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i

Fundamentos de la Estadística

Estadígrafos de posición central

Medidas de orden y dispersión Regresión y correlación estadística

Números Índices

DIDÁCTICA DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

TEORÍA Y APLICACIÓN PRÁCTICA

ii

DIDÁCTICA DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Primera Edición Digital

Morales Puruncaja Luis Alberto

Pachacama Socasi Víctor Hugo

Gómez Herrera Francisco Stalin

Equipo de Apoyo Técnico:

Gabriela Pazmiño Elizabeth Ganán LLagua Norma Peñafiel Miranda

iii

Responsabilidad Pedagógica: EPISTEME: Nuevo Paradigma

Quito DM – Ecuador Diciembre, 2017

Didáctica de la Estadística Descriptiva Primera Edición Digital

No está permitido la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transformación de

ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico,

mecánico, por copia fotostática, por registro u otros medios, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del

copyright.

DERECHOS RESERVADOS © 2017

ISBN: 978–9942–30–606-7 Derechos de Autor: IEPI: QUI-052731

Diseño de cubierta: EPISTEME: Nuevo Paradigma Impreso en QUITO-ECUADOR

Sobre los Autores

iv

Luis Alberto Morales Puruncaja Master en Administración de Empresas, MAE (IIP-FCA-UCE)

Diplomado en Educación Superior (ISP-FFYCE)-UCE

Economista (FCE-UCE)

Licenciado en Economía (FCE – UCE)

Asesor en Finanzas Corporativas / Especialista en Gerencia Social

Para Gobiernos Autónomos Descentralizados (GAD)

(EPISTEME: Nuevo Paradigma)

Víctor Hugo Pachacama Socasi Magister en Ingeniería Industrial, MSc EPN (IIP- FFYCE-UCE)

Ingeniero Químico (FIQ-UCE)

Diplomado Internacional en Competencias Docentes (TEC MONTERREY- MEXICO)

Docente de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE (DCEAC)

Docente de la Universidad Central del Ecuador (FCA-UCE)

Francisco Stalin Gómez Herrera Magister en Docencia Superior, MDS (IIP- FFYCE-UCE)

Economista (FCE-UCE)

Licenciado en Economía (FCE-UCE)

Profesor del Instituto Superior “Luis Napoleón Dillon”

Especialista en Métodos Estadísticos e Investigación de Operaciones

(LIBRE EJERCICIO)

Pares Académicos

v

Luis Gustavo Moncayo Bone

Economista

Magister en Administración y Marketing - MBA

Docente del Departamento de Ciencias Económicas, Administrativas y de Comercio

Universidad de las Fuerzas Armadas –ESPE

(Informe Par Evaluador Externo: Anexo I)

José Ernesto Caizaguano Vimos

Matemático

Magister en Investigaciones Operativas, MSc

Docente del Departamento de Ciencias Exactas

Universidad de las Fuerzas Armadas - ESPE

(Informe Par Evaluador Externo: Anexo I)

Dedicatoria

vi

A los Estudiantes:

Pasados, presentes y futuros de las Unidades

de Educación Superior y Tecnológica:

Universidad Central del Ecuador - UCE

Universidad Escuela Politécnica del Ejército - ESPE

Instituto Superior “Luis Napoleón Dillon”

A la Vida…

Los Autores

Características Pedagógicas

vii

Presentación

El presente trabajo pedagógico, constituye una propuesta encaminada a fomentar

el aprendizaje e interaprendizaje de la Estadística Descriptiva por parte del lector

no especializado, planteándose recomendaciones y estrategias para que el docente

pueda aplicarlas en su quehacer académico.

El estudio de la Estadística Descriptiva, como otras disciplinas del saber humano,

se orienta a desarrollar una comprensión integral de sus contenidos lo que

conlleva a la aplicación de metodologías de aprendizaje activo, cimentadas en

modelos pedagógicos orientados al constructivismo como una alternativa al

desarrollo del pensamiento. De tal manera que, las estrategias presentadas, en

el modelo constructivista de la educación, al perseguir este que el estudiante

trasciende con su comprensión y adquisición del conocimiento.

Se resalta además, que la Estadística Descriptiva es una disciplina técnica,

fundamentada en conocimientos teóricos de la Matemática, respecto de lo cual,

existen pocos recursos didácticos y estrategias metodológicas que el docente pueda

utilizar de manera oportuna y eficaz.

En este contexto, la metodología de aprendizaje e interaprendizaje que se desarrolla

en el presente texto académico, se orienta en última instancia, a mejorar la

comprensión por parte del lector facilitándose el conocimiento de diferentes

temáticas relacionadas con el tratamiento de datos.

Así, el beneficio del presente texto académico, es mejorar el proceso y

dinámica del aprendizaje e interaprendizaje.


viii

Fundamentación teórica

La Estadística General, en tanto disciplina del conocimiento científico orientada al

tratamiento de los “grandes números” mediante la aplicación de una serie de

métodos para la toma de datos, análisis e interpretación de resultados para una

adecuada y oportuna toma de decisiones, se orienta en última instancia, a la

optimización de los recursos de una organización empresarial.

En este contexto, y en lo concerniente al campo de la Estadística Descriptiva, esta

se caracteriza, según varios autores, en una serie de procedimientos tendientes a

determinar los costos de un producto y de las distintas actividades que se requieren

para su fabricación y distribución, así como planear y, medir la ejecución de su

trabajo.

Al tratarse de procedimientos estandarizados, es necesario que el estudiante tenga

noción de proceso a seguir, y que ante todo, pueda comprender la lógica del

procedimiento, por esto, el modelo pedagógico que acoge es el constructivista, del

cual se extraen, se aplican y se acoplan las estrategias metodológicas para el

conocimiento de los sistemas de costos industriales.

En tal situación, los propósitos del texto académico intitulado “Didáctica de la

Estadística Descriptiva”; se sintetizan en los siguientes aspectos:

Fomentar el aprendizaje y la comprensión de los fundamentos de la

Estadística Descriptiva en diferentes casos de estudio.

Evaluar el aprendizaje en base a la capacidad de análisis y síntesis del lector

en función de los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos.

Analizar e interpretar, cuantitativa y cualitativamente, los resultados del

tratamiento de datos estadísticos con su consecuente análisis interpretativo.


ix

Características pedagógicas

La primera edición digital incorpora aspectos pedagógicos clave para el proceso de

aprendizaje e inter-aprendizaje fundamentados en objetivos y resultados de

aprendizaje orientados a la resolución de situaciones problémicas de caso con lo

que se mejora la comprensión del estudiante y facilita la aplicación de la práctica

docente.

Titulares

Como un aporte al discernimiento de las diferentes temáticas que se tratan en cada

uno de los capítulos del texto académico, éstos se inician con un titular que se basa

en una problemática económica propia de diferentes actividades productivas. Cada

titular deberá ser confrontado con la realidad actual de la dinámica económica

microempresarial con el propósito de generar una conciencia crítica entre los

involucrados.

Objetivos de aprendizaje (OA)

1. Reforzar el conocimiento y la comprensión de la Estadística Descriptiva,

en lectores interesados en la disciplina.

2. Promover la utilización de estrategias metodológicas que integren al lector

en el proceso de adquisición de conocimientos estadísticos.

3. Dotar al facilitador de una metodología referencial para mejorar la

transmisión de conocimientos a los posibles participantes en el estudio de

la Estadística Descriptiva.

¿Para qué sirven las unidades de estudio?

Como un complemento del cumplimiento de los objetivos de aprendizaje (OA), la

metodología de aprendizaje del texto académico plantea los posibles impactos que

tendrán las diferentes unidades de estudio en la “vida profesional” (en los campos

de la Contabilidad, la Administración y Economía) y en la “vida personal” (en


x

relación a las actividades cotidianas, la toma de decisiones y administración de

recursos).

Aproximación teórica-conceptual

Tiene relación con los lineamientos teóricos, conceptuales y metodológicos

relacionados con las temáticas que tratan cada una de las unidades de estudio; se

relaciona, principalmente con fuentes secundarias de información, y eventualmente,

con ciertas fuentes primarias de información.

Evaluación de los aprendizajes

La evaluación de los aprendizajes se propone como una forma de constatar el grado

de cumplimiento de los objetivos de aprendizaje propuestos; para lo cual se propone

aplicar pruebas de evaluación cualitativas o instrumentos de avaluación

cuantitativos.

En el primer caso, se procede con la observación y seguimiento teórico y conceptual

de los contenidos de estudio orientados a fomentar el análisis y síntesis, generando

reflexión y crítica respecto de la situación problémica de evaluación.

En el segundo caso, la evaluación se fundamenta en la capacidad de razonamiento

lógico y comprensión de los procesos y procedimientos mensurables que devienen

de la evaluación de los aprendizajes.

Ejercicios de aplicación práctica

A partir de situaciones problémicas concretas o de caso, se plantean diferentes

ejercicios de aplicación práctica para reforzar el aprendizaje para que el lector, a

partir del razonamiento lógico y verbal referente a los aspectos teórico-

conceptuales, pueda aplicar y resolver correctamente mediante la aplicación de la

Estadística Descriptiva según tipos y clases de las pequeñas y medianas empresas,

en base al análisis rápido de sus operaciones, desarrollando así la generación de

conocimiento significativo.

Tabla de Contenidos

xi

Capítulo 1: Fundamentos de la Estadística, 1

Capítulo 2: Estadígrafos de posición central y medidas de orden y dispersión, 46

Capítulo 3: Regresión y correlación estadística, 68

Capítulo 4: Números índices, 95

Anexos, 109

Anexo I: Criterios de Pares Académicos, 109

Anexo II: Urkund Analisis Result, 114

Anexo III: ISBN - Cámara Ecuatoriana del Libro, 121

Derechos de Autor – Instituto de Ecuatoriano de Propiedad

Intelectual – IEPI, 122

Bibliografía, 123

Contenido

xii

FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA .............................................................................................................. 1

Titular: Se puede ganar a la ruleta usando la Estadística ................................................................. 1

Objetivos de Aprendizaje (OA) ............................................................................................................. 2

APROXIMACIÓN TEÓRICA Y CONCEPTUAL .................................................................................. 3

Definición ................................................................................................................................................... 3

Naturaleza de la estadística ................................................................................................................... 3

Ejercicio ....................................................................................................................................................13

APRENDIZAJE DE LOS FUNDAMENTOS DE LA ESTADÍSTICA .................................................24

Actividades de aprendizaje, problemas y aplicaciones ..........................................................................24

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA ......................................................................................38

Ejercicio No. 1 .........................................................................................................................................38

Ejercicio No. 2 .........................................................................................................................................42

ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN, MEDIDAS DE ORDEN Y DISPERSIÓN ................................................... 46

Titular: ¿Cuántos positivos puede llegar a tener una ruleta perfecta? ...........................................46

Objetivos de Aprendizaje (OA) .............................................................................................................47

APROXIMACIÓN TEÓRICA Y CONCEPTUAL .................................................................................48

Definición ..................................................................................................................................................48

Clasificación .............................................................................................................................................48

Estadígrafos de posición o tendencia central .....................................................................................48

Definición y clasificación ........................................................................................................................48

La media aritmética ................................................................................................................................48

La mediana (Me): ....................................................................................................................................48

La moda (Md): .........................................................................................................................................49

Estadígrafos de dispersión o variación ................................................................................................49

Varianza: ..................................................................................................................................................49

Desviación Estándar:..............................................................................................................................49

Coeficiente de variación .........................................................................................................................50

Estadígrafos de orden o apuntamiento................................................................................................50

Cuartiles ...................................................................................................................................................50

Deciles ......................................................................................................................................................51

Ejercicio ....................................................................................................................................................51

APRENDIZAJE DE ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN CENTRAL Y MEDIDAS DE ORDEN Y DISPERSIÓN...........................................................................................................................................59


Ejercicio ....................................................................................................................................................62

Estadígrafos de posición........................................................................................................................64

Estadígrafos de dispersión ....................................................................................................................65

Estadígrafos de orden ............................................................................................................................65

Regresión y correlación estadística LINEAL ............................................................................ 68

Titular: El estudio acerca del razonamiento sobre la asociación estadística .................................68

Contenido

xiii

Objetivo de Aprendizaje (OA) ...............................................................................................................69


Correlación estadística ...........................................................................................................................70

Coeficiente de correlación .....................................................................................................................70

Coeficiente de correlación lineal ...........................................................................................................70

Coeficiente de correlación exponencial o logarítmica .......................................................................71

Regresión .................................................................................................................................................76

Coeficiente de regresión lineal ..............................................................................................................76

Correlación lineal ....................................................................................................................................76

APRENDIZAJE DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ESTADÍSTICA ...........................................79


Ejercicio No. 1: Caso de la ecuación lineal .........................................................................................84

Ejercicio No. 2: Caso de las ecuaciones exponencial y logarítmica ...............................................88

Ejercicio No. 3: Método de regresión lineal para calcular la proyección de la demanda .............92

Números índices ...................................................................................................................................... 95

Titular: Los precios se estancan en EE.UU. y dejan la inflación en 1,6 % .....................................95

Objetivos de Aprendizaje (OA) .........................................................................................................96


EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES .........................................................................................103

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA ....................................................................................104

Anexos, ...................................................................................................................................................109

Anexo I: Criterios de Pares Académicos .............................................................................................109

Anexo II: Urkund Analisis Result .......................................................................................................114

Derechos de Autor – Instituto de Ecuatoriano de Propiedad Intelectual – IEPI ..........................122

Referencias de consulta: .....................................................................................................................123

Bibliografía ................................................................................................................................................. 123

Introducción

xiv

El estudio y aplicación diferentes métodos estadísticos para el tratamiento, interpretación

y análisis de datos poblacionales o muestrales, conducen al desarrollo de metodologías y

procedimientos técnico-operativos, que faciliten la cuantificación de la información

empírica que se ajuste a las actividades económicas, sociales, educativas, culturales en el

contexto privado y/o público en términos de optimizar la utilización de los recursos,

capacidades tecnológicas y empleo del Talento humano con calidad y eficiencia.

Corresponde a la Estadística General, y a la Estadística Descriptiva en particular, facilitar

los instrumentos de análisis empírico para la toma de datos que serán la fuente para la toma

de decisiones personales o empresariales en el contexto de las necesidades o demandas que

cambian radicalmente en el “mundo globalizado” en el que los administradores, financieros

y expertos en el manejo de los “grandes números” desarrollen capacidades, destrezas y

habilidades tecnológicas y contribuyan al conocimiento de tal o cual problemática motivo

de estudio.

La Estadística Descriptiva, aplicada a las actividades productivas microempresariales,

proponer una base de datos que contribuya al desarrollo de sistemas de información

financiera, por ejemplo, con el fin de identificar casos de análisis de información

comparada que facilite la toma de decisiones de manera oportuna y eficaz.

En este contexto, el presente texto académico, desarrolla planteamientos teórico-

conceptuales, metodológicos y de aplicación práctica que fundamentados en los

indicadores de tendencia central y medidas de orden o dispersión; el análisis de regresión

y correlación estadística lineal y el tratamiento de los números índices en el desarrollo de

casos concretos relacionados con actividades microempresariales varias, que faciliten el

aprendizaje e inter-aprendizaje y sus correspondiente análisis interpretativo para el

establecimiento de políticas de optimización de procesos en el tratamiento del conjunto de

una población.

1

Titular: Se puede ganar a la ruleta usando la Estadística

“En la década de los 90, se descubrió un método legal para ganar en las ruletas de

cualquier casino. La técnica usada por el clan está descrita en el libro «La fabulosa

historia de los Pelayo», de Iván y Gonzalo García-Pelayo (2003).

Su método se basa en que no existe la ruleta perfecta, sino que todas tienen defectos

físicos. Estas anomalías pueden deberse a casillas desiguales, curvaturas laterales,

diferente atornillado de las paredes de los casilleros que recogen la bola… Estas

imperfecciones harán que algunos números salgan con más frecuencia que otros y,

por tanto, la ruleta presentará un comportamiento distinto al esperado en una

máquina perfecta. Puesto que el casino no permitiría hacer mediciones físicas, para

detectar posibles tendencias en una ruleta hay que recurrir al análisis estadístico. Si

la ruleta fuera perfecta, la probabilidad de que saliera uno de los 36 números que

dan premio es 1/36=0.03. Es decir, no sería esperable que después de muchas

jugadas un número apareciera más de una vez cada 36 tiradas.

