revista determinante jacobiana
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La revista abarca un contenido de matrices, que incluye definiciones, ejercicios y explicaciones acerca de operaciones de matrices. Además de un contenido entretenido para poner en práctica los conocimientos adquiridos.TRANSCRIPT
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Guatemala, septiembre de 2012.
ÍNDICE:
Pág.
Tipos de Matrices………………… 2
Operaciones de Matrices………… 4
Combinación Lineal de Matrices.. 7
Espacio Generado y Conjunto
Generador………………………... 8
Determinantes……………………. 9
o Método de las Diagonales.......... 9
o Expansión de Laplace………… 10
o Por medio de las Operaciones
de Renglón y el Teorema de
una Matriz Triangular………... 11
Ley de Cramer…………………… 12
Matriz Adjunta…………………... 13
Capsula de Entretenimiento…….. 14
SUMARIO
En la primera sección del contenido se abarcan los diferentes tipos de matrices, colocando un ejemplo de cada uno para una fácil comprensión. Además se aprenderá a realizar los diferentes cálculos con matrices, desde sumas hasta la multiplicación. Realizar combinaciones lineales y generar espacios. Siguiendo con el contenido de matrices, se hará énfasis al cálculo de sus determinantes y los diferentes métodos para hacerlo. Se explicará el método de las diagonales y también por cofactores. Finalmente se desarrollará la regla de Cramer, para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La cual se apoya a su vez en las determinantes. Finalmente se hará un breve desarrollo de la matriz adjunta. Entre otras partes que contiene la revista, se busca facilitar el aprendizaje utilizando juegos o incluso bromas. Que también ayuden a tener un marco completo del tema de matrices.
Universidad del Valle Algebra Lineal Sección 10 -Editor: Roberto Camposeco -Coordinador de Redacción: José Castillo -Redacción: Alejandro Gracias, Andrés Morales, José Castillo, Roberto Camposeco.
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TIPOS DE MATRICES
Donde: i = Renglón, j = Columna
- Matriz Cuadrada: i = j
Ejemplo:
- Matriz Diagonal: no son todas cero pero si son cero. (Únicamente para
matrices cuadradas)
Ejemplo:
- Matriz Escalar: son iguales y las demás entradas son cero. (Únicamente para
matrices cuadradas)
Ejemplo:
- Matriz Identidad: en donde son iguales a 1 y las demás entradas son cero.
(Únicamente para matrices cuadradas)
Ejemplo:
- Matriz Cero: Todas las entradas son cero. (No es únicamente para matrices
cuadradas)
Ejemplo:
- Matriz Transpuesta: Se cambian los renglones por las columnas. .
Ejemplo: Si
entonces,
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HISTORIA
El primero en utilizar el término de matriz fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en 1850. Sin
embargo, viene siendo aplicada desde tiempos de la
antigua civilización china para resolver ecuaciones lineales. Puesto que se cree que las matrices se
conocían gracias a su aplicación por la cultura árabe,
que a su vez las habrían obtenido de los matemáticos y astrónomos indios. Estos últimos habrían tomado la
idea de los “cuadrados mágicos” de la cultura china.
- Matriz Simétrica: Es simétrica cuando o .
Ejemplo: Si
entonces,
por lo tanto A es simétrica.
- Matriz Anti simétrica: Es anti simétrica cuando o .
Ejemplo: Si
entonces,
por lo tanto A es
anti simétrica.
- Matriz Triangular Superior: Todas las entradas donde i > j son cero. En la
diagonal pueden darse números o cero. (Únicamente para matrices cuadradas)
Ejemplo:
- Matriz Triangular Inferior: Todas las entradas donde i < j son cero. En la
diagonal pueden darse números o cero. (Únicamente para matrices cuadradas)
Ejemplo:
James J. Sylvester
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OPERACIONES DE MATRICES
1. Suma y Resta
Para toda matriz A y B que sean de igual tamaño
A ± B = [ aij ± bij]
Ejemplo:
Si
y
2. Multiplicación por un Escalar
Está definida por c A = [c aij]
Ejemplo:
Si
3. Multiplicación de Matrices
IMPORTANTE. Para poder multiplicar dos matrices deben cumplir con que:
Son iguales
Recuerda que… Todas las operaciones de matrices se operan entre la misma componente, por ejemplo: a21 con b21.
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¿Cómo multiplicar?
Cada cij es igual al resultado del producto escalar del renglón “i” de la matriz A con la
columna “j” de B.
Ejemplo:
Si
y
Análisis: … Es posible realizar la multiplicación.
