u2. continuidad y equivalencias topológicas

Topología General Unidad 2. Continuidad y equivalencias topológicas

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 1

Licenciatura en matemáticas

9° cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Topología General

Unidad 2. Continuidad y equivalencias

topológicas

Clave:

050930933



Índice

Unidad 2.Continuidad y equivalencias topológicas............................................................. 3

Presentación de la unidad .................................................................................................. 3

Propósitos de la unidad...................................................................................................... 3

Competencia específica ..................................................................................................... 4

2.1. Continuidad ................................................................................................................. 4

2.1.1. Definición topológica de continuidad 4

Actividad 1. Identificación de funciones continuas ............................................................ 10

2.1.2.Ejemplos de funciones continuas 10

2.2. Homeomorfismos y propiedades topológicas ............................................................ 14

2.2.1. Homeomorfismos y espacios equivalentes 14

Actividad 2. Visualización de funciones continuas ............................................................ 20

2.2.2.Propiedades topológicas 20

Actividad 3. Propiedades topológicas ............................................................................... 22

Autoevaluación ................................................................................................................ 22

Evidencia de aprendizaje. Distinguir espacios ................................................................. 22

Autorreflexiones ............................................................................................................... 23

Cierre de la unidad ........................................................................................................... 23

Para saber más ............................................................................................................... 24

Fuentes de consulta ......................................................................................................... 24



Unidad 2.Continuidad y equivalencias topológicas

Presentación de la unidad

Hasta este momento has estudiado varios conceptos relacionados con los espacios topológicos

y sus subconjuntos (subespacios). Ahora es necesario estudiar funciones entre tales espacios.

Las funciones que naturalmente se asocian con los espacios topológicos son las funciones

continuas. El concepto de continuidad es uno de los más importantes en topología.

Recuerda que una topología en un conjunto es una estructura que establece una noción de

“cercanía” o “proximidad” en el conjunto. Las funciones continuas entre espacios topológicos

son las que preservan la cercanía, es decir, son las que envían puntos que están cerca en un

espacio a puntos cercanos en el otro.

En la sección 2.1.1 recordarás la definición de continuidad que has visto en nuestros cursos de

Cálculo y a partir de ella construirás una definición topológica de función continua, es decir, una

definición que no dependa de las distancias entre puntos.

En la sección 2.1.2 se te presentan varios resultados sobre continuidad y ejemplos de

funciones continuas.

Una función continua y biyectiva cuya inversa es también continua se llama homeomorfismo.

Tales funciones establecen la principal noción de equivalencia topológica. Hay ciertas

propiedades de los espacios topológicos que son preservadas por los homeomorfismos, a estas

propiedades se les llama propiedades topológicas y sirven para distinguir espacios topológicos.

En la sección 2.2.1 introduciremos a los homeomorfismos y veremos algunos ejemplos de ellos

y de espacios homeomorfos.

En la sección 2.2.2 definiremos qué es una propiedad topológica y presentaremos ejemplos que

muestran cómo usarlas para distinguir espacios topológicos.

Propósitos de la unidad

Al finalizar el estudio de la unidad dos:

Sabrás la definición topológica de continuidad y la de homeomorfismo.

Utilizaras la definición topológica de continuidad para decidir si una función es continua o

no.

Visualizaras funciones continuas y homeomorfismos.

Establecerás homeomorfismos entre espacios topológicos equivalentes.

Identificarás qué es una propiedad topológica.



Competencia específica

Analizar el concepto de Homeomorfismo entre Espacios Topológicos para establecer las

propiedades que distinguen, en casos sencillos, si dos Espacios Topológicos son equivalentes o

no, utilizando las propiedades topológicas.

2.1. Continuidad

La continuidad es un concepto que ya hemos estudiado en los cursos de Cálculo. Sin embargo

en esos cursos se estudió desde el punto de vista métrico, utilizando en la definición el

concepto de distancia entre puntos y en espacios euclidianos exclusivamente.

Sin embargo, el concepto de continuidad es un concepto topológico. Esto significa que para

definir continuidad no hace falta hablar de distancias, se puede definir utilizando el concepto de

conjunto abierto y no se puede definir sin este concepto (o sus equivalentes, como conjunto

cerrado). Además, si uno tiene dos conjuntos, A y B, es equivalente decir cuales funciones

entre A y B son continuas a definir una topología en A y otra en B. Es por esto que el concepto

de continuidad es central en topología.

