1. 1. Dinmica de estructuras A01_CHOPRA.indd i 23/07/13 16:37
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3. 3. Dinmica de estructuras Cuarta edicin Anil K. Chopra University of California at Berkeley Traduccin Jess Elmer Murrieta Murrieta Maestro en investigacin de operaciones Tecnolgico de Monterrey - Campus Morelos Revisin tcnica Luciano Roberto Fernndez Sol Consuelo Gmez Sobern Departamento de Materiales Universidad Autnoma Metropolitana-Azcapotzalco A01_CHOPRA.indd iii 23/07/13 16:37
4. 4. Authorized translation from the English language edition, entitled DYNAMICS OF STRUCTURES 4th edition, by ANIL CHOPRA, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright 2012. All rights reserved. ISBN 9780132858038 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada DYNAMICS OF STRUCTURES 4 edicin, por ANIL CHOPRA, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright 2012. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Direccin General: Philip de la Vega Direccin Educacin Superior: Mario Contreras Editor Sponsor: Luis M. Cruz Castillo e-mail: luis.cruz@pearson.com Editor de Desarrollo: Bernardino Gutirrez Hernndez Supervisor de Produccin: Juan Jos Garca Guzmn Gerencia Editorial Educacin Superior Latinoamrica: Marisa de Anta CUARTA EDICIN, 2014 D.R. 2014 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-2239-6 ISBN VERSIN E-BOOK: 978-607-32-2240-2 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-2241-9 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 16 15 14 13 www.pearsonenespaol.com Datos de catalogacin bibliogrfica CHOPRA, ANIL K. Dinmica de estructuras Cuarta edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2014 ISBN: 978-607-32-2239-6 rea: Ingeniera Formato: 18.5 x 23.5 cm Pginas: 752 A01_CHOPRA.indd iv 23/07/13 16:37
5. 5. Dedicado a Hamida y Nasreen, con gratitud por sugerirme la idea de trabajar en un libro, y con agradecimiento por soportar pacientemente y compartir estos aos de preparacin conmigo. Su presencia y aliento hicieron que esta idea se volviera una realidad. A01_CHOPRA.indd v 23/07/13 16:37
6. 6. A01_CHOPRA.indd vi 23/07/13 16:37
7. 7. vii PARTE I Sistemas con un solo grado de libertad 1 1 Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin 3 2 Vibracin libre 39 3 Respuesta a las excitaciones armnicas y peridicas 65 4 Respuesta a excitaciones arbitrarias, escalonadas y de pulso 125 5 Evaluacin numrica de la respuesta dinmica 165 6 Respuesta ssmica de sistemas lineales 197 7 Respuesta al sismo de los sistemas inelsticos 257 8 Sistemas generalizados de un solo grado de libertad 307 PARTE II Sistemas de varios grados de libertad 345 9 Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin 347 10 Vibracin libre 403 Contenido breve A01_CHOPRA.indd vii 23/07/13 16:37
8. 8. Descripcinviii 11 Amortiguamiento en estructuras 447 12 Anlisis dinmico y respuesta de los sistemas lineales 467 13 Anlisis ssmico de sistemas lineales 513 14 Anlisis de los sistemas lineales con amortiguamiento no clsico 617 MATERIAL EN EL SITIO WEB 15 Reduccin de los grados de libertad 657 16 Evaluacin numrica de la respuesta dinmica 673 17 Systems with Distributed Mass and Elasticity (EN INGLS) 697 18 Introduction to the Finite Element Method (EN INGLS) 729 PARTE III RESPUESTA SSMICA, DISEO Y EVALUACIN DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES 755 19 Respuesta ssmica de edicios elstico lineales 757 20 Anlisis ssmico y respuesta de edicios inelsticos 775 21 Earthquake Dynamics of Base-Isolated Buildings (EN INGLS) 809 22 Dinmica estructural en los cdigos de construccin 835 23 Dinmica estructural en las especicaciones de evaluacin de los edicios 863 Apndice A Mtodo del dominio de la frecuencia para el anlisis de respuesta 883 Apndice B Notacin 905 Apndice C Respuestas a problemas seleccionados 917 ndice 933 A01_CHOPRA.indd viii 23/07/13 16:37
9. 9. ix Prlogo xxi Prefacio xxiii Agradecimientos xxxi PARTE I Sistemas con un solo grado de libertad 1 1 Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin 3 1.1 Estructuras simples 3 1.2 Sistemas de un grado de libertad 7 1.3 Relacin fuerza-desplazamiento 8 1.4 Fuerza de amortiguamiento 12 1.5 Ecuacin de movimiento: fuerza externa 14 1.6 Sistema masa-resorte-amortiguador 19 1.7 Ecuacin de movimiento: excitacin ssmica 23 1.8 Planteamiento del problema y elementos mecnicos 26 Contenido A01_CHOPRA.indd ix 23/07/13 16:37
10. 10. Contenidox 1.9 Combinacin de respuestas estticas y dinmicas 28 1.10 Mtodos de solucin de la ecuacin diferencial 28 1.11 Estudio de los sistemas de 1GDL: organizacin 33 Apndice 1: Coeficientes de rigidez para un elemento en flexin 33 2 Vibracin libre 39 2.1 Vibracin libre no amortiguada 39 2.2 Vibracin libre viscosamente amortiguada 48 2.3 Energa en vibracin libre 56 2.4 Vibracin libre con amortiguamiento de Coulomb 57 3 Respuesta a las excitaciones armnicas y peridicas 65 Parte A: Sistemas con amortiguamiento viscoso: resultados bsicos 66 3.1 Vibracin armnica de sistemas no amortiguados 66 3.2 Vibracin armnica con amortiguamiento viscoso 72 Parte B: Sistemas con amortiguamiento viscoso: aplicaciones 85 3.3 Respuesta ante un generador de vibracin 85 3.4 Frecuencia natural y amortiguamiento a partir de pruebas armnicas 87 3.5 Transmisin de fuerza y aislamiento de vibraciones 90 3.6 Respuesta ante el movimiento del terreno y aislamiento de vibraciones 91 3.7 Instrumentos para medir vibraciones 95 3.8 Energa disipada por el amortiguamiento viscoso 99 3.9 Amortiguamiento viscoso equivalente 103 Parte C: Sistemas con amortiguamiento no viscoso 105 3.10 Vibracin armnica con amortiguamiento independiente de la frecuencia 105 3.11 Vibracin armnica con friccin de Coulomb 109 A01_CHOPRA.indd x 23/07/13 16:37
11. 11. Contenido xi Parte D: Respuesta ante una excitacin peridica 113 3.12 Representacin de las series de Fourier 114 3.13 Respuesta ante una fuerza peridica 114 Apndice 3: Grfica de escala tetralogartmica 118 4 Respuesta a excitaciones arbitrarias, escalonadas y de pulso 125 Parte A: Respuesta a fuerzas que varan arbitrariamente en el tiempo 125 4.1 Respuesta a un impulso unitario 126 4.2 Respuesta a una fuerza arbitraria 127 Parte B: Respuesta a fuerzas escalonada y creciente 129 4.3 Fuerza escalonada 129 4.4 Fuerza tipo rampa o linealmente creciente 131 4.5 Fuerza escalonada con tiempo de crecimiento finito 132 Parte C: Respuesta a excitaciones de pulso 135 4.6 Mtodos de solucin 135 4.7 Fuerza de pulso rectangular 137 4.8 Fuerza de pulso sinusoidal de medio ciclo 143 4.9 Fuerza de pulso triangular simtrica 148 4.10 Efectos de la forma del pulso y anlisis aproximado para los pulsos cortos 151 4.11 Efectos del amortiguamiento viscoso 154 5 Evaluacin numrica de la respuesta dinmica 165 5.1 Mtodos paso a paso en el tiempo 165 5.2 Mtodos basados en la interpolacin de la excitacin 167 5.3 Mtodo de la diferencia central 171 5.4 Mtodo de Newmark 174 5.5 Estabilidad y error de clculo 180 5.6 Sistemas no lineales: mtodo de la diferencia central 183 5.7 Sistemas no lineales: mtodo de Newmark 183 A01_CHOPRA.indd xi 23/07/13 16:37
12. 12. Contenidoxii 6 Respuesta ssmica de sistemas lineales 197 6.1 Excitacin ssmica 197 6.2 Ecuacin de movimiento 203 6.3 Cantidades de respuesta 204 6.4 Historia de la respuesta 205 6.5 Concepto del espectro de respuesta 207 6.6 Espectros de respuesta de deformacin, de pseudo-velocidad y de pseudo-aceleracin 208 6.7 Respuesta estructural mxima a partir del espectro de respuesta 217 6.8 Caractersticas del espectro de respuesta 222 6.9 Espectro de diseo elstico 230 6.10 Comparacin de los espectros de diseo y respuesta 239 6.11 Distincin entre los espectros de diseo y de respuesta 241 6.12 Espectros de respuesta de velocidad y aceleracin 242 Apndice 6: El centro, movimiento del terreno de 1940 246 7 Respuesta al sismo de los sistemas inelsticos 257 7.1 Relaciones fuerza-deformacin 258 7.2 Resistencia a la cedencia normalizada, factor de reduccin de la resistencia a la cedencia y factor de ductilidad 265 7.3 Ecuacin de movimiento y parmetros de control 266 7.4 Efectos de la cedencia 267 7.5 Espectro de respuesta para la deformacin de cedencia y la resistencia a la cedencia 274 7.6 Resistencia a la cedencia y deformacin a partir del espectro de respuesta 278 7.7 Relacin resistencia a la cedencia-ductilidad 278 7.8 Efectos relativos de la cedencia y el amortiguamiento 280 7.9 Energa disipada 281 A01_CHOPRA.indd xii 23/07/13 16:37
13. 13. Contenido xiii 7.10 Dispositivos complementarios para la disipacin de energa 284 7.11 Espectro de diseo inelstico 289 7.12 Aplicaciones del espectro de diseo 296 7.13 Comparacin de los espectros de respuesta y de diseo 302 8 Sistemas generalizados de un solo grado de libertad 307 8.1 Sistemas generalizados de 1GDL 307 8.2 Ensambles de cuerpos rgidos 309 8.3 Sistemas con masa y elasticidad distribuidas 311 8.4 Sistema de masa concentrada: edificio de cortante 323 8.5 Frecuencia de vibracin natural por el mtodo de Rayleigh 330 8.6 Seleccin de la funcin de forma 334 Apndice 8: Fuerzas de inercia para los cuerpos rigidos 338 PARTE II Sistemas de varios grados de libertad 345 9 Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin 347 9.1 Sistema sencillo: edificio cortante de dos niveles 347 9.2 Enfoque general para los sistemas lineales 352 9.3 Condensacin esttica 369 9.4 Sistemas planos o de planta simtrica: movimiento del terreno 372 9.5 Edificios de un piso con planta asimtrica 377 9.6 Edificios de varios niveles con planta asimtrica 383 9.7 Excitacin multisoporte 387 9.8 Sistemas inelsticos 392 9.9 Planteamiento del problema 392 9.10 Elementos mecnicos 393 9.11 Mtodos para resolver las ecuaciones de movimiento: descripcin general 393 A01_CHOPRA.indd xiii 23/07/13 16:37
14. 14. Contenidoxiv 10 Vibracin libre 403 Parte A: Frecuencias y modos de vibracin naturales 404 10.1 Sistemas sin amortiguamiento 404 10.2 Frecuencias y modos de vibracin naturales 406 10.3 Matrices modal y espectral 408 10.4 Ortogonalidad de los modos 409 10.5 Interpretacin de la ortogonalidad modal 410 10.6 Normalizacin de los modos 410 10.7 Expansin modal de los desplazamientos 420 Parte B: Respuesta de vibracin libre 421 10.8 Solucin de ecuaciones de vibracin libre: sistemas no amortiguados 421 10.9 Sistemas con amortiguamiento 424 10.10 Solucin de ecuaciones de vibracin libre: sistemas clsicamente amortiguados 425 Parte C: Clculo de las propiedades de vibracin 428 10.11 Mtodos de solucin para el problema de valor caracterstico 428 10.12 Cociente de Rayleigh 430 10.13 Mtodo de iteracin vectorial inverso 430 10.14 Iteracin vectorial con desplazamiento: procedimiento preferente 435 10.15 Transformacin de k = 2 m a la forma estndar 440 11 Amortiguamiento en estructuras 447 Parte A: Datos experimentales y fracciones de amortiguamiento modal recomendadas 447 11.1 Propiedades de vibracin del edificio de la biblioteca Millikan 447 11.2 Estimacin de las fracciones de amortiguamiento modal 452 Parte B: Construccin de la matriz de amortiguamiento 454 11.3 Matriz de amortiguamiento 454 A01_CHOPRA.indd xiv 23/07/13 16:37
