derivadas de funciones multivariables
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Apunte de un profesor de Análisis Matemático sobre derivadas de funciones multivariables.TRANSCRIPT
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 7 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II Apuntes de
clases Prof. Ing.
Miguel Ángel Ramadán
Tema Derivadas de Funciones multivariables [email protected]
Por favor, s i se encuentra algún error (símbolos, letras, números, etc.) av isar mediante e-mail a la dirección del encabezado. Gracias .-
Derivadas parciales
Supongamos una función );( yxfz , continua en todo su dominio (f igura
113) y consideremos un punto );();( baPyxP 00 a part ir del cual, mediante un
incremento inf initesimal x , se llega a un punto );( oyxQ , obteniéndose un
incremento de la función z, debido a la variable x, cuya expresión es:
),(),()()( oooooiPQx yxfyxxfffzzz
leído sobre la curva de intersección con el [y=cte=yo] .
Sabemos, por Anam 1, que la derivada de una función se def ine como el
límite del cociente incremental entre el incremento de la función y el incremento
de la variable, cuando éste t iende a anularse: v
fLím
dv
df
0v
Por lo tanto, tomando el límite del cociente incremental formado entre el
incremento debido a x y el incremento de x, tendremos:
x
z
x
yxfyxxfLím
x
zLím oooo
0x
x
0x
),(),(
que es, por definición de der ivada, la derivada de la función con respecto a una
de sus variables independientes, la x.
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Observemos:
1.- al pasar del punto P al punto Q, sólo varió la variable x, manteniéndose
constante la variable y, ya que el trayecto seguido fue a lo largo de un seg mento
de recta en la dirección de las x, no teniendo componente alguna en dirección
de las y.
2.- ello s ignif ica que, si bien la función es dependiente de dos variables, ella
cambió por efecto de los cambios de una de dichas variables, la x. Por ello se
dice que el cambio de la función es parcial , pues se debe a una, y sólo una, de
sus variables, y por el lo, la der ivada obtenida es llamada der ivada parcial .
3.- la notación de la derivada parcial ut i l iza una d griega, , en vez de la
d lat ina, para denotar que el cambio, o variación de la función se produce por
efecto de un cambio en una de sus variables, no actuando las restantes.
4.- también se dice que esta derivada es una derivada de la función en la
dirección de las x, ya que todo sucede para cambios de esta variable,
únicamente.
Por ello, la derivada parcial también es l lamada derivada direccional.
Y ahora podemos generalizar que toda der ivada es una derivada
direccional, si le asignamos a la variable cont ra la cual se der iva, algún
signif icado geométrico o posicional.
Del mismo modo, si ahora consideramos la f igura 11 4, vemos que si
seguimos a part ir del punto P, una dirección en el sentido creciente de las y,
hasta llegar al punto R, manteniendo invariab le la posición x en 0x , leemos en
las intersecciones de los ejes paralelos a z (que pasan por los puntos P y R)
con la curva intersección entre la superf icie de la función y el [x=cte=xo] , sendos
valores de la función ( )(Pz y )(Rz ) que definen el incremento parcial de la función
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con respecto a la variable y: ),();()()( oooooiPRy yxfyyxfffzzz
Con este incremento parcial conformamos el cociente incremental: y
zy
al que, al tomarle el límite, nos define la der ivada de la función con respecto a
su variable y, es decir, la derivada direccional en la dirección y, de la función:
y
z
y
yxfyyxfLím
y
zLím oooo
0y
y
0y
),();(
Interpretación geométrica
Consideremos nuevamente la f igura 114, y tomemos en la f igura 115
la v ista correspondiente al plano intersección [x=cte=xo] , solamente.
Vemos que )(tgy
zy
, al considerar el tr iángulo rectángulo formado por la
cuerda entre los puntos de )(Pz y )(Rz , y los catetos yz y y .
Junto con el hecho de que al tender y a cero, el punto de )(Rz se acerca
más y más al punto de )(Pz , se deduce que la cuerda, o secante, t iende a la
tangente en el punto de )(Pz , con lo que el ángulo t iende más y más al valor
º180 , por lo que: )()º())(( Tg180TgTgLímy
zLím
y
z
0y
y
0y
lo que signif ica que el valor de la der ivada en el punto P es igual al valor
tr igonométrico de la tangente de un ángulo (en este caso, ); o lo que es lo
mismo, se interpreta que el valor de la derivada en el punto P es igual al valor
de la pendiente de la recta tangente a la curva intersección correspondiente al
punto P del dominio. (Nótese que no se dice que la der ivada es igual a la
tangente).
De un modo simi lar, se puede concluir que: )())(( TgTgLímx
zLím
x
z
0x
x
0x
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util izándose los ángulos y , en virtud de ser tomados como los ángulos
directores con respecto a los ejes coordenados, en las definiciones de la
Geometría Analít ica.
Estas derivadas obtenidas hasta aquí son de primer orden, o derivadas
primeras, teniendo una función mult ivariable tantas derivadas primeras como
variables independientes posea; así, para );;( zyxfw , se tendrá:
)(0
Tgx
wLím
x
w x
x
, )(
0Tg
y
wLím
y
w y
y
, )(
0Tg
z
wLím
z
w z
z
Dado que la derivada representa numéricamente el valor de la pendiente
de una recta que es tangente a la curva involucrada en el punto referenciado por
el dominio de la función, inferimos que las pendientes pueden ser crecientes,
decrecientes o nulas, y por ello, las derivadas pueden ser un número real
posit ivo, negativo, o nulo.
Cálculo de la der ivada parcial
Para calcular la derivada parcial, como cualquier derivada, hay tres
procedimientos:
1.- por definic ión: se determinan los incrementos de las variables independiente
y dependiente; se establece el cociente incremental entre ambos incrementos;
se toma el límite del cociente incremental; se opera algebraicamente hasta
llegar a la mínima expresión. El límite se toma para la variable independiente
que opera como tal mientras las otras variables se consideran como constantes,
es decir, se opera como si se tratase de una función monovariable;
2.- por derivación directa: como en Anam 1, apl icando las propiedades allí
v istas, que se aplican idénticamente a las derivadas parciales. También aquí se
prepara la expresión a derivar teniendo en cuenta cuál variable operará como
independiente, y cuál como constante;
3.- mediante tablas de derivadas: para agi lizar la obtención de las expresiones
de las derivadas se recurre a tablas en las que las deri vadas de funciones más
frecuentes se encuentran ya determinadas en un principio (generalmente
simból ico) de mínima expresión. Las tablas más apropiadas son las llamadas de
variable universal (variable U), debiéndose adaptar la expresión en variable
universal a la variable con la que se quiera operar. Las der ivadas tabuladas son,
en general, expresiones de apl icación directa, aunque también es frecuente la
necesidad de combinar las indicaciones de la tabla a f in de obtener la der ivada
f inal de algunas expres iones un tanto más compuestas. En suma, hay que
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codif icar y decodif icar, mediante el uso de la tabla de der ivadas en variable
universal.
