Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

PRLOGO

Se inicia el libro con la presentacin de un manual rpido de uso del programa MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los diferentes captulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas sentencias realizar clculos numricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servir para comprender mejor el marco terico expuesto. Adems de ello el lector contar con programas que le faciliten su aplicacin prctica a futuro. En el primer captulo se trata sobre la respuesta dinmica de sistemas de un grado de libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibracin libre, luego se estudia las vibraciones forzadas ante excitacin armnica y finalmente la respuesta en el tiempo ante pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de inters muy prctico que son: el clculo del factor de amplificacin por desplazamientos y el factor de amplificacin de fuerzas, cuando la frecuencia de la excitacin armnica es similar a la frecuencia de vibracin de la estructura, es decir cuando se est cerca de la resonancia. El segundo captulo est dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elsticos, se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una accin ssmica por el Mtodo de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes perodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en Mxico y en Chile. En el tercer captulo se estudia los Espectros de Diseo, para ilustrar la forma de clculo se halla el respectivo espectro de diseo, en base a 17 acelerogramas de sismos registrados en el Per, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una aceleracin mxima del suelo del 40% de la aceleracin de la gravedad. La forma espectral obtenida fue comparada con las formas espectrales del Cdigo Ecuatoriano de la Construccin, CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulacin de espectros de diseo en varias normativas ssmicas de Amrica Latina. Por ser de actualidad el Anlisis Ssmico por Desempeo, en el captulo tres, tambin se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen perodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 aos, respectivamente. Con el propsito de entender el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas, con el cual se pasa del espectro de diseo elstico al espectro de diseo inelstico, se deducen las reglas de igual desplazamiento y de igual energa. Luego se muestra el trabajo desarrollado por Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reduccin por ductilidad, considerando el tipo de suelo. En este contexto tambin se presenta los resultados de las investigaciones realizadas en el Centro de Investigaciones Cientficas por el autor de este libro (2005)

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEpara determinar el factor de reduccin por ductilidad en base a 63 registros de sismos ocurridos en Colombia, Per, Chile y Argentina. En la mayora de normativas ssmicas vigentes se presentan valores para determinar el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas en diferentes tipologas estructurales. Estos factores tienen un carcter cualitativo, razn por la cual en este libro se indica una metodologa de clculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se debe hallar el producto del factor de reduccin por ductilidad, del factor de resistencia y del factor de redundancia. Se presentan propuestas para el clculo de estos factores. El captulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teora de Anlisis Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los elementos. Se ilustra el clculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocacin y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computacin. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la ms elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la ms prctica que se tiene en la triangularizacin de la matriz de rigidez, empleando Gauss. El captulo cinco est dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de estructura, claro est que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulacin es general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el cual se involucra la interaccin suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe calcular primero la Energa Cintica, para facilitar este clculo se da una regla muy prctica. Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez, masa y amortiguamiento, estar en capacidad de encontrar la respuesta dinmica de cualquier estructura. Por esta razn, en el captulo cuatro se estudia con detenimiento el clculo de la matriz de rigidez, en el captulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el captulo siete se dedica a la matriz de amortiguamiento. Todo esto orientado al anlisis dinmico de estructuras. En el captulo seis se determinan los modos de vibracin de una estructura sin considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en sistemas de mltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que el clculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los mtodos clsicos de la obtencin de los valores y vectores propios como es el Mtodo de Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de M 1 / 2 para que el lector aprecie la bondad del MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el captulo con el clculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la estructura. En el captulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera mediante el Mtodo de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema que se aborda en este captulo, como tambin se ilustra el clculo del exponencial de una matriz orientado a la solucin del problema de vibraciones libres, en sistemas de mltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen modos de vibracin en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios son nmeros complejos. El Anlisis Ssmico Lineal de estructuras sometidas a acciones ssmicas es tratado en el captulo ocho, encontrando la respuesta dinmica aplicando el Mtodo de Newmark para sistemas de mltiples grados de libertad. Como aplicacin prctica se halla la respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma artificial que es compatible con el espectro elstico del Cdigo Ecuatoriano de la Construccin CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reduccin de las fuerzas ssmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y columnas.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEEn el captulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy til utilizarlo cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca sobre esta temtica para cuando estudie el clculo ssmico de estructuras con disipadores de energa pueda seguir la parte numrica de la evaluacin de la respuesta dinmica. Los tres ltimos captulos del libro, estn dedicados al anlisis de una viga de flexin, de una viga de corte y de una viga de flexin acoplada a una viga de corte, todo esto modelado como un sistema continuo de infinito nmero de grados de libertad. Aparentemente la solucin de estos tres captulos tiene ms un enfoque terico pero no es as ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido acogidas por varias normativas ssmicas. En el captulo diez se presenta en primer lugar la ecuacin diferencial que gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexin y luego se resuelve el problema de vibracin libre, se hallan las formas de vibracin de una viga en voladizo, de una viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la interaccin suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante grficos como en suelos de baja resistencia los perodos de vibracin de las estructuras se amplifican; en base al estudio se presentan parmetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o no el clculo con la interaccin suelo estructura. La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto en el captulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el clculo de la respuesta ssmica, de las vigas de flexin y de corte ante una determinada accin ssmica. Como se ha venido indicando el captulo once est dedicado al clculo de una viga de corte, para el efecto se deduce la ecuacin diferencial y se resuelve el problema de vibracin libre y de vibracin forzada, ante una accin ssmica. Se obtiene el primer modo de vibracin de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibracin de una viga de flexin con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexin tiene menores amplitudes y en los ltimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el comportamiento es al revs. Una viga de flexin, es el modelo numrico de clculo de un edificio conformado solo por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numrico de un edificio conformado solo por vigas y columnas sin muros de corte. Al comparar el primer modo de vibracin de estas dos vigas se concluye que lo ms adecuado es tener edificios con vigas, columnas y muros de corte ya que la viga de flexin en los primeros pisos sostiene a la viga de corte y en los ltimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexin. El acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexin se lo estudia con detenimiento en el captulo doce. Con el propsito de ilustrar la aplicacin prctica y actual del estudio de una viga de corte acoplada a una viga de flexin se presenta en el captulo doce, el trabajo desarrollado por Miranda (1999) con el que estima la deriva mxima de piso en sistemas de mltiples grados de libertad, en forma rpida. Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un predominio de la viga de flexin sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales. Miranda a partir del modelo de una viga de flexin acoplada a una viga de corte determina dos parmetros que son utilizados en la evaluacin rpida de la deriva mxima de pisos. Esos parmetros son el que relaciona el desplazamiento mximo en un sistema de mltiples grados de libertad con el desplazamiento mximo en un sistema de un grado de libertad. El otro parmetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la estructura con la deriva mxima de piso. Por ltimo, se investigacin realizado Politcnica del Ejrcito edificios de Hormign presenta en forma resumida el resultado del proyecto de en el 2005, en el Centro de Investigaciones Cientficas de la titulado: Evaluacin rpida de la deriva mxima de pisos en Armado, con el propsito de que el lector compare los dos

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEparmetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexin acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y adems para que lo apliquen en la evaluacin de la vulnerabilidad ssmica de las estructuras. No puedo finalizar este prlogo, sin reconocer una vez ms, que este libro ha sido posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera pgina pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce captulos que se consideran bsicos en el Anlisis Dinmico de Estructuras. De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falcon Vda. de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos aos y espero contar con sus consejos y bendiciones por muchos aos ms. Por ltimo, pero ellos saben que son lo ms importante, quiero agradecer a mi esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, Mara Jos, Nicols que acaba de graduarse de bachiller, Gabriel y Felipe. Por la felicidad que reina en nuestro hogar.

Dr. Ing. Roberto Aguiar Falcon Centro de Investigaciones Cientficas Escuela Superior Politcnica del Ejrcito

Quito, Agosto de 2006

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

NDICE GENERAL

MANUAL RPIDO DE MATLAB..................................................1 1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTADRESUMEN 17 1.1 VIBRACIONES LIBRES...17 1.1.1 Solucin de la ecuacin diferencial...19 1.1.2 Vibracin libre sin amortiguamiento..19 1.1.3 Vibracin libre subamortiguada.20 1.1.4 Vibracin libre sobre amortiguada.23 1.1.5 Vibracin libre crticamente amortiguada........24 1.1.6 Factor de amortiguamiento.26 1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIN ARMNICA.27 1.2.1 Respuesta ante una excitacin sinusoidal...................27 1.2.2 Factor de amplificacin.....31 1.2.3 Fuerza transmitida a la fundacin....34 1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS....36

1.3.1 Escaln unitario..36 1.3.2 Pulso rectangular39

2. ESPECTROS DE RESPUESTARESUMEN.41

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE2.1 MTODO DE ACELERACIN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL...41 2.2 PROGRAMA LINEAL...43 2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD.....46 2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA..................................................................47 2.5 PROGRAMA ESPECTRO...50 2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA......52 2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES..55 2.8 SEUDO ESPECTROS..57

3. ESPECTROS DE DISEORESUMEN.59 3.1 OBTENCIN DE UN ESPECTRO DE DISEO.....60 3.2 RESEA HISTRICA..............................63 3.3 ESPECTRO ELSTICO DEL CEC 2000.........................................64 3.4 ESPECTROS POR DESEMPEO...66 3.5 ESPECTROS INELSTICOS.....................................................................69 3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO..................................................71 3.7 REGLA DE IGUAL ENERGA.............................73 3.8 NEWMARK Y HALL (1982)....74 3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)....78 3.10 APLICACIN AL ESPECTRO INELSTICO DEL CEC-2000...79 3.11 INCORPORACIN DEL FACTOR DE RESISTENCIA.79 3.12 INCORPORACIN DE LA REDUNDANCIA..82 3.13 CLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIN R..83

