fondo con el gas caliente del Universo o potenciales gravitacionales, el cual

ocurre entre la ultima superficie de dispersion y el observador.

La estructura de las anisotropıas del CMB esta principalmente determinada

por dos efectos: oscilaciones acusticas y la difusion de amortiguacion. Las oscila-

ciones acusticas surgen debido a la competencia en el plasma de fotones-bariones


Figura 2.6: Espectro de radiacion cosmica de fondo medida por el instrumento

FIRAS a bordo del satelite COBE. La imagen muestra uno de los espectro de

cuerpo negro mas precisos que se pueden obtener en la naturaleza.

en el Universo primitivo. La presion de los fotones tiende a eliminar las aniso-

tropıas, mientras que la atraccion gravitacional de los bariones -moviendose a

velocidades mucho menores a velocidad de la luz - tiende a generar colapso y a

formar halos densos. Estos dos efectos compiten a crear las oscilaciones acusti-

cas las cuales dan los picos caracterısticos en la estructura del CMB. Los picos

corresponden, aproximadamente, a las resonancias en las cuales los fotones se

desacoplan cuando un modo particular es una amplitud de un pico (Ver figura

2.7).

Cabe mencionar, que la ubicacion de los picos contienen informacion fısica

interesante acerca del Universo. Por ejemplo: la escala angular del primer pico

determina la curvatura del Universo (pero no su topologıa), el siguiente pico

determina la densidad reducida de bariones y el tercer pico puede ser usado para

determinar la densidad de materia oscura en nuestro Universo.

*Formalismo Matematico de las Anisotropıas. Como se sabe, el sateli-

te COBE descubrio que la radiacion cosmica de fondo es casi isotropa, pero no

perfectamente isotropa. Diferentes procesos fısicos causan las anisotropıas en el


Figura 2.7: Espectro de potencias de las anisotropıas de la temperatura de la

radiacion cosmica en terminos del momento multipolar. Los datos son obtenidos

de WMAP (2006), Acbar (2004), Boomerang (2005), CBI (2004) y VSA (2004).

Tambien se muestra el modelo teorico (Lınea solida).

CMB y cada uno de ellos tiene sus caracterısiticas distintivas -amplitud en las

fluctuaciones y dependencia angular. Primero introduciremos algunas herramien-

tas matematicas para cuantificar el nivel de anisotropıas. De esto, definamos una

desviacion fraccional en la direccion - en el cielo de la temperatura medida T (-)

de una media global T [71]:

%T

T(-) =

1

T(T (-)# T ). (2.25)

La funcion de correlacion angular es entonces definida por

C(*) =

*%T

T(-),

%T

T(-$)

+|&=|'!'"|, (2.26)

para dos puntos diferentes en el cielo con separacion *.

Una descomposicion angular es util y bastante usada cuando uno piensa acer-

ca de fluctuaciones especıficas a una escala angular. La funcion de correlacion

C(*) puede ser descompuesta en terminos de los polinomios de Legendre


C(*) =1

4)

,

l

(2l + 1)ClPl(cos(*)). (2.27)

El primer termino a ser considerado es el termino dipolar l = 1. Es bien sabido

que la tierra orbita alrededor del sol y el sol, tiene un movimiento relativo al

centro de la galaxia. Ahora pensemos acerca del movimiento de la Tierra relativo

al marco de referencia en reposo para el CMB. Si la Tierra, se mueve a una

velocidad v, un desplazamiento en la frecuencia %&/& de los fotones del CMB

aparecera como fluctuaciones a la temperatura de la forma del dipolo [71].

La siguiente anisotropıa angular, es causada por la formacion de estructura

y por las fluctuaciones a gran escala en los potenciales gravitacionales; el efecto

Sachs-Wolfe [27]. El satelite COBE ha descubierto que en la ultima dispersion, el

Universo fue casi homogeneo; las fluctuaciones de densidad a z = 1000 se infieren

que son de alrededor del orden de 10!5.

Existen dos mecanismos importantes que generan las anisotropıas secundarias

del CMB: El efecto Sunyaev-Zel’ldovich y la reionizacion.

El efecto Sunyaev-Zel’ldovich es causado por una restriccion espacial de la

ionizacion de Compton. Los fotones del CMB son dispersados debido a “elec-

trones calientes”, que causan el espectro de distorsion del CMB vıa la ganancia

neta de energıa de los electrones. Cabe mencionar, que la amplitud del efecto

Sunyaev-Zel’ldovich es al menos 10!3 veces %T/T siendo la fuente dominante de

las anisotropıas secundarias a escalas de arco de un minuto (arcmin) [71].

Por su parte, cabe senalar que la reionizacion es un proceso que ocurrio des-

pues de la epoca en que comenzo la formacion de galaxias, y es la segunda mayor

fase de cambio del hidrogeno en el Universo. Se piensa que la reionizacion ocu-

rrio cuando las primeras generaciones de estrellas de poblacion III y quasares

emitieron radiacion que reionizo el Universo, volviendo a hacerlo un plasma io-

nizado (6 < z < 20; 150# 1000 millones de anos tras el big bang).


2.2.2. Inflacion.

La cosmologıa estandar no es capaz de resolver los siguientes problemas: El

problema del horizonte, planicidad, monopolos, antimateria, el problema de la

estructura, los cuales mencionaremos algunos detalles a continuacion:

1. El problema de horizonte. La cosmologıa estandar contiene un horizonte

de partıculas de radio comovil [32] que puede ser escrito como

rH =

" t

0

dt

a(t), (2.28)

el cual converge cuando a % t1/2 en la epoca de dominacion temprana de

la radiacion. A tiempos mas tardıos, la integral prevalece por la fase de

dominio de la materia, para la cual

DH = a0rH $ 6000%"z

h!1Mpc. (2.29)

De aquı, es posible observar que el horizonte en la ultima region de dis-

persion tenıa solo " 100Mpc de tamano, para un angulo de alrededor de

1 grado. Esto ultimo automaticamente genera la siguiente pregunta ¿Por-

que hay un numero tan grande de regiones causalmente desconectadas en-

tre si, siendo que el cielo de microondas tiene aproximadamente la misma

temperatura? [32]

2. El problema de la planicidad. Es claro que el Universo con " = 1 es

inestable:

#1# 1

"(z)

$= f(z)

#1# 1

"

$, (2.30)

donde f(z) = (1+z)!1 en la era de dominacion de materia, % (1+z)!2 para

la era de radiacion dominante, de tal manera que f(z) $ (1 + zeq)/(1 + z)2

en epocas tempranas. Para tener " $ 1 en este momento, es necesario un

ajuste fino de " en el pasado, el cual aumenta y se necesita de mas y mas

precision conforme crece el corrimiento al rojo. En efecto, ignorando los


efectos de aniquilacion, 1+z = Tini/2,7K; 1+zeq $ 104, eso implicarıa que

el ajuste fino serıa de [32]

|"(tini # 1)| # 10!22

#Eini

GeV

$2

. (2.31)

En epocas de Planck, el cual es el tiempo natural inicial, se requiere una

desviacion de solo 1 parte por cada 1060. Esto es satisfecho si " = 1 exacta-

mente. Lo generarıa la siguiente pregunta: ¿Como pudo el Universo empezar

con una desviacion de " = 1 tan precisa de tal manera que la curvatura se

hizo importante despues de muchas e-foliaciones de expansion? [32]

3. La existencia de monopolos. Dicha existencia es predicha por el modelo

estandar de partıculas, ası como modelos de gran unificacion y actualmente

no existe ninguna evidencia observacional de dichos monopolos.

4. El problema de la antimateria. Para kT # mP c2, existe un equilibrio

aproximadamente igual al numero de fotones, protones y antiprotones. Ac-

tualmente se tiene que Np/N% " 10!9, pero Np $ 0. Una conservacion

del numero de bariones implicarıa que Np/Np = 1 + O(10!9) en epocas

tempranas. ¿De donde surge dicha asimetrıa inicial? [32]

5. El Problema de la Estructura. El Universo no es precisamente ho-

mogeneo. Generalmente se supone que las galaxias y cumulos crecen vıa

inestabilidades gravitacionales debidas a perturbaciones iniciales. ¿Cual es

el origen de dichas perturbaciones? [32]

Una manera natural de resolver dichos problemas es mediante una expansion

exponencial del espacio tiempo conocida como inflacion. En particular la teorıa

de inflacion puede ser tratada mediante la hipotesis de rodamiento lento (Slow

Roll) [31] en la cual se supone un campo escalar cuyo potencial oscile alrededor

del mınimo tal y como lo muestra la figura 2.8.

* Inflacion del tipo de Rodamiento Lento. Esta inflacion es definida co-

mo una era de gravedad repulsiva, a > 0, la cual es equivalente a 3P < #" donde



la presion para un campo homogeneo es p = T (0)i de tal manera que

p =1

2

!d!(0)

dt

"2

! V (!(0)). (2.45)

para obtener una expansion acelerada necesaria para resolver los problemas antes

mencionado, es necesario proponer ”slow roll”donde el nombre se refiere a que

el campo oscila alrededor de su mınimo de potencial con la intencion de que

V (!) > ! lo que nos lleva a que P < 0 necesaria para una expansion inflacionaria.

(FIGURA)

V (x)

x

Puesto que la densidad de energıa es constante es posible escribir la ecuacion

de Friedmann para un Universo plano como:

1

a

da

dt=

#8"G#

3= cte. (2.46)

De la ultima ecuacion se obtiene que la solucion produce una expansion expo-

nencial.

a(t) = aeeH(t!tf ), t < tf (2.47)

donde tf es el final de la inflacion. Finalmente el horizonte comovil primordial el

cual es generado despues de la inflacion, puede ser obtenido integrando el inverso

de la ecuacion anterior ($ =$ t

tfdt!

a(t!)) dando como resultado

$prim =1

Hfaf

%eH(tf!ti) ! 1

&, (2.48)

donde ti es el tiempo inicial. De tal manera que los problemas anteriores (ho-

rizonte y planicidad) son resueltos si al menos la inflacion tiene 60 e-folding

(H(tf ! ti) > 60), el problema de los monopolos es de igual manera resuelto por

la inflacion debido a que el crecimiento exponencial diluye cualquier problema

topologico debido al modelo estandar.

Finalmente, cabe sealar los parametros de slow roll que vienen definidos de

la forma:


la presion para un campo homogeneo es p = T (0)i de tal manera que

p =1

2

!d!(0)

dt

"2

! V (!(0)). (2.45)

para obtener una expansion acelerada necesaria para resolver los problemas antes

mencionado, es necesario proponer ”slow roll”donde el nombre se refiere a que

el campo oscila alrededor de su mınimo de potencial con la intencion de que

V (!) > ! lo que nos lleva a que P < 0 necesaria para una expansion inflacionaria.

(FIGURA)

V (x)

x

Puesto que la densidad de energıa es constante es posible escribir la ecuacion

de Friedmann para un Universo plano como:

1

a

da

dt=

#8"G#

3= cte. (2.46)

De la ultima ecuacion se obtiene que la solucion produce una expansion expo-

nencial.

a(t) = aeeH(t!tf ), t < tf (2.47)

donde tf es el final de la inflacion. Finalmente el horizonte comovil primordial el

cual es generado despues de la inflacion, puede ser obtenido integrando el inverso

de la ecuacion anterior ($ =$ t

tfdt!

a(t!)) dando como resultado

$prim =1

Hfaf

%eH(tf!ti) ! 1

&, (2.48)

donde ti es el tiempo inicial. De tal manera que los problemas anteriores (ho-

rizonte y planicidad) son resueltos si al menos la inflacion tiene 60 e-folding

(H(tf ! ti) > 60), el problema de los monopolos es de igual manera resuelto por

la inflacion debido a que el crecimiento exponencial diluye cualquier problema

topologico debido al modelo estandar.

Finalmente, cabe sealar los parametros de slow roll que vienen definidos de

la forma:

Figura 2.8: Campo escalar oscilando alrededor de un mınimo de potencial V (x)

" es la densidad de energıa y P la presion. En particular, nos concentraremos

solo en la era de inflacion observable [31], la cual comienza cuando el Universo

observable deja el horizonte.

Es importante recordar, que durante la inflacion el parametro de densidad "

se aproxima hacia 1. Como hipotesis, suponemos que el valor es cercano a 1, lo

cual significa que " es cercana a 1 durante la inflacion observable. Esto genera

una densidad de energıa " en terminos del parametro de Hubble [31] de

3M2P H2 = ". (2.32)

Durante la inflacion, suponemos que la densidad de energıa y presion es domina-

da por campos escalares. El campo escalar que se supone genera inflacion, es el

campo conocido como inflaton -, el cual es por definicion el unico con dependen-

cia temporal significativa. La densidad de energıa y presion pueden ser escritas

como

" =1

2-2 + V, (2.33)


P =1

2-2 # V. (2.34)

La evolucion de - esta dada por

- + 3H- = #V $, (2.35)

donde los puntos denotan d/dt y las primas denotan d/d-. Esto es equivalente a

la ecuacion de continuidad " = #3H(" + P ), la cual junto con la ecuacion (2.32)

es equivalente a

H = # 1

2M2P

-2. (2.36)

Mientras que las escalas cosmologicas dejan el horizonte, el paradigma de infla-

cion de rodamiento lento es practicamente obligatorio con el fin de dar cuenta a

la invarianza de escala del espectro de perturbaciones primordiales a la curvatura

[31].

Se supone que el campo del inflaton - esta en una region del potencial la cual

satisface las condiciones de planicidad

. . 1, (2.37)

|/|. 1, (2.38)

donde

. ' 1

2M2

P

'V $

V

(2

, (2.39)

/ ' M2P

V $

V, (2.40)

los cuales son conocidos como parametros de rodamiento lento. De igual manera,

se supone que la evolucion dada por la ecuacion (2.35) puede ser remplazada por

la aproximacion de rodamiento lento de la forma


- = # V $

3H. (2.41)

Las condiciones de planicidad, ası como la aproximacion de rodamiento lento

son las ecuaciones basicas necesarias para derivar las predicciones estandar de

las perturbaciones a la densidad y al ındice espectral [31]. Para potenciales que

satisfacen las condiciones de plancidad, la aproximacion de rodamiento lento es

tıpicamente valida para una amplia region de condiciones iniciales (valores de -

y - en epocas tempranas).

La primera condicion de planicidad . . 1 asegura que " es cercano al poten-

cial V y varıa de forma lenta. Como resultado, H varıa tambien de forma lenta,

lo que implicarıa que uno puede escribir a % eHt.

La segunda condicion de planicidad |/| . 1 es de hecho una consecuencia

de la primera condicion de planicidad mas la aproximacion de rodamiento lento,

3H- = #V $. De hecho, si diferenciamos lo anterior, es posible demostrar

-

H-= .# /, (2.42)

y de la ecuacion (2.35) la aproximacion de rodamiento lento es equivalente a

|-|. H|-|. Un rol crucial es jugado por el numero de tiempos de Hubble N(-)

dados por inflacion, los cuales permanecen cuando - tiene un valor dado. De

algun tiempo t a un tiempo t2 fijo, es posible definir el numero de tiempos de

Hubble como:

N(t) '" t2

t

H(t)dt. (2.43)

Cambios pequenos satisfacen

dN ' #Hdt(= #dln1). (2.44)

Durante la inflacion de rodamiento lento se tiene:

dN

d-= #H

-=

V

M2P V $ = ±(

%2.MP )!1. (2.45)


Cabe mencionar, que el numero de e-foliaciones en la inflacion de rodamiento

lento, puede ser calculado mediante la siguiente ecuacion

N(-) =

" '

'final

M!2P

V

V $d-, (2.46)

donde -final marca el final de inflacion [31].

* Predicciones realizadas por el modelo de rodamiento lento. Dos

hipotesis basicas son propuestas. Una es que las perturbaciones del campo del

inflaton $- tiene interacciones despreciables con los otros campos. Esto es equi-

valente a decir que es valido la teorıa de perturbaciones lineales cosmologicas

durante epocas inflacionarias.

La otra hipotesis esencial es que mucho antes de existir el horizonte, cuando

el concepto de partıcula tiene sentido, los modos relevantes de Fourier $- tienen

cero numeros de ocupacion. Esta hipotesis para el vacıo es mas o menos obli-

gatoria, puesto que muchas partıculas podrıan tener una presion significativa y

estropearıan inflacion [31].

Como resultado de estas hipotesis, las perturbaciones primordiales a la curva-

tura serıan gaussianas, con propiedades estocasticas las cuales estan totalmente

definidas por su espectro de potencias PR(k).

* El Espectro. Las perturbaciones $- estan bien definida en hipersuperfi-

cies espacialmente planas. Por tanto, en el lımite de rodamiento lento H ( 0,

uno puede ignorar el efecto a las perturbaciones de la metrica, y $- satisface la

siguiente ecuacion

$- + 3H ˙$- +

-V $$ +

'k

a

(2.