Valuación de una derivada: en las aplicaciones prácticas es frecuente tener
que calcular el valor de la derivada para determinadas condiciones del
problema, o del fenómeno; en estos casos hay que tener en cuenta:
a.- el número representativo de la der ivada es un número real posit ivo, o
negativo, o nulo;
b.- dicho número se obtiene reemplazando en la estructura algebra ica de la
derivada (ley, en su mínima expresión) los valores de la condición del
fenómeno, establecidos en el enunciado del mismo, y que, por convención
matemática, es una n-upla ordenada (par, terna, etc.);
c.- dado que la función a der ivar puede representar algún t ipo de magnitud
física (velocidad, t iempo, temperatura, etc.) el número real obtenido en la
valuación puede ser un número abstracto (sin dimensión), o un número concreto
(con dimensión), por lo que hay que tener en cuenta al expresar el resulta do
f inal de la der ivación el t ipo de dimensión que tal número representa;
d.- todo número emergente del cálculo (por derivación u otros algoritmos) está
sujeto a la convención del redondeo a dos cifras signif icativas después de la
coma, por exceso si la tercer c ifra es igual o superior a 5, o por defecto s i es
inferior a 5 (salvo indicación específ ica en otro sentido; los inf initésimos, tales
como, por ejemplo, los incrementos anteriormente vistos, se redondean con el
mismo criterio con cinco cifras signif icativas después de la coma).
Los procedimientos indicados son objeto de estudio de las clases
prácticas.
* * * * * * *
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NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
Derivadas Parciales
132.- Hallar la der ivada de 223 yxy3x2z con respecto a y, aplicando la
definic ión de der ivada.
Planteo, desarrollo y resultado:
Como );( yxfz , entonces la der ivada sol icitada es una derivada parcial:
y
yxy3x2yyyyx3x2Lím
y
zLím
y
z 223223
0y
y
0y
)()().(
y
yxy3x2yyyyy2yx3x2Lím
2232223
0y
)()...(
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y
yxy3yyyyy2yx3Lím
22222
0y
)()...(
y
yxy3yyyx3yyx6yx3Lím
22222
0y
)(.....
y
yyyyx3yyx6Lím
222
0y
)(....
220y
22
0y yy
1
yyy
1yx3yx6Lím
y
y
y
yyyx3yx6Lím
.).(...
)(...
222
22
0y yyyy
yyyyyyx3yx6Lím
.).(
).(....
222
222
0y yyyy
yyy2yyyyyx3yx6Lím
.).(
)..(....
222
3222
0y yyyy
yyy2yyyyyx3yx6Lím
.).(
.......
222
32
0y yyyy
yyy2yx3yx6Lím
.).(
.....
222
3
222
2
0y yyyy
y
yyyy
yy2yx3yx6Lím
.).(.).(
.....
)(...)(.)(
...332220y y
2xy3
y
2yx6
yyy
y
yyy
2yx3yx6Lím
Que es la expresión de la derivada, obtenida por apl icación de la
definic ión de der ivada.
* * * * * * *
133.- Derivar directamente, aplicando propiedades, la función del ejercicio
anterior, también con respecto a y.
Planteo, desarrollo y resultado:
La función t iene un desarrollo con tres términos. La derivada del primer
término es nula, por cuanto el término es constante con respecto a y; la
derivada del segundo término es xy6 ; y la derivada del tercer término es 3y2 .
Por lo tanto: )()(.. 3
33y2xy3
y
2xy3
y
2yx60
y
z
(Más rápido que apl icando la definición, ¿no? La conclusión inmediata es que
conocer muchas propiedades de la derivación, permite una determinación
directa de la función derivada, sin tener que pasar por el desarrol lo
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relat ivamente extenso de la aplicación de la definición; salvo que así se lo
solicite.)
* * * * * * *
134.- Resolver la misma derivada del ejercic io anterior, ut i l izando tablas de
derivadas.
Planteo, desarrollo y resultado:
Como se di jo en clases, el uso de las tablas de der ivadas facil i ta y acelera
la determinación de las der ivadas que se necesiten. Como todas las cosas, hay
que aprender, y practicar, el uso de estas tablas. Las tablas que preferiremos
serán las de variable universal u .
En general, el trabajo con tablas se necesita cuando la der ivación directa
o por propiedades resulta difícil , por cualquier circunstancia. El uso de la tabla
implica una especie de codif icación/decodif icación de los element os de la
función.
En este ejercic io, dada la simplicidad e inmediatez de su derivación
directa, se dif iculta apreciar la ventaja de una buena tabla de derivadas.
Por ejemplo, analizando los componentes de la función, y al mismo t iempo
el contenido de la tabla, se ve que el primer miembro, con respecto a la variable
y es una constante; y la derivada de una constante, en la tabla, es cero, por lo
que convirt iendo en una constante a dicho término: 3x2C , vemos que en la
tabla: 0du
dCx2C 3 )'(' .
El segundo término puede codif icarse así, observando la tabla:
)(...).( ufCuCyCyx3xy3 2222
cuya derivada, según la tabla, es:
1y2CuuaCdu
uduaC
du
udC
du
udC
du
ufdCufC
du
uCduC 1a
1aa222 ...'...
)(...
)(.
)(.
))((.)('.
).(]'.[
o sea: xy6 ; y en cuanto al tercer término: a2 uy por lo que:
31aa2 y2uauy .)'()( '
En consecuencia:
)()(.. 3
33y2xy3
y
2xy3
y
2yx60
y
z
* * * * * * *
135.- Hallar las derivadas parciales de yxyxfz .);( , aplicando la definición de
derivadas.