Todas las noches, durante meses, los García-Pelayo anotaron los números que salían

en cada una de las mesas de ruleta del casino.” (Martinez, 2003)

FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA

UNIDAD UNO

http://books.google.es/books?id=cOLtyCKe3tMC&printsec=frontcover&dq=la+fabulosa+historia+de+los+pelayos&hl=es&sa=X&ei=rLODUpnPG8Kx0AXluoGIDg&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=la%20fabulosa%20historia%20de%20los%20pelayos&f=false

http://books.google.es/books?id=cOLtyCKe3tMC&printsec=frontcover&dq=la+fabulosa+historia+de+los+pelayos&hl=es&sa=X&ei=rLODUpnPG8Kx0AXluoGIDg&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=la%20fabulosa%20historia%20de%20los%20pelayos&f=false

2

Objetivos de Aprendizaje (OA)

OA1 Identificar los diferentes métodos estadísticos aplicables a un

hecho económico cualquiera, mediante el estudio de casos y

ejemplos de la vida real.

OA2 Comprender cada uno de los términos estadísticos mediante

procesos de análisis, comparación e inferencias para

conceptualizarlos.

OA3 Adquirir habilidad en la elaboración de cuadros de frecuencia,

gráficos e interpretación y compresión de los resultados obtenidos

mediante la aplicación de las estadígrafos de tendencias central y/o

dispersión

ALCANCE DE LA UNIDAD UNO

Para qué sirve la unidad Uno.

En el campo profesional:

En la administración.- Organiza y sistematiza la información para su descripción

y análisis de casos.

En la contabilidad.- El uso de cálculos de tipo estadístico, permite establecer

diferentes registros contables que inciden en la información financiera.

En sistemas de Información.- Al introducir ciertas fórmulas estadísticas a un

sistema se obtiene información inmediata y necesaria para la toma de decisiones.

En el campo personal:

Facilita el manejo sistemático de las diferentes fuentes estadísticas para la toma de

decisiones individuales y equipos de trabajo.

Unidad Uno: Fundamentos de Estadística

3

Definición, objetivos y aplicaciones de la estadística

Definición

La Estadística, es una ciencia formal que estudia la recolección, analices e

interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en

la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de

algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia de forma aleatoria o

condicional. Sin embargo la estadística es más que eso, es decir, es el

vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la

investigación científica.

Naturaleza de la estadística

La naturaleza de la estadística está basada en la toma de observación, sin

embargo la elección de los elementos que van a representar su análisis no

tiene, en la mayoría de veces, una metodología basado sobre la teoría

generada en la propia estadística, la mayoría de ocasiones la elección de los

elementos que intervienen en el estudio estadístico es muy subjetiva, ya que

depende de la “experiencia generada por el investigador” , la cual en algunas

ocasiones puede arrogar resultados confiables, pero no en todos. Por ello

algunos investigadores tratan descarta su uso y utilizar otro tipo de

experiencia que eviten el uso de estadística.

Es una Ciencia que utiliza los números para investigar, analizar, tabular,

graficar, describir, interpretar los fenómenos económicos, sociales,

ambientales, geológicos, naturales de la realidad para obtener conclusiones

y tomar decisiones adecuadas y oportunas por tanto se aplica en cualquier

actividad humana.

“Estadística Ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta

datos con el fin de propiciar una toma de decisiones más eficaz” (Lind,

Marchal, & Wathen, 2012, pág. 5)

Estadística Es una ciencia que

utiliza los números

para investigar, anali-zar, tabular, graficar,

describir, interpretar

los fenómenos econó-micos, sociales am-

bien tales, geológicos,

naturales.

APROXIMACIÓN TEÓRICA Y CONCEPTUAL


4

Objetivos

Objetivo Educativo

Aplicar los fundamentos teóricos de estadística en investigaciones, de tipo

social, económico y científico s nivel productivo mediante talleres de

ejercicios propuestos, textos, en forma individual o en equipos, con

responsabilidad, orden y precisión.

Objetivos Instructivos

En síntesis, los objetivos instructivos de la Estadística Descriptiva, se

sintetizan en los siguientes:

1. Reunir información cuantitativa concerniente a individuos, grupos,

serie de hechos, entre otros, y deducir mediante el análisis de a estos

datos significados precisos o previsiones para el futuro.

2. Aplicar las leyes de los grandes números a los hechos sociales para

medir su intensidad, deducir las leyes que lo rigen y hacer su predicción

próxima.

3. Interpretar resultados basados en los datos experimentados y describir

sus características.

4. Extraer las conclusiones útiles sobre la totalidad de todas las

observaciones posibles basándose en la información recolectada.

5. Hacer inferencia acerca de una población con base a la información

contenida en una determinada muestra.

Aplicaciones de la estadística

La estadística es una ciencia de aplicación práctica en los siguientes campos

científicos:


5

En las Ciencias Naturales

Se emplea con profusión en la descripción de modelos termodinámicos

complejos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de

fluidos o en la teoría cinética de los gases, entre otros muchos campos.

En las Ciencias Sociales y Económicas

Es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la sociología

aplicada.

En las Ciencias Naturales

Se emplea con profusión en la descripción de modelos termodinámicos

complejos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de

fluidos o en la teoría cinética de los gases, entre otros muchos campos.

En las Ciencias Sociales y Económicas

Es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la sociología

aplicada.

En Economía

Suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre

múltiples parámetros macro y microeconómicos.

En las Ciencias Médicas

Permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades y los

enfermos, los índices de mortalidad, el grado de eficacia de un

medicamento.

Clasificación de la estadística

De acuerdo con (Anderson, Sweeney, & Williams, 2008), el estudio de la

estadística se ha enfocado primordialmente en el análisis de datos y su aplicación

en la toma de decisiones, lo que ha permitido dividir a la estadística en:


6

Estadística Descriptiva; y,

Estadística Inferencial.

Estadística descriptiva

La estadística descriptiva o deductiva trata del recuento, ordenación y

clasificación de los datos obtenidos en las observaciones. Para que a mente

pueda interpretar datos muy numerosos, es preciso resumirlos o reducirlos.

También sirve como herramienta o instrumento para describir, resumir o

reducir las propiedades de un conjunto de datos para que se puedan manejar.

Tabula representa y describe una serie de datos que pueden ser cualitativos

o cuantitativos, sin sacar conclusiones.

Esta estadística trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de

estas variables, las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo

nacionalidad, color de la piel, sexo).

Variable cuantitativo: tiene valor (edad, precio de un producto, ingresos

anules). Se pueden clasificar en discretas y continuas.

Discretas.- solo pueden tomar valores enteros (1, 2, 3,4 entre

otros.,). Por ejemplo número de hermanos (puede ser 1, 2,3. etc.

Pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45)

Continuas.- pueden tomar cualquier valor real dentro de un

intervalo. Por ejemplo la velocidad de un vehículo puede ser 80,3

Kmh….etc.

La mayor parte de la información estadística en periódicos, revistas, informes de

empresas y otras publicaciones consta de datos que se resumen y presentan en una

forma fácil de leer y de entender. A estos resúmenes de datos, que pueden ser

tabulares, gráficos o numéricos se les conoce como estadística descriptiva.

Clasificación de la

estadística:

Estadística Descriptiva

Estadística

Inferencial


7

Estadística Inferencial

Por su parte, la estadística inferencial o inductiva trata de llegar a

conclusiones que sobrepasan el alcance de los datos analizados es decir, se

trata de técnicas que se emplean para inferir o deducir características

desconocidas a partir de un conjunto de datos conocidos, apoyándose

fundamentalmente en el cálculo de probabilidades.

Es la técnica mediante la cual se sacan conclusiones o generalizaciones

acerca de parámetros de una población basándose en el estadígrafo de una

muestra de población

Extrae o infiere las conclusiones útiles sobre la totalidad de todas las

observaciones posibles basándose en la información recolectada.

Ejemplos

Una encuesta desarrollada por una empresa en marzo del 2012, dice

que el rating de radio en Quito está encabezando por OC con un

10,5% seguido de RNE CON 9, 18%.

De acuerdo con una encuesta desarrollada por una empresa sobre

telefonía residencial en el 2012, el gasto mensual promedia por

cliente es de 90,30 dólares por cliente.

El inec informo que la encuesta permanete de hogares del mes de

marzo del 2012 reporto la tasa mas alta de desempleo que ascendió

al 20% a nivel nacional.

1. A partir de una muestra representativa tomada a los habitantes de una ciudad, se

podrá inferir la votación de todos los ciudadanos que cumplan los requisitos con un

error de aproximación.

2. De acuerdo con su perfil profesional elabore una encuesta que contemple peguntas

cerradas, abiertas y mistas factibles de aplicarse a una población homogénea en el

campo de la CULTURA FISICA (un mínimo de 15 preguntas)


8

Nota, debe considerarse, entre otros aspectos los siguientes.

a) Datos generales

b) Nivel de escolaridad

c) Nivel de ingresos

d) Tipo de vivienda

e) Servicios básicos

f) Tecnologías de información y comunicación

g) Otros

En muchas situaciones se requiere información acerca de grupos grandes de

elementos (individuos, empresas, votantes, hogares, productos, clientes, entre

otros). Sin embargo, debido al tiempo, costo y a otras consideraciones, sólo es

posible recolectar los datos de una pequeña parte de este grupo. Al grupo grande

de elementos en un determinado estudio se le llama población y al grupo pequeño

muestra. En términos formales se emplean las definiciones siguientes:

Población:

Es el conjunto de todos los elementos de interés en un estudio determinado.

Muestra:

Constituye un subconjunto de la población.

Fuentes de información

Para realizar estadística necesitamos tomar datos y para esto requerimos fuentes de

información, que son técnicas para realizar la recolección de datos de la realidad.

Censo

Es una técnica de enumeración completa, total de todos y cada uno de los elementos

de la población o universo de uno en uno en su totalidad.

Al recuento de individuos que conforman una población estadística, definida como

un conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones.

El censo de una población estadística consiste básicamente, en obtener mediciones

del número total de individuos mediante diversas técnicas de recuento.

Fuente de

Información:

Censo

Encuesta

Muestra

http://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica


9

Según (Cepal.org, s.f.), sus principales usos son los siguientes:

Como base para el análisis y la evaluación demográfica.

Para proyectar, establecer y desarrollar políticas de gobierno.

Como "marco maestral" para encuestas.

Punto de referencia para las estadísticas continúas.

Único procedimiento utilizable para saber sobre fenómenos con poca

frecuencia.

Encuesta

Es una forma directa de obtener datos de la población o universo a través de un

banco de preguntas las cuales pueden ser abiertas, cerradas o mixtas que deben

estar previamente elaboradas de acuerdo a los objetivos de la investigación.

Una encuesta es un estudio observacional en el que el investigador busca recaudar

datos por medio de un cuestionario previamente diseñado, sin modificar el entorno

ni controlar el proceso que está en observación. Los datos se obtienen realizando

un conjunto de preguntas normalizadas dirigidas a una muestra representativa o al

conjunto total de la población estadística en estudio, integrada a menudo por

personas, empresas o entes institucionales, con el fin de conocer estados de

opinión, características o hechos específicos. El investigador debe seleccionar las

preguntas más convenientes, de acuerdo con la naturaleza de la investigación.

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADtica

http://es.wikipedia.org/wiki/Encuesta

http://es.wikipedia.org/wiki/Estudio_observacional

http://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica


10

Tipos de encuestas:

Según sus objetivos

Encuestas descriptivas

Encuestas analíticas

Según las preguntas

De respuesta abierta

De respuesta cerrada

Según el medio de captura

El papel;

Entrevistas telefónicas;

La Web; y,

Dispositivos móviles.

Ejemplo de encuesta:

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

Facultad de Ingeniería en Geología, Minas, Petróleos y Ambiental

Escuela de Geología y Ambiental

Tema: El desempleo en el Ecuador.

Fecha: 02 de Octubre del 2017. Quito – Ecuador

1. Por favor dígame su nombre completo.

2. Actualmente usted se encuentra trabajando:

Si ⃝

No ⃝

3. Le gustaría a usted estudiar y trabajar.

Si ⃝

No ⃝

4. Conoce usted el índice de desempleo en el Ecuador.

5. Puede usted decirme una causa para que exista desempleo en el Ecuador.

6. Podría usted sugerir una alternativa de solución para que disminuya el

desempleo en el Ecuador.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Encuestas_descriptivas&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Encuestas_anal%C3%ADticas&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Pregunta_abierta

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pregunta_cerrada&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Entrevista_telef%C3%B3nica&action=edit&redlink=1


11

Muestra

Es una técnica de enumeración parcial de algunos de los elementos de la

población o universo previamente seleccionados que no pierde las características

esenciales del universo y lo representan.

En estadística una muestra es un subgrupo de la población; se observa y se mide

para después obtener conclusiones sobre la población.

Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de

la población, para lo cual deben ser representativas de la misma. Para cumplir esta

característica la inclusión de sujetos en la muestra debe seguir una técnica de

muestreo. En tales casos, puede obtenerse una información similar a la de un

estudio exhaustivo con mayor rapidez y menor coste.

El número de sujetos que componen la muestra suele ser inferior que el de la

población, pero suficiente para que la estimación de los parámetros determinados

tenga un nivel de confianza adecuado. Para que el tamaño de la muestra sea idóneo

es preciso recurrir a su cálculo.

Tipo de Muestra

Muestra representativa

Es aquella en la que todos los segmentos de la población están incluidos en

la muestra en sus proporciones correctas respecto a la población. (Ritchey,

2008, pág. 41)

Muestra No representativa

Es aquella en la que algunos segmentos de la población están representados

en exceso o con defecto en la muestra. (Ritchey, 2008, pág. 41)

En la cual es un tipo riesgoso de error de muestreo ya que puede generar

resultados totalmente engañosos.

Tipo de muestra

Muestra Representativa

Muestra no

Representativa

Muestra.-

Es un subgrupo

de la población, se observa y se

mide para

después obtener

conclusiones

sobre una

población.

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianza

http://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestra


12

La variable y su tipo

Variable.

Es toda característica sujeta a medida y se presentan usando letras como: U, V, X,

Y, Z, las que pueden adoptar un conjunto de valores que recibe el nombre de

domino de la variable.

Si la variable asume un solo valor en una distribución asume el nombre de

constante.

Variable discreta

Es aquella variable que se expresa exclusivamente en números enteros.

Ejemplo: Número de hijos.

Variable continúa

Es aquella variable que puede expresarse en cualquier tipo de valor (entero

y /decimal).

Ejemplo: Estatura.

La variable.-

Es toda

característica

sujeta a medida y se representa con

letras U, V, X, Y,

Z


13

Determinación de variables

Ejercicio

Tabla de frecuencia

Tabulación de la Variable Discreta

Estudio sobre la edad en años cumplidos de los estudiantes de segundo nivel

Ambiental y tercer nivel Geología que reciben el Módulo de Estadística.

Xi = Datos Originales

20 19 19 19 19 21 20 20 19 19

19 19 19 20 20 21 21 23 20 20

20 21 20 20 20 20 21 19 20 20

19 19 22 20 18 19 20 19 20 20 22

n=10

x1 = 18 x6 = 20 x2 = 23 x7 = 20 x3 = 19 x8 = 20 x4 = 19 x9 = 21 C< x5 = 19 x10 = 22


14

Tabulación de datos estadísticos

Es una forma ordenada de presentar los datos.

M Yi ni Ni N’i hi Hi H’i

1 18 1 1 10 0.10 0.10 1

2 19 3 4 9 0.30 0.40 0.90

3 20 3 7 6 0.30 0.70 0.60

4 21 1 8 3 0.10 0.80 0.30

5 22 1 9 2 0.10 0.90 0.20

6 23 1 10 1 0.10 1 0.10

10 1

ni = Frecuencia Absoluta Simple

Representa el número de observaciones con valores iguales a la variable.

∑𝒙𝒊 = 𝒏

𝒏𝟏 = 𝟏 : Un estudiante del módulo de estadística tiene 18 años cumplidos

𝒏𝟐 = 𝟑: Tres estudiantes del módulo de estadística tienen 19 años cumplidos

𝒏𝟑 = 𝟑 : Tres estudiantes del módulo de estadística tienen 20 años cumplidos

𝒏𝟒 = 𝟏: Un estudiante del módulo de estadística tiene 21 años cumplidos

𝒏𝟓 = 𝟏: Un estudiante del módulo de estadística tiene 22 años cumplidos

𝒏𝟔 = 𝟏 : Un estudiante del módulo de estadística tiene 23 años cumplidos

Ni = Frecuencia Absoluta Acumulada Ascendente

Representa el número de observaciones con valores a lo mucho iguales a la

variable.

