funciones multilineales y determinante
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FUNCIONES MULTILINEALES Y DETERMINANTES
En esta seccion, veremos una perspectiva adecuada para estudiar los determinantes. Es-tudiaremos funciones multilineales alternadas sobre un cuerpo K. Para nuestros propositos,usaremos K = R o bien K = C.
DEFINICION 1: Sea V un espacio vectorial sobre K. Diremos que la funcion
M : V × V × · · · × V︸ ︷︷ ︸m veces
→ K
es una forma m-lineal o multilineal de grado m sobre V ssi M(a1, a2, . . . , ai, . . . , am) es linealcomo funcion de cada ai, i = 1, 2, . . . , m, cuando los otros aj, j 6= i, se dejan fijos; esto es, sipara cada i
M(a1, a2, . . . , ai + αai, . . . , am) = M(a1, a2, . . . , ai, . . . , am) + αM(a1, a2, . . . , ai, . . . , am) ,
donde α ∈ K.
Ejemplo: Sea M : R3 ×R3 → R definida por
M(~x, ~y) = ~x • ~y , ~x =
x1
x2
x3
, ~y =
y1
y2
y3
, ∈ R3 ,
donde • es el producto punto en R3. Entonces, M es una forma 2-lineal ( o bilineal).
En efecto, fijamos ~y y consideramos ~x, ~x ∈ R3 y α ∈ R. Entonces
M(~x + α~x, ~y) = (~x + α~x) • ~y = ~x • ~y + α(~x • ~y) = M(~x, ~y) + αM(~x, ~y) .
Por otro lado, si fijamos ~x y consideramos ~y, ~y ∈ R3 y α ∈ R, entonces
M(~x, ~y + α~y) = ~x • (~y + α~y) = ~x • ~y + α(~x • ~y) = M(~x, ~y) + αM(~x, ~y) .
2
En general, sea M un forma bilineal en R3 y consideremos ~x, ~y ∈ R3 escritos como combi-nacion lineal de la base canonica, o sea,
~x = x1 · ~e1 + x2 · ~e2 + x3 · ~e3 , ~y = y1 · ~e1 + y2 · ~e2 + y3 · ~e3 ,
entonces M(~x, ~y) = M
(3∑
i=1
xi~ei,
3∑j=1
yj~ej
)=
3∑i=1
3∑j=1
xiyjM(~ei, ~ej).
El analisis anterior es valido para cualquier e.v. con dimension finita. De esta manera, sidim(V ) = n ∈ N y {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , tenemos que para j = 1, 2, . . . , m,existen escalares αij tales que
aj =n∑
i=1
αij · vi .
1
Luego, M(a1, a2, . . . , am) = M
(n∑
i=1
αi1 · vi,
n∑i=1
αi2 · vi, . . . ,
n∑i=1
αim · vi
).
Para evitar confusion con los ındices, utilizaremos i1 como el ındice para la primera suma-toria, i2 para la segunda sumatoria y ası sucesivamente. Ası,
M(a1, a2, . . . , am) = M
(n∑
i1=1
αi11 · vi1 ,
n∑i2=1
αi22 · vi2 , . . . ,
n∑im=1
αimm · vim
).
Como M es multilineal, tenemos
M(a1, a2, . . . , am) =n∑
i1=1
n∑i2=1
· · ·n∑
im=1
αi11 · αi22 · · ·αimmM (vi1 , vi2 , . . . , vim) .
De esta manera, obtenemos el siguiente resultado:
Proposicion 1 : Sea V un espacio vectorial sobreK, con dim(V ) = n ∈ N y sea {v1, v2, . . . , vn}base de V . Entonces, dados zi1,i2,...,im ∈ K, i1, i2, . . . , im ∈ {1, 2, . . . , n}, existe una unica fun-cion multilineal de grado m tal que
M(vi1 , vi2 , . . . , vim) = zi1,i2,...,im , i1, i2, . . . , im ∈ {1, 2, . . . , n} .
Mas aun, si se escribe cada aj como combinacion lineal de la base, aj =n∑
i=1
αij ·vi, entonces
M esta dada por la expresion
M(a1, a2, . . . , am) =n∑
i1=1
n∑i2=1
· · ·n∑
im=1
αi11 · αi22 · · ·αimm · zi1,i2,...,im .
Dem: Analoga al teorema fundamental de las transformaciones lineales.
2
Ejemplo: Encontrar la funcion trilineal M : R2 ×R2 ×R2 → R tal que
M(~e1, ~e1, ~e1) = 1 , M(~e1, ~e1, ~e2) = 0 , M(~e1, ~e2, ~e1) = 1 , M(~e1, ~e2, ~e2) = 3,
M(~e2, ~e1, ~e1) = −1 , M(~e2, ~e1, ~e2) = 1 , M(~e2, ~e2, ~e1) = 3 , M(~e2, ~e2, ~e2) = 4,
donde ~e1 =
(10
), ~e2 =
(01
).
Solucion: Dados a1, a2, a3 ∈ R2, los escribimos en funcion de la base que se esta usando, eneste caso, la canonica.
a1 =2∑
i1=1
αi11~ei1 = α11~e1 + α21~e2 , a2 =2∑
i2=1
αi22~ei2 = α12~e1 + α22~e2
2
a3 =2∑
i3=1
αi33~ei3 = α13~e1 + α23~e2 .
Por otro lado
z1,1,1 = 1 , z1,1,2 = 0 , z1,2,1 = 1 , z1,2,2 = 0 , z2,1,1 = −1 , z2,1,2 = 1 , z2,2,1 = 3 , z2,2,2 = 4 .
Luego, M(a1, a2, a3) =2∑
i1=1
2∑i2=1
2∑i3=1
αi11 · αi22 · αi33 · zi1,i2,i3 . Desarrollando esta suma queda
M(a1, a2, a3) =2∑
i1=1
αi11 ·(
2∑i2=1
2∑i3=1
αi22 · αi33 · zi1,i2,i3
)
= α11 ·2∑
i2=1
2∑i3=1
αi22 · αi33 · z1,i2,i3 + α21 ·2∑
i2=1
2∑i3=1
αi22 · αi33 · z2,i2,i3
= α11α12α13z1,1,1 + α11α12α23z1,1,2 + α11α22α13z1,2,1 + α11α22α23z1,2,2+
= α21α12α13z2,1,1 + α21α12α23z2,1,2 + α21α22α13z2,2,1 + α21α22α23z2,2,2 .
Reemplazando los valores, se obtiene
M
((α11
α21
),
(α12
α22
),
(α13
α23
))= α11α12α13 + α11α22α13 − α21α12α13+
α21α12α23 + 3α21α22α13 + 4α21α22α23 .
2
Finalmente, en el conjunto de las funciones multilineales sobre V , se definen las operacionesde suma y ponderacion por escalar como
(M + M)(a1, a2, .., am) := M(a1, a2, .., am) + M(a1, a2, .., am)
(λ ·M)(a1, a2, .., am) := λ ·M(a1, a2, .., am) , λ ∈ K .
Con estas operaciones, el conjunto de las funciones multilineales sobre V es un espaciovectorial sobre K.
2
3
FUNCIONES MULTILINEALES ALTERNADAS.