15. 15. Contenido xv 11.4 Matriz de amortiguamiento clsico 455 11.5 Matriz de amortiguamiento no clsico 464 12 Anlisis dinmico y respuesta de los sistemas lineales 467 Parte A: Sistemas de dos grados de libertad 467 12.1 Anlisis de los sistemas de dos grados de libertad sin amortiguamiento 467 12.2 Amortiguador de masa resonante 470 Parte B: Anlisis modal 472 12.3 Ecuaciones modales para los sistemas no amortiguados 472 12.4 Ecuaciones modales para los sistemas amortiguados 475 12.5 Respuesta de desplazamiento 476 12.6 Fuerzas de los elementos 477 12.7 Anlisis modal: resumen 477 Parte C: Contribuciones a la respuesta modal 482 12.8 Expansin modal del vector de excitacin p(t) = sp(t) 482 12.9 Anlisis modal para p(t) = sp(t) 486 12.10 Factores de contribucin modal 487 12.11 Respuestas modales y nmero requerido de modos 489 Parte D: Procedimientos especiales de anlisis 496 12.12 Mtodo de correccin esttica 496 12.13 Mtodo de superposicin de la aceleracin modal 499 12.14 Mtodo de superposicin de la aceleracin modal: excitacin arbitraria 500 13 Anlisis ssmico de sistemas lineales 513 Parte A: Anlisis de la historia de la respuesta 514 13.1 Anlisis modal 514 13.2 Edificios de varios niveles con planta simtrica 520 13.3 Edificios de varios niveles con planta asimtrica 540 A01_CHOPRA.indd xv 23/07/13 16:37
16. 16. Contenidoxvi 13.4 Respuesta torsional de edificios con planta simtrica 551 13.5 Anlisis de respuesta para la excitacin multisoporte 555 13.6 Idealizacin estructural y respuesta a los sismos 561 Parte B: Anlisis con el espectro de respuesta 562 13.7 Respuesta mxima a partir del espectro de respuesta de los sismos 562 13.8 Edificios de varios niveles con planta simtrica 567 13.9 Edificios de varios niveles con planta asimtrica 579 13.10 Una envolvente basada en el espectro de respuesta para respuestas simultneas 587 13.11 Respuesta mxima a movimientos del terreno con varios componentes 595 14 Anlisis de los sistemas lineales con amortiguamiento no clsico 617 Parte A: Sistemas con amortiguamiento clsico: reformulacin 618 14.1 Frecuencias y modos de vibracin natural 618 14.2 Vibracin libre 619 14.3 Respuesta al impulso unitario 620 14.4 Respuesta ssmica 621 Parte B: Sistemas con amortiguamiento no clsico 622 14.5 Frecuencias y modos de vibracin natural 622 14.6 Ortogonalidad de los modos 623 14.7 Vibracin libre 627 14.8 Respuesta al impulso unitario 632 14.9 Respuesta ssmica 636 14.10 Sistemas con valores caractersticos de valor real 638 14.11 Anlisis del espectro de respuesta 646 14.12 Resumen 647 Apndice 14: Deducciones 648 A01_CHOPRA.indd xvi 23/07/13 16:37
17. 17. xvii MATERIAL EN EL SITIO WEB 15 Reduccin de los grados de libertad 657 15.1 Restricciones cinemticas 658 15.2 Concentracin de masas en los grados de libertad seleccionados 659 15.3 Mtodo de Rayleigh-Ritz 659 15.4 Seleccin de los vectores de Ritz 663 15.5 Anlisis dinmico mediante los vectores de Ritz 668 16 Evaluacin numrica de la respuesta dinmica 673 16.1 Mtodos de anlisis en el tiempo paso a paso 673 16.2 Sistemas lineales con amortiguamiento no clsico 675 16.3 Sistemas no lineales 681 17 Systems with Distributed Mass and Elasticity (EN INGLS) 697 17.1 Equation of Undamped Motion: Applied Forces 698 17.2 Equation of Undamped Motion: Support Excitation 699 17.3 Natural Vibration Frequencies and Modes 700 17.4 Modal Orthogonality 707 17.5 Modal Analysis of Forced Dynamic Response 709 17.6 Earthquake Response History Analysis 716 17.7 Earthquake Response Spectrum Analysis 721 17.8 Difficulty in Analyzing Practical Systems 724 18 Introduction to the Finite Element Method (EN INGLS) 729 Part A: RayleighRitz Method 729 18.1 Formulation Using Conservation of Energy 729 18.2 Formulation Using Virtual Work 733 18.3 Disadvantages of RayleighRitz Method 735 Part B: Finite Element Method 735 18.4 Finite Element Approximation 735 18.5 Analysis Procedure 737 A01_CHOPRA.indd xvii 23/07/13 16:37
18. 18. Contenidoxviii 18.6 Element Degrees of Freedom and Interpolation Functions 739 18.7 Element Stiffness Matrix 740 18.8 Element Mass Matrix 741 18.9 Element (Applied) Force Vector 743 18.10 Comparison of Finite Element and Exact Solutions 747 18.11 Dynamic Analysis of Structural Continua 748 PARTE III RESPUESTA SSMICA, DISEO Y EVALUACIN DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES 755 19 Respuesta ssmica de edicios elstico lineales 757 19.1 Sistemas analizados, espectro de diseo y cantidades de respuesta 757 19.2 Influencia de T1 y en la respuesta 762 19.3 Factores de contribucin modal 763 19.4 Influencia de T1 en la respuesta de los modos superiores 765 19.5 Influencia de en la respuesta de los modos superiores 768 19.6 Variacin de la respuesta de los modos superiores con la altura 769 19.7 Cuantos modos deben incluirse 771 20 Anlisis ssmico y respuesta de edicios inelsticos 775 Parte A: Anlisis de la historia de la respuesta no lineal 776 20.1 Ecuaciones de movimiento: formulacin y solucin 776 20.2 Clculo de las demandas ssmicas: factores por considerar 777 20.3 Demandas de la distorsin de entrepiso 781 20.4 Demandas de resistencia para sistemas de 1GDL y VGDL 787 Parte B: Procedimientos de anlisis aproximado 788 20.5 Motivacin y concepto bsico 788 20.6 Anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada 790 20.7 Anlisis pushover modal 797 20.8 Evaluacin del anlisis pushover modal 802 A01_CHOPRA.indd xviii 23/07/13 16:37
19. 19. Contenido xix 20.9 Anlisis pushover modal simplificado para su aplicacin prctica 807 21 Earthquake Dynamics of Base-Isolated Buildings (EN INGLS) 809 21.1 Isolation Systems 809 21.2 Base-Isolated One-Story Buildings 812 21.3 Effectiveness of Base Isolation 818 21.4 Base-Isolated Multistory Buildings 822 21.5 Applications of Base Isolation 828 22 Dinmica estructural en los cdigos de construccin 835 Parte A: Cdigos de construccin y dinmica estructural 836 22.1 Cdigo internacional de construccin (Estados Unidos), 2009 836 22.2 Cdigo nacional de construccin de Canad, 2010 839 22.3 Cdigo del Distrito Federal en Mxico, 2004 (ltima actualizacin en enero de 2004) 841 22.4 Eurocdigo 8, 2004 844 22.5 La dinmica estructural en los cdigos de construccin 846 Parte B: Evaluacin de los cdigos de construccin 852 22.6 Cortante basal 852 22.7 Cortantes de entrepiso y fuerzas estticas equivalentes 856 22.8 Momentos de volteo 858 22.9 Observaciones finales 861 23 Dinmica estructural en las especicaciones de evaluacin de los edicios 863 23.1 Procedimiento dinmico no lineal: prctica actual 864 23.2 Estimacin del desplazamiento de techo para un sistema de 1GDL 865 23.3 Estimacin de la deformacin en sistemas inelsticos de 1GDL 868 23.4 Procedimientos estticos no lineales 874 23.5 Observaciones finales 880 A01_CHOPRA.indd xix 23/07/13 16:37
20. 20. Contenidoxx Apndice A Mtodo del dominio de la frecuencia para el anlisis de respuesta 883 Apndice B Notacin 905 Apndice C Respuestas a problemas seleccionados 917 ndice 933 A01_CHOPRA.indd xx 23/07/13 16:37
21. 21. xxi La necesidad de un libro de texto sobre ingeniera ssmica fue planteada por primera vez por el eminente ingeniero consultor, John R. Freeman (1855-1932). Despus del sismo de 1925 que caus grandes daos en Santa Brbara, California, Freeman se interes en el tema y realiz bsquedas de libros adecuados en la Biblioteca Pblica de Boston. Encontr que no slo no haba ningn libro de texto sobre ingeniera ssmica, sino que el tema en s no se mencionaba en ninguno de los libros de ingeniera estructural.Al revisar al pasado podemos ver que la enseanza de la ingeniera en 1925 se encontraba en un gran atraso, los clculos se realizaban usando regla de clculo y los programas de estudio no preparaban al estu- diante para la comprensin de la dinmica estructural. De hecho, no se haban desarrollado instrumentos para el registro de movimientos fuertes del terreno, y la sociedad no pareca estar preocupada por el peligro de los sismos. En aos recientes se han publicado textos sobre ingeniera ssmica y dinmica estruc- tural, pero este libro del profesor Anil K. Chopra llena un nicho existente entre los libros ms elementales y los que son para estudios avanzados de posgrado. El autor es un recono- cido experto en ingeniera ssmica y dinmica estructural, y su libro ser de gran valor para los estudiantes, no slo en las regiones ssmicas, sino tambin en otras partes del mundo, dado que el conocimiento de la dinmica estructural es esencial para la ingeniera moderna. El libro presenta material sobre vibraciones y la dinmica de las estructuras, y demuestra su aplicacin a los movimientos estructurales causados por los sismos. El material se presenta de una manera muy clara, con numerosos ejemplos ilustrativos resueltos, por lo que incluso estudiantes de alguna universidad donde no se imparta este curso sern capaces de estudiar con el libro a su propio paso. Los lectores que ya practican la ingeniera, con la ayuda de este libro no deben tener ninguna dificultad para estudiar el tema. Una caracterstica muy interesante del libro es la aplicacin de la teora de la dinmica estructural a los aspectos ms importantes en la respuesta ssmica y el diseo de edificios de Prlogo A01_CHOPRA.indd xxi 23/07/13 16:37
22. 22. Prlogoxxii varios niveles. La informacin que se presenta aqu ser de gran valor para los ingenieros que participan en el diseo ssmico real y que desean mejorar su comprensin del tema. Aunque el material del libro conduce a la ingeniera ssmica, la informacin que se presenta tambin es relevante para las vibraciones inducidas por el viento sobre las es- tructuras, as como los movimientos realizados por el hombre, como los producidos por martillos a gravedad o por el trfico de vehculos pesados. Este texto sobre vibraciones y dinmicas estructurales no tiene competencia, y puede recomendarse a cualquier estudiante serio. Creo que este libro debe ser el que John R. Freeman estaba buscando. George W. Housner California Institute of Technology A01_CHOPRA.indd xxii 23/07/13 16:37
23. 23. xxiii FILOSOFA Y OBJETIVOS Este libro sobre la dinmica de estructuras est concebido como un texto para cursos de ingeniera civil. Incluye muchos temas tericos de la dinmica estructural, y aplicaciones de esta teora al anlisis, la respuesta, el diseo y la evaluacin de las estructuras en casos de sismo. Se asume un nulo conocimiento de la dinmica estructural con el fin de que resulte adecuado para el lector que estudia el tema por primera vez. La presentacin es suficientemente detallada e integrada mediante referencias cruzadas a fin de que sea adecuada para el autoestudio. Esta ca- racterstica, junto con una seleccin de temas motivados por la prctica, debe ser atractiva para los ingenieros profesionales, sobre todo para los que estn interesados en el anlisis y diseo de estructuras en ubicaciones ssmicas. Al elaborar este libro se ha puesto un nfasis especial en facilitar el aprendizaje de la dinmica estructural a los estudiantes e ingenieros profesionales, ya que puede resul- tar difcil. Para lograr este objetivo, se ha estructurado la presentacin en torno a varias caractersticas: las matemticas se mantienen tan sencillas como el tema lo permite. Los procedimientos analticos se resumen y se hace hincapi en los pasos clave, facilitando su aplicacin por parte del lector. Estos procedimientos se ilustran con ms de 120 ejemplos resueltos, muchos de ellos completos y realistas en los que se enfatiza la interpretacin f- sica de los resultados. Se han diseado y ejecutado con detalle alrededor de 500 figuras, de modo que resulten pedaggicamente eficaces; muchas de ellas implican simulaciones com- pletas por computadora de la respuesta dinmica de las estructuras. Se incluyen, asimismo, fotografas de las estructuras y los movimientos estructurales registrados durante los sismos a fin de relacionar la presentacin con hechos reales. Prefacio A01_CHOPRA.indd xxiii 23/07/13 16:37