𝐍𝟏 = 𝟏: Un estudiante del módulo de estadística a lo mucho tiene 18 años

cumplidos

𝐍𝟐 = 𝟒: Cuatro estudiantes del módulo de estadística a lo mucho tienen 19

años cumplidos

𝐍𝟑 = 𝟕: Siete estudiantes del módulo de estadística a lo mucho tienen 20

años cumplidos

𝐍𝟒 = 𝟖: Ocho estudiantes del módulo de estadística a lo mucho tienen 21

años cumplidos

𝐍𝟓 = 𝟗: Nueve estudiantes del módulo de estadística a lo mucho tienen 22

años cumplidos


15

𝐍𝟔 = 𝟏𝟎: Diez estudiantes del módulo de estadística a lo mucho tienen 23

años cumplidos

N’i = Frecuencia Absoluta Acumulada Descendente

Representa el número de observaciones con valores por lo menos iguales a la

variable.

𝐍′𝟏 = 𝟏0: Diez estudiante del módulo de estadística por lo menos tiene 18

años

cumplidos

𝐍′𝟐 = 𝟗: Nueve estudiantes del módulo de estadística por lo menos tienen 19

años

Cumplidos

𝐍′𝟑 = 𝟔: Seis estudiantes del módulo de estadística por lo menos tienen 20

años

Cumplidos

𝐍′𝟒 = 𝟑: Tres estudiantes del módulo de estadística por lo menos tienen 21

años

Cumplidos

𝐍′𝟓 = 𝟐: Dos estudiantes del módulo de estadística por lo menos tienen 22

años

Cumplidos

𝑵′𝟔 = 𝟏 : Uno estudiante del módulo de estadística por lo menos tiene 23

años

Cumplidos

Frecuencias Relativas

hi = Frecuencia Relativa Simple

𝒉𝒊 =𝒏𝒊

𝒏

∑𝒉𝒊 = 𝟏

Indica el % de observaciones con valores iguales a la variable.

𝒉𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 10% de los estudiantes del módulo de estadística tienen

18 años cumplidos.

𝒉𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 30% de los estudiantes del módulo de estadística tienen

19 años cumplidos.


16

𝒉𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 30% de los estudiantes del módulo de estadística tienen

20 años cumplidos.

𝒉𝟒 = 𝟎. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 10% de los estudiantes del módulo de estadística tienen

21 años cumplidos.

𝒉𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 10% de los estudiantes del módulo de estadística tienen

22 años cumplidos.

𝒉𝟔 = 𝟎. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 10% de los estudiantes del módulo de estadística tienen

23 años cumplidos.

Hi = Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente

Indica el % de observaciones con valores a lo mucho iguales a la variable.

𝑯𝒊 = 𝑵𝒊

𝒏

𝑯𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 10% de los estudiantes del módulo de estadística a lo

mucho tienen 18 años cumplidos

𝑯𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 40% de los estudiantes del módulo de estadística a lo


𝑯𝟑 = 𝟎. 𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 70% de los estudiantes del módulo de estadística a lo


𝑯𝟒 = 𝟎. 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 80% de los estudiantes del módulo de estadística a lo

mucho tienen 21 años cumplidos 𝑯𝟓 = 𝟎. 𝟗𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 90% de los estudiantes del módulo de estadística a lo


𝑯𝟔 = 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟎: El 100% de los estudiantes del módulo de estadística a lo

mucho tienen 23 años cumplidos.

H’i = Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente

𝑯′𝒊 = 𝑵′𝒊

𝒏

𝑯′𝟏 = 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 100% de los estudiantes del módulo de estadística por

lo menos tienen 18 años cumplidos

𝑯′𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 90% de los estudiantes del módulo de estadística por lo

menos tienen 19 años cumplidos

𝑯′𝟑 = 𝟎. 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 60% de los estudiantes del módulo de estadística por lo


𝑯′𝟒 = 𝟎. 𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 30% de los estudiantes del módulo de estadística por lo



17

𝑯′𝟓 = 𝟎. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 20% de los estudiantes del módulo de estadística por lo


𝑯′𝟔 = 𝟎. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 10% de los estudiantes del módulo de estadística por lo

menos tienen 23 años cumplidos.

Gráficos de la tabla de frecuencias

Diagrama de Barras

Ilustración 1 Diagrama de Barras

Por: Elaboración Propia

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

18 19 20 21 22 23

ni

Fre

cue

nci

a e

stu

dia

nte

s

Variable Años Cumplidos

Variable Discreta


18

Polígono de Frecuencias

Ilustración 2 Polígono de Frecuencias

Ojiva Ascendente

Ilustración 3 Ojiva Ascendente

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

18 19 20 21 22 23ni

fre

cue

nci

a e

stu

dia

nte

s

Variable años cumplidos

Varible Discreta

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6

% H

i

Años cumplidos

Variable Discreta


19

Ojiva Descendente

Tabulación Variable Continua

Es aquella que acepta cualquier valor dentro de un rango o intervalo (enteros y/o

Decimales).

Ejemplo:

La estatura en metros en los estudiantes del módulo de estadística de las carreras

de Geología y Ambiental

Tabla 1 Ejemplo Variable Continua

Xi: Datos originales

1.60 1.60 1.65 1.65 1.60

1.50 1.55 1.57 1,56 1.50

1.67 1.67 1.50 1.68 1.65

1.56 1.65 1.61 1.64 1.64

1.63 1.50 1.60 1.68 1.65

1.59 1.78 1.65 1.70 1.71

1.70 1.64 1.53 1.51 1.62

1.56 1.60 1.64 1.62 1.75

1.58 1.80

Dónde:

N= 42

Lmáx = 1.80

Lmín = 1.50

0

2

4

6

8

10

12

18 19 20 21 22 23

N

Años Cumplidos

Variable Discreta


20

r= lmáx- lmín

r = 1.80-1.50

r = 0.30

Donde:

lmáx: límite máximo

Lmín: límite mínimo

r: recorrido de la variable

m=3

Tabla 2 Representación de Datos

M Intervalo

Y’i-1 – Y’i

Yi # de observacione

s

ni Ni N’

i hi Hi H’i

1 1.50-1.60

1.55

IIIIIIIIIIIIIIIIII 18

18

42 0.43

0.43

1

2 1.60-1.70

1.65

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII 20

38

24 0.48

0.90

0.57

3 1.70-1.80

1.70

IIII 4 42

4 0.09

1 0.10

42

1

Y’i-1: límite inferior de cada intervalo

Y’i: límite superior de cada intervalo

c = campo o amplitud de cada intervalo 𝒄 =𝒓

𝒎=

𝟎.𝟑𝟎

𝟑= 𝟎. 𝟏𝟎

Yi=Punto medio/marca de clase

Hi = Frecuencia relativa simple 𝒀𝒊 =𝒀𝒊−𝟏−𝒀𝒊

𝟐

𝑯𝒊 =𝑵𝒊

𝒏

𝑯′𝒊 =𝑵′𝒊

𝒏

∑ 𝒏𝒊 = 𝑵

ni = Frecuencia Absoluta Simple

Número de observaciones con valores comprendidos entre el límite inferior

y el límite superior de cada intervalo.


21

𝒏𝟏 = 𝟏𝟖 Diez y ocho estudiantes miden desde 1.50 hasta 1.60 metros de

estatura

𝒏𝟐 = 𝟐𝟎 Veinte estudiantes miden más de 1.60 hasta 1.70 metros de estatura

𝒏𝟑 = 𝟒 Cuatro estudiantes miden más de 1.70 hasta 1.80 metros de estatura

Ni = Frecuencia Absoluta Acumulada Ascendente

Indica el número de observaciones con valores a lo mucho iguales al límite

superior de cada intervalo.

𝑵𝟏 = 𝟏𝟖 Diez y ocho estudiantes miden a lo mucho hasta 1.60 metros de

estatura

𝑵𝟐 = 𝟑𝟖 Treinta y ocho estudiantes miden a lo mucho hasta 1.70 metros de

estatura

𝑵𝟑 = 𝟒𝟐 Cuarenta y dos estudiantes miden a lo mucho hasta 1.80 metros de

estatura

N’i=Frecuencia Absoluta Acumulada Descendente

Indica el número de observaciones con valores por lo menos iguales al límite

inferior de cada intervalo.

𝑵′𝟏 = 𝟒𝟐 42 estudiantes miden por lo menos 1.50 metros de estatura

𝑵′𝟐 = 𝟐𝟒 24 estudiantes miden por lo menos 1.60 metros de estatura

𝑵′𝟑 = 𝟒 4 estudiantes miden por lo menos 1.70 metros de estatura

hi = Frecuencia Relativa Simple

Indica el % de observaciones con valores iguales a la variable.

𝒉𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 43% de los estudiantes miden desde 1.50 hasta 1.60

metros de estatura.

𝒉𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 48% de los estudiantes miden desde 1.60 hasta 1.70

metros de estatura.

𝒉𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 9% de los estudiantes miden desde 1.70 hasta 1.80

metros de estatura.

Hi = Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente

Indica el % de observaciones con valores a lo mucho iguales al límite superior de

cada intervalo.


22

𝑯𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 43% de los estudiantes miden a lo mucho 1.60 metros

de estatura

𝑯𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 90% de los estudiantes miden a lo mucho 1.70 metros

de estatura

𝑯𝟑 = 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 100% de los estudiantes miden a lo mucho 1.80 metros

de estatura

H’i = Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente

Indica el % de observaciones con valores por lo menos iguales al límite

inferior.

𝑯′𝟏 = 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 100% de los estudiantes por lo menos miden 1.50

metros de estatura

𝑯′𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 57% de los estudiantes por lo menos miden 1.60 metros

de estatura

𝑯′𝟑 = 𝟎. 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟎 El 10% de los estudiantes por lo menos miden 1.70 metros

de estatura

Gráficos

Diagrama de Barras

0

5

10

15

20

25

1.50 - 1.60 1.60 - 1.70. 1.70 - 1.80

ni

est

ud

ian

tes

Variable estatura en metros

Variable Continua


23


Ojiva Ascendente

Ojiva Descendente

0

5

10

15

20

25

1.50 - 1.60 1.60 - 1.70. 1.70 - 1.80

ni

est

ud

ian

tes


Variable Continua

0

20

40

60

80

100

120

1.50 - 1.60 1.60 - 1.70. 1.70 - 1.80

Hi %

Est

ud

ian

tes


Variable Continua

0

10

20

30

40

50

1.50 - 1.60 1.60 - 1.70. 1.70 - 1.80

N'i

Est

ud

ian

tes


Variable Continua


24

Actividades de aprendizaje, problemas y aplicaciones

1. Elabore un mentefacto para explicar que es la Estadística

2. Explique la clasificación de la estadística

La estadística se clasifica en dos: Estadística descriptiva y Estadística inferencial.

Estadística descriptiva

Es una parte de la estadística que nos permite describir los fenómenos de la

realidad.

Estadística inferencial

Es una parte de la estadística que partiendo de los datos obtenidos a través de la

estadística descriptiva y utilizando ciertos procedimientos como el muestreo y las

probabilidades nos permite inferir el posible comportamiento futuro de las

variables.

APRENDIZAJE DE LOS FUNDAMENTOS DE LA ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA

Es una ciencia que

utiliza los números

para investigar la

realidad

Matemática

Describe los fenómenos de la

realidad (pasado o presente)

Proporciona métodos para inferir

el posible comportamiento futuro

de las variables

ESTADÍSTICA

INFERENCIAL

Geometría

Aritmética


25

3. Explique los objetivos de la estadística

Tomar decisiones adecuadas y oportunas.

Reunir información cuantitativa de los fenómenos de la realidad.

Obtener resultados de la investigación.

Ordenar y resumir los datos de la realidad.

Obtener conclusiones en base a datos experimentales.

Sintetizar la información.

Graficar los datos.

4. Hable sobre la aplicación de la estadística en su carrera

La estadística aporta al ingeniero ambiental fundamentos necesarios para el manejo

estadístico de los datos experimentales que permite resolver problemas ambientales de

manera analítica y crítica con un mayor grado de confiabilidad a través del manejo de

diferentes técnicas estadísticas

5. Defina que es censo

Es una técnica de enumeración completa, total de todos los datos y cada uno de los

elementos de la población o universo de uno en uno en su totalidad.

6. Defina que es muestra.

Es una técnica de enumeración parcial de algunos elementos de la población o universo

previamente seleccionados que no pierden las características esenciales del universo y lo

representan.

7. Mediante un organizador gráfico explique las semejanzas y diferencias entre censo y

muestra.

SEMEJANZAS DIFERENCIAS

Son técnicas de enumeración

Información de carácter primario

Son fuentes de información

Censo es total muestra es parcial

Censo se realiza aproximadamente cada diez años, muestra con más frecuencia

Censo tarda más tiempo que la muestra


26

8. Defina que es encuesta y elabore un ejemplo referente a un tema en su profesión.

Encuesta es la forma directa de obtener datos de la población o universo a través de un

banco de preguntas que pueden ser abiertas, cerradas o mixtas y que deben estar

previamente elaboradas de acuerdo a los objetivos de la investigación.


FACULTAD DE INGENIERÍA EN GEOLOGÍA, MINAS, PETRÓLEOS Y

AMBIENTAL

INGENIERÍA AMBIENTAL

TEMA: CONTAMINACIÓN POR CO2

FECHA: 9 DE OCTUBRE DEL 2013 QUITO – ECUADOR

1. ¿Considera que la contaminación por CO2 tiene noveles altos en Quito?

2. ¿Podría nombrar algunos sectores contaminantes?

3. ¿El exceso de CO2 le ha causado algún tipo de enfermedad?

4. ¿Cree que el alto nivel de CO2 puede ser reducido?

5. ¿Sabe que efectos ocasiona el CO2 al ambiente?

6. ¿Cómo cree usted que se puede reducir el impacto ambiental?

7. ¿Considera suficiente el control que se da para la reducción del CO2?

8. ¿Qué soluciones aportaría usted para disminuir la emisión de CO2?

9. ¿Conoce alguna innovación tecnológica que disminuya el problema?

10. ¿Estaría de acuerdo con que se realicen campañas concientizadoras?

9. Defina que es una variable y explique su clasificación y ponga ejemplos

Variable es cada una de las propiedades o características que poseen los individuos de una

población.

Clasificación de la variable

Variable discreta: Se la puede expresar únicamente en números enteros. Ejm número de

hermanos, número de carpetas.

Variable continua: Se la puede expresar en cualquier tipo de valor. Ejm altura, peso.


27

10. Defina que es variable discreta y ponga tres ejemplos respecto a su carrera

Variable discreta

Es aquella variable que se expresa exclusivamente con números enteros.

Especies de animales en peligro de extinción

Reservas naturales

Total de agentes tóxicos

11. Defina que es variable continua y ponga tres ejemplos respecto a su carrera

Variable continúa

Es aquella variable que se expresa en cualquier tipo de valor.

Cantidad de tóxicos en un medio

Variación de la temperatura por la contaminación

Volumen de Agua contaminado por derrame de petróleo.

12. Mediante un organizador gráfico explique las semejanzas y diferencias entre variable

discreta y continua.

SEMEJANZAS DIFERENCIAS

Elementos matemáticos

Launa se expresa en

números enteros y la otra en

números decimales

La una proviene del conteo y

la otra por medición

13. Para un caso de emprendimientos microempresariales elabore una encuesta, que

facilite la toma de datos, el tratamiento estadístico e interpretación de resultados.


28

0%

20%

40%

60%

80%

SI 48 PERSONASNO 22 PERSONAS

RESPUESTA NO

RESPUESTA SI


FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

TEMA: Elaboración de un “Plan de negocios para una empresa productora de

confites de soya para escuelas del sur de la ciudad de Quito”

FECHA: Diciembre 15 de 2017

PREGUNTAS:

1.- ¿Ha escuchado hablar acerca de la soya y de los beneficios que proporciona a la

salud?

Tabulación:

SI NO

SI NO TOTAL

48 22 70

68% 32% 100%

Representación gráfica:

Interpretación:

48 de las 70 personas encuestadas, es decir el 68%, si han escuchado hablar acerca de los

beneficios de la soya.


29

2.- Está de acuerdo con la existencia de una empresa dedicada a la elaboración de

confites elaborados a base de soya y que sean distribuidos en las instituciones

educativas del Chimbacalle?

Tabulación.

SI NO TOTAL

56 14 70

80% 20% 100%

Representación grafica.

