dinámica de rotación(ejercicios)

Ejercicios de dinmica de rotacin 1

Ejercicios de Dinmica de Rotacin:

1.- Un peso de 12 lbf cuelga de una cuerda enrollada en un tambor de 2 pies de radio,giratorio alrededor de un eje fijo O. La aceleracin angular del tambor es de: 3 rad

s2

a) Calcular la aceleracin del peso de 12 [lbf]b)Tensin en la cuerda.c) Par de fuerzas que recibe el tambord) Momento de Inercia del tambor.Resolucin:a R a 3 2 6 pie

s2

a partir de la ecuacin: mg T ma T mg ma T 12 1232.174 6 9. 762 2 T R 9. 762 2 2 19. 524lbf pie I 19. 524 I 3, Solution is: I 6. 508slug pie2

..........................................................................................................................................................2.- Un volante tiene un momento de inercia de 12 slug pie2 y pesa 100 lbf Est

acelerndose a la razn constante de 2 rads2

.La masa del volante se supone que estconcentrada en la llanta.

Calcular : el radio de giro ; dimetro, par resultante que recibe el volante, tiempo que tarda elvolante en alcanzar una velocidad de 10 rads

I FR fit

I 12 2 24lbf pie fit 2 100t , Solution is: t 5s

I mk2 12 10032.174 k2, Solution is: k 1. 964 9 (radio de giro)2 1. 964 9 3. 929 8(dimetro)....................................................................................................................................................3.- Una rueda tiene 12 [cm] de de radio, una masa de 2.000 g y un momento de inercia de

105 g cm2 y rueda en una superficie plana con una velocidad lineal de 15 cms Calcular : conqu velocidad se mueve el eje ; la velocidad angular del eje ;la energa cintica de traslacin ; laenerga cintica de rotacin con respecto al eje ;la cantidad de movimiento lineal ; la cantidad demovimiento angular con relacin al eje.

R 12cm v 15 cmsm 2000g

I 105g cm2

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resolucin:v R 15 12 1512 1. 25 rads rapidez angular

EcT 12 mv2 Ec 12 2000 152 225 000 ergEcR 12 I2 EcR 12 105 1. 252 82. 031ergp mv p 2000 15 30000g cms

L I L 105 1. 25 131. 25 g cm2s

..........................................................................................................................................................4.- Un hombre se encuentra en una plataforma giratoria, montada en en chumaceras sin

friccin, que describe 6 [rad/s] . La energa cintica de rotacin del hombre ms la plataformavale 18 pie[lbf]

Cunto vale el momento de inercia del conjunto hombre plataforma ?Cuando el hombre extiende sus brazos su velocidad angular desciende a 3 [rad/s] . Calcular

la cantidad de movimiento angular del conjunto en estas condiciones.ECR 12 I2 18 12 I 62 I 1slug pie2

L I L 1 6 6 slug pie2s es la cantidad de movimiento angular antes de que elhombre extienda los brazos , por conservacin de la Cant. de Movimiento, este valor semantiene, y lo que cambia es el momento de Inercia.

..........................................................................................................................................................5.- Un volante tiene un momento de inercia de 100 slug pie2 y un radio de giro de 4 pie,

estando sujeto a un momento de 8 lbf pie.Calcular su masa ; su peso ; aceleracin angular ; el tiempo necesario para que se produzca

un cambio de velocidad angular de 10 rads I F R

I m RGI m RG2 100 m 42 m 254 6. 25slug

200 lbf ; 0,08 rad/s2 ; 125 [s]....................................................................................................................................................6.- Un disco homogneo , que tiene una masa de 2 [kg] y un radio de 10 [cm], gira con

respecto a su eje geomtrico a 200 [rpm]. Calcular la fuerza constante que aplicadatangencialmente a la llanta, detenga al disco en 40 [s]

200rpm 200 260 203 20. 944 rads

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F F R I I 12 mR2 I

Fit

I 12 mR2 I 12 2 0. 102 0. 01kg m2

Fit 020. 94440 0. 523 6 rads2 I 0. 01 0. 523 6 5. 236 103N

F R 5. 236 103 F 10, Solution is: F 5. 236 104N....................................................................................................................................................7.- Un tambor cilndrico homogneo , pesa 15 lbf y tiene un radio de 6 plg.Con relacin a su eje geomtrico gira a 2 revs Calcular : momento de inercia con respecto a su eje de rotacin; aceleracin que produce

una fuerza tangencial de 1 lbf aplicada a la llanta ; tiempo necesario para que se detenga;nmero de revoluciones que hace el tambor hasta detenerse.