Planteo, desarrollo y resultado:
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yyLímx
xyLím
x
xyxyxyLím
x
xyyxxLím
x
zLím
x
z
0x0x0x0x
x
0x
)()()()
).(()(
xxLímy
yxLím
x
xyyxxyLím
x
xyyyxLím
y
zLím
y
z
0y0y0y0y
y
0y
)()()()
).(()(
* * * * * * *
136.- Hallar las derivadas parciales de yxyxfz .);( , aplicando la derivación
directa.
Planteo, desarrollo y resultado:
Analizando la estructura funcional vemos que, en un caso una variable
actúa como tal mientras la otra es tomada como constante, y en el otro caso se
intercambian dichos roles, por lo tanto: yx
z
y x
y
z
* * * * * * *
137.- Hallar las derivadas parciales de yxyxfz .);( , aplicando la tabla de
derivadas, en variable universal.
Planteo, desarrollo y resultado:
:x
z
pensamos a la función como: uCCxz ..
y, según la tabla, es: '.' uCz donde: 1du
duu '
por lo que: yC1Cx
zz
.' luego: y
x
z
:y
z
pensamos a la función como: uCyCz ..
y, según la tabla, es: '.' uCz donde: 1du
duu '
por lo que: xC1Cy
zz
.' luego: x
y
z
* * * * * * *
138.- Hallar las derivadas parciales de 32 yx3yxfz .);( , aplicando la tabla de
derivadas, en variable universal.
Planteo, desarrollo y resultado:
:x
z
Pensamos a la función como: a223 uCxCxy3z ..)(
y, según la tabla, es: 3311a xy6x2y3u2C1u2CuuaCz .....'...'
entonces: 3xy6x
z
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:y
z
Pensamos a la función como: a332 uCyCyx3z ..)(
y, según la tabla, es: 2222221a yx9y3x3u3C1u3CuuaCz .....'...'
entonces: 22 yx9y
z
* * * * * * *
139.- Hallar las derivadas parciales de 32 yx3yxfz .);( , aplicando la definición
de derivadas.
Planteo, desarrollo y resultado:
¿Se puede derivar?: sí; no; ¿por qué?.
)
)(()
.)(()(
x
yx3yxxx2x3Lím
x
yx3yxx3Lím
x
zLím
x
z 32322
0x
3232
0x
x
0x
333
0x
233
0x
3223332
0xxy6xy3xy6Lím
x
xy3xxy6Lím
x
yx3xy3xxy6yx3Lím
)()()(
y
)
)(()
).(()(
y
yx3yyy3yy3yx3Lím
y
yx3yyx3Lím
y
zLím
y
z 3232232
0y
3232
0y
y
0y
)()(
y
yx3yyx9yyx9Lím
y
yx3yx3yyx9yyx9yx3Lím
322222
0y
3232222232
0y
2222222
0yyx9yx3yyx9yx9Lím
)(
* * * * * * *
140.- Hallar las derivadas parciales de 32 yx3yxfz .);( , aplicando la derivación
directa.
Planteo, desarrollo y resultado:
1.- considerando a y como constante, se t iene: 33 xy6x2y3x
z
2.- considerando a x como constante, se t iene: 2222 yx9y3x3y
z
* * * * * * *
141.- Valuar las der ivadas parciales de yxyxfz .);( , para las condiciones:
a.- C(1;2); b.- C(1;-2); c.- C(-1;2); d.- C(-1;-2).
Resultados:
a.- 2yx
zC
C
)( 1x
y
zC
C
)( b.- 2y
x
zC
C
)( 1y
y
zC
C
)(
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c.- 2yx
zC
C
)( 1x
y
zC
C
)( d.- 2y
x
zC
C
)( 1x
y
zC
C
)(
* * * * * * *
142.- Escriba las conclusiones a que arriba luego de anal izar los resultados
obtenidos en el ejercicio anterior.
* * * * * * *
143.- Valuar las derivadas parciales del ejercic io 138 para las condiciones:
a.- C(-3;4); b.- C(2;1).
* * * * * * *
144.- Valorar las derivadas parciales del ejercic io 132 para las condiciones:
a.- C(-3;4); b.- C(2;1).
* * * * * * *
En los 3 ejercicios siguientes, derivar directamente, apl icando las
propiedades de la der ivación y valorar para la condición C(2;1):
145.- 7xyyx3x2z 1223
Planteo, desarrollo y resultado:
¿Se puede derivar?: valuemos la función en la condición dada:
23
2332322
2
2
3
1223
yx
yxxyyxx3y27
x
1
y
1yx3
x
27xyyx3x2z
expresión que, si bien incompleta, ya nos permite apreciar una discontinuidad
en (0;0), pero que será continua en C(2;1).
Lo confirmamos valorando en C(2;1):
721123227xyyx3x2z 1223C
1223C ...)()(
4
21
4
2
4
24
4
1
2
16
4
17
2
1112
4
17
2
11232 22 . número real
Y sacando el límite:
)]([)()(
);();();();(7xyyx3x2LímLím7xyyx3x2LímzLím 1223
2x1y
1223
12yx12yx
L4
2172123272yy232Lím 12221222
1y
.].[
Y como Lz C )( la función es continua y der ivable para la condición C, y el
incremento de la función es expresable por medio de un diferencial valorado
para esta condición, por lo que es diferenciable.
Entonces, las derivadas son:
2424 xxy6x60x1xy32x32x
z
)(.).( ( ley)
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luego: 8
101
8
2963
4
112
8
3
4
11223212626
x
z 324
C
....
y 32 y2x3y
z
por lo que: 102121223y2x3
y
z 32C
32
C
..)(
* * * * * * *
146.- 3 22yxz
.
Planteo, desarrollo y resultado:
Ley:
x
xy
x
yx
x
yx
x
yx
x
yx
x
z 3
2
3
43
4
3
2
3
1
423 423 22][].[]).[().().(
3 543
1
543
5
3
41
3
2
3
4
xy3
2xy
3
2xy
3
2x
3
2y
][)( luego:
Valor:
3 3
53
5
3 53 54
C 3
2
2
1
2
12
3
221
3
2
x
z)(
2101083232
2 3 13 32335
3
,)(..
y
y
yx
y
yx
y
yx
y
yx
y
yx
y
z 3
4
3
23
4
3
2
3
1
423 423 22][].[]).[().().(
3 1723 723
1
723
7
3
21
3
4
3
2
yx3
4yx
3
4yx
3
4yx
3
4y
3
4x
)(][)(
por lo que:
8303
44
3
44
3
44
3
412
3
4
y
z3
3
23 1
3
3
3 133 13 172
C
,)()(
* * * * * * *
147.- 32yxLnz
.