Interpretación

Mediante un análisis de las encuestas realizadas se determinó que el 80% que corresponden

a 58 personas están de acuerdo con la creación de una empresa que sea productora de

confites de soya en el barrio de Chimbacalle.

3.- ¿Qué tipos de alimentos a parte de la comida usual, consume con más frecuencia

su hijo o hija, de lonchera o cuando está fuera de casa?

TOTALES0%

100%

SI 56 PERSONASNO 14 PERSONA

TOTALES

TOTALES


30

0%

50%

PORCENTAJES

Tabulación.

TIPO DE ALIMENTO N.-

PERSONAS

%

CHOCHOS 3 4%

JUGO 20 18%

YOGURT 30 42%

CHITOS, PAPAS 4 5%

FRUTAS 18 31%

TOTAL 70 100%

Representación gráfica.

Interpretación

Mediante los datos estadísticos resultantes de las encuestas se determinó que un 42% que

corresponde a un total de 30 personas consumen diariamente yogurt en el barrio de

Chimbacalle.


31

Ventas

SI 41 PERSONAS 58%

NO 29 PEROSNAS 42%

4.- ¿Ha consumido soya; directa o indirectamente? (el grano, o incluida en algún

alimento).

Tabulación.

SI NO

SI NO TOTAL

41 29 70

58% 42% 100%


Interpretación

Mediante las encuestas realizadas se determina que un 58% que corresponde a 41 personas

han consumido productos de soya en el barrio de Chimbacalle.


32

5.- ¿Le gustaría consumir alimentos novedosos, nutritivos y deliciosos a su vez, como

confites realizados a base de soya?

Tabulación.

SI NO

SI NO TOTAL

53 17 70

75% 25% 100%

Representación grafica

Interpretación

Mediante las encuestas realizadas se determinó que el 75% que corresponde a 53 personas

consumirían confites elaborados a base de soya en el barrio de Chimbacalle.

0%

20%

40%

60%

80%

SI 53 PERSONAS NO 17 PERSONAS

PORCENTAJES

PORCENTAJES


33

CARAMELO 31%

CHOCOLATES 21%

GALLETAS 35%

TORTA 13%

6.- En caso de responder SI en la pregunta anterior. ¿Cuál de los siguientes

productos que sean hechos de soya le gustaría consumir?

Tabulación.

PRODUCTOS N.-

PERSONAS

%

CARAMELO 22 31%

CHOCOLATES 15 21%

GALLETAS 25 35%

TORTA 8 13%

TOTAL 70 100%

Representación grafica

Interpretación

Mediante las encuestas realizadas se determinó que un 35% que corresponde a 25 personas

consumirían galletas elaboradas a base de soya un 31%, 22 personas consumirían

caramelos, 21%,15 personas consumirían chocolates elaborados a base de soya en el barrio

de Chimbacalle.


34

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

60 PERSONAS QUE SI

10 PERSONAS QUE NO

7.- Le gustaría que en el lugar de su trabajo, estudio o diversión exista a su

disposición, alimentos y como los mencionados en la pregunta anterior?

Tabulación.

SI NO

SI NO TOTAL

60 10 70

85% 15% 100%


Interpretación

Mediante el siguiente análisis se ha determinado que un 85% que corresponde a 60

personas les gustaría tener a su alcance los confites elaborados a base de soya en el barrio

de Chimbacalle.


35

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

de 0,05 ctvs. A 1 dólar menos de 0,05 ctvs mas de 1 dólar

PERSONA QUE SI

PERSONA QUE SI

8.- En caso de confites como caramelos, chocolates, galletas, chocolates, tortas, ¿qué

monto estaría dispuesto a pagar por cada uno de ellos?

Tabulación.

COSTO N.-

PERSONAS

%

DE 0.05 ctvs. A 1 dólar 47 67%

Menos 0.05 ctvs. 13 18%

Más de 1 dólar 10 15%

TOTAL 70 100%


Interpretación


estarían de acuerdo en cancelar de 0.05 ctvs. A 1 dólar por un confite a base de soya en el

barrio de Chimbacalle.

9.- En caso de ser afirmativa su respuesta en la pregunta anterior; en qué lugares

más le gustaría que se distribuya los confites?


36

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

TIENDAS DE LA COMUNIDAD

ESCUELAS

LUGARES DE TRABAJO

Tabulación.

PRODUCTOS N.-

PERSONAS

%

TIENDAS DE LA COMUNIDAD 28 40%

ESCUELAS 39 55%

LUGARES DE TRABAJO 3 5%

TOTAL 70 100%


Interpretación


opinan que la distribución de los confites deben realizarse en escuelas del barrio de

Chimbacalle.


37

Ventas

PAN 42%

REFRESCOS 38%

YOGURT 20%

10.- ¿A parte de los productos mencionados en esta encuesta; cuales otros que sean

elaborados a base de soya le gustaría consumir?

Tabulación.

OPINIONES/CRITERIOS N.-

PERSONAS

%

PAN 30 42%

REFRESCOS 27 38%

YOGURT 13 20%

TOTAL 70 100%


Interpretación

Mediante las encuestas se determinó que un 42% que corresponde a 30 personas prefieren

confite de pan elaborado a base de soya en el barrio de Chimbacalle.


38

Ejercicio No. 1

Escoja una variable discreta, si es posible referente a su profesión y obtenga 50 datos.

Con esa información se pide:

- Tabla de frecuencias completa con 5 intervalos.

- Interpretar cada una de las frecuencias

- Graficar:

Diagrama de barras

Polígono de frecuencias

Ojiva ascendente y descendente

Variación de la temperatura en grados Celsius de la ciudad de quito debido a la

contaminación por meses.

Tabla 3 Ejercicio de Variable Discreta

Xi Datos originales

17.3 17.8 17.5 17.1 18.3 16.7 15.9 16.5 16.4 17.2 18.3

18.0 15.8 17.6 18.4 17.6

15.7 18.7 19.4 20.2 20.5 18.7

21.4 21.5 20.7 19.6 18.8 17.4 16.7 16.8 17.8 17.4 18.1

15.7 17.2 16.7 16.3 16.9 17.3 18.1 18.1 20.8 16.0 18.4

20.4 19.6 19.4 18.7 18.9 19.3

N= 50

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA


39

Tabla de Frecuencias


m YI-1- YI YI ni Ni NÍ hi Hi H’ I

1 15.7-16.9 16.3 12 12 50 0.24 0.24 1

2 16.9-18.0 17.5 13 15 38 0.26 0.5 0.76

3 18.0-19.2 18.6 13 38 25 0.26 0.76 0.5

4 19.2-20.3 19.8 6 44 12 0.12 0.8 0.24

5 20.3-21.5 20.9 6 50 6 0.12 1 0.12

ni:

ni : 12 meses obtuvieron temperaturas desde 15.7 ºC hasta 16.9 ºc de temperatura

ni : 13 meses obtuvieron temperaturas desde 16.9 ºC hasta 18 ºc de temperatura

ni : 13 meses obtuvieron temperaturas desde 18 ºC hasta 19.2 ºc de temperatura



Ni:

Ni : 12 meses obtuvieron temperaturas a lo mucho hasta 16.9 ºc de temperatura Ni : 25 meses obtuvieron temperaturas a lo mucho hasta 18 ºc de temperatura Ni : 38 meses obtuvieron temperaturas a lo mucho hasta 19.2 ºc de temperatura

Ni : 44 meses obtuvieron temperaturas a lo mucho hasta 20.3 ºc de temperatura

Ni : 50 meses obtuvieron temperaturas a lo mucho hasta 21.5 ºc de temperatura

NÍ:

NÍ: 50 meses obtuvieron temperaturas por lo menos desde 15.7 ºC de temperatura


NÍ:. 25 meses obtuvieron temperaturas por lo menos desde 18 ºC de temperatura




40

hi :

hi : El 24% de los meses obtuvieron temperaturas desde 15.7 ºC hasta 16.9 ºc de

temperatura.

hi : El 26% de los meses obtuvieron temperaturas desde 16.9 ºC hasta 18 ºc de

temperatura

hi : El 26% de los meses obtuvieron temperaturas desde 18 ºC hasta 19.2 ºc de

temperatura


temperatura


temperatura

Hi:

Hi : El 24% de los meses obtuvieron temperaturas a lo mucho hasta 16.9 ºc de

temperatura

Hi : El 50% de los meses obtuvieron temperaturas a lo mucho hasta 18 ºc de

temperatura


temperatura


Temperatura


temperatura

H’ I :

H’ I: El 100% de los meses obtuvieron temperaturas por lo menos desde 15.7 ºC de

temperatura

H’ I : El 76% de los meses obtuvieron temperaturas por lo menos desde 16.9 ºC de

temperatura

H’ I: El 50% de los meses obtuvieron temperaturas por lo menos desde 18 ºC de

temperatura


temperatura


Temperatura


41

Diagrama de Barras


0

2

4

6

8

10

12

14

16.3 17.5 18.6 19.8 20.9

ni

ni

0

2

4

6

8

10

12

14

16.3 17.5 18.6 19.8 20.9

ni

ni


42

Ejercicio No. 2

Los sueldos mensuales de un grupo de trabajadores del Municipio de Quito en

dólares son:

Tabla 5 Ejercicio de Variable Continua

Se pide:

a) Elaborar una tabla de frecuencias completa con 4 intervalos

lmax – lmin = 980,00 – 320,00 = 660

c = 660

4 = 165


320,60 340,00 720,00 420,00

360,50 360,00 810,00 480,00

460,80 380,00 930,00 520,00

540,50 400,00 980,00 560,00

580,60 320,00 880,00 580,00

m 𝒀´𝒊´−𝟏 − 𝒀𝒊 𝒀𝒊 # observaciones 𝒏𝒊 𝑵𝒊 𝑵𝒊´ 𝒉𝒊 𝑯𝒊 𝑯𝒊´ 𝒀𝒊 𝑵𝒊

1 320 – 485 402,5 IIIIIIIIII 10 10 20 0,5 0,5 1 4.025,00

2 485 – 650 567,5 IIIII 5 15 10 0,25 0,75 0,5 2837,50

3 650 – 815 732,5 II 2 17 5 0,1 0,85 0,25 1.465,00

4 815 - 980 897,5 III 3 20 3 0,15 1 0,15 2.692,50

11.020,50


43

b) Interpretar cada una de las frecuencias

Frecuencia absoluta simple

n1: 10 trabajadores del Municipio de Quito ganan desde $320- 485 mensualmente c/u

n2: 5 trabajadores del Municipio de Quito ganan desde $485 – 650 mensualmente c/u



Frecuencia absoluta acumulada ascendente

N1: 10 trabajadores del Municipio de Quito ganan a lo mucho $485 mensualmente c/u




Frecuencia absoluta acumulada descendente

N1´: 20 trabajadores del Municipio de Quito ganan por lo menos $320 mensualmente

c/u


c/u


c/u


c/u

Frecuencia relativa simple

h1: El 50% de los trabajadores del Municipio de Quito ganan desde $320 - 485

mensualmente c/u

h2: El 25% de los trabajadores del Municipio de Quito ganan desde $485 – 650

mensualmente c/u


mensualmente c/u


44


mensualmente c/u

Frecuencia relativa acumulada ascendente

H1: El 50% de los trabajadores del Municipio de Quito ganan a lo mucho $485

mensualmente c/u


mensualmente c/u


mensualmente c/u


mensualmente c/u

Frecuencia absoluta acumulada descendente

H1´: El 100% de los trabajadores del Municipio Quito ganan por lo menos $320

mensualmente c/u


mensualmente c/u


mensualmente c/u


mensualmente c/u

c) Calcular e interpretar los estadígrafos de posición

Media Aritmética:

𝑌 ̅ = ∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖

𝑛=

11020

20= $551

En promedio, los trabajadores del Municipio de Quito ganan $551 mensualmente

cada uno


45

Mediana (Me):

Nj > 𝑛

2

Nj > 20

2

Nj > 10

15 > 10

𝑴𝒆 = 𝒀´𝒊´−𝟏 + 𝒄 [

𝑛2

− (𝑛𝑗 − 1)

𝒏𝒋]

𝑴𝒆 = 485 + 165 [10 − 10

5] = $485

El 50% de los trabajadores del Municipio de Quito ganan desde $320 – 485 cada

uno y el 50% restante ganan desde $ 485 – 980 cada uno mensualmente.

Moda

Md: $320 – $485

La mayoría de los trabajadores del Municipio de Quito ganan desde $320 hasta

$485

46

Titular: ¿Cuántos positivos puede llegar a tener una ruleta perfecta?

Segunda Parte la primera cuestión que se plantearon fue: Para resolverla, diseñaron

un programa informático para simular los resultados de 2000 ruletas perfectas. En

dicha simulación observaron que la media de positivos en 500 tiradas está próxima

a +47. Por otro lado, vieron que la probabilidad de obtener más de +57 positivos

(límite blando) era de sólo 5% y que el número de positivos más alto era +71 (límite

duro). Que tras 500 tiradas en una mesa tengamos un número con +50 (por encima

de la media) no implica necesariamente que la ruleta tenga tendencias. Puede deberse

al azar. Ahora bien, si el número de positivos excediese del límite blando (+57),

podría pensarse que la ruleta tiene tendencias y por tanto que puede ganarse dinero,

aunque no tanto como si se hubiese superado el límite duro (+71).

La información recabada y su experiencia les permitió clasificar las mesas de cada

casino en tres categorías: A (con mucha tendencia), B (la habitual) y C (con muy poca

tendencia). Tras observar 10.000 jugadas de una mesa tenían claro de qué tipo era y

lo que se podía esperar de ella. En las mesas que superaban el límite duro, jugaban

todos los números que se encontraban en positivo.. Sólo tenían que jugar, siendo

conscientes de que el azar puede hacer que haya malas rachas, pero sabiendo que,

con paciencia, esas pérdidas se recuperarían y se convertirían en ganancias.

(Líderes, 2017)

ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN, MEDIDAS DE ORDEN Y DISPERSIÓN

UNIDAD DOS

47


OA1 Estimular al lector para que realice y aplique los diferentes

estadígrafos en casos reales.

OA2 Analizar todas y cada una de las medidas de tendencia

central y/o de dispersión y comprender su utilización.

OA3 Incentivar al lector para que realice trabajos de aplicación mediante las técnicas de tratamiento de los estadígrafos de posición y/o dispersión.

ALCANCE DE LA UNIDAD DOS

Para qué sirve la unidad Dos.


En la administración.- Facilitan la sistematiza de la información para una

correcta utilización de los datos.

En la contabilidad.- La aplicación de los diferentes estadígrafos, facilita el

manejo y la aplicabilidad de diferentes registros contables e información

financiera.

En sistemas de información.- La recuperación, tratamiento y análisis de

datos permiten obtener resultados esperados de manera óptima y oportuna.

En el campo personal.- Facilita y optimiza el manejo y tratamiento de

fuentes estadísticas para la toma de decisiones individuales y de grupo..

Unidad Dos: Estadígrafos de Posición, Medidas de orden y dispersión

48

Definición

Son números que nos indican ciertas características comunes para el total de datos

de una investigación estadística.

Clasificación

Estadígrafos de posición o tendencia central; y,

Estadígrafos de dispersión o variación.

Estadígrafos de posición o tendencia central

Definición y clasificación

Son aquellos números que nos indican una posición central con respecto al total de

datos. Se clasifican en:

La media aritmética;

La mediana; y,

La moda.

La media aritmética

Es un estadígrafo de posición que nos indica el promedio ponderado de los datos.

Datos Originales: �̅� =∑ 𝒙𝒊

𝒏

Datos Agrupados: �̅� =∑ 𝒚𝒊𝒙𝒊

𝒏

La mediana (Me):

Es un estadígrafo de tendencia central que nos marca una posición talque nos

asegura que supera al 50% de los datos y a la vez la superada por el otro 50% de

las observaciones.


Los estadígrafos

de posición o

tendencia

central

La media aritmética

La mediana

La moda


49

50% 50%

Ilustración 4 Representación de la Mediana


La moda (Md):

Es el valor más observado de una investigación estadística.

Estadígrafos de dispersión o variación

Son aquellas que miden cuanto se alejan de la media cada uno de los valores de la

variable. Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las

medidas de centralización.

Varianza;

Desviación Estándar; y,

Coeficiente de variación.

Varianza:

Es el promedio de la suma de las desviaciones al cuadrado con respecto a la

Media.

