diferencia c i on integra c i on

7/21/2019 Diferencia c i on Integra c i On

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Diferenciación e Integración

numérica



Diferenciación

La diferenciación numérica puede calcularse usando la

definición de derivada

( ) ( ) ( )

h

x f h x f x f

h

00

00 lim'

−+=

→

Tomando una h pequeña. Si h > 0 se llama fórmula de

diferencia progresiva si h ! 0 se llama fórmula de diferencia

regresiva.

( ) ( ) ( )0 0

0' f x h f x

f xh

+ −≈



DI"#$#%&I ($)*$#SI+ $#*$#SI+ , &#%T$L

DI"#$#%&I ($)*$#SI+.- uerepresenta la pendiente de la cuerda /&

DI"#$#%&I $#*$#SI+.- ue representa

la pendiente de la cuerda /&

DI"#$#%&I &#%T$L.- ue representa

la pendiente de la cuerda /&

( ) ( ) ( )

'i i

i

f x h f x f x

h

+ −≈

( ) ( ) ( )

'i i

i

f x f x h f x

h

− −≈

( ) ( ) ( )

'

i i

i

f x h f x h f x

h

+ − −≈



DI"#$#%&I ($)*$#SI+ $#*$#SI+ , &#%T$L

1 #2emplo 3.- Dada la ta4la de valores

&alcule f 5678 para el valor de 79:; sa4iendo

que 7 esta en grados se7agesimales.

#mplear las diferencias progresivas

regresivas < central teniendo en cuenta que=9:; 6lo que equivale a 00??8

0 : @0

0@A0 0 AB 0:000

x

senx

° ° °



Solución

a8Diferencia progresiva

48 Diferencia regresiva

c8 Diferencia central

( ) ( ) ( ) ( ) ( )@0 : 0.:00 0.AB

' 0.BB?0.0?? 0.0??

i i

i

f x h f x f f f x

h

+ − − −≈ = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ): 0 0.AB 0.@A0

' 0.C@?:0.0?? 0.0??

i i

i

f x f x h f f f x

h

− − − −≈ = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )@0 0 0.:00 0.@A0

' 0.>CCC? 0.0>?? 60.0>??8

i i

i

f x h f x h f f f x

h

+ − − − −≈ = = =



"órmulas de diferencias divididas

=acia adelante

( ) ( ) ( )

h

x f x f x f ii

i

−= +3'

(rimera derivada

( ) ( ) ( ) ( )

h

x f x f x f x f iii

i

@A' 3 −+−

= ++

Segunda derivada

( ) ( ) ( ) ( )

3 ''

h

x f x f x f x f iii

i

+−= ++ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3@ :A''

h

x f x f x f x f x f iiii

i

+−+−= +++

Tercera derivada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )@

3@ @@'''

h


i

−+−= +++

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

@

3@A

:3>A3A@'''

h

x f x f x f x f x f x f iiiii

i

−+−+−= ++++




centradas

( ) ( ) ( )

h

x f x f x f ii

i33' −+ −

=

(rimera derivada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h


i3

' 33 −−++ +−+−

=

Segunda derivada

( ) ( ) ( ) ( )

33 ''

h

x f x f x f x f iii

i−+ +−

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33

3

3B@03B''

h

x f x x f x f x f x f iiiii

i−−++ −+−+−

=

Tercera derivada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )@

33

'''

h


i++−+ −+−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

@

@33@

>

>3@3@>'''

h

x f x f x f x f x f x f x f iiiiii

i−−−+++ +−+−+−

=




=acia atrs

( ) ( ) ( )

h

x f x f x f ii

i3' −−

=

(rimera derivada

( ) ( ) ( ) ( )

h

x f x f x f x f iii

i

A@' 3 −− +−

=

Segunda derivada

( ) ( ) ( ) ( )

3''

h

x f x f x f x f iii

i−− +−

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

@3 A:''

h


i−−− −+−

=

Tercera derivada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )@

@3 @@'''

h


i−−− −+−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

@

A@3

@3AA3>:'''

h

x f x f x f x f x f x f iiiii

i−−−− +−+−

=



Integración numérica

1Eatemticamente la integración se representa por

integral de la función f678 con respecto a la varia4le

independiente 7 evaluada entre los lFmites a < 4

1La integral es el valor total o sumatoria de f678d7 so4re el rango 79a

=asta 4

1(ara funciones que estn por encima del e2e 7 la integralcorresponde al rea 4a2o la curva de f678 en a < 4

( )∫ =b

a

dx x f I



$egla del rectnguloLa función <9f678 se reemplaGa en el entorno de integración

HooJ=K por el segmento =oriGontal /D < enconsecuencia el rea verdadera /&# por la del rectngulo

/D#.