4. MATRIZ DE RIGIDEZRESUMEN87 4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO..87 4.1.1 Anlisis sin nudo rgido...88

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE4.1.2 Anlisis con nudo rgido.92 4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA..96 4.2.1 Coordenadas Generalizadas.96 4.2.2 Vector de Colocacin..99 4.2.3 Ensamblaje directo101 4.3 CONDENSACIN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ..105 4.3.1 Condensacin a las coordenadas a106 4.3.2 Condensacin a las coordenadas b106 4.4 CONDENSACIN MEDIANTE SOLUCIN DE ECUACIONES.107 4.4.1 Caso en que Qb = 0...108 4.4.2 Caso en que Qa = 0...109 4.5 CONDENSACIN MEDIANTE ELIMINACIN DE GAUSS....109 4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL..112 4.6.1 Vigas axialmente rgidas..112 4.6.2 Vigas y columnas axialmente rgidas.114

5. MATRIZ DE MASASRESUMEN..119 5.1 ENERGA CINTICA..119 5.2 REGLA DE CLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS....121 5.3 REGLA DE CLCULO DE LA ENERGA CINTICA...122 5.4 MATRIZ DE PASO..125 5.5 ANLISIS PLANO...128 5.5.1 Anlisis con masas concentradas a nivel de piso..128 5.5.2 Anlisis con entrepisos flexibles130 5.6 PNDULO INVERTIDO.132 5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA.....132

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE5.8 INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA.134 5.9 ANLISIS ESPACIAL....135

6. MODOS DE VIBRACINRESUMEN..139 6.1 VIBRACIN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO139 6.1.1 Valores propios.140 6.1.2 Propiedades dinmicas...142 6.1.3 Modos de vibracin..1421

6.2 ALGORITMO DE M 2 ...145 6.3 MTODO DE JACOBI...150 6.3.1 Desarrollo del Mtodo.151 6.3.2 Procedimiento de clculo152 6.3.3 Clculo de los Vectores Propios153 6.4 MODOS RITZ..153

7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTORESUMEN..157 7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH157 7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN..159 7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS..163 7.4 VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO..167 7.4.1 Exponencial de una matriz.168 7.4.2 Resumen del procedimiento de clculo171 7.5 PROPIEDADES DINMICAS COMPLEJAS..175 7.5.1 Modos de vibracin en el campo de los complejos175

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos...177 7.5.3 Deduccin en base a un sistema de un grado de libertad177

8. ANLISIS LINEALRESUMEN..181 8.1 MTODO DE NEWMARK.181 8.2 APLICACIN DEL MTODO DE NEWMARK...186 8.3 PROCEDIMIENTO DE CLCULO...187 8.4 MODELO NUMRICO PARA ANLISIS PLANO..191 8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MNIMO199

9. PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADORESUMEN..201 9.1 FORMULACIN DEL PROBLEMA..201 9.2 FORMULACIN DE LA RESPUESTA203 9.3 PROGRAMA PSE...204 9.4 EJEMPLOS DE APLICACIN......206 9.5 INTRODUCCIN A LA INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA...209

10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXINRESUMEN..213 10.1 ECUACIN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO.214 10.2 VIBRACIN LIBRE...216 10.2.1 Viga en Voladizo...218 10.2.2 Viga apoyada.220 10.2.3 Interaccin suelo estructura224 10.2.4 Variacin del perodo con la interaccin...227

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION.228 10.3.1 Valores propios y modos normalizados231 10.4 VIBRACIN FORZADA...232 10.4.1 Masas modales.234 10.4.2 Respuesta en el tiempo...236

11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTERESUMEN..241 11.1 ECUACIN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO.241 11.2 VIBRACIN LIBRE...244 11.2.1 Viga en Voladizo...246 11.2.2 Comparacin de formas modales..248 11.2.3 Frecuencias de vibracin.249 11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIN..250 11.4 VIBRACIN FORZADA...252 11.5 CORTANTE BASAL.254 11.6 MASA MODAL...256

12. VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXINRESUMEN..261 12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO...262 12.2 MODELO DE MIRANDA..264 12.2.1 Respuesta en desplazamiento266 12.2.2 Efecto de la distribucin de cargas269 12.3 APLICACIONES272 12.3.1 Parmetro 1................................................................................273 12.3.2 Desplazamiento lateral.276

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE12.4 DERIVA DE PISO.280 12.4.1 Parmetro 2................................................................................282 12.5 EVALUACIN RPIDA DE LA DERIVA MXIMA DE PISO.283

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MANUAL RPIDO DE MATLAB

RESUMEN

Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual manera en Internet se puede encontrar informacin muy til sobre el manejo de este programa pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la informacin y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la elaboracin de los programas que aqu se presentan. Por este motivo se presenta un manual rpido de uso del manual, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en cada captulo. MATLAB es un software muy fcil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que facilitan su uso y lo fundamental la graficacin de los resultados en forma elemental. Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teora que se expone, razn por la cual, se recomienda su lectura e implementacin de los mismos.

1.

FORMAS DE TRABAJO

MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta tecnologa que integra en un solo ambiente la programacin y la visualizacin grfica. Existen dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina. En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operacin. En esta modalidad los clculos se realizan en forma inmediata por medio de los comandos adecuados. Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y despus utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad. En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las lneas estn numeradas. Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar numeradas cada una de las lneas se facilita la correccin de los errores. Una vez que

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEse realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automticamente a este archivo le asigna la extensin .m Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicar nicamente >> de aqu se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos. Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia se coloca ; no se imprimen los resultados. Si se omite el punto y coma si aparecern los resultados.

2.

MATRICES Y VECTORES

Dada la siguiente matriz A y el vector B, estas se cargan en MATLAB como se indica a continuacin.

10.5 A= 23.1

23.1 80.2

30.4 19.7

15 B= 20

>> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7] >> B=[15 ; 20] Despus de cada nmero se deja uno o varios espacios. Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el programa sabe que a continuacin se tiene una nueva fila Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ]. Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones de la siguiente forma: Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a continuacin el apstrofo que est entre parntesis. (). Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +. Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -. Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo *. Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A. El comando es inv (A). Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la multiplicacin de una matriz.

EJEMPLO 1Dadas las matrices:

2 A= 1Encontrar: i. ii. iii.

4 3

1 B= 2

1 1

3 C= 2

2 6

D = A t . La transpuesta de la matriz A . E = A B . El producto de la matriz A por la matriz B . F = C 1 . La matriz inversa de C .

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEiv. v.

G = A + B . La suma de la matriz A con la matriz B . H = A C . La diferencia de las matrices A con la C .

SOLUCIN

>> A=[ 2 4; 1 3]; B=[ 1 -1; 2 1]; C=[ 3 2; 2 6 ] >> D=A >> E=A*B >> F=inv(C) >> G=A+B >> H=A-C El colocar el punto y coma despus del corchete hace que no se imprima a continuacin la matriz. En este caso no se imprimir las matrices A y B pero si se imprimir la matriz C. Despus de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, as luego de colocar D=A, aparece

2 D= 4

1 3

Los restantes resultados que se obtienen son:

10 E= 7

2 2

0.42857 F = 0.14286

0.14286 0.21429

3 G= 3

3 4

1 H = 1

2 3

Si en el ejemplo, por desconocimiento o descuido, se colocaba: >> E=a*B MATLAB no puede hacer la operacin ya que la matriz a no est definida. De tal manera que en MATLAB se diferencian las minsculas de las maysculas.

3.

SOLUCIN DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la siguiente manera: >> X= A\B

EJEMPLO 2Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

8 2 3 SOLUCIN

2 10 1

3 1 5

X 1 42 X = 50 2 X 3 40

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>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= A\BEn este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;) . Se pudo haber colocado la matriz A en una lnea, el vector B en otra y el clculo de las incgnitas en otra. La solucin del ejercicio es:

2.00 X = 4.00 6.00

4.

CLCULO AVANZADO CON MATRICES

En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios de una matriz A y tambin el exponencial de una matriz eA. Esto se lo hace con los siguientes comandos: [V,D] = eig ( A ) expm(A) En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A. El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz.

EJEMPLO 3Encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz A.

5 A = 2 0 SOLUCIN

23 1

0 1 1

>> A=[ 5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; [V,D] = eig (A)

0.2149 V = 0.4927 0.8433 0.4158 D = 0 .0 0 .0

0.5049 0.6831 0.52770 .0 2.2943 0 .0

0.8360 0.5392 0.1019 0 .0 0 .0 6.2899

Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es: [V,D] = eig (K,M) K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas. Las dos son de orden (n x n) siendo n el nmero de grados de libertad. En

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEV vienen los modos de vibracin y en D los valores propios con los cuales se obtienen las frecuencias naturales.

EJEMPLO 4Calcular el exponencial de la siguiente matriz A

4 A= 2 SOLUCIN

2 9

>> A = [ 4 2 ; 2 9]; >> expm(A) ans = 1.0e+004 * 0.1815 0.5096 0.5096 1.4555

En este caso no se le asign el nombre de una matriz al resultado de eA. En este caso MATLAB asigna la respuesta a ans. El clculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de Estado, para encontrar la respuesta ssmica de un sistema de n grados de libertad.

5.