$- = 0. (2.47)

Las condiciones de planicidad aseguran que el cuadrado de la masa 2V $$ sea

despreciable hasta al menos unos pocos tiempos de Hubble despues de que el ho-

rizonte existie. Esto significa que $- pude ser tratado como un campo sin masa.

A pocos tiempos de Hubble despues de la existencia del horizonte, sus fluctua-

ciones del vacıo pueden ser tratadas como una cantidad clasica, cuyo espectro

esta dado por:


P' =

'H

2)

(2

. (2.48)

Por otra parte, es importante mencionar que las correspondientes perturbaciones

a la curvatura estan dadas por R = (#H/-)$- (valido en teorıas de perturbacio-

nes lineales independientes de rodamiento lento). Usando las ecuaciones (2.41) y

. . 1 es equivalente escribir

4

25PR(k) ' $2

H(k) =1

75)2M6P

V 3

V $2 =1

159)2M4P

V

.. (2.49)

En esta expresion, el potencial y sus derivadas estan evaluadas en la epoca de

salida del horizonte para las escalas k, la cual esta definida por k = aH. Las

predicciones, para el espectro de R(k) a pocos tiempos de Hubble despues de la

salida del horizonte no sirve de nada en su forma actual [31]. Sin embargo uno

puede mostrar que R(k) es independiente temporal entre esta epoca y la aproxi-

macion a la entrada del horizonte mucho despues de que la inflacion terminara.

Comparando la ecuacion (2.49) con el el valor observacional obtenido por el

COBE $H ' (2/5)PR1/2 = 1,91& 10!5 de las anisotropıas del CMB se tiene

M!3P

V 3/2

V $ = 5,3& 10!4. (2.50)

La anterior relacion provee de constricciones utiles en los parametros del poten-

cial. Este puede ser escrito en la siguiente forma equivalente

'V

.

(1/4

= 0,027MP = 6,7& 1016GeV. (2.51)

Debido a que . es muchısimo menor que 1, la energıa inflacionaria escala como

V 1/4, la cual es al menos unos cuantos ordenes de magnitud debajo de la escala de

Planck. La escala al dejar el horizonte a una epoca dada, esta directamente rela-

cionada con el numero de e-foliaciones N(-) de la inflacion del tipo de rodamiento

lento, esto ocurre despues de la epoca de la salida del horizonte. En realidad, de-

bido a que H varia lentamente tenemos que dlnk = d(ln(aH)) $ dlna = Hdt.

De la definicion de la ecuacion (2.44) se tiene


dlnk = #dN(-), (2.52)

y por tanto

ln

'kfinal

k

(= N(-), (2.53)

donde kfinal es la escala en la cual se deja el horizonte al final de inflacion del

tipo rodamiento lento. Como ya se habıa visto, esta relacion es muy util cuando

se trabaja en predicciones para una potencial dado.

* El ındice espectral.

Se tiene una expresion para PR(k) en terminos de V y V $ y queremos calcular

el ındice espectral definido por n(k)# 1 ' dPR/dlnk. Mediante (2.45) y dlnk =

#dN(-) tenemos

d-

dlnk= #M2

P

V $

V, (2.54)

donde, como siempre, k = aH. Es preciso hacer mencion que se necesitaran las

siguientes expresiones

d.

dlnk= 2./ # 4.2, (2.55)

d/

dlnk= #2./ + 02, (2.56)

d02

dlnk= #2.02 + /02 + #3, (2.57)

donde

02 ' M4P

V $

V 2

'd3V

d-2

(, (2.58)

#3 ' M6P

V $2

V 3

'd4V

d-4

(. (2.59)


De igual manera, en el caso V $ % -p, con p += 1 o 2, uno tiene |/| " |.| "| #|. La

jerarquıa puede continuar y cada nueva ecuacion introduce una nueva cantidad

M2nP V $n!1(dn+1V/d-n+1). Usando (2.55) y (2.49) uno obtiene

n# 1 = #6. + 2/, (2.60)

y usando (2.55) y (2.56) se tiene

dn

dlnk= #16./ + 24.2 + 202. (2.61)

Practicamente todos los modelos propuestos han sido de la forma V $ % -p o V $ %-pln-, y en algunos casos uno tiene - . MP . Por tanto . " (-/MP )|/| son

despreciables, y uno puede escribir

n# 1 = 2/, (2.62)

dn

dlnk= 202. (2.63)

De forma mas general uno puede argumentar que . es pequeno y que no importa

la forma del potencial que eligamos, lo cual se cumple para - . MP . Para

probar esto, tomemos el rango cosmologico con lo cual, uno puede asumir . .12 & (1/9)2 = 6& 10!3 [31].

Capıtulo 3

Introduccion a las Dimensiones

Extras.

Todo el majestuoso edificio de la ciencia contemporanea descansa en dos pro-

posiciones metafısicas, que pueden enunciarse como sigue: 1) La regularidad de

la naturaleza no reconoce excepciones, y 2) El hombre posee la capacidad de com-

prender la regularidad de la naturaleza.

Ruy Perez Tamayo. Cientıfico Mexicano.

3.1. Mundos Branas (Brane-World)

Debido a los problemas que persisten en la cosmologıa (energia oscura, ma-

teria oscura, etc..), es necesario explorar nuevas alternativas que nos den una

nueva perspectiva del Universo y con ella resolver dichos problemas. Es por esto,

que en esta seccion nos enfocaremos a mencionar algunas de las mas importante

teorıas de mundos branas que existen:

3.1.1. Teorıa-M

Los modelos de mundos brana basados en teorıa-M fueron propuestos en la

literatura, en el artıculo publicado por Horava y Witten [33], donde se propone

34

CAPITULO 3. INTRODUCCION A LAS DIMENSIONES EXTRAS. 35

una teoria general de 11-dimensiones capaz de unificar la gravedad con el modelo

estandar y generar una teorıa unificadora consistente matematicamente. En este

modelo, 4 dimensiones son las conocidas por la relatividad general, 6 dimensiones

microscopicas son compactificadas en variedades diferenciales complejas llamadas

variedades de Calabi-Yau (tambien conocidas como variedades de Kahler (Ver

figura 3.1)) y finalmente 1 dimension del tipo cosmologica que genera un fondo

en el cual estan inmersas las diez dimensiones anteriores.

Figura 3.1: Representacion tridimensional de una variedad compleja de Calabi-

Yau.

Cabe senalar que aunque se supone que teorıa-M es una teorıa general de

unificacion de todas las fuerzas de la naturaleza, su poder predictivo no ha sido

el apropiado y ha perdido credibilidad en los ultimos anos.

3.1.2. Branas cıclicas o modelo Ekpyrotico.

Las branas ciclicas fueron propuestas por Turok y Steinhardt [38] y [40] con la

finalidad de resolver los problemas de planicidad, las perturbaciones observadas

en el CMB, la constante cosmologica y la misma gran explosion.

La idea es suponer un espacio 5-dimensional como fondo y en el interior

branas 4-dimensionales con una dinamica dada por la siguiente accion:


S = SM + SBI + Smat, (3.1)

donde SM es la accion de una teorıa-M hetereotica 5-dimensional con un conte-

nido de campo mınimo [39] matematicamente descrito por

SM =M3

(5)

2

"

(5)

d5x%#g

'R# 1

21A-1A-# 3

2

1

5!e2'FABCDEFABCDE

(

#3,

i=1

32iM3(5)

"

M(i)(4)

d40(i)

)#hie

!'

+3,

i=1

32iM3(5)

"

M(i)(4)

d40(i)

'1

4!NABCD1µX

A(i)1!X

B(i)1(X

C(i)1"X

D(i)

(, (3.2)

donde M(5) es la masa de Planck en cinco dimensiones, R es el escalar de curva-

tura en cinco dimensiones, e' es el conocido como “breathing modulus”, el cual

describe el tamano de la variedad tres dimensional de Calabi-Yau y NABCD es la

cuatro forma del campo de norma, con el campo de fuerza F = dN .

La accion SBI contiene las interacciones entre las branas y la accion Smat es

para la materia contenida en la brana dada de la forma

Smat =2,

i=1

"

M(i)(4)

d40(i)

)#hi£mat(i). (3.3)

El significado fısico de las acciones anteriores es dos branas inmersas en un espacio

de 5-dimensiones cuya dinamica genera una colision entre ellas provocando lo

que se conoce como la gran explosion evadiendo el problema de singularidad. Las

inhomogeneidades observadas en el CMB son causadas debido a que en la colision

entre dichas branas no son totalmente planas, sino que existen irregularidades

en las mismas de tal manera que el contacto en el momento de la colision no

es totalmente homogenea generando perturbaciones en el CMB. Este tipo de

modelos cıclicos tambien ayuda a proponer una hipotesis del porque la constante

cosmologica tiene un valor tan pequeno y esto es debido a que quiza la constante

cosmologica tuvo un valor grande pero conforme las colisiones entre las branas


sucedieron, la densidad de energıa de la constante cosmologica disminuyo hasta

que tuvo el valor conocido actualmente.

3.1.3. Modelo ADD

Supongamos una variedad diferencial E = M & T s, donde la accion de la

gravedad sobre dicha variedad diferencial E puede ser escrita como

Sgrav = # 1

16)G"

"d4+sx

/|g(4+s)|R(4+s), (3.4)

donde G" es la constante de gravitacion en un mundo (4+s)D. Dado la variedad

E, es posible escribir la metrica gµ!dxµdx! # $abdyadyb con µ, & = 0, 1, 2, 3 y

a, b = 1,...,s [41]. En efecto, usando dicha metrica, es posible escribir la accion

anterior como

Sgrav = # Vs

16)G"

"d4x

/|g(4)|R(4), (3.5)

donde GN = G"/Vs. Por lo que la escala fundamental de Planck, debe ser corre-

gida por [41]

M"c2 =

#!1+sc5+s

8)G"

$1/(2+s)

, (3.6)

o en unidades naturales como:

M2P = M s+2

" Vs. (3.7)

Por lo que de las ecuaciones anteriores es posible observar, que existen implica-

ciones importantes a la gravedad cuando introducimos dimensiones extras en la

accion. Por ejemplo si s = 1 el radio de la dimension extra es de R = 4.7&1012m

con M" " 4.7& 105 si s = 2, R = 3.8& 10!4m y M" " 3.0.

No solo en la gravedad es posible observar dichos efectos; de igual manera,

en los campos del Modelo Estandar se observan nuevos efectos tal y como lo

muestran los trabajos de Arkani et al. [34]. Para ejemplificar agreguemos un


campo escalar complejo 3 que vive en la variedad E = M& T s, cuya accion 5D

es

S[3] =

"d4xdy(1M3"1M3#m23"3), (3.8)

con M = 0,...5 y y denota la quinta dimension. Debido a que T 1 es compacto,

existe una periodicidad definida por la identificacion

y ( y + 2)R, (3.9)

donde se rompe la simetrıa de Lorentz del grupo SO(1, 4) al SO(1, 3). Cabe

senalar que la invariancia de la accion bajo traslacion no implica que 3 sea

invariante bajo (3.9). Por lo que es suficiente, que sea invariante hasta una fase

bajo la simetrıa de accion [59]

3(x, y + 2)R) ( exp(2)2i)3(x, y). (3.10)

Por simplicidad tomese 2 = 0 lo que implica que 3(x, y) permite una descompo-

sicion de Fourier de la siguiente forma

3(x, y) =#,

n=!#3(n)(xµ)

einy/R

%2)R

. (3.11)

Donde de la serie (3.11), el campo 3(0) se le conoce como modo cero y los otros

modos 3(n) (n > 0), son llamados modos excitados de Kaluza-Klein. Sustituyendo

(3.11) en (3.8) e integrando a la dimension extra se obtiene [59], [41]

S[3] =

"d4x

#,

n=!#(1µ3(n)"1µ3

(n) #m2n3

(n)"3(n)), (3.12)

donde (Ver Fig. 3.2)

m(n)2 = m2 +n2

R2, (3.13)

donde la teorıa efectiva del campo 3 aparece como una torre infinita de campos

con masa m(n), en general degenerada 2s veces pero con un solo modo cero [59].


n = ±2

n = ±1

n = 0

!(n) !(n) !!(n)

n = 2

n = 1

n = 0

1R2

a) b)

Figura 3.2: Espectro de masas de K-K para un campo escalar complejo en el

cırculo, a) utilizando la descomposicion (3.11) y b) en modos pares e impares.

Ambos espectros son equivalentes (Figura tomada de [59]).


*Validez del modelo ADD y cotas experimentales.

Es posible realizar un analisis de la validez del modelo ADD ası como sus

cotas experimentales mediante la comparacion de la energıa E y el inverso del

tamano de las dimensiones extras 1/R de la siguiente manera:

1. Para energıas E . 1/R la fısica habra de comportarse 4D.

2. Si 1/R < E < M", cuando se hacen mediciones a distancias cortas, un

mayor numero de excitones de Kaluza-Klein (KK), son cinematicamen-

te accesibles. Mediante esta energıa seria posible evidenciar la naturaleza

extra-dimensional.

3. A energias por arriba de M" el enfoque debe ser remplazado por una teorıa

que describa correctamente la gravedad cuantica.

Si suponemos un escenario del tipo ADD, en los aceleradores de partıculas el

efecto de los acoplamientos gravitacionales serıan principalmente de dos tipos:

1. Energıa faltante, que viaja al bulto.

2. Correcciones a las secciones eficaces provenientes del intercambio de gravi-

tones.

3. Otra senal de dimensiones extras serıa la conversion eficiente de energıa

del colisionador a radiacion de Hawking debido a la produccion de micro-

agujeros negros.

Finalmente, cabe mencionar que las cotas mas fuertes de la existencia de

dimensiones extras provienen de las observaciones cosmologicas y astrofısicas.

Por ejemplo, la cota mas restrictiva M" < 1600 TeV para n = 2 proviene de la

observacion directa de la luminosidad de las estrellas de neutrones. Mayor numero

de dimensiones extras o su topologıa en general suaviza las cotas e incluso las

evita si los gravitones pesado de KK decaen en modos de KK mas ligeros y

estables.


3.1.4. Modelos de Randall-Sundrum.

Modelos del tipo de Randall-Sundrum [35]-[36], [42] fueron propuestos con la

finalidad de resolver el problema de jerarquıa de la fısica de partıculas. La idea

para resolver dicho problema es la siguiente: Propongamos dos branas planas

fijas en los puntos y = 0, y = )r con tensiones ' y #' respectivamente, ası como

la suposicion de una constante cosmologica negativa ## que tiene el espacio de

fondo donde las branas estan inmersas.

En efecto, bajo dichas consideraciones las componentes de la metrica 5D solo

dependen de la quinta coordenada, por tanto uno tiene el ansatz [41]

ds2 = !2(y)/µ!dxµdx! # dy2, (3.14)

donde se parametriza !(y) = e!)(y). La accion propuesta por Randall y Sundrum

contiene S = Sgrav + So + Sv, i.e. una parte gravitacional, una brana oculta y

una brana visible; donde

Sgrav =

"d4xdy

%g(5)

'1

2k2"R(5) + #

(, (3.15)

mientras que la parte de la branas puede ser escrita como

So,v =,

i=±

'i

"d4x

%go.v (3.16)

donde go,v es referido a la metrica inducida para la brana oculta y visible respec-

tivamente. Notese que k2" = 8)G" = M!3

" .

La ecuacion de Einstein cinco dimensional para la accion dada

GMN = #k2"#gMN + k2

"'

0#go

g(5)$µM$!

Ngµ!$(y)# k2"'

0#gv

g(5)$µM$!

Ngµ!$(y # )r),

(3.17)

donde el tensor de Einstein es el usual GMN = RMN # 12gMNR(5). De aquı es

sencillo obtener dos ecuaciones independientes de la forma

Gµ! = #3gµ!

%#4$$ + 2(4$)2

&; Gµ5 = 0; y G55 = #6g55(4

$)2. (3.18)


Usando la ecuacion (3.17) uno obtiene

6(4$)2 = k2"#, 34$$ = k2

"' ($(y)# $(y # )r)) . (3.19)

Donde de la ultima ecuacion es posible obtener la solucion

4(y) = µ|y|. (3.20)

donde µ2 = k2!"6 = "

6M3!. La condicion de ajuste fino vendrıa dado por

# =' 2

6M3", (3.21)

de aquı automaticamente se sigue

ds2 = e!2µ|y|/µ!dxµdx! # dy2. (3.22)

La escala de Planck efectiva en la teorıa de Randall-Sundrum se escribirıa como

[41]

M2P =

M3"

µ

%1# e!2µ*r

&(3.23)

para r grandes se recupera la forma familiar de las dimensiones extras.