2.1.1. Definición topológica de continuidad

El primer acercamiento que tuviste al concepto de continuidad se dio en los cursos de Cálculo

o Análisis, centrado en funciones de la línea real a ella misma. Una definición típica de

continuidad en esos cursos es la siguiente:

Definición 2.1.Una función es continua si para todo y para todo existe

una tal que si | | entonces | | .

En otras palabras; la función es continua si para cada y podemos encontrar una de

modo que si está suficientemente cerca de ( cerca) entonces está cerca de (

cerca). A ésta, se le suele llamar la definición de continuidad. Es importante notar que

en esta definición se usa el concepto de distancia entre dos puntos para hablar de cercanía.

Otra definición de continuidad, que es más general porque puede usarse para funciones que

van de un espacio topológico a otro, o más bien, se aplica en espacios donde el concepto de

distancia posiblemente no esté definido.

Definición 2.2. Sean y espacios topológicos. Una función es continua si

es abierto en siempre que sea abierto en .



A ésta última se le conoce como la definición topológica de continuidad. En palabras simples

dice que es continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es un conjunto abierto.

Con esta definición la idea de cercanía está expresada en términos de conjuntos abiertos: dos

puntos son “cercanos” si están en un conjunto abierto.

Vamos a hacer una pausa para explicar el concepto de imagen inversa de un conjunto bajo

una función con el propósito de entender la definición topológica de continuidad.

La imagen que viene a nuestra cabeza cuando nos hablan de la función es la de una

recta de pendiente 2 que pasa por el origen (Ilustración 1).

Ilustración 1. Gráfica de , tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer

Verlag.

Sin embargo, podemos visualizar a de acuerdo a la forma en que transforma la recta real.

Piensa en lo siguiente: si evaluamos en un número, el resultado es otro número dos veces

más grande; , , . Si le damos el intervalo [ ], nos devuelve el

intervalo [ ]. Lo que está haciendo la función a la recta real es estirarla por un factor 2.

Podemos imaginar la acción de como nos muestra la Ilustración 2.

Ilustración 2. La acción de , tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer

Verlag.

De la misma forma, | | “dobla” la recta real a la mitad (Ilustración 3).

Ilustración 3. La acción de | |, tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer

Verlag.

Ahora piensa que es la función que dobla un rectángulo a la mitad (mira la Ilustración 4). Se

puede ejemplificar el concepto de imagen inversa de un conjunto bajo una función utilizando a

la función .



Ilustración 4. La función dobla un rectángulo a la mitad, tomada de Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces.

New York: Springer Verlag.

La imagen inversa está definida para cualquier subconjunto de la imagen de la función y

consiste del conjunto de puntos que bajo caen en .

Si es el disco que se muestra en la parte derecha de la Ilustración 4, la imagen inversa de

denotada por son los dos discos de la izquierda. Nota que en este contexto no es

una función.

Un punto dibujado en la parte baja del rectángulo de la derecha tiene una vecindad que es

un medio disco y es abierto relativo al rectángulo de la derecha. es un disco completo en

el rectángulo de la izquierda y es abierto en tal rectángulo.

Formalmente se define la imagen inversa como:

Definición 2.3. Sea una función y un punto en la imagen de . Definimos la

imagen inversa de denotada por , como el conjunto . Más aún: dado

un subconjunto de definimos , la imagen inversa de , como el conjunto

.

Ejemplo. Si se define con la regla de correspondencia , entonces

[ ] [ √ √ ] y [ ] [ √ ] [ √ ].

Aprovechando la pausa, se define otro concepto relacionado con la imagen inversa: la imagen

directa. Este concepto está definido para subconjuntos del dominio de una función.

Formalmente se define como sigue:

Definición 2.4 Sea una función y un subconjunto de . Se define la imagen directa

de bajo como el conjunto (Ilustración 5).



Ilustración 5. La imagen directa de bajo , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to

topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplos.

Para definida por tenemos ([ √ √ ]) [ ] y ([ √ ])

([ √ ]) [ ].

Para , el conjunto es la imagen directa del dominio de y es lo que se

conoce como imagen o rango de .

Observaciones 2.5. Las siguientes son algunas propiedades de la imagen inversa y de la

imagen directa que usaremos más adelante. Estas propiedades pueden ser verificadas a partir

de la definición con nociones básicas de teoría de conjuntos.

Sea una función, y . Entonces:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

Aquí terminamos con la pausa para explicar el concepto de imagen inversa e imagen directa.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Veamos ahora que la definición topológica de continuidad es equivalente a la definición

de continuidad en el caso de funciones .