24. 24. Prefacioxxiv La preparacin de este libro se inspir en varios objetivos: Relacionar las ideas estructurales estudiadas con las propiedades de las estructuras reales. Presentar la teora de la respuesta dinmica de la estructuras de una manera que destaque la comprensin fsica de los procedimientos analticos. Ilustrar las aplicaciones de la teora en la solucin de problemas motivados por aplicaciones prcticas. Interpretar los resultados tericos para entender la respuesta de las estructuras a diferentes excitaciones dinmicas, con nfasis en la excitacin ssmica. Aplicar la teora de la dinmica estructural para realizar estudios paramtricos que pongan en evidencia varios aspectos fundamentales de la respuesta, el diseo y la evaluacin de los sismos en edificios de varios niveles. Este modo de presentacin debe ayudar al lector a lograr una comprensin ms pro- funda del tema y aplicar con confianza la teora de la dinmica estructural a problemas prcticos; sobre todo en el anlisis, el diseo y la evaluacin de estructuras ante los sismos, reduciendo as la brecha existente entre la teora y la prctica. EVOLUCIN DEL LIBRO Dado que el libro apareci por primera vez en 1995, se ha revisado y ampliado en varias formas, lo que dio lugar a la segunda edicin en 2001 y a la tercera edicin en 2007. Im- pulsado por un creciente nmero de registros de movimientos del terreno en la proximidad de una falla, el captulo 6 se extendi para identificar las caractersticas especiales de los movimientos del terreno cercanos a las fallas y compararlas con los movimientos habituales lejanos a stas. Debido al inters cada vez mayor en el comportamiento de los puentes ante los sismos, en varios captulos se aadieron ejemplos sobre la dinmica de stos y su res- puesta ante estos eventos. Debido a la gran necesidad de simplificar los procedimientos del anlisis dinmico adecuados para la ingeniera ssmica basada en el desempeo, se ampli el captulo 7 a fin de proporcionar un anlisis ms completo de las deformaciones inducidas por los sismos en los sistemas inelsticos y elsticos, y para demostrar las aplicaciones del espectro de diseo inelstico en el diseo estructural de ductilidad permisible, el diseo basado en el desplazamiento y la evaluacin ssmica de estructuras existentes. El anterior captulo 19 (ahora 20) se reescribi por completo para incorporar los avances posteriores a 1990 en el anlisis de los sismos y la respuesta de las construcciones inelsticas. El anterior captulo 21 (ahora 22), que originalmente se limitaba a tres cdigos de construccin (Esta- dos Unidos, Canad y Mxico), se ampli para incluir el Eurocdigo. La adicin del captu- lo 22 (ahora 23) estuvo motivada por la adopcin de las directrices basadas en el desempeo para la evaluacin de construcciones existentes en la profesin de la ingeniera estructural. En respuesta a las peticiones de los lectores se incluy el mtodo de dominio de la frecuencia para el anlisis dinmico, pero presentado como un apndice en vez de estar dis- perso a lo largo del libro. Esta decisin se debi a mi objetivo de mantener las matemticas tan sencillas como lo permita cada tema, con lo que la dinmica estructural se vuelve ms accesible a los estudiantes e ingenieros profesionales. A01_CHOPRA.indd xxiv 23/07/13 16:37
25. 25. Prefacio xxv NOVEDADES EN ESTA EDICIN Dinmica de estructuras ha sido bien recibido desde que se public por primera vez, hace ya ms de 18 aos, y contina siendo utilizado como texto en universidades de Estados Uni- dos y muchos otros pases, y cuenta tambin con una gran cantidad de lectores profesiona- les deseosos de actualizarse. Se han hecho traducciones al japons, coreano, chino, griego, persa y al espaol. La preparacin de esta cuarta edicin me proporcion la oportunidad de mejorar, ampliar y actualizar el libro. El captulo 14 es nuevo, por lo que fue necesaria una renumeracin de los captulos 14 a 22 (como 15 a 23); esta nueva numeracin se refleja en el resto del prefacio. Los captulos 5 y 16 se sometieron a una revisin exhaustiva; los captulos 12 y 13 se ampliaron; y el 22 y el 23 se actualizaron. Enseguida presentamos algunos de los cambios especficos: Se aadi el captulo 14, sobre sistemas con amortiguamiento no clsico. Esta adi- cin fue motivada por el gran inters por estos sistemas que se presentan en varias situaciones prcticas: estructuras con sistemas complementarios para la disipacin de energa o sobre la base de un sistema de aislamiento, sistemas terreno-estructu- ra y sistemas fluido-estructura. Los captulos 5 y 16, sobre la evaluacin numrica de la respuesta dinmica, se reescribieron para ajustarse a las formas en las que estos mtodos numricos se implementan generalmente en los programas computacionales y para ofrecer una presentacin integrada del anlisis esttico no lineal (tambin conocido como an- lisis paso a paso (o pushover) modal, y el anlisis dinmico no lineal. Se aadi una seccin al final del captulo 12 para presentar una versin general del mtodo de superposicin en el modo de aceleracin para excitaciones ms complejas, como la fuerza de las olas que se presenta en las plataformas de perfo- racin en alta mar. El captulo 13 se ampli para incluir dos temas que hasta ahora haban sido rele- gados a la literatura de investigacin, pero que son de inters prctico: (1) la com- binacin de respuestas mximas de una estructura a los distintos componentes del movimiento de traslacin del terreno, con el fin de estimar la respuesta mxima a varios componentes de excitacin, y (2) las ecuaciones de respuesta basadas en el espectro para determinar una envolvente que delimita la trayectoria de respuesta conjunta de todas las fuerzas que actan al mismo tiempo y que controlan el diseo ssmico de un elemento estructural. Los captulos 22 y 23 se actualizaron para reflejar la edicin ms actual de los c- digos de construccin para el diseo de nuevos edificios y las directrices basadas en el desempeo y las normas para la evaluacin de construcciones existentes. La adicin del captulo 14 implic algunas modificaciones en los captulos 2, 4, 6, 10 y 12. Se aadieron nuevas figuras, fotografas, as como ejemplos resueltos y problemas de fin de captulo. Con el uso de este libro en el aula y analizndolo con cuidado en los ltimos aos, han surgido mejoras adicionales. El texto se ha clarificado y perfeccionado, hacindolo ms global, y se han reorganizado algunas secciones para mejorar su presentacin. A01_CHOPRA.indd xxv 23/07/13 16:37
26. 26. Prefacioxxvi TEMAS QUE SE PRESENTAN Este libro est organizado en tres partes: I. Sistemas con un solo grado de libertad; II. Siste- mas de varios grados de libertad y III. Respuesta ssmica, diseo y evaluacin de edificios de varios niveles. La parte I incluye los captulos 1 a 8. En el captulo 1 se formula el problema de la dinmica estructural para estructuras simples elsticas e inelsticas, que pueden ideali- zarse como sistemas con un solo grado de libertad (1GDL), y se estudian brevemente cuatro mtodos para resolver la ecuacin diferencial que controla el movimiento de la estructura. Despus se estudia la respuesta dinmica de los sistemas elstico lineales (1) a la vibracin libre (captulo 2), (2) a las excitaciones armnicas y peridicas (captulo 3), y (3) a las ex- citaciones de paso e impulso (captulo 4). En los captulos 2 y 3 se incluye la dinmica de los sistemas de 1GDL con amortiguamiento de Coulomb, un tema que por lo regular no se incluye en los textos de ingeniera civil, pero que se ha hecho relevante para la ingeniera ssmica porque los dispositivos para la disipacin de energa basados en la friccin se uti- lizan en la construccin resistente a los sismos. Tras la presentacin numrica de los m- todos de clculo de tiempo por pasos para la respuesta dinmica de los sistemas de 1GDL (captulo 5), se estudia la respuesta ssmica de los sistemas elsticos e inelstico lineales en los captulos 6 y 7, respectivamente. La cobertura de estos temas es ms amplia que en los textos disponibles; se incluyen detalles sobre la construccin de respuesta y los espectros de diseo, los efectos de la amortiguacin y la fluencia, as como la distincin entre la res- puesta y los espectros de diseo. El tema del captulo 8 es el anlisis de sistemas complejos tratados como sistemas generalizados de 1GDL. La parte II incluye los captulos 9 a 18 (los 4 ltimos se encuentran en el sitio web del libro, 15 y 16 en espaol y 17 y 18 en ingls) sobre el anlisis dinmico de sistemas con varios grados de libertad (VGL). En el primero de estos captulos (el 9) se formula el problema de la dinmica estructural para estructuras idealizadas como sistemas con un nmero finito de gra- dosdelibertad,yseilustramediantenumerososejemplos;tambinseincluyeunadescripcin general de los mtodos para resolver las ecuaciones diferenciales que controlan el movimien- to de la estructura. En el captulo 10 se ve la vibracin libre de sistemas con amortiguamiento clsico y al clculo numrico de frecuencias de vibracin y modos naturales de la estructura. El captulo 11 aborda varios aspectos que se plantean en la definicin de las propiedades de amortiguamiento de las estructuras, incluyendo datos experimentales (a partir de ensayos de vibracin forzada sobre las estructuras y movimientos de las estructuras registrados du- rante los sismos) que proporcionan una base para estimar las fracciones de amortiguamiento modal y los procedimientos analticos para construir la matriz de amortiguamiento en caso necesario. El captulo 12 aborda el anlisis dinmico de los sistemas lineales, donde se pone nfasis en el procedimiento clsico de anlisis modal. La parte C de este captulo representa una nueva forma de ver el anlisis modal que facilita la comprensin de la forma en la que las contribuciones de la respuesta modal estn influenciadas por la distribucin espacial y la variacin en el tiempo de las fuerzas aplicadas, originando criterios prcticos en el nmero de modos que deben incluirse en el clculo de la respuesta. En el captulo 13 se desarrollan los procedimientos del anlisis modal para el anlisis de sismos en sistemas con amorti- guamiento clsico; tanto el anlisis de la historia de la respuesta, como los procedimientos del anlisis para el espectro de respuesta se presentan en una forma que proporciona una interpretacin fsica; este ltimo procedimiento estima la respuesta mxima de los sistemas A01_CHOPRA.indd xxvi 23/07/13 16:37