Como se habıa mencionado anteriormente, una de los principales intereses

de los modelos de Randall-Sundrum [35]-[36] es el problema de jerarquıa. Para

ejemplificar esto, tomemos un accion con campo escalar dentro de la brana visible

de la siguiente manera:

SH =

"d4x!4()r)

1!!2()r)1µH1µH # 5

%H2 # 2v2

0

&23

. (3.24)

Como regla, escogemos todo parametro adimensional de la teorıa para ser na-

turalmente dado en terminos de M" el cual esta cerca de la masa de Planck.

De tal manera que tomemos 2v0 " M . Despues de introducir la normalizacion

H ( !!1()r)H = eµr*H para recuperar el termino cinetico, la accion anterior

puede ser escrita como


SH =

"d4x

11µH1µH # 5

%H2 # 2v2

&23

, (3.25)

donde el vacıo actual vendrıa dado por v = e!µ*r. Por tanto, escogiendo µr " 12,

la masa fısica del campo escalar, y su vacıo, aparecerıan naturalmente a escalas

de TeV, sin ningun problemas jerarquico en el radio [41].

3.1.5. Modelo DGP

El modelo DGP propuesto por Dvali, Gabadadze y Porrati [37] asume una

brana 4-dimensional inmersa en un espacio 5-dimensional de Minkowski con la

finalidad de encontrar modificaciones al comportamiento de la gravedad en cuatro

dimensiones.

La idea es como sigue: Propongamos una accion de la forma

S = M3

"d5X

%GR(5) + M2

P

"d4x

)|g|R, (3.26)

donde M es la masa 5D de Planck y MP es la masa de Planck 4D. GAB(X) 'GAB(x, y) denota una metrica 5D para la cual, el escalar de Ricci 5D es R(5).

Cabe se˜alar que la brana esta localizada en y = 0.

Como un ejemplo instructivo, el articulo de Dvali et al. [37] sugiere agregar

una campo escalar 5D de la forma:

S = M3(5)

"d4xdy1A&(x, y)1A&(x, y) + M2

P

"d4xdy$(y)1µ&(x, y)1µ&(x, y),

(3.27)

donde & es un campo escalar. Efectivamente, la ecuacion de movimiento mode-

lada por la accion anterior viene dada de la forma

212A& +( 6$)212

µ& = 0, (3.28)

donde las primas denotan derivadas con respecto a y ası como 6$ es el pico de la

funcion en el punto y = 0.


Para encontrar el potencial de la ecuacion de movimiento anterior es necesario

acudir a la funcion retardada de Green escrita de la forma

%M3

(5)1A1A + M2P $(y)1µ1

µ&GR(x, y; 0, 0) = $(4)(x)$(y), (3.29)

donde GR(x, y; 0, 0) = 0 para x0 < 0 [37].

Es claro que el potencial bajo la influencia del campo escalar & sobre la

variedad 4D de la brana, estarıa determinada por:

V (r) =

"GR(t, ,x, y = 0; 0, 0, 0)dt, (3.30)

donde r ')

x21 + x2

2 + x23. Como es habitual, para encontrar la funcion de Green

es necesario realizar la respectiva transformada de Fourier con respecto a la

variedad 4-dimensional xµ

GR(x, y; 0, 0) '"

d4p

(2))4eipxGR(p, y). (3.31)

Cambiando al espacio euclıdeo la ecuacion (3.29) se tiene

%M3

(5)(p2 # 12

y) + M2P p2 $(y)

&GR(p, y) = $(y), (3.32)

donde p2 denota el cuadrado del 4-momento euclıdeo. Efectivamente la solucion

con condiciones de frontera apropiadas viene dada de la forma

GR(p, y) =e!p|y|

M2p p2 + 2M3

(5)p, (3.33)

donde p ')

p2 =)

p24 + p2

1 + p22 + p2

3. Haciendo uso de la ecuacion (3.30) el

potencial mediado por un campo escalar en una brana 4-dimensional de la forma

V (r) = # 1

8)2M2P

1

r

#sen

'r

r0

(Ci

'r

r0

(+

1

2cos

'r

r0

( #) # 2Si

'r

r0

($$,

(3.34)

donde Ci(z) ' 7 + ln(z) +4 z

0 dt(cos(t) # 1)/t, Si(z) =4 z

0 dtsen(t)/t donde

7 * 0.577. Donde r0 viene dada de la forma


r0 'M2

P

2M3(5)

. (3.35)

La expresion anterior es una expresion geometrica que relaciona el comporta-

miento a cortas y largas distancias.

Para finalizar, es importante observar el comportamiento del potencial a cor-

tas y largas distancias. Por tanto tenemos que a cortas distancias r << r0 el

potencial puede ser escrito como

V (r) * # 1

8)2M2P

1

r

#)

2+

'#1 + 7 + ln

'r

r0

(( 'r

r0

(+O(r2)

$, (3.36)

donde es posible observar que a cortas distancias el potencial es el clasico observa-

do en la teorıa 4D Newtoniana ası como una modificacion repulsiva logarıtmica.

Por otra parte, para comportamientos a largas distancias r >> r0 se tiene:

V (r) * # 1

8)2M2P

1

r

#r0

r+O

'1

r2

($, (3.37)

por lo que a largas distancias el potencial escala como 1/r2 en concordancia con

las leyes de las teorıas 5-dimensionales.

Cabe senalar, que el modelo DGP es una alternativa al problema de la ace-

leracion del Universo mediante el uso del parametro r0 obviamente realizando

acotaciones sobre la masa de Planck 5-dimensional M(5).

Capıtulo 4

Cosmologıa con Consideraciones

Topologicas

Lo esencial es invisible a los ojos.

El zorro del Principito (capıtulo XXI) de Antoine de Saint-Exupery.

4.1. Explorando la dinamica del Universo a par-

tir de consideraciones topologicas.

En esta seccion se explorara la dinamica de un universo que contiene dos

branas simetricamente esfericas S3 4-dimensionales inmersas en un espacio de

fondo 5-dimensional dichas branas no interactuan entre ellas, excepto con el

fondo. Cabe senalar que los resultados pueden ser generalizado a las otras dos

topologıas homogeneas e isotropas conocidas (R3, H3) [11].

Se asume, como condiciones iniciales, que el factor de escala de la brana

interior esta dada por a1 y la brana exterior (donde vivimos) tiene el factor de

escala a2, con a1 < a2. Por simplicidad, se supone un centro comun (Ver Figura

4.1).

Cabe senalar que se supone que la materia solo esta confinada en las bra-

nas, siendo el contenido de la brana interior un campo escalar auto-interactuante

46

CAPITULO 4. COSMOLOGIA CON CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS47

Figura 4.1: Dos branas concentricas de tamano a1 y a2 respectivamente, con

tensiones # iguales y energıas de vacıo #1, #2 y #3 respectivas a cada region

generada por ambas branas.

(campo de espın cero) que posteriormente se senalara como materia oscura, mien-

tras que en la brana exterior existiran los campos del modelo estandar (campo

de espın uno) de partıculas.

Con dichas hipotesis se mostrara lo siguiente:

1. El campo escalar en la brana interior, actua como inflaton, expandiendo la

brana interior y provocando que colisione con la brana exterior, la cual se

encontrara en equilibrio termico despues de la colision. De aquı se desprende

una gran explosion tal como en los escenarios ekpyroticos [38]-[40].

2. Es posible escoger parametros libres en el modelo de tal manera que despues

de la colision ambas branas se expanda juntas.

3. Las fluctuaciones inducidas por la colision en el campo escalar, provocan

pozos de potencial que posteriormente daran paso a la formacion de es-

tructura en la brana exterior, actuando como semillas en la formacion de

galaxias en la brana donde vivimos vıa interacciones gravitacionales. Des-

pues de la colision la fısica de la brana exterior esta relacionada con los


modelos cıclicos y ekpyroticos [38]-[40].

La diferencia de este modelo con los anteriores es la hipotesis de las condicio-

nes iniciales ası como el contenido de materia en las branas. Por ejemplo, despues

de la colision, la brana exterior se comporta de una manera muy similar al mo-

delo presentado por Liddle y Urena [43]. El problema de este ultimo modelo es el

periodo de recalentamiento, donde no es natural que el Universo se recaliente. Sin

embargo en el modelo presentado, la epoca de recalentamiento no es necesaria

debido a que este sucede como consecuencia de la colision de las branas de la

misma manera que en los modelos ekpyroticos [38]-[40].

Cabe resaltar que existen muchas preguntas abiertas, las cuales pueden ser re-

sueltas en trabajos anteriores como ([39], [40], [44], [45] y [46]).

A continuacion se mostrara el modelo desarrollado [11].

4.1.1. El Modelo.

Supongase dos branas inmersas en un fondo 5-dimensional. La forma de la

accion para dicho modelo tiene la estructura fısica dada por

S =

"dX5

)#g(5)m

3(5)

%R(5) + #

&#

,

±

"

±dx4

)#g±

%2m3

(5)K± + £±&

(4.1)

siendo± la region exterior o interior de la brana respectiva, g(5) es la determinante

de la metrica 5-dimensional y g la determinante de la metrica 4-dimensional, m(5)

es la masa de Planck 5D, R(5) es el escalar de curvatura 5D, K es la curvatura

extrınseca y # es la constante cosmologica 5D, £+ es el Lagrangiano de los

campos contenidos en la brana exterior (espın cero) y £! es el Lagrangiano de

los campos contenidos en la brana interior (espın uno).

El fondo puede ser descrito en coordenadas naturales de la forma [47]

ds2(5) = #A(a)±dt2± +

1

A(a)±da2 + a2

5d6 + sen2(6)(d*2 + sen2(*)d32)

6. (4.2)


Ahora, es preciso resolver la ecuaciones de Einstein 5D R(5)AB= 2

3#±g(5)AB

con

(A = B = 1, · · · , 5) para la funcion A(a)± mas general, donde se obtiene:

A(a)± = 1# 2M±

m3(5)a

2# #±

6a2, (4.3)

donde 2M±

m3(5)

es el parametro de masa del agujero negro en AdS-S(5) [45] y "±

6 es

la constante cosmologica 5D en el fondo.

Por otra parte, si se considera la ubicacion de las dos branas con t = t('),

a = a(') parametrizadas por el tiempo ' , se tiene la metrica 4D inducida como

ds2(4)i = #d' 2 + a2

i (')5d62 + sen2(6)

%d*2 + sen2(*)d32

&6, (4.4)

donde los subındices i = 1, 2 denotan a las dos branas, teniendo en mente que

a1 < a2. Cabe senalar que las funciones t(') y a(') tiene las constricciones dadas

por

u!u! = gµ!uµu! = #A(ai)t

2 + A(ai)!1a2

i = #1, (4.5)

siendo uµ = (t, ai, 0, 0) la velocidad de la brana. Los puntos representan diferen-

ciacion con respecto a ' . En efecto, si se define el vector unitario normal a la

branas n±µ tal que n±µ uµ = 0 y n±µ n±µ = 1, las componentes vendrıan dadas por

n±µ = ±1ai,#A(ai)

!1%A(ai) + a2

i

& 12 , 0, 0

3. (4.6)

Siguiendo [29], [48] y [49] es posible construir la curvatura extrınseca usando la

ecuacion

Kµ! = #g"µ)"n! . (4.7)

Las componentes no nulas de Kµ! pueden ser escritas como

K±tt = #

1ai + 1

2+A(ai)±

+ai

3

(a2i + A(ai)±)

12

, (4.8)


K±,, = K±&

& = K±-- =

(a2i + A(ai)±)

12

ai. (4.9)

Con las ecuaciones de movimiento de la brana se sigue [29], [48] y [49]:

[K]gµ! # [Kµ! ] = k2(5)Tµ! , (4.10)

)!T!µ = [Tµn], (4.11)

donde k2(5) = 8*

m3(5)

, [Kµ! ] = K+µ!#K!

µ! y Tµ! es el tensor energıa momento. Usando

la ecuacion (4.9) uno encuentra

(a2i + A(ai)!)

12 # (a2

i + A(ai)+)12 =

ai

3k2

(5)"i, (4.12)

donde se asume que el contenido de materia de las branas puede ser representado

como fluidos perfectos con densidad "i y presion Pi

La ecuacion (4.11) representa la conservacion de la energıa en la brana, dada

por

d

dt("ia

3i ) + Pi

d

dt(a3

i ) = 0. (4.13)

4.1.2. Ecuaciones de Friedmann modificadas.

En esta seccion se escribiran las ecuaciones de campo del modelo. Primero es

imprescindible distinguir entre tres regiones de vacıo, la primera esta localizada

dentro de la brana interior, a la cual llamaremos region I, la segunda esta localiza-

da entre ambas branas, region II y la tercera region sera los alrededores externos

de la brana exterior, region III (ver figura 4.1). Ahora considerese la siguiente

analogıa con un sistema electromagnetico. Imagine un conductor cargado, es bien

sabido que en el interior de las conductores no existe campo electrico mientras

que en el exterior si existe y el cual pude ser calculado mediante el principio de

superposicion. Teniendo en mente el regimen lineal entre el electromagnetismo y

la gravitacion, la analogıa resulta obvia.


Por lo tanto para la region de la brana interior (I) puede escribirse mediante

la ecuacion (4.3) como

A(a1)! = 1# #1

6a2

1, (4.14)

donde efectivamente no existe potencial gravitacional dentro de la region I. Sin

embargo, en la region entre las branas (region II), la ecuacion (4.3) puede ser

escrita como

A(a1)+ = 1# 2M1

m3(5)a

21

# #2

6a2

1, (4.15)

donde M1 es la masa de la brana interior. Si sustituimos las ecuaciones (4.14) y

(4.15) en la ecuacion (4.12) se tiene

a21

a21

+1

a21

=k4

(5)"21

36+

#1 + #2

12+

M1

m3(5)a

41

+(#2 # #1)2

16"21k

4(5)

+9M2

1

m6(5)k

4(5)"

21a

81

+3M1(#2 # #1)

2m3(5)a

41k

4(5)"

21

. (4.16)

Por otra parte, dentro de la brana exterior (region II nuevamente) se tiene

A(a2)! = 1# 2M1

m3(5)a

22

# #2

6a2

2. (4.17)

Finalmente, fuera de la brana exterior (region III), la masa total es M = M1+M2

debido al principio de superposicion, por tanto se tiene

A(a2)+ = 1# 2(M1 + M2)

m3(5)a

22

# #3

6a2

2. (4.18)

Nuevamente, sustituyendo las ecuaciones (4.17) y (4.18) en (4.12) se obtiene

a22

a22

+1

a22

=k4

(5)"22

36+

#3 + #2

12+

2M1 + M2

m3(5)a

42

+(#3 # #2)2

16"22k

4(5)

+9M2

2

m6(5)k

4(5)"

22a

82

+3M2(#3 # #2)

2m3(5)a

42k

4(5)"

22

. (4.19)


Las expresiones (4.16) y (4.19) son conocidas como ecuaciones de Friedmann de la

brana interior y exterior respectivamente. En ambas ecuaciones (4.16) y (4.19),

el tercer, cuarto, quinto y sexto termino estan presentes si suponemos que no

existe simetrıa Z2. Ambas ecuaciones estan de acuerdo con lo obtenido por Ida.

[47], excepto por el tercer, cuarto, quinto y sexto termino el cual es caracterıstico

de dicho modelo.

4.1.3. Los Escenarios.

De acuerdo a lo propuesto de mundos brana, es natural asumir que las com-

ponentes de materia consisten en la tension de la brana # y los campos ordinarios

"sf y "m tales que la densidad de la brana vendrıa dada por

"1 = "sf + #, P1 = psf # #, (4.20)

"2 = "m + #, P2 = pm # #, (4.21)

donde "m y pm denotan la densidad de energıa y la presion de la materia de

campos de espın uno antes de la colision. Despues de la colision uno puede in-

terpretar a "m y pm como bariones mas radiacion mas neutrinos, etc... Por otra

parte, "sf y psf denotan la densidad de energıa y presion de un campo escalar

autointeractuante respectivamente y # es la tension de la brana.

Ahora supongamos dos escenarios. El primero corresponderıa a densidades

muy altas en comparacion con la tension de la brana "i >> # (i = sf, m) y el

segundo corresponderıa a densidades muy bajas en comparacion con la tension

de la brana "i << # (i = sf, m).

1. Lımite de Altas Energıas en el Universo Temprano.

Primero analicemos la evolucion de las branas cuando "i >> #, i = sf, m.

Este escenario corresponde al Universo despues de la colision. Asumamos

las siguientes condiciones de ajuste fino en el interior de la brana #1/6 =

2#(5)/3, #2/6 = #25(5)/3, con k4(5) = 36(2

(4)/6# donde 5(5) ! (1018GeV )4


es del orden de magnitud de las fluctuaciones cuanticas del vacıo predichas

por el modelo estandar [20]. Remplacemos las ecuaciones Eq. (4.20) en Eq.