CLCULO DE INTEGRALES

MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla del trapecio y su formato de uso es: trapz (X,Y) Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X. Por otra parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la funcin Y en los puntos discretos X. Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran espaciados cada unidad.

trapz (Y)

6.

MATRIZ IDENTIDAD Y NULA

MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera: A = eye (m) A = ones (m) m es el orden de la matriz A identidad. m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos de la matriz son unos. m es el orden de la matriz A que est compuesta por ceros.

A = zeros (m)

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE 7. FUNCIONES MATEMTICA ELEMENTALESEn la tabla 1 se indican las funciones elementales que ms se utilizan en este libro. Tabla 1 Funciones matemticas elementales. Comentario Funcin Seno trigonomtrico abs (x) Coseno angle (x) Tangente sqrt (x) Seno hiperblico real (x) Coseno hiperblico imag (x) Seno inverso trigon. conj (x) Seno inverso hiperblico exp (x) Logaritmo de base e log10 (x)

Funcin sin (x) cos (x) tan (x) sinh (x) cosh (x) asin (x) asinh (x) log (x)

Comentario Valor absoluto Angulo de fase Raz cuadradaParte real del complejo Parte imaginaria Conjugado de complejo Base exponencial e Logaritmo de base 10

8.

GRFICAS EN MATLAB

Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboracin de figuras, aqu nicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que estn en este texto. Para realizar un simple grfico en dos dimensiones el comando es: plot (x,y) xlabel (Titulo para eje de las x); ylabel (Titulo para eje de las y); title (Titulo de la figura) Previamente se habrn obtenido los vectores x, y. Para realizar varias curvas en un solo grfico, se procede de la siguiente manera: hold off plot (x,y,+) hold on plot (x,z,o) El comando hold on mantiene la grfica para realizar otra curva. Es conveniente apagarla con hold off para que no quede activado este comando. Cuando se construyen varias curvas en una grfica es conveniente dibujar cada una de ellas con un smbolo diferente los mismos que se indican entre . En el ejemplo la primera curva se dibujara con el signo ms y la segunda curva con crculo, en este caso se escribi la o no el cero. En la tabla 2 se indican varios smbolos disponibles. Tabla 2 Smbolos disponibles Smbolo Tipo de Marca Lnea-Punto . Lneas entrecortadas : Signo estrella + Marca x O

Tipo de marca PuntoLneas muy pequeas

Signo ms Crculo

Smbolo -. -* x

En lugar de utilizar smbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar colores, colocando en lugar del smbolo la letra de un color, las mismas que se indican en la tabla 3.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEPara presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden presentar m por n grficas. La sintaxis es: subplot (m,n,k) k es el nmero de la grfica que se dibuja, m y n se refiere a m por n grficas que se quieren dibujar. Tabla 3 Colores disponibles Smbolo Color de lnea Amarillo R Turquesa M Azul G Negro W

Color de lnea RojoMagenta

Verde Blanco

Smbolo y C B K

EJEMPLO 5Encontrar en forma grfica las races de la siguiente ecuacin:

1 + cos p cosh p = 0 SOLUCIN

Esta ecuacin aparece cuando se resuelve una viga en flexin modelado como un sistema continuo. La ecuacin propuesta se puede escribir de la siguiente manera:

cos p =

1 cosh p

Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son:

cos p , por una parte, y

1 / cosh p , por otra. Se presenta a continuacin la forma de graficar en la modalidad consola.>> dx=0.01; >> for i = 1:500 p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); end >> plot (p,y,r); hold on; plot (p,z,b) En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen:

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Figura 1 Grfica de dos funciones.

Se puede colocar mayor informacin en el grfico de la figura 1, con el propsito de explicar mejor cuales son las races, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es ms fcil realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del clculo grfico de las races que ha sido realizado con MATLAB y PAINT.

Figura 2 Races encontradas.

9.

PROGRAMAS

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPESi bien en el apartado anterior se realiz un pequeo programa, para dibujar las dos curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina. La primera instruccin de un programa es: function [resultados] = nombre (datos) En resultados vendr el nombre de las variables que contienen los resultados del programa, puede ser una o varias variables o arreglos. El nombre corresponde a la forma de identificar el programa, no hay limitacin en el nmero de letras que se utilicen para el efecto. Por ltimo en datos vienen de consola, la informacin que requiere el programa para su ejecucin. Normalmente se deben colocar datos pero tambin el programa puede pedir los datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma que no es obligatorio que existan siempre datos. Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarn comentarios, esto se lo hace con % y a continuacin se indican todos los comentarios que se requieran. Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios. En una fila de datos se puede tener una o ms sentencias en el ejemplo anterior se escribi tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace que los programas sean ms cortos. Para programar bsicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma de escribir las decisiones condicionales. En otras palabras saber el manejo del for y del if. Bucles Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end. Luego de un ndice el mismo que va a variar en la forma que el usuario desee. La sintaxis del for es la siguiente: for i = ni:nf .. end Donde ni es el nmero inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es el nmero en que termina el bucle. En la forma indicada el ndice i variar de uno en uno. Si se desea otro tipo de variacin la sintaxis en la siguiente: for i = ni,dx,nf .. end En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir variando el ndice i. Los ., significan que en ese lugar se colocarn las sentencias del programa. Condicionales La forma ms sencilla de un condicional es la siguiente: if condicin .............. else end Si se cumple la condicin que est al lado del if se ejecutan las lneas que estn a continuacin, caso contrario no se ejecutan estas lneas y se ejecutan las lneas posteriores a else. En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los condicionales:

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Nombre Mayor que Mayor o igual Igual

Tabla 3 Lista de condicionales Operador Nombre > Menor que >= Menor o igual == No es igual

Operador < >=

=

La forma general de un condicional es: if condicin .............. elseif else end

En este caso se tiene opcin de hacer varias preguntas adicionales, en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif pero se pueden hacer tantas como sea necesario.

EJEMPLO 6

Elaborar un programa para encontrar una de las races de un polinomio de tercer grado aplicando el Mtodo de Newton Raphson.

SOLUCINLa frmula del Mtodo de Newton Raphson es la siguiente:

X i +1 = X i

f (X i ) f ' (X i )

Donde f ( X i ) es el valor de la funcin en el punto X i ; derivada en grado de la forma: f ( x ) = ax + bx + cx + d modalidad consola. La ecuacin a programar es:3 2

f ' ( X i ) es el valor de la

X i . Por facilidad se desarrolla un programa especfico para un polinomio de tercerLos datos

a, b, c, d se indicarn en la

X i +1 = X i

a X i3 + bX i2 + cX i + d 3aX i2 + 2bX i + c X i y el programa

X i +1 con este valor se ve si f ( X i +1 ) es menor o igual a una tolerancia, si es menor se hall la raz, caso contrario se continua con el clculo para lo cual X i = X i +1 . El programadetermina que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuacin.

El clculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tldes en los programas de tal manera que aparecern ciertas palabras con error gramatical.

function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi) % % Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el % Metodo de Newton Raphson % % a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado. % xi es dato el valor inicial que el usuario propone. % raiz es una de las raices que se obtienen % tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular. %f es el valor de la funcion en el punto xi tol=0.01;xx=xi; for i=1:100 f=a*xi^3+b*xi^2+c*xi+d; if f > [raiz] = newtonraphson (2,-5,1,2,3) El valor de raiz = 2.0006 Con relacin al programa es necesario explicar dos sentencias que son: break y continue break Sirve para salir del bucle. En el programa realizado en principio se deba realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la pregunta que se realiza si f > p = [ 2 -5 1 2] >> raiz = roots (p) El programa en el vector raiz reporta todas las races que son: raiz = 2.0000 1.0000 -0.5000 Si se conocen las races de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que contiene las races. Para el ejemplo se tendra: >> r = [ 2 1 -0.5] >> poly (r) El programa reporta: ans = 1.0000 -2.5000 0.5000 1.0000

f ( x) = 2 x 3 5 x 2 + x + 2 = 0 . Se procede de la siguiente

Que son los coeficientes del polinomio del ejemplo, dividido para 2.

Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de un determinado programa o no recuerda que hace el programa. En este caso, en la modalidad consola se escribir help y el nombre del programa. Luego va a aparecer todas las primeras instrucciones que son comentarios.

10.

ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS

En el libro se encuentra la respuesta ssmica de varias estructuras ante un acelerograma, de un sismo registrado en el Per el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las lneas de comentarios que normalmente traen los archivos y despus darle un nombre con extensin .dat En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat. Este archivo debe grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK. Se destaca que debe ser un archivo ASCII. Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat; Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res;

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEEn la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados pero pueden tener cualquier nombre.

11. FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICESMATLAB facilita, la forma de trabajar con matrices y vectores. A continuacin se indican algunas de estas formas:

Creacin de una matriz diagonal

Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo: A = diag ( [ 5 4 3 ] ) Se crea la matriz:

5 A = 0 0 Obtencin de una submatriz

0 4 0

0 0 3

Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas. B = A ( 1:2,1:2) Se crea la submatriz:

5 B= 0

0 4

La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz. Luego entre parntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la columna final Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notacin clsica. Por ejemplo de la matriz A se desea obtener el nmero 4. A (2,2) ans= 4

Smbolo :

Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A. A(:,3)

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEans= 0 0 3

Mximo y Mnimo de un vector

Para encontrar el valor mximo o mnimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A). Siendo A. El nombre del vector.

Dimensin de un vector o matriz

Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el nombre de la matriz o vector.

12.