27. 27. Prefacio xxvii con VGL directamente de la respuesta ssmica o del espectro de diseo. Los procedimientos se ilustran con numerosos ejemplos, entre ellos la respuesta lateral-torsional acoplada de edificios con planta asimtrica y la respuesta torsional de edificios nominalmente simtri- cos. Este captulo termina con los procedimientos de respuesta basados en el espectro para considerar todas las fuerzas que actan al mismo tiempo y que controlan el diseo de un elemento estructural, as como para estimar la respuesta mxima de una estructura a la exci- tacin de un sismo con mltiples componentes. Este procedimiento se ampla en el captulo 14 al anlisis de la historia de la respuesta para sistemas con amortiguamiento no clsico sometidos a una excitacin ssmica. Para este propsito, primero se revisan los sistemas con amortiguamiento clsico y se modifican los procedimientos de anlisis de los captulos 10 y 13, de modo que faciliten su extensin al caso ms general. El captulo 15 (en el sitio web del libro) est dedicado al aspecto computacional prctico para reducir el nmero de grados de libertad en la idealizacin estructural reque- rida para el anlisis esttico, con el fin de reconocer que la respuesta dinmica de muchas estructuras puede representarse mediante sus primeros modos naturales de vibracin. En el captulo 16 (tambin en el sitio web) se presentan los mtodos numricos de tiempo por pasos para sistemas con VGL no susceptibles al anlisis modal clsico: sistemas con amortiguamiento no clsico o sistemas que responden en el intervalo del comportamiento no lineal. El captulo 17 (en ingls) se ocupa de los problemas clsicos en la dinmica de los sistemas con masa distribuida; slo se incluyen los sistemas unidimensionales. En el captulo 18 (tambin en ingls) se presentan dos mtodos para discretizar los sistemas uni- dimensionales con masa distribuida: el mtodo de Rayleigh-Ritz y el mtodo del elemento finito. Se presenta el concepto de matriz de masa consistente y se demuestra la precisin y la convergencia de las frecuencias naturales aproximadas de una viga en voladizo, determi- nadas mediante el mtodo del elemento finito. La parte III del libro consta de cinco captulos (todos en el sitio web) que se ocupan del diseo de respuesta ssmica y la evaluacin de edificios con varios niveles, un tema que en general no se incluye en los textos de dinmica estructural. Se abordan varios aspectos impor- tantes y prcticos usando los procedimientos analticos desarrollados en los captulos anterio- res. En el captulo 19 se presenta la respuesta ssmica de edificios con varios niveles elstico lineales para un intervalo amplio de dos parmetros clave: el periodo de vibracin natural fundamental y la relacin de rigidez viga-columna. Con base en estos resultados se desarrolla una comprensin de la manera en que estos parmetros afectan a la respuesta ssmica de los edificios y, en particular, a las contribuciones relativas de respuesta de los distintos modos naturales, las cuales conducen a informacin prctica sobre el nmero de modos ms altos que deben incluirse en los clculos de respuesta ssmica. El captulo 20 se refiere al importante tema de la respuesta ssmica de edificios con varios niveles que se deforman en su intervalo inelstico. La parteA de este captulo presenta un riguroso anlisis de la historia de la respues- ta no lineal; identifica la importante influencia de los supuestos en el modelo, los principales parmetros estructurales y los detalles del movimiento ssmico sobre las demandas ssmicas; asimismo, determina la fuerza necesaria para limitar las demandas de ductilidad de cada nivel en un edificio de varios niveles. En vista de que el anlisis riguroso no lineal de la historia de la respuesta sigue siendo una tarea difcil, en la parte B se desarrolla el procedimiento del anlisis paso a paso o pushover modal (APM) (un procedimiento de anlisis aproximado). En este procedimiento se estiman las demandas ssmicas mediante anlisis no esttico lineales de la estructura sometida a distribuciones de fuerza inerciales modales. El aislamiento de la base A01_CHOPRA.indd xxvii 23/07/13 16:37
28. 28. Prefacioxxviii es el tema del captulo 21 (en ingls). El objetivo es estudiar el comportamiento dinmico de los edificios soportados sobre sistemas de aislamiento de la base con el objetivo limitado de entender por qu y en qu condiciones resulta eficaz al reducir las fuerzas inducidas por los sismos en una estructura. En el captulo 22 se presentan las disposiciones de la fuerza ssmica en cuatro cdigos de construccin: International Building Code (Estados Unidos), National Building Code of Canada, Eurocdigo y Cdigo del Distrito Federal (Mxico), as como su relacin con la teora de la dinmica estructural desarrollada en los captulos 6 , 7, 8 y 13. Pos- teriormente se evalan las disposiciones de los cdigos en vista de los resultados del anlisis dinmico de edificios que se presenta en los captulos 19 y 20. Las directrices y normas basa- das en el desempeo para la evaluacin de edificios existentes consideran de forma explcita el comportamiento inelstico en la estimacin de las demandas ssmicas en los niveles de bajo rendimiento, como la seguridad de la vida y la prevencin de colapso. En el captulo 23 se presentan y analizan determinados aspectos del procedimiento dinmico y del procedimiento esttico no lineales en esos documentos (ATC-40, FEMA 356 y ASCE 41-06) dada la teora de la dinmica estructural desarrollada en los captulos 7 y 20. NOTA PARA LOS PROFESORES Este libro es adecuado para cursos tanto a nivel de postgrado como de pregrado superior. No es necesario ningn conocimiento previo sobre la dinmica estructural. Los fundamen- tos necesarios se obtienen a travs de los cursos habituales de los estudiantes de ingeniera civil, que incluyen: Anlisis esttico de las estructuras, incluyendo las estructuras estticamente inde- terminadas y la formulacin matricial de procedimientos de anlisis (conocimien- tos previos necesarios principalmente para la parte II) Diseo estructural Dinmica de cuerpos rgidos Matemticas: ecuaciones diferenciales ordinarias (para la parte I), lgebra lineal (para la parte II) y ecuaciones diferenciales parciales (slo para el captulo 17) Al proporcionar un tratamiento elemental pero minucioso de una gran cantidad de te- mas, el libro permite una flexibilidad inusual en la seleccin de los contenidos, a criterio del profesor, para desarrollar varios cursos, o adaptar uno a su medida, en funcin del material presentado; he aqu algunos ejemplos. Casi todo el libro puede cubrirse en un curso de un ao: Ttulo: Dinmica de estructuras I (1 semestre) Plan de estudio: captulo 1; secciones 1 y 2 del captulo 2; partes A y B del captulo 3; captulo 4; temas seleccionados del captulo 5; secciones 1 a 7 del captulo 6; sec- ciones 1 a 7 del captulo 7; temas seleccionados del captulo 8; secciones 1 a 4 y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo 10; secciones 1 y 2 del captulo 11; partes A y B del captulo 12; secciones 1, 2, 7 y 8 (excluyendo el mtodo CQC) del captulo 13; y temas seleccionados de la parte A del captulo 22. A01_CHOPRA.indd xxviii 23/07/13 16:37
29. 29. Prefacio xxix Ttulo: Dinmica de estructuras II (1 semestre) Plan de estudio: secciones 5 a 7 del captulo 9; secciones 3 a 5 del captulo 11; partes C y D del captulo 12, secciones 3 a 11 del captulo 13; partes seleccionadas de los captulos 14, 15, 17, 19 a 21, y 23; y el apndice A. La seleccin de los temas para el primer curso se ha realizado en parte por la nece- sidad de proporcionar una cobertura completa, incluyendo el anlisis dinmico y el anlisis ssmico en sistemas con VGL, para los estudiantes que toman un solo curso. Es posible organizar versiones abreviadas de los esquemas anteriores de modo que se impartan en dos cursos trimestrales. Una posibilidad es la siguiente: Ttulo: Dinmica de estructuras I (1 trimestre) Plan de estudio: captulo 1; secciones 1 y 2 del captulo 2; secciones 1 a 4 del captulo 3; secciones 1 y 2 del captulo 4; temas seleccionados del captulo 5; secciones 1 a 7 del captulo 6; secciones 1 a 7 del captulo 7; temas seleccionados del captulo 8; sec- ciones 1 a 4 y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo 10; parte B del captulo 12; secciones 1, 2, 7 y 8 (excluyendo el mtodo CQC) del captulo 13. Ttulo: Dinmica de estructuras II (1 trimestre) Plan de estudio: secciones 5 a 7 del captulo 9; secciones 3 a 9 del captulo 13; y te- mas seleccionados de los captulos 19 a 23. Un curso de un semestre, con nfasis en la ingeniera ssmica, puede organizarse de la siguiente manera: Ttulo: Dinmica ssmica de estructuras Plan de estudios: captulo 1; secciones 1 y 2 del captulo 2; secciones 1 y 2 del cap- tulo 4; captulos 6 y 7; temas seleccionados del captulo 8; secciones 1 a 4 y 9 a 11 del captulo 9; partes A y B del captulo 10; parte A del captulo 11; secciones 1 a 3 y 7 a 11 del captulo 13; temas seleccionados de los captulos 19 a 23. La resolucin de problemas es esencial para que los estudiantes aprendan sobre la dinmica estructural. Para ello, los primeros 18 captulos incluyen 373 problemas. Los captulos 19 a 23 no incluyen problemas por dos razones: (1) en estos captulos no se presentan nuevos procedimientos de anlisis dinmico; (2) este material no es para plantear problemas pequeos y significativos. Sin embargo, ser til trabajar con los ejemplos que se presentan en los captulos 19 a 23 y reproducir los resultados. La computadora es esencial para resolver algunos de esos problemas, los cuales se en- cuentran bien identificados. En su solucin se asume que el estudiante tiene acceso a programas de computadora, como MATLAB o MATHCAD. Las soluciones de estos problemas estn disponibles en ingls para los profesores en el sitio web del libro (pregunte a su representante cmo acceder a ellos). A01_CHOPRA.indd xxix 23/07/13 16:37
30. 30. Prefacioxxx En mis conferencias en Berkeley, desarrollo la teora en el pizarrn y la ilustro me- diante transparencias de las figuras ms complejas del libro; las versiones ampliadas de muchas de las figuras, que resultan adecuadas para la elaboracin de transparencias que pueden usarse en el aula, estn disponibles para los profesores en el sitio web del libro. A pesar de que se ha solicitado un conjunto completo de diapositivas de PowerPoint, no se ha desarrollado porque no creo que este enfoque sea la estrategia ms eficaz para la enseanza de la dinmica de estructuras. NOTA PARA LOS INGENIEROS PROFESIONALES Muchos ingenieros profesionales me alentaron durante la dcada de 1980 a preparar un li- bro ms completo de Dinmica de estructuras, Estudio elemental (Dynamics of Structures, A Primer), una monografa publicada en 1981 por el Earthquake Engineering Research Ins- titute. Esta necesidad, espero, se cubri mediante el presente libro. Al haber sido concebido como un libro de texto, incluye el formalismo y el detalle necesario para los estudiantes, pero estas caractersticas no deberan disuadir a los profesionales de utilizar el libro, porque su filosofa y estilo estn creados para facilitar el aprendizaje del tema mediante el autoes- tudio. Para los ingenieros profesionales interesados en el anlisis, respuesta, diseo y eva- luacin de las estructuras ante sismos, sugiero la siguiente ruta de lectura: captulos 1 y 2; captulos 6 a 9; partes A y B del captulo 10; parte A del captulo 11; y los captulos 13 y 19 a 23. REFERENCIAS En un texto introductorio no es prctico presentar las fuentes de la informacin. Se han omitido las referencias para evitar distraer al lector. Sin embargo, se han incluido comenta- rios ocasionales para aadir una perspectiva histrica, y al final de casi todos los captulos se proporciona una breve lista de las publicaciones adecuadas para una lectura adicional. SUS COMENTARIOS SON BIENVENIDOS Invito a los profesores, estudiantes e ingenieros profesionales a escribirme (chopra@ ce.berkeley.edu) si tienen alguna sugerencias de mejora o aclaraciones, o si identifican erro- res en el libro. Les agradezco de antemano por tomarse el tiempo y el inters en hacerlo. Anil K. Chopra A01_CHOPRA.indd xxx 23/07/13 16:37