(4.16) para obtener

a21

a21

+1

a21

=(2

(4)

3"sf

11 +

"sf

2#

3+

#4D1

3

+M

m3(5)a

41

-1#

#(#(5) + 5(5))

2(2(4)#"sf

%1 + #sf

2$

&+ #2(2

(4)

.&

3M2

m6(5)a

81(

2(4)

#

4#"sf

%1 + #sf

2$

&+ 2#2

, (4.22)

donde

#4D1 =

(2(4)#

2+ (#(5) # 5(5)) +

#(5(5) + #(5))2

4(2(4)#"sf

%1 + #sf

2$

&+ 2#2(2

(4)

, (4.23)

esto es debido a que en altas energıas se tiene que

"2sf " 2#"sf

11 +

"sf

2#

3+ #2

donde por simplicidad asumimos que M1 = #M2 = #M , donde no existe

interpretacion fısica. Por tanto, imponiendo "sf . # y proponiendo (2(4)# !

5(5) obtenemos

'a1

a1

(2

+1

a21

!(4

(4)

3

"2sf

25(5)+

#4D1

3+

M

m3(5)a

41

, (4.24)

con

#4D1 = #

5(5)

2. (4.25)

De la misma forma para la brana exterior es posible obtener las siguientes

condiciones de ajuste fino #3/6 = 2#(5)/3. Nuevamente, si uno remplaza

las condiciones previas y (4.21) en (4.19) se tiene


a22

a22

+1

a22

=(2

(4)

3"m

11 +

"m

2#

3+

#4D2

3

+M

m3(5)a

42

-#1 +

#(#(5) + 5(5))

2(2(4)#"m

%1 + #m

2$

&+ #2(2

(4)

.

+3M2

m6(5)a

82(

2(4)

#

4#"m

%1 + #m

2$

&+ 2#2

, (4.26)

con

#4D2 =

(2(4)#

2+ (#(5) # 5(5)) +

#(5(5) + #(5))2

4(2(4)#"m

%1 + #m

2$

&+ 2#2(2

(4)

. (4.27)

Nuevamente, utilizando la condicion

"2m " 2#"m

11 +

"m

2#

3+ #2, (4.28)

por tanto, en el lımite donde "m / # y (2(4)# ! 5(5), se obtiene

'a2

a2

(2

+1

a22

!(4

(4)

3

"2m

25(5)+

#4D2

3# M

m3(5)a

42

, (4.29)

con

#4D2 = #

5(5)

2. (4.30)

Las relaciones (4.24) y (4.29) son las ecuaciones de Friedmann para un

Universo temprano dentro de nuestro modelo. Observese que la densidad

"sf aparece cuadratica en la ecuacion (4.24), por lo que conlleva a que

la brana que contiene los campos escalares infla, aun con una masa para

el campo escalar muy pequena. Dicha inflacion provocarıa que la brana

interior colisione con la brana exterior, donde el contenido de materia es

unicamente campos de espın uno. Consecuencias interesantes se senalaran

mas adelante bajo dichas hipotesis.


2. Lımite de Bajas Energıas en el Universo Tardıo.

De la misma manera es posible analizar el regimen "i . #, i = sf, m para

el Universo tardıo usando las mismas condiciones que en el regimen previo.

Es posible obtener las siguientes dos relaciones para las branas 1 y 2.

a21

a21

+1

a21

=(2

(4)

3"sf

11 +

"sf

2#

3+

#4D1

3

+M

m3(5)a

41

-1#

#(#(5) + 5(5))

2(2(4)#"sf

%1 + #sf

2$

&+ #2(2

(4)

.

+3M2

m6(5)a

81(

2(4)

#

4#"sf

%1 + #sf

2$

&+ 2#2

, (4.31)

a22

a22

+1

a22

=(2

(4)

3"m

11 +

"m

2#

3+

#4D2

3

+M

m3(5)a

42

-#1 +

#(#(5) + 5(5))

2(2(4)#"m

%1 + #m

2$

&+ #2(2

(4)

.

+3M2

m6(5)a

82(

2(4)

#

4#"m

%1 + #m

2$

&+ 2#2

, (4.32)

con

#4D1 =

(2(4)#

2+ (#(5) # 5(5)) +

#(5(5) + #(5))2

4(2(4)#"sf

%1 + #sf

2$

&+ 2#2(2

(4)

, (4.33)

#4D2 =

(2(4)#

2+ (#(5) # 5(5)) +

#(5(5) + #(5))2

4(2(4)#"m

%1 + #m

2$

&+ 2#2(2

(4)

. (4.34)

De la misma forma que en la parte anterior, esto es debido a que "2i =

2#"i

%1 + #i

2$

&+ #2, (i = sf, m). Por tanto imponiendo la condicion "i . #

ası como (2(4) ! 5(5), se obtiene

'a1

a1

(2

+1

a21

!(2

(4)

3"sf +

#4D1

3+

3M2

2m6(5)5(5)a8

1

, (4.35)


'a2

a2

(2

+1

a22

!(2

(4)

3"m +

#4D2

3+

3M2

2m6(5)5(5)a8

2

, (4.36)

donde encontramos el resultado importante

#4D1,2 = #(5). (4.37)

Por tanto, es posible fijar una constante cosmologica #(5) " (10!12GeV )4

de tal manera que #4D1,2 tenga el valor de las observaciones de la constante

cosmologica cuatro dimensional [20]. Las ecuaciones (4.35) y (4.36) son las

ecuaciones de Friedmann para un Universo en epocas tardıas, las cuales

dan la dinamica de las branas. De las similitudes de las ecuaciones (4.35)

y (4.36) es posible observar que la dinamica es muy similar en epocas

tardıas, lo que llevarıa a concluir que es posible fijar los parametros libres

del modelo de tal manera que se obtengan dos branas expandiendose juntas

manteniendo una distancia constante entre ellas.

4.1.4. La Dinamica.

a) Inflacion con geometrıa esferica. Ahora, nos enfocaremos a estu-

diar la dinamica de las branas mencionadas anteriormente. La idea

principal del modelo que estamos tratando aquı, es no fijar las condi-

ciones iniciales. En vez de eso, fijamos la topologıa inicial del modelo de

la siguiente manera. Supongamos que existen dos branas concentricas

S3. En la brana interior vive un campo escalar y en la exterior viven

los campos de espın uno. La materia contenida en la brana exterior

tiene la ecuacion de estado p = (7 # 1)", cuya densidad evoluciona

como " + 3 aa7" = 0 con (4.13). Durante el Universo temprano, la ex-

pansion de las branas sigue la expresion (4.29), por tanto la brana

exterior evoluciona como

a22 + 1 =

(4(4)

3

"20

2a6%!22 5(5)

+#2

3a2

2 #M

m3(5)a

22

, (4.38)


o si la expresion es derivada con respecto a t se obtiene

2a2 = #(67 # 2)(4

(4)

3

"20

2a6%!12 5(5)

+ 2#2

3a2 + 2

M

m3(5)a

32

. (4.39)

Si durante este periodo, la brana exterior es dominada por materia,

el primer termino tenderıa a " a!5, si la brana esta dominada por

radiacion, el termino tenderıa a " a!7. En cualquier caso, durante

este periodo el primer termino dominarıa sobre los otros dos, indicando

que esta brana comienza con una aceleracion negativa suficientemente

grande, pero decrece su aceleracion lo suficientemente rapido conforme

evoluciona [11].

En la otra brana, la situacion es completamente diferente debido al

hecho de que la brana es permeada con un campo escalar, donde su

evolucion esta gobernada por la ecuacion (4.24). Durante la epoca en

donde la densidad es lo suficientemente grande, los dos ultimos termi-

nos del lado derecho de la ecuacion (4.24) pueden ser despreciados.

En la aproximacion de rodamiento lento esta ecuacion se reduce a

H2 *7

8)

3m2(4)

8V

#1 +

V

2#

$, (4.40)

& * # V $

3H. (4.41)

Donde V es el potencial del campo escalar. Por tanto, usando los

parametros de rodamiento lento se tiene

. * 2

(2(4)

'V $

V

(2 1 + V/#

(2 + V/#)2, (4.42)

/ 'm2

(4)

8)

'V $$

V

(2#

2# + V. (4.43)

si, por ejemplo, el potencial del campo escalar es una funcion expo-

nencial V = V0exp(#2((4)-), . esta dado por [50]


. * 222#

V. (4.44)

Durante este periodo V/# / 1 [51], por tanto . < 1 y la brana

infla mientras . " 1, esto es, mientras el potencial del campo escalar

alcanza Vfin " 222#. Si el potencial es V = 12m

2'-

2, el parametro de

rodamiento lento serıa

. " 8

(2(4)

1

-2

1 + V/#

(2 + V #)2=

m2Pl

)-2

1 + V/#

(2 + V/#)2, (4.45)

esto significa que si V / #, la inflacion termina cuando el campo esca-

lar tiene el valor -2 " 1*

$V m2

Pl. Para ambos potenciales, el interior de

la brana infla y colisiona con la exterior, calentando las branas rapida-

mente. El calor de las branas esencialmente depende de las constantes

de interaccion entre el campo escalar y la materia y por supuesto de la

velocidad de la colision. La inflacion en el interior de la brana de igual

manera hace crecer las fluctuaciones cuanticas del campo escalar, de

tal manera que despues de que inflacion termine, la brana interior con-

tiene un espectro de potenciales semiclasicos los cuales se convertiran

en las semillas para la formacion de estructura en la brana exterior.

Entre ambos regımenes, durante la colision de las branas la fısica de las

branas es tal como los modelos ekpyroticos [52]. Durante la colision, es

necesario tomar en cuenta los efectos de gravedad cuantica debido a la

interaccion de ambos espacios-tiempo. De las ecuaciones anteriores, se

observa que ambas branas se expanden siguiendo la misma dinamica.

El campo escalar alcanza su mınimo de potencial implicando que para

ese periodo el potencial del campo escalar se comporta como " -2.

El campo escalar en la brana interior induce pozos de potencial en la

exterior vıa interacciones gravitacionales, las cuales evolucionan como

materia oscura frıa (ver [1]).

b) El Campo Escalar como Materia Oscura.

Como se habıa explicado anteriormente, el campo escalar confinado


en la brana produce pozos de potencial a lo largo de toda la brana,

causado por el crecimiento extremo de las fluctuaciones del campo

escalar durante inflacion. En la brana exterior, la materia siente estos

pozos de potencial como una fuerza extra gravitacional, sin embar-

go esta no puede ser detectada mediante otra interaccion mas que

la gravitacional. De manera que podamos ajustar el modelo de ma-

terıa oscura escalar a observaciones galacticas y cosmologicas, la masa

del campo escalar medido en la brana exterior debe ser ultra-ligera

Msfdm " 10!22eV . Sin embargo, esta masa ultra-ligera causa proble-

mas de jerarquıa los cuales pueden ser resueltos mediante la prescrip-

cion de Randall-Sundrum [35]-[36]de la siguiente manera. El campo

escalar parte de la accion

Sinterior =

"d4x£sf =

"d4x

%#g

5gµ!-,µ-,! + m2

sf-26. (4.46)

Donde al usar coordenadas Gausianas normales para una metrica AdS

ds2 = e!2ky/µ!dxµdx! +dy2, la accion (4.46) en la brana exterior tiene

la forma

Sexterior =

"d4x

5/µ!-,µ-,! + m2

sf-26, (4.47)

donde se realizo la identificacion e.y- ( -, e!.ymsf = msfdm y

02 = "6M3

(5)conforme las dos branas se expanden juntas, y perma-

nece constante despues de la colision. Por tanto, con la prescripcion

anterior es suficiente que 0 " 82 para una masa de campo escalar

de msf " 5& 105M(5). Esto significa que observamos una masa ultra

ligera del campo escalar en la brana exterior mientras que en la brana

interior el campo escalar tiene una masa significativamente viable fısi-

camente. Aun mas, dicha masa ultra ligera, fija una distancia mınima

entre dichas branas.

Dicha masa ultra ligera significa que con un solo parametro libre en la

brana exterior este campo escalar se comporta como un campo escalar


de materia oscura [2], con las siguientes importantes implicaciones:

La masa ultra ligera del campo escalar se ajusta a:

1) La evolucion de las densidades de las componentes cosmologicas

[1].

2) Las curvas de rotacion en las galaxias [3] ası como los perfiles de

densidad en las galaxias LSB [4].

3) Con la masa del SF, la masa crıtica de colapso para un campo

escalar real serıa de 1012 M%, i.e., las observadas en halos de

galaxias [5].

4) El perfil de densidad central de la materia oscura es plano [4].

5) El campo escalar tiene un corte natural, de tal manera que la

subestructura en cumulos de galaxias es evitada naturalmente.

Con la masa del campo escalar de m' " 10!22eV la cantidad de

subestructura es compatible con las observaciones [6]

6) SFDM forma galaxias de manera mas temprana que el modelo

CDM, debido a que forman condensados de Bose-Einstein a una

temperatura crıtica de Tc / TeV . De tal manera que si el mo-

delo SFDM es correcto, se deberıan observar galaxias a grandes

redshifts.

4.2. Ventaja de los modelos Ekpyroticos o Cıcli-

cos sobre los modelos Inflacionarios.

Los modelos Ekpyroticos de branas genera soluciones practicas a los proble-

mas cosmologicos en los cuales es necesario introducir una expansion inflaciona-

ria. Algunas de las respuestas a dichos problemas seran mencionados a continua-

cion:

1. El origen de la materia. Una fraccion significante de la energıa cinetica

contenida en las branas en movimiento es convertida en energıa termica en


forma de radiacion en la brana visible, proveyendo del contenido de materia

que actualmente se observa en el Universo [52].

2. La homogeneidad e isotropıa en el Universo. Debido a que las branas

son (casi) paralelas ellas colisionaran (casi) al mismo tiempo en todos los

puntos, produciendo una densidad de energıa con una temperatura (casi)

constante, “ekpyrotic temperature”, por todo el Universo visible [52].

3. Planicidad espacial en el Universo. La planicidad espacial del Univer-

so se sigue de asumir branas inicialmente planas con densidad de energıa

cercana al vacıo [52].

4. Las semillas de la estructura a gran escala. Aunque las branas empie-

zan planas y paralelas, estas se someten a fluctuaciones cuanticas durante

su trayecto a traves de la quinta dimension. Debido a esto las branas tie-

nen “arrugas”, lo que genera que algunas partes colisionan mas temprano

o tarde en promedio obteniendo regiones mas frıas o calientes respectiva-

mente. Estas perturbaciones primordiales crecen para convertirse en las

anisotropıas de la radiacion cosmica de fondo y ser semillas de las estruc-

turas a gran escala que se observan actualmente. La adiabaticidad de las

perturbaciones es facil de comprender en este formalismo donde la distan-

cia entre estas branas aparece como un campo escalar. Se supone que el

ındice espectral es casi un variante escalar dado que dichas condiciones

cambian muy lentamente durante el movimiento de las branas a tarves de

la quinta dimension. En este formalismo existe un numero de parametros

libres cuya magnitud natural es difıcil de estimar, de tal manera que no es

claro como obtener naturalmente las correctas pequenas amplitudes para

las perturbaciones [52].

5. La ausencia de defectos topologicos. La produccion de reliquias no

deseadas es altamente suprimidas si la temperatura ekpyrotica es mas baja

que la escala de energıa a la cual dichas reliquias se producen. Cabe senalar,

que en contraste con los modelos inflacionarios, la temperatura del Universo


es en tiempo no superior a la temperatura ekpyrotica [52].

6. El problema de la singularidad. En los escenarios ekpyroticos, el Big

Bang es iniciado a alguna temperatura finita donde no existe singularidades

en la curvatura. Debido a que este tipo de escenarios surge de la teorıa-M

heteriotica, los teoremas de singularidades caracterısticos de la relatividad

general, la cual es una aproximacion de bajas energıas de la teorıa-M, no

necesariamente son aplicables. Sin embargo, los escenarios ekpyroticos no

incluyen una descripcion de lo que pasa antes del inicio del movimiento de

las branas. Cualquier modelo donde el tiempo no sea infinitamente exten-

dido hacia el pasado es por su puesto geodesicamente incompleto y por lo

tanto singular [52].

4.3. Branas con campo escalar de materia oscu-

ra: La perspectiva dinamica.

Como se habıa hecho enfasis anteriormente, la idea es asumir que la materia

oscura solo vive en la brana interior (brana oculta) y la unica manera en que

interacciona dicho campo con los campos del modelo estandar, es mediante la

gravedad [11]. Por esta razon, asumimos que no es posible la deteccion directa

de la materia oscura en nuestro Universo.