Como primer paso traduciremos la definición de continuidad al lenguaje de conjuntos

abiertos.

Afirmación 2.6. es continua según la definición de continuidad si y solo si para

todo y todo conjunto abierto tal que , existe una vecindad de tal que

(Ilustración 6).

En esta traducción, el conjunto abierto juega el rol del intervalo definido por la desigualdad

| | en la definición de continuidad y el conjunto abierto juega el rol del

intervalo definido por | | .



Ilustración 6. Para todo , existe tal que , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009).

Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ahora, veamos que la traducción de la Afirmación 2. es equivalente a la definición topológica de

continuidad.

Teorema 2.7. Una función es continua según la definición topológica de continuidad si

y solo si para todo y todo conjunto abierto tal que , existe una vecindad de

tal que .

Prueba: Primero supón que es continua (según la definición topológica). Sea y

un conjunto abierto en tal que . Tenemos que probar que existe una vecindad de

tal que . Proponemos . Definido de esta forma, es abierto en porque

es continua. Además . Con esto vemos que cumple lo que queremos.

Ahora supongamos que para todo y todo conjunto abierto tal que , existe una

vecindad de tal que . Probaremos que es abierto en para todo abierto

en . Sea un conjunto abierto en . Para mostrar que es abierto mostraremos que

todo es un punto interior. Sea , entonces . Como es abierto

en , por hipótesis tenemos que existe una vecindad de tal que . Esto es lo

mismo que decir que . Hasta aquí tenemos que para todo , existe una

vecindad de tal que . Por lo tanto, cualquier es punto interior de

, así que es abierto y es continua según la definición topológica, como se

quería mostrar.

El siguiente es un resultado muy útil.

Teorema 2.8. Sean y funciones continuas. Entonces la composición

es continua.

Prueba: Supongamos que y son continuas y sea un conjunto abierto en . Entonces

. Como es continua, es abierto en y como es continua,



es abierto en . Tenemos entonces que es abierto en para todo

abierto en y por lo tanto es continua.

Una definición alternativa de continuidad se puede dar usando conjuntos cerrados, la

equivalencia es fácil de probar y proponemos que se realice como ejercicio.

Teorema 2.9.Sean y espacios topológicos. Una función es continua si y solo si

es cerrado en para todo cerrado en .

La definición topológica de continuidad es muy fácil de enunciar. Pero no se ve claramente por

qué decimos que las funciones continuas preservan la cercanía o proximidad.

El siguiente teorema nos da la idea de que las funciones continuas envían puntos que están

cerca en un espacio a puntos cercanos en el otro. (Recuerda que los puntos que están en la

cerradura de un conjunto son los que están “cerca” del conjunto).

Teorema 2.10.Sea una función continua y . Si entonces

. (Ilustración 7).

Prueba: Supongamos que es continua. Sea y . Vamos probar que si

entonces (esto es equivalente a lo que afirma el teorema). Como

existe un conjunto abierto que contiene a y que no interseca a . Se

sigue de esto que es un conjunto abierto que contiene a y que no interseca a . Por lo

tanto , como queríamos probar.

Ilustración 7. Si es continua, manda puntos cercanos a puntos cercanos, tomada de Adams, C., Franzosa,

R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplo. En la Ilustración 8 podrás observar el ejemplo de una función que no es continua. La

función corta un rectángulo en dos y los separa. Observa que una sucesión de puntos

convergente a un punto , se mapea en una sucesión de puntos cuyo límite ha quedado

alejado.



Ilustración 8. Si no es continua, puede mandar puntos cercanos a puntos lejanos, tomada de Kinsey, C.

(1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

Actividad 1. Identificación de funciones continuas

En esta actividad identificarás una función continua que se utilice en la vida cotidiana. La

describirás y argumentarás por qué es continua.

1. Identifica una situación de la vida cotidiana en la que se utilice una función continua.

2. Ingresa en el foro y realiza lo siguiente:

a) Describe en qué consiste la función.

b) Menciona en que momentos de tu vida cotidiana utilizas la función que describiste.

c) Explica brevemente por qué es continua.

3. La función que describes debe ser distinta a las que hayan descrito tus compañeros en

el foro.

4. Lee las descripciones de tus compañeros. Comenta al menos una de ellas, diciendo si

la función descrita es continua o no.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección

Material de apoyo.

2.1.2. Ejemplos de funciones continuas

Ejemplo Sea y con las topologías indicadas en la Ilustración 9. Sean

definidas por:



Ilustración 9. Funciones de X a Y, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India:

Pearson Prentice Hall.