#l error cometido adoptando tal simplificación viene medido

por el rea del triangulo curvilFneo /&D.



$#*L D#L (%T) E#DI)

La función f678 se apro7ima mediante la recta paralela ale2e ) traGada por el punto medio del intervalo

HooJ=K es decir por M o J 3 N =



$#*L D#L T$(#&I)

1 La función f678 se apro7ima por la cuerda

de la curva dentro del intervalo HooJ=K.

Se trata de una apro7imación lineal. #l arco

/& se sustitu<e por la cuerda /&.



$egla del trapeciotiliGando un polinomio interpolante lineal de Lagrange.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )3

03

00

30

3 x f x x

x x x f

x x

x x x P

−

−+

−

−=

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )3030

03

3

03

00

30

3

x f x f

h x f x f

x x

dx x f x x

x x x f

x x

x xdx x f

b

a

b

a

+=+−

=

−

−+

−

−= ∫ ∫

Donde h 9 x3 O x0 9

#sta fórmula vale cuando f 6 x8 tiene valores positivos.

Da valores e7actos para

polinomios de grado 3.

x0 = a x3 = b

P 3 f



regla del trapecio

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )3030

03

3

03

00

30

3

x f x f

h x f x f

x x

dx x f x x x x x f

x x x xdx x f

b

a

b

a

+=+−

=

−−+−−= ∫ ∫



$#*L D# SIE(S)%

La regla del trapecio es tanto mas apro7imada cuandoma<or es el numero de divisiones o intervalos n. se puede

o4tener una me2or apro7imación con menos intervalos n

si la curva < 9 f678 se reemplaGa por par4olas de segundo

grado que pasen por cada tres puntos consecutivos

6i,i8 de la función dada.



$egla se SimpsonLa regla se Simpson se o4tiene suponiendo el segundo polinomios

de Lagrange con los nodos x0 9 a x 9 b x3 9 a + h h 9 6b – a)N.

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )[ ]30

30

303

303

00

030

3

A@

x f x f x f h

dx x f x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x xdx x f

b

a

b

a

++=

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−= ∫ ∫

Donde se =an

despreciado los términosde error.

La fórmula es e7acta para

polinomios de =asta

tercer grado. x0 = a x = b

P @ f

x3



&omparación

f(x) x 2̂ x^4 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen x exp(x)

Valuación exacta 2.667 6.400 1.099 2.95 1.416 6.!9

"rapeci# 4.000 16.000 1.!!! !.2!6 0.909 .!9

$e %i&ps#n 2.667 6.667 1.111 2.964 1.425 6.421

&omparación entre el valor e7acto la regla del trapecio <

la regla de Simpson para diferentes funciones en el

intervalo H0 K.



$egla de Simpson @N

2ustando polinomios de Lagrange de orden @ usando cuatro

puntos se llega a la regla de Simpson de @N

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]@30 @@@ x f x f x f x f h x f I

b

a+++== ∫

Tam4ién puede e7presarse porM

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

@@ @30 x f x f x f x f ab x f I

b

a

+++−== ∫

#sta regla es Ptil cuando el nPmero de puntos es impar.



Integración numérica compuesta

[ ] ?BC:.:B5A@

A0A

0=++≈∫ eeedxe x

Integrando e x por Simpson en H0AK

#l error esM :@.:C3: O :B.?BC: 9 [email protected]?3A@

Separando en dos integralesM

[ ] [ ]

[ ]

B@:.:@

AA@

3

A@

3A

@

3

A@0

A@0

A

0

A

0

=

++++=

+++++≈

+= ∫ ∫ ∫

eeeee

eeeeee

dxedxedxe x x x



Dividiendo en A intervalos

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

B3B.:@

AAAA@

3

AB

3A

B

3

AB

3A

B

3

A@0

A@@

0

A

@

@

3

3

0

A

0

?

:

@

3

?

:

@

3

=

++++++++=

++++++

+++++≈

+++= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

eeeeeeeee

eeeeee

eeeeee

dxedxedxedxedxe x x x x x

#l error esM :@.:C3: O :@.B3B 9 O0.030?