Basandonos en estas ideas, hemos enfocado dicha seccion en estudiar las cons-

tricciones topologicas y las perturbaciones escalares producidas por un campo

escalar real en la brana oculta con la finalidad de analizar esta clase de modelos

como formas alternativas de explicar el particular comportamiento de la materia

oscura. Para dar un orden a dichas ideas, hemos separado nuestro estudio en dos

puntos importantes.

El primero punto es continuar el trabajo de Garcia-Aspeitia y Matos [11],

donde se consideran dos branas concentricas esfericas inmersas en un fondo 5D

que ayuda a explicar el comportamiento de la materia oscura. Sin embargo, en

esta seccion nosotros solamente consideraremos una pequena region localmente


plana de dichas branas esfericas con la finalidad de obtener dos branas planas 3D

inmersas en un fondo 5D. La primera brana la consideraremos como la exterior o

visible (nuestro Universo), cuya fısica esta dictada mediante el modelo estandar

de partıculas y la otra, la conoceremos como la brana interior u oculta la cual

contiene un campo escalar real, cuya interaccion gravitacional producida por el

SF es interpretado como materia oscura (ver figura 4.2).

b0

Hidden Brane Visible Brane

Standard ModelScalar Field

Figura 4.2: Modelo de dos branas planas separadas por una distancia b0. La brana

oculta contiene un campo escalar y la brana visible (nuestro Universo) contiene

el modelo estandar de partıculas (Tomada de [12]).

De aquı se sigue que las interacciones entre las dos branas es unicamente

gravitacional debido a los pozos de potencial producidos por dichos campos en

las branas ası como por la topologıa sugerida.

Por otra parte, los campos de espın-0 o campos escalares mınimamente aco-

plado a la gravedad. Son buenos candidatos para ser materia oscura. Si escoge-

mos apropiadamente el potencial del campo escalar y fijamos su masa, es posible

asociar dicho campo de espın-0 con la materia oscura. Trabajos recientes (Por

ejemplo [1]) proponen un campo escalar real con potencial V (&) = m2!&2/2 como

candidato plausible para materia oscura. Sin embargo como se menciono ante-

riormente es necesario fijar una masa ultraligera para dichos bosones de aproxi-


madamente m! " 10!22eV de manera que se fije a observaciones cosmologicas.

Este modelo alternativo de materia oscura, es tambien conocido materia oscu-

ra de campo escalar [2], [6], materia oscura como condensado de Bose-Einstein

(BEC-DM ) [7]-[9], materia oscura bosonica ultraligera (ULBDM) [10] y cerca-

namente relacionado con materia oscura difusa (FDM pos sus siglas en ingles)

[53].

Bajo las hipotesis anteriores nos enfocaremos a estudiar la influencia del

SFDM en la brana oculta, ası como las constricciones debidas a la topologıa

de la quinta dimension.

Por otra parte, daremos estudio al segundo paso. En este nuevo marco, estu-

diaremos las perturbaciones producidas por el SFDM en la brana oculta. Para

realizar esto, consideraremos los siguientes detalles de dicha topologıa (ver figura

4.3):

Z2Z2

Hidden Brane

Scalar Field

Figura 4.3: Modelo para estudiar una sola brana (brana oculta), la cual contiene

un campo escalar. Se considera por simplicidad, la existencia de simetrıa Z2

(Tomada de [12]).

1. La brana oculta, contiene un campo escalar el cual produce las perturba-

ciones que influenciaran la dinamica de la brana visible a traves de la fuerza

gravitacional.


2. Por simplicidad, no existira interaccion gravitacional con la brana visible,

por tanto la unica contribucion a la dinamica de la brana oculta sera pro-

ducida por el fondo 5D y el SFDM. Es importante resaltar que la simetrıa

Z2 es impuesta en ambos lados de la brana oculta.

Este escenario previo, es util para estudiar las modificaciones en las pertur-

baciones escalares provistas por los mundos brana con un SFDM como fuente de

dichas perturbaciones. La razon es debida a que podemos reescribir las ecuacio-

nes de Einstein obteniendo contribuciones de segundo orden al tensor energıa-

momento ası como contribuciones no locales debidas al tensor de Weyl.

4.3.1. Ecuaciones de constriccion en un mundo brana cin-

co dimensional.

En esta seccion formularemos las ecuaciones basicas para el modelo previa-

mente descrito [54].

Empecemos escribiendo la accion cinco dimensional de las branas y el fondo

de la siguiente manera

S[xA, g(5)] = # 1

2(2(5)

"d5x

)#g(5)R(5) ±

,

i

"d5x

)#g(5)£i, (4.48)

donde g(5) es la metrica cinco dimensional, (5 es la constante gravitacional 5D,

R(5) es el escalar de Riccci 5D, £i corresponde al lagrangiano del campo escalar

para la brana oculta y el lagrangiano del modelo estandar para nuestro Universo.

En efecto, la ecuacion de Einstein puede ser escrita como:

GAB = (2(5)

1TAB|fondo + 9TAB|branas

3, (4.49)

donde A, B = 0, 1, 2, 3, 4. El tensor energıa momento para el fondo es TAB|fondo

y 9TAB|branas = TAB + TAB" es el tensor energıa-momento para la brana visible y

para la brana oculta respectivamente. Siguiendo la propuesta de Binetruy et al.

[54], es posible escribir una metrica plana 5D general como:


ds2 = #n2(t, y)dt2 + a2(t, y)$ijdxidxj + b2(t, y)dy2, (4.50)

donde n(t, y), a(t, y) y b(t, y) son funciones arbitrarias y y parametriza a la quinta

coordenada. De la misma manera, es posible escoger un tensor energıa-momento

nulo para el fondo TAB|fondo = 0 y se fija el tensor energıa momento para las

branas como

TAB =$(y)

bdiag(#", ,p, 0), (4.51)

TAB" =$(y # 1/2)

bdiag(#"", ,p", 0), (4.52)

donde " y p son la densidad de energıa y presion de la brana visible ası como "" y

p" la densidad de energıa y presion de la brana oculta. La brana visible esta fija

en y = 0 y la brana oculta en y = 1/2 del orbifol. Cabe senalar que la segunda

derivada de a satisface la siguiente ecuacion diferencial [54]

a$$ = [a$]0 ($(y)# $(y # 1/2)) + ([a$]0 + [a$]1/2)($(y # 1/2)# 1), (4.53)

donde 0 indica diferenciacion con respecto a la variable y, de la misma manera,

[a$]0 y [a$]1/2 denota el salto de a$ en ambas branas respectivamente.

Evaluando en el tensor de Einstein GAB (Apendice 1) mediante la ecuacion

(4.53), es posible de obtener las siguientes ecuaciones dinamicas.

[a$]0a0b0

= #(2

(5)

3", (4.54)

[a$]1/2

a1/2b1/2= #

(2(5)

3"", (4.55)

donde los subındices 0 y 1/2 para a, b significa que dichas funciones las tomamos

en y = 0 y y = 1/2 respectivamente. De la misma forma, evaluando (4.53) en

G00 obtenemos


[a$]0b0

= #[a$]1/2

b1/2. (4.56)

Si sustituimos las ecuaciones (4.54) y (4.55) en la ecuacion (4.56) obtenemos la

primera ecuacion de constriccion para las diferentes densidades de energıa en

ambas branas

a0" = #a1/2"". (4.57)

De manera analoga es posible encontrar una ecuacion similar para n. Por tanto

obtenemos la siguiente ecuacion de constriccion

(3p + 2")n0 = #(3p" + 2"")n1/2. (4.58)

Las ultimas ecuaciones, (4.57) y (4.58) son muy importantes para comprender la

relacion entre las ecuaciones de estado de la brana visible y la brana oculta.

A partir de aquı, se obtendra una expresion para calcular la ecuacion de estado

!" para la brana oculta y su relacion con la ecuacion de estado !". Escribamos

la solucion mas general para a(t, y) y n(t, y) de la siguiente manera

a(t, y) = a0(t)f(7|y|), (4.59)

n(t, y) = n0(t)f(µ|y|), (4.60)

donde f es una funcion arbitraria de |y|. En efecto, 7 y µ pueden ser expresadas

en terminos de las siguientes funciones [55]

7 = #b0(2(5)

""6A(|y|) , (4.61)

µ = b0(2(5)

""(2 + 3!")

6 2A(|y|), (4.62)

donde

A(|y|) =df(7|y|)d(7|y|) (4.63)


y

2A(|y|) =df(µ|y|)d(µ|y|) . (4.64)

Si usamos las ecuaciones (4.59) (4.60) en (4.57) y (4.58) es posible escribir a !

en terminos de !" como [55]

! =1

3

'(2 + 3!")

f(#7(2 + 3!")/2)

f(7/2)# 2

(, (4.65)

donde se ha introducido p = !" y p" = !""" y la relacion µ = #7(2 + 3!").

Esta ultima expresion relaciona los fluidos en la brana oculta con los fluidos de

la brana visible. Siguiendo la idea propuesta por Binetruy et al. [54], usaremos

la solucion de orden lineal

a(t, y) = a0(t)(1 + 7|y|), (4.66)

n(t, y) = n0(t)(1 + µ|y|), (4.67)

b(t, y) = b0, (4.68)

y A(|y|) = 1 para una solucion lineal [55]. Usando las ecuaciones (4.66) y (4.67)

en la ecuacion (4.65) se obtiene ! como

! =1

3

'(2 + 3!")

2 + b0H1/2(2 + 3!")

2# b0H1/2# 2

(, (4.69)

donde 7 = #b0H1/2 (el subındice 1/2 para H indica que la funcion es tomada en

y = 1/2).

Por tanto la ecuacion para " en terminos de "" esta dada por

" = #"(1# b0H1/2). (4.70)

Donde podemos obtener la presion de la brana visibe como p = !". La ecuacion

(4.69) relaciona ! con !" ası como la tasa de expansion H1/2 de la brana oculta.

Por otra parte, algunos autores han realizado estudios a escalas cosmologicas

y galacticas teniendo como conclusion que la hipotesis de SFDM [1]-[10], [15],[16]


es una idea prometedora para ser candidato a materia oscura ademas de ser una

buena alternativa al paradigma de CDM. Cabe senalar que en el modelo de

SFDM, es propuesto un potencial cuadratico o de forma de un coseno hiperboli-

co (ver por ejemplo [1], [2], [15]) con la finalidad de ajustarse a la dinamica

mostrada en el paradigma de CDM. Sin embargo en esta tesis, unicamente esta-

remos interesados en estudiar el potencial cuadratico [1] para un campo escalar

&" el cual vive en la brana oculta.

En efecto, empezaremos por escribir el potencial como

V (&") =1

2m2

!"&2", (4.71)

donde m!" es la masa del campo escalar. Muchos de los trabajos en esta lınea

sugieren una masa ultra-ligera para el campo escalar con la finalidad de ajustarse

a modelos realistas de formacion de estructura [16], con masas del orden de

m!" " 10!22eV . Con el potencial cuadratico (4.71) es posible escribir la densidad

de energıa y la presion asociada con este campo escalar en particular

"!" =1

2(&2

" + m2!"&

2"), p!" =

1

2(&2

" #m2!"&

2"), (4.72)

donde los puntos denotan derivadas con respecto al tiempo propio y !!" viene

dada de la forma

!!" =&2" #m2

!"&2"

&2" + m2

!"&2", (4.73)

relacionadas con "!" y p!" como p!" = !!""!". De la misma manera, el potencial

Newtoniano -" asociado con la densidad de energıa del campo escalar puede ser

escrito como

)2-" = 2)G(&2" + m2

!"&2"). (4.74)

Con la ayuda de las ecuaciones (4.69) y (4.70) es posible derivar algunas carac-

terısticas del campo escalar en la brana visible. Para realizar esto, usemos las

ecuaciones (4.72) y (4.73) de tal manera que podamos escribir la ecuacion de

estado de la brana visible como


!! =1

3

'$

2# b0H1/2$

2# b0H1/2# 2

(, (4.75)

donde

$ = 2 + 3&2" #m2

!"&2"

&2" + m2

!"&2", (4.76)

de la misma forma, "! y p! pueden ser escrita como

"! = #1

2(&2

" + m2!"&

2)(1# b0H1/2), (4.77)

p! = #1

6

'$

2# b0H1/2$

2# b0H1/2# 2

((&2

" + m2!"&

2")(1# b0H1/2). (4.78)

El potencial Newtoniano en la brana visible - cambia debido a la presencia de

la brana oculta como

)2- = #2)G(&2" + m2

!"&2")(1# b0H1/2). (4.79)

En un caso hipotetico en el cual nuestro Universo no se expande, H1/2 ( 0, es

posible observar que !!" = !!, "!" = #"!, p!" = #p! y )2-" = #)2-. Es

importante remarcar que las ecuaciones de una brana visible son similares a las

ecuaciones de una brana oculta. La diferencia radica en el signo del Laplaciano

ası como en la densidad y la presion y la cual es debida a la imposicion de la

simetrıa Z2 de mundos brana. Sin embargo, en general, el campo escalar en la

brana oculta esta relacionado con la evolucion de nuestro Universo ası como con

el comportamiento de la funcion b(t, y) en la quinta dimension.

En las siguientes secciones analizaremos las perturbaciones producidas por el

SFDM en la brana oculta.

4.3.2. Perturbaciones cosmologicas y ecuaciones de con-

servacion sobre la brana.

En esta subseccion, nos enfocaremos unicamente en el campo escalar conte-

nido en la brana oculta y obtendremos las perturbaciones producidas durante


el periodo inflacionario ası como las subsecuentes perturbaciones que se generan

a grandes escalas las cuales dan lugar a la formacion de estructura de nuestro

Universo (brana visible) vıa interacciones gravitacional con la brana oculta.

Comenzaremos escribiendo las perturbaciones escalares de las ecuaciones de

Einstein modificadas (C.17)-(C.20); por tanto, usaremos el tiempo conforme '

[17]-[56] con lo que la metrica perturbada se verıa de la forma

g00 = #a(')2(1 + 2-"(', ,x)), (4.80)

gij = a(')2$ij(1 + 2+"(', ,x)), (4.81)

donde a(') es el factor de escala, -"(', ,x) corresponde al potencial Newtoniano

y +"(', ,x) es la perturbacion a la curvatura espacial.

Por otra parte, las perturbaciones al tensor energıa- momento de materia en

la brana oculta puede ser escrito como:

T 00 = #("" + $""), (4.82)

T ji = (p" + $p")$

ji + $)j

"i, (4.83)

T j0 = ("" + p")v"i = #T 0

i , (4.84)

donde "" y p" son la densidad de energıa y presion no perturbadas respecti-

vamente. Aquı $"" y $p" son la densidad de energıa perturbada y la presion

perturbada respectivamente y $)j"i = $)j

";i # 13$

ji $)

k"k es el tensor sin traza de es-

fuerzo anisotropo perturbado, mientras que v"i es la cuatro velocidad del fluido.

Las perturbaciones al tensor energıa momento cuadratico es [57]

'00 = #""

12("" + 2$""), (4.85)

'0i =

""6

("" + p")v"i, (4.86)


'ji =

""12

''2p" + "" + 2

'1 +

p"""

($"" + 2$p"

($ji #

'1 +

3p"""

($)j

"i

(. (4.87)

Finalmente, los tensores de Weyl perturbados 0ji serıan

#000 = #(2

(4)("". + $"".), (4.88)

#00i = (2

(4)$q".;i, (4.89)

#0ij = #(2

(4)

%(p". + $p".)$

ji + $)j

".i

&, (4.90)

donde $q". = ("". +p".)v".. Dos de las ecuaciones de Einstein 5D son equivalentes

a las ecuaciones de conservacion y pueden ser escritas como

˙$"" + 3a

a($"" + $p")# 3+"("" + p") +)2$q" = 0, (4.91)

˙$q" + 4a

a$q" + 1i($p") + ($"" + $p")-"i = 0, (4.92)

donde · ' ddt es la diferenciacion conforme. Cabe senalar que la relacion entre

el tiempo conforme y el tiempo cosmologico esta dado por dd/ = a d

dt . Ahora

escribamos las perturbaciones de un campo escalar en general.