La función es continua. Esto puede ser verificado directamente calculando la imagen inversa

de cada conjunto abierto de y observando que es un conjunto abierto en . De la misma

forma puede verse que la función es continua. Sin embargo, no es continua porque es

abierto en pero no es abierto en .

Ejemplo. Sea un espacio topológico. La función identidad definida por es

continua. La razón de esto es que para todo , así que si es abierto

también lo es.

Ejemplo. Sean y espacios topológicos y sea . La función constante se

define por para todo . Consideremos un conjunto abierto en ; si

o bien si . En ambos casos es abierto en y por lo tanto es

continua.

Importante: Puede pensarse que es la regla de correspondencia de una función lo que

determina su continuidad o discontinuidad. Pero no es así, la topología del dominio y

contradominio de la función son muy importantes también. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sea un conjunto. A partir de podemos formar los siguientes dos espacios

topológicos. El primero es , que resulta de darle a la topología discreta (recuerda que la

topología discreta es en la que cualquier subconjunto de es abierto). El segundo es ,

resultado de darle a la topología indiscreta (que es la que solo tiene dos elementos: y ).

Ahora considera la función

Nota que esta función sería la función identidad si y fueran el mismo espacio topológico y

está definida por la misma regla de correspondencia que la función del ejemplo 2.15. Sin

embargo está función no es continua porque el conjunto para cualquier es abierto en

y no es abierto en .

El ejemplo anterior muestra que al hablar de continuidadde una función hay que tener cuidado

de especificar cuál topología le estamos dando al dominio y al contradominio de la función.



Ejemplo Sea un espacio topológico y un subespacio de . La función inclusión

dada por es una función continua. Por supuesto se está considerando a con la

topología de subespacio. Si se toma un conjunto abierto entonces y

es abierto en por la definición de la topología de subespacio en . De hecho, la topología de

subespacio es la topología más pequeña (la que tiene menos elementos) en la que la función

inclusión es continua.

Importante: la definición de función continua dice que para que sea continua debe

pasar que la imagen inversa de todo abierto en es un conjunto abierto en . Sin embargo, no

hace falta verificar esto para todo abierto en . El siguiente resultado nos dice que para probar

que es continua basta verificar que la imagen inversa de los elementos de una base de

la topología de son abiertos en . Esto es de gran ayuda porque restringe los conjuntos

abiertos para los que debemos calcular su imagen inversa cuando queremos probar la

continuidad de una función.

Teorema 2.11. Sean y dos espacios topológicos y una base para la topología de .

Entonces es una función continua si y solo si es abierto en para todo .

Prueba: Supongamos que es continua. Entonces es abierto en para todo

abierto en . Como los elementos de la base son abiertos en , se cumple que es

abierto en para todo .

Ahora supón que es abierto en para todo . Se mostrará que es continua. Sea

un conjunto abierto en . Entonces es unión de elementos de la base, es decir ⋃ .

Entonces, ⋃ ⋃ . Como se asumió que cada conjunto es

abierto en se tiene que su unión también es un conjunto abierto. Por lo tanto es un

conjunto abierto para todo conjunto abierto en y esto nos dice que es continua.

Se utiliza el teorema anterior en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Las funciones y son todas funciones continuas de

en (con su topología estándar). ¿Por qué? Consideremos el intervalo con . Este

intervalo es un elemento típico de la base de la topología estándar de . Se tiene que:

( ) ,

( ) (

),

( ) {

( √ √ )⋃(√ √ )

( √ √ )



En todos los casos, la imagen inversa de un elemento de la base arbitrario es un conjunto

abierto. Esto nos dice que las tres funciones son continuas.

Ejemplo. La multiplicación es una función continua. Es decir, la función dada por

es continua. Para ver esto, tomemos un elemento de la base de la topología del

rango de la función . Su imagen inversa es el subconjunto de

( )

Este conjunto consiste en los puntos que están entre las hipérbolas y (sin

incluirlas). Un ejemplo donde y son positivos se muestra en la Ilustración 10.

Ilustración 10. La imagen inversa con y positivos, tomada de

Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Intuitivamente es claro que ( ) es un conjunto abierto de . Para probarlo podemos

mostrar que para cada punto ( ), hay un cuadro abierto centrado en y

contenido en ( )(Observa la Ilustración 10). Tomando y

tal que | |, | | y sean menores que

, tenemos que

( ).

La suma es otra función continua y puede demostrarse esta afirmación como ejercicio.