Sea M : Kn ×Kn × · · · ×Kn
︸ ︷︷ ︸n veces
→ K una forma n-lineal sobre Kn. Diremos que M es
alternada ssi satisfaceM(~a1,~a2, . . . ,~ai, . . . ,~aj, . . . ,~an) = 0
cada vez que dos vectores ~ai,~aj, i 6= j, sean iguales .
Ejemplo : En R2 la funcion M : R2 ×R2 → R definida por
M
((α1
α2
),
(β1
β2
))= 2(α2β1 − α1β2)
es multilineal(bilineal) alternada.
En efecto, veamos primero que es bilineal. Sean ~α =
(α1
α2
), ~α =
(α1
α2
)∈ R2, ρ ∈ R y
~β =
(β1
β2
)∈ R2 fijo. Por demostrar que M(~α + ρ~α, ~β) = M(~α, ~β) + ρM(~α, ~β).
Por definicion, tenemos que M(~α + ρ~α, ~β) = 2((α2 + ρα2)β1 − (α1 + ρα1)β2). Luego,
M(~α + ρ~α, ~β) = 2(α2β1 − α1β2) + 2ρ(α2β1 − α1β2) = M(~α, ~β) + ρM(~α, ~β).
Analogamente, se demuestra para ~α ∈ R2 fijo, ~β, ~β ∈ R2 y ρ ∈ R,
M(~α, ~β + ρ~β) = M(~α, ~β) + ρM(~α, ~β) .
Por lo tanto, M es bilineal. Ahora veamos que es alternada. Para ello se calcula M(~α, ~α) =2(α2α1 − α1α2) = 0, ∀ ~α ∈ R2.
2
Propiedades
Sea M una funcion multilineal alternada sobre Kn. Entonces
(i) M(~a1,~a2, ..,~ai, ..,~aj, ..,~an) = −M(~a1,~a2, .., ~aj︸︷︷︸i
, .., ~ai︸︷︷︸j
, ..,~an) para todo ~a1,~a2, . . . ,~an ∈
Kn, i 6= j.
Dem: En efecto, de la definicion de multilineal alternada se obtiene
M(~a1,~a2, ..,~ai + ~aj︸ ︷︷ ︸i
, ..,~aj + ~ai︸ ︷︷ ︸j
, ..,~an) = 0 .
4
Pero
M(~a1,~a2, ..,~ai + ~aj︸ ︷︷ ︸i
, ..,~aj + ~ai︸ ︷︷ ︸j
, ..,~an) = M(~a1,~a2, .., ~ai︸︷︷︸i
, .., ~ai︸︷︷︸j
, ..,~an)+
M(~a1,~a2, .., ~ai︸︷︷︸i
, .., ~aj︸︷︷︸j
, ..,~an)+
M(~a1,~a2, .., ~aj︸︷︷︸i
, .., ~ai︸︷︷︸j
, ..,~an)+
M(~a1,~a2, .., ~aj︸︷︷︸i
, .., ~aj︸︷︷︸j
, ..,~an) .
Como M es alternada, M(~a1,~a2, ..,~ai, ..,~ai, ..,~an) = M(~a1,~a2, ..,~aj, ..,~aj, ..,~an) = 0.Por lo tanto,
M(~a1,~a2, ..,~ai, ..,~aj, ..,~an) + M(~a1,~a2, ..,~aj, ..,~ai, ..,~an) = 0
de donde se obtiene el resultado.
2
(ii) M(~a1,~a2, .., α~u + β~v︸ ︷︷ ︸i
, ..,~an) = αM(~a1,~a2, .., ~u︸︷︷︸i
, ..,~an)+βM(~a1,~a2, .., ~v︸︷︷︸i
, ..,~an), para
todo ~aj ∈ Kn, j 6= i, i = 1, 2, . . . , n, ~u,~v ∈ Kn y α, β ∈ K.
Dem: Directa dado que M es multilineal. En particular, si α = β = 0, se obtiene
M(~a1,~a2, .., ~0︸︷︷︸i
, ..,~an) = 0 .
Ademas, cabe notar que si ~v = ~aj, entonces
M(~a1,~a2, .., α~u + β ~aj︸ ︷︷ ︸i
, ..,~an) = αM(~a1,~a2, .., ~u︸︷︷︸i
, ..,~an) .
2
(iii) Si el conjunto {~a1,~a2, . . . ,~an} es l.d., entonces M(~a1,~a2, ...,~an) = 0.
Dem: Como el conjunto es l.d., uno de los vectores, digamos ar, r ∈ 1, 2, ..., n, es
combinacion lineal de los demas. Esto es, ~ar =n∑
j=1j 6=r
ρj · ~aj , ρj ∈ K.
Por lo tanto,
M(~a1,~a2, ..,~ar, ..,~an) =n∑
j=1j 6=r
ρj ·M(~a1,~a2, ..,~aj, ..,~an)︸ ︷︷ ︸0
= 0 .
5
2
Supongamos ahora que M : K2 ×K2 → K es una funcion multilineal alternada. Entoncesescribiendo ~α, ~β ∈ K2, como combinacion lineal de la base canonica, es decir, ~α = α1~e1+α2~e2,~β = β1~e1 + β2~e2, se obtiene
M(~α, ~β) = M(α1~e1 + α2~e2, β1~e1 + β2~e2)
= α1β1M(~e1, ~e1) + α1β2M(~e1, ~e2) + α2β1M(~e2, ~e1) + α2β2M(~e2, ~e2) .
Ademas, de la propiedad (i) se obtiene que
M(~e1, ~e1) = M(~e2, ~e2) = 0 ; M(~e1, ~e2) = −M(~e2, ~e1) ;
por lo tanto,
M(~α, ~β) = (α1β2 − α2β1) ·M(~e1, ~e2) .
O sea, se ha demostrado que dada cualquier funcion multilineal alternada sobre K2, entoncesexiste una constante c ∈ K tal que M(~α, ~β) = c · (α1β2 − α2β1). Mas aun, c = M(~e1, ~e2).
Denotaremos por D2, D2 : K2 ×K2 → K, a la funcion multilineal alternada definida por
D2(~α, ~β) := D2
((α1
α2
),
(β1
β2
)):= α1β2 − α2β1 .
De acuerdo a lo anterior, D2 es la funcion multilineal alternada que satisface D2(~e1, ~e2) = 1.
Estudiemos ahora el caso de funciones multilineales alternadas en K3. Usaremos la siguientenotacion
~α =
α1
α2
α3
, ~β =
β1
β2
β3
, ~γ =
γ1
γ2
γ3
∈ K3 .
Por lo tanto, escribiendo estos vectores como combinacion de la base canonica de K3, sellega a
~α = α1~e1 + α2~e2 + α3~e3 ; ~β = β1~e1 + β2~e2 + β3~e3 ; ~γ = γ1~e1 + γ2~e2 + γ3~e3 .
Luego, dada una funcion multilineal alternada M sobre K3, se obtiene
M(~α, ~β,~γ) = M(α1~e1 + α2~e2 + α3~e3, β1~e1 + β2~e2 + β3~e3, γ1~e1 + γ2~e2 + γ3~e3)
= α1M(~e1, ~β,~γ) + α2M(~e2, ~β,~γ) + α3M(~e3, ~β,~γ)
= α1(β2M(~e1, ~e2, ~γ) + β3M(~e1, ~e3, ~γ)) + α2(β1M(~e2, ~e1, ~γ) + β3M(~e2, ~e3, ~γ))+
α3(β1M(~e3, ~e1, ~γ) + β2M(~e3, ~e2, ~γ))
= α1(β2γ3 − β3γ2)M(~e1, ~e2, ~e3) + α2(−β1γ3 + β3γ1)M(~e1, ~e2, ~e3)+
α3(β1γ2 − β2γ1)M(~e1, ~e2, ~e3) .