El tensor energıa-momento asociado con este campo escalar es Tij = &",i&",j#12(g

0)&",0&",)+2V (&")), por tanto, si perturbamos el campo escalar como &"(', ,x) =

&(0)" (')+ $&"(', ,x), obtenemos el tensor energıa-momento perturbado (donde los

superındices (0) denotan una cantidad no perturbada)

$T 00 = #a(')!2(&(0)

" $&" # -"&(0)2" )# V,!$&" = #$"", (4.93)

$T ji = a(')!2(&(0)

" $&" # -"&(0)2" )$j

i # V,!$&"$ji = #$p", (4.94)

$T 0i = #a(')!2(&(0)

" $&",i), (4.95)


donde hemos fijado $)j"i = 0 debido a que para un campo escalar se supone que

los efectos no locales debidos al tensor de Weyl son despreciable. Por otra parte,

el tensor energıa-momento cuadratico puede ser escrito como

$'00 = # 1

12(&(0)2

" + 2a2V (0))(a!2(&(0)" $&" # -"&

(0)2" )# V,!$&"), (4.96)

$'0i = # 1

12(&(0)2

" + 2a2V (0))(a!2(&(0)" $&",i)), (4.97)

$'ji = # 1

12

'3

4&(0)4" # a4V (0)2 + a2&(0)2

" V (0) + 2&(0)2" $"" + (&(0)2

" + 2a2V (0))$p"

($ji ,

(4.98)

por tanto la perturbacion a la proyeccion del tensor de Weyl es

$0!µ ' 0. (4.99)

Para obtener las perturbaciones a las ecuaciones de Klein-Gordon [58] es necesario

usar la ecuacion (4.91)

$&" + 2a

a˙$&" # -"&" # 3&"+" + a2V,!!$&" + 2a2-"V,! #)2$&" = 0. (4.100)

Por otra parte, las ecuaciones de campo perturbadas de Einstein pueden ser

escritas como

$G!µ + #(4)$

!µ = (2

(4)$T!µ + (4

(5)$'!µ. (4.101)

Usando el resultado de las ultimas ecuaciones (4.93)-(4.101), las ecuaciones de

campo pueden ser escritas en tiempo cosmologico (denotada por el subındice cero

&,0) como

6H(+",0 + H-")#2

a2)2+" # #(4) = #

'(2

(4) +1

12(4

(5)(&(0)2",0 + 2V (0))

(

(&(0)",0$&",0 # -"&

(0)2",0 + V,!$&"), (4.102)


2(H-" + +",0),i # a#(4) =

'(2

(4) +1

12(4

(5)(&(0)2",0 + 2V (0))

(&(0)",0$&",i, (4.103)

# 2

3a2(+" # -")

ji + #(4)$

ji = (2

(4)$Tji + (4

(5)$'ji , (i += j), (4.104)

2+",00 + 2H(-",0 + 2+",0) + 2(2H + H2)+" #2

3a2)2(+" # -") + #(4) =

(2(4)

1&(0)",0$&",0 # -"&

(0)2",0 # V,!$&"

3+

1

12(4

(5)[3

4&(0)4",0 # V (0)2 + &(0)2

",0 V (0)

+ 2&(0)2",0 (&(0)

",0$&",0 # -"&(0)2",0 + V!$&") + (&(0)2

",0 + 2V (0))(&(0)",0$&",0

# -"&(0)2",0 # V,!$&")]. (4.105)

Para la ecuacion de Klein-Gordon (4.100) en tiempo cosmologico se tiene

$&",00+2H$&",0#-",0&",0#3&",0+",0+V,!!$&"+2-"V,!#1

a2)2$&" = 0, (4.106)

siendo H el parametro de Hubble en tiempo cosmologico.

A partir de aquı escribiremos las ecuaciones perturbadas (4.102)-(4.106) en

el espacio de Fourier. Por tanto, es necesario definir las componentes de Fourier

$&(', xi) como

$&"(', xi) =

1

(2))3

"d3k$&"(k

i)exp(ikixi), (4.107)

donde ki es el numero de onda comovil [58]. Usando la ecuacion (4.107) es posible

escribir las ecuaciones de Einstein (4.102)-(4.106) en el espacio de Fourier como

#2&(0)",0$&"(k

i),0 = 2(3H&(0)",0$&"(k

i)# -"&(0)2",0 + V,!$&"(k

i)) +2

a2k2+", (4.108)

2+",0 = #2H-" + 2&(0)",0$&"(k), (4.109)

y la ecuacion (4.105), de la siguiente forma


2+",00 + 2H(-",0 + 2+",0) + 2(2H + H2)+" #2

3a2k2(+" # -") =

(2(4)

1&(0)",0$&"(k

i),0 # -"&(0)2",0 # V,!$&"(k

i)3

+1

24(

3

2&(0)2",0 # V (0) + 2(&(0)

",0$&"(ki),0 # -"&

(0)2",0 )&

72 +

&(0)2",0 # 2V (0)

&(0)2",0 + 2V (0)

8# V!$&"(k

i)), (4.110)

donde 2 y 4 estan definidas como

2 ' (2(4)

11 +

"!"

#

3, (4.111)

4 '7

(4(5)

12

81&(0)2",0 + 2V (0)

3= (2

(4)

"!"

#. (4.112)

Cabe senalar que es posible ver la ecuacion (4.104) como

# 2

3a2(+" # -")

ji = (4

(5)$'ji . (i += j) (4.113)

La ecuacion de Klein-Gordon (4.106) en el espacio de Fourier puede ser escrita

como

$&"(ki),00 + 2H$&"(k

i),0 +

'k2

a2+ V,!!

($&"(k

i) = -",0&(0)",0 + 3&(0)

",0+",0 # 2-"V,!,

(4.114)

donde por simplicidad hemos supuesto que no existe constante cosmologica (#(4) =

0) en la brana oculta.

4.3.3. Sistemas dinamicos con potencial escalar cuadrati-

co en la brana oculta.

En esta seccion, comenzaremos con el potencial mas simple para el SFDM

dado por la ecuacion (4.71). Por tanto, el sistema (4.108)-(4.114) lo transfor-


maremos a un sistema dinamico autonomo; donde es posible obtener soluciones

usando un codigo numerico.

Es importante mencionar, que antes de realizar los calculos pertinentes de las

ecuaciones perturbadas, es importante introducir las ecuaciones de Friedmann

para el sistema no perturbado en este codigo numerico de la siguiente manera

3H2 = (2(4)"!"

11 +

"!"

2#

3, (4.115)

y la ecuacion de Raychaudhuri como

2H = #(2(4)

11 +

"!"

#

3("!" + p!"). (4.116)

Ahora, definamos las siguientes variables adimensionales para un campo escalar

no perturbado

x ' ((4)

&(0)",0%6H

, u ' ((4)

%V%3H

= ((4)m!&(0)

"%6H

,

y ' (2(4)

"!"

3H2s ' m!

H,

H

H2' #3

2'. (4.117)

Usando las definiciones anteriores, es posible observar que #!!$ = 2(1!y)

y y ' =

21

2!yy

3x2. Por tanto, se obtiene el siguiente sistema adimensional autonomo

para un campo escalar no perturbado

x$ = #3x# su +3

2x', (4.118)

u$ = sx +3

2u', (4.119)

y$ = #6x2 + 3y', (4.120)

s$ =3

2's, (4.121)


siendo 0 la diferenciacion con respecto a los numeros de e-foliaciones N = ln(a),

por tanto ddt = H d

dN .

Por otra parte, para las ecuaciones perturbadas (4.108)-(4.114) es posible

definir las siguientes variables adimensionales

z1 '%

6((4)$&", l1 ' -", U ' #((4)%

6

V,!

H2,

x1 ' +", x2 '+",0H

, l2 '-",0H

, z2 '%

6((4)$&",0H

. (4.122)

Donde usando las variables adimensionales (4.122) es posible obtener un sistema

autonomo para las ecuaciones perturbadas de la siguiente manera

z$1 = 6l1x# (3x# U)z1

x# 2k2

a2

'yl1

x(2# y)

(s2

m2!"

, (4.123)

l$1 =

'2# y

2y

(xz1 # l1, (4.124)

l$2 = #l2 +

'3

2'# 2

(l2 + (3'# 1)l1 +

3

2y(3x2 # u2) +

1

2(1 + y)Uz1

+x(z2 # 6l1x)

'1

2+ y

'2 +

x2 # u2

x2 + u2

((, (4.125)

z$2 = z2

'3

2'# 2

(+ 12l1U + 24l2x#

7'sk

m! 1 a

(2

+ 1

8, (4.126)

donde hemos usado la condicion +" = -" ( x1 = l1, x2 = l2 debido a que

en el caso de un campo escalar la perturbacion a la curvatura y la funcion de

lapso coinciden. Adicionalmente, es conveniente definir el parametro de densidad

"!!' x2 y "V ' y2 las cuales seran importantes para los resultados numericos.

Ahora, resolvamos numericamente los sistemas dinamicos perturbados y no

perturbados a traves del metodo de Runge-Kutta-4. Las condiciones iniciales

para la integracion numerica de ambos sistemas dinamicos son tomadas de las


epocas inflacionarias cuando el factor de escala es a " 10!6 y el parametro de

Hubble es H " 1013GeV haciendo enfasis de que las condiciones anteriores son

solo para un potencial cuadratico con masa ultraligera (m! " 10!32GeV )

En esta subseccion mostraremos los resultados numericos para el sistema de

ecuaciones (4.118)-(4.121) asumiendo las dos condiciones iniciales siguientes en

el parametro de densidad ".

Primero tomemos "!!! 0.5 y "V ! 0.5 como condiciones iniciales. Es im-

portante notar que hemos asumido una metrica plana para a brana oculta, por

tanto "!!+ "V = 1 a todo tiempo.

!"

!"#$

!"#%

!"#&

!"#'

!(

("!&

("!)

("!%

("!*

("!$

("!(

(""

!"

+

!##,

!-

Figura 4.4: Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-

diciones iniciales "!!! 0.5 y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultraligera de

m! " 10!32GeV .

La figura 4.4 muestra la evolucion numerica para "!!y "V con las condiciones

iniciales previas. Como se puede observar, la parte cinetica decrece ("!!( 0)

conforme la brana oculta se expande (a ( 1), mientras que la energıa potencial

se convierte en la componente dominante ("V ( 1) cuando la brana oculta se

expande (a ( 1). Ahora asumamos que "!!! 1 y "V ! 0 como condiciones

iniciales.

De la misma manera, el resultado es mostrado en la figura 4.5. En este caso,

la energıa cinetica es dominante en la evolucion de la brana oculta mientras que


!"

!"#$

!"#%

!"#&

!"#'

!(

("!&

("!)

("!%

("!*

("!$

("!(

(""

!"

+

!##,

!-

Figura 4.5: Soluciones numericas para las ecuaciones (4.118)-(4.121) con con-

diciones iniciales "!!! 1 y "V ! 0 asumiendo una masa ultraligera de

m! " 10!32GeV .

la energıa potencial es cero, fısicamente este comportamiento es como considerar

partıcula libre.

Ambas soluciones numericas ( Fig 4.4.-Fig. 4.5) muestran una brana llena

de campos escalares ultraligeros con condiciones iniciales diferentes ("!!! 0.5,

"V ! 0.5 y "!!! 1, "V ! 0). Sin embargo, el calculo que nos dara infor-

macion acerca de las mejores condiciones iniciales para el comportamiento del

campo escalar como materia oscura sera dado por las evoluciones numericas de

las ecuaciones perturbadas.

A partir de este momento, resolveremos numericamente el sistema dinamico

(4.123)-(4.126) con un campo escalar de masa ultraligera. Asumiendo las mismas

condiciones en los parametros de densidad "!" ! 0.5 y "V ! 0.5 y escogiendo

como condiciones iniciales para las perturbaciones z1 ! 1& 10!1, l1 ! 1& 10!3,

l2 ! 1& 10!1, z2 ! 1& 10!4 y k = 10!3, las soluciones numericas para el sistema

son mostradas en la Figura 4.6 y en la Figura 4.7.

Donde solo se ha graficado la evolucion de z1 y l1 debido a que ellos estan

directamente relacionados con las perturbaciones escalares y el potencial Newto-

niano respectivamente. De dichas condiciones iniciales es posible observar que el


!"

!"#""$

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,

Figura 4.6: Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" ! 0.5

y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.

!"

!"#"$

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("!%

("!*

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(""

+(

,

Figura 4.7: Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" ! 0.5

y "V ! 0.5 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.


sistema perturbado mostrado en las figuras anteriores, no es conveniente debido

a que el campo escalar no se comporta como materia oscura en nuestra brana;

esto es debido a que la perturbacion escalar $&" y el potencial Newtoniano -"

domina cuando a " 10!6 y este decrece cuando a ( 1. Es importante recalcar

que la dominacion de las perturbaciones de materia oscura en nuestro Universo

sucede cuando a " 10!3. Por tanto, de las condiciones iniciales "!" ! 0.5 y

"V ! 0.5 es posible observar el crecimiento de las perturbaciones a edades muy

tempranas (a < 1& 10!5) el cual no coincide con las observaciones cosmologicas

en nuestra brana.

De la misma manera , para el caso cuando las condiciones iniciales del parame-

tro de densidad son "!" ! 1 y "V ! 0 ası como la eleccion de z1 ! 1 & 10!1,

l1 ! 1& 10!3, l2 ! 1& 10!1, z2 ! 1& 10!4 y k = 10!3, se obtiene las siguientes

soluciones numericas mostradas en la figura 4.8 y en la figura 4.9.

!!"

#"

#!"

#$"

#%"

#&"

#'"

!"!(

!"!'

!"!&

!"!%

!"!$

!"!!

!""

)!

*

Figura 4.8: Soluciones numericas para l1 con las condiciones iniciales "!" ! 1 y

"V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.

La dinamica observada para estos casos es mas interesante fısicamente que

la observada en las figuras 4.6 y 4.7 debido a que la dinamica inducida en la

brana visible es similar a los efectos de la materia oscura en el modelo estandar

cosmologico, esto es debido a que existe un crecimiento en las perturbaciones del

campo escalar $&" y el potencial Newtoniano -" (Fig. 4.8) en el rango a " 0.001


!!"#

!!##

!"#

$#

$"#

$!##

!#!%

!#!"

!#!&

!#!'

!#!(

!#!!

!##

)!

*

Figura 4.9: Soluciones numericas para z1 con las condiciones iniciales "!" ! 1 y

"V ! 0 asumiendo una masa ultra ligera m! " 10!32GeV para k = 10!3.

(epoca de dominacion de la materia oscura en nuestro Universo) a " 1. Por

tanto, si durante el Universo temprano en la brana oculta, la energıa cinetica

del campo escalar domina, las fluctuaciones del campo escalar de la brana oculta

se comportaran como materia oscura en nuestro Universo visible y ello podrıa

explicar la formacion de estructura a gran escala en nuestro Universo. Este ultimo

resultado sugiere que el campo escalar en la brana oculta podrıa imitar los efectos

de materia oscura a traves de su interaccion gravitacional. Sin embargo aun es

necesario un estudio mas exhaustivo acerca de las condiciones iniciales impuestas

en los casos perturbados y no perturbados de las ecuaciones dinamicas.

4.4. Huellas de branas en el CMB (Perspecti-

vas)

En esta seccion discutiremos los puntos principales para desarrollar CMB en

teorıa de branas; nos basaremos principalmente en los artıculos desarrollados por

Maartens [21], Leong et al. [72] y Koyama [65]. Se realizara un ejemplo en el cual

los efectos no locales debidos al tensor de Weyl son visibles y generan cambios


en las huellas del CMB a diferencia de los modelos anteriores en los cuales se

desprecian dichos efectos. Investigaciones posteriores se enfocaran en el desarrollo

de las ecuaciones respectivas para el CMB pero para el modelo propuesto en las

secciones anteriores.

Para las anisotropıas del CMB, uno necesita considerar las fuentes multi-

componentes [21]. Linealizando las expresiones que en forma general no son li-

neales para el tensor energıa-momento total efectivo, se obtiene

"tot = "

'1 +

"

2#+

"1

"

(, (4.127)

ptot = p +"

2#(2p + ") +

"1

3, (4.128)

qtotµ = qµ

11 +

"

#

3+ q1

µ, (4.129)

)totµ! = )µ!