F F R I I 12 mR2

it 12 t2 I 2 F2 i2

t Fit

i 2 revs 2 2 rads 12. 566 radsI 12 mR2 I 12 1532 612

2 5. 859 4 102 0. 05 859 4slug pie2 I mRG2 0. 05 859 4 1532 RG2 , Solution is: RG 0. 353 55pie F R 1 612 0. 5

I 0. 5 0. 05 859 4 , Solution is: 8. 533 3 rads2

8. 533 3 012. 566t , Solution is: t 1. 472 6s

it 12 t2 12. 5661. 472 6 12 8. 533 31. 472 62 9. 252 3radtambin: 2 F2 i2 28. 533 3 0 12. 562, Solution is: 9. 243 4finalmente: 9. 252 3rad 9. 252 3rad rev2rad 9. 252 32 rev 1. 472 6rev....................................................................................................................................................8.- Calcular la distancia que debe recorrer un aro de 6 [plg] de radio que rueda hacia arriba de

un plano inclinado 30, si su velocidad lineal al [pie] del plano es 5 [pie]/sConsiderando: mgh 12 I2 12 mv2 (teorema de conservacin de la energa)

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mgh 12 mR22 12 mv2 en donde: I mR2 , momento de inercia de un aromgh 12 mR22 12 mv2 mgh 12 mv2 12 mv2 mv2 mgh mv2 ,recordar que v Rgh v2 h v2gpero: sin 30 hd h d sin 30 12 d 12 d v

2g

d 2v2g d 25232 2516 1. 562 5pie....................................................................................................................................................9.- Una rueda de automvil con su neumtico, que pesa 60 [lbf] tiene un momento de inercia

combinado de 3 slug pie2 Calcular el radio de giro ;aceleracin angular producida cuando se aplica mediante un freno

un par de fuerzas de 2 lbf pieI mRG2 3 6032 RG2 , Solution is: RG 1. 264 9pie

I 2 3, Solution is: 0. 666 67 rads2

....................................................................................................................................................10.- Un aro de 2 [lbf] y de 6 [plg] de radio gira por el piso con una velocidad angularde 90 vueltas por minuto. Cul es su energa cintica total ? 90 rev

min 90 260 rads 9. 424 8 rads

v R v 9. 424 8 612 4. 712 4I mR2 I 232 612

2 164 1. 562 5 102E total 12 I2 12 mv2 E total 12 1. 562 5 1029. 424 82 12 232 4. 712 42 1.

387 9lbf pie....................................................................................................................................................11.- Una cuerda se enrolla en un cilindro homogneo de 6 [plg] de radio y de 3 [lbf] El

extremo libre de la cuerda se amarra al techo desde donde el cilindro se deja caer, empezandodesde el reposo . Conforme la cuerda se desenrolla., el cilindro gira. Cunto vale la aceleracinlineal del centro de masa ? la velocidad lineal y a qu velocidad gira el cilindro despus dehaber cado 6 pies ? Cunto vale la tensin en la cuerda ?

Ecuaciones:m g F m a d v it 12 at2 a vFvit

F R I 2ad vF2 v i2a R I 12 mR2 v R

m g F m a, Solution is: a 1m F gm (*)

de F R y I , obtenemos: F R I en donde: I 12 mR2, luego: F R 12 mR2 F 12 ma, que se puede sustituir en (*)a 1m 12 ma gm , Solution is: a 23 g a 23 32 21. 333 pies2ahora es posible calcular la tensin: 21. 333 13

32F 3, Solution is: F 1. 0lbf

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2ad vF2 v i2 221. 3336 vF2 0, Solution is: v 16. 0 pies

v R 16 612 , Solution is: 32 rads

Resumen de Resultados :1.- 6 pie

s2; 9, 75lbf; 19, 50 lbf pie ; 6, 5 slug pie2

2.- 1, 96pie; 3, 90pie; 24 lbf pie ; 5s3.- 15 cms ; 1,25 rads ; 225.000 erg ; 78.100 erg ; 30.000g cm/s;125.000 [gcm2rad/s]4.- 1 slug pie2 ; 12 slugpie2s5.- 6,25 slug ; 200 lbf ; 0,08 rad

s2; 125 s

6.- 5230 dina7.- 0,0587 slug pie2 ; 0,352 pie ; -8,5 rad

s2; 1,48s ;1,47 rev

8.- 1.566 pie9.- 1265 pie ; 0,67 rad

s2

10.- 1,39 lbf pie11.- 21,3 pie

s2 ; 16 pies ;32 rads 1 lbf

Nuevo listado:

1.- Un disco slido I 12 mR2 de 20kg rueda sobre una superficie plana horizontal a raznde 4 ms .

Determnese su energa cintica total.

"La energa cintica total de un cuerpo que rueda es igual a la suma de su energa cinticarotacional alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y la energa cintica traslacionalde una masa puntual equivalente que se mueve con el centro de masa." En forma de ecuacin:

ECtotal 12 I2 12 mv2Para el problema que ocupa nuestra atencin: I 12 mR2se tendr: ECtotal 12 12 mR2 2 12 mv2 ECtotal 14 mR2 12 mv2, en donde v RECtotal 14 mv2 12 mv2 ECtotal 34 mv2de este modo: ECtotal 34 20 42 240JNotabene:Si consideramos una partcula de masa "m" movindose a lo largo de una trayectoria circular,

su energa cintica es igual a 12 mv2,si la velocidad angular es y el radio de la circunferencia es

R, se tendr: 12 mv2 12 mR2 12 mR22

En donde a la cantidad 12 mR2se ha convenido en llamar Momento de Inercia(o momento desegundo orden, por la presencia de una potencia de exponente dos)

En general para un sistema de "n" partculas, esta expresin toa la forma: 12 miR i2

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Al tratarse de un cuerpo slido, la expresin anterior se generaliza an ms, tomando laforma de una integral, que se debe resolver sobre la regin ocupada por el cuerpo.