FUNCIONES

Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente como vectores o matrices. Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera: >> t = linspace (0,1,11)

Con lo que se obtiene: t=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

La primera cantidad de linspace corresponde al nmero inicial, la segunda al nmero final y la tercera al nmero de valores que se desea, entre los nmeros inicial y final. Se ha creado t como un vector fila. Esto es muy importante tener en cuenta ya que para graficar funciones se necesita tener un vector columna. En este caso se escribe de la siguiente manera: >> t = linspace (0,1,11) Si se desea obtener el seno para cada uno de los valores de t se procede de la siguiente manera:

>> a=sin(t) Con lo que se halla:

a= 0 0.0998 0.8415 0.1987 0.2955 0.3894 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 0.7833

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPESe ha presentado un manual rpido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector comprenda los programas que en libro se presentan. Con tantas ventajas que ofrece MATLAB, los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el tiempo de un sistema de mltiples grados de libertad, son muy cortos. Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a entender perfectamente el tema que se est exponiendo. Para quienes deseen profundizar ms en MATLAB se les recomienda el libro de Shoichiro Nakamura (1997), Anlisis numrico y visualizacin grfica con MATLAB, 476 p., Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., Mxico.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

CAPTULO 1

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

RESUMEN

Se deduce la ecuacin diferencial del movimiento para sistemas de un grado de libertad y se resuelve en forma analtica para el caso de vibracin: libre, forzada ante carga armnica y arbitraria ante pulsos rectangulares. Para el primer caso se obtiene la respuesta para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y crticamente amortiguada. Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificacin dinmica y se ilustra el problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundacin por efecto de vibracin armnica. Finalmente para el tercer caso, se presenta la solucin ante un escaln unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular. Se complementa el marco terico con la presentacin de programas en MatLab para resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificacin dinmica de desplazamiento.

1.1 VIBRACIONES LIBRESEn las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibracin libre y vibracin forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuacin diferencial que gobierna el comportamiento de vibracin libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se indica el modelo numrico de clculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se aprecia en la posicin ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I. a la posicin inicial del sistema. Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la deformacin del mismo, con sta hiptesis, se pasa a la posicin ( 2 ) de la figura 1.1 en que coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad y ahora la

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEPosicin Inicial P.I., pasa a la posicin de equilibrio esttico que se ha llamado P.E.E. En la posicin ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:

mg=k( 1.2 ) En la posicin ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento ya que el sistema est en reposo. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la velocidad. En consecuencia se tendr fuerza en el amortiguador cuando el sistema se encuentra en movimiento. En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo

t = 0 la masa se desplaza una cantidad qo con una velocidad q o .

.

Figura 1.1 Descripcin del modelo numrico para vibracin libre. Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera q (t ) se mide a partir de P.E.E. Finalmente en ( 5 ) se presenta una posicin genrica del movimiento en la que se ha colocado que la fuerza en el resorte vale k ( q + ) hacia arriba, el peso del sistema vale. ..

m g hacia abajo, la fuerza en el amortiguador c q hacia arriba y la fuerza inercial m q haciaarriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene:. ..

k (q + ) + c q + m q m g = 0Al sustituir ( 1.1 ) en sta ltima ecuacin, se tiene:

m q + c q+ k q = 0Se conoce que la frecuencia natural Wn y el perodo de vibracin T , valen:

..

.

( 1.2 )

Wn =

k m

T=

2 Wn

( 1.3 )

Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento

como: ( 1.4 )

=

c 2 mk

Si la ecuacin diferencial ( 1.2 ) se divide para m se tiene:

q+

..

c . q + Wn2 q = 0 m

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEAl multiplicar y dividir el trmino c/m por

2 mk y al utilizar la ecuacin ( 1.4 ) se tiene:

c c 2 mk = = 2 Wn m 2 mk mLuego otra forma de presentar la ecuacin diferencial del movimiento es:

q + 2 Wn q + Wn2 q = 01.1.1 Solucin de la ecuacin diferencial

..

.

( 1.5 )

Se plantea la solucin de la ecuacin diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma:

q(t ) = a e t

( 1.6 )

Donde a es una constante de integracin y es una variable a determinar. Al derivar la ecuacin ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene:

q = a e t q = a 2 e t a 2 e t + 2 Wn a e t + Wn2 a e t = 0 a e t 2 + 2 Wn + Wn2 = 0Para que la ltima ecuacin sea igual a cero es necesario que la cantidad del parntesis sea cero...

.

(

)

2 + 2 Wn + Wn2 = 0 = 2 Wn 4 2 Wn2 4 Wn2 2( 1.7 )

= Wn Wn 2 1Las races de negativo.

dependen del valor de

ya que el radical puede ser positivo, cero o

1.1.2

Vibracin libre sin amortiguamiento

= 0 , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando indefinidamente. Al ser = 0 las races que se obtienen de ( 1.7 ) son:En este caso

= WnLuego la solucin se transforma en:

1

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEq (t ) = A cos(Wn t ) + B sen(Wn t ) = C sen(Wn t + ) C=Siendo ( 1.8 )

A2 + B 2

el ngulo de fase.

EJEMPLO 1

Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo perodo de vibracin es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s.

SOLUCIN

Wn =.

2 2 1 = = 31.416 T 0.2 s q(t ) = A cos(Wn t ) + Bsen(Wn t )

q(t ) = A Wn sen(Wn t ) + B Wn cos(Wn t )Para t = 0 se tiene:

2= A 10 = B WnLuego:

B=

10 10 = = 0.3183 Wn 31.416

q (t ) = 2 cos(31.416 t ) + 0.3183 sen(31.416 t )

En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los siguientes comentarios: La respuesta empieza en 2 cm., por la condicin inicial. Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva razn por la cual la curva va hacia arriba. El tiempo que se demora en una oscilacin completa es igual a 0.2 s., que corresponde al perodo de vibracin. Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilacin no decrece.

1.1.3

Vibracin libre subamortiguada

Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de este caso las races son tambin nmeros complejos. Las races son:

0 < 1 . En

= Wn WaW a = Wn 1 2

1( 1.9 )

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE2,5

2

1,5

1 Desplazamiento (cm.)

0,5

0 0 -0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

-1

-1,5

-2

-2,5 Tiempo (s.)

Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento.

Luego la solucin es:

q (t ) = e Wnt [A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )]

q (t ) = exp( Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )]

( 1.10 )

La respuesta en el tiempo para el caso de vibracin libre sin amortiguamiento se ha escrito de dos formas en la ecuacin (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armnicos es otro armnico por lo que la ecuacin ( 1.10 ) en funcin del ngulo de fase queda:

q (t ) = C exp( Wn t ) sen(Wa t + ) C=

( 1.11 )

A2 + B 2

EJEMPLO 2

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior si sistema es 0.2 s.

= 0.05 .

El perodo del

t=0

q(0) = 2 cm. q (0) = 10 cm / s..

SOLUCIN

q (t ) = exp( Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )] q (t ) = Wn exp( Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )] +.

exp(Wn t )[ A Wa cos(Wa t ) B Wa sen(Wa t )]

Wa = 31.416 1 0.05 2 = 31.3767

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEPara t=0 se tiene:

2=B 10 = 0.05 31.416 2 + A 31.3767Luego la respuesta en el tiempo es:

A = 0.41883

q (t ) = exp( 1.5708 t ) [0.41883 sen(31.3767 t ) + 2 cos(31.3767 t )]En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5% de amortiguamiento.

2,5

2

1,5

1 Desplazamiento (cm.)

0,5

0 0 -0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

-1

-1,5

-2 Tiempo (s.)

Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con

= 0.05

Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes: La respuesta empieza en 2 cm., por la condicin inicial. La pendiente en t=0 es positiva. El perodo de la oscilacin en este caso vale:

Ta =

2 Wa

Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero.

1.1.4

Vibracin libre sobre amortiguada

Corresponde al caso en que es mayor que la unidad. En este aso las dos races son reales. Luego la respuesta en el tiempo vale:

q(t ) = A exp Wn + Wn 2 1 t + B exp Wn Wn 2 1 t

[(

)]

[(

)]

( 1.12 )

EJEMPLO 3

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0.2 s.

= 1.2 . El perodo del sistema es

t=0

q(0) = 2 cm.

q(0) = 10 cm / s.

.

SOLUCIN

Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es la siguiente:

q (t ) = 3.049 exp( 16.8602 t ) 1.049 exp( 58.5382 t )2,5

2

Desplazamiento (cm.)

1,5

1

0,5

0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Tiempo (s.) 0,5 0,6 0,7 0,8

Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son:

= 1.2

La respuesta empieza en 2 cm., por la condicin inicial. La pendiente en t=0 es positiva. El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila.

1.1.5

Vibracin libre crticamente amortiguada

En caso = 1 . El radical de la ecuacin ( 1.7 ) es cero y las dos races son iguales. Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es:

q(t ) = ( A t + B ) exp( Wn t )

( 1.13 )

EJEMPLO 4Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si

= 1.0 . El perodo del sistema es

0.2 s.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

t=0

q(0) = 2 cm. q (0) = 10 cm / s..

SOLUCIN

q (t ) = exp( Wn t ) [A ( A t + B ) Wn ].

Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra:

A = 72.832La respuesta en el tiempo viene dada por:

B=2

q (t ) = (72.832 t + 2 ) exp( 31.416 t )La grfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4

function [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) % % Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) %------------------------------------------------------------% zi: factor de amortiguamiento % w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl. % qo: desplazamiento en t=0 % qpo: velocidad en t=0 % tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos. t=linspace(0,0.6,500)'; if zi T se tiene que el tiempo de duracin de la fuerza F0 es t T .