Planteo, desarrollo y resultado:
La función está definida en la condición dada, por lo tanto:
Ley: 1
63
46
63
63
6332
x3yx
x3y
yx
x
yx
x
yxLn
x
yxLn
x
z
.
).(
.
).(
)).(().(
luego:
Valor: 512
323
x
z 1
C
,.
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y 1
63
73
63
63
6332
y6yx
y6x
yx
y
yx
y
yxLn
y
yxLn
y
z
.
).(
.
).(
)).(().(
por lo que: 616y
z 1
C
.
* * * * * * *
148.- Derivar 32yxLnz
. mediante tabla de derivadas de variable u.
Planteo, desarrollo y resultado:
El uso de la tabla de der ivadas supone que ya se posee cierta experiencia
en der ivación directa de las estructuras más elementales. Y una nueva
derivación util izando tablas enr iquece tal exper iencia, y así sucesivamente, de
modo que a medida que este c iclo se repite, el uso de la tabla se transforma
también en una especie de derivación directa asist ida, en una especie de
procedimiento híbrido entre la indicación de la tabla y el conocimiento previo de
ciertas derivadas directas .
En este ejercic io podríamos hacer 6332 .. yxyxu con lo que tendríamos
que )(.32 uLnyxLnz
.
Buscando en la tabla, suponiendo que para nosotros no es directa la
derivada del logar itmo neperiano, encontramos que u
uuLn
')(
' , y recordando que
la función es de dos variables, adaptamos la indicación de la tabla para esas
dos variables: u
uuLn x
x
''
)( y u
uuLn
yy
''
)( .
Encontremos las der ivadas, primero para x y después para y:
64284242'
32' ..3...3.)..(3.
yxyyxyyxyxu
xx con lo que:
1
3
4
63
64''
.3.3
.
..3)(
x
x
x
yx
yx
u
uuLn
x
z xx
y 738442'
32' ..62...32.)..(3.
yxxyyxxyyxyxu
yy con lo que:
1
6
7
63
73''
.3.3
.
..6)(
y
y
y
yx
yx
u
uuLn
y
z yy
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 8 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
En los 5 ejercic ios siguientes, derivar y valorar para C(2;1), ut i l izando el
procedimiento que considere conveniente. Expl ique si se obtiene siempre
funciones definidas: 149.- 3 22
1
yx
xz
150.- yxz 151.- yxz 3.
152.- )(. xLnxz y 153.- 32.yxLnLnz
* * * * * * *
154.- Hallar el valor de
yx
y-xSenz si P(2;1)en '.'. yx zyzx
* * * * * * *
155.- Determinar la ley de variación de volumen que exper imenta el recinto del
ejercic io 114 y comparar los valores con los incrementos obtenidos
oportunamente.
Planteo, desarrollo y resultado:
);;( cbafcbaV habrá, entonces, tres variaciones parciales de volumen,
una por cada ar ista: cm
cm 75,85,3.5,2
3
cb
a
V
y el incremento de volumen debido a la arista a, es:
3cm 875,05,3.5,2.1,0.. cbaVa
Los cm
cm 75,8
3
representan una razón de cambio del volumen por cada cm de
cambio de la arista, mientras que 3cm 875,0 representa la variación del volumen al
variar 0,1 cm la arista a.
Proseguir con los otros valores restantes.
* * * * * * *
156.- Hallar el valor del área 2
)(.. SenabA de un recorte tr iangular, y luego su
ley de variación con respecto a, respectivamente: su base; su altura; el ángulo
, si a=20 cm, b=30 cm, =30º.
Planteo, desarrollo y resultado:
Primero buscamos una disposición triangular que
sea compatible con la fórmula de área suministrada;
podría ser la indicada en la f igura 116; entonces:
Valor del área: 22 cm 150cm2
)º30(.20.30
2
)(..
SenSenabA
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 8 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Ley de variación con respecto a la base:
cm
cm 5
cm
cm
2
)º30(.20
2
)(. 22
SenSena
b
A
Ley de variación con respecto a la altura:
cm
cm 5,7
cm
cm
2
)º30(.30
2
)(. 22
SenSenb
a
A
Ley de variación con respecto al ángulo:
)(º
cm 81,259
)(º
cm
2
)º30(.20.30
2
)(.. 22
CosCosabA
* * * * * * *
157.- Determinar los valores del área, de su incremento y de su ley de
variación, en el problema anterior, si el ángulo aumenta un cuarto de radián.
Planteo, desarrollo y resultado:
Los 30º inic iales equivalen a rad 6
º30
, por lo que si aumenta un cuarto
de radián, el nuevo ángulo es: 44,32ºrad )4
1
6(
por lo que el área
nueva t iene un valor: 2cm 61,2092
)4
1
6(.20.30
2
)(..
SenSenab
A
El incremento del área, en función del ángulo, es:
)]()([2
.
2
)(..
2
)(..
SenSen
abSenabSenabA
2cm 61,59)]6
()4
1
6([
2
20.30
SenSen
La ley de variación es: )(º
cm 62,214
2
)4
1
6(.20.30
2
)(.. 2
CosCosabA
* * * * * * *
158.- En un trozo triangular de corcho, de lados b=10 cm, c=15 cm y con un
ángulo = 1 radián, determinar: a) el valor de a; b) la rapidez de cambio de a
con respecto a b solamente; c) la velocidad de variación de a con respecto a
solamente; d) la rapidez de variación de con respecto a b solamente.