$egla compuesta de Simpson

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

+++= ∑∑∫ =−

−

=b f x f x f a f

hdx x f

n

j

j

n

j

j

b

a

N

0

3

3N

0

A@

Teorema. Sea f ∈C A

Ha bK n par h 9 6b O a8Nn < x j 9 a J jh paracada j 9 0 3 ... n . La regla de Simpson para n su4intervalos

puede escri4irse comoM

x0 = a xn = b

y= f 6 x8

x x j-3 x j x jJ3



$egla compuesta del trapecio

( ) ( ) ( ) ( )

++= ∑∫

−

=

b f x f a f hdx x f n

j

j

b

a

3

3

x0 = a xn = b

y= f 6 x8

x3 x j-3 x j xn O3

Teorema. Sea f ∈C AHa bK n par h 9 6b O a8Nn < x j 9 a J jh para

cada j 9 0 3 ... n . La regla del trapecio para n su4intervalos

puede escri4irse comoM



$egla compuesta del punto

medio

( ) ( )∑∫ =

=N

0

n

j

j

b

a x f hdx x f

x0 = a xn+3 = b

y= f 6 x8

x0 x j-3 x j xn x3 x j+3

Teorema. Sea f ∈C AHa bK n par h 9 6b O a8N6nJ8 < x j 9 a J

6 jJ38h para cada j 9 O3 0 3 ... nJ3. La regla de compuesta

del punto medio para n su4intervalos puede escri4irse comoM



Datos con espaciamiento

irregular Si los datos estn espaciados de forma irregular como en el caso de datos

e7perimentales la integración puede llevarse a ca4o mediante la aplicación de la

regla del trapecio a cada su4intervalo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

...

33

30

3

nnn

x f x f h

x f x f h

x f x f h I

+++

++

+= −

Donde hi 9 anc=o del segmento i.



lgoritmos $egla del trapecio

lgoritmos para la regla del trapecio de uno solo segmento

function trap(h, f0, f1)

trap = h*(f0+f1)/2

end

lgoritmos para la regla del trapecio de mPltiples segmentos

function trap(h, n, f)

sum = f0;

for i = 1, n–1

sum = sum + 2*fi

end

sum = sum + fn

trap = h*sum/2

end



lgoritmos $egla simple de

Simpson$egla de Simpson de 3N@

function simp13(h, f0, f1, f2)

simp13 = 2*h*(f0+4*f1+f2)/6

end

$egla de Simpson de @N

function simp3(h, f0, f1, f2, f3)

simp3 = 3*h*(f0+3*f1+3*f2+f3)/

end



$egla de Simpson 3N@ mPltiple

!unction simp13m(h, n, f)

sum = f0

for i = 1, n–2, 2

sum = sum+4*fi+2*fi+1

end

sum = sum+4fn"1+fn

simp13m = h*sum/3

end



lgoritmos $egla compuesta de Simpson

$egla de Simpson de nPmero de segmentos pares o impares

function simpint(a, #, n, f) h = (#"a)/n

if n=1 then

sum=trap()

e$se

m = n

odd = n/2"int(n/2)

if odd%0 and n%1 then

sum = sum + simp3(h,fn"3,fn"2,fn"1,fn)

m = n"3

end

if m%1 then

sum = sum + simp13m(h, m, f)

end

end

simpint = sum

end



#2emplo Trapecio

Sea la siguiente funciónM

f 6 x8 9 0. J : x – 00 x J B?: x@ O C00 xA J A00 x:

Integrada en el intervalo de a 9 0 a b 9 0. con trapecioM

+alor real I 9 3.BA0:@@@@

f 6a8 9 0.000 f 6b8 9 0.@0

I 9 h 6 f 6b8 O f 6a8 8N 0.3?0000 error 9 C.A?Q



#2emplo Simpson 3N@





f 6a8 9 0. f 66a+b8N8 9 .A:B f 6b8 9 0.@

I 9 0. 60.JA6.A:B8J0.@8NB 9 3.@B?ABBB? error 9 3B.BQ



#2emplo Simpson @N





f 608 9 0. f 60.BBB?8 9 3.A@?A

f 60.:@@@8 9 @.A?3?? f 60.8 9 .@

I 9 0. [email protected]@[email protected]?3??8J .@ 8N 9 3.:3C3?0

error 9 ?.AQ



#2emplo Simpson 3N@ < Simpson @N



Integrada en el intervalo de a 9 0 a b 9 0. con : segmentos

con trapecio primeros < Simpson los @ PltimosM

+alor real I 9 3.BA0:@@@@ f 608 9 0. f 60.3B8 9 3.CBC f 60.@8 9 3.?A@@C

f 60.A8 9 @.3B03 f 60.BA8 9 @.33C@ f 60.8 9 0.@00

Simpson 3N@M

I 3N@

9 0.@R60. JA63.CBC8J 3.?A@@C 8NB 9 0.@0@@?

Simpson @N

I @N 9 0.A 63.?A@@C J@[email protected] J @.33C@ 8J .@ 8N

9 3.BA?:A

I 9 3.BA:0??

error 9 0.Q



x f(x)

0.00 0.200000

0.12 1.!09729

0.22 1.!05241

0.!2 1.74!!9!

0.!6 2.07490!0.40 2.456000

0.44 2.4295

0.54 !.507297

0.64 !.11929

0.70 2.!6!000

0.0 0.2!2000

diferencia c i on integra c i on

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