𝑆2 = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋)2

𝑛

𝑛

𝑖=1

Desviación Estándar:

Expresa en forma más real los resultados de la varianza, tiene algunos principios

que son:

Los estadígrafos

de dispersión o

variación

La varianza

Desviación

Estándar

Coeficiente

de variación


50

A mayor dispersión alrededor de la media, mayor valor de la

desviación estándar

Las desviaciones extremas con respecto a la media, pesan mucho para

determinar

El valor de la desviación estándar

𝑺 = √𝑺𝟐

Coeficiente de variación

Mide la homogeneidad de una muestra. Es un índice que puede servir para la

comparación entre poblaciones en que se miden distintas características.

𝐶𝑉 = 𝑆

𝑋

Estadígrafos de orden o apuntamiento

Son aquellos que ordenan y clasifican los datos de una investigación estadística en

partes

iguales.

Cuartiles

Deciles

Percentiles

Cuartiles

Son aquellos estadígrafos de orden que dividen a los datos de la investigación

estadística en las partes exactamente iguales, cada una tendrá el 10% de los datos.

0% 25% 50% 75% 100%

𝑄1 𝑄2 𝑄3

𝑄1 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐

𝑛4 − 𝑁𝑗 − 1

𝑁𝑗

𝑄3 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐

3𝑛4 − 𝑁𝑗 − 1

𝑁𝑗

Los estadígrafos

de orden o

apuntamiento

Cuartiles

Deciles

Percentiles


51

Deciles

Son aquellos estadígrafos de orden que dividen a los datos de la

investigación estadística en 10 partes exactamente iguales, cada una tendrá

el 25%de los datos.

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝐷5 𝐷6 𝐷7 𝐷8 𝐷9 𝐷10

Ilustración 5 Representación de los Deciles


𝐷𝑖 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐(𝑛

10−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗)

𝐷3 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐(9𝑛

10−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗)

Percentiles

Son aquellos estadígrafos de orden que dividen a los datos de una

Investigación estadística en 100 partes iguales cada uno tiene el

1% de los datos.

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% ….…. 100%

𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 𝑃5 𝑃6 𝑃7 𝑃8 𝑃9……𝑃100

Ilustración 6 Representación de los Percentiles

𝐶95 = 𝑌𝑖 − 1 + 𝑐95𝑛

100−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗

𝐶1 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐𝑛

100−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗

Ejercicio

Tabla 7 Número de autos por familia en Puembo

1 2 1 2 1 2 1 2 1


52

Se pide:

Calcular e interpretar:

1. Q1

2. Q3

3. D1

4. D6

5. C87


1. 𝑸𝒊 = 𝒀´𝒊 + 𝒄 𝒏

𝟒−𝑵𝒋−𝟏

𝑵𝒋

Nj > 𝑛

4

Nj > 45

4

Nj > 11.25

6 > 11.25

Qi = 1

El 25% de las familias de Puembo tienen un auto en cada familia y el 75%

restante de las familias de Puembo tienen de 1 hasta 5 autos cada familia.

2. 𝑸𝟑 = 𝒀´𝒊 − 𝟏 + 𝒄𝟑𝒏

𝟒−𝑵𝒋−𝟏

𝑵𝒋

Nj > 3𝑛

4

Nj > 3(45)

4

Nj > 33.75

1 3 2 1 3 3 2 3 1

1 1 3 3 2 2 3 4 1

4 3 4 4 4 3 3 2 1

5 2 5 1 1 2 3 1 1

M Yi ni Ni

1 1 16 16

2 2 11 27

3 3 11 38

4 4 5 43

5 5 2 45

45


53

38 > 33,75

Q3 = 3

El 75% de las familias de Puembo tienen desde 1 hasta 3 autos en cada familia y el

25% de familias de Puembo tienen desde 3 hasta 5 autos cada familia.

3. 𝑫𝒊 = 𝒀´𝒊 − 𝟏 + 𝒄 (𝒏

𝟏𝟎−𝑵𝒋−𝟏

𝑵𝒋)

Nj > 𝑛

10

Nj > 45

10

Nj > 4.5

D1=1

El 10% de familias de Puembo tienen un auto cada familia y el 90% de familias

de Puembo tienen desde 1 hasta 5 autos cada familia.

4. 𝑫𝟖 = 𝒀´𝒊 − 𝟏 + 𝒄(𝟖𝒏

𝟏𝟎−𝑵𝒋−𝟏

𝑵𝒋)

Nj > 8𝑛

10

Nj > 8∗45

10

Nj > 360

10

Nj > 36

D8=3

El 80% de familias de Puembo tiene desde 1 hasta 3 autos en cada familia y el

20% de familias de Puembo tienen de 3 hasta 5 carros por familia.

5. 𝑪𝟗𝟕 = 𝒀𝒊 − 𝟏 + 𝒄𝟗𝟕𝒏

𝟏𝟎𝟎−𝑵𝒋−𝟏

𝑵𝒋

Nj > 97𝑛

100

Nj > 97(45)

100

Nj > 43,65

45 > 43,67

C97 = 5


54

El 97% de familias de Puembo tienen de 1 hasta 5 carros y el 3% tiene 5 carros

por familia.

6. 𝑪𝟖𝟓 = 𝒀𝒊 − 𝟏 + 𝒄(𝟖𝟓𝒏

𝟏𝟎𝟎−𝑵𝒋−𝟏

𝑵𝒋)

Nj > 85𝑛

100

Nj > 85∗45

100

Nj > 38.25

43 > 38

C85= 4

El 85% de las familias de Puembo tienen de 1 hasta 4 autos por familia y el

15% de familias de Puembo tienen 4 carros cada familia.

Ejercicio

Tabla 9 Estatura en metros de los estudiantes del módulo de estadística de ambiente y

geología

1,68 1,65 1,55 1,65 1,60 1,63 1,67 1.71 1,55

1,65 1,72 1,60 1,67 1,56 1,60 1,58 1,52 1,62

1,70 1,72 1,56 1,64 1,70 1,50 1,60 1,62 1,50

1,60 1,64 1,60 1,59 1,80 1,65 1,66 1.75 1,50

1,60 1,50 1,70 1,60 1,63 1,67 1,56 1,65 1,70

Calcular e interpretar los estadígrafos de dispersión y posición.

Calcular e interpretar Q1; Q3; D1; D6; C5; C88


55


M Yi-1-Yi´ Yi ni Ni N´j hi Hi Yihi Yini

1 1,50-1,56 1,53 10 10 45 0,22 0,22 0,33 15,3

2 1,56-1,62 1,59 11 21 35 0,25 0,47 0,40 17,49

3 1,62-1,68 1,65 14 35 24 0,31 0,78 0,51 23,1

4 1,68-1,74 1,71 8 43 10 0,18 0,96 0,31 13,68

5 1,74-1,80 1,77 2 45 2 0,04 1 0,07 3,54

∑ = 1,62 ∑ = 73,11

Yini 𝒀𝒊𝟐 𝒀𝒊𝟐𝒏𝒊 Yi-Y (𝒀𝒊 − 𝒀)𝟐 𝒀𝒊 − 𝒀)𝟐𝒏𝒊 15,3 2,34 23,4 -0,09 8,1𝑥10−3 0,081

17,49 2,53 27,81 -0,03 9𝑥10−4 9,9𝑥10−3

23,1 2,72 38,12 0,03 9𝑥10−4 0,0126

13,68 2,92 23,39 0,09 8,1𝑥10−3 0,0648

354 3,13 6,26 0,15 0,0225 0,045

∑ = 118,98 ∑ =0,2133

r=lmax-lmin

r=1,80-150

r=0,30

c=r/m

c= 0,30/5

c=0,6

La estatura de los estudiantes va desde 1,50 hasta 1,80 con una variación total

del30cm.

Mediana

Me=Y´i-1+c

𝑛

2−𝑁𝑗−1

𝑛𝑗

Me= 1,62+0.055(1,5/14)

Me=1,62+0,06(0,10)

Me= 1,626

Existe el 50% de los estudiantes miden desde 1,50 hasta 1,626 metros de estatura

y el 50% restante de los estudiantes miden desde 1,626 hasta 1,80 metros de

estatura.


56

Moda:

1,62-1,68

La mayoría de los estudiantes miden desde 1,62 hasta 1,68 metros de estatura.

Estadígrafo de Dispersión

La Varianza

𝑺𝟐 =∑(𝒀𝒊 − 𝒀)𝟐𝒉𝒊

𝒏

𝑺𝟐 =∑(𝒀𝒊 − 𝒀)𝟐𝒉𝒊

𝒏− 𝒀𝟐

𝑺𝟐 =118,9

45− 1,622

𝑺𝟐 = 0,02

Desviación Estándar

S = √0,02

S = 0,14

Coeficiente de Variación

𝑪𝒗 =𝑺

𝒀

𝑪𝒗 =0,14

1,62

𝑪𝒗 = 0,086 ∗ 100 = 8,6

𝑪𝒗 = 𝟖, 𝟔

Existe un 8,6 de variación promedio de la estatura de los estudiantes con respecto

a la estatura promedio que fue de 1,62 metros.

Estadígrafos de orden

Cuartiles:

𝑸𝟑 = (𝒀´𝒊 − 𝟏) + 𝑪

𝟑𝒏𝟒 − (𝑵𝒋 − 𝟏)

𝒏𝒋


57

Nj>3n/4

Nj>3(45)/4

Nj>33,75

35>33,75

𝑸𝟑 = (1,62) + 0,06(33,75 − 21

14)

𝑸𝟑 = (1,62) + 0,0612,75

14

𝑸𝟑 = (1,62) + 0,06(0,91)

𝑸𝟑 = (1,62) + 0,05

𝑸𝟑 = 𝟏, 𝟔𝟕

El 75% de los estudiantes miden desde 1,50 hasta 1,67 metros de estatura y el 25%

restante de los estudiantes miden desde 1,67 hasta 1,80 metros de estatura.

Cálculo de Q1

Nj>n/4

Nj>1/4

Nj>45/4

21>11,25

𝑄1 = (𝑌´𝑖 − 1) + 𝐶

𝑛4 − (𝑁𝑗 − 1)

𝑛𝑗

𝑸𝟏 = 1,56 + 0,0611,25 − 10

11

𝑸𝟏 = 1,56 + 0,061,25

11

𝑸𝟏 = 1,56 + 0,06(0,11)

𝑸𝟏 = 1,56 + 6,8𝑥10−3

𝑸𝟏 = 1,56

El 25% de los estudiantes miden desde 1,50 hasta 1,56 metros de estatura y el 75%

restante de los estudiantes miden desde 1,56 hasta 1,80 metros de estatura.

Decila 1


58

𝑫𝟏 = (𝑌´𝑖 − 1) + 𝐶

𝑛10 − (𝑁𝑗 − 1)

𝑛𝑗

𝑫𝟏 = 1,50 + 0,064,6 − 0

10

𝑫𝟏 = 1,56 + 0,06(0,46)

𝑫𝟏 = 1,52

El 10% de los estudiantes miden desde 1,50 metros de estatura y el 90% de los

estudiantes miden desde 1,53 hasta 1,80 metros de estatura.

Decila 2

Nj>6n/10

Nj>6(45)/10

Nj>27

35>27

𝑫𝟔 = (𝑌´𝑖 − 1) + 𝐶

6𝑛10 − (𝑁𝑗 − 1)

𝑛𝑗

𝑫𝟔 = 1,62 + 0,0627−21

14

𝑫𝟔 = 1,62 + 0,06(0,42)

𝑫𝟔 = 1,62 + 0,02

𝑫𝟔 = 𝟏, 𝟔𝟓

El 60% de los estudiantes miden desde 1,50 metros de estatura hasta 1,65 y el 90%

de los estudiantes miden desde 1,65 hasta 1,80 metros de estatura.

Centila

𝑪𝟖𝟖 = (𝑌´𝑖 − 1) + 𝐶

88𝑛100 − (𝑁𝑗 − 1)

𝑛𝑗

𝑪𝟖𝟖 = 1,68 + 0,0639,6 − 35

8

𝑪𝟖𝟖 = 1,68 + 0,064,6

8

𝑪𝟖𝟖 = 1,68 + 0,0345

𝑪𝟖𝟖 = 𝟏, 𝟕𝟏𝟒𝟓

El 88% de los estudiantes miden desde 1,50 metros de estatura hasta 1,7145 y el

12% de los estudiantes miden desde 1,7145 hasta 1,80 metros de estatura.

Centila 5


59

Nj>5n/100

Nj>45/20

Nj>2,25

10>2,25

𝑪𝟓 = (𝑌´𝑖 − 1) + 𝐶

5𝑛100

− (𝑁𝑗 − 1)

𝑛𝑗

𝑪𝟓 = 1,50 + 0,062,25 − 0

10

𝑪𝟓 = 1,50 + 0,06(0,225)

𝑪𝟓 = 𝟏, 𝟓𝟏

El 50% de los estudiantes miden desde 1,50 metros de estatura hasta 1,51 y el 50%

de los estudiantes miden desde 1,51 hasta 1,80 metros de estatura.

1. Mediante un mentefacto explique los estadígrafos

2. Defina que es censo y que es muestra

APRENDIZAJE DE ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN CENTRAL Y MEDIDAS DE ORDEN Y DISPERSIÓN

ESTADÍGRAFOS

Estadística

Posición

Variación

Orden

Son números que

nos indican ciertas

características

comunes para el

total de una

investigación

estadística.

INFERENCIAL

Partiendo de los datos

obtenidos a través de la

estadística descriptiva

nos permite inferir el

posible

comportamiento futuro

de las variables.


60

Censo: es una técnica de enumeración completa total de todos y cada uno de los

elementos de una población o universo.

Muestra: técnica de enumeración parcial de algunos de los elementos de una

población o universo.

3. Defina ¿Qué son Estadígrafos?

Los estadígrafos son números que nos indican ciertas características comunes para el total

de datos de una Investigación Estadística.

4. Explique la clasificación de los Estadígrafos

Estadígrafos de posición o tendencia central.

Son aquellos números que nos marcan una posición central con respecto al total de datos.

Media aritmética

Mediana

Moda

Estadígrafos de dispersión o variación.

Miden cuanto se aleja de la media cada uno de los valores de la variable.

Recorrido

Varianza

Desviación estándar


Estadígrafos de orden o apuntamiento.

Son números que ordenan y clasifican los datos de una Investigación Estadística en partes

iguales.

Cuartiles

Deciles

Percentiles

5. Defina ¿Qué es Media aritmética y cómo se obtiene?


61

Es un estadígrafo de posición que nos marca el promedio ponderado de los datos.

- El símbolo es �̅� cuando se trata de datos originales

�̅� = ∑ 𝑋𝑖

𝑛

- Cuando los datos son agrupados es �̅�

�̅� = ∑ 𝑌𝑖 . 𝑛𝑖

𝑛

6. Defina ¿Qué es Mediana y cómo se obtiene?

Es un estadígrafo de tendencia central que nos marca una posición tal, que nos asegura que

supera al 50% de los datos y a la vez es superada por el otro 50% de las observaciones.

- Datos originales: Primero ubicamos el lugar donde se encuentra la Media.

𝒏 + 𝟏

𝟐

Luego tomamos el lugar antes de la mediana y después de la Mediana, los sumamos y

dividimos para dos.

𝑴𝒆 = #𝑛 + #𝑛

2

- Datos agrupados

𝑵𝒋 > 𝑛

2

7. Defina ¿Qué es Moda y cómo se obtiene?

Es el valor más observado de una Investigación Estadística.

- Localizamos el valor que más se repite.