Luego:

q (t ) = F0 g (t T )1.3.2 Pulso rectangular

Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura 1.17 en que la fuerza vale F0 hasta el tiempo T y luego es nula.

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Figura 1.17 Pulso rectangular. Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver la ecuacin diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta g (t ) . Para el primer caso se procedera as:

m q + c q + k q = F0 q ( 0) = q ( 0) = 0.

..

.

0> load Peru04.dat >> zeda=[0.05; 0.10; 0.20] >> [Sd,Sv,Sa]=espectro (Peru04,0.02,zeda)

En la figura 2.6 se ha indicado los espectros que reporta el programa ESPECTRO. Los comentarios que se realizan al respecto, son los siguientes: La identificacin del tipo de lnea, que se encuentra en la parte inferior de la figura 2.6 se lo realiz con el programa PAINT. El ltimo de los espectros es de aceleracin relativa. No se ha encontrado el espectro de aceleracin absoluta. La diferencia entre los dos, radica en que el espectro de aceleraciones relativas, se encuentra de la respuesta mxima en valor absoluto de las..

aceleraciones q (t ) . En cambio, para hallar de la aceleracin absoluta se debe hallar el valor mximo en valor absoluto de

q (t )+ U g (t ) , es decir se debe sumar la

..

..

aceleracin del suelo. A medida que los valores de se incrementan, las formas espectrales disminuyen. Al presentar los tres espectros de respuesta de: desplazamiento, velocidad y aceleracin relativa, en un solo grfico, la escala vertical se redujo con lo que se deforma un poco las formas espectrales. Se denominan espectros de respuesta, ya que son espectros para un determinado sismo. Los espectros de diseo se obtienen en base a los espectros de respuesta de varios sismos, como se ilustra en el prximo captulo.

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Figura 2.6 Espectros de respuesta elstica para el sismo del 9 de noviembre de 1974.

2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRAUn programa muy verstil para el anlisis dinmico de sistemas de 1 gdl es el programa DEGTRA desarrollado por Ordaz et al (2002) en el Instituto de Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico, por lo que en este apartado se presenta su uso. Una vez que se tiene instalado el programa DEGTRA, lo primero que se debe hacer, es abrir una ventana para lo cual se selecciona el icono que est indicado con una flecha en la figura 2.7. Despus se busca el archivo en el cual se halla el acelerograma, para el efecto se selecciona el icono que est indicado en la figura 2.8. Una vez que se ha seleccionado el archivo que contiene el acelerograma se debe indicar el nmero de lneas intiles y el incremento de tiempo con el cual fueron grabados estas aceleraciones. En la figura 2.9 estn en blanco los casilleros que deben ser llenados para que se cargue el acelerograma.

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Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA.

Figura 2.8 Seleccin del archivo que contiene el acelerograma.

Normalmente en las primeras lneas del archivo que contiene el acelerograma se tiene informacin sobre el registro, como la fecha del sismo, la magnitud, el tipo de suelo en que fue registrado el evento, la distancia epicentral, el nombre de la estacin sismolgica, el incremento de tiempo, la direccin de la componente ssmica, etc. Esta informacin es muy valiosa pero para fines de clculo del espectro se convierte en lneas intiles. Para el ejemplo de la figura 2.9 se tiene 11 lneas intiles. Por otra parte el valor de DT = 0.02 s . Luego de llenar los casilleros en blanco con el nmero de lneas intiles y el valor de

DT se presiona el icono OK apareciendo inmediatamente el acelerograma que est indicadoen la figura 2.10.

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Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma. Posteriormente se selecciona el icono que calcula el espectro de respuesta que est indicado en la figura 2.10. Luego de presionar el icono que est bajo la flecha aparece el cuadro de datos que se presenta en la figura 2.11 y el usuario debe ratificar o rectificar esa informacin que aparece.

Figura 2.10 Acelerograma y seleccin del icono que obtiene el espectro de respuesta. Se debe indicar el nmero de puntos NT que se desean considerar para obtener el espectro. Por defecto considera 50 puntos. Es el nmero de osciladores de 1 gdl que se desean. Mientras ms puntos se considera es mejor pero demanda ms tiempo. El segundo dato es el perodo mnimo a partir del cual se desea hallar el espectro, por defecto este valor es 0.01 s., luego el perodo final hasta el cual se obtendra el espectro, por defecto se considera 3 s., Estos dos valores son adecuados razn por la que no deben modificarse.

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Figura 2.11 Informacin que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta. Finalmente se indica el valor de que en la figura 2.11 se ha notado como Csi . Una vez llenado estos datos se selecciona el tipo de espectro que se desea encontrar. En la figura 2.11 se ha seleccionado el icono que corresponde al espectro de desplazamiento.

Figura 2.12 Acelerograma y Espectro de respuesta.

En la figura 2.12 se aprecia a la izquierda el acelerograma y a la derecha el espectro de respuesta elstico de desplazamiento, obtenido para = 0.05 .

2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALESLos espectros de respuesta proporcionan informacin muy valiosa para el proyectista estructural, ya que se puede inferir los edificios que van a estar sujetos a mayores fuerzas ssmicas. Por ejemplo, el sismo del 19 de septiembre de 1985, que tuvo una magnitud de 8.1 y una profundidad focal de 33 Km., se registro a 20 Km., de la costa de Guerrero y en el centro de Ciudad de Mxico que se halla a 400 km., de la zona epicentral se tuvo gran dao en las edificaciones de mediana altura que estn asociadas a perodos entre 1.5 y 2.5 segundos debido a que en esa zona se tuvo las mayores amplitudes como se aprecia a la derecha de la figura 2.13 en que se presenta el espectro de respuesta elstico de aceleraciones absolutas.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Figura 2.13 Acelerograma y espectro de aceleraciones del sismo del 19 de septiembre de 1985. En la figura 2.13, a la izquierda se aprecia que la aceleracin mxima del registro fue de 0.17 g., 17% de la aceleracin de la gravedad y de baja frecuencia semejante a una excitacin de tipo armnico que resultan ser muy destructivos. A la derecha de la figura 2.15 se observa que la aceleracin mxima espectral fue de 1 g., y est asociado a un perodo de 2 s.

Figura 2.14 Acelerograma y espectro del sismo de Chile de 1985.

En el espectro de aceleraciones de la figura 2.13 se ve que para perodos menores a 1.5 s., las ordenadas espectrales son bajas. Luego las estructuras que tienen estos perodos que son las de pocos pisos, no fueron afectadas por el sismo de septiembre de 1985, como lo fueron las estructuras que tienen perodos entre 1.5 y 2.5 s. En el centro del Distrito Federal la velocidad de la onda de corte es muy baja. Por lo tanto, el perodo de vibracin se debe calcular considerando interaccin suelo estructura, lo que implica que el perodo es mayor que el que se obtiene con reglas como 0.11 N, siendo N el nmero de pisos. El 3 de marzo de 1985 tuvo lugar en Chile un sismo, tambin de subduccin, con una profundidad focal de 15 km., y de una magnitud de 7.8. Aproximadamente a 140 km., del epicentro, en Lloleo se tuvo un registro ssmico con una aceleracin mxima de 698 gals que corresponde a 0.71 g., cuyo acelerograma se indica a la izquierda de la figura 2.14 pero este sismo caus menos dao en las estructuras, que el sismo del Distrito Federal a pesar de que la aceleracin mxima fue 4.17 veces mayor. A la derecha de la figura 2.14 se presenta el espectro de aceleraciones absolutas del registro de Llolleo, se aprecia que las aceleraciones espectrales mximas estn asociadas a perodos comprendidos entre 0.3 y 0.5 s. En consecuencia fueron las edificaciones pequeas las que sufrieron ms dao. La aceleracin mxima fue de 1880 gals que corresponde a 1.92 g., y est asociada a un perodo de 0.29 s. Se ha presentado dos espectros, el uno, el de Ciudad de Mxico de 1985 en el cual las estructuras intermedias de 6 a 18 pisos fueron las ms afectadas y el otro el del sismo de Chile de 1985 en que las estructuras de 2 a 4 pisos fueron afectadas. De tal manera que en Ciudad de Mxico se tendr mayor precaucin en la construccin de edificaciones de 6 a 18 pisos y de

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEser posible se evitar tener edificios con estos pisos. En cambio en Chile habr que tener cuidado con las edificaciones de pocos pisos ya que se esperan fuerzas ssmicas muy altas. Evidentemente que en base a dos eventos ssmicos no se pueden dar conclusiones generales sin embargo de ello se hace notar que es muy importante conocer las formas espectrales con el propsito de saber que tipo de edificaciones se vern ms afectadas durante un sismo de similares caractersticas.

2.8 SEUDO ESPECTROSA partir del espectro de desplazamientos se puede obtener en forma aproximada el espectro de velocidades y el espectro de aceleraciones, utilizando la definicin de seudo espectro.

PS v Wn S d PS a Wn PS v Wn2 S d

( 2.11 ) ( 2.12 )

Siendo PS v y PS a los seudo espectros de velocidad y aceleracin. Si bien es cierto desde el punto de vista numrico encontrar los espectros de velocidad o aceleracin, aplicando cualquier algoritmo de clculo, no es ningn problema, de tal manera que no tendra mayor importancia la definicin de seudo espectros y las ecuaciones ( 2.11 ) y ( 2.12 ). Pero la importancia de estas ecuaciones radica en la aplicacin prctica para hallar el desplazamiento espectral elstico a partir de la aceleracin espectral, utilizando para el efecto la siguiente ecuacin.