31. 31. xxxi Agradezco a todas las personas que ayudaron en la preparacin de este libro. El profesor Rakesh K. Goel, un compaero de principio a fin, me ayud de nu- merosas formas y jug un papel importante. Su contribucin ms importante fue desarrollar y ejecutar los programas de computadora necesarios para generar los resultados numricos y crear la mayora de las figuras. El profesor Gregory L. Fenves ley el primer borrador del manuscrito original, lo analiz conmigo cada semana y siempre realiz importantes sugerencias para su mejora. Seis revisores, los profesores Luis Esteva, William J. Hall, Rafael Riddell, C. C. Tung y los fallecidos George W. Housner y Donald E. Hudson examinaron el bo- rrador final del manuscrito original. Ellos me alentaron y dieron sugerencias muy acertadas. Los profesores Gregory L. Fenves y Filip C. Fillipou me aconsejaron sobre la modificacin de los captulos 5 y 16, y realizaron observaciones sobre el proyecto final. El Dr. Ian Aiken me proporcion materiales (incluyendo fotografas) y recomen- daciones para la modificacin de las secciones 7.10.1 y 7.10.2 sobre dispositivos complementarios para la disipacin de energa. El Dr. Charles Menun, cuyos resultados de investigacin fueron la base para la nueva seccin 13.10, me asesor mucho sobre la preparacin de esta seccin y revis varios borradores. Agradecimientos A01_CHOPRA.indd xxxi 23/07/13 16:37
32. 32. Agradecimientosxxxii El profesor scar Lpez y el Dr. Charles Menun, cuyos resultados de investi- gacin fueron la base de la nueva seccin 13.11, me proporcionaron su ayuda y revisaron el borrador final. Varios revisores los profesores Michael C. Constantinou, Takeru Igusa, George C. Lee, Fai Ma y Carlos E. Ventura me sugirieron mejoras para la versin final del captulo 14. Seis expertos me asesoraron en la interpretacin de las versiones actualizadas de los cuatro cdigos de construccin del captulo 22: Yousef Bozorgnia y Ronald O. Hamburguer (International Building Code); Jagmohan L. Humar (National Buil- ding Code of Canada); Eduardo Miranda (Cdigo del Distrito Federal, Mxico); y Peter Fajfar y Michael N. Fardis (Eurocdigo). Diversos profesores que han adoptado el libro en sus cursos durante varios aos me han sugerido mejoras. Algunas de las modificaciones y adiciones en esta edi- cin estuvieron motivadas por las recomendaciones de los profesores A. Stavros Anagnostopoulos, Michael C. Constantinou, Kincho Law y Jose M. Roesset. Muchos ex estudiantes me han ayudado durante aos en la preparacin de solucio- nes para los ejemplos resueltos y los problemas de fin de captulo, y me han ayuda- do de otras maneras: Ashraf Ayoub, Ushnish Basu, Shih-Po Chang, Juan Chvez, Chatpan Chintanapakdee, Juan Carlos De la Llera, Rakesh K. Goel, Garrett Hall, Gabriel Hurtado, Petros Keshishian, Allen Kwan, Lin Wen-Hsiung, Charles Me- nun y Tsung-Li Tai. Han-Chen Tan realiz el procesamiento de textos y grficos para el manual de soluciones original de los 233 problemas de la primera edicin. Varios estudiantes y ex estudiantes me ayudaron en la preparacin del material nuevo en la cuarta edicin: Juan Carlos Reyes resolvi los ejemplos y problemas finales de los captulos 5, 14 y 16, y elabor las figuras. Yvonne Tsui gener los resultados numricos de la seccin 13.10 y prepar las figuras preliminares. Neal Simon Kwong resolvi los ejemplos y prepar las figuras en las secciones 12.14 y 13.11, y finaliz las figuras de la seccin 13.10. Eric Keldrauk desarroll los resultados de la figura 11.4.3. Charles D. James, Director de Sistemas de Informacin para el NISEE en la Uni- versidad de California, Berkeley, me ayud en la seleccin y recopilacin de las fotografas nuevas. Claire Johnson prepar el texto para las partes nuevas y modificadas en el manus- crito, y tambin reuni y edit el manual de soluciones. Barbara Zeiders trabaj como editora de textos en esta edicin, como lo hizo en las tres primeras ediciones. El profesor Joseph Penzien asumi mis funciones como editor asociado de Earth- quake Engineering and Structural Dynamics desde junio de 1993 hasta agosto de 1994 cuando estaba trabajando en el libro original. Tambin deseo expresar mi profundo agradecimiento a los profesores Ray W. Clough, Jr., Joseph Penzien, Emilio Rosenblueth y A. S. Veletsos por la influencia que han tenido A01_CHOPRA.indd xxxii 23/07/13 16:37
33. 33. Agradecimientos xxxiii en mi crecimiento profesional. A principios de la dcada de 1960, los profesores Clough, Penzien, y Rosenblueth me expusieron sus puntos de vista bien sustentados y sus cursos tan bien organizados sobre la dinmica estructural y la ingeniera ssmica. Ms tarde, el profesor Veletsos, a travs de su investigacin, sus escritos y sus conferencias, influy en mi enseanza y filosofa de investigacin. Su obra, en colaboracin con el fallecido profesor Nathan M. Newmark, defini el enfoque adoptado para algunas secciones de los captulos 6 y 7; y que, en colaboracin con el profesor Carlos E. Ventura, defini el estilo de presen- tacin para el captulo 14. Este libro ha tenido la influencia de mi propia experiencia de investigacin en colabo- racin con mis alumnos. Desde 1969, varias organizaciones han apoyado mi investigacin en la ingeniera ssmica, como la National Science Foundation, el Cuerpo de Ingenieros del Ejrcito de Estados Unidos y el California Strong Motion Instrumentation Program. Este libro y sus ediciones revisadas se han preparado durante aos sabticos, un privi- legio que agradezco a la Universidad de California en Berkeley. Anil K. Chopra A01_CHOPRA.indd xxxiii 23/07/13 16:37
34. 34. A01_CHOPRA.indd xxxiv 23/07/13 16:37
35. 35. 1 PARTE I Sistemas con un solo grado de libertad M01_Chopra.indd 1 23/07/13 11:16
36. 36. M01_Chopra.indd 2 23/07/13 11:16
37. 37. 3 1 Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin AVANCE En este primer captulo se formula el problema de la dinmica estructural para estructuras simples que pueden idealizarse como sistemas con una masa concentrada soportados por una estructura sin masa. Se consideran tanto las estructuras elsticas lineales, as como las estructuras inelsticas, sometidas a una fuerza dinmica aplicada o a un movimiento del terreno inducido por un sismo. Despus se estudian brevemente cuatro mtodos para resol- ver la ecuacin diferencial que rige el movimiento de la estructura. El captulo termina con un resumen de la forma en que est organizado el estudio de la respuesta dinmica de los sistemas con un grado de libertad en los captulos siguientes. 1.1 ESTRUCTURAS SIMPLES El estudio de la dinmica estructural se inicia con estructuras simples, como la prgola que se muestra en la figura 1.1.1 y el tanque de agua elevado de la figura 1.1.2. Se tiene inters en comprender la vibracin de estas estructuras cuando se les aplica una fuerza lateral (u horizontal) en la parte superior o un movimiento horizontal del terreno debido a un sismo. Estas estructuras se llaman simples porque pueden idealizarse como una masa m con- centrada o agrupada soportada por una estructura sin masa con rigidez k en la direccin lateral. Dicha idealizacin es apropiada para esta prgola con un techo de concreto pesado sostenido por columnas ligeras de tubo de acero, que pueden suponerse carentes de masa. El techo de concreto es muy rgido y la flexibilidad de la estructura en la direccin lateral (u horizontal) la proporcionan en su totalidad las columnas. El sistema idealizado se muestra M01_Chopra.indd 3 23/07/13 11:16
38. 38. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 14 en la figura 1.1.3a con un par de columnas que soportan la longitud tributaria del techo de concreto. Este sistema tiene una masa concentrada m igual a la masa del techo mostrado, y su rigidez lateral k es igual a la suma de las rigideces de las columnas tubulares individua- les. En la figura 1.1.3b se muestra una idealizacin similar, la cual es apropiada para el tanque cuando se encuentra lleno de agua. Como el chapoteo del agua no es posible en un tanque lleno, se trata de una masa concentrada m sostenida por una torre relativamente ligera que puede considerarse como carente de masa. La torre en voladizo que soporta el depsito de agua proporciona la rigidez lateral k a la estructura. Por el momento, se asumir que el movi- miento lateral de estas estructuras es pequeo suponiendo que las estructuras de soporte se deforman dentro de su lmite elstico lineal. Ms adelante en este captulo se ver que la ecuacin diferencial que controla el desplazamiento lateral u(t) de estas estructuras idealizadas sin ninguna excitacin externa fuerza aplicada o movimiento del terreno es m + ku = 0 (1.1.1) donde los puntos sobre las variables indican diferenciacin con respecto al tiempo, por lo que representa la velocidad de la masa y su aceleracin. La solucin de esta ecuacin, presentada en el captulo 2, mostrar que si a la masa de los sistemas idealizados de la fi- gura 1.1.3 se le impone un desplazamiento inicial u(0), despus se libera y se permite que vibre libremente, la estructura oscilar o vibrar hacia adelante y hacia atrs alrededor de Figura 1.1.1 Esta prgola en el Hotel Macuto Sheraton, cerca de Caracas, Venezuela, se da por el sismo del 29 de julio de 1967. El evento con magnitud 6.5, que se ubic a unas 15 millas del hotel, deform en exceso las columnas de tubo de acero, produciendo un desplaza- miento permanente del techo de 9 pulgadas. (Tomada de la coleccin Steinbrugge, Servicio de Informacin Nacional de Ingeniera Ssmica en la Universidad de California, Berkeley). M01_Chopra.indd 4 23/07/13 11:16