62

Ejercicio

Tabla 11 El registro de temperatura del mes de septiembre, octubre, noviembre y los primeros días de

diciembre en la ciudad de Quito

n= 100 r= L máx – Lmin 𝒄 =𝒓

𝒎=

7

5= 1,4

L máx= 22 r= 22-15 m= 5

L min= 15 r= 7


M Yo – Yi Yi ni Ni N'i hi Hi H'i Yini Yi - Y (Yi-Y) 2 (Yi-Y)2ni

1 15-16,4 15,7 22 22 100 0,22 0,22 1 345,4 -2,702 7,8 160,6

2 16,4- 17,8 17,1 17 39 78 0,17 0,39 0,78 290,7 -1,302 1,695 28,81

3 17,8- 19,2 18,5 23 62 61 0,23 0,62 0,61 425,5 0,098 9,604x10-3 0,22

4 19,2- 20,6 19,9 22 84 38 0,22 0,84 0,38 437,8 1,498 2,244 49,36

5 20,6-22 21,3 16 100 16 0,16 1 0,16 340,8 2,898 8,348 134,37

100 1 1840 373,36

Frecuencia Absoluta Simple

n1= 22 días de dichos meses tuvieron desde 15 hasta 16,4 oC de temperatura

n2= 17 días de dichos meses tuvieron desde 16,4 hasta 17,8 oC de temperatura



15,3 19,2 17,2 20,1 17,3 20,1 17 17 19,3 15

15,3 19,3 16,3 20,2 17,4 20,2 17 20 22 16

16,2 20,1 21,2 20,3 17,3 15,1 17,1 21 15,2 17

17,1 18,1 21,3 20,4 17,5 15,2 17,2 20,1 16,2 18

16,3 19,3 21,2 20,1 17,3 15,3 17,3 22 17,2 19

15,5 20,4 21,1 20,2 18,1 15,4 17,4 21,3 18,2 20

18,1 21,3 16,3 19,1 18,2 16,1 17 20,2 19,2 21

18,2 20,2 17,2 19,2 18,3 16,2 18 22 19,3 22

18,9 15,3 18,2 19,3 18,5 16,3 18,9 21,3 19,2 21

19 15 19,2 19,4 19 17 18,5 21,2 19,3 15



63

n5= 16 días de dichos meses tuvieron desde 20,6 hasta 22 oC de temperatura

Frecuencia Absoluta Acumulada Ascendente

N1= 22 días de dichos meses tuvieron a lo mucho 16,4 oC de temperatura




N5= 100 días de dichos meses tuvieron a lo mucho 22 oC de temperatura

Frecuencia Absoluta Acumulada Descendente

N’1= 100 días de dichos meses tuvieron por lo menos 15 oC de temperatura

N’2= 78 días de dichos meses tuvieron por lo menos 16,4 oC de temperatura




Frecuencia Relativa Simple

h1= El 22% de días de dichos meses tuvieron desde 15 hasta 16,4 oC de

temperatura

h2= El 17% de días de dichos meses tuvieron desde 16,4 hasta 17,8 oC de

temperatura


temperatura


temperatura

h5= El 16% días de dichos meses tuvieron desde 20,6 hasta 22 oC de temperatura

Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente

H1= El 22% de días de dichos meses tuvieron a lo mucho 16,4 oC de temperatura





64

H5= El 100% días de dichos meses tuvieron a lo mucho 22 oC de temperatura

Frecuencia Absoluta Acumulada Descendente

H’1= El 100% de días de dichos meses tuvieron por lo menos 15 oC de

temperatura

H’2= El 78% de días de dichos meses tuvieron por lo menos 16,4 oC de

temperatura


temperatura

H’4= El 38 % de días de dichos meses tuvieron por lo menos 19,2 oC de

temperatura


temperatura

Estadígrafos de posición

Media Aritmética

�̅� =∑ 𝒚𝒊𝒙𝒊

𝒏=

𝟏𝟖𝟒𝟎, 𝟐

𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟖, 𝟒𝟎𝟐

La temperatura de los meses septiembre, octubre, noviembre agrupados en 5 clases

es de 18,402 oC

Mediana

𝑴𝒆 = 𝑌′𝑖 + 𝑐

𝑛2 − 𝑁𝑗 − 1

𝑛𝑗

𝑴𝒆 = 178 + 1,450 − 39

23

Me= 20,867

𝑵𝒋 >𝒏

𝟐

𝑵𝒋 >𝟏𝟎𝟎

𝟐

𝑵𝒋 > 𝟓𝟎

𝟔𝟐 > 𝟓𝟎

El 50% de la temperatura en los meses de septiembre, octubre y noviembre tuvieron

desde 15 hasta 20,867 y el 50% restante tuvieron desde 20,867 hasta 22 oC

Moda


65

Md= 17,8 -19,2

La mayoría de días del mes de septiembre, octubre, noviembre y diciembre tuvo

temperatura desde 17,8 -19,2 oC

Estadígrafos de dispersión

Varianza

𝐬𝟐 =∑(𝐲𝐢 − 𝐲 ̅)𝟐𝐧𝐢

𝐧

𝐬𝟐 =373,39

100

𝐬𝟐 = 3,733

Desviación estándar

𝒔 = √𝐬𝟐

𝒔 = √3,733

𝒔 = 1,932

En promedio la temperatura del mes de septiembre, octubre, noviembre y

diciembre se diferencia en 1,932 con respecto a la temperatura promedio que fue

de 18,402 oC.


𝐂𝐯 =𝐬

𝐘

𝐂𝐯 =1,932

18,402

𝐂𝐯 = 0,104 x 100

𝐂𝐯 = 10,4%

Existe un 10,4% de variación promedio de temperatura de dichos meses con

respecto al promedio de temperatura que fue 18,402 oC

Estadígrafos de orden


66

Cuartila

𝑸𝟏 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐

𝑛4

− 𝑁𝑗 − 1

𝑁𝑗

Q1=1

Nj > 𝑛

4

Nj > 100

4

Nj > 25

39 > 25

El 25% de días de dichos mese tuvieron 16,4 hasta 17,8 oC de temperatura y el

75% restante de días de dichos meses tuvieron desde 17,8 hasta 22 oC

Qi=2

Nj > 2𝑛

4

Nj > 2(100)

4

Nj > 50

62 > 50

El 50% de días de dichos mese tuvieron 15 hasta 19,2 oC de temperatura en cada

día y el 50% restante de días de dichos meses tuvieron desde 19,8 hasta 22 oC

Qi=3

Nj > 3𝑛

4

Nj > 3(100)

4

Nj > 75

84 > 75


día y el 25% restante de días de dichos meses tuvieron desde 20,6 hasta 22 oC.

Deciles

𝑫𝟒 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐 (𝑛

10−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗)


67

Nj > 4𝑛

10

Nj > 4(100)

10

Nj > 40

62 > 40



Centiles

𝑪𝟗𝟏 = 𝑌´𝑖 − 1 + 𝑐𝑛

100−𝑁𝑗−1

𝑁𝑗

Nj > 91𝑛

100

Nj > 91(100)

100

Nj > 91

100 > 91



68

Titular: El estudio acerca del razonamiento sobre la asociación estadística

Fue iniciado por Piaget e Inhelder (1955), quienes utilizaron solamente variables

dicotómicas (tabla de contingencia de 2x2) y analizaron la habilidad de los alumnos

a partir de los 12 ó 13 años para diferenciar correlación directa, inversa e

independencia, así como las estrategias que emplean para establecer sus juicios.

Los autores consideraron que la comprensión de la idea de asociación implicaba

las de proporción y probabilidad. Por ello, sugirieron la enseñanza de los conceptos

relacionados con la asociación estadística en la etapa de las operaciones formales.

(Inhelder, 1955)

El análisis de contenido abarca la naturaleza del conocimiento estocástico, sus

modos de representación y cómo se relacionan con la resolución de problemas.

Para realizar la descripción del contenido, se consideran dos perspectivas, la

conceptual y la procedimental, distinción que ofrece una manera de interpretar los

procesos de aprendizaje. Los conceptos describen una regularidad o relación de un

grupo de hechos, suelen admitir un modelo o representación y se designan con

signos o símbolos. La cual distingue tres niveles de conocimientos conceptuales: los

hechos, los conceptos propiamente dichos y las estructuras conceptuales. (Rico,

1997)

Regresión y correlación estadística LINEAL

UNIDAD TRES

69

Objetivo de Aprendizaje (OA)

OA1 Conocer, distinguir, analizar, interpretar y evaluar las relaciones y correlaciones entre dos variables y sus aplicaciones.

OA2 Investigar la relación estadística que existe entre una variable dependiente (Y) y una o más variables independientes

( ,...). Determinándose la relación funcional entre dichas variables.

OA3 Desarrollar de manera científica un análisis regresión y correlación estadística, construyendo modelos que representen adecuadamente situaciones reales.

ALCANCE DE LA UNIDAD TRES

Para qué sirve la unidad Tres.


En la administración.- Estable mecanismos técnico-operativos que facilitan

la modelización matemática para la sistematización de la información.

En la contabilidad.- Desarrollar herramientas de regresión y correlación que

aporten a la interpretación de resultados en determinadas series de tiempo.

En sistemas de información.- Permite la modelación estadística para el

tratamiento de los datos de manera oportuna y veraz.

En el campo personal.- Facilita la comprensión de los elementos

estadísticos necesarios para la proyección de datos según las

características de propias de la información.

Unidad Tres: Regresión y Correlación Estadística Lineal

70

Correlación estadística

Coeficiente de correlación

Es un número que describe el grado de asociación entre dos variables de una

misma población. Fluctúa de -1 a +1.

Coeficiente de correlación lineal

Representa la asociación entre dos variables, existe variación de la variable

Y respecto de la variación de la variable X.

Si el coeficiente de correlación tiene de 0 a +1 ó a –1, será positiva o

negativa, respectivamente.

Mientras mayor sea el coeficiente entre 0 y +1, mayor asociación de

tendencia positiva.

Mientras menor sea el coeficiente entre 0 y -1, mayor asociación de

tendencia negativa.

𝑟 =ΣXY

√Σ𝑋2. Σ𝑌2

𝑟 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐ó𝑛

Ejemplo:

X Y XY X² Y²

15 130 1.950 225 16.900

25 170 4.250 625 28.900

35 230 8.050 1.225 52.900

45 290 13.050 2.025 84.100

55 340 18.700 3.025 115.600

175 1.160 46.000 7.125 298.400


Coeficiente de

correlación.- Es un número que

describe el grado

de unión entre dos variable de una

misma población

que fluctúan de -1

a +1.


71

𝑟 =ΣXY

√Σ𝑋2. Σ𝑌2

𝑟 = 46.000

√7125 𝑥 298.400

𝑟 = 46.000

√2.126.100.000

𝑟 = 46.000

46.110

𝑟 = 0,998

Coeficiente de correlación exponencial o logarítmica

Asociación entre variables, cuya tendencia tiene característica exponencial.

Mide el grado de asociación entre las variables Y y X, cuando el incremento

de la variable Y es más que proporcional respecto de la variación de la

variable X.

Se utiliza el mismo coeficiente de regresión lineal, luego de transponer la

función exponencial 𝑌 = 𝑎𝑏𝑋 en función lineal: log 𝑌 = log 𝑎 + 𝑋 𝑙𝑜𝑔𝑏

.

En determinados casos, la variación de los datos observados tienen

incrementos sucesivos más que proporcionales, por tanto la tendencia no es

de carácter lineal sino de tipo exponencial o logarítmica.

En estos casos la ecuación de regresión exponencial se expresa en la

siguiente forma:

𝑌 = 𝑎. 𝑏𝑋

Se puede transformar a la ecuación lineal aplicando logarítmos:

log 𝑌 = log 𝑎 + 𝑋 log 𝑏

En donde:


72

log 𝑌 = 𝑌 (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)

log 𝑎 = 𝑎 (𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑋 = 0)

𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

log 𝑏 = 𝑏 (𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑋)

Ejemplo:

X Y

1 220

2 400

3 620

4 1000

5 1450

6 2015

Para resolver, vez transformada a la expresión lineal se aplica la

metodología de correlación lineal.

Resolución:

(ΣX)2 = 441

𝑋 ̅ = ∑ 𝑋𝑖

𝑛

𝑋 ̅ = 21

6

𝑋 ̅ = 3,50

(X) Log Y

(Y) XLog Y

(XY) X²

(Log Y)² Y²

1 2,34 2,34 1 5,49

2 2,60 5,20 4 6,77

3 2,79 8,38 9 7,80

4 3,00 12 16 9,00

5 3,16 15,81 25 9,99

6 3,30 19,83 36 10,92

Σ 21 17,20 63,56 91 49,97


73

𝑌 ̅ = ∑ 𝑋𝑖

𝑛

𝑌 ̅ = 17,20

6

𝑌 ̅ = 17,20

6

𝑌 ̅ = 2,87

𝑏 = Σ𝑋𝑌 −

(Σ𝑋)(Σ𝑌)𝑛

Σ𝑋2 − (Σ𝑋)2

𝑛

63,56 - 21 x 17,20

b = 6

91 - 441

6

63,56 - 361,25

b = 6

91 - 73,50

b = 63,56 - 60,21

91 - 73,50

b = 3,35

17,50

b = 0,19

𝑎 = 𝑌 ̅ − 𝑏𝑋 ̅

𝑎 = 2,87 − (0,19 𝑥 3,50)

𝑎 = 2,87 − (0,19 𝑥 3,50)

𝑎 = 2,87 − 0,67

𝑎 = 2,20

La ecuación exponencial es igual a:


74

𝐥𝐨𝐠 𝒀 = 𝑳𝒐𝒈 𝒂 + 𝑿 𝒍𝒐𝒈 𝒃

log 𝑌 = 2,20 + 0,19 𝑋

Luego, se obtiene los valores de Y encontrando sus antilogaritmos:

Si:

X = 0 log Y = 2,20 antilog = 158

X = 1 log Y = 2,39 antilog = 245

X = 2 log Y = 2,58 antilog = 380

X = 3 log Y = 2,77 antilog = 589

X = 4 log Y = 2,96 antilog = 912

X = 5 log Y = 3,15 antilog = 1413

X = 6 log Y = 3,34 antilog = 2188

Proyecciones:

X = 7 log Y = 3,53 antilog = 3388

X = 8 log Y = 3,72 antilog = 5248

X = 9 log Y = 3,91 antilog = 8128

X = 10 log Y = 4,10 antilog = 12589

Coeficiente de correlación:

𝑟 =ΣXY

√Σ𝑋2. Σ𝑌2

𝑟 = 63,56

√91 𝑥 49,97

𝑟 = 𝟔𝟑,𝟓𝟔

√ 𝟒𝟓𝟒𝟕

𝑟 = 𝟔𝟑,𝟓𝟔

𝟔𝟕,𝟒𝟑

𝑟 = 0,94

Coeficiente de regresión:

𝑟2 = (0,94)2


75

𝑟2 = 0,88

X Y

0 158

1 245

2 380

3 589

4 912

5 1413

6 2188

7 3388

8 5248

9 8128

10 12589

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Representación Gráfica Correlación Exponencial o logaritmica

X Y


76

Regresión

Coeficiente regresión

Representa la proporción de variabilidad de la variable dependiente debido

al efecto de variación de la variable independiente.

Ecuación matemática que trata de describir la relación entre variables de una

misma población.

Coeficiente de regresión lineal

Mide la proporción de variación de la variable y respecto de la variable X

para comportamientos de tendencia lineal.

𝒓𝟐 = (𝚺𝑿𝒀

√𝚺𝑿𝟐. 𝚺𝒀𝟐)

𝟐

𝑟2 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑟 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑟2 = (𝑟)2

Correlación lineal

Ecuación lineal que describe la relación entre dos variables donde se

relacionan por medio de causa y efecto, cuya tendencia puede ser positiva o

negativa.

Se define como:

𝒀𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝑿𝒊

Donde:

Yi = Variable dependiente

Xi = Variable independiente

i = Índice de sumación

a = Parámetro autónomo cuando X tiende a cero o es igual cero

Coeficiente de

regresión.-

Es la proporción

de variabilidad de la variable

dependiente

debido al efecto de variación de la

variable

independiente.


77

b = Pendiente de X (variación de Y por la variación de una unidad de X)

Procedimiento:

𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋

Σ𝑌 = 𝑛𝑎 + 𝑏Σ𝑋 Ecuación de mínimos cuadrados

Σ𝑌𝑋 = 𝑎Σ𝑋 + 𝑏Σ𝑋2

Resolviendo:



Σ𝑋2 −(Σ𝑋)2

𝑛

𝑎 = 𝑌 ̅ − 𝑏 𝑋 ̅

Ilustración 7 Descrita Gráficamente

A: Punto de corte con el eje Yi.

B: pendiente de la recta


78

Ecuación Exponencial

Sirve para variables macroeconómicas que tienen crecimiento geométrico

Ecuación Exponencial:

𝒀𝒊 = 𝑎. 𝑏𝑥𝑖

𝒃 = 1 + 𝑖

i = Tasa de crecimiento geométrica anual acumulativa.

Ecuación logarítmica:

log 𝑌𝑖 = log 𝑎. 𝑏𝑥𝑖

log 𝑌𝑖 = log 𝑎 + log 𝑏𝑥𝑖

𝐥𝐨𝐠 𝒀𝒊 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝑿𝒊 𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒙𝒊 => 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓í𝒕𝒎𝒊𝒄𝒂


79

1. Diga que es coeficiente de regresión

Es la proporción de la versatilidad de la variable dependiente debido al efecto de

variación de la variable independiente.