* * * * * * *
159.- Hallar la ley de variación y valorarla en C(2;1), si:
22
22
22
22
22
22
yx
yxTanLnz c)
yx
yxCosLnz b)
yx
yxSenLnz a)
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22
221-
22
221-
22
221- Tan z f) Cos z e) Sen z d)
yx
yx
yx
yx
yx
yx
* * * * * * *
Hallar, método directo, las der ivadas parciales de las siguientes funciones:
160.- xyz 3
Resultados:
1..3)3(
xx
yxx
y
x
z )(..3
)3(yLny
y
y
y
z xx
* * * * * * *
161.- 22 43 uyxw
Resultados:
xx
w2
3
y
w u
u
w8
* * * * * * *
162.- 2
.3 2 xyexz
Resultados:
)2.(33.6 222 222
xyxeeyxexx
z xyxyxy
22 32 623 xyxy yexxyexy
z
* * * * * * *
163.- )()( 1 ytgyarctgz
Resultados:
2222
)(
)(1
1
yx
y
x
y
x
yx
z
222
1
)(1
1
yx
x
x
x
yy
z
164.- dycx
byaxz
Resultados:
22 )()(
)()(
dycx
bcady
dycx
byaxcdycxa
x
z
y
z completar
* * * * * * *
165.- zyxexzyzxyw 2
Respuestas:
zyxezyx
w
22 zyxezxy
w
2
z
w completar
* * * * * * *
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166.- )()( 2xCosvuw
Respuestas:
)().(2 2xSenvuxx
w
y
w
z
w completar
* * * * * * *
167.- )(. yxCosez yx
Respuestas:
x
z
y
z completar
* * * * * * *
168.- 232 )2( yxeyxarctgz 169.- )().3( zLnxyw
170.- )().3( zLogxyw 171.- )(. 32
x
ySenxu
172.- )()(y
xSenxyLogz 173.- )()(
y
xSenxyLnz
174.- )3(. 2
2yxCosz
xy
zw 175.-
2yxz
176.- xyexyLnz )( 177.- xyexyLogz )(
* * * * * * *
178.- Valorar la función )]2([ yxSenez x y todas sus derivadas parciales en el
punto )1;2(P .
Planteo, desarrollo y respuesta:
)4(.)]22([)]]2([[][ 22 SeneSeneyxSenez Px
P
Pongamos atención a que, en este caso, las coordenadas del punto se
dimensionan en radianes (y no en grados) para util izarlas en el argumento de la
tr igonométrica.
Por lo tanto, al usar la calculadora, debemos configurar el v isor en
radianes, antes de efectuar los cálculos.
De este modo: 10,010242208,0][ Pz
Las derivadas parciales son:
)]2()2([)]2(.[)]2(.[ yxSenyxCoseyxCoseyxSenex
z xxx
luego:
)]22()22([)]]2()2([[][ 2 SenCoseyxSenyxCosex
zP
xP
014,0013961035,0)]4()4([2 SenCose
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Verif ique lo anterior y determine lo concerniente a la der ivada restante.
* * * * * * *
179.- Calcular las derivadas parciales de la función, en el punto (0;0) , definida
por:
(0;0)y)(x; para 0
(0;0)y)(x; todopara );( 22 yx
xy
yxfz
Planteo, desarrollo y respuesta:
Por la definición de la función vemos que en el or igen su valor es cero,
pero el denominador nos dice que en el origen la función debiera ser
discontinua.
Veamos qué pasa si calculamos una de las derivadas parciales y la
evaluamos en el origen:
222
22
222
32
222
232
222
22
)(
)(
)()(
2
)(
2).(
yx
xyy
yx
yyx
yx
yxyyx
yx
xxyyxy
x
z
0
0
)00(
)00(0][
222
22
P
x
z
es decir que nos encontramos con una indeterminación, que no podemos salvar;
por ello, será más conveniente calcular la derivada aplicando la definic ión de
derivada en el origen: ][]
);()(
)(
[0
22
0 x
ffLím
x
yxfyxx
yxx
Límx
z oi
xx
que evaluamos en el origen, sabiendo por definic ión que 0);( Po yxff :
0]0[]0
[]
0
[]
00)0(
00
[])(
[030
2
0
2
0
22
0
xxxxP
o
xP
Límx
Límx
xLímx
xLím
x
fyxx
xyxy
Límx
z
Calcule Ud. el valor de la otra derivada.
* * * * * * *
180.- Verif icar que la función definida por 5642 2123);( xyxyxyxfz
satisface a la expresión: zy
zy
x
zx
6
Planteo, desarrollo y respuesta:
554 2726 yxxyx
z
y 432 1012 xyyx
y
z
y entonces:
)363(2]2726[ 554554 yxxyxyxxyxx
zx
y también:
)56(2)1012( 4432 yxxyxyyxyy
zy
y sumando:
54256424554 10122726)56(2)363(2 xyyxxyxyxyxxyyxxyx
y
zy
x
zx
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zxyxyxxyxyx 6)2123(6127218 56425642
* * * * * * *
181.- Hallar la pendiente de la función 8
25
2
1);( 22 yxyxfz en el punto
)1;2
1(P y en las direcciones de x y de y.
Pista
Las pendientes vienen dadas por las derivadas parciales valoradas en el
punto, siendo cada der ivada parcial, una derivada direccional, una en la
dirección de las x y la otra en la dirección de las y.
* * * * * * *
182.- Lo mismo que el ejercicio anterior, para la función 6
);(2xy
yxfz .
* * * * * * *
183.- Hallar la tasa de cambio del volumen, respecto de la altura, de un
cil indro circular recto, donde la altura es de 20 cm y el radio permanece
constante en 4 cm.
* * * * * * *
184.- Siendo )].2([ 2 zxySenzw hallar las leyes de todas las derivadas parciales
posibles.
* * * * * * *
Diferencial de una función mult ivariable
Para llegar a una definic ión del diferencial de una función mult ivariable
necesitamos recurrir a una adaptación del Teorema del Valor Medio visto en
Anam1.
Teorema del valor medio
Supongamos que una función );( yxfz grafica una superf icie como lo
indica la f igura 117.
En la f igura 118 tenemos su dominio de
existencia, en el que suponemos un entorno
reducido del punto );( yxP , punto en el que
suponemos la cont inuidad y la valuación
concreta de la función y sus derivadas, y se
ha dibujado, conveniente y exageradamente
ampliada, a una porción del entorno del punto
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P a los efectos de rotular con comodidad los puntos de interés.
Las posic iones intermedias entre los puntos, tanto en el sentido de las x
como en el sentido de las y, se establecen mediante 10 1 y 10 2 .