T Sd = 2

Sa

2

( 2.13 )

Donde T es el perodo de vibracin. De esta forma se obtiene el desplazamiento espectral a partir de la aceleracin espectral.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

CAPTULO 3

ESPECTROS DE DISEO

RESUMEN

Se inicia el captulo presentando en forma didctica como se obtiene un espectro de diseo para 17 acelerogramas de sismos registrados en el Per. Luego se realiza una resea histrica sobre los espectros de diseo y se indican los resultados del trabajo desarrollado por Seed, Ugas y Lysmer desarrollado en 1976, que han servido de base para la formulacin de formas espectrales en varias normativas ssmicas publicadas por la dcada de los aos ochenta. Posteriormente se presentan los Espectros Elsticos e Inelsticos del Cdigo Ecuatoriano de la Construccin, CEC-2000, se realiza un estudi muy detallado del factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R por comportamiento inelstico de la estructura, se indica la forma como se evala este factor en base al factor de ductilidad R , al factor de sobrerresistencia RS y al factor de redundancia R R . Varias normativas ssmicas, entre ellas el CEC-2000 no indican como debe evaluarse el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R , nicamente se asignan valores para determinadas tipologas estructurales, los mismos que provienen de la experiencia y poco rigor cuantitativo, que al no ser utilizados en forma eficiente por desconocimiento de cmo se calcula este factor puede llevar a sobre estimar o subestimar significativamente las fuerzas ssmicas de diseo, razn por la cual en este captulo se da bastante nfasis al clculo del factor R . Tambin se presenta los resultados de dos investigaciones realizadas en el Centro de Investigaciones Cientficas, CEINCI, la primera, sobre el clculo del factor R en base al estudio de las respuestas elstica e inelstica de 63 acelerogramas de sismos registrados en Colombia, Per, Chile y Argentina. La segunda investigacin que se presenta tiene que ver con la propuesta que se hace para obtener espectros, para ser utilizados en el anlisis ssmico por desempeo. En efecto se proponen formas espectrales para los sismos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen perodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 aos, respectivamente. Estas formas espectrales se derivan a partir del sismo raro estipulado por el CEC-2000. Se presenta,

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEadems, programas de computacin en MATLAB para hallar los espectros por desempeo y el factor de reduccin por ductilidad.

3.1 OBTENCIN DE UN ESPECTRO DE DISEOPara encontrar un espectro de diseo se deben clasificar los registros ssmicos de acuerdo al lugar en que fueron registrados ya que la forma espectral depende del tipo de suelo. Una vez que se tienen clasificados los eventos se procede a obtener los espectros de respuesta de cada uno de ellos, posteriormente se aplican las estadsticas con las que se determina el espectro de diseo. Realmente es muy sencillo encontrar un espectro de diseo lo difcil es tener una muestra de datos que se la pueda considerar confiable. Es deseable que los registros ssmicos con los cuales se vayan a obtener los espectros de diseo tengan una aceleracin mxima de suelo considerable, por lo menos que sean mayores al 10% de la aceleracin de la gravedad. En la mayor parte de pases de Latinoamrica no se cuenta con una cantidad suficiente de eventos fuertes por lo que han trabajado con sismos de aceleraciones pequeas normalizados a aceleraciones grandes, este procedimiento no es correcto pero ante la ausencia de registros fuertes no queda otra opcin.

EJEMPLO 1

Obtener un espectro de diseo a partir de los registros ssmicos indicados en la tabla 3.1, que fueron sentidos o registrados en el Per. En la ltima columna se muestra el tipo de suelo en el cual se obtuvo el registro, cuando no se tiene informacin del tipo de suelo en el que se ha obtenido el acelerograma se acostumbra colocar suelo a secas. Tabla 3.1 Registros ssmicos considerados para obtener espectro de diseo Fecha Lugar Distancia Magnitud Aceleracin Tipo de Epicentral Mxima Suelo 13-06-05 Iquique 387.79 km. 7.8 Mw 125.43 gals Roca 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Mw 119.10 gals Suelo 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Nw. 111.15 gals Suelo 17-10-66 Per 225.26 km. 6.4 Mb. 180.59 gals Grava guesa 17-10-66 Per 225.26 km. 6.4 Mb. 269.34 gals Grava gruesa 9-11-74 Per 80.55 km. 6.0 Mb. 116.79 gals Limo arcilloso 9-11-74 Per 80.55 km. 6.0 Mb. 93.71 gals Limo arcilloso 23-06-01 Per 338.46 km. 8.3 Mw 295.22 gals Suelo 23-06-01 Per 338.46 km. 8.3 Mw 220.04 gals Suelo 31-05-70 Per 369.17 km. 7.9 Mw 104.82 gals Grava gruesa 31-05-70 Per 369.17 km. 7.9 Mw. 97.749 gals Grava gruesa 3-10-74 Per 59.74 km. 8.1 Mw 97.96 gals Grava gruesa 3-10-74 Per 59.74 km. 8.1 Mw. 178.95 gals Grava gruesa 3-10-74 Per 63.89 km. 6.2 Mb. 192.35 gals Aluvional 3-10-74 Per 63.89 km. 6.2 Mb. 207.12 gals Aluvional 5-01-74 Per 90.10 km. 6.5 Mw. 139.59 gals Suelo 5-01-74 Per 90.10 km. 6.5 Mw. 156.18 gals Suelo

Cod 01 b 02 a 02 b 03 a 03 b 04 a 04 b 05 a 05 b 06 a 06 b 07 a 07 b 08 a 08 b 09 a 09 b

SOLUCIN

En la tabla 3.1 se tiene un total de 17 registros, cantidad que es pequea como para pensar en separarlos de acuerdo al tipo de suelo en que fueron registrados, razn por la que se trabaja con todos ellos. Cada uno de estos registros fue normalizado a 392 gals (0.4 g) de tal manera que los registros se multiplicaron por un factor tal que la aceleracin mxima sea la indicada. Los espectros se obtuvieron para = 0.05

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEEn la figura 3.1 se indican los espectros de respuesta, de aceleraciones absolutas, de cada uno de ellos y con una lnea ms gruesa se presenta el espectro medio. Para cada perodo de vibracin se tienen 17 aceleraciones espectrales de tal manera que se puede hallar la media y la desviacin estndar para cada perodo. La lnea ms gruesa de la figura 3.1 corresponde al espectro medio que se sera el espectro de diseo del grupo de datos, la misma que se presenta en la figura 3.2. Ntese que para T = 0 la aceleracin espectral vale 0.4 g = 392 gals tiene un valor que est alrededor de 975 gals. La relacin entre estos dos valores se denomina que ser comentado cuando se hable del Espectro de Diseo del Cdigo Ecuatoriano. Retomando el ejemplo, con los datos se tiene que = 2.49

ESPECTROS RESPUESTA2000 1800 1600 1400Aceleraci

1200 1000 800 600 400 200 0 0 0,5 1 1,5Periodo

2

2,5

3

3,5

01b 02a 02b 03a 03b 04a 04b 05a 05b 06a 06b 07a 07b 08a 08b 09a 09b Media

Figura 3.1 Espectros de respuesta y espectro medio de la muestra considerada.

Al trabajar con el espectro medio se tiene que la probabilidad de excedencia de las ordenadas espectrales es del 50%. En efecto, se aprecia que existe una cantidad significativa de aceleraciones que estn sobre la curva media. Si se desea disminuir esta probabilidad de excedencia a la curva de valores medios se deber sumar una desviacin estndar o ms dependiendo de la probabilidad de excedencia con la cual se desea trabajar. Una vez que se tiene el espectro medio, para dar ecuaciones para una normativa ssmica, se definen lneas y curvas que ms se aproxime al espectro medio, como se ilustra en la figura 3.3 en que se ha definido una lnea ascendente, luego una recta, posteriormente una curva descendente y finalmente una recta. El punto de inicio del espectro tiene una aceleracin espectral que vale: A0 , siendo el coeficiente de importancia y A0 la aceleracin mxima del suelo. La recta de aceleracin constante, que va desde el perodo T0 hasta el perodo T*

tiene un valor de+

A0 .

Habr que definir la ecuacin de la curva

descendente del espectro que va desde el perodo T perodos mayores a T .

hasta T

+

y finalmente la ecuacin para

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

Figura 3.2 Espectro medio, de diseo de grupo de datos. Con el propsito de ser conservador y teniendo presente que el valor del perodo T0 es muy bajo se puede pensar en eliminar la recta ascendente y dejar el espectro para la normativa ssmica como se indica en la figura 3.4. En este caso se tienen dos rectas y una curva. Se hace hincapi en que para perodos menores a T0 se est sobredimensionando la aceleracin espectral y por ende la fuerza ssmica resultante.

Figura 3.3 Espectro medio y formas spectrales para normativa ssmica

3.2 RESEA HISTRICAEn 1959, Housner propuso el primer grupo de formas espectrales promedio, normalizando para el efecto 8 registros obtenidos de los siguientes terremotos: El Centro 1934 y 1940, Western Washington, (Olympia) 1949 y Kerb County (Taft) 1952. Trabajando en forma similar a la indicada en el apartado anterior.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEHayashi, Tsuchida y Kurata en 1971, presentan formas espectrales promedio trabajando con 61 acelerogramas registrados en Japn, lamentablemente muchos de los registros tenan aceleraciones muy bajas y las condiciones del subsuelo en las estaciones de los registros se conocen parcialmente, por estos motivos los resultados obtenidos son considerados como preliminares.