'1# " + 3p

2#

(+ )1

µ! , (4.130)

donde

" =,

i

"(i), p =,

i

p(i), qµ =,

i

q(i)µ , (4.131)

son las densidades totales de materia y radiacion, presion y densidad de momento,

y )µ! es el esfuerzo anisotropico de los fotones (despreciando neutrinos, bariones

y SFDM como fuente de materia oscura). En la era de radiacion fuertemente

acoplada, las ecuaciones escalares perturbadas pueden ser desacopladas para dar

una ecuacion para el potencial gravitacional &, definida por la parte electrica del

tensor de Weyl en la brana [21]:

Eµ! = )[µ)!]&. (4.132)

En relatividad general, la ecuacion & no tiene un termino fuente, pero en los

mundos branas existe un termino fuente construido de )1µ! ası como sus derivadas


temporales. A bajas energıas (" . #), y para un fondo plano (K = 0), la ecuacion

es [72]

3x&$$k + 12&$k + x&k =const

#

#)1$$

k # 1

x)1$

k +

'2

x3# 3

x2+

1

x

()1

k

$, (4.133)

donde x = k/(aH), las primas denotan d/dx, y &k, )1k son los modos de Fourier

de & y )1µ! . En relatividad general el lado derecho de la ecuacion es cero, de

tal manera que la ecuacion puede ser resuelta para &k, donde las variables per-

turbativas restantes son la base para la integracion numerica del CMB. A altas

energıas, temprano en la era de radiacion, las ecuaciones desacopladas son de

cuarto orden y tienen la forma [21], [72]

729x2&$$$$k + 3888x&$$$k + (1782 + 54x2)&$$k + 144x&$k + (90 + x2)&k

= const

#243

')1

k

"

($$$$

# 810

x

')1

k

"

($$$

+18(135 + 2x2)

x2

')1

k

"

($$$

+const

##30(162 + x2)

x3

')1

k

"

($

+x4 + 30(162 + x2)

x4

')1

k

"

($. (4.134)

El formalismo y maquinaria esta lista para calcular la temperatura y anisotropıas

para la polarizacion en la cosmologıa de mundos brana Una solucion, o al menos

una aproximacion, esta dada para )1µ! . El resultado del espectro de potencias

revelara la naturaleza de las huellas de los mundos branas en las anisotropıas del

CMB, los cuales pudiesen proveer algunas constricciones o posibles predicciones

comprobables de los modelos de mundos brana [21].

Finalmente, cabe senalar que en posteriores trabajos, se desarrollaran estudios

de las huellas dejadas en el CMB debida al modelo de branas esfericas.


50

i.e., the matter on the regulator brane must have fine-tuned and negative energy density to prevent the regulator branefrom moving in the background. With these assumptions, and further assuming adiabatic perturbations for the matter,there is only one independent brane-world parameter, i.e., the parameter measuring dark radiation fluctuations:

!C! =!"E"rad

. (8.25)

FIG. 12: The CMB power spectrum with brane-world e!ects, encoded in the dark radiation fluctuation parameter !C! as aproportion of the large-scale curvature perturbation for matter (denoted "! in the plot). (From [104].)

This assumption has a remarkable consequence on large scales: the Weyl anisotropic stress !#E terms in the Sachs-Wolfe formula Eq. (6.78) cancel the entropy perturbation from dark radiation fluctuations, so that there is no di!erenceon the largest scales from the standard general relativity power spectrum. On small scales, beyond the first acousticpeak, the brane-world corrections are negligible. On scales up to the first acoustic peak, brane-world e!ects can besignificant, changing the height and the location of the first peak. These features are apparent in Fig. 12. However, itis not clear to what extent these features are general brane-world features (within the low-energy approximation), andto what extent they are consequences of the simple assumptions imposed on the background. Further work remainsto be done.

A related low-energy approximation, using the moduli space approximation, has been developed for certain 2-branemodels with bulk scalar field [105]. The e!ective gravitational action on the physical brane, in the Einstein frame, is

Se! =1

2$2

!d4x!"g

"R" 12%2

1 + 2%2(&')2 " 6

1 + 2%2(&()2 " V (', ()

#, (8.26)

where % is a coupling constant, and ' and ( are moduli fields (determined by the zero-mode of the bulk scalar fieldand the radion). Figure 13 shows how the CMB anisotropies are a!ected by the (-field.

IX. CONCLUSION

Simple brane-world models of RS type provide a rich phenomenology for exploring some of the ideas that areemerging from M theory. The higher-dimensional degrees of freedom for the gravitational field, and the confinement

Figura 4.10: Espectro de potencias del CMB con efectos del mundo brana, los

parametros de las fluctuaciones de radiacion oscura $C" (no confundir con energıa

oscura) forman parte de las perturbaciones a la curvatura a gran escala para la

materia (denotados en la grafica por %") (Figura obtenida de [65] )

Capıtulo 5

Consideraciones Topologicas a

Nivel Galactico.

...y espero que nuestros bisnietos me agradezcan no solo cuanto aquı he re-

cogido, sino aquello que he omitido deliberadamente para permitirles el placer de

encontrarlo.

Yo encuentro que la logica, sus silogismos y la mayorıa de sus preceptos son

utiles para comunicar lo que ya sabemos, o para discernimiento de lo que igno-

ramos, pero no para la investigacion de lo desconocido.

Rene Descartes

5.1. Correcciones de Mundos Brana para ULBDM.

El Contexto Galactico.

Como se habıa mencionado anteriormente una explicacion alternativa a la

materia oscura es provista por partıculas bosonicas en un condensado de Bose-

Einstein (BE). La condensacion de BE ha resultado interesante especialmente

en los modelos de partıculas de materia oscura ultra ligeras (ULBDM). Esto

es debido a que mientras la fraccion termica escala como radiacion (" a(t)!4),

la fraccion del BEC lo hace como materia (" a(t)!3), dando como resultado

86

CAPITULO 5. CONSIDERACIONES TOPOLOGICAS A NIVEL GALACTICO.87

la formacion de estructura a gran escala, aun si el modelo contiene partıculas

ultraligeras.

La propuesta de este modelo de branas a nivel galactico es la siguiente: Su-

pongamos la existencia de algunas especies de partıculas bosonicas en equilibrio

termodinamco local. En epocas tempranas, la temperatura del Universo era ex-

tremadamente alta, por tanto, el gas de bosones del ULBDM se encuentra en el

regimen relativista m/T << 1. Aun ası la estadıstica de Bose-Einstein permite

una transicion de fase a un estado condensado, cuya dinamica es descrita por la

siguiente distribucion de momentos

f(p) = n(d)bec$

3(p) +1/!3

e(E!µ)/Td # 1. (5.1)

Donde por simplicidad, es supuesto que el BEC ya esta formado cuando el gas

de bosones es desacoplado del bano termico. Por tanto, despues del desacople,

n(d)bec = nbec(t)a(t)!3 sera la densidad de numero de las partıculas en el estado

base, Td = T (t)a(t)!1 sera la temperatura, $3 es la distribucion delta de Dirac,

! es la constante de Planck y µ es el potencial quımico, cuya magnitud, bajo la

condensacion BE se aproxima a la masa de la partıcula µ ( m. Actualmente,

el termino singular es la firma del condensado de BE en el espacio fase. La

distribucion del momento describe el comportamiento coherente de una fraccion

de partıculas del BEC. La ausencia de la constante de Planck corresponde a

los grados de libertad internos en el primer termino, expresan la manifestacion

macroscopica de la fraccion condensada.

A partir de las consideraciones anteriores, estudiaremos el ULBDM a nivel

galactico con las correcciones provistas por teorıa de branas.

5.1.1. Ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volko! en la

brana.

En astrofısica, las ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volko! (TOV) [61]

dan constricciones a la estructura de un objeto esfericamente simetrico cuyo

contenido es un gas isotropo el cual esta en equilibrio gravitacional. Siguiendo


estas ideas, escribamos la metrica de un objeto esfericamente simetrico como [61]

ds2 = #e!(r)dt2 + e"(r)dr2 + r2(d*2 + sen2(*)d-2). (5.2)

cuya solucion del tensor Gµ! puede ser escrita como [61]

G00 = e!"

'1

r

d&

dr# 1

r2

(+

1

r2, (5.3)

Gji = e!"

'1

r

d5

dr+

1

r2

(# 1

r2. (5.4)

De manera similar, la ecuacion de conservacion no cambia )µTµ! = 0, debido a

que asumimos que el tensor energıa momento en el fondo es cero TAB = 0. Por

tanto

dP

dr= #(P + ")

2

d&

dr. (5.5)

Por otra parte, es una buena aproximacion usar simetrıa esferica para analizar

el comportamiento de los halos de ULBDM que se forman alrededor de objetos

esfericos como

dM(r)

dr= 4)r2"(r). (5.6)

Para simplificar el modelo, supongamos que las proyecciones en el tensor de

Weyl (efectos no locales) pueden ser despreciados 0µ! ! 0 y es posible realizar

la eleccion e!"(r) =%1# 2mG

r

&. Por otra parte, los efectos de la expansion del

Universo a escalas galacticas puede ser despreciado (#(4) " 0).

En efecto, usando las ecuaciones de Einstein modificadas (C.17)-(C.20) es

sencillo demostrar la ecuacion de TOV modificada como

d&

dr= 8)Gr

:P +

"

25(2P + ")

;, (5.7)

donde G es la constante de gravitacion de Newton, P y " la presion y densidad

del ULBDM respectivamente; ademas se supone que 2mG << r.


La ecuacion anterior (5.7) representa la ecuacion hidrodinamica de un gas (en

particular del ULBDM) en equilibrio gravitacional con las respectivas correccio-

nes cinco dimensionales provistas por los mundos brana. Cabe senalar que en el

lımite "/5 ( 0 la relatividad general es recuperada.

5.1.2. Materia oscura bosonica ultra ligera (ULBDM) a

escalas galacticas.

Como se enfatizo en el inicio de esta introduccion tomemos la hipotesis de

halo galactico formado por partıculas de ULBDM en equilibrio termodinamico y

en un estado BEC. Las variables termodinamicas son evaluadas hoy (a(t0) = 1))

y la dinamica se asume estacionaria. Por tanto, la densidad de numero total

puede ser calculada integrando la ecuacion (5.10) sobre todos los momentos, los

cuales en el lımite ultrarelativista tiene la solucion exacta

nB = nbec +%(3)T 3

)2, (5.8)

con %(3) ! 1,2. Este resultado define la densidad crıtica como:

Tc =

')2nB

%(3)

(1/3

, (5.9)

debajo de ella se espera que exista condensacion de BE. Se espera que la distribu-

cion de los momentos fısicos del BEC formen una funcion pico a momentum cero,

describiendo un sistema autogravitante. Por tanto, reemplacemos la distribucion

delta de Dirac en la ecuacion (5.1) por una distribucion de Maxwel-Boltzmann

fbec(p) =(2))3/2n0

#2c

exp

'# p2

2#2c

((5.10)

debido a que estamos interesados en la epoca actual y a escalas galacticas, como

primera aproximacion despreciaremos los terminos colisionales, lo que implica,

que el resultado dinamico es descrito de buena forma por la ecuacion de Vlasov

dfbec(p)/dt. Un punto clave en este analisis es que #c debe ser pequeno con la


finalidad de manifestar el termino singular en la distribucion de momentos. Por

tanto propongamos el siguiente ansatz:

#c = m#s. (5.11)

En el contexto galactico, aquı #s debe ser denominada como una constante

de velocidad de dispersion del ULBDM dentro de la galaxia (No confundir en

este caso con la tension de la brana). Ademas es posible suponer que la velocidad

de dispersion de la materia oscura es igual a la medida por los bariones en la

galaxia. Tomemos como ejemplo de referencia el valor #s = 510+165!95 km/s, medido

en la galaxia 1255 # 0 (a z " 2,186) por Dokkum et al. De igual manera es

posible observar que para mantener el orden de la forma de la singularidad de la

distribucion de momentos, dicho ansatz debe ser acompanado con una condicion

para la masa

m < #!1s . (5.12)

De acuerdo a la teorıa cinetica, la densidad de energıa del BEC esta definida

en terminos de la distribucion de momentos

"halo(p) =

"d3p

(2))3fbec(p) = mn0(r), (5.13)

Phalo(p) =1

3

"d3p

(2))3

p2

Efbec(p) =

n0(r)#2c

m. (5.14)

Con nuestro ansatz para #c, se obtiene el valor para la ecuacion de estado

!halo 'Phalo

"halo=

1#s

c

32

, (5.15)

donde hemos escrito explıcitamente la velocidad de la luz c. Donde la ecuacion

de estado es una medicion de la energıa cinetica en el halo.


5.1.3. Ecuaciones modificadas de TOV con halos com-

puestos por ULBDM.

En esta seccion, nos enfocaremos a combinar el modelo de ULBDM con las

ecuaciones modificadas de TOV provista por branas.

Por tanto usando dP/dr y "h!h ' Ph ası como las ecuaciones modificadas de

TOV, es posible escribir

!hd"

dr= #4)Gr

:!h +

"

25(2!h + 1)

;(!h + 1)"2, (5.16)

donde en este caso 5 es la tension de la brana y h ' halo. Integrando la ecuacion

anterior tenemos

r =1)

2)G(!h + 1)

#"0 # "

"0"+ 6ln

<<<<"(1 + 6"0)

"0(1 + 6")

<<<<

$1/2

, (5.17)

donde "0 es la densidad de energıa inicial en el nucleo del objeto en estudio y

6 '1

22h+122h"

3. Es importante mencionar que la ecuacion (5.17) es la solucion mas

general provista por teorıa de branas (Ver figura 5.1).

En lo que sigue realizaremos un analisis de los limites "/5 >> 1 y "/5 << 1

de la ecuacion (5.16) para observar el comportamiento a niveles de altas energıas

y bajas energıas.

*Terminos de bajas energıas. En el lımite ("/5 << 1), la teorıa general

de la relatividad es recuperada, por lo que integrando (5.16) es posible obtener

la solucion para "(r) en terminos de r como:

"(r) ="0

2)G(!h + 1)"0r2 + 1, (5.18)

donde por supuesto, se desprecia el termino de altas energıas. Por lo que se

obtiene una forma clasica (el termino clasico lo referimos a que los terminos de

teorıa de branas, son despreciados) relativista de el gas ULBDM con ecuacion de

estado !h = #2s .

Evidentemente, con la ecuacion (5.18) es posible obtener una expresion para

la velocidad de rotacion en galaxias con halos formados por ULBDM. Usando


3

4

rho(r)

4

r

30 1 2

1

0

2

Figura 5.1: Solucion numerica de la ecuacion (5.16); donde se muestran la solu-

cion numerica (lınea continua) y el campo de soluciones (flechas). La grafica es

generada en unidades arbitrarias con condiciones iniciales "0 = 2 para el nucleo

del objeto astrofısico.

V 2rot = rgtt,r

gtt= r d!

dr , es posible escribir

V (r)rot =r=1

1 + 12h

3 %r2

&2+ 1

8*G2h#0

, (5.19)

donde es supuesto una velocidad de rotacion isoterma.

Por otra parte, cabe senalar la comparacion entre la velocidad de rotacion

para una isoterma obtenida en este caso (5.19) y la velocidad de rotacion obtenida

por Navarro et al. [60] (Ver figura 5.2)

V (r)NFW =

0

8)G!

'"0

rs

(r

'1 +

r

rs

(!1

, (5.20)

donde la densidad de energıa para este caso, viene dada por "NFW = #rrs

(1+ rrs

)2

con rs el radio de escala.

*Terminos de altas energıas. En los terminos de altas energıas "/5 / 1

la integral puede ser facilmente resuelta y obtenida la densidad de energıa como


Figura 5.2: Velocidades de rotacion para las curvas isotermicas (5.19) y Navarro-

Frenk-White (5.20) en verde y rojo respectivamente. Las curvas de rotacion fue-

ron graficadas en unidades arbitrarias.

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25

! (

km

/s)

r(kpc)

Rotation velocity

56.4015 * x / sqrt(0.479485 * x**2 + 3.5117 )

Figura 5.3: Velocidades de rotacion de las isoterma (5.19) (lınea continua) y de

Navarro-Frenk-White (5.20) (lınea punteada) ası como un conjunto de velocida-

des de rotacion de galaxias escogidas al azar [13].


[13]

"(r) =

0!h5"2

0

2)G"20(2!

2h + 3!h + 1)r2 + !h5

, (5.21)

donde claramente !h = #2s . Se observa, que a altas energıas las correcciones en la

densidad de energıa decae como 1/r en comparacion con la densidad de energıa

obtenida por la relatividad general (5.18).

Como un parentesis, cabe senalar que la evidencia observacional genera cons-

tricciones a la tension de la brana de alrededor de 5 > (1MeV )4 [21] con la

finalidad de recuperar el exito de la relatividad general.

En efecto, la curva de rotacion 9V (r) provista por la densidad de energıa

mostrada en la ecuacion (5.21) puede ser escrita de la siguiente forma

9V (r) =r/

2(22h+32h+1)

2h(22h+1)

%( r

2)&2

+ "4*G(2h+1)#2

0

. (5.22)

De manera similar a la ecuacion (5.19), la ecuacion (5.22) reproduce de una

manera excelente una curva de rotacion isoterma, aun siendo que que la ecuacion

de densidad de energıa (5.21) no es una isoterma. Mas aun, es posible observar

diferencias notables en ambas curvas de rotacion debido a la presencia de la

tension de la brana ası como correcciones cuadraticas propias de una teorıa de

branas.

5.2. Analisis a nivel galactico con una ecuacion

de estado de la forma P = !"2 (Perspecti-

vas).