En estas condiciones, el incremento total de la función, entre el punto P y
el punto R (por ejemplo), es:
),();(inicialdaincrementa)()( yxfyyxxfffffzzz oiPR
A los efectos de hacer aparecer el teorema de Lagrange en esta expresión,
le sumamos y le restamos (para no alterarla), o el valor de la función en el punto
S, o el valor de la función en el punto Q; adoptemos este últ imo, por gus to:
);();(),();( yxxfyxxfyxfyyxxfz
Asociemos el primer y cuarto términos, por un lado, y el tercer y segundo
términos, por el otro:
)],();([)];();([ yxfyxxfyxxfyyxxfz
El primer término del segundo miembro es una diferencia de dos
valores Inf initesimalmente próximos ( y ) de una misma función, por lo que
puede expresarse, según Lagrange, como el producto de la derivada de la
función, valorada en un punto intermedio ( y ), por el incremento de la variable
“que se está moviendo”: yy
yyxxfyxxfyyxxf
).;()];();([ 2
Del mismo modo, la segunda asociación del segundo miembro, se expresa
como: xx
yxxfyxfyxxf
);.()];();([ 1
En consecuencia, podemos reescribir el incremento total de la función
incorporando “estos Lagranges”:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 9 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
xx
yxxfy
y
yyxxfyxfyyxxfz
);.().;(),();( 12
que es el teorema del valor medio, adaptado a las funciones mult ivariables, que
nos permite pasar de las estructuras algebraicas para la determinación del
incremento, a estructuras del cálculo analít ico, concretamente, a la apl icación
de las derivadas.
Incorporando la otra notación de un punto intermedio, abreviamos así la
expresión del teorema: xx
yxfy
y
yxxfyxfyyxxfz
);();(),();(
Diferencial total
A part ir de la últ ima expresión del teorema del valor medio, le aplicamos la
propiedad conmutativa al tercer miembro a f in de ordenarla al estilo de un par
ordenado: yy
yxxfx
x
yxfyxfyyxxfz
);();(),();(
Dado que suponemos conocida la función en el punto );( yxP , es lógico que
busquemos una expresión del incremento total de la función en relación a las
derivadas parciales de la función, valoradas en dicho punto; para ello, tomamos
límite de las derivadas parciales:
x
z
x
Pf
x
yxf
x
yxfLím
P
yx
)(
00
)();();( y
y
Pf
y
yxf
y
yxxfLím
yx
)();();(
00
Esto nos permite establecer que los valores de las derivadas en los puntos
intermedios pueden expresarse en función de los valores de las derivadas del
punto de acumulación, );( yxP en este caso, más un inf initésimo )( de
aproximación:
1
);();(
x
yxf
x
yxf y 2
);();(
y
yxf
y
yxxf
donde el doble signo ( ) contempla la posibi l idad de que el punto R se
encuentre a uno u otro lado del punto P (o v iceversa).
El valor es el valor inf initesimal que separa el valor de la derivada en el
punto intermedio respecto al valor del punto de referencia ( P), y es un
inf initésimo de orden superior con respecto al incremento de la variable.
Introduciendo las últ imas expresiones en la del incremento total,
tendremos:
yy
yxfx
x
yxfy
y
yxxfx
x
yxfz
]
);([]
);([
);();(21
de donde:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 9 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
yxyy
yxfx
x
yxfyy
y
yxfxx
x
yxfz
2121
);();();();(
donde los dos últ imos términos del tercer miembro, al ser producto de dos
inf initésimos constituyen inf initésimos de orden superior; del mismo modo su
suma:
IOSyy
yxfx
x
yxfyxy
y
yxfx
x
yxfz
);();()(
);();(21
donde IOS es la suma algebraica de todos los inf initésimos de orden superior de
la expresión.
Comparando los miembros extremos de la últ ima expresión obtenida, se ve
la correspondencia directa entre el incremento total de la función y los
incrementos de las variables que lo genera n.
Recordando que por Leibnitz es dxx (para la función monovariable
)(xfy , pero ydy ) y homologando para las funciones mult ivariables: dxx ,
dyy , dzz reescribimos: IOSdyy
yxfdx
x
yxfz
);();(
La suma de los dos primeros términos del segundo miembro (lineales), que
constituye la parte principal del incremento, define al diferencial exacto, dz , de
la función mult ivariable de dos variables independientes:
dyy
yxfdx
x
yxfdz
);();(
De este modo, el incremento total de la función es:
IOSdzIOSdyy
yxfdx
x
yxfz
);();(
expresión en la que se ve claramente que la diferencia entre el incremento total
de la función y el diferencial total de la misma está dada por la presencia de
inf initésimos de orden superior: IOSdzz
Volv iendo a las expresiones a , s i se toma el límite de la expresión ,
se t iene: );(
][);(
][);(
]);(
[
00
1
00
1
00
00
1
00 x
yxfLímLím
x
yxfLím
x
yxfLím
x
yxfLím
yx
yx
yx
yx
yx
que, por , se deduce que: 0][ 1
00
yxLím y entre y , y por la misma
razón: 0][ 2
00
yxLím , o bien: 0,...,...),( 21 cuando 0,...,...),( yx
Para el caso de funciones de más variables independientes, simplemente
se homologan las expresiones vistas:
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si );;( zyxfw , entonces:
zyxdzz
zyxfdy
y
zyxfdx
x
zyxfw
321
);;();;();;(
dzz
zyxfdy
y
zyxfdx
x
zyxfdw
);;();;();;(
Aplicación del diferencial al cálculo de aproximaciones y de errores
Aproximaciones
En todo proceso industrial de fabricación y/o de medición existen, o
errores o aproximaciones, o ambos.
Ello se debe a un conjunto de causas, entre las que sólo mencionaremos
la imperfección de los materiales, la aproximación de los instrumentos (o
calidad, en ciertos t ipos), la tolerancia de fabricación, errores humanos
(paralaje, por ejemplo), la concurrencia de algunos o de todos los mencionados;
esto sin agotar las causalidades.
Como vemos en la asignatura Física, existen un conjunto de definic iones
de errores normatizados, como el error relat ivo, el aproximado, etc.
Se ha convenido util izar el algoritmo de los diferenciales para la
determinación de las aproximaciones y de los errores.
Ello se basa en el hecho real de que, tomando como ejemplo la tolerancia
de fabricación, todos sabemos que los materiales y los disposit ivos son
fabricados con una cierta tolerancia en sus números (pesos, dimensiones,
respuestas, etc.).
De este modo, si se t iene un cierto algoritmo o función que representa
cierta magnitud a obtener del producto, tal algor itmo representa de algún modo
la perfección esperada del producto.
Supongamos que se espera un comportamiento del producto representado
por );( yxfz , pero, por algunas de las razones mencionadas, se obtiene una
desviación:
IOSdzIOSdyy
yxfdx
x
yxfz
);();( esperadoValor -obtenidoValor .