6
Ahora, dado ~u =
u1
u2
u3
∈ K3, se define ~u(i) ∈ K2 como el vector que se obtiene de ~u,
sacando la i-esima, componente. Esto es, por ejemplo, ~u(1) =
(u2
u3
), etc ...
Con la incorporacion de esta notacion, tenemos que
M(~α, ~β,~γ) =(α1D2(~β
(1), ~γ(1))− α2D2(~β(2), ~γ(2)) + α3D2(~β
(3), ~γ(3)))
M(~e1, ~e2, ~e3) .
Si definimos la funcion D3 : K3 ×K3 ×K3 → K, como
D3(~α, ~β,~γ) = α1D2(~β(1), ~γ(1))− α2D2(~β
(2), ~γ(2)) + α3D2(~β(3), ~γ(3)) ,
entonces tenemos que dada cualquier funcion multilineal alternada M sobre K3, existe unaconstante c ∈ K tal que M = cD3. Ademas, c = M(~e1, ~e2, ~e3).
Es inmediato que
(∗) D3(~α, ~β,~γ) = −(β1D2(~α(1), ~γ(1))− β2D2(~α
(2), ~γ(2)) + β3D2(~α(3), ~γ(3))) .
Falta ver que D3 es multilineal alternada. Como ya sabemos que D2 es multilineal alternadaen K2, si fijamos ~α y ~β o ~α y ~γ, tenemos la linealidad asociada a la componente ~β y a lacomponente ~γ.
Sean ~α =
α1
α2
α3
, ~α =
α1
α2
α3
∈ K3, ~β,~γ ∈ K3 fijos y ρ ∈ K. Por demostrar que
D3(~α + ρ~α, ~β,~γ) = D3(~α, ~β,~γ) + ρD3(~α, ~β,~γ) .
Por definicion, se tiene
D3(~α+ρ~α, ~β,~γ) = (α1+ρα1)D2(, ~β(1), ~γ(1))−(α2+ρα2)D2(, ~β(2), ~γ(2))+(α3+ρα3)D2(, ~β(3), ~γ(3)) .
Agrupando terminos, se obtiene
D3(~α + ρ~α, ~β,~γ) = D3(~α, ~β,~γ) + ρD3(~α, ~β,~γ) .
Por lo tanto, D3 es multilineal. Para demostrar que es alternada basta ver que D3(~α, ~α,~γ) =0. Esto se debe a que D3 esta definida a partir de D2 y por lo tanto, es inmediato queD3(~α, ~β, ~β) = 0 y que D3(~α, ~β, ~α) = −D3(~α, ~α, ~β).
Entonces, nuevamente de la definicion de D3 y (∗), se obtiene
D3(~α, ~α,~γ) = α1D2(~α(1), ~γ(1))− α2D2(~α
(2), ~γ(2)) + α3D2(~α(3), ~γ(3))
= −(α1D2(~α(1), ~γ(1))− α2D2(~α
(2), ~γ(2)) + α3D2(~α(3), ~γ(3))) .
Luego, D3(~α, ~α,~γ) = 0. Ademas, es directo de la definicion que D3(~e1, ~e2, ~e3) = 1. Por lotanto, D3 es la funcion multilineal alternada sobre K3 que satisface D3(~e1, ~e2, ~e3) = 1.
7
2
DEFINICION 2: Sea M : Kn ×Kn × · · · ×Kn
︸ ︷︷ ︸n veces
→ K una funcion multilineal. Diremos que
M es una funcion determinante ssi M es alternada y M(~e1, ~e2, .., ~en) = 1, donde {~e1, ~e2, .., ~en}es la base canonica ordenada.
En lo anterior, D2 y D3 son las funciones determinantes en K2 y K3, respectivamente.
En lo que sigue, veremos como definir una funcion determinante para n ≥ 4, n ∈ N.
Usaremos la siguiente notacion. Sean ~a1,~a2, ..,~an ∈ Kn. Para cada j ∈ {1, 2, .., n}, escribire-mos
~aj :=
α1j
α2j...
αnj
:=
[~aj]1[~aj]2
...[~aj]n
=
n∑i=1
αij · ~ei
donde {~e1, ~e2, .., ~en} es la base canonica ordenada de Kn.
Por otro lado, si n ≥ 2, n ∈ N, dado ~u ∈ Kn, se define ~u(r) ∈ Kn−1, r ∈ 1, 2, .., n, como elvector que se obtiene de ~u, sacando r-esima componente.
Es claro que
(¦) [~u(r)
]j= [~u]j , j < r ;
[~u(r)
]j= [~u]j+1 , r < j , r ∈ {1, 2, .., n} , j ∈ {1, 2, .., n− 1} .
Ademas, si n ≥ 3, n ∈ N, dado ~u ∈ Kn, se define(~u(r)
)(s) ∈ Kn−2, r ∈ {1, 2, .., n}, s ∈{1, 2, .., n− 1}, como el vector que se obtiene de ~u(r) sacando la s-esima componente.
Un ejemplo en K5, ponemos ~u =
u1
u2
u3
u4
u5
, entonces
~u(2) =
u1
u3
u4
u5
y por lo tanto, (~u(2))(4) =
u1
u3
u4
.
Es directo de la deficion que :
(a) (~u(r))(s) = (~u(s))(r−1), s < r; r ∈ {1, 2, .., n}, s ∈ {1, 2, .., n− 1},(b) (~u(r))(s) = (~u(s))(r), r = s; r ∈ {1, 2, .., n− 1}, y
(c) (~u(r))(s) = (~u(s+1))(r), r < s; r, s ∈ {1, 2, .., n− 1}.
8
De esta manera, se define para n ∈ N la funcion Dn : Kn ×Kn × · · · ×Kn
︸ ︷︷ ︸n veces
→ K, como :
D1(a) := a , a ∈ K
Dn(~a1,~a2, ..,~an) :=n∑
i=1
(−1)i+1αi1Dn−1
(~a
(i)2 , ..,~a(i)
n
), n ≥ 2, n ∈ N .
Cabe destacar que para n = 2 y n = 3 esta definicion coincide con lo que ya tenemos. Demanera que, demostraremos por induccion que Dn es la funcion determinante en Kn.
• Dn es multilineal.
Ya sabemos que para n = 1, 2, 3, la propiedad es cierta. Supongamos que la propiedad secumple para n. Por demostrar que tambien se tiene para n + 1.
Por hipotesis de induccion, Dn es multilineal en Kn; luego, basta probar que para ~a1 , ~a1 ∈Kn+1, ρ ∈ K y ~a2 , , ..,~an+1 ∈ Kn+1, fijos, se tiene
Dn+1(~a1 + ρ~a1,~a2, ..,~an+1) = Dn+1(~a1,~a2, ..,~an+1) + ρDn+1(~a1,~a2, ..,~an+1) .