Diversos autores [77], [78] y [79], aseguran una ecuacion de estado para con-

densados de Bose-Einstein (BEC) de la forma

P =2)a!2

m3"2 (5.23)


donde a es la constante de dispersion y m es la masa del campo escalar en estudio

(cabe senalar que hemos recuperado la constante ! con la finalidad de ser mas

explıcitos). La ecuacion anterior (5.23), es equivalente a la ecuacion de estado

politropica de la forma

P = K"%, 7 = 1 +1

n, (5.24)

cuya constante politropica viene dada por K = 2)a!2/m3 e ındice politropico

n = 1.

Si se aplica la hipotesis anterior para la ecuacion modificada de Tolman-

Oppenheimer-Volko! (5.7) se tiene:

d&

dr= 8)Gr

#K +

(2K" + 1)

25

$"2. (5.25)

Por lo que la forma general para la ecuacion diferencial de la densidad serıa:

d"

dr= #2)Gr(" + K!1)

'K +

(2K" + 1)

25

("2. (5.26)

Cuya solucion general, dara el comportamiento de los perfiles de densidad para

BEC’s de materia oscura escalar con las correcciones producidas debido a teorıa

de branas (Ver figura 5.4).

Similarmente, es posible escribir una ecuacion caracterıstica para las veloci-

dades de rotacion como:

Vrot =

=rd&

dr=

0

8)G

#K +

(2K" + 1)

25

$r", (5.27)

donde depende explıcitamente de ", la cual es solucion de la ecuacion diferencial

(5.26) (Ver figura 5.4).

Finalmente, cabe senalar que trabajos mas detallados para el comportamiento

del BEC de la forma P = K"2 junto con las correcciones de altas dimensiones,

estan previstos en estudios posteriores.


Figura 5.4: Solucion numerica de la ecuacion (5.26); donde se muestran la so-

lucion general de la ecuacion diferencial (lınea continua) ası como su campo de

soluciones (flechas). La grafica es generada en unidades arbitrarias con condicio-

nes iniciales "0 = 1 para el nucleo del objeto astrofısico con las correcciones de

"2 para el BEC.

Capıtulo 6

Conclusiones y Expectativas.

Solo triunfa en el mundo quien se levanta y busca a las circunstancias y las

crea si no las encuentra.

Bernard Shaw.

6.1. Conclusiones en el Nivel Cosmologico.

Como es posible observar de los artıculos [11] y [12], modificaciones a la

topologıa global del Universo generan dinamica interesante y alternativa, cuyo

estudio puede dar respuesta de la forma topologica real de nuestro Universo a

grandes escalas, ası como del comportamiento de la materia y energıa oscura en el

mismo. Cabe senalar que es posible verificar este tipo de geometrıa en particular,

mediante un analisis del CMB debido a los terminos extras caracterısticos en las

nuevas ecuaciones de Friedmann.

Como se observo en el capıtulo IV el problema de la materia oscura puede ser

tratado sumando dos ingredientes: suponer que la materia oscura es un campo

escalar real debilmente acoplado con la gravedad y que dicho campo escalar ha-

bita la brana oculta. Dichos ingredientes, resolverıan el problema de la deteccion

directa de la materia oscura mediante procesos distintos al gravitatorio; ası co-

mo el problema de jerarquıa implıcito en la hipotesis de materia oscura escalar

(ver capitulo IV). De igual manera, estudios mas profundos acerca de las pertur-

97

CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y EXPECTATIVAS. 98

baciones escalares sugieren un buen comportamiento de dichas perturbaciones

producidas por el campo escalar a tiempos donde domina la materia oscura en

nuestro Universo [12]. A primera instancia, sugiere que las hipotesis propuestas

en esta tesis dan los resultados esperados. Sin embargo es necesario un estu-

dio mas detallado acerca de las perturbaciones primordiales con la intencion de

refutar o probar dichas hipotesis.

Finalmente cabe senalar que estudios posteriores, se enfocan en la obtencion

del espectro de anisotropıas del CMB considerando correcciones cuadraticas al

tensor energıa momento mas consideraciones topologicas como las propuestas en

los artıculos [11] y [59] despreciando los efectos no locales del tensor de Weyl que

generarıan radiacion oscura en las ecuaciones (4.133) y (4.134). Es importante

mencionar, que observaciones realizadas por el satelite Planck (2009-) confir-

marıan o refutarıan la existencia de huellas dejadas por las dimensiones extras

en la radiacion cosmica de fondo.

6.2. Conclusiones en el Nivel Galactico.

En el caso galactico, las huellas dejadas por las modificaciones causadas por

la propuesta de mundos brana, son fundamentales para el estudio de objetos

densos altamente energeticos compuestos en este caso de partıculas ultraligeras

ULBDM que se comportan como materia oscura [13] (SFDM, axiones, etc...).

Las caracterısticas provistas por teorıas de branas pueden generar cotas para la

tension de la brana 5 y un comportamiento dinamico distinto al predicho por la

teorıa general de la relatividad, el cual podrıa ser observado en dichos objetos

altamente energeticos en el Universo como los quasares.

Por otra parte, a bajas energıas, recuperamos automaticamente el exito pre-

dicho por la teorıa general de la relatividad obteniendo densidad isotermas que

reproducen las curvas de rotacion que se muestran en la literatura (Ver figura

5.2). Dicho resultado conlleva a un exito doble debido a que ademas las partıcu-

las ultraligeras que siguen una estadıstica de Bose-Einstein podrıan ser buenos

candidatos para ser la materia oscura en nuestro Universo.

CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y EXPECTATIVAS. 99

6.3. Conclusiones generales.

A lo largo de esta tesis, se ha discutido un nuevo modelo de mundos branas

propuesto en [11], [12] y [13] desde el punto de vista cosmologico ası como el

galactico. Se ha analizado la dinamica del Universo como consecuencia de la

topologıa propuesta, las perturbaciones escalares debidas al SFDM ası como la

dinamica a nivel galactico; sus consecuencias y posibles huellas que nos ayuden a

identificar la verdadera geometrıa del Universo ası como la verdadera naturaleza

de la materia oscura.

Cabe mencionar, que experimentos recientes realizados en el gran colisionador

de hadrones (LHC) han acotado y reducido las expectativas de que los WIMPS

creados por partıculas supersimetricas sean la fuente de materia oscura. Esto abre

la posibilidad de que candidatos como los campos escalares ultraligeros (SFDM)

se posicione como los mejores candidatos a materia oscura. Sin embargo SFDM

tiene problemas como la masa ultraligera necesaria para reproducir la dinamica

de nuestro Universo. Estos problemas, como se habıan mencionado anteriormente

pueden ser resueltos desde el punto de vista de dimensiones extras ayudando a

aliviar el problema de jerarquıa.

6.4. Expectativas.

Finalmente, como expectativas, se tiene contemplado desarrollar el estudio

de las anisotropıas en el CMB producidas por estos tipos de modelos y el analisis

mas detallado de las huellas dejadas por mundos branas a niveles galacticos

principalmente en objetos astrofisicos muy energeticos como quasares u otros.

Apendice A

Notacion y Convenciones

En lo que respecta al siguiente trabajo, usaremos el sistema de dimensiones

naturales donde la velocidad de la luz c, la constante de Planck ! y la constante de

Boltzmann k seran consideradas como 1 (c = ! = k = 1) excepto la constante de

la Gravitacion de Newton que tendra dimensiones de G = m!2p /8) donde mp es

la masa de Planck cuyo valor numerico en kilogramos es: mp ' 2,17671&10!8kg.

En caso de ser necesario, omitiremos las dimensiones naturales y utilizaremos el

sistema internacional (MKS) o el sistema CGS.

Cabe mencionar que en el sistema internacional tenemos las siguientes cons-

tantes importantes:

c ' 2,9979& 108ms!1, (A.1)

! ' 1,0545& 10!34Js, (A.2)

kB ' 1,3806& 10!23JK!1 (A.3)

G ' 6,6725& 10!11m3kg!1s!1. (A.4)

100

Apendice B

Ecuaciones de Einstein Cinco

Dimensionales.

El tensor de Einstein 5D GAB pude ser obtenido usando el elemento de lınea

cinco dimensional (4.50)

G00 = 3

>a

a

7a

a+

b

b

8# n2

b2

'a$$

a+

a$

a

'a$

a# b$

b

((?, (B.1)

Gij =a2

b2$ij

@a$

a

'a$

a+ 2

n$

n

(# b$

b

'n$

n+ 2

a$

a+ 2

a$$

a+

n$$

n

(A

+a2

n2$ij

>a

a

'# a

a+ 2

n

n

(# 2

a

a+

b

b

'#2

a

a+

n

n

(?

# $ija2b

n2b, (B.2)

G05 = 3

7n$

n

a

a+

a$

a

b

b# a$

a

8, (B.3)

G55 = 3

@a$

a

'a$

a+

n$

n

(# b2

n2

'a

a

'a

a# n

n

(+

a

a

(A, (B.4)

donde los puntos representan diferenciacion con respecto a t y las primas 0 son

diferenciacion con respecto a y.

101

Apendice C

Ecuaciones de Einstein sobre la

Brana.

En esta seccion se demostrara la modificacion de las ecuaciones de Einstein

cuando inducimos una variedad diferencial 4-dimensional (brana) dentro de una

variedad diferencial 5-dimensional (bulk) [29].

Denotemos un vector unitario n0 normal a una variedad diferencial M ası co-

mo una metrica inducida sobre la variedad qµ! = gµ! # nµn! . Iniciemos usando

la definicion de Gauss acerca del tensor de Riemman

(4)R0)%3 =(5) Rµ

!#$q0µq!

)q#%q

$3 + K0

% K)3 #K03 K)% , (C.1)

ası como la ecuacion de Codacci

DµK!µ #DµK =(5) R#$n

$q#µ, (C.2)

donde la curvatura extrınseca sobre la variedad M es denotada por Kµ! =

q0µq)

!)0n), K = Kµµ y Dµ es la derivada covariante con respecto a qµ! . Con-

trayendo la ecuacion de Gauss sobre 2 y 7 se tiene

(4)R!µ =(5) R#$q#µq

$! #(5) R0

)%3n0q)µn%q3

! + KKµ! #K0µ K!0, (C.3)

lo cual unido utilizando la parte geometrica de la ecuacion de Einstein se tiene

102

APENDICE C. ECUACIONES DE EINSTEIN SOBRE LA BRANA. 103

(4)Gµ! =

'(5)R#$ #

1

2g(5)

#$ R

(q#µq

$! +(5) R#$n

#n$qµ! + KKµ! #K#µK!#

# 1

2qµ!

%K2 #K0)K0)

&# Eµ! , (C.4)

donde

Eµ! '(5) R0)#$n0n#q)

µq$! . (C.5)

Si suponemos que la ecuacion de Einstein en 5D esta dada de la forma

(5)R0) #1

2g(5)

0)R = (25T0), (C.6)

y si usamos la descomposicion del tensor de Riemann en los tensores de Weyl y

Ricci se tendra

(5)Rµ0!) =2

3

1g(5)

µ[!R)]0 # g(5)0[!R)]µ

3# 1

6gµ[!g

(5))]0R +(5) Cµ0!), (C.7)

con ello es posible encontrar las ecuaciones 4-dimensionales de Einstein.

(4)Gµ! =2(2

5

3

'T#$q

#µq

$! +

'T#$n

#n$ # 1

4T #

#

(qµ!

(+ KKµ! #K$

µK!$

# 1

2qµ!

1K2 #K0)

0)

3# .µ! , (C.8)

donde

.µ! '(5) C0)#$n0n#q)

µq$! . (C.9)

De la ecuacion de Codacci (C.2) y la ecuacion de Einstein 5-dimensional se tiene

D!K!µ #DµK = (2

5T#$n$q#

µ. (C.10)

Por conveniencia, escojamos las coordenas 6 tal que la hipersuperficie 6 = 0

coincide con el mundo brana y nµdxµ = d6 lo cual implica


aµ = n!)!nµ = 0. (C.11)

Esta es una condicion sobre las coordenadas en las direcciones de las dimensiones

extras. Si asumimos la metrica 5-dimensional de la forma

ds2 = d62 + qµ!dxµdx! , (C.12)

y que el tensor energıa momento tenga la forma

Tµ! = ##gµ! + Sµ!$(6), (C.13)

donde Sµ! = #5qµ! + Tµ! con Tµ!n! = 0.

Por otra parte es posible hacer uso de las condiciones de Israel de la forma:

[qµ! ] = 0, (C.14)

[Kµ! ] = #(25

'Sµ! #

1

3qµ!S

(, (C.15)

donde [X] := lim,&+0X#lim,&!0X = X+#X!. Con la finalidad de simplificar

el problema, propongamos simetrıa de espejo Z2 por lo que a partir de (C.15) es

posible obtener

K+µ! = #K!

µ! = #1

2(2

5

'Sµ! #

1

3qµ!S

(. (C.16)

Si aplicamos la relacion anterior en la ecuacion (C.8) finalmente se tienen:

(4)Gµ! = ##4qµ! + 8)GNTµ! + (45'µ! # .µ! , (C.17)

donde

#4 =1

2(2

5

'# +

1

6(2

552

(, (C.18)

GN =(4

55

48), (C.19)


'µ! = #1

4Tµ0T0

! +1

12TTµ! +

1

8qµ!T0)T0) # 1

24qµ!T

2. (C.20)

Las cuales son conocidas como ecuaciones de Einstein modificadas sobre una

brana inmersa en un espacio cinco dimensional.

Artículos y Memorias realizados durante la estancia de doctorado.

1. Artículo “The Universe Dynamics form Topological Considerations” Autores: Miguel Ángel García-Aspeitia y Tonatiuh Matos. Publicado en la revista “General Relativity and Gravitation” GERG. Journal: 10714, Article No: 1093, Ms Code: GERG-D-10-00271.0. Editorial: Springer. Vol: 43, Num 1. Disponible en: arXiv:0906.3278v3 [gr-qc] 2010. 2. Artículo “Branes Filled by a Scalar Field Dark Matter: The Dynamical Perspective.” Autores: Miguel Angel García-Aspeitia, Juan Magaña y Tonatiuh Matos. En refereo para “General Relativity and Gravitation” Disponible en: arXiv: 1102.0825v1 [gr-qc] 2011. 3. Artículo “Braneworld Corrections of the Ultra Light Bosonic Dark Matter. The Galactic Context” Autor: Miguel Angel García-Aspeitia y Ivan Rodriguez Montoya. En proceso. MEMORIAS 1. Proceeding AIP Conf. Proc. 1241, 876 (2010). “Cosmic Acceleration from Topological Considerations” para el American Institute of Physics AIP para las memorias del congreso “Invisible Universe” celebrado en París Francia. Autores: Miguel Ángel García Aspeitia y Tonatiuh Matos. Editores: Jean-Michel Alimi, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France ; André Füzfa, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France. http://scitation.aip.org/proceedings/confproceed/1241.jsp 2. Proceeding AIP Conf. Proc. 1241, 1221 (2010) “Ultra Light Bosonic Dark Matter and CMB” para el American Institute of Physics AIP para las memorias del congreso “Invisible Universe” celebrado en París Francia. Autores: Ivan Rodriguez Montoya, Tonatiuh Matos y Miguel Ángel García Aspeitia. Editores: Jean-Michel Alimi, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France ; André Füzfa, Laboratory Universe and Theories, Observatory of Meudon, Meudon, France. http://scitation.aip.org/proceedings/confproceed/1241.jsp 3. Proceeding para AIP Conf. Proc. 1256, 275 (2010). “Primordial Perturbations Produced by a Self Interacting Scalar Field in the Braneworld: The Dynamical Systems Perspective.” para las memorias del congreso VIII Mexican School on Gravitation and Mathematical Physics “Speakable and Unspeakable in gravitational physics” Playa del Carme, Quintana Roo, México 2009. Autores: Miguel A. García Aspeitia, Juan Aldebaran Magaña, Tonatiuh Matos, Pablo A. Rodriguez. Editor: Luis A. Ureña.

4. En proceso Proceeding “Cosmic Acceleration from Topological Considerations” para el World Scientific, Singapore, para las memorias del congreso “Twelfth Marcel Grossman Meeting” celebrado en París Francia. Autores: Miguel Ángel García Aspeitia, Tonatiuh Matos e Ivan Rodriguez Montoya. 5. En proceso Proceeding “Scalar Field Dark Matter from Two Concentric Spherical Branes Universe” para el congreso 6th edition of the International Workshop on Dark Matter DSU celebrado en Leon Guanajuato. Autores: Tonatiuh Matos and Miguel A. García Aspeitia. 6. Proceeding para AIP Conf. Proc. 1318, 224 (2010). Titulado “Cosmic Braneworld and Ultra Light Bosonic Dark Matter” para el congreso celebrado en el Colegio Nacional. Autores: Ivan Rodriguez Montoya, Miguel A. García-Aspeitia, Juan Magaña and Tonatiuh Matos.

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