Figura 3.4 Modelo de 2 rectas y una curva para el espectro de diseo. Newmark, Blume y Kapur en 1973 presentaron los resultados a los que llegaron trabajando con acelerogramas cuya aceleracin mxima del suelo es mayor que 0.1g. Los estudios realizados los dividieron en dos grupos. ... En el primer grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la aceleracin mxima del suelo ..., para el efecto trabajaron con 33 registros. ... En el segundo grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la velocidad mxima del suelo ..., en este caso trabajaron con 28 registros. En los estudios realizados no se clasific los registros de acuerdo al tipo de suelo. Seed, Ugas y Lysmer en 1976 ampliaron el estudio y consideran 104 registros obtenidos en sitios en los cuales se conoce con cierta exactitud las condiciones del suelo. Este trabajo ha servido de base para la formulacin de varios cdigos en Amrica del Sur. Razn por la cual a continuacin se presentan los resultados del trabajo en la figura 3.5. Seed et al (1976) clasificaron los 104 registros en cuatro tipos de suelo, a saber: i) Registros en roca (28), ii) Registros en suelo duro con espesor inferior a 60 m., (suelo rgido) (31), iii) Registros en suelos granulares con profundidad superior a 75 m. (30), y iv) registros para arcillas medias o arenas (15). Seed et al (1976), luego de la clasificacin de los registros, construyeron los espectros de respuesta elsticos para un 5% de amortiguamiento y en la figura 3.5 se indican los espectros de aceleracin promedios para los cuatro tipos de suelo, indicados. Del anlisis de la figura 3.5 se puede indicar:

La respuesta mxima espectral de los registros en roca se da para un perodo de 0.2 s., y tiene un factor de amplificacin de 2.5. En los suelos duros con espesores inferiores a los 60 m, la respuesta mxima se dio para perodos de 0.4 s con un factor de amplificacin de 2.8.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE El espectro promedio de suelos no cohesivos profundos tiene dos picos mximos, uno a los 0.45 s de perodo con un factor de amplificacin de 2.7 y otro a los 0.90 s de perodo con un factor de 1.9.

Los registros de arcillas blandas a medias, producen un espectro con un factor de amplificacin de 2.1, que se da para un rango de perodos que vara de 0.3 a 1.0 s.

Figura 3.5

Espectros promedios, para diferentes condiciones de suelo.

3.3 ESPECTRO ELSTICO DEL CEC 2000El Cdigo Ecuatoriano de la Construccin CEC-2000 considera cuatro zonas ssmicas que van desde 0.15 g . , en la regin oriental, hasta la zona cuatro que tiene un valor

Ao = 0.4 g . , en parte de la costa y de la sierra. En la figura 3.6 se presenta la forma delespectro de diseo elstico del CEC-2000 que est definido por las siguientes ecuaciones:

T > [Ru]=newmarkhall(u) En la figura 3.13 se indican las curvas que reporta el programa NEWMARKHALL. La identificacin de cada curva se la realiz utilizando PAINT.

3.9

AGUIAR Y GUERRERO (2005)

En base al anlisis de 63 registros ssmicos con aceleracin mxima del suelo mayor al 10% de la aceleracin de la gravedad, Aguiar y Guerrero en el 2005 encuentran relaciones para el desplazamiento mximo inelstico i con respecto al desplazamiento mximo elstico

e . Si se aprecia la ecuacin ( 3.13 ) est relacin reporta / R . Lo importante esdeterminar el valor de R que pueda ser utilizado en el Ecuador o en alguno de los pases de donde proceden los acelerogramas con que se ha trabajado. Las ecuaciones obtenidas son las siguientes:

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

i = 3 e

( 3.16 )

3 =

[c ( 1) + 1]

1/ c

=

R para = 0.0 para = 0.05

( 3.17 )

c(T , ) =

0.381 T 2.07 + 2.07 T 1+ T 1.247 0.248 T + c(T , ) = 1.247 T 1+ T

( 3.18 )

( 3.19 )

Donde es la relacin entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elstica, para el modelo elasto plato perfecto indicado en las figuras 3.10 y 3.11 el valor de = 0 ya que la rigidez post fluencia es cero (recta Y-I). El denominador de la ecuacin ( 3.17 ) viene a ser el valor de R que se ha comentado en los ltimos apartados.

= 0 , para demandas de ductilidad de 2 a 4. Se destaca que los sismos del estudio fueronregistrados en Colombia, Per, Argentina y Chile.

En la figura 3.14 se indica la curva que dio origen a la ecuacin ( 3.17 ) para el caso de

Se observa en la figura 3.14 que para perodos mayores a 0.5 s., el desplazamiento mximo inelstico es prcticamente igual al desplazamiento mximo elstico. Por lo tanto para perodos mayores a 0.5 s., se cumple la regla de igual desplazamiento. Para perodos menores a 0.5 s., la regla de igual desplazamiento subestima el clculo del desplazamiento mximo inelstico. Se aprecia en la figura 3.14 que cuando el perodo tiende a cero la relacin entre el desplazamiento mximo inelstico con respecto al desplazamiento mximo elstico tiende a la ductilidad, de acuerdo al trabajo desarrollado por Newmark y Hall (1982). Con los datos indicados en la figura 3.14 se puede indicar que para perodos menores a 0.5 s., la regla de igual energa es apropiada para calcular el desplazamiento mximo inelstico.

Figura 3.14 Parmetro

3

obtenido en base a sismos registrados en Amrica del Sur.

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3.10

APLICACIN AL ESPECTRO INELSTICO DEL CEC-2000Con relacin a las figuras 3.10 y 3.11 se tiene que la fuerza elstica Fe es igual al

producto de la masa m por la aceleracin elstica Ae . De igual manera la fuerza inelstica Fy es igual a la masa m por la aceleracin inelstica Ai .

Fe = m Ae Fy = m AiAl dividir estas dos ecuaciones y teniendo en cuenta que Fe / Fy = R se tiene que la aceleracin inelstica es igual a la aceleracin elstica dividida para el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas.

Ai =

Ae R

( 3.20 )

Esta ecuacin ha sido adoptada por el CEC-2000 y por algunas otras normativas ssmicas, de tal manera que a partir del espectro elstico se halla el espectro inelstico dividiendo para el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas.

3.11

INCORPORACIN DEL FACTOR DE RESISTENCIA

Cuando se realiza el anlisis ssmico se encuentran las fuerzas laterales, estticas equivalentes con las que se procede al diseo de la estructura. La sumatoria de estas fuerzas laterales representa el cortante basal de diseo V0 . Ahora bien, cuando se disean los elementos estructurales, para facilitar el sistema constructivo, se coloca ms armadura o se agrandan las secciones de los elementos para poder utilizar los mismos encofrados o para facilitar el armado. Adicionalmente, en el clculo se deben realizar una serie de controles, como por ejemplo, el control de la conexin viga columna, el mismo que algunas veces conduce a incrementar la seccin de los elementos. Todo esto ocasiona un incremento en la capacidad al corte basal de la estructura lo que da origen al factor de resistencia RS que no es ms que la relacin entre la verdadera capacidad al corte en la base que tiene la estructura con relacin al corte basal de diseo. nicamente para mantener el esquema de la explicacin se hace una abstraccin a la nomenclatura utilizada en las figuras 3.10 y 3.11 y se emplea una figura realizada por Julio Hernndez (1997) la misma que se presenta en la figura 3.15. El modelo elasto perfectamente plstico es un modelo ideal, en la realidad la rigidez post fluencia es diferente de cero. Por otra parte, ante un sismo severo no se forma una sola rtula plstica sino que se forman varias rtulas como lo ilustra la figura 3.15. La primera rtula est identificada en la figura con la letra D de diseo que vendra a representar la letra Y de las figuras 3.10 y 3.11 pero ahora el nuevo modelo elasto plasto se encuentra ms arriba porque la estructura tiene una mayor capacidad ssmica. Con esta indicacin el factor de resistencia RS viene definida por:

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPE

RS =

Fy Fd( 3.21 )

Por relacin de tringulos semejantes, de la figura 3.15 se tiene que:

y dDe donde:

=

Fy Fd

= RS

Fy = RS Fd y = RS dLuego:

R =

Fe Fe = Fy RS Fd

Fe = R RS Fd i = RS d

( 3.22 )

=

i i = y RS d

( 3.23 )

Por lo tanto, al considerar el factor de resistencia, se tiene que el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R y la ductilidad global del sistema D, valen:

R = RS R D = RS ( 3.24 )

Figura 3.15 Capacidad ssmica resistente.

Es importante ver con detenimiento la ecuacin ( 3.24 ) que indica que la ductilidad global del sistema es igual al producto del factor de resistencia por la demanda de ductilidad. En estructuras muy bien detalladas que tengan ductilidades por curvatura en las vigas mayores a 12 se puede pensar en tener una ductilidad = 4 y un factor

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEde resistencia de 1.5 de tal manera que la ductilidad global es de 6. Para estas condiciones, en la figura 3.16, se indica el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R .

Figura 3.16 Factor de reduccin R para una demanda de ductilidad global 6. El factor de reduccin de las fuerzas por ductilidad R se hall con la siguiente ecuacin:

R = [c( 1) + 1] c=

1/ c

T 2.07 0.381 + 2.07 T 1+ T

Ntese, en la figura 3.16, que para perodos menores a 0.5 s., los valores de R son menores a 6. De tal manera que para este rango de perodos no se puede trabajar considerar un factor de reduccin de las fuerzas ssmicas igual a 10 ya que el sismo le va a demandar mayores fuerzas ssmicas. Es verdad que en el ejemplo se ha considerado que el factor de redundancia es igual a la unidad pero al considerar este factor tampoco se llega a 10. El desconocimiento de la forma como se evala el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R puede llevar a que emplee el mayor valor que estipula el Cdigo y de esa manera se obtienen fuerzas estticas por sismo muy bajas que estn mal evaluadas.