Combinando la continuidad de la multiplicación y la de la suma obtenemos el siguiente

resultado:

Teorema 2.12. Sea con su topología estándar. Entonces toda función polinomial ,

dada por es continua.



Puede probarse con la definición topológica de continuidad y resultados que se desprenden de

ella, que las funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son continuas

en los dominios en los que están definidas.

Importante: Una función continua no necesariamente envía conjuntos abiertos a conjuntos

abiertos. Por ejemplo, la función dada por es continua, pero la imagen

directa del conjunto abierto es [ , que no es abierto.

En la siguiente sección veremos que las funciones continuas que mandan abiertos a abiertos

son muy importantes en topología, pues establecen la noción básica de equivalencia topológica.

2.2. Homeomorfismos y propiedades topológicas

En esta sección se define a los homeomorfismos. Los homeomorfismos son funciones entre

espacios topológicos que nos proveen de la más fundamental noción de equivalencia

topológica. Tales funciones preservan todas las propiedades que le da una topología a un

conjunto porque definen una correspondencia entre los puntos y entre los conjuntos abiertos de

dos espacios topológicos.

Las propiedades preservadas por los homeomorfismos reciben el nombre de propiedades

topológicas. Dos espacios homeomorfos o equivalentes comparten estas propiedades. Si

encontramos una propiedad topológica que no compartan dos espacios podemos afirmar que

no son equivalentes, en otras palabras, que son distintos desde el punto de vista de la

topología.

2.2.1. Homeomorfismos y espacios equivalentes

Se inicia con la definición de homeomorfismo.

Definición 2.13. Sean y espacios topológicos. Un homeomorfismo es una función

biyectiva con inversa de modo que y son continuas. Si existe un

homeomorfismo entre y decimos que y son homeomorfos o topológicamente

equivalentes y denotamos esta relación con .

Sea una función biyectiva. Para que sea continua debe pasar que

(la imagen inversa de bajo ) sea abierto en para todo abierto en . Como

es una función biyectiva para todo . Entonces debe ser abierto

en para todo abierto en . Por lo tanto, decir que es continua cuando es una

biyección es lo mismo que decir que la imagen directa bajo de conjuntos abiertos es un

conjunto abierto. Por lo mismo, decir que es continua cuando es biyectiva es equivalente a

decir que la imagen directa bajo de un conjunto abierto es un conjunto abierto. Mira la



Ilustración 11Ilustración 11. Un homeomorfismo es una correspondencia biunívoca entre

conjuntos abiertos

Ilustración 11. Un homeomorfismo es una correspondencia biunívoca entre conjuntos abiertos, tomada de


Una forma coloquial de decir que es un homeomorfismo es la siguiente:

es un homeomorfismo si es una biyección entre los puntos y entre los conjuntos abiertos.

Cada punto de queda emparejado con uno de sin que sobren puntos en . Además, a cada

conjunto abierto de le corresponde un único conjunto abierto en sin que sobren conjuntos

abiertos en .

Si recuerdas que una topología en un conjunto es la colección de subconjuntos abiertos, podrás

darte cuenta de que un homeomorfismo es una biyección entre espacios topológicos que

preserva la estructura topológica dada por las topologías de cada espacio.

Ejemplo. Sea y dos espacios topológicos con las topologías que se

muestran en la Ilustración 12. Defínase por . Entonces es

un homeomorfismo porque es una biyección entre los elementos y entre los conjuntos abiertos

de y .

Ilustración 12. Un homeomorfismo entre y , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to


Ejemplo. Las dos topologías en el conjunto de tres puntos que se muestran en la

Ilustración 13 son diferentes como colecciones de subconjuntos de pero son topológicamente

equivalentes porque la función definida por es un

homeomorfismo.



Ilustración 13. Dos topologías equivalentes en , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009).

Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Ejemplo. Sea dada por . Esta función es biyectiva y su inversa está

dada por

. Como ambas funciones son polinomios en , ambas son continuas y

por lo tanto es un homeomorfismo.

La acción de sobre la recta es estirarla por factor tres y moverla a la derecha una unidad.

Como es de esperarse, esta acción no modifica las propiedades topológicas de la recta.

Afirmaciones 2.14.

Las siguientes afirmaciones sobre los homeomorfismos implican que la equivalencia topológica

es una relación de equivalencia en la colección de todos los espacios topológicos. Estas

afirmaciones pueden ser fácilmente demostradas y se dejan como ejercicio.

i. La función , definida por es un homeomorfismo.

ii. Si es un homeomorfismo, entonces también lo es.

iii. Si y son homeomorfismos, entonces también lo es la composición

.

