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Introducción.

Los determinantes fueron introducidos en

Occidente a partir del siglo XVI, esto es,

antes que las matrices, que no aparecieron

hasta el siglo XIX.

Curiosamente el japonés Kowa Seki y el

alemán Leibniz otorgaron los primeros

ejemplos casi simultáneamente.

Otras contribuciones importantes se deben

a Cramer, a Vandermonde y a Laplace,

entre los años 1750 y 1775.

Cayley es el inventor de la notación de los

determinantes mediante barras verticales y

establece la fórmula para el cálculo de la

inversa.

Tuvo su origen en la resolución de sistemas

de ecuaciones lineales, posteriormente se

tiene otras aplicaciones como por ejemplo

las ecuaciones de ciertas curvas pueden

escribirse en forma de determinante, en la

geometría analítica (cálculo del área de una

región triangular), en el cálculo del

volumen, etc.

Determinante de una matriz cuadrada

La determinante es una función que hace

corresponder a una matriz cuadrada un

único escalar.

Para una matriz de orden dos. �� �� �� � �� � ��

Ejemplo. �2009 20082008 2007� �

�� �� �������� � ��� �

Para una matriz de orden tres.

Ejemplo.

�2 3 410 0 51 6 17� �

�20 4 410 0 512 0 17� �

Para una matriz de orden n. (menores

complementarios.

Este método permite expresar el

determinante como una sumatoria de

determinantes cuyo orden ahora será uno

menos.

Ejemplo.

���� ��� ������ ��� ������ ��� ���� �

Aplicando menores complementarios con

respecto a la primera fila ( �� ) se tiene

Desarrolle aplicando menores

complementarios.

�4 2 61 3 57 8 9� �

Propiedades.

1) |�. �| � |�|. |�| , � ! � son matrices

cuadradas del mismo orden.

2) |�"| � |�| #√2 √5%7 8 # � #√2 7√5% 8# �3 4 56 7 89 2 1� � �3 6 94 7 25 8 1� 3)|&�| � &'|�| , A es de orden n.

|5�| �------- , A es de orden 2

|2�| �------- , A es de orden 3

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|�(| � ------ , A es de orden 8

4) Si A es una matriz triangular, entonces el

determinante es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal.

�3 40 150 7 80 0 2 � � -----------

�1 0 00 1 00 0 1� � -----------

5) Si la matriz cuadrada A tiene una fila o

columna de elementos todos ellos son

ceros, entonces el determinante es cero.

�0 34 150 74 860 13 21� � ------

6) Si los elementos de una fila (columna) de

una matriz se multiplican por un número,

el determinante de la matriz queda

multiplicado por dicho número.

2. �4 53 7� � � � 4. �2 �1 51 3 67 8 9� � � � 7) Si en una matriz cuadrada se permutan

dos filas (columnas), su determinante

cambia de signo.

�8 �1 52 3 67 8 9� � ) * � � � �)

�6 9 354 1 112 0 12� � & * � � � �) 8) Si a los elementos de una línea se le

suman los elementos de otra paralela

multiplicados previamente por un nº real el

valor del determinante no varía.

�22 18 3010 9 1526 18 49� � ) * � � � )

9) Si dos filas o columnas de una matriz

cuadrada son iguales o múltiplo que la

otra, el determinante es cero.

� 3 5 3√2 7 √28 0 1 � �

�22 42 6234 17 7711 21 31� �

10) Determinante de Vandermonde.

Presenta una progresión geométrica en

cada fila, recibe dicho nombre en honor al

matemático francés Alexandre-Théophile

Vandermonde.

� 1 1 1� � ��� �� ��� �

++ 2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1

a b c d

a b c d

a b c d

++ �

Matrices por bloques.

* Sean I, O (matriz nula), P, B, C matrices

de orden ,.

� - �. /� � |/| ó � - .( /� � |/| Ejemplo.

+++ 1 0 0 6 9 5

0 1 0 7 8 9

0 0 1 3 4 6

0 0 0 2 0 0

0 0 0 12 3 0

0 0 0 1 22 14−+++

�

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* Sean A, B, C, D matrices de orden , , 1

no singular.

Entonces: �� 0( 2� � �� �0 2� � |�|. |2| Demostración.

3� �( 24 � 3� .( - 4 . 3 - �5�. �2 2 � (�5��4

Tomando determinante se tiene:

�� �( 2� � �� .( - � . # - �5�. �2 2 � (�5��# Ejemplo.

++2 1 5 1

0 1 3 4

0 2 1 2

0 2 2 1−++ �

* Sean A, B, matrices de orden ,

� � ��� �� � |� 6 7�|� Ejemplo.

++a b c d

b a d c

c d a b

d c b a

− −− −− −

++ �

Aplicaciones de los determinantes.

Una aplicación de los determinantes en la

geometría analítica.

Si P�(x�,y�), P�(x�, y�), y P�(x�,y�) son tres

puntos distintos en un plano de

coordenadas cartesianas, el área A del

triángulo P�, P�, P� , ignorando el signo

algebraico, está dada por

� � 12 . ��� !� 1�� !� 1�� !� 1�

Si los tres puntos son colineales, el valor

del determinante es cero.

Matriz inversa.

La inversa de la matriz cuadrada �

denotada por �5�, se define:

�. �5� � -

La matriz cuadrada � con �5� es

conmutable.

Ejemplo.

1. Halle la inversa de � � 3 3 4�2 �34

2. Halle <�. �"=5� , si � � 31 �32 �14

3. Si � � >� �? ����? 0���? � �? 00 0 1@, halle �5�

Polinomio característico.

El polinomio característico de la matriz

cuadrada � , está definido por:

/<A= � |� � �-| EL grado P es numéricamente igual al

orden A.

Ejemplo.

1. Halle el polinomio característico de � � 33 12 44.

2. Teniendo en cuenta que

B � 32� ��C ���2C���2C 2����C4 , halle B�

3. Sea D � 30 �?? 0 4, determine DE