3.12

INCORPORACIN DE LA REDUNDANCIA

Cuando la estructura ingresa al rango no lineal, es importante que la mayor parte de elementos tome partido soportando las fuerzas ssmicas, para que de esta manera se de una redistribucin de esfuerzos en la estructura. El ndice de redundancia, es el parmetro que permite calificar la redistribucin de esfuerzos en la estructura cuando esta incursiona en el rango no lineal. Guendelman (2000). Como se podr apreciar el ndice de redundancia depende de que resistencia adicional tenga el elemento cuando ha llegado a la fluencia, cuando ha llegado al lmite del rango elstico. En efecto, habr elementos que han llegado a la fluencia y otros no pero si los primeros tienen todava una capacidad de soportar ms fuerzas ssmicas o tienen una gran ductilidad, de seguro que esto obligar a que los elementos que estn menos solicitados

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEabsorban mayores cargas y deformaciones, de esta forma no se permite tener elementos ociosos y as la estructura disipar la mayor cantidad de energa ssmica. El ndice de redundancia tambin es funcin del nmero de elementos que tenga el prtico y del nmero de prticos que tenga la estructura, ya que a mayor cantidad de elementos se tendr una mayor cantidad de rtulas plsticas. Pero no es funcin nicamente del nmero de rtulas plsticas el ndice de redundancia si no tambin de que tanto permite esa rtula plstica incursionar en el rango no lineal, de tal manera que el ndice de redundancia se puede calcular en base al nmero de rtulas plsticas y a la capacidad de incursionar en el rango inelstico de ese elemento. El ATC (1995) penaliza a las estructuras que tienen menos de 4 ejes de columnas, asignado valores para el factor de redundancia R R menores a la unidad, como se aprecia en la tabla 3.4. Donde, por ejemplo, para estructuras compuestas por 3 ejes de columnas en cada direccin el factor R R , de acuerdo al ATC es de 0.86 Estas son estructuras compuestas por 9 columnas. Tabla 3.4 Valores propuesto de R R por el ATC-1995 Nmero de ejes de columnas Factor R R 2 0.71 3 0.86 4 1.00 En forma implcita se incorporaba el factor de redundancia, en el factor de ductilidad global del sistema D y para efecto se consideraba que si una estructura tiene una mayor cantidad de ejes de columnas, tendr un mayor valor de D. La tendencia actual es transparentar ese valor y para el efecto se estn realizando numerosas investigaciones entre las que se destacan las realizadas por Tsopelas y Husain (2004) en que proponen el clculo del factor de redundancia R R en funcin de dos ndices, el uno denominado ndice de redundancia por resistencia rs y el otro denominado ndice de redundancia por formacin de rtulas plsticas rv .

1 k ve rv RR = rs 1 k v e

( 3.25 )

Donde k es un parmetro estadstico que est relacionado con una funcin normal de resistencia de los elementos de la estructura. Este parmetro vara entre 1.5 y 2.5. (Nowak y Collins, 2000). e es el coeficiente de variacin de la resistencia de los elementos, vara entre 0.08 y 0.14 (Ellingwood et al. 1980).

rv =

1 1 n m 1

( 3.26 )

Siendo n el nmero de rtulas plsticas que se esperan en un prtico plano; m el nmero de prticos que tiene la estructura en la direccin analizada.

rs =

Su S nr

( 3.27 )

Donde S u es la mxima resistencia de la estructura, que no est asociada al colapso de la misma. S nr es la resistencia de la estructura como que no tuviera redundancia. Se ha presentado nicamente el modelo desarrollado por Tsopelas y Husain (2004) para determinar

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEpara determinar el factor de redundancia y tener idea de las variables que intervienen en su formulacin. La determinacin de R R se la realiza en cada direccin principal de la estructura.

3.13

CLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIN R

Para iniciar el anlisis ssmico de una estructura, el proyectista estructural debe imponerse un valor de reduccin de las fuerzas ssmicas R y para el efecto acude al Cdigo o Normativa Ssmica y selecciona el mayor valor estipulado de acuerdo a la tipologa estructural. Es conveniente que el lector conozca que esos valores no tienen un respaldo cuantitativo ms bien tienen un respaldo cualitativo y estn basados en el criterio de expertos. Por lo que se recomienda ser cautelosos con la seleccin de los mismos y no tomar el mayor estipulado especialmente si el perodo de la estructura es menor a 0.5 segundos, (figura 3.16 ). Una vez que el proyectista selecciona el valor de R , tambin selecciona el valor de la ductilidad . Si R es alto el valor de tambin ser alto y para lograr un alto deber seguir al pie de la letra todo lo requerido en el Cdigo A.C.I. (American Concrete Institute). Una vez que ha finalizado el diseo, es obligacin del calculista calcular el factor R , para lo cual debe proceder de la siguiente manera: i. Calcular el factor de reduccin por ductilidad R , el mismo que est en funcin del perodo de vibracin

T y de la ductilidad del sistema R = [c( 1) + 1]1/ c

T 2.07 0.381 + c= 2.07 T 1+ Tii. Determinar el factor de resistencia RS para el efecto debe encontrar la curva de capacidad ssmica resistente, empleando la tcnica del pushover. La curva de capacidad ssmica relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral mximo en el tope del edificio Dt . Aguiar (2003). En la figura 3.17, a la izquierda se indica con lneas entrecortadas esta curva y con lnea continua se presenta el modelo bilineal.

Figura 3.17 Descripcin del modelo utilizado para calcular VU .

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEEl modelo bilineal est definido por el cortante de fluencia V y , el desplazamiento a nivel de fluencia Dty , el cortante a nivel de fallo Vu y el desplazamiento asociado Dtu . En Aguiar (2002) se ensean varios criterios con los cuales se puede hallar el modelo bilineal. Una vez que se halla el modelo bilineal, que contempla incremento de resistencia en el rango no lineal, se halla el modelo elasto perfectamente plstico que se muestra en la grfica de la derecha de la figura 3.17, mediante las siguientes ecuaciones:

V =

U

V y + Vu 2

VU Dty D = Vy ty

( 3.28 )

Donde VU es la capacidad de cortante ltimo de la estructura. Para encontrar el factor de resistencia RS se debe conocer el cortante de diseo V0 ya que:

RS =

VU V0

( 3.29 )

El valor de V0 debe encontrarse con cualquier mtodo en el cual no intervenga el factor de reduccin de las fuerzas ssmicas R ya que este el valor se est calculando. Se recomienda utilizar el Mtodo del Espectro de Capacidad descrito con detalle en el libro: Anlisis Ssmico por Desempeo, Aguiar (2003). En el Mtodo del Espectro de Capacidad se coloca en un mismo grafico, el espectro de capacidad de la estructura y el espectro de demanda ssmica como se tiene en la figura 3.18. En el eje de las X, se representa el desplazamiento espectral que se ha denominado S d y en el eje de las Y, la aceleracin espectral denominada S a . De tal manera que el espectro de diseo que relaciona el perodo de la estructura con la aceleracin espectral debe pasarse al formato desplazamiento aceleracin. Lo propio debe ejecutarse con la curva de capacidad ssmica de la estructura que est en el formato desplazamiento lateral mximo vs. cortante basal. En el Mtodo del Espectro de capacidad bsicamente se halla el punto de desempeo que en la figura 3.18 se ha identificado como dt.

Figura 3.18 Descripcin del Mtodo del Espectro de capacidad.

Roberto Aguiar Falcon CEINCI-ESPEEl desplazamiento dt est asociado a un sistema de un grado de libertad por lo que para encontrar el desplazamiento mximo Dt en el sistema real que tiene mltiples grados de libertad se debe multiplicar este valor por el factor

1 .( 3.30 )

Dt = 1 d t

Donde d t es el desplazamiento lateral mximo, en un sistema de un grado de libertad, que se halla en el Mtodo del Espectro de Capacidad.

1

es el factor de amplificacin

que permite encontrar el desplazamiento lateral mximo en el tope del edificio Dt . Se recomienda la ecuacin propuesta por Algan (1982) para calcular

1 . Esta es:( 3.31 )

1 =

3N 2 N +1

Siendo N el nmero de pisos de la estructura. Una vez que se ha determinado Dt se ingresa a la curva de capacidad ssmica de la estructura, con este valor y se halla el cortante basal V0 . Finalmente se aplica la ecuacin ( 3.29 ) y se halla RS . iii. Se halla el factor de redundancia R R para el efecto se recurre a la tcnica del pushover para ver el nmero de rtulas plsticas que se pueden formar en la estructura. Ms fcil es ver el nmero de rtulas plsticas n que se forman en un prtico hasta llegar al fallo de la estructura. Para una determina direccin se tiene el nmero de prticos m . Por lo tanto al aplicar la ecuacin ( 3.26 ) que se copia a continuacin, se halla el ndice de redundancia por formacin de rtulas plsticas.

rv =

1 1 n m 1

Para encontrar el ndice de resistencia rs se recomienda trabajar con la siguiente expresin:

rs =

i =1

ns

M ui M yi ns

( 3.32 )

Donde M ui , M yi son los momentos ltimo y de fluencia en la seccin i. La sumatoria va desde i=1 hasta ns siendo ns el nmero