Ejemplo. Consideremos al intervalo con la topología estándar (la que hereda de ).

Defina la función como

| |. La gráfica de esta función se muestra en la

Ilustración 14. Intuitivamente, podemos ver en la gráfica de la función que es una biyección

entre y y la imagen inversa bajo y de intervalos abiertos son intervalos abiertos.

Entonces y son continuas y por lo tanto son homeomorfismos entre y . Con este

ejemplo se ve que y son el mismo espacio topológicamente hablando, es decir, son

indistinguibles para la topología.

Ilustración 14. Homeomorfismo entre y , tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to




Ejemplo. es homeomorfo a cualquier intervalo abierto , no solo a . Es más,

consideremos las siguientes colecciones de intervalos con la topología que heredan de y con

y números reales arbitrarios con :

(i) Intervalos abiertos: , , , ,

(ii) Intervalos cerrados y acotados: [ ],

(iii) Intervalos semi-abiertos e intervalos cerrados no acotados: [ , ], ], [ .

Cada una de las colecciones consta de espacios topológicos equivalentes, es decir, todos los

intervalos abiertos son homeomorfos, todos los intervalos cerrados y acotados son

homeomorfos y todos los intervalos de la familia (iii) son homeomorfos. Más que eso, dos

intervalos que pertenezcan a distintas familias no son homeomorfos. A continuación vamos a

ilustrar algunos homeomorfismos entre intervalos de la misma familia y en la unidad 3

estaremos en posibilidades de probar que dos intervalos de distinta familia no son

homeomorfos.

Para los intervalos de la familia (i). La función dada por es un

homeomorfismo. Entonces, es homeomorfo a cualquier intervalo de la forma . Como ser

homeomorfos es una relación de equivalencia entonces cualquier intervalo de la forma es

homeomorfo a cualquier otro de la forma . Un homeomorfismo entre los intervalos y

es la función lineal dada por . Así, tenemos que

cualesquiera dos intervalos de la forma son homeomorfos entre sí y homeomorfos a

(porque ya sabíamos que el intervalo (-1,1) es homeomorfo a ). Por todo lo anterior podemos

concluir que todos los intervalos de la familia (i) son homeomorfos.

La gráfica del homeomorfismo se muestra en la parte izquierda de la Ilustración 15. El

homeomorfismo es como el de la parte central de la Ilustración 15 pero con dominio en

lugar de [ ].

Para los intervalos de la familia (ii). El homeomorfismo [ ] [ ] dado por

(casi igual que el del párrafo anterior, la diferencia es el dominio e imagen) sirve

para mostrar que todos los intervalos cerrados y acotados son homeomorfos al intervalo [0,1] y

por lo tanto todos los intervalos cerrados y acotados son homeomorfos. Ver parte central de la

Ilustración 15.

Ilustración 15. Homeomorfismos entre intervalos, tomada de Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to




Finalmente, para los intervalos de la familia (iii). La función [ ] dada por

, es un homeomorfismo entre los intervalos [ y ], así que

cualesquiera de estos intervalos son homeomorfos ¿Puedes encontrar un homeomorfismo

entre los intervalos [ ] y [ y otro entre los intervalos ] y ] con ?

Combinando estos homeomorfismos y podemos probar que todos los intervalos de la familia

(iii) son homeomorfos.

Ejemplo. Considera el intervalo [ y el círculo unitario en con las topologías que les

heredan y respectivamente. Denotaremos con al punto en con ángulo , medido

desde la parte positiva del eje en sentido anti-horario. Sea [ definida por

, como se ve en la Ilustración 16. es biyectiva y nos preguntamos si es continua.

Calculemos la imagen inversa de un elemento de la base de la topología de . Un elemento de

tal base se puede expresar como . Vamos a considerar

dos casos para : si o si ( es el punto correspondiente al ángulo . Si

entonces es un intervalo abierto [ . Si entonces es de la

forma [ . En ambos casos es un conjunto abierto en [ . Entonces es

continua.

Pero ¿es continua? Tenemos que el intervalo [

es abierto en [ pero

([

) [

no es abierto en . Entonces no es continua y por lo tanto no

es un homeomorfismo.

De hecho, no hay homeomorfismos entre estos dos espacios porque no son topológicamente

equivalentes. En la unidad 3 podremos probar esta afirmación usando la propiedad topológica

conexidad por trayectorias.