Es decir que podemos decir que la desviación es medida por el incremento
de la función. Recordemos que el incremento puede ser negativo, posit ivo, o
nulo.
Una tolerancia de fabr icación aceptable, o tope, en general, ronda un valor
%10 de desviación.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 9 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Dado que es posible comprobar estadíst icamente que los IOS caen por
debajo de tal tolerancia, se los desprecia al determinarse el incremento (o
desviación, o cambio, etc.) y se acepta, como medida de la diferencia: dzz
esto es, se desprecian los valores de los inf initésimos de orden superior, frente
a los números de la realidad; por lo que todo incremento será ponderado por
medio del diferencial de la magnitud, y el lo será con aproximación mejor que la
tolerancia de fabricación, dado que la tolerancia implica un número por arr iba de
los IOS .
En el caso de los instrumentos de medición, éstos se fabrican con un
número que determina el error de medición que ya trae de fábr ica el
instrumento, comparado con un instrumento patrón; tal número es llamado
calidad del instrumento.
Se t ienen instrumentos del 10% de cal idad, que signif ica que “nos
mienten” un 10% sobre la magnitud medida, en más, o en menos; son baratos y
de “batal la”.
Una calidad del 7% es un instrumento con un poco más de precisión, más
caro, aunque muy accesible todavía.
Uno del 3% de cal idad ya es un instrumento más caro, más preciso, para
trabajos de mayor atención.
Una calidad del 0,5% es una calidad para instrumentos de laboratorios, y
allí son uti l izados prácticamente como instrumentos patrón, y obviamente son de
mucho mayor precio, comparativamente.
En general, todas estas calidades, al inf luenciar en la magnitud a medir
con un número mayor a los IOS , permiten despreciarlos, u t i l izándose también
dzz para determinar las diferencias de mediciones (Valor medido -Valor
calculado).
Por lo tanto, sabiendo que IOSdzyxfyyxxfz ),();(
donde z representa la diferencia entre el valor incre mentado de la cantidad por
efecto, parcial o total, de pequeños cambios ( x y/o y ) en las variables, se
t iene que el valor de la función, o magnitud, incrementada, es:
IOSdzyxfzyxfyyxxf ),(),();(
donde, si los valores x y y son muy pequeños, los IOS lo serán más aún y
serán apreciablemente menores (en el peor caso, simi lares) a las tolerancias de
fabricación o al efecto de las calidades de los instrumento s, por lo que se los
podrá despreciar, y entonces:
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yy
yxfx
x
yxfyxfdzyxfyyxxf
);();(),(),();(
que es la expresión con la que calcularemos las aproximaciones, como veremos
en las clases prácticas.
Errores
En la asignatura Física vemos que hay un grupo de errores que se
propagan tanto en la fabr icación como en la medición de materiales, productos,
etc., debido a las tolerancias, a las calidades, a los errores humanos, etc.
A estos errores podemos aplicar les el algoritmo del diferencial exacto de
una función, a f in de ponderarlos. Pero ello se hace en base a convenios
oportunamente establecidos a part ir de la consideración:
dyy
yxfdx
x
yxfdzyxfyyxxff
);();(),();(
donde f representa el cambio de la magnitud física en función de la
propagación de los efectos de, bien las apreciaciones de los instrumentos, bien
de los errores humanos, bien de las cal idades de los instrumentos de medición,
etc., a lo largo de las estructuras funcionales de la magnitud; es decir, en
función de todo aquello que represente un pequeño c ambio, posit ivo o negativo,
en las variables independientes ( x y/o y , por ejemplo) de la magnitud física.
En Anam2 nos referiremos a algunos de los errores que vemos en Física,
tales como los siguientes errores típicos, aceptándose que si la magnitud física
está representada por );( yxfz , el error en su valor, debido a la existencia de
aproximaciones, o cal idades, x y/o y , será ponderado mediante la expresión
dzz o directamente por dyy
yxfdx
x
yxfdz
);();(.
Y si la magnitud está representada por );;( zyxfw , el error se pondera por
alguna expresión que contenga dzz
fdy
y
fdx
x
zyxfdw
);;(; y así
sucesivamente.
Error aproximado:
Es el error determinado directamente por el diferencial exacto de la
función, donde el error se denota por dz y se determina por el algor itmo
dyy
yxfdx
x
yxfdz
);();(, donde las derivadas (que pueden ser posit ivas,
negativas, o nulas) se valoran para la condición del problema y los valores dx y
dy (que pueden ser posit ivos, negativos, o nulos (situación ideal: no existe en la
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 9 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
realidad)) representan el efecto de las calidades de los instrumento s de
medición, por ejemplo.
Error máximo:
Como en el caso del error aproximado algunos elementos propagan en uno
u otro sentido, y otros (probablemente) en otro sentido, es posible que el
algor itmo del error sufra compensaciones por la suma algebraica que tal hecho
implica y el error resultante puede ser posit ivo (o por exceso), o negativo (o por
defecto).
El error máximo toma en cuenta que la propagación del error ocurre en un
solo sentido, y como su denominación lo sugiere, es el máximo valor esperado,
o máximo valor posible de propagación, y se denota en nuestro curso por
dz ,
siendo su algoritmo de ponderación: dyy
yxfdx
x
yxfdz
);();(
donde todos los elementos que lo integran son tomados en su valor posit ivo,
independientemente de su signo circunstancial del problema; y siempre se t iene
la suma aritmética de los términos.
Error porcentual:
Como ya sabemos por Física, se refiere a la proporcionalidad relat iva que
existe entre el error ponderado y el valor esperado de la magnit ud para la
condición del problema, tomada en un porcentual. De otro modo, signif ica una
regla de tres simple ya que si al medir, el error es la totalidad de la magnitud,
ello representa un 100% de error, mientras que si el error es el valor del
algor itmo util izado, representa una cantidad porcentual menor.
Tomemos los dos casos de errores, aproximado y absoluto, v istos; el
error porcentual será, para cada uno de ellos, con su notación correspondiente:
100z
dzdzp : error porcentual del error aproximado,
100
z
dz
dz
p : error porcentual del error máximo.
Otros errores, como el relat ivo, por ejemplo, serán vistos en Física,
prestando atención a las diferencias, o similitudes, de las notaciones.
Con estos t ipos de errores veremos la aplicación del diferencial al cálculo
de errores y de aproximaciones, en las clases prácticas.