2. Diga que es el coeficiente de correlación

Expresa el grado de unión entre variables en el cual fluctúa de - 1 a + 1

3. Escriba la fórmula del coeficiente de regresión lineal

𝒓𝟐 = (𝚺𝑿𝒀

√𝚺𝑿𝟐. 𝚺𝒀𝟐)

𝟐

𝑟2 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑟 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑟2 = (𝑟)2

4. Escriba la ecuación del coeficiente de correlación lineal

𝒓 = 𝚺𝑿𝒀

√𝚺𝑿𝟐. 𝚺𝒀𝟐

5. Escriba la ecuación de regresión exponencial

𝑌 = 𝑎. 𝑏𝑋

6. Para transformar la ecuación lineal que fórmula se utiliza

𝑙𝑜𝑔𝑌 = log 𝑎 + 𝑋 log 𝑏

7. Diga que es coeficiente de correlación lineal

Expresa la medida de unión entre dos variables desde 0 a + 1 ó desde 0 – 1

8. Diga que es el coeficiente de regresión lineal

Es un indicador relativo del grado de error en conjunto de la unión entre dos

variables.

APRENDIZAJE DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ESTADÍSTICA


80

9. Ejercicio demostrativo: caso de la ecuación lineal

Con la información estadística que se presenta en la siguiente tabla, se desea encontrar una

ecuación lineal que interprete la asociación entre estas dos variables, de tal manera que se

pueda generalizar su comportamiento; así:

AÑOS

X

CRÉDITO

Y

1 2009 1000

2 2010 1250

3 2011 1700

4 2012 1900

5 2013 2450

6 2014 3000

7 2015 3750

Existirá una sola ecuación que minimice las distancias entre los valores observados

hacia los puntos de la recta.

Resolviendo tenemos:

X Y XY X² Y²

1 1.000 1.000 1 1.000.000

2 1.250 2.500 4 1.562.500

3 1.700 5.100 9 2.890.000

4 1.900 7.600 16 3.610.000

5 2.450 12.250 25 6.002.500

6 3.000 18.000 36 9.000.000

7 3.250 22.750 49 10.562.500

𝚺 28 14550 69200 140 34627500

(ΣX)2 = (28)2 = 784 𝑛 = 7 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑋 ̅ = ∑ 𝑋𝑖

𝑛

𝑋 ̅ = 28

7

𝑋 ̅ = 4


81

𝑌 ̅ = ∑ 𝑌𝑖

𝑛

𝑌 ̅ = 14550

7

𝑌 ̅ = 2078,57



Σ𝑋2 − (Σ𝑋)2

𝑛

69.200 - 28 X 14.550

b = 7

140 - 784

7

69.200 - 407.400

b = 7

140 - 130

b = 69200 - 58.200

140 - 112

b = 11.000

28

b = 392,86

𝑎 = 𝑌 ̅ − 𝑏𝑋 ̅

𝑎 = 2078,57 − (392,86 𝑥 4)

𝑎 = 2.078,57 − (1.571,44)

𝑎 = 2.078,57 − 1.571,44

𝑎 = 507,13

𝑎 = 507,13 Si X = 0 Y = 507,13

Ecuación de regresión lineal:


82

𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋

𝑌 = 507,13 + 392,86 𝑋

Coeficiente de correlación lineal

Este coeficiente expresa la medida de asociación entre dos variables, desde o a +

1 ó desde 0 a - 1

𝒓 = 𝚺𝑿𝒀

√𝚺𝑿𝟐.𝚺𝒀𝟐 𝒓 = 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍

Si:

𝑟 = 𝑜 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑟 = + 1 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑎

𝑟 = − 1 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑎

El grado de aceptación del coeficiente de correlación depende de la naturaleza y

cualidad de las variables, así como de la exigencia requerida para determinar el

objetivo, si se tratare de control de calidad de relojes por ejemplo, el coeficiente de

correlación debe tender a + 1. En la práctica, es factible aceptar coeficientes de

correlación que fluctúen entre 0,70 a 1 ó -0,70 a – 1.

Para el ejemplo tenemos lo siguiente:

Ʃ𝑋𝑌 = 69200

Ʃ𝑋² = 140

Ʃ𝑌² = 34627500

𝑟 = Σ𝑋𝑌

√Σ𝑋2. Σ𝑌2

𝑟 = 69200

√140 x 34627500


83

𝑟 = 69200

√4847850000

𝑟 = 69200

69626,50

𝑟 = 0,99 (Esta entre los parámetros aceptables)

Coeficiente de regresión lineal

Es un indicador relativo del grado de error en conjunto de la asociación entre dos

variables.

A mayor coeficiente de regresión menor error.

A menor coeficiente de regresión mayor error.

El coeficiente de regresión lineal es igual al coeficiente de correlación elevado al

cuadrado.

𝑟2 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

Para el ejemplo:

𝑟 = 0,99

𝑟2 = 0,99

Proyecciones

Una vez obtenida la ecuación de regresión lineal y los coeficientes de correlación

y regresión, detectamos el grado de asociación entre las variables analizadas para

estimar datos futuros para la variable Y.


84

Ejercicio No. 1: Caso de la ecuación lineal

Durante los últimos años las ventas de una empresa han crecido por razones de

mucha publicidad como lo muestra la siguiente tabla:

yi xi

Años Ventas

Gasto en

publicidad

2007 100 10

2008 150 14

2009 200 21

2010 210 22

2011 300 28

2012 500 45

2013 600 55

Σ 2060 195

Se pide:

1. Extraer una ecuación que describa la relación entre las variables anotadas

2. Si en el 2014 invertimos $100,000 en publicidad que valor alcanzarían las ventas

3. Si en el año 2015 queremos alcanzar $1’500,000 en ventas; cuanto deberíamos

invertir en publicidad

4. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación y relación

5. Comprobar el coeficiente de correlación



85

Solución:

Representación de Datos

Años 𝒚𝒊𝒙𝒊 𝒙𝒊𝟐 ŷ𝒊 ŷ𝒊𝟐 𝒚𝒊𝟐 𝒆𝒊 𝒆𝒊𝟐

2007 1000 100 91.45154930 8363.385869 10000 8.548451 73.0760094

2008 2100 196 136.88816902 18738.370818 22500 13.111831 171.920112

2009 4200 441 216.40225353 46829.935333 40000 -16.402254 269.033921

2010 4620 484 227.76140846 51875.259184 44100 -17.761408 315.46763

2011 8400 784 295.91633804 87566.479119 90000 4.083662 16.676295

2012 22500 2025 489.02197185 239142.488952 250000 10.978028 120.517102

2013 33000 3025 602.61352115 363143.055873 360000 -2.613521 6.8304928

Σ 75820 7055 2060.05521135 815658.975147 816600 -0.055211 973.521562

a) Aplicar las ecuaciones de Gauss:

𝚺𝒚𝒊 = 𝒏𝒂 + 𝒃𝚺𝒙𝒊 (1)

𝚺𝒙𝒊 = 𝒂𝚺𝒙𝒊 + 𝒃𝚺𝒙𝒊𝟐 (2)

Reemplazar valores:

2060 = 7𝑎 + 195𝑏 (1)

75820 = 195𝑎 + 7055𝑏 (2)

Multiplicar para operar:

401700 = 1365𝑎 + 38025𝑏 (1) (195)

−530740 = −1365𝑎 − 49385𝑏 (2) (−7)

−129040 = −11360𝑏

𝑏 =129040

11360

𝒃 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟓𝟗𝟏𝟓𝟒𝟗𝟑

Si b es positivo entonces existe una relación directamente proporcional

entre las variables.

Ahora, reemplazamos b en (1):

2060 = 1365𝑎 + 38025(11.35915493)

7𝑎 = −155.032

𝒂 = −𝟐𝟐. 𝟏𝟒

Reemplazamos a y b en (1) y (2):


86

ŷ𝒊 = −𝟐𝟐. 𝟏𝟒 + 𝟏𝟏. 𝟑𝟓𝟗𝟏𝟓𝟒𝟗𝟑𝒙𝒊

b) Si en el 2014 invertimos $100,000 en publicidad el valor que alcanzarían las ventas

es:

ŷ𝑖(2014) = −22.14 + 11.35915493(100)

ŷ𝒊 = 𝟏𝟏𝟏𝟑. 𝟕𝟕𝟓𝟒𝟗𝟑

Si en el 2014 se invierte $100,000 en publicidad posiblemente se obtendrá

$1’113,775 en ventas.

c) Si en el año 2015 queremos alcanzar $1’500,000 en ventas, en publicidad se

invertiría:

1500 = −22.14 + 11.35915493𝑥𝑖

𝒙𝒊 =1522.14

1135.915493

𝒙𝒊 = 𝟏𝟑𝟒. 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟔𝟓𝟓

Si en el 2015 queremos alcanzar ventas de $1’500.000; en ese año

deberíamos invertir aproximadamente $134.001 en publicidad y

propaganda.

d) Coeficiente de correlación y relación

Para el coeficiente de correlación:

𝒓𝟐 =𝒔𝟐ŷ𝒊

𝒔𝟐𝒚𝒊

Donde:

𝒔𝟐ŷ𝒊 =𝚺ŷ𝒊𝟐

𝒏− ŷ𝟐 (𝒂)

𝒔𝟐ŷ𝒊 =815658.975147

7− (

2060.05521135

7)

2

𝒔𝟐ŷ𝒊 = 11.6522.7107 − 86608.72867

𝒔𝟐ŷ𝒊 = 𝟐𝟗𝟐𝟏𝟑. 𝟗𝟖𝟕


87

𝒔𝟐𝒚𝒊 =𝚺𝒚𝒊𝟐

𝒏− ŷ𝟐 (𝒃)

𝒔𝟐𝒚𝒊 =816600

7− (

2060

7)

2

𝒔𝟐𝒚𝒊 = 𝟑𝟎𝟎𝟓𝟑. 𝟎𝟔𝟏

Reemplazar (a) y (b) en la ecuación del coeficiente:

𝒓𝟐 =29913.987

30053.061= 𝟎. 𝟗𝟗𝟓𝟒

Para interpretar multiplicar por 100%.

Existe un 99.77% de covariación directamente proporcional entre las ventas en

base a la publicidad y propaganda.

Para el coeficiente de determinación:

𝒓 = √𝒓𝟐 = √0.9954 = 0.9977

Existe un 99.77% de determinación directamente proporcional entre

las ventas y las publicidades y propagandas.

e) Comprobar el coeficiente de correlación

𝒔𝟐𝒚𝒊 = 𝒔𝟐ŷ𝒊 +𝚺𝒆𝒊𝟐

𝒏

30053.061 = 29913.987 + 139.0715202

30056.061 = 30053.061


88

Ejercicio No. 2: Caso de las ecuaciones exponencial y logarítmica

Se tiene el registro de censos realizados en Ecuador, como lo muestra la siguiente

tabla:

Censos realizados en Ecuador

Año) Habitantes

1950 3,202,757

1972 4,760,007

1974 6,521,710

1982 8,060,712

1990 9,648,189

2001 12,156,608

2010 14,483,499 Fuente: INEC, Censos de Población y

Vivienda: 1950 - 2010

Se pide:

a) Obtener una ecuación exponencial que explique el crecimiento de la población

del Ecuador en el tiempo.

b) Obtener una ecuación logarítmica que explique el crecimiento de la población

del Ecuador en el tiempo.

c) Estimar la población del Ecuador para el año 2014 y 2015 mediante la

aplicación de la ecuación exponencial y logarítmica.

d) Calcular e interpretar la tasa de crecimiento de la población del Ecuador desde

el 1950 hasta el 2010.


89

Solución:

Representación de Datos:

Censo

(Año)

Habitantes 𝒚𝒊

𝒙𝒊 𝒍𝒐𝒈 (𝒚𝒊) 𝒙𝒊 𝒍𝒐𝒈 (𝒚𝒊) 𝒙𝒊𝟐

1950 3,202,757 0 6.505523989 0.000000000 0

1972 4,760,007 12 6.677607591 80.131291097 144

1974 6,521,710 24 6.814361483 163.544675596 576

1982 8,060,712 32 6.906373405 221.003948947 1024

1990 9,648,189 40 6.984445802 279.377832094 1600

2001 12,156,608 51 7.084812413 361.325433049 2601

2010 14,483,499 60 7.160873494 429.652409621 3600

𝚺 219 48.133998177 1535.035590404 9545

a) Para la ecuación logarítmica

Σ log(𝑦𝑖) = 𝑛 log(𝑎) + Σ𝑥𝑖 log(𝑏) (1)

Σ 𝑥𝑖 log(𝑦𝑖) = log(𝑎) ∙ Σ𝑥𝑖 + log(𝑏) ∙ Σ𝑥𝑖2 (2)

Reemplazar en la fórmula los datos:

48.133998177 = 7 log(𝑎) + 219 log(𝑏) (1)

1535.035590404 = 219log(𝑎) + 9545log(𝑏) (2)

Multiplicar para operar:

10541.3456 = 1533 log(𝑎) + 47961 log(𝑏) (1) (219)

−10745.24917 = −1533log(𝑎) − 66815log(𝑏) (2) (−7)

Al sumar (1) y (2):

−203.90357 = −18854 log (𝑏)

log(𝑏) =203.90357

18854

log(𝑏) = 0.01081487058

𝒃 = 𝟏. 𝟎𝟐𝟓𝟐𝟏𝟒𝟖𝟎𝟖

Log (b) en (1):


90

48.133998177 = 7 log(𝑎) + 219(0.01081487058) (1)

log(𝑎) =48.13399819 − 2.368456657

7

log(𝑎) = 6.537934503

a = 3′450,916.902

Reemplazar valores en la ecuación exponencial:

𝑦𝑖 = 𝑎𝑏𝑥𝑖

𝑦𝑖 = 3′450,917(1.0252148)𝑥𝑖

b) Reemplazar valores en la ecuación logarítmica

log(𝑦𝑖) = log(𝑎) + 𝑥𝑖 𝑙𝑜𝑔(𝑏)

log(𝑦𝑖) = 6.537934503 + 0.01081487058 𝑥

c) Estimar la población para el 2014 y 2015

Se tiene:

2014: xi = 64

2015: xi = 65

Con la ecuación exponencial:

𝑦𝑖(2014) = 3′450,917(1.0252148)64

𝑦𝑖(2014) = 16′985,799

La población estimada del Ecuador en el año 2014 será aproximadamente de 16’985,799

habitantes según la ecuación exponencial.

𝑦𝑖(2015) = 3′450,917(1.0252148)65

𝑦𝑖(2015) = 17′414,093

La población estimada del Ecuador en el año 2015 será aproximadamente de 17’414,093

habitantes según la ecuación exponencial.


91

Con la ecuación logarítmica:

log(𝑦2014) = 6.537934503 + 0.01081487058(64)

log(𝑦2014) = 7.23008632

𝑦(2014) = 16′985,812

La población estimada del Ecuador para el año 2014 será aproximadamente de

16’985,812 de habitantes según la ecuación logarítmica.

log(𝑦2015) = 6.537934503 + 0.01081487058(65)

log(𝑦2015) = 7.240901084

𝑦(2015) = 17′414,102

La población estimada del Ecuador para el año 2015 será aproximadamente de

17’414,102 de habitantes según la ecuación logarítmica.

d) Tasa de crecimiento

𝒃 = 𝟏 + 𝒊

𝒊 = 𝒃 − 𝟏

𝒊 = 1.025214808 − 1

𝒊 = 0.025214808

La población del Ecuador ha mantenido

Un crecimiento anual acumulativo del 2.52% desde el año 1950 hasta el 2010.


92

Ejercicio No. 3: Método de regresión lineal para calcular la proyección

de la demanda

Datos históricos de las familias que tienen compromisos sociales en el cantón Chunchi,

información importante para realizar la proyección al año 2020.

Tabla 0.13 Regresión lineal para calcular la proyección de la demanda

AÑO Y (DEMANDA ) X1 X1, Y1 X2

2011 1.342 1 1.342 1

2012 1.357 2 2.714 4

2013 1.369 3 4.107 9

2014 1.386 4 5.544 16

2015 1.397 5 6.985 25

6.851 15 20.692 55 Fuente: Libro de actas Iglesia Santo Domingo de Guzmán - Chunchi, Distrito de Educación Alausí – Chunchi

(2016).

En el cuadro anterior, “Y” representa el total de familias que tuvieron actos celebrativos

desde el 2011 al 2015; mientras que X1, representa las sucesiones de cada uno de los años.