Recuerda que… La multiplicación entre matrices no es conmutativa. A x B ≠ B x A
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Ejemplo:
Si
y
Análisis: … No es posible realizar la multiplicación.
4. Potencia de Matrices
En esta operación se debe cumplir con que sean matrices de tipo cuadradas. Donde An = A
x A x A … An
Se define que:
A0 = Matriz Identidad (In)
A1 = A
Ejemplo:
si
entonces,
Ejemplo:
si
entonces
IMPORTANTE. En cuanto a matrices se refiere, no implica que:
5. Traza de una Matriz
Se define como , donde A es una matriz cuadrada.
Ejemplo: si
entonces
Recuerda que… La traza dará siempre como resultado un escalar.
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COMBINACIÓN LINEAL DE MATRICES
Se define como la asignación de un escalar para cada matriz: c1A1 + c2A2 + … + ckAk
1. Independencia Lineal:
Se dice que el conjunto {A1, A2, .. Ak} es linealmente independiente si existen escalares c1,
c2, .. ck tales que c1A1 + c2A2 + … + ckAk = 0. Es decir, se tiene que todos los escalares son
cero (ci = 0). Basta con un escalar ci ≠ 0 para que no sea l.i.
2. Dependencia Lineal:
Se dice del conjunto {A1, A2, .. Ak} que no es linealmente independiente. Es decir, existe
un escalar ci ≠ 0.
Ejemplo:
Si
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = 0
R2-2R1
R3-2R1
R4+R1
R4+3R2
1/10R3
R4-23R3
-5/2 c4 = 0 c3 -1/2 c4 = 0 -c2 + 8 c3 - 8 c4 = 0 c1 + 2 c2 – 4 c3 +5 c4 = 0
c4 = 0 c3 = 0 c2 = 0 c1 = 0
R// el conjunto {A1, A2, A3, A4} es linealmente independiente.
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ESPACIO GENERADO Y CONJUNTO GENERADOR
Sea A un espacio vectorial y {A1, A2,… Ak} vectores de V. El conjunto que es formado
por todas las posibles combinaciones lineales de los vectores {A1, A2,… Ak} es llamado
“espacio generado” por A o Gen {A1, A2,… Ak}.
Si A= Gen {A1, A2,… Ak}, se dice que {A1, A2,… Ak} genera a A, dicho de otra forma, es
el conjunto generador de A.
Ejemplo:
Determine si el conjunto {A1, A2,.. Ak} genera el espacio M22.
Si
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 = M22
+
+
+
=
De donde se obtienen cuatro ecuaciones para escribir la matriz aumentada a continuación:
C1 + 2c2 - 4c3 + 5c4 = a
2C1 + 4c2 + 0c3 + 2c4 = b
2C1 + 3c2 + 2c3 + 5c4 = c
-C1 + c2 + 3c3 + 5c4 = d
R2-2R1
R3-2R1
R4+R1
R4+3R2
1/10R3
R4-23R3
R// Se puede observar que aparecen todas constantes “a,b,c,d” para las posibles
combinaciones lineales del conjunto {A1, A2,.. Ak}, por lo que sí genera el espacio M22.
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Para una matriz cuadrada A[n,n], el determinante de A, abreviado det(A), es un escalar
definido como la suma de n! términos involucrando el producto de n elementos de la
matriz, cada uno proveniente exactamente de una fila y columna diferente. Además, cada
término de la suma está multiplicado por -1 ó +1 dependiendo del número de
permutaciones del orden de las columnas que contenga. (Miller, 2008) El determinante de
una matriz 2 × 2, como el área del paralelogramo definido por sus vectores fila. El
determinante de una matriz 3 × 3 es el volumen del paralelepípedo determinado por sus
vectores filas.