Función diferenciable
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 9 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Cuando el incremento de una función puede expresarse como sumatoria de
términos lineales con respecto a x , y , . . . , etc., más inf initésimos de orden
superior respecto a tales incrementos de las variables (o mejor, en relación a
22 yxs , para el caso de dos variables independientes, f igura 118), como
ocurre en , se dice que la función );( yxfz es diferenciable.
El diferencial de la función, dyy
fdx
x
fdf
, t iene signif icado si la función
es diferenciable en un punto bajo estudio; caso contrario, no.
En Anális is Matemático I v imos que la der ivabilidad de la función
monovariable en un punto implica continuidad de la función en dicho punto.
Pero en funciones mult ivariables la continuidad de la función en un punto
exige que la función sea diferenciable en dicho punto, además de exist ir las
derivadas pr imeras en tal punto.
Una función mult ivariable es diferenciable si en el entorno de cierto punto
);( 00 yxP la función, y todas sus derivadas, son continuas; es decir que en dicho
punto debe satisfacerse:
a) );()];([ 00 yxfyxfz PP ;
b) LzLimzLim
yx
yyxx
)()(
00
0
0
;
c) Lyxf );( 00
Y lo mismo debe suceder para cada derivada de la función.
La condición c) impl ica que si en el entorno del punto P
consideramos un punto );();( 00 yyxxQyxQ , del entorno de );( 00 yxP , puede
deducirse que:
);()];([)]([)];([
00
00
oooo
yx
yx
yyxx
yxfLyyxxfLimQfLimyxfLim
o
o
y como sabemos que: );()];([
00
oooo
yx
yxfyxfLim
diremos que:
);();(()];([ 0000
00
00
00
yxfyyxxfLimLyyxxfLim
yx
yx
0)];();([()];([);(( 0000
00
00
00
00
00
yxfyyxxfLimyxfLimyyxxfLim
yx
yx
yx
y entonces:
0)()(
);();( 21
00
00
0000
00
yxyy
Pfx
x
PfLimzLimyxfyyxxfLim
yx
yx
yx
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 9 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Por lo tanto, s i en el punto P la función es diferenciable, es IOSdzz , y
el límite de este incremento es nulo, y existen las derivadas primeras en dicho
punto.
Y si el límite del incremento es nulo, ello signif ica que el l ímite de la
función es el valor de la función en el punto, y en consecuencia la func ión es
continua en dicho punto.
En cambio, s i existen las der ivadas primeras en el punto, pero la función
no es diferenciable, es decir:
0)()(
21
00
00
yxyy
Pfx
x
PfLimzLim
yx
yx
,
o, lo que es lo mismo, no se satisface la condición c), la función no es continua
en P, y se dice que en P la función presenta discontinuidad.
En consecuencia, la derivabi lidad de la función en P no implica
continuidad.
Si una función es continua en cada punto de un dominio, es continua en
todo el dominio, o bien, si las derivadas parciales de la función son continuas en
el dominio, la función es diferenciable.
Por otra parte, si div idimos por 22 yxs a la expresión del
incremento de la función, se t iene:
s
IOS
s
df
s
y
s
x
s
y
y
yxf
s
x
x
yxf
s
z21
);();(
por lo tanto: s
IOS
s
df
s
z
luego:
s
IOS
s
dfz
por lo que:
0s
IOSLím
s
dfzLím
00yx00yx
);();();();(][ o sea que, cuando: 0
s
dfzLím
00yx
][
);();(
representa otro modo de definir la diferenciabi lidad de una función en un punto.
Si la función es diferenciable en un punto de su dominio, es continua y
derivable en dicho punto; y lo propio sucede con sus derivadas parciales de
primer orden; en cambio, si una función es continua en un punto, o bien, existen
sus derivadas parciales en ese punto, no se puede asegurar que la función sea
diferenciable.
Ejemplo: la función:
y)(x; cualquier para 1
0y para o 0 xpara);(
yxyxfz
Analicemos rápidamente las condiciones de continuidad en el or igen
(P(0;0)):
a) 000);( PPP yxyxfz
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
b) el límite doble 1);(
00
00
yxLimyxfLim
yx
yx
pues t iende a P por cualquier x e y,
pero los límites reiterados:
0)(000
1
yLimyxLimLimLyxy
y 0)(000
2
xLimyxLimLimL
xyx
Por lo tanto: 21 LLL y entonces la función no t iene límite.
Lo mismo ocurre s i hacemos x=0, con lo que la función no t iene límite a lo
largo del eje y. Y lo propio con el eje x si se toma y=0.
c) como consecuencia de lo anterior, no es posible cumplir con la condición de
que el valor de la función en el punto debe ser igual al límite de la función para
cuando la función t iende a dicho punto, por cuanto no s e dispone de un valor de
límite para contrastarlo con el valor de la función:
es ?);(¿ o ?);(¿ 21 LLyxfLyxf PP
lo que impl ica, al no cumplirse la condición, de que la función no t iene
continuidad en el origen (al igual que en cada eje).
Veamos sus derivadas parciales en el origen:
P0xP0xP
x
0xP x
yxyxxLim
x
yxfyxxfLim
x
zLim
x
f );();(
11Limx
xLim
P0xP0x
)( y del mismo modo: 1.....
Py
f
Y por otra parte, al no exist ir el límite, no se puede plantear el límite del
incremento, ni establecer la diferenciabi l idad:
)(¿?);(¿?);()];([ zLímyxfyxfyxfLím
En consecuencia, en P(0;0) la función no es continua (al igual que a lo
largo de los ejes) pero sí t iene derivadas parciales. Por ello es que la mera
derivabil idad en el punto, no implica continuidad.
Esta función es una función derivable en el origen pero no es
diferenciable, y por lo tanto no es continua ni en el origen ni a lo largo de los
ejes.
En consecuencia:
una función );( yxfz es diferenciable en un punto );( yxP si las derivadas
primeras Px
yxf
);( y
Py
yxf
);(existen y conforman una expresión como la , y
0,...,...),( 21 cuando 0,...,...),( yx , y es diferenciable si lo es en cada punto
de su dominio.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Esto signif ica que no es suficiente que la función sea derivable en un
punto para ser continua; para ello debe ser diferenciable, es decir, satisfacer la
.
En general, las funciones en el campo de la ingeniería y de la técnica son
continuas, o diferenciables, lo cual constituye una razón para decir que a part ir
de aquí s iempre supondremos que las funciones con las que t rabajamos en los
restantes temas