Por definicion,
Dn+1(~a1 + ρ~a1,~a2, ..,~an+1) =n+1∑i=1
(−1)i+1(αi1 + ραi1)Dn
(~a
(i)2 , ..,~a
(i)n+1
)
=n+1∑i=1
(−1)i+1αi1Dn
(~a
(i)2 , ..,~a
(i)n+1
)+
ρ
n+1∑i=1
(−1)i+1αi1Dn
(~a
(i)2 , ..,~a
(i)n+1
)
= Dn+1(~a1,~a2, ..,~an+1) + ρDn+1(~a1,~a2, ..,~an+1) .
Como n es arbitrario, entonces la propiedad se cumple para todo n ∈ N. De esta maneraconcluimos que Dn es multilineal.
X
• Dn es alternada.
Para probar que es alternada, primero vamos a demostrar que Dn satisface la siguienteigualdad:
(I1) Dn(~a1,~a2, ..,~an) = −(
n∑i=1
(−1)i+1αi2Dn−1
(~a
(i)1 ,~a
(i)3 ..,~a(i)
n
)), n ≥ 2, n ∈ N .
9
En efecto, como Dn es multilineal, tenemos que
Dn(~a1,~a2, ..,~an) = Dn
(~a1,
n∑i=1
αi2~ei, ..,~an
)=
n∑i=1
αi2Dn(~a1, ~ei, ..,~an) .
De la defincion de Dn, se tiene para cada i,
(∗∗) Dn(~a1, ~ei, ..,~an) =n∑
r=1
(−1)r+1αr1Dn−1
(~e
(r)i ,~a
(r)3 ..,~a(r)
n
).
Separaremos en dos casos. Supongamos que i = 1, entonces
~e(1)1 = ~0 ∈ Kn−1 y ~e
(r)1 =
10...0
∈ Kn−1 , 2 ≤ r ≤ n .
De esta manera, tenemos que
Dn−1
(~e
(1)1 ,~a
(1)3 ..,~a
(1)n
)= 0
Dn−1
(~e
(r)1 ,~a
(r)3 ..,~a
(r)n
)= Dn−2
((~a
(r)3
)(1)
, ..,(~a
(r)n
)(1))
, 2 ≤ r ≤ n .
Pero(~a
(r)j
)(1)
=(~a
(1)j
)(r−1)
para todo j = 3, 4, .., n. Ası,
Dn(~a1, ~e1, ..,~an) =n∑
r=2
(−1)r+1αr1Dn−2
((~a
(1)3
)(r−1)
, ..,(~a(1)
n
)(r−1))
.
Haciendo el cambio de variable en el ındice de la sumatoria k = j − 1, obtenemos
n∑r=2
(−1)r+1αr1Dn−2
((~a
(1)3
)(r−1)
, ..,(~a(1)
n
)(r−1))
=n−1∑
k=1
(−1)kα(k+1)1Dn−2
((~a
(1)3
)(k)
, ..,(~a(1)
n
)(k))
Finalmente como α(k+1)1 = [~a(1)1 ]k, se concluye que
n−1∑
k=1
(−1)kα(k+1)1Dn−2
((~a
(1)3
)(k)
, ..,(~a(1)
n
)(k))
= −Dn−1
(~a1
(1),~a(1)3 , ..,~a(1)
n
).
Por lo tanto Dn(~a1, ~e1, ..,~an) = −Dn−1
(~a1
(1),~a(1)3 , ..,~a(1)
n
).
10
Supongamos ahora que 2 ≤ i ≤ n. Entonces
~e(r)r = ~0 ∈ Kn−1 , 2 ≤ r ≤ n ; ~e
(r)i =
00...1...0
∈ Kn−1 , el 1 en la posicion i− 1 , r < i ,
y
~e(r)i =
00...1...0
∈ Kn−1 , el 1 en la posicion i , i < r , 2 ≤ r ≤ n .
Luego,
Dn(~a1, ~ei, ..,~an) =i−1∑r=1
(−1)r+1αr1Dn−1
(~e(r)i ,~a
(r)3 ..,~a(r)
n
)+
n∑
r=i+1
(−1)r+1αr1Dn−1
(~e(r)i ,~a
(r)3 ..,~a(r)
n
).
Para r < i, tenemos
Dn−1
(~e
(r)i ,~a
(r)3 ..,~a
(r)n
)= (−1)(i−1)+1Dn−2
((~a
(r)3
)(i−1)
..,(~a
(r)n
)(i−1))
= (−1)iDn−2
((~a
(i)3
)(r)
..,(~a
(i)n
)(r))
.
Para i < r, se tiene
Dn−1
(~e
(r)i ,~a
(r)3 ..,~a
(r)n
)= (−1)i+1Dn−2
((~a
(r)3
)(i)
, ..,(~a
(r)n
)(i))
= (−1)i+1Dn−2
((~a
(i)3
)(r−1)
, ..,(~a
(i)n
)(r−1))
.
Luego,
Dn(~a1, ~ei, ..,~an) =i−1∑r=1
(−1)r+i+1αr1Dn−2
((~a
(i)3
)(r)
..,(~a(i)
n
)(r))
+
n∑r=i+1
(−1)r+iαr1Dn−2
((~a
(i)3
)(r−1)
, ..,(~a(i)
n
)(r−1))
.
11
En la segunda sumatoria, hacemos el cambio k = r − 1 y obtenemos
Dn(~a1, ~ei, ..,~an) =i−1∑r=1
(−1)r+i+1αr1Dn−2
((~a
(i)3
)(r)
..,(~a(i)
n
)(r))
+
n−1∑
k=i
(−1)k+1+iα(k+1)1Dn−2
((~a
(i)3
)(k)
, ..,(~a(i)
n
)(k))
.
Renombrando los ındices y usando (¦), se llega a
Dn(~a1, ~ei, ..,~an) = (−1)i
n−1∑j=1
(−1)j+1[~a(i)1 ]jDn−2
((~a
(i)3
)(j)
..,(~a(i)
n
)(j))
= (−1)iDn−1
(~a
(i)1 ,~a
(i)3 , ..,~a(i)
n
).
Ahora reemplazamos el valor de Dn(~a1, ~ei, ..,~an) y llegamos a
Dn(~a1,~a2, ..,~an) =n∑
i=1
αi2(−1)iDn−1
(~a
(i)1 ,~a
(i)3 , ..,~a(i)
n
)
= −n∑
i=1
(−1)i+1αi2Dn−1
(~a
(i)1 ,~a
(i)3 , ..,~a(i)
n
).
2
Veamos ahora que Dn es alternada, esto es, si dos vectores ~ai = ~aj, i 6= j, entonces
Dn(~a1,~a2, ..,~an) = 0 .
Por induccion. Para n = 2 y n = 3 ya sabemos que es verdadero. Supongamos la propiedadvalida para n. Por demostrar que tambien se cumple para n + 1.
De la deficion de Dn+1, vemos de inmediato que si ~ai = ~aj, i 6= j con i y j mayores o igualesque 2, entonces Dn+1(~a1,~a2, ..,~an+1) = 0, ya que
Dn(~a1,~a2, ..,~an+1) =n+1∑i=1
(−1)i+1αi1Dn
(~a
(i)2 , ..,~a
(i)n+1
)
y
Dn
(~a
(i)2 ,~a
(i)3 , ..,~a
(i)n+1
)= 0,∀ i ∈ {2, 3, .., n + 1} .