39. 39. Seccin 1.1 Estructuras simples 5 su posicin de equilibrio inicial. Como se muestra en la figura 1.1.3c, se presenta el mismo desplazamiento mximo oscilacin tras oscilacin; estas oscilaciones continan de manera indefinida y los sistemas idealizados nunca llegaran al reposo. Por supuesto, lo anterior no es una situacin realista. La intuicin sugiere que si el techo de la prgola o la parte supe- rior del tanque de agua fueran desplazados lateralmente mediante una cuerda y la cuerda se cortara de repente, la estructura oscilara cada vez con menor amplitud y con el tiempo Figura 1.1.3 (a) Prgola idealizada, (b) tanque de agua idealizado, (c) vibracin libre debida a un desplazamiento inicial. Figura 1.1.2 Este tanque de concreto refor- zado sobre una sola columna de concreto de 40 pies de altura, que se encuentra cerca del aeropuerto de Valdivia, no sufri daos por los sismos chilenos de mayo de 1960. Cuando el tanque est lleno de agua, la estructura puede analizarse como un sistema de un grado de libertad. (Tomada de la coleccin Steinbru- gge, Servicio de Informacin Nacional de Ingeniera Ssmica, Universidad de California, Berkeley). Longitud tributaria Losa rgida Columnas sin masa um k (a) k m (b) u Torre sin masa u(0) u Tiempot (c) M01_Chopra.indd 5 23/07/13 11:16
40. 40. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 16 se detendra. Experimentos de este tipo se realizaron en modelos de laboratorio de marcos de un solo nivel, y los registros medidos de su respuesta a la vibracin libre se presentan en la figura 1.1.4. Como era de esperarse, el movimiento de los modelos estructurales decay con el tiempo, siendo el decaimiento del modelo de plexigls ms rpido que el del marco de aluminio. Figura 1.1.4 (a) Modelos de marco de aluminio y plexigls montados sobre una pequea mesa vibra- dora que se usa para una demostracin en clase de la Universidad de California en Berkeley (cortesa de T. Merport), (b) registro de la vibracin libre del mode- lo de aluminio, (c) registro de la vibracin libre del modelo de plexigls. (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (b) Aceleracin,g Tiempo, s (c) Aceleracin,g 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 u1 = 0.915 g t1 = 1.110 s u11 = 0.076 g t11 = 3.844 s M01_Chopra.indd 6 23/07/13 11:16
41. 41. Seccin 1.2 Sistemas de un grado de libertad 7 El proceso mediante el cual la amplitud de la vibracin disminuye de manera cons- tante se denomina amortiguamiento. La energa cintica y la energa de deformacin del sistema vibratorio se disipan mediante diversos mecanismos de amortiguamiento que se mencionarn ms adelante. Por el momento, simplemente se reconoce que es necesario incluir un mecanismo de disipacin de energa en la idealizacin estructural con el fin de caracterizar el decaimiento del movimiento observado durante los ensayos de vibracin libre de una estructura. El elemento de amortiguamiento que se utiliza comnmente es el amortiguador viscoso, en parte porque su manejo matemtico es ms sencillo. En los cap- tulos 2 y 3 se presentan otros mecanismos de disipacin de la energa. 1.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD El sistema considerado se muestra esquemticamente en la figura 1.2.1. Se compone de una masa m concentrada en el nivel del techo, un marco sin masa que proporciona rigidez al sis- tema, y un amortiguador viscoso que disipa la energa de vibracin del sistema. Se supone que la viga y las columnas son axialmente indeformables. Este sistema puede considerarse como una idealizacin de una estructura de un nivel. Cada elemento estructural (viga, columna, muro, etctera) de la estructura real contribuye a las propiedades inerciales (masa), elsticas (rigidez o flexibilidad) y de disipacin de la energa (amortiguamiento) de la estructura. Sin embargo, en el sistema idealizado, cada una de estas propiedades se concentra en tres componentes puros distintos: el componente de masa, el componente de rigidez y el componente de amortiguamiento. El nmero de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas en relacin con su posicin original se denomina el nmero de grados de libertad (GDL) para el anlisis dinmico. De manera tpica, se requieren ms GDL para definir las propiedades de rigidez de una estructura que los GDL necesarios para representar las propiedades inerciales. Considere el marco de un nivel de la figura 1.2.1, restringido a moverse slo en la direccin de la excitacin. El problema de anlisis esttico debe formularse con tres GDL (el desplazamiento lateral y la rotacin de los dos nudos) para determinar la rigidez lateral del marco (vea la seccin 1.3). En contraste, la estructura tiene un solo GDL (el desplazamiento lateral) para el anlisis dinmico si se idealiza con la masa concentrada en una ubicacin, por lo regular al nivel del techo. Por lo tanto, se le llama sistema de un grado de libertad (1GDL). (a) Marco sin masa Amortiguador viscoso p(t) uMasa (b) u ut ug Figura 1.2.1 Sistema de un grado de libertad: (a) fuerza aplicada p(t); (b) movi- miento del terreno inducido por un sismo. M01_Chopra.indd 7 23/07/13 11:16
42. 42. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 18 Se considerarn dos tipos de excitacin dinmica: (1) la fuerza externa p(t) en la di- reccin lateral (figura 1.2.1a), y (2) el movimiento del terreno ug(t) inducido por un sismo (figura 1.2.1b). En ambos casos u indica el desplazamiento relativo entre la masa y la base de la estructura. 1.3 RELACIN FUERZA-DESPLAZAMIENTO Considere el sistema mostrado en la figura 1.3.1a sin excitacin dinmica, sometido a una fuerza externa esttica fS aplicada en la direccin del GDL u tal como se muestra. La fuer- za interna que se opone al desplazamiento u es igual y opuesta a la fuerza externa fS (figura 1.3.1b). Se desea determinar la relacin entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo u aso- ciado con las deformaciones en la estructura durante el movimiento oscilatorio. Esta relacin de fuerza-desplazamiento sera lineal para pequeas deformaciones, pero volvera no lineal en el caso de grandes deformaciones (figura 1.3.lc); se consideran tanto las relaciones lineales como las no lineales (figura 1.3.1c y d). La determinacin de la relacin entre fS y u es un problema estndar en el anlisis estruc- tural esttico, y se supone que el lector est familiarizado con este tipo de anlisis. Por lo tanto, la presentacin en esta seccin es breve y se limita a los aspectos esenciales. (a) fS u fS Fuerza restauradora fS Fuerza externa (b) k 1 uouo a b c d o fS u (c) k 1 fS u (d) Figura 1.3.1 M01_Chopra.indd 8 23/07/13 11:16
43. 43. Seccin 1.3 Relacin fuerza-desplazamiento 9 1.3.1 Sistemas elstico lineales Para un sistema lineal la relacin entre la fuerza lateral fS y la deformacin resultante u es lineal, es decir, fS = ku (1.3.1) donde k es la rigidez lateral del sistema; sus unidades son fuerza/longitud. En la ecuacin (1.3.1) est implcito el supuesto de que la relacin lineal fS-u determinada para pequeas deformaciones de la estructura tambin es vlida para el caso de grandes deformaciones. Esta relacin lineal implica que fS es una funcin de u con un solo valor (es decir, las curvas de carga y descarga son idnticas). Se dice que tal sistema es elstico, por lo que se utiliza el trmino sistema elstico lineal para enfatizar ambas propiedades. Considere el marco de la figura 1.3.2a con una cruja de tamao L, altura h, mdu- lo de elasticidad E y segundo momento de rea de la seccin transversal (o momento de inercia) alrededor del eje de flexin = Ib e Ic para la viga y las columnas, respectivamente; las columnas estn sujetas (o empotradas) en la base. La rigidez lateral del marco puede determinarse fcilmente para dos casos extremos: si la viga es infinitamente rgida (es decir, la rigidez a la flexin EIb = q, figura 1.3.2b), k = columnas 12E Ic h3 = 24 E Ic h3 (1.3.2) Por otra parte, para una viga sin rigidez (es decir, EIb = 0, figura 1.3.2c), k = columnas 3E Ic h3 = 6 E Ic h3 (1.3.3) Observe que para los dos valores extremos de la rigidez de la viga, la rigidez lateral de la estructura es independiente de L, la longitud de la viga o el tamao de la cruja. La rigidez lateral del marco con un valor intermedio de la rigidez de la viga ms rea- lista, puede calcularse mediante los procedimientos estndar del anlisis estructural estti- co. La matriz de rigidez del marco se formula con respecto a tres GDL: el desplazamiento lateral u y las rotaciones de los dos nudos viga-columna (figura 1.3.2a). La relacin fuerza Figura 1.3.2 EIb EIc L h (a) u fS (b) EIb = u fS (c) EIb = 0 u fS En este libro el trmino preferido para I es segundo momento de rea en vez del que se usa comnmente, momento de inercia; este ltimo se reservar para definir los efectos de la inercia asociada con el movimiento rotacional de los cuerpos rgidos. M01_Chopra.indd 9 23/07/13 11:16
44. 44. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 110 lateral-desplazamiento de la ecuacin (1.3.1) se determina por condensacin esttica o por eliminacin de los GDL de rotacin. Al aplicar este procedimiento a un marco con L = 2h y EIb = EIc, se obtiene su rigidez lateral (vea el ejemplo 1.1): k = 96 7 E Ic h3 (1.3.4) La rigidez lateral del marco puede calcularse de manera similar para cualquier valor de Ib, Ic, L y h utilizando los coeficientes de rigidez de un elemento uniforme a flexin que se presentan en el apndice 1. Si se desprecian las deformaciones por cortante en los elementos, el resultado puede escribirse en la forma k = 24E Ic h3 12 + 1 12 + 4 (1.3.5) donde = (EIb/L) (2EIc/h) es la relacin de rigidez de la viga con la columna (que se describe en la seccin 18.1.1). Para = 0, q y 1 4, la ecuacin (1.3.5) se reduce a los re- sultados de las ecuaciones (1.3.3), (1.3.2) y (1.3.4), respectivamente. La rigidez lateral se representa de manera grfica como una funcin de en la figura 1.3.3; se incrementa por un factor de 4 cuando crece desde cero hasta infinito. 104 103 102 101 100 101 102 6 24 k/(EIc/h3 ) Figura 1.3.3 Variacin de la rigidez lateral, k, con la relacin de rigidez de la viga con la columna, r. Ejemplo 1.1 Calcule la rigidez lateral para el marco mostrado en la figura E1.1a, suponiendo que los ele- mentos son infinitamente rgidos en la direccin axial. Figura E1.1 (a) L = 2h h EIc EIc EIb u2 u3 u1 (b) k21 = 6EIc / h2 k31 = 6EIc / h2 k11 = 2(12EIc) h3 u1 = 1 (c) k22 = 4EIc / h + 4EIb / L k32 = 2EIb / L k12 = 6EIc h2 u2 = 1 M01_Chopra.indd 10 23/07/13 11:16
