I.E.S. V Centenario Prof. R. Mohigefer

TABLA DE DERIVADAS NOTA: u y v representan, cada una, una expresión en función de x

FUNCIÓN DERIVADA Ejemplos Constante y = k y’ = 0 y = 5 y' = 0 Identidad y = x y’ = 1 y = 4x y’ = 4 Potenciales y = un y’ = nun–1u’ y = (2x+7)4 y’ = 8(2x+7)3

y u= y’u

u2

'= y x3= y’

x323

=

y n u= y’n nun

u1

'−

= y 4 7x= y’4 3)7( 4

7x

=

Exponenciales y = eu y’ = u’eu y = e4x+5 y’ = 4e4x+5

y = au y’ = u’au ln a y = 37x–5 y’ 3ln3·7 57 −= x

Logarítmicas

y = ln u y’uu'

= y = ln (2x+ 7) y’72

2+

=x

y = loga u y’uu'

= loga e auu

ln1 '= y=log2(3x+4) y’ e

x 2log43

3+

=

Trigonométricas y = sen u y’ = u’ cos u y = sen 2x y’ = 2 cos 2x y = cos u y’ = –u’ sen u y = cos x3 y’ = –3x2 sen x3

y = tg u y’ )tg1('cos

' 22 uuu

u+== y = tg 5x y’ )5tg1(5

5cos5 22 x

x+==

y = cotg u y’ )cotg1('sen

' 22 uuu

u+−=−= y=cotg(3x+2) y’

)23(sen3

2 +−=

x

y = sec u y’ = u’ sec u tg u y’ = sec 3x y’ = 3 sec 3x tg 3x y = cosec u y’ = –u’ cosec u cotg u y’ = cosec x2 y’ = –2x cosec x2 cotg x2

y = arcsen u y’21

'u

u−

= y = arcsen x2 y’41

2x

x−

=

y = arccos u y’21

'u

u−

−= y = arccos 5x y’2251

5x−

−=

y = arctg u y’ 21'u

u+

= y = arctg 2x y’ 2412

x+=

PROPIEDADES BÁSICAS '' kuykuy =⇒= , Rk∈ ''' vuyvuy ±=⇒±=

'''· uvvuyvuy +=⇒= 2

'''v

uvvuyvuy −

=⇒=

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TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

NOTA: u y v representan expresiones que son funciones de x

INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos Potenciales

Cxdx +=∫ Cxdxdx +== ∫∫ 555

Cnudxuu

nn +

+=

+

∫ 1 '

1

)1( −≠n Cxdxx +=∫ 4

43 ; Cxdxx +

+=+∫ 3

)13()13(33

2

Cudxu

u+=∫ 2

' Cxdxxx

++=+

∫ 112

3 3

3

2

Exponenciales y logarítmicas Cedxeu uu +=∫ ' Cedxex xx += ++∫ 333 44

4

Ca

adxauu

u +=∫ ln' Cdx

xx +=∫ 2ln

22·77

7

Cudxuu

+=∫ ln' Cxdxx

x++=

+∫ 1ln1

3 33

2

Trigonométricas Cudxuu +−=∫ cos sen ' Cxdxxx ++−=+∫ )5cos()5(sen 2 22

Cudxuu +=∫ sen cos' Cxdxxx +−=−∫ )1(sen)1cos(3 332

Cudxuu +−=∫ cosln tg' Cxxdxxxx ++−=++∫ )cos(ln)( tg)12( 22

Cudxuu +=∫ sen ln cotg' Cxdxxx +=∫ 22 sen ln cotg2

Cudxu

u+=∫ tg

cos'2 Cxdx

x+=∫ 3 tg

3cos32

Cudxuu +=∫ tg sec' 2 Cxxdxxx +++=+++∫ )1( tg 1)x(sec)13( 3322

Cudxuu +=+∫ tg) tg1(' 2 Cxdxx +=+∫ 2 tg)2 tg1(2 2

Cudxu

u+−=∫ cotg

sen'2 Cxdx

xx

+−=∫ 222 cotg

sen2

Cudxuu +−=∫ cotg cosec' 2 Cxxdxxx ++−=++∫ )( cotg x)(1)cosec4( 4423

Cudxuu +−=+∫ cotg)cotg1(' 2 Cxdxx +−=+∫ 3 cotg)3cotg1(3 2

Cudxu

u+=

−∫ arcsen

1'

2 Cx

xdx

+=−

∫ 2arcsen 41

22

Cudxu

u+=

+∫ arctg1

'2 Cedx

ee x

x

x

+=+∫ arctg

1 2

PROPIEDADES BÁSICAS

∫∫ = dxukdxku ∫∫∫ ±=± dxvdxudxvu )(

Integración por partes:

∫∫ −= duvuvdvu Cambio de variable:

∫∫ = dttfdxuuf )(')( , llamando t = u(x)