Luego, solo falta ver que si ~a1 = ~aj, j ∈ {2, 3, .., n + 1}, entonces
Dn+1(~a1,~a2, ..,~aj, ..,~an+1) = 0 .
12
De la definicion de Dn+1 a partir de Dn, se tiene que
Dn+1(~a1,~a2, ..,~aj, ..,~an+1) = −Dn+1(~a1, ~aj︸︷︷︸2
, .., ~a2︸︷︷︸j
, ..,~an+1) , 3 ≤ j ≤ n + 1 .
Por lo tanto, basta demostrar que Dn+1(~a,~a,~a3, ..,~an+1) = 0, donde ~a =
a1
a2...
an+1
.
De la deficion de Dn+1 y (I1), se obtiene
Dn+1(~a,~a, ..,~an+1) =n+1∑i=1
(−1)i+1aiDn
(~a, ..,~a
(i)n+1
)
= −(
n+1∑i=1
(−1)i+1aiDn
(~a,~a
(i)3 ..,~a
(i)n+1
)),
de donde se obtiene el resultado.
De esta manera, se ha demostrado que Dn es una funcion multilineal y alternada sobre Kn.Ademas, de esto ultimo se concluye la igualdad generalizada de (I1), esto es,
(IG) Dn(~a1,~a2, ..,~an) =n∑
i=1
(−1)i+jαijDn−1
~a
(i)1 ,~a
(i)2 , ..,~a(i)
n︸ ︷︷ ︸sin el vector ~aj
, j = 1, 2, .., n .
Ademas, es facil ver de la deficion que Dn(~e1, ~e2, .., ~en) = 1 y por lo tanto, Dn es unafuncion determinante. Finalmente, veremos que esta es la funcion determinante. Para estefin, probaremos primero lo siguiente
Proposicion 2: Sea m ∈ N fijo y sea M una funcion multilineal alternada sobre Km+1,M : Km+1 ×Km+1 × · · · ×Km+1
︸ ︷︷ ︸m+1 veces
→ K.
Sea i ∈ {1, 2, .., m+1} fijo y considere la funcion Mi : Km ×Km × · · · ×Km
︸ ︷︷ ︸m veces
→ K, definida
por Mi(~x1, ~x2, .., ~xm) := M(~ei, ~x(i?)1 , ~x
(i?)2 , .., ~x
(i?)m ), donde ~ei es el i-esimo vector de la base
canonica de Km+1 y
~x(i?) =
[~x]1...
[~x]i−1
0[~x]i...
[~x]m
∈ Km+1 , ~x ∈ Km,
13
entendiendo que para i = 1 cada uno de los vectores comienza con 0 y para i = m + 1, losvectores tienen como ultima componente el 0.
Entonces, Mi es una funcion multilineal alternada en Km y satisface
Mi(~e1, ~e2, .., ~em) = (−1)i−1M(~e1, ~e2, ~e3, .., ~em+1),
donde {~e1, ~e2, .., ~em} denota la base canonica ordenada en Km y {~e1, ~e2, ~e3, .., ~em+1} denotala base canonica ordenada en Km+1.
Dem: En efecto, sea p ∈ {1, 2, .., m} fijo y consideremos ~xp, ~xp ∈ Km, ρ ∈ K. Por demostrarque
Mi(~x1, ~x2, .., ~xp + ρ~xp, .., ~xm) = Mi(~x1, ~x2, .., ~xp, .., ~xm) + ρMi(~x1, ~x2, .., ~xp, .., ~xm) ,
cuando se fijan los otros vectores ~xj , j 6= p.
Primero, es claro que (~xp + ρ~xp)(i?) = (~xp)
(i?) + ρ(~xp)(i?). Luego,
Mi(~x1, ~x2, .., ~xp + ρ~xp, .., ~xm) = M(~ei, ~x
(i?)1 , ~x
(i?)2 , .., (~xp)
(i?) + ρ(~xp)(i?), .., ~x(i?)
m
).
Como M es multilineal en Km+1, se tiene
Mi(~x1, ~x2, .., ~xp + ρ~xp, .., ~xm) = M(~ei, ~x
(i?)1 , ~x
(i?)2 , .., (~xp)
(i?), .., ~x(i?)m
)+
ρM(~ei, ~x
(i?)1 , ~x
(i?)2 , .., (~xp)
(i?), .., ~x(i?)m
).
= Mi(~x1, ~x2, .., ~xp, .., ~xm) + ρMi(~x1, ~x2, .., ~xp, .., ~xm).
X
Para lo segundo, observemos que ~e(1?)j = ~ej+1 , j = 1, 2, ..,m; ~e
((m+1)?)j = ~ej , j = 1, 2, .., m
y ~e(i?)j = ~ej+1, i ≤ j , j = 1, 2, .., m, ~e
(i?)j = ~ej, j < i , j = 1, 2, .., m.
Luego,
Mi(~e1, ~e2, .., ~em) = M(~ei, ~e
(i?)1 , ~e
(i?)2 , .., ~e
(i?)i−1, ~e
(i?)i , ~e
(i?)i+1, .., ~e
(i?)m
)
= M(~ei, ~e1, ~e2, .., ~ei−1, ~ei+1, ~ei+2, .., ~em+1)
= (−1)i−1M(~e1, ~e2, ~e3, .., ~em+1).
En lo anterior, entendemos que para i = 1, los vectores del grupo de 1 hasta i − 1 noaparecen, mientras que para i = m+1, no aparece el grupo el grupo de vectores de i a m+1.
X
14
Con esto podemos demostrar el siguiente teorema
Teorema: Sea M una funcion multilineal alternada en Kn. Entonces existe una constantec ∈ K, tal que
M(~a1,~a2, ..,~an) = c ·Dn(~a1,~a2, ..,~an) .
Dem: Si lo anterior es cierto, es inmediato que c = M(~e1, ~e2, .., ~en).
Demostraremos el resultado por induccion. Para n = 1 es claro y para n = 2, n = 3 yavimos que es cierto. Supongamos cierta la propiedad para n, veamos que tambien es validapara n + 1.
Como M es multilineal, M(~a1,~a2, ..,~an+1) =n+1∑i=1
[~a1]iM(~ei,~a2, ..,~an+1). Ademas, de la
propiedad (ii), se obtiene para cada i:
M(~ei,~a2, ..,~an+1) = M(~ei,~a2 − [~a2]i~ei, ..,~an+1) = M(~ei,~a(i?)2 , ..,~an+1).
Aplicando lo anterior sucesivamente, llegamos a
M(~ei,~a2, ..,~an+1) = M(~ei,~a(i?)2 , ..,~a
(i?)n+1) = Mi(~a
(i)2 , ..,~a
(i)n+1) .
Pero Mi es multilineal en Kn, entonces por hipotesis de induccion y la proposicion 2,tenemos
Mi(~a(i)2 , ..,~a
(i)n+1) = Dn(~a
(i)2 , ..,~a
(i)n+1) · Mi(~e1, ~e2, .., ~en)
= (−1)i−1Dn(~a(i)2 , ..,~a
(i)n+1) ·M(~e1, ~e2, ~e3, .., ~en+1) .
Luego,
M(~a1,~a2, ..,~an+1) =n+1∑i=1
[~a1]i(−1)i−1Dn(~a(i)2 , ..,~a
(i)n+1) ·M(~e1, ~e2, ~e3, .., ~en)
=
(n+1∑i=1
[~a1]i(−1)i+1Dn(~a(i)2 , ..,~a
(i)n+1)
)M(~e1, ~e2, ~e3, .., ~en+1)
= Dn+1(~a1,~a2, ..,~an+1) ·M(~e1, ~e2, ~e3, .., ~en+1) .