45. 45. Seccin 1.3 Relacin fuerza-desplazamiento 11 Solucin Esta estructura puede analizarse mediante cualquiera de los mtodos estndar, in- cluyendo la distribucin de momentos. Aqu se utiliza la definicin de coeficientes de influen- cia de la rigidez para resolver el problema. El sistema tiene los tres GDL mostrados en la figura E1.1a. Para obtener la primera columna de la matriz de rigidez de 3 3, se impone un desplazamiento unitario en el GDL u1, con u2 = u3 = 0. Las fuerzas ki1 necesarias para mantener esta configuracin deformada se muestran en la figura E1.1b. stas se determinan usando los coeficientes de rigidez para un elemento uniforme a la flexin que se presenta en el apndice 1. Los elementos ki2 en la segunda columna de la matriz de rigidez se determinan imponiendo u2 = 1 con u1 = u3 = 0; vea la figura E1.1c. De manera similar, los elementos ki3 en la tercera columna de la matriz de rigidez pueden determinarse al imponer los desplazamientos u3 = 1 con u1 = u2 = 0. As, se conoce la matriz de rigidez de 3 3 de la estructura y es posible escribir las ecuaciones de equilibrio. Para un marco con Ib = Ic sometido a la fuerza lateral fS, se tiene E Ic h3 24 6h 6h 6h 6h2 h2 6h h2 6h2 u1 u2 u3 = fS 0 0 (a) A partir de la segunda y tercera ecuaciones, las rotaciones de los nudos pueden expresarse en trminos del desplazamiento lateral de la siguiente manera: u2 u3 = 6h2 h2 h2 6h2 1 6h 6h u1 = 6 7h 1 1 u1 (b) Al sustituir la ecuacin (b) en la primera de las tres ecuaciones de la ecuacin (a) se obtiene fS = 24E Ic h3 E Ic h3 6 7h 6h 6h 1 1 u1 = 96 7 E Ic h3 u1 (c) As, la rigidez lateral del marco es k = 96 7 E Ic h3 (d) Este procedimiento para eliminar rotaciones de los nudos, conocido como el mtodo de con- densacin esttica, se presenta en libros de texto sobre el anlisis esttico de las estructuras. Este tema se retomar en el captulo 9. 1.3.2 Sistemas inelsticos En la figura 1.3.4 se muestra la relacin experimental fuerza-deformacin de un elemento estructural de acero sometido a niveles de deformacion cclicos esperados durante un sis- mo. La curva de carga inicial es no lineal a los niveles ms grandes de deformacin y las curvas de descarga y recarga difieren de la curva de carga inicial; se dice que un sistema as es inelstico. Esto implica que la relacin fuerza-deformacin depende de la direccin, es decir, depende de si la deformacin est aumentando o disminuyendo. De este modo, la fuerza restauradora es una funcin implcita de la deformacin: fS = fS(u) (1.3.6) La relacin fuerza-deformacin para el marco idealizado de un nivel (figura 1.3.1a) que se deforma en el rango inelstico puede determinarse de dos formas. Un enfoque consiste en utilizar mtodos de anlisis estructural esttico no lineal. Por ejemplo, en el anlisis de una estructura de acero con un modelo constitutivo esfuerzo-deformacin supuesta, el anlisis M01_Chopra.indd 11 23/07/13 11:16
46. 46. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 112 mantiene un registro del inicio y la propagacin de la fluencia en ubicaciones crticas y la formacin de articulaciones plsticas para obtener la curva de carga inicial (o-a) que se muestra en la figura 1.3.1c. Las curvas de descarga (a-c) y recarga (c-a) pueden calcularse de manera similar o es posible definirlas a partir de la curva de carga inicial con las hiptesis existentes. Otro enfoque es definir la relacin inelstica de fuerza-deformacin como una versin idealizada de los datos experimentales, como en la figura 1.3.4. Se tiene inters en el estudio de la respuesta dinmica de los sistemas inelsticos por- que muchas estructuras estn diseadas bajo el supuesto de que estarn sometidas a grietas, fluencia y daos durante algn movimiento intenso del terreno causado por los sismos. 1.4 FUERZA DE AMORTIGUAMIENTO Como se mencion con anterioridad, el proceso mediante el cual la amplitud de la vibracin libre disminuye de manera constante se denomina amortiguamiento. En el amortiguamien- to, la energa del sistema en vibracin se disipa por diversos mecanismos y, con frecuencia, ms de un mecanismo puede estar presente al mismo tiempo. En los sistemas limpios sencillos como los modelos de laboratorio de la figura 1.1.4, la mayor parte de la disipacin de energa puede ser asociada al efecto trmico del esfuerzo elstico repetido del material y de la friccin interna que se produce en un slido cuando se deforma. Sin embargo, en las estruc- turas reales existen muchos otros mecanismos que tambin contribuyen a la disipacin de la energa. En un edificio en vibracin stos incluyen la friccin en las conexiones de acero, DIFERENCIASDEMOMENTOSENLAVIGAM(KIP-PULG) DISTORSIN DE PANEL Figura 1.3.4 Relacin fuerza-deformacin para un elemento estructural de acero. (Tomada de H. Krawinkler, V. V. Bertero y E. P. Popov, comportamiento inelstico de subensambles de acero viga-columna. Informe No. 71-7 CEIE, Universidad de California, Berkeley, 1971). M01_Chopra.indd 12 23/07/13 11:16
47. 47. Seccin 1.4 Fuerza de amortiguamiento 13 la apertura y cierre de microfisuras en el concreto y la friccin entre la propia estructura y los elementos no estructurales, tales como muros divisorios. Parece imposible identificar o describir matemticamente cada uno de estos mecanismos de disipacin de energa en un edificio real. Como resultado, el amortiguamiento de las estructuras reales se representa por lo general en una forma muy idealizada. Para muchos fines, el amortiguamiento real en una estructura de 1GDL puede idealizarse de manera satisfactoria por medio de un amortiguador viscoso lineal. El coeficiente de amortiguamiento se selecciona de modo que la energa disipada sea equivalente a la energa disipada en todos los mecanismos de amortiguamiento, combinados, presentes en la estructura real. Por lo anterior, esta idealizacin se denomina amortiguamiento viscoso equivalente, un concepto que se desarrolla con mayor detalle en el captulo 3. En la figura 1.4.1a se muestra un amortiguador viscoso lineal sometido a una fuerza fD en la direccin del GDL u. La fuerza interna en el amortiguador es igual y opuesta a la fuerza externa fD (figura 1.4.1b). Como se muestra en la figura 1.4.1c, la fuerza de amortiguamiento de fD se relaciona con la velocidad u a travs del amortiguador viscoso lineal por fD = cu (1.4.1) donde la constante c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso; tiene unidades de fuerza tiempo/longitud. A diferencia de la rigidez de una estructura, el coeficiente de amortiguamiento no puede calcularse a partir de las dimensiones de la estructura y los tamaos de los elementos estruc- turales. Esto no debera ser sorprendente puesto que, como se ha sealado antes, no es posible identificar todos los mecanismos que disipan la energa de vibracin en las estructuras reales. As, los experimentos de vibracin en estructuras reales proporcionan datos para evaluar el coeficiente de amortiguamiento. stos pueden ser experimentos de vibracin libre que condu- cen a datos como los que se muestran en la figura 1.1.4; la razn de decaimiento del movimien- to en la vibracin libre proveer una base para evaluar el coeficiente de amortiguamiento, como se ver en el captulo 2. La propiedad de amortiguamiento tambin puede determinarse a partir de experimentos de vibracin forzada, un tema que se estudia en el captulo 3. El amortiguador viscoso equivalente tiene la intencin de modelar la disipacin de ener- ga para amplitudes de deformacin dentro del lmite elstico lineal de toda la estructura. Den- tro de este intervalo de deformaciones, el coeficiente de amortiguamiento c determinado a partir de pruebas experimentales puede variar con la amplitud de la deformacin. Esta no linea- lidad del amortiguamiento en general no se considera explcitamente en los anlisis dinmicos. Esto puede tratarse de manera indirecta mediante la seleccin de un valor para el coeficiente de Figura 1.4.1 (a) fD fD u fD fD Fuerza externa Fuerza restauradora (b) c 1 fD u (c) M01_Chopra.indd 13 23/07/13 11:16
48. 48. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 114 amortiguamiento conistente con la amplitud de deformacin esperada, y que por lo regular se toma como la deformacin asociada con el lmite elstico lineal de la estructura. Se disipa energa adicional debido al comportamiento inelstico de la estructura a gran- des deformaciones. Ante la accin de fuerzas o deformaciones cclicas, este comportamiento implica la formacin de un ciclo de histresis fuerza-deformacin (figura 1.3.1c). La energa de amortiguamiento disipada durante un ciclo de deformacin entre los lmites de deformacin uo est dada por el rea dentro del ciclo de histresis abcda (figura 1.3.1c). Esta disipacin de energa no suele modelarse mediante un amortiguador viscoso, en especial si la excitacin es un movimiento ssmico, por razones que se describen en el captulo 7. En cambio, el enfoque ms comn, directo y preciso para explicar la disipacin de energa debida al comportamiento inelstico es determinar la relacin inelstica entre la fuerza restauradora y la deformacin, como se muestra en las figuras 1.3.1c y 1.3.4, al resolver la ecuacin de movimiento (captulo 5). Tales relaciones de fuerza-deformacin se obtienen a partir de pruebas experimentales en las estructuras o componentes estructurales a bajas velocidades de deformacin, lo que excluye cualquier disipacin de energa derivada de los efectos dependientes de la velocidad de defor- macin. El enfoque habitual es modelar este amortiguamiento en el intervalo de deformaciones inelsticas mediante el mismo amortiguador viscoso que se defini anteriormente para peque- as deformaciones en el intervalo elstico lineal. 1.5 ECUACIN DE MOVIMIENTO: FUERZA EXTERNA En la figura 1.5.1a se muestra el marco idealizado de un nivel que se present con anteriori- dad, sometido a una fuerza dinmica p(t) aplicada de manera externa en la direccin del GDL u. Esta notacin indica que la fuerza p vara con el tiempo t. El desplazamiento resultante de la masa tambin vara con el tiempo y se indica mediante u(t). En las secciones 1.5.1 y 1.5.2 se obtiene la ecuacin diferencial que controla el desplazamiento u(t) mediante dos mtodos que utilizan (1) la Segunda ley del movimiento de Newton y (2) el equilibrio dinmico. En la seccin 1.5.3 se presenta una manera alternativa para obtener dicha ecuacin. 1.5.1 Uso de la Segunda ley del movimiento de Newton En la figura 1.5.1b se muestran las fuerzas que actan sobre la masa en un cierto instante de tiempo. stas incluyen la fuerza externa p(t), la fuerza restauradora elstica (o inelstica) fS (figura 1.3.1) y la fuerza de amortiguamiento fD (figura 1.4.1). Se considera que la fuerza externa es positiva en la direccin del eje x, y que el desplazamiento u(t), la velocidad u(t) y la aceleracin (t) tambin son positivas en la direccin del eje x. Las fuerzas elsticas y (a) p(t) u m fS fD m p(t) (b) fS fD fI p(t) (c) Figura 1.5.1 M01_Chopra.indd 14 23/07/13 11:16