Ilustración 16. Una función biyectiva y continua de [ a que no es un homeomorfismo, tomada de


Ejemplo. El plano con su topología estándar es homeomorfo al semiplano abierto (derecho)

y al disco abierto } ( y con la

topología que heredan de ). Mira la Ilustración 17.



Ilustración 17. El plano es homeomorfo a medio plano abierto y al disco abierto, tomada de Adams, C.,

Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

La función dada por es un homeomorfismo entre y . Esta

función envía líneas verticales a líneas verticales y la acción que tiene sobre el plano es la

siguiente:

La imagen de la mitad izquierda del plano es la franja en dada por .

El eje va a la línea .

La mitad derecha del plano es enviada a la región en en la que .

La función definida en coordenadas polares por

es un

homeomorfismo entre y el disco abierto. Esta función contrae todo el plano radialmente

hasta que coincide con el disco abierto .

Ejemplo. La superficie de un cubo es homeomorfo a la esfera , tal como se muestra en la

Ilustración 18. Si imaginamos que ambos, el cubo y la esfera están centrados en el origen del

espacio , entonces la función definida por

| | es un homeomorfismo.

Notemos que es un punto a distancia 1 del origen y por lo tanto está en . Lo que hace la

función es proyectar cada punto en la superficie del cubo radialmente hasta que cae en la

esfera. En la Ilustración 18 podemos ver que también los abiertos de se mapean

biyectivamente en los abiertos de .

Ilustración 18. La superficie de un cubo y la esfera son homeomorfos, tomada de Adams, C., Franzosa, R.

(2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.



Actividad 2. Visualización de funciones continuas

A través de esta actividad, analizarás dos espacios topológicos, describirás un par de

funciones continuas entre ellos y analizarás si son o no homeomorfos. Para ello:

1. Descarga el documento “Act.2. Visualización de funciones continuas”

2. Sigue las instrucciones que se plantean en el documento descargable.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTGE_U2_A2_XXYZ.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

* Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se

tomarán en cuenta para su revisión

2.2.2. Propiedades topológicas

Hay ciertas propiedades de los espacios topológicas que se conservan al aplicarles un

homeomorfismo y hay otras que se pierden. Las propiedades que se conservan bajo

homeomorfismos son muy útiles para distinguir espacios y reciben el nombre de propiedades

topológicas. Su definición formal es la siguiente:

Definición 2.15. Una propiedad es una propiedad topológica si y solo si siempre que el

espacio tiene la propiedad y el espacio es homeomorfo a entonces también tiene la

propiedad .

¿Por qué son tan útiles las propiedades topológicas? En la sección pasada revisaste ejemplos

de espacios homeomorfos y se probó que son homeomorfos mostrando un homeomorfismo

entre ellos. Sin embargo, en los ejemplos donde había espacios no homeomorfos tuvimos que

dejar la prueba de ello para la unidad tres. Esto se debe a que, con las herramientas que

tenemos hasta ahora, si quisiéramos probar que dos espacios no son homeomorfos

tendríamos que probar que ninguna de las funciones que se pueden definir entre los espacios

es un homeomorfismo. Esto es muy difícil, imagina considerar todas las funciones entre dos

espacios, ¡son demasiadas!. Es aquí donde entran las propiedades topológicas a facilitarnos las

cosas. Supón que sabemos que una cierta propiedad es topológica. Entonces si dos espacios

son homeomorfos, ambos deben tener la propiedad . Pero si descubrimos que alguno de los

espacios no tiene la propiedad y el otro sí la tiene podremos asegurar que los espacios no

son homeomorfos. Esta es una vía mucho más sencilla de probar que dos espacios no son

homeomorfos.



La conexidad por trayectorias y la compacidad son ejemplos de propiedades topológicas. En la

siguiente unidad las estudiaremos a detalle. Por lo pronto, en el siguiente ejemplo se muestra

una propiedad que no es topológica: la de ser acotado. Se define como sigue:

Definición 2.16. Sea . es acotado si para algún . Esto es, A es

acotado si está contenido en una bola suficientemente grande.

Ejemplo. Sea y sea

ambos con la topología que les hereda . Nota que es una copia de metida en . Sea

un punto en la esfera. Afirmamos que es homeomorfo a . Coloquialmente se

dice que la esfera agujerada es homeomorfa al plano.

Para mostrar que son homeomorfos definimos la siguiente función conocida como proyección

estereográfica. Colocamos la esfera sobre el plano de modo que se toquen en el polo sur de la

esfera y el punto quede ubicado en el polo norte (Ilustración 19). Para cada , la recta

que pasa por y por toca al plano en un único punto. Definimos como el punto donde

dicha recta toca al plano.