X
De lo teorema anterior, obtenemos que la funcion determinante es unica.
2
15
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Sea A ∈Mn(K) una matriz y denotemos por aij, i, j = 1, 2, .., n sus coeficientes. Para j ∈{1, 2, .., n}, consideraremos la j-esima columna de A como un vector de Kn y la denotaremospor ~aj. Ası
~aj =
a1j
a2j...anj
.
y por lo tanto, A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a21...
.... . .
...an1 an2 . . . ann
= (~a1 ~a2 · · · ~aj · · · ~an).
Con esta notacion, definimos el determinante de A como
det(A) := Dn(~a1,~a2, ..,~an) .
De la definicion de Dn, se tiene que
det(a) = a , n = 1 ; det(A) =n∑
i=1
(−1)i+1ai1Dn−1
(~a
(i)2 , ..,~a(i)
n
), n ≥ 2, n ∈ N .
Mas aun, de la propiedad (IG), obtenemos que para todo j ∈ {2, .., n}
det(a) = a , n = 1 ; det(A) =n∑
i=1
(−1)i+jaijDn−1
(~a
(i)1 , ..,~a
(i)j−1,~a
(i)j+1, ..,~a
(i)n
), n ≥ 2, n ∈ N .
Ejemplo : Sea In la matriz identidad. De la definicion tenemos que
det(In) = 1 ·Dn−1
(~e
(1)2 , ~e
(1)3 , .., ~e(1)
n
)= 1 .
X
En lo que sigue se introducira una nueva notacion. Para, n ≥ 2, definimos la submatrizAij ∈Mn−1(K) como la matriz que se obtiene de A, sacando la fila i y la columna j.
Ejemplo: Si A =
2 2 0 31 −1 1 25 3 4 11 2 2 1
, entonces A11 =
2 2 0 31 -1 1 25 3 4 11 2 2 1
=
−1 1 2
3 4 12 2 1
,
A43 =
2 2 0 31 -1 1 25 3 4 11 2 2 1
=
2 2 31 −1 25 3 1
, etc ...
16
X
Usando la definicion de la submatriz Aij, se obtiene para todo j = 1, 2, .., n
~ det(a) = a , n = 1 ; det(A) =n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(Aij) , n ≥ 2, n ∈ N .
La formula anterior corresponde al desarrollo del determinante por la columna j.
Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz A =
2 2 0 31 −1 1 25 3 4 11 2 2 1
.
Solucion: Desarrollemos por la columna 1. O sea, ponemos j = 1 en la formula (~)
det(A) =4∑
i=1
(−1)i+1ai1det(Ai1) = a11det(A11)− a21det(A21) + a31det(A31)− a41det(A41) .
Reemplazando los valores correspondientes queda
det(A) = 2det
−1 1 2
3 4 12 2 1
− 1det
2 0 33 4 12 2 1
+
5det
2 0 3−1 1 2
2 2 1
− 1det
2 0 3−1 1 2
3 4 1
.
Ahora se calcula el determinante de cada una de las submatrices de 3×3. Solo calcularemosuno para mostrar el proceso
det
−1 1 2
3 4 12 2 1
= −1det
((4 12 1
))− 3det
((1 22 1
))+ 2det
((1 24 1
))
= −(4− 2)− 3(1− 4) + 2(1− 8) = −7 .
De la misma forma se obtiene que
det
2 0 33 4 12 2 1
= −2 , det
2 0 3−1 1 2
2 2 1
= −18 , det
2 0 3−1 1 2
3 4 1
= −35 .
y por lo tanto, det(A) = 2(−7)− (−2) + 5(−18)− (−35) = −67.
X
17
Tambien es posible desarrollar por otra columna, por ejemplo j = 3. Este calculo tiene lacualidad que tiene una componente cero y por lo tanto, los calculos se reducen.
det(A) = −det
2 2 35 3 11 2 1
+ 4det
2 2 31 −1 21 2 1
− 2det
2 2 31 −1 25 3 1
.
2
PROPIEDADES.
(1) Sea A ∈ Mn(K) y denotemos por A′ la matriz que se obtiene de A permutando unpar de columnas. Entonces, det(A) = −det(A′).
Dem: Como A = (~a1 ~a2 · · · ~aj · · · ~an), entonces
A′ =
~a1 ~a2 ~aj︸︷︷︸
i
· · · ~ai︸︷︷︸j
· · · ~an
,
con i 6= j.
Por deficion, det(A′) = Dn(~a1,~a2, .., ~aj︸︷︷︸i
, .., ~ai︸︷︷︸j
, ..,~an) y como Dn es multilineal alter-
nada, entonces
Dn(~a1,~a2, .., ~aj︸︷︷︸i
, .., ~ai︸︷︷︸j
, ..,~an) = −Dn(~a1,~a2, ..,~ai, ..,~aj, ..,~an) = −det(A) .
X
(2) Sea A ∈Mn(K). Supongamos que A tiene la forma
A =
~a1 ~a2 · · · α~u + β~v︸ ︷︷ ︸
i
· · · ~an
,
donde ~aj ∈ Kn, ~u,~v ∈ Kn y α, β ∈ K. Entonces,
det(A) = αdet
(~a1 ~a2 · · · ~u︸︷︷︸
i
· · · ~an
)+ βdet
(~a1 ~a2 · · · ~v︸︷︷︸
i
· · · ~an
).
Dem: En efecto, por definicion det(A) = Dn(~a1,~a2, .., α~u + β~v︸ ︷︷ ︸i
, ..,~an). Como Dn es
multilineal, por la propiedad (ii), se obtiene el resultado. En particular, si α = β = 0,entonces det(A) = 0. O sea, si alguna columna es nula, el determinante es cero.
18
Por otro lado, si tomamos ~v = ~aj y α = 1, entonces
det(A) = det (~a1 ~a2 · · · ~u · · · ~an) ,
ya que en el segundo termino se repite una columna y como Dn es alternada, entonceseste termino se anula.
Estas dos propiedades nos dicen que si reducimos una matriz por columnas(conmatrices de permutacion y matrices elementales con unos en la diagonal), entonces eldeterminante no cambia.
Ejemplo: Apliquemos esto a la matriz A =
2 2 0 31 −1 1 25 3 4 11 2 2 1
.
Solucion: Multiplicamos la primera columna por -1 y la sumamos a la segunda y seobtiene
det
2 2 0 31 −1 1 25 3 4 11 2 2 1
= det
2 0 0 31 −2 1 25 −2 4 11 1 2 1
.
Ahora multiplicamos la primera columna (de la nueva matriz) por −32
y la sumamosa la ultima columna y se llega a
det
2 0 0 31 −2 1 25 −2 4 11 1 2 1
= det
2 0 0 0
1 −2 1 12
5 −2 4 −132
1 1 2 −12
.
Ası podemos seguir sucesivamente hasta llegar a una matriz triangular inferior.
(3) Sea A ∈Mn(K). Si las columnas de A son l.d. , entonces det(A) = 0.