49. 49. Seccin 1.5 Ecuacin de movimiento: fuerza externa 15 de amortiguamiento se muestran actuando en la direccin opuesta, dado que son las fuerzas internas que se oponen a la deformacin y a la velocidad respectivamente. La fuerza resultante a lo largo del eje x es p fS fD, y a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton se tiene p fS fD = m o m + fD + fS = p(t) (1.5.1) Despus de sustituir las ecuaciones (1.3.1) y (1.4.1), esta ecuacin se convierte en m + cu + ku = p(t) (1.5.2) sta es la ecuacin de movimiento que controla la deformacin o el desplazamiento u(t) de la estructura idealizada en la figura 1.5.1a, que se supone elstica lineal, sometida a una fuerza externa dinmica p(t). Las unidades de masa son fuerza/aceleracin. Esta deduccin puede extenderse con facilidad a sistemas inelsticos. La ecuacin (1.5.1) todava es vlida y todo lo que debe hacerse es sustituir la ecuacin (1.3.1), restrin- gida a los sistemas lineales, por la ecuacin (1.3.6), vlida para los sistemas inelsticos. Por lo tanto, para tales sistemas, la ecuacin de movimiento es m + c u + fS(u) = p(t) (1.5.3) 1.5.2 Equilibrio dinmico Despus de haber sido entrenados para pensar en trminos del equilibrio de fuerzas, los inge- nieros estructurales pueden encontrar el principio de equilibrio dinmico de DAlembert muy atractivo. Este principio se basa en la nocin de una fuerza inercial ficticia, una fuerza que es igual al producto de la masa por su aceleracin y que acta en direccin opuesta a la aceleracin. Lo anterior establece que, con las fuerzas de inercia incluidas, un sistema est en equilibrio en cada instante de tiempo. As, es posible dibujar un diagrama de cuerpo libre de una masa en movimiento y pueden usarse los principios de la esttica para desarrollar la ecuacin de movimiento. En la figura 1.5.1c se presenta el diagrama de cuerpo libre en el momento t, donde la masa se ha reemplazado por su fuerza de inercia, representada mediante una lnea disconti- nua para distinguir esta fuerza ficticia de las fuerzas reales. Al igualar a cero la sumatoria de todas las fuerzas, se obtiene la ecuacin (1.5.1b), que se obtuvo con anterioridad utilizando la Segunda ley del movimiento de Newton. 1.5.3 Componentes de rigidez, amortiguamiento y masa En esta seccin la ecuacin que descibe el desplazamiento para el marco idealizado de un solo nivel se formula con un punto de vista alternativo. Bajo la accin de la fuerza externa p(t), las condiciones del sistema se describen mediante el desplazamiento u(t), la velocidad u(t), y la aceleracin (t), vea la figura 1.5.2a. Ahora visualice el sistema como la combinacin de tres componentes puros: (1) el componente de rigidez: el marco sin amortiguamiento o masa (figura 1.5.2b); (2) el componente de amortiguamiento: el marco con su propiedad de amortiguamiento, pero sin rigidez o masa (figura 1.5.2c) y (3) el componente de masa: la masa del techo sin la rigidez o el amortiguamiento del marco (figura 1.5.2d). Dos o ms ecuaciones en la misma lnea con el mismo nmero de ecuacin se referirn como ecuaciones a, b, c, etctera, de izquierda a derecha. M01_Chopra.indd 15 23/07/13 11:16
50. 50. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 116 La fuerza externa fS sobre el componente de rigidez se relaciona con el desplazamien- to u por medio de la ecuacin (1.3.1) si el sistema es elstico lineal, la fuerza externa fD so- bre el componente de amortiguamiento se relaciona con la velocidad u mediante la ecuacin (1.4.1), y la fuerza externa fI sobre el componente de masa se relaciona con la aceleracin por medio de fI = m. Por lo tanto, la fuerza externa p(t) aplicada al sistema completo puede visualizarse como distribuida entre los tres componentes de la estructura, y fS + fD + fI debe ser igual a la fuerza aplicada p(t) que conduce a la ecuacin (1.5.1b). Aunque este punto de vista alternativo puede parecer innecesario para el sistema sencillo de la figura 1.5.2a, resulta til para los sistemas complejos (captulo 9). Ejemplo 1.2 Un edificio industrial pequeo de un solo nivel, de 20 por 30 pies en planta, se muestra en la figu- ra E1.2 con marcos a momento en la direccin norte-sur y marcos contraventeados en la direccin este-oeste. El peso de la estructura puede idealizarse como 30 lb/pie2 concentradas en el nivel del techo. Los contravientos horizontales estn en la cuerda inferior de las armaduras del techo. Todas las columnas tienen seccin de W8 24, los segundos momentos de rea de la seccin transversal respecto a los ejes x y y son Ix = 82.8 pulg4 e Iy = 18.3 pulg4 , respectivamente; para el acero, E = 29,000 ksi. Los contravientos verticales estn hechos con varillas de 1 pulgadas de dimetro. Formule la ecuacin que controla la vibracin libre en (a) la direccin norte-sur y (b) la direccin este-oeste. Figura 1.5.2 (a) Sistema; (b) componente de rigidez; (c) componente de amortiguamien- to; (d) componente de masa. Figura E1.2 (a) Planta; (b) elevaciones este y oeste; (c) elevaciones norte y sur; (d) contra- viento. = p(t) Desplazamiento u Velocidad u Aceleracin u (a) + fS Desplazamiento u (b) + fD Velocidad u (c) fI Aceleracin u (d) I I I I Contravientos horizontales 20 30 (a) x y N Armadura de techo 124 30 (b) (c) Contravientos verticales 20 (d) A, E L u fS p M01_Chopra.indd 16 23/07/13 11:16
51. 51. Seccin 1.5 Ecuacin de movimiento: fuerza externa 17 Solucin La masa concentrada en el techo es m = w g = 30 30 20 386 = 46.63 lb-s2/pulg = 0.04663 kip-s2/pulg Debido a los contravientos horizontales, el techo puede tratarse como un diafragma infinta- mente rgido. (a) Direccin norte-sur. Debido a la armadura de techo, cada columna se comporta como una columna empotrada en sus dos extremos y la rigidez lateral de los dos marcos a momento (figura E1.2b) es kN-S = 4 12E Ix h3 = 4 12(29 103)(82.8) (12 12)3 = 38.58 kipspulg y la ecuacin del movimiento es m + (kN-S) u = 0 (a) (b) Direccin este-oeste. Los marcos contraventeados, como los que se muestran en la fi- gura E1.2c, suelen disearse como dos sistemas superpuestos: un marco rgido comn que sopor- ta las cargas verticales (muertas y vivas), adems de un sistema de contravientos verticales, que se considera en general como una armadura conectada mediante pasadores que resiste las fuerzas laterales. As, la rigidez lateral de un marco contraventeado puede estimarse como la suma de las rigideces laterales de los contravientos individuales. La rigidez de un contraviento (figura E1.2d) es kcontraviento = (AE/L) cos2 . Esto puede deducirse de la manera siguiente. Se inicia con la relacin fuerza-deformacin axial para un contraviento: p = AE L (b) Por esttica fS = pcos, y por cinemtica u = /cos. Al sustituir p = fS/cos y = ucos en la ecuacin (b) se obtiene fS = kcontravientou kcontraviento = AE L cos2 (c) Para el contraviento de la figura E1.2c, cos = 20/ 122 + 202 = 0.8575, A = 0.785 pulg2 , L = 23.3 pies y kcontraviento = 0.785(29 103) 23.3 12 (0.8575)2 = 59.8 kips/pulg Aunque cada marco tiene dos contravientos, slo el que est en tensin proporciona resistencia lateral; el que est en compresin se pandear ante una fuerza axial pequea y contribuir poco a la rigidez lateral. Teniendo en cuenta los dos marcos, kE-W = 2 59.8 = 119.6 kipspulg (d) y la ecuacin del movimiento es m+ (kE-W) u = 0 Observe que el error al despreciar la rigidez de las columnas es pequeo: kcol = 2 12EIy/h3 = 4.26 kips/pulg contra kcontraviento = 59.8 kips/pulg. Ejemplo 1.3 En la figura E1.3 se muestra una trabe cajn de un puente, hecha de concreto, con 375 pies de largo sobre cuatro soportes (dos estribos y dos ejes intermedios ubicados simtricamente). El M01_Chopra.indd 17 23/07/13 11:16
52. 52. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 118 Figura E1.3 Estribo 1 Estribo 2 Eje 1 Eje 2 x y Longitudinal Transversal 125 125 125 Tablero (a) (b) Tablero del puente Zapatas z x 25 (c) k k M01_Chopra.indd 18 23/07/13 11:16
53. 53. Seccin 1.6 Sistema masa-resorte-amortiguador 19 rea de la seccin transversal del tablero del puente es de 123 pies2 . El peso del puente se idealiza como concentrado en el nivel de la cubierta, el peso volumtrico del concreto es de 150 lb/pie3 . El peso de las columnas en los ejes puede despreciarse. Cada eje consiste en tres columnas de 25 pies de altura con seccin transversal circular, donde Iy = Iz = 13 pies4 (figura E1.3b). Formule la ecuacin de movimiento que controla la vibracin libre en la direccin longitudinal. El mdulo de elasticidad del concreto es E = 3000 ksi. Solucin El peso por unidad de longitud concentrado en el nivel de la cubierta es (123 1) 150 = 18.45 kips/pie. El peso total concentrado en el nivel de la cubierta es w = 18.45 375 = 6919 kips y la masa correspondiente es m = w g = 6919 32.2 = 214.9 kip-s2/pie La rigidez longitudinal del puente se calcula suponiendo que la cubierta del puente se despla- zar como cuerpo rgido como se muestra en la figura E1.3c. Cada columna de un acodamiento se comporta como una columna empotrada en sus dos extremos. La rigidez longitudinal pro- porcionada por cada acodamiento es keje = 3 12E Iz h3 = 3 12(3000 144)13 (25)3 = 12,940 kips/pie Dos ejes proporcionan una rigidez total de k = 2 keje = 2 12,940 = 25,880 kips/pie La ecuacin que controla el desplazamiento longitudinal u es m + ku = 0 1.6 SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR Se ha presentado el sistema 1GDL idealizando una estructura de un nivel (figura 1.5.1a), un enfoque que debera ser atractivo para los estudiantes de ingeniera estructural. Sin em- bargo, el sistema 1GDL clsico es el sistema masa-resorte-amortiguador de la figura 1.6.1a. La dinmica de este sistema se desarrolla en los libros de texto sobre vibracin mecnica y fsica elemental. Si se considera que el resorte y el amortiguador no tienen masa, que la masa es rgida y que todo movimiento ocurre en la direccin del eje x, se tiene un sistema de 1GDL. En la figura 1.6.1b se muestran las fuerzas que actan sobre la masa, las cuales incluyen la fuerza restauradora elstica, fS = ku, ejercida por un resorte lineal de rigidez k, y la fuerza res- tauradora de amortiguamiento, fD = cu, debida a un amortiguador viscoso lineal. Entonces, a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton resulta la ecuacin (1.5.1b). De manera alternativa, puede obtenerse la misma ecuacin mediante el uso del principio de DAlembert y al escribir una ecuacin de equilibrio de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, incluyen- do la fuerza de inercia (figura 1.6.lc). Es evidente que la ecuacin de movimiento obtenida anteriormente, para el marco idealizado de un nivel en la figura 1.5.1a, tambin es vlida para el sistema masa-resorte-amortiguador de la figura 1.6.1a. M01_Chopra.indd 19 23/07/13 11:16
54. 54. Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y mtodos de solucin Captulo 120 Ejemplo 1.4 Deduzca la ecuacin de movimiento del peso w suspendido por un resorte en el extremo libre de la viga de acero en voladizo que se muestra en la figura E1.4a. Para el acero, E = 29,000 ksi. Desprecie las masas de la viga y el resorte. Superficie sin friccin (a) u m p(t) k c ku cu p(t) mg mg (b) ku cu p(t) mu mg mg (c) Figura 1.6.1 Sistema masa-resorte-amortiguador. Figura E1.4 (a) Sistema; (b) posiciones no deformada, deformada y de equilibrio esttico; (c) diagrama de cuerpo libre; (d) fuerzas del resorte y la viga. L = 10 2 de dimetro k = 20 lb/pulg w = mg p(t) (a) (b) u st u Posicin no deformada Equilibrio esttico (c) fS p(t) w mu (d) fS fS Solucin En la figura E1.4b se muestra la posicin deformada del extremo libre de la viga, el resorte y la masa. El desplazamiento u de la masa se mide desde su posicin inicial con la viga y el resorte en su configuracin original no deformada. El equilibrio de fuerzas de la figura E1.4c resulta en mu + fS = w + p(t) (a) M01_Chopra.indd 20 23/07/13 11:16
55. 55. Seccin 1.6 Sistema masa-resorte-amortiguador 21 donde fS = keu (b) y falta por determinar la rigidez efectiva ke del sistema. La ecuacin de movimiento es m + ke = w + p(t)u u (c) El desplazamiento u puede expresarse como = st + uu (d) donde st es el desplazamiento esttico debido al peso w y u se mide desde la posicin de equi- librio esttico. Al sustituir la ecuacin (d) en la ecuacin (a) y al observar (1) que = u porque st no vara con el tiempo y (2) que kest = w,