1. Método de diagonales (Regla de Sarrus)
El escalar puede obtenerse mediante la suma de los productos de los elementos de la
diagonal principal y sus dos paralelas menos la suma de los productos de los elementos de
la diagonal secundaria y sus dos paralelas. De la siguiente manera:
Diagonal principal (signo positivo) Diagonal secundaria (signo negativo)
Det (A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12 EJEMPLO:
Resuelva la siguiente ecuación
(2*x*0)+ (0*2*4) + (1*1*x)
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(2*x*0)+ (0*2*4) + (1*1*x) – (1*x*4) – (2*2*x) – (0*1*0)
det A = (2*x*0)+ (0*2*4) + (1*1*x) – (1*x*4) – (2*2*x) – (0*1*0 ) = 1
x =
2. Teorema de expansión de Laplace
Sea una matriz A nxn , donde n 2, llamaremos MENOR COMPLEMENTARIO A(i,j) al
determinante de la matriz de tamaño (n - 1) x (n - 1) que resulta de suprimir la fila i y la
columna j, denotado como Mij (A). De esta forma se define COFACTOR (i,j) de una
matriz A nxn como el menor correspondiente afectado de signo, es decir:
Expansión por cofactores a lo largo del i-ésimo renglón
Expansión por cofactores a lo largo de la j-ésima columna
EJEMPLO:
Calcule: , de la matriz:
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3. Por medio de las Operaciones de Renglón y el Teorema de la Determinante de
una Matriz Triangular
Teorema: “El determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas sobre su
diagonal principal”
Para esto es necesario llevar la matriz a la forma escalonada reducida, posteriormente se
deben seguir ciertas propiedades con los resultados obtenidos. Las propiedades son las
siguientes:
Sea A una matriz cuadrada:
a. Si A tiene un renglón (o columna) cero, entonces det A = 0.
b. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (o columnas) de A, entonces
det B = – det A.
c. Si A tiene dos renglones (o columnas) idénticos,entonces det A = 0.
d. Si B se obtiene al multiplicar un renglón (o columna) de A por un escalar k, entonces
det B = k det A.
e. Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (columna) de C sea la suma
de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces det C = det A + det B.
f. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro renglón
(columna), entonces det B = det A.
Donde A es la matriz original y B la matriz escalonada reducida.
Ejemplo:
Sea la matriz
se debe llevar a la forma escalonada reducida.
Ahora es necesario aplicar las propiedades según las operaciones de renglón
realizadas.
La primera operación elaborada no modifica la determinante a encontrar según las
operaciones planteadas. Por otro lado, la segunda operación de renglón indica que
se debe multiplicar la determinante de A por 5 y por 9. Por último, la tercera
operación no modifica la determinante.
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Por lo tanto:
La determinante de B es la multiplicación de las entradas sobre la diagonal
principal de la matriz triangular superior obtenida.
La determinante de A es:
R// La determinante de la matriz A es 33.
LEY DE CRAMER
La regla de cramer es muy útil en distintas aplicaciones, una de las aplicaciones que tiene
es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de n variables, en términos de
determinantes. Aunque presenta gran aplicación para la solución de sistemas de
ecuaciones, se limita a ofrecer un resultado optimo para matrices de 2x2 y 3x3, más allá de
estas matrices el cálculo mediante este método resulta costoso e ineficiente.
Notación:
Si se tiene una matriz de nxn y un vector b que exista en Rn, sea Ai(b) que denota la matriz
obtenida al sustituir la i-esima columna de a por b
Si A es una matiz de nxn invertible y sea b un vector en Rn. Entonces la solución para x en
el sistema Ax = b se define como:
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MATRIZ ADJUNTA
Una matriz adjunta es aplicable solo matrices cuadradas, se define como la matriz
transpuesta de la matriz de cofactores.
Notación:
La matriz adjunta se denota de la siguiente manera:
Uno de los principales intereses que se tienen en la matriz adjunta es la capacidad de poder
calcular la matriz inversa con pasos simples, utilizando el método de las determinantes.
Esto en base a la siguiente expresión:
El cálculo de la matriz adjunta se realiza con facilidad cuando la matriz es de 2x2. Se
calculan los cofactores:
Para las de 3x3 se realiza el mismo cálculo de los cofactores primero.
Algunas propiedades de esta matriz son:
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HISTORIA
Arthur Cayley, matemático inglés quien aportó en
gran medida acerca de la teoría de matrices. En 1858 publica su teoría, donde explica su definición
de matriz y demuestra algunas operaciones tales
como: la suma de matrices, el producto por un número real, producto entre matrices y la inversa
de una matriz.
CAPSULA DE ENTRETENIMIENTO
SOPA DE LETRAS
Encuentre los diferentes tipos de matrices. (Para las triangulares encuentre “superior” e
“inferior”)
s c e c j j a u y a r b a g
u e e o i b r o i r e p u s
p r c d y u o n n i u d a g
0 p r i m n b p f i c a c a
r u b a r c x v e p u i o c
i r n g a t b v r r a p z i
r f a o b c a p i m d o p r
o g a n b e i m o a r g w t
r a r a a d o r d l a c s e
o h q l u z n i b r d c q m
i b s i m e t r i c a c x i
r n o o i n p a k r t g m s
e m t p e n d l i t n e d i
f q y d i a g a n o l y b t
n s i q o k j c i m c c a n
i t a t r a n s p u e s t a
a i u u h a o e e c a f a t
Arthur Cayley