Dem: Por definicion, det(A) = Dn(~a1,~a2, ..,~an). Como el conjunto {~a1,~a2, ..,~an} esl.d., por propiedad (iii), se tiene el resultado.
X
(4) Sea A ∈Mn(K) una matriz triangular superior. Entonces, det(A) =∏n
i=1 aii. Esto es,
det(A) =
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a21...
.... . .
...0 0 . . . ann
=
n∏i=1
aii .
19
Dem: Por induccion. Para n = 2 tenemos
det(A) =
(a11 a12
0 a22
)= a11a22 − 0a12 = a11a22 .
Supongamos ahora que la propiedad se cumple para n y probemosla para n + 1.Tenemos
det(A) =n∑
i=1
(−1)i+1ai1det(A1j) = a11det(A11) +n∑
i=2
(−1)i+1ai1det(A1j) .
Como A es triangular superior, ai1 = 0 para todo i = 2, 3, .., n. Ademas, A11 ∈Mn(K)es una matriz triangular superior cuyos elementos de la diagonal son {a22, a33, .., a(n+1)(n+1)}.Por lo tanto, de lo anterior y usando la hipotesis de induccion se obtiene
det(A) = a11det(A11) = a11 ·n+1∏i=2
aii =n+1∏i=1
aii .
El mismo resultado es valido si A es triangular inferior.
X
(5) Sean Ipq y Epq(λ, 1),∈Mn(K) matrices de permutacion y elemental, respectivamente.Entonces,
det(Ipq) = −1 ; det(Epq(λ, 1)) = 1 ..
Dem: En efecto, recordemos que (Ipq)pq = (Ipq)qp = 1 ; (Ipq)ii = 1, i 6= p, i 6= q, ; (Ipq)pp =(Ipq)qq = 0 y (Ipq)ij = 0 para el resto de los casos.
Luego, las matrices de permutacion son simetricas y al intercambiar la columna p conla q se obtiene la matriz In. Por lo tanto, por (1) det(Ipq) = −det(In) = −1.
Por otro lado, Epq(λ, 1),∈ Mn(K) es una matriz triangular inferior con unos en ladiagonal y λ en la posicion q, p. Por (4), det(Epq(λ, 1)) = 1.
X
(6) Sean A,B ∈Mn(K), entonces det(A ·B) = det(A) · det(B).
Dem: En efecto. Para esto, definimos la funcion M : Kn ×Kn × · · · ×Kn
︸ ︷︷ ︸n veces
→ K por
M(~x1, ~x2, .., ~xn) := Dn(A~x1, A~x2, .., A~xn) .
Es claro que, M es multilineal alternada y ademas
M(~b1,~b2, ..,~bn) = Dn(A~b1, A~b2, .., A~bn) = det(AB) ,
20
M(~e1, ~e2, .., ~en) = Dn(A~e1, A~e2, .., A~en) = det(A) .
Por el teorema, tenemos que M(~x1, ~x2, .., ~xn) = Dn(~x1, ~x2, .., ~xn) · M(~e1, ~e2, .., ~en),luego,
det(B)det(A) = Dn(~b1,~b2, ..,~bn) ·M(~e1, ~e2, .., ~en)
= M(~b1,~b2, ..,~bn) = Dn(A~b1, A~b2, .., A~bn) = det(AB) .
X
(7) Sea A ∈Mn(K). Entonces, det(A) = det(At).
Dem: Del algoritmo de Gauss, sabemos existe una matriz E, que es un producto finitoentre matrices de permutacion y elementales, tal que A = E · A, con A una matriztriangular superior. De (6), tenemos que det(E)det(A) = det(EA) = det(A).
Por otro lado, por (5) y (6), se tiene que det(E) = (−1)# donde # denota el numerode matrices de permutacion.
Ademas, At = AtEt. Por lo tanto, det(At) = det(At)det(Et).
Como la transpuesta de cada matriz elemental es una matriz triangular superiorcon unos en la diagonal y cada matriz de permutacion es simetrica, se concluye quedet(Et) = det(E).
Finalmente, observemos que At es una matriz triangular inferior y los elementos dela diagonal son exactamente los mismos que A, luego por (4) tenemos que det(At) =det(A). Por lo tanto, se obtiene det(A) = det(At).
OBSERVACION: Este resultado nos dice que el determinante tambien se puededesarrollar por filas, esto es, para todo i = 1, 2, .., n
det(a) = a , n = 1 ; det(A) =n∑
j=1
(−1)i+jaijdet(Aij) , n ≥ 2, n ∈ N .
Por lo tanto, el determinante no cambia si se reduce la matriz por filas.
Luego, para calcular el determinante es posible mezclar operaciones elementales(adecuadamente) de manera de formar una matriz triangular o para obtener la mayorcantidad de ceros posible por filas o columnas para hacer los caluculos mas sencillos.
Ejemplo: En el ejemplo anterior
det
2 2 0 31 −1 1 25 3 4 11 2 2 1
= det
2 0 0 0
1 −2 1 12
5 −2 4 −132
1 1 2 −12
.
21
Desarrollamos el determinante por la primera fila y se obtiene
det
2 0 0 0
1 −2 1 12
5 −2 4 −132
1 1 2 −12
= 2det
−2 1 12
−2 4 −132
1 2 −12
.
Para continuar, se puede permutar la primera y ultima fila para pivotear nuevamente.Por lo tanto,
det
2 0 0 0
1 −2 1 12
5 −2 4 −132
1 1 2 −12
= −2det
1 2 −12
−2 4 −132
−2 1 12
= −2det
1 2 −12
0 8 −152
0 5 −12
.
X
(8) Sea A ∈ Kn. det(A) = 0 ssi las columnas de A forman un conjunto l.d. en Kn.
Dem: Ya se demostro que si las columnas eran l.d. en Kn (observe que se considero Kn
como espacio vectorial sobre K), entonces det(A) = 0. Veamos la implicancia recıproca.
Supongamos que det(A) = 0. Entonces, la matriz escalonada de A tambien tienedeterminante cero. Como la matriz escalonada es triangular superior, entonces por (4)su determinante es el producto de los elementos de la diagonal y por lo tanto, al menosuno de los elementos de la diagonal tiene que ser nulo.
Luego, el sistema A~x = ~0 tiene mas de una solucion. O sea, existe
~x =
x1
x2...
xn
6= ~0 ,
tal que A~x = ~0. Entonces, usando la notacion por columnas de A, se tiene que
A~x =n∑
i=1
xi~ai = ~0
y NO todos los coeficientes son nulos, luego el conjunto de las columnas es l.d. .
22
X
(9) Sea A ∈Mn(K). Entonces, A es invertible ssi det(A) 6= 0.
Dem: De (8) tenemos que det(A) 6= 0 ssi las columnas de A son l.i. (y por lo tantouna base de Kn) y esto es ssi A es invertible.
X
(10) Sea A ∈Mn(K) una matriz invertible. Entonces
det(A−1) =1
det(A).
Dem: En efecto, como A invertible, entonces existe A−1 tal que AA−1 = In, luego
det(AA−1) = det(A)det(A−1) = det(In) = 1,
de donde se obtiene el resultado.
2
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL DETERMINANTE EN R2 Y R3.
Sean ~a =
(a1
a2
), ~b =
(b1
b2
)∈ R2 y consideremos la matriz A ∈M2(R) cuyas columnas
son los vectores definidos anteriormente, es decir, A = (~a ~b). Entonces, si estos vectores son
l.i., |det(A)| corresponde al area del paralelogramo definido por los vectores ~a y ~b.
