desempeño del modelo dit ante distintas distribuciones
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Desempeño del modelo DIT ante distintas distribuciones
teoricas de probabilidad: caso idT de la ciudad de La Rioja
III Taller sobre Regionalización de Precipitaciones Máximas
Rosario (Argentina) – 1 y 2 de diciembre de 2011
Juan F. Weber
Laboratorio de Hidráulica, Departamento de Ingeniería Civil, Facultad Regional Córdoba, Universidad Tecnológica Nacional, Maestro M.
López esq. Cruz Roja Argentina, Ciudad Universitaria - CP (X5016ZAA) - Córdoba, Argentina, [email protected]
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Información disponible
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1 ● Periodo discontinuo de 25 años:– 1961 - 1978
– 1981 - 1989
– 1995 - 1998
Desempeño del modelo DIT ante distintas distribuciones teoricas de probabilidad: caso idT de la ciudad de La Rioja
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● Análisis mensual de frecuencias
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
50
100
150
200
250
Frecuencia de tormentas según meses
mes
Nú
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● Año hidrológico: 1 de agosto al 31 de julio
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Generación de serie de intensidades máximas anuales
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1 ● Se generaron 15 series (entre 5 y 720 minutos) de precipitaciones máximas anuales de longitud 25 → 375 valores a ajustar con la idT
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● Se determinaron las correspondientes intensidades como
i(mm /h)=h (mm)⋅60
d (min)
● Intensidad máxima obtenida: 140 mm/h
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Asignación empírica de probabilidades
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● Método de las posiciones de ploteo– Fórmula de Weibull
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p ( X≥xm )=m
n+1T=
n+1m
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El modelo DIT
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● Factor de frecuencia– (Chow, 1994)
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y=μ y+σ y Φy● Expresión analítica para la distribución
lognormal– (Caamaño y García, 1999)
Φy=2,584458 ( ln T )0,375
−2,252573● Modelo DIT
ln i=AΦy−Bδy+C δy= ( ln d )q
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Distribuciones teóricas de probabilidad consideradas
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● lognormal● Gumbel● Log Pearson III● Weibull● Gamma
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Distribución lognormal
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● Función de densidad (Y = ln X)
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f (x)=1
xσY √2πe−(1/2)[(ln x−μY )/σY ]
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Distribución lognormal
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E (X )=μX=eμY+
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σY2
● Esperanza y varianza
V (X )=σ X2=e2μY+σY
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(eσY2
−1 )
● Factor de frecuencia (Caamaño y García, 1999)
Φ y=2,584458 ( lnT )0,375
−2,252573
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Distribución de Gumbel
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● Función de distribución
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F (x)=e−e−z
● Función de densidad
f (x)=e−z−e−z
z=x−μβ
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Distribución de Gumbel
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● Estimadores de los parámetros
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β=√6σX
π μ=μX−0.5772β
● Factor de frecuencia
Φ=−√6π {0.5772+ln [ ln ( TT−1 ) ] }
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Distribución log-Pearson III
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● Distribuciones de Pearson
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d [ f (x)]dx
=f ( x)( x−d )
C0+C1 x+C 2 x2
● Si C2 = 0 → distribución Pearson tipo III
f (x)=λ
β(x−ϵ)
β−1e−λ(x−ϵ)
Γ(β)
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Distribución log-Pearson III
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● Si y = ln x → distribución logPearson-III
f (x)=λ
β( y−ϵ)
β−1e−λ( y−ϵ)
xΓ(β)
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Distribución log-Pearson III
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● Factor de frecuencia
Φ=z+( z2−1)k+13( z3−6z)k 2−( z2−1)k 3+zk 4+
13k 5
z=x−μσ
k=C s6
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Distribución de Weibull
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● Función de densidad
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f (x)=βδ ( x−γ
δ )β−1
e−( x−γ
δ )β
, x≥γ
● Parámetros– γ : de localización
– β : de forma
– δ : de escala
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Distribución de Weibull
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● Función de densidad
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Distribución de Weibull
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● Factor de frecuencia Φ
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Φ(T )=(lnT )
1β−Γ(
1β+1)
√Γ(2β+1)−Γ
2(
1β+1)
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Distribución de Weibull
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● Factor de frecuencia Φ
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Distribución gamma
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● Función de densidad
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f (x)= λΓ(r )
(λ x)r−1e−λ x , x≥0
● Propiedades– r = 1 ---> distribución exponencial
– Si X es la suma de r V.A. Exponenialmente distribuidas --> X sigue la distribución gamma(r,λ)
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Distribución gamma
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● Media y varianza
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E ( x)=rλ, V (x)=
r
λ2
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Distribución gamma
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● Factor de frecuencia (transformación de Wilson-Hilferty)
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Φ(T )=2C s { [C s
6 (u−C s
6 )+1 ]3
−1 }
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Antecedentes
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1 ● Weber(2008, 2009) analizó tres modelos de idT:– Sherman
– Bogomazov y Petrov
– DIT
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● Mejor ajuste: DIT (r² = 0,9716)● A = 0,414 B = 0,398● C = 4,972 q = 1,141
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1 ● Para DIT se impuso distribución lognormal– Serie pluviométrica de máximos anuales
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-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Función de probabilidad acumulada
datoslog-normal
z
F(z
)
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1 10 100 10001
10
100
1000
Curvas idT de La Rioja
según modelo DIT
T = 2 añosT = 5 añosT = 10 añosT = 20 añosT = 25 añosT = 50 añosT = 100 añosT = 200 añosT = 500 añosT = 1000 años
duración (min)
Inte
nsid
ad (
mm
/h)
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Antecedentes
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0 20 40 60 80 100 120 140 1600
20
40
60
80
100
120
140
160
Correlación entre datos observados y predichos por la idT para distintas duraciones en min
5101520304045506090120180240360720Y = X
Intensidad medida (mm/h)
Inte
nsid
ad c
alcu
lada
(mm
/h)
DS = 3,92 mm/h
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Ajuste de parámetros
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1 ● Espacio de búsqueda: tetradimensional– Parámetros A, B, C y q
● Función objetivo a minimizar
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DS=√∑j=1
N
(i jc−i j )
2
N
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Ajuste de parámetros
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1 ● Método de fuerza bruta con refinamiento sucesivo de malla
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ε = 1. e-5
● Código ad-hoc en C++
● 3 hs de CPU Pentium DualCore de 2,8 GHz con 2 Gb de RAM
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Resultados
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ε = 1. e-5
Distribución A B C q F.O.
lognormal 0.4139 0.4164 4.9986 1.1183 5763.9
Gumbel 0.3625 0.3865 4.9883 1.1543 7819.2
LogPearson III -0.2889 0.3344 5.0799 1.2230 60736.2
Weibull 0.3379 0.3804 5.0089 1.1624 8088.1
gamma 0.1089 0.4944 5.0975 1.0251 59493.7
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1 ● Mejor desempeño: lognormal● Gumbel y Weibull de similar precisión● Log-Pearson III y gamma más alejadas● El parámetro C varía como máximo en un
2 %● El parámetro A presenta la mayor
dispersión● Se justifica la elección hecha previamente
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30Muchas Gracias!