DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO.

1 Descomponer por división el polinomio P(x) = x2 -7x + 12.Comprobamos que P(3) = 0 y realizamos la división.

Por tanto P(x) = (x – 3)(x – 4)

2 Resolver la ecuación x2 -7x + 12 = 0Como el polinomio P(x) = x2 -7x + 12 = (x – 3)(x – 4) bastará resolver la ecuación

(x – 3)(x – 4) = 0.

La solución de la ecuación es inmediata si tenemos en cuenta que para que el producto de dos números sea cero, debe ser cero alguno de los factores. Es decir:

3 Resolver la ecuación 4x2 – 28x + 48 = 0

Ya sabemos resolver una ecuación de segundo grado sin necesidad de usar la fórmula: descomponiendo en factores (al menos cuando los ceros son enteros). Vamos a hacerlo así, siguiendo los siguientes pasos:

A Descomponemos en factores para reducir el t.i. de manera que éste tenga menos divisores.

B Descomponemos en factores (por división).

P(x) = 4x2 – 28x + 48 = 4(x2 -7x + 12) = 4(x – 3)(x – 4)

Resolver la ecuación propuesta es lo mismo que resolver 4(x – 3)(x – 4) = 0, y puesto que uno de los tres números es distinto de cero, alguno de los otros dos debe ser cero.

Es decir, las soluciones son 3 y 4. Igual que en la anterior.

4 Dado el polinomio cuya expresión es P(x) = 3(x – 2)(x – 5) ¿Cuáles son los ceros del polinomio? ¿Cómo se escribe como suma de monomios?¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 3x2 – 21x + 30?

Comenzamos por la segunda pregunta: los ceros del polinomio son 2 y 5 porque P(2) = 0, y P(5) = 0.

Para encontrar el polinomio basta hacer la multiplicación:

P(x) = 3(x – 2)(x – 5) = 3(x2 – 2·x – 5x + 2·5)=

= 3[ x2 – (2 + 5)x + 2·5 ]=

= 3x2 – 3·(2 + 5)x +3·2·5 = 3x2 – 21x + 30

Para resolver la ecuación no tenemos que hacer más que fijarnos en todo lo anterior. Así vemos que las soluciones son los ceros del polinomio P(x).

1 -7 12

3 3 -12

1 -4 0

x - 3 = 0

x - 4 = 0

x = 3

x = 4

Además observamos: que el coeficiente de x se obtiene multiplicando por 3 la suma de las soluciones de la ecuación o ceros del polinomio. Y que el término independiente se obtiene multiplicando por 3 el producto de las soluciones.

5 Relación entre los ceros del polinomio y sus coeficientes.Lo que hemos observado es una propiedad general de los polinomios de segundo grado (y de las ecuaciones de segundo grado): si x1 y x2 son los ceros del polinomio P(x) = ax2 + bx + c y, por tanto, soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0,

P(x) = a(x – x1)(x – x2) =

= a(x2 – x1x – x2 x + x1x2 )=

= a[ x2 – (x1 + x2 )x + x1x2]=

= ax2 – a (x1 + x2 )x + a x1x2=

= ax2 + bx + c

Identificando

El resultado se expresa, normalmente en la forma:

b = – a (x1 + x2) y c = a x1x2

Ejercicio:

1 Usa estas relaciones para encontrar el polinomio de segundo grado cuyos ceros sean -1 y -2, si su coeficiente principal es -2.

2 Usando estas relaciones encuentra los ceros de P(x) = x2 – 5x + 4.

6 Dado el polinomio P(x) = ax2 + bx + c, encontrar su descomposición factorial.

Supongamos que x1 y x2 son las soluciones de la ecuación. Utilizando lo que sabemos, por lo expuesto anteriormente, obtenemos:

P(x) = ax2 + bx + c = ax2 – a(x1 + x2)x + a x1x2 = a[x2 – (x1 + x2)x + x1x2]= a[x2 – x1x - x2x + x1x2]

Si ahora sacamos factor común x, entre los dos primeros sumandos, y -x2, entre los dos últimos, tenemos:

P(x) = a[x(x – x1) – x2 (x - x1]= a(x – x1)(x – x2)

Esta descomposición tiene como principal ventaja, sobre la obtenida por división, que un polinomio de segundo grado se puede descomponer incluso cuando sus ceros, si los tiene, no sean enteros.

Ejemplo: Descomponer en factores el polinomio P(x) = x2 + x - 1

El primer paso es encontrar los ceros (soluciones de la ecuación x2 + x - 1 = 0. En nuestro caso

los ceros son y .

Después aplicamos lo que acabamos de obtener:

P(x) =1·

Ejercicio 2 Descomponer en factores

a P(x) = 3 x2 +2 x - 1

b P(x) = x2 + 5 x + 6