I regin

r2dm

..........................................................................................................................................................2.- Una bola de boliche de 6kg I 25 mR2parte del reposo y rueda hacia abajo de una

pendiente regular, hasta que alcanza un punto que se encuentra 80 cm ms abajo que el puntode partida(medido verticalmente) Con qu rapidez se est moviendo? Ignorar las prdidas porfriccin.

Tomando como nivel de referencia, el punto situado a 80 cm bajo el punto de partida, sedebe cumplir por el teorema de conservacin de la energa:

mgh 12 mv2 12 I2 , como: I 25 mR2 al reemplazar: mgh 12 mv2 12 25 mR2 2mgh 12 mv2 15 mv2 mgh 710 mv2 v 107 gh v 107 9. 8 0. 80 ms v 3. 346 6 ms

..........................................................................................................................................................3.- La varilla OA de la figura es una regla de un metro de longitud y que est articulada en el

punto O, de manera que puede dar vueltas en un lano vertical. Se sostiene horizontalmente ydespus se suelta. Calcular la rapidez angular de la varilla y la rapidez lineal de su extremo libre,cuando pasa a travs de la posicin que se muestra en la figura.

60

B

A

O

Haciendo uso del Principio de Conservacin de la Energa y tomando en cuenta que el puntoB, en el que se puede considerar la masa de la regla concentrada en su totalidad(centro demasa), baja una una distancia l2 sin 60

, en consecuencia:mgh 12 I2 , ya que no hay movimiento de traslacin.

mg l2 sin 60 12 ml

2

3 2 g sin 60 l3 2 3g sin 60l 39.8 sin 60

1 5. 045 9 rads v 5. 045 9 ms ( ya que R1m)

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..........................................................................................................................................................4.- Un cilindro slido de 82 kg y 22 cm de radio tiene una fuerza aplicada constante de 45

N aplicada tangencialmente en su superficie por medio de una banda de cuero.Hallar :a) momento de Inerciab) aceleracin angular.c) velocidad angular al cabo de 4 segundos.d) desplazamiento angular al cabo de 4 segundos.e) demustrese que el trabajo realizado sobre el cilindro es igual a su energa cintica a los 4

segundos.a) Para un cilndro slido: I 12 mR2 I 12 82 0. 222 1. 984 4kg m2

b) A partir de : I F R I FRI 450.221. 984 4 4. 988 9 rads2c) Considerando que parte del reposo cuando t0: Fit 4. 988 9 F04 , Solution is: F 19. 956 rads d) 2 F2 i2 2 4. 988 9 19. 9562 0, Solution is: 39. 913rade) La energa cintica angular viene dada por : EC 12 I2es decir: EC 12 1. 984 4 19. 9562 395. 14Jy el trabajo: W F R ; luego: W 45 0. 22 39. 913 395. 14JEs decir se cumple: W ECObservacin: Cualquier pequea diferencia en los valores decimales se deben al arrastre de

las aproximaciones decimales.

..........................................................................................................................................................5.- Cuando se aplican 100 J de trabajo sobre un volante, su rapidez angular se incrementa

de60 rpm a 180rpm Cul es su momento de Inercia?a partir de : W 12 IF2 12 Ii2 W 12 IF2 i2 I 2WF2i2como: i 60 rpm 60 260 2 rads , F 180rpm 180 260 6 rads I 21006222 2542 0. 633 26 I 0. 633 26kg m2

..........................................................................................................................................................6.- Una rueda de 5 kg con radio de giro de 20 cm llega a tener una rapidez de 10 revs en 25

s partiendo del reposo. Determnese la torca (momento) constante no balanceada requerida.F 10 revs 102 rads 20 rads Fit 20025 45 radscomo I mRG2 I 5 0. 202 0. 2 kg m2

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I 0. 2 45 0. 16 0. 502 65N m....................................................................................................................................................7.- Una rueda de 4 kg y radio de giro de 20 cm est rotando a 360rpm. La torca debida a la

fuerza de friccin es de 0,12 N m. Calclese el tiempo necesario para llevar la rueda hasta elreposo.

El momento de Inercia para la rueda es: I mRG2

luego: I 4 0. 202 I 0. 16 kg m2 como I 0. 12 0. 16, Solution is: 0. 75 rad

s2

como i 360rpm 360 260 rads 12 rads Fit 0. 75 012t , Solution is: t 50. 265s....................................................................................................................................................

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