Con los estos datos se procede a calcular la demanda proyectada aplicando las siguientes

fórmulas:

yi = n +i Xi

Yi Xi =xi o+Xi2i

3) Yi = o + i Xi

Reemplazando valores se tiene:

1) Ecuación objeto de cálculo:

yi =

+ iXi

YiXi = xi Xi2i

6.851 = 5 + 15 i

20.692 = 15 + 55 i


93

Por eliminación de ecuaciones se obtiene:

2) Cálculo de i:

x

x

x

x

Reemplazandoi en 1

3) Cálculo

yi = n +i Xi

6.851 = 5 + 208,5

o = 6.851

-

209

5

o =

6.643

5

o =

1.329

Aplicando fórmula 3 se obtiene la demanda proyectada para los siguientes cinco años (2016 –

2020):

Yi = o + i Xi

4) Cálculo de la demanda proyectada 2016

Yi = oi

Yi = 1.329 + 83,4

Yi = 1.412


94


Yi = oi

Yi = 1.329 + 97,3

Yi = 1.426


Yi = o i

Yi = 1.329 + 111,2

Yi = 1.440

7)

Cálculo de la demanda proyectada 2019

Yi = oi

Yi = 1.329 + 125,1

Yi = 1.454


Yi = oi

Yi = 1.329 +

139

Yi = 1.468

Resumen de la Demanda Proyectada al 2020:

Y6 = 1.329 + (13,9 * 6) = 1.412 ► 2016

Y7 = 1.329 + (13,9 * 7) = 1.426 ► 2017

Y8 = 1.329 + (13,9 * 8) = 1.440 ► 2018

Y9 = 1.329 + (13,9 * 9) = 1.454 ► 2019

Y10 = 1.329 + (13,9 * 10) = 1.468 ► 2020

95

Titular: Los precios se estancan en EE.UU. y dejan la inflación en 1,6 %

“Los precios de bienes y servicios se mantuvieron sin cambios en junio en estados

unidos, con lo que la inflación interanual se redujo hasta 1,6 %, lo que la aleja un

poco más del objetivo de 2 % marcado por la reserva federal (fed).

Tras un leve aumento en abril y una ligera caída en mayo, el índice de precios al

consumo (IPC) se mantuvo invariable en junio debido en buena parte a la caída de los

precios de la energía y de los vehículos usados, según los datos proporcionados hoy

por el Departamento de Trabajo estadounidense. El índice está, además, muy lejos del

2,7 % que alcanzó apenas cuatro meses antes, en febrero, cuando llegó a su mayor

nivel en cinco años.

El dato se aleja del objetivo del 2 % marcado por la Fed, cuya presidenta, Janet Yellen,

reconoció esta semana que hay incertidumbre en torno a la inflación, pese a que el

desempleo se encuentra en 4,4 %, el consumo sigue aumentando y el crecimiento

económico moderado continuará durante 2017” (Agencia EFE, 2017)

Números índices

UNIDAD CUATRO

96


OA1 Conocer, distinguir, analizar, interpretar y evaluar los números índices y los cambios que producen en un artículo o situación en particular entre dos periodos.

OA2 Identificar las bases teóricas de los números índices y aplicarlas de manera científica en el cálculo de los números índices.

OA3 Desarrollar aplicaciones prácticas de los números índices, especificando las ventajas y desventajas resultantes.

Para qué sirve la unidad Cuatro.


En la administración.- Facilitan la interpretación y análisis de los resultados

del tratamiento de la información para la toma de decisiones.

En la contabilidad.- Permite la implementación de mecanismos de

seguimiento y control de datos estadísticos relacionados con la información

financiera.

En sistemas de información.- Favorece la interpretación y análisis de la

modelación estadística orientados al análisis comparativo de la información.

En el campo personal:

Orientan el análisis interpretativo de la información estadística

resultante del tratamiento de la información comparativa de datos.

ALCANCE DE LA UNIDAD CUATRO

Unidad Cuatro: Número Índices

97

Series de tiempo

Cuando un conjunto de datos se lo relaciona con el tiempo de manera secuencial,

el producto resultante es una “serie cronológica” de la cual se derivan, a más de la

tendencia, algunos indicadores estadísticos denominados números índices.

Números índices

Valores numéricos asociados a una serie cronológica de datos estadísticos.

Clasificación de los números índices

Índice de crecimiento:

Indica el número de veces que se repite un valor comparado con otro y se

obtiene dividiendo el valor del año n+1 para el valor del año n.

𝑰𝑪 =𝑽𝒏 + 𝟏

𝑽𝒏

Ejemplo:

Años

Vn+1 Vn

390 275

𝐼𝐶 =390

275

𝑰𝑪 = 𝟏, 𝟒𝟐

Interpreta el número de veces que se repite el valor 390 con

respecto al valor 275.


Números índices:

Conjunto de indica-

dores estadísticos

resultantes de una serie cronológica

de datos relaciona-

dos con el tiempo de

manera secuencial


98

Índice promedio de crecimiento

Para conocer índice promedio de crecimiento para una serie dada, se

plantea la siguiente fórmula:

𝑰𝑷𝑪 =

𝑽𝒏𝟏𝑽𝒏𝟎

+ 𝑽𝒏𝟐𝑽𝒏𝟎

+𝑽𝒏𝟑𝑽𝒏𝟎

+𝑽𝒏𝟒𝑽𝒏𝟎

+ ⋯𝑽𝒏𝒊

𝑽𝒏(𝒊−𝟏)

𝒏 − 𝟏

Donde:

𝑽 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝒏 = 𝑎ñ𝑜𝑠

Ejemplo:

𝑰𝑷𝑪 = 𝚺(

𝟏𝟐𝟓𝟏𝟎𝟎) + (

𝟏𝟔𝟔𝟏𝟐𝟓

) + (𝟏𝟖𝟎𝟏𝟔𝟔) + (

𝟐𝟏𝟒𝟏𝟖𝟎)

𝟒

𝑛 = 5 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 )

𝑛 = 𝑛 − 1

𝑛 = 5 − 1

𝒏 = 𝟒

𝐼𝑃𝐶 = 1,25 + 1,33 + 1,08 + 1,19

4

𝐼𝑃𝐶 = 4,85

4

𝑰𝑷𝑪 = 𝟏, 𝟐𝟏

Interpreta el valor promedio de crecimiento de la serie estadística en

referencia.

Años 2XX-4

(𝒏𝟎)

20XX-3

(𝒏𝟏)

20XX-2

(𝒏𝟐)

20XX-1

(𝒏𝟑)

20XX

(𝒏𝟒)

Valor 100 125 166 180 214

Clasificación de los

números índices:

Índice de creci-miento

Índice promedio

de crecimiento

Índices de base

100

Índice de Laspey-

res

Índice de Paashe


99

Proyecciones

Si se desea obtener valores estimados futuros para la serie, simplemente al

último dato observado multiplicar por el coeficiente 1,21 y el nuevo valor

por el mismo coeficiente y así en forma sucesiva.

Años Cálculo Valor

20XX4 … 214,00

20XX5 214 x 1,21 258,94

20XX6 258,94 x 1,21 313,32

20XX7 313,32 x 1,21 379,12

20XXn … …

Tasa de crecimiento

Se refiere al crecimiento expresado en porcentaje y se obtiene restando

el índice de crecimiento menos 1.

𝑇𝐶 = 𝐼𝐶 − 1

𝑇𝐶 = 1,42 − 1

𝑇𝐶 = 0,42 ∗ 100

𝑻𝑪 = 𝟒𝟐 %

Interpreta el crecimiento de una serie estadística en términos

porcentuales.

Tasa promedio de crecimiento

Con el mismo razonamiento anterior, restamos el índice promedio de

crecimiento menos 1.

𝑇𝑃𝐶 = 𝐼𝑃𝐶 − 1

𝑇𝐶 = 1,21 − 1

𝑇𝐶 = 0,21 ∗ 100

𝑻𝑪 = 𝟐𝟏 %

Interpreta el crecimiento promedio de una serie estadística en términos

porcentuales.


100

Índices de base 100

Es el coeficiente que se obtiene para cada valor observado respecto de uno

de los valores de la distribución o serie tomada como base; por tanto, éste

último equivaldrá a 100 como porcentaje o 1 como coeficiente.

Para comprender la dinámica de una serie cronológica, en muchos casos es

necesario comparar los datos respecto del valor de un año de la serie,

haciéndolo este valor equivalente a 100; y de esa manera, todos los datos

tendrán significación dividiendo cada uno de ellos par la base 100.

Ejemplo:

Año base: 20XX0

Años Valor (%) Índices

20XX0 1.500 100 1,00

20XX+1 1.750 134 1,34

20XX+2 2.128 175 1,75

20XX+3 2.750 200 2,00

20XX+4 2.975 245 2,45

Índice de Laspeyres

Expresa la relación existente entre cantidades y precios o dos características,

comparando la variación del precio real de cada año y la cantidad del año

base, respecto de la cantidad y precio del año base.

La fórmula es la siguiente:

𝑰𝑳 = 𝚺𝑸𝟎 𝑷

𝚺𝑸𝟎 𝑷𝟎

Ejemplo:

Opción 𝑸𝟎 𝑷𝟎 𝑷 𝑸

A 150 80 95 170

B 245 190 210 280


101

C 310 290 300 320

𝐼𝐿 = Σ𝑄0 𝑃

Σ𝑄0 𝑃0

𝐼𝐿 =(150 𝑥 95) + (245 𝑥 210) + (310 𝑥 300)

(150 𝑥 80) + (245 𝑥 190) + (310 𝑥 290)

𝐼𝐿 =14.250 + 51450 + 93.000

12.000 + 46.550 + 89,900

𝐼𝐿 =158.700

148.450

𝑰𝑳 = 𝟏, 𝟎𝟔𝟗

Interpreta la variación promedio de los precios de cada año respecto de las

cantidades y precio del año base.

Índice de Paashe

Expresa la relación existente entre cantidades y precios o dos características,

comparando la variación de cantidades y precios reales de cada año,

respecto de la cantidad de cada año y el precio del año base.

La fórmula es la siguiente:

𝑰𝑷 = 𝚺𝑸𝑷

𝚺𝑸𝑷𝟎

En el ejemplo anterior:

𝐼𝑃 = Σ𝑄𝑃

Σ𝑄𝑃0

𝐼𝑃 = (170 𝑥 95) + (280 𝑥 210 ) + (320 𝑥 300)

(170 𝑥 80) + (280 𝑥 190 ) + (320 𝑥 290)


A 150 80 95 170

B 245 190 210 280

C 310 290 300 320


102

𝐼𝑃 = 16150 + 58800 + 96000

13600 + 53200 + 92800

𝐼𝑃 = 170950

159600

𝑰𝑷 = 𝟏, 𝟎𝟕

Interpreta la variación promedio de los precios y cantidades de cada

año respecto al precio del año base y las cantidades de cada año.


103

1. ¿Qué son los números índices?

Son un conjunto de indicadores estadísticos, resultantes de una “serie cronológica”

de datos relacionados con el tiempo de manera secuencial.

2. ¿Qué es una serie cronológica?

Es un conjunto de datos que tienen relación con el tiempo de manera secuencial, de

la cual se derivan, a más de la tendencia, algunos indicadores estadísticos

denominados números índices..

3. Mencione la clasificación de los números índices

Índice de crecimiento;

Índice promedio de crecimiento;

Índices de base 100;

Índice de Laspeyres; y,

Índice de Paashe.

4. Escriba las fórmulas de cálculo e interprete el significado de los siguientes

números índices:

Índice de crecimiento

𝐼𝐶 =𝑉𝑛 + 1

𝑉𝑛


𝐼𝑃𝐶 =

𝑉𝑛1

𝑉𝑛0 +

𝑉𝑛2

𝑉𝑛0 +

𝑉𝑛3

𝑉𝑛0 +

𝑉𝑛4

𝑉𝑛0 + ⋯

𝑉𝑛𝑖

𝑉𝑛(𝑖−1)

𝑛 − 1

EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES


104


Se debe comparar los datos respecto del valor de un año de la serie

haciéndolo este valor equivalente a 100 y por lo tanto todos los datos

tendrán significación dividendo cada uno de ellos par la base 100.



Σ𝑄0 𝑃0

Índice de Paashe


Σ𝑄𝑃0



105

Índice de crecimiento:

𝐼𝐶 =𝑉𝑛 + 1

𝑉𝑛

𝐼𝐶 =290

160

𝐼𝐶 = 1,81

Interpreta el número de veces que se repite el valor 290 con respecto al

valor 160.


𝐼𝑃𝐶 =

𝑉𝑛1𝑉𝑛0

+ 𝑉𝑛2𝑉𝑛0

+𝑉𝑛3𝑉𝑛0

+𝑉𝑛4𝑉𝑛0

+ ⋯𝑉𝑛𝑖

𝑉𝑛(𝑖−1)

𝑛 − 1

𝑉 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟

𝑛 = 𝑎ñ𝑜𝑠

𝐼𝑃𝐶 = Σ(

150120) + (

210150

) + (250210) + (

300250

)

4

𝑛 = 5 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 )

𝑛 = 𝑛 − 1

𝑛 = 5 − 1

𝑛 = 𝟒

Años

Vn+1 Vn

290 160

Años 20XX-4

(𝒏𝟎)

200XX-3

(𝒏𝟏)

20XX-2

(𝒏𝟐)

20XX-1

(𝒏𝟑)

20XX

(𝒏𝟒)

Valor 120 150 210 250 300


106

𝐼𝑃𝐶 = 1,25 + 1,40 + 1,19 + 1,20

4

𝐼𝑃𝐶 = 5,04

4

𝐼𝑃𝐶 = 1,26


referencia.

Proyecciones:

Años Cálculo Valor

20XX4 … 300,00

20XX5 300 x 1,26 378,00

20XX6 278,00 x 1,26 476,28

20XX7 476,28 x 1,26 600.11

20XXn … …

Tasa de crecimiento

𝑇𝐶 = 𝐼𝐶 − 1

𝑇𝐶 = 1,81 − 1

𝑇𝐶 = 0,81

𝑇𝐶 = 81 %


referencia.

Tasa promedio de crecimiento

𝑇𝑃𝐶 = 𝐼𝑃𝐶 − 1

𝑇𝐶 = 1,26 − 1

𝑇𝐶 = 0,26 ∗ 100

𝑇𝐶 = 26,00 %

Interpreta el valor promedio de crecimiento en porcentaje de la serie

estadística en referencia.


107


Año base: 20XX2

Años Valor (%) Índices

2011 1.000 100 1

20XX2 1.750 110,30 1,10

2013 2.000 116 1,16

2014 2.150 119,20 1,20

2015 2.775 210 2,10

Representa los coeficientes para cada valor observado respecto de uno de

los datos estadísticos observados.



A 100 70 95 160

B 235 170 190 220

C 290 200 210 270


Σ𝑄0 𝑃0

𝐼𝐿 =(100 𝑥 95) + (235 𝑥 190) + (290 𝑥 210)

(100 𝑥 70) + (235 𝑥 170) + (290 𝑥 200)

𝐼𝐿 =9.500 + 44.650 + 60.900

7.000 + 39.950 + 58,000

𝐼𝐿 =115.050

104.950

𝐼𝐿 = 1,10

Interpreta la relación existente entre cantidades y precios o dos

características, comparando la variación del precio real de cada año y la

cantidad del año base.

Índice de Paashe

Manteniendo los datos anteriores se obtiene lo siguiente:


108


A 100 70 95 160

B 235 170 190 220

C 290 200 210 270


Σ𝑄𝑃0

𝐼𝑃 = (160 𝑥 95) + (220 𝑥 190 ) + (270 𝑥 210)

(160 𝑥 70) + (220 𝑥 170 ) + (270 𝑥 200)

𝐼𝑃 = 15.200 + 41.800 + 56.700

11.200 + 37.400 + 54.000

𝐼𝑃 = 113.700

102.600

𝑰𝑷 = 𝟏, 𝟏𝟏

Interpreta la relación existente entre cantidades y precios o dos

características, comparando la variación de cantidades y precios reales de

cada año respecto de la cantidad de cada año y el precio del año base.


109

Anexos,

Anexo I: Criterios de Pares Académicos


110


111


112


113


114

Anexo II: Urkund Analisis Result


115


116


117


118


119


120


121

Anexo III: ISBN - Cámara Ecuatoriana del Libro


122

Derechos de Autor – Instituto de Ecuatoriano de Propiedad

Intelectual – IEPI


123

Referencias de consulta:

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didÁctica de la estadÍstica descriptiva¡ctica de la... · norma peñafiel miranda . iii ... no...

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