Ilustración 19. Proyección estereográfica

Se puede obtener una regla de correspondencia para la proyección estereográfica utilizando

trigonometría básica. De la imagen resulta claro que es una biyección entre

los puntos y entre los conjuntos abiertos de la esfera agujerada y el plano. Entonces estos dos

espacios son homeomorfos.

Nota que la esfera es acotada y el plano no es acotado. Esto nos dice que ser acotado no es

una propiedad topológica.

Observa también que la propiedad de ser acotado involucra distancias, por lo que era de

esperarse que no fuera propiedad topológica.



Autoevaluación

Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Distinguir espacios

En esta actividad clasificarás espacios topológicos en grupos de espacios topológicamente

equivalentes. Describirás homeomorfismos entre los espacios equivalentes y encontraras

diferencias entre los no homeomorfos.

Actividad 3. Propiedades topológicas

En esta actividad clasificarás propiedades de espacios topológicos en dos grupos: las

propiedades topológicas y propiedades no topológicas.

Instrucciones:

1. Considera las siguientes propiedades de un espacio topológico:

a) Ser acotado b) Ser conexo

c) Ser homeomorfo a la esfera d) Tener 3 elementos e) Tener un ángulo de 90 grados f) Ser un cubo

2. Clasifica las propiedades en dos grupos:

Grupo A: las que son topológicas

Grupo B: las que no son topológicas.

3. Argumenta por qué no son topológicas las propiedades del grupo B.

4. Describe brevemente en qué consisten las propiedades del grupo A.

5. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTGE_U2_A3_XXYZ.

6. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión



Instrucciones:

1. Descarga el archivo “EA. Distinguir espacios”

2. Sigue las instrucciones que se detallan en el documento descargable.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MTGE_U2_EA_XXYZ.

4. Envía tu documento al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu

Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva

versión de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será

evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio

correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también

se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

Hemos terminado la unidad 2. En esta parte del curso estudiamos a las funciones continuas y a

los homeomorfismos.

Las funciones continuas son la clase de funciones que se definen naturalmente entre espacios

topológicos. El concepto de continuidad está íntimamente relacionado con la topología de un

espacio.

Los homeomorfismos son funciones continuas y biyectivas cuya inversa es continua. Si hay un

homeomorfismo entre dos espacios decimos que son homeomorfos. Los espacios

homeomorfos son iguales para la topología. Un homeomorfismo es una forma de pasar de un

espacio a otro sin cambiar su “forma topológica” porque son correspondencias biyectivas entre

los abiertos de un espacio y los del otro.

Recordaras que las áreas de las matemáticas se pueden describir en términos de los objetos

que estudian, las funciones que se definen en esos objetos y las propiedades que se preservan

bajo la aplicación de tales funciones. Hasta ahora hemos estudiado, en el caso de la topología,

los objetos (espacios topológicos) y las funciones (funciones continuas). Además al final de esta

unidad introdujimos la definición de las propiedades que se preservan bajo homeomorfismos



(propiedades topológicas). En la siguiente unidad estudiaremos a detalle dos propiedades

topológicas: la conexidad por trayectorias y la compacidad.

Recuerda consultar con el facilitador si tienes dudas. La autoevaluación de la unidad te servirá

para darte cuenta si has comprendido o no los conceptos más importantes de la unidad.

Para saber más

Puedes encontrar algunos juegos topológicos en la página web de Jeff Weeks:

http://www.geometrygames.org/

Puedes consultar las notas de topología básica escritas por A. Hatcher en la página

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Top/TopNotes.pdf

Puedes consultar el libro de Análisis de Carlos Ivorra. Los primeros dos capítulos son sobre

topología. http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Analisis.pdf

Fuentes de consulta

Básica:


Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

Complementaria:

Munkres, J. R. (2002).Topología. Madrid: Pearson Educación.

García-Maynez, A., Tamariz, A. (1998). Topología General. México: Porrúa.

Prieto, C. (2003). Topología Básica. México: Fondo de Cultura Económica.

Ilustraciones:

Las ilustraciones 1-4, 8 y 19 fueron tomadas del libro Kinsey, C. Topology of surfaces

El resto, se tomaron del libro Adams, C., Franzosa, R. Introduction to topology.

http://www.geometrygames.org/

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Top/TopNotes.pdf

http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Analisis.pdf

u2. continuidad y equivalencias topológicas

Education