23
En efecto, sabemos que el area de un paralelogramo es el largo de la base por la respectivaaltura. Siguiendo la figura, tomamos como base el vector ~a. De esta manera el area
A = ||~a|| · ||~h|| .
Para obtener ~h, primero se calcula la proyeccion de ~b sobre el vector ~a(o sobre la recta convector director ~a). Este vector lo denotamos por ~p y al hacer los calculos se obtiene
~p =
(~a •~b
||~a||2)
~a ,
donde • denota el producto punto usual en R2. Ası, ~h = ~b − ~p y haciendo los reemplazosrespectivos, se llega a ||~h|| = |a2b1−a1b2|
||~a|| . Por lo tanto,
A = ||~a|| · ||~h|| = |a2b1 − a1b2| = |det(A)| .
X
Veamos el caso de R3. Ahora, se consideran vectores ~a =
a1
a2
a3
, ~b =
b1
b2
b3
,
~c =
c1
c2
c3
∈ R3 y la matriz A ∈M3(R) cuyas columnas son los vectores definidos anterior
mente, es decir, A = (~a ~b ~c). Entonces, si estos vectores son l.i., |det(A)| corresponde al
volumen del paralelepıpedo regular definido por los vectores ~a, ~b y ~c.
24
En efecto, sabemos que el volumen de un paralelepıpedo regular es el area basal por larespectiva altura. Siguiendo la figura, tomamos como cara basal la formada por los vectores~a y ~b. De esta manera el volumen se calcula como
V = A~a~b · ||~h|| ,
donde A~a~b es el area de la cara que generan los vectores ~a y ~b.
Como ~h es perpendicular al plano generado por ~a y ~b, entonces este se obtiene como laproyeccion de ~c sobre la recta de vector director ~a×~b (este producto cruz no es ~0 ∈ R3, yaque los vectores son l.i.). Luego,
~h =
(~c • (~a×~b)
||~a×~b||2
)· (~a×~b) ,
donde • denota el producto punto usual en R3.
Por otro lado, de las propiedades del producto cruz se tiene que A~a~b = ||~a×~b||.Luego, haciendo los reemplazos respectivos, se llega a
V = ||~a×~b|| ·∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
(~c · (~a×~b)
||~a×~b||2
)~a×~b
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ = |~c · (~a×~b)| .
Si se aplica la definicion del determinante a la matriz A y se desarrolla por la terceracolumna, esto es por ~c, se obtiene que det(A) = ~c · (~a×~b).
Por lo tanto, V = det(A).
2
LA MATRIZ DE COFACTORES Y LA REGLA DE CRAMER.
Sea A ∈Mn(K). De lo anterior, tenemos que para cada j = 1, 2, .., n
det(A) =n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(Aij) .
El coeficiente (−1)i+jdet(Aij) se denomina cofactor i, j de A. Usaremos la notacion
cij := (−1)i+jdet(Aij) .
De esta manera, se define la matriz de cofactores, como (cof(A))rs := crs, r, s ∈ {1, 2, .., n}.Ası, det(A) =
∑ni=1 aijcij para todo j = 1, 2, .., n.
Ahora, si k 6= j, entoncesn∑
i=1
aikcij = 0 .
25
En efecto, sea B la matriz que se obtiene de A sacando la columna j y poniendo en sulugar, la columna k. Entonces, B tiene dos columnas iguales, luego det(B) = 0.
Ademas, es claro que Bij = Aij. De esto concluimos que
0 = det(B)
=∑n
i=1(−1)i+j(B)ijdet(Bij)
=∑n
i=1(−1)i+jaikdet(Aij)
=∑n
i=1 aikcij .
De esta manera hemos demostrado que
n∑i=1
aikcij =
det(A) , j = k
0 , j 6= k
y por lo tanto, (cof(A))t · A = det(A)In.
Luego, si A es invertible, entonces
A−1 =1
det(A)(cof(A))t .
Observacion: cof(At) = (cof(A))t.
Ejemplo 1 : Obtener la expresion general de la inversa para una matriz A ∈M2(R).
Solucion: Sea A =
(a bc d
)∈M2(R). Luego, (cof(A))11 = d, (cof(A))12 = −c, (cof(A))21 =
−b, (cof(A))22 = a. Ası
cof(A) =
(d −c−b a
).
Observemos que A es invertible ssi det(A) = ad− bc 6= 0, por lo tanto,
A−1 =1
ad− bc(cof(A))t =
1
ad− bc
(d −b−c a
).
Ejemplo 2 : Usar la matriz de cofactores para encontrar la inversa de la matriz
A =
1 1 00 1 1
−1 1 −1
.
Solucion: Primero calculamos su determinante. En este caso, det(A) = −3. Por lo tanto, A
26
es invertible. Calculemos la matriz de cofactores.
cof(A) =
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
=
(−1)1+1det(A11) (−1)1+2det(A12) (−1)1+3det(A13)
(−1)2+1det(A21) (−1)2+2det(A22) (−1)2+3det(A23)
(−1)3+1det(A31) (−1)3+2det(A32) (−1)3+3det(A33)
.
Por lo tanto,
cof(A) =
det
(1 11 −1
)−det
(0 1
−1 −1
)det
(0 1
−1 1
)
−det
(1 01 −1
)det
(1 0
−1 −1
)−det
(1 1
−1 1
)
det
(1 01 1
)−det
(1 00 1
)det
(1 10 1
)
,
cof(A) =
−2 −1 1
1 −1 −21 −1 1
, cof(A)t =
−2 1 1−1 −1 −1
1 −2 1
.
Luego,
A−1 = −1
3
−2 1 1−1 −1 −1
1 −2 1
.
2
Finalmente, apliquemos lo anterior para resolver un sistema A~x = ~b, donde A ∈ Mn(K)
es una matriz invertible y ~b ∈ Kn. Premultiplicando por (cof(A))t, tenemos
(cof(A))t · A~x = (cof(A))t~b .
Como A invertible, entonces det(A) 6= 0. Luego ~x = 1det(A)
(cof(A))t~b.
Entonces, si calculamos la componente i del vector ~x tenemos
[~x]i =1
det(A)·
n∑
k=1
((cof(A))t
)ik
bk ,
donde bk denota la componente k del vector ~b.
[~x]i =1
det(A)·
n∑
k=1
ckibk =1
det(A)·
n∑
k=1
(−1)k+idet(Aki)bk .
27
La expresion∑n
k=1(−1)k+ibk det(Aki) corresponde precisamente al determinante de la ma-
triz Bi, la cual se obtiene de A sacando la columna i y reemplazandola por el vector ~b.Luego,
[~x]i =det(Bi)
det(A), i = 1, 2, .., n.
Esta forma de obtener la solucion de un sistema se conoce como LA REGLA DE CRAMER.
Ejemplo: Calcular la solucion del sistema
1 0 1−1 −1 1
1 2 0
x1
x2
x3
=
134
.
Solucion : Primero vemos que det(A) = −3, luego A es invertible. Ası, tenemos que
x1 =
det
1 0 13 −1 14 2 0
det(A), x2 =
det
1 1 1−1 3 1
1 4 0
det(A), x3 =
det
1 0 1−1 −1 3
1 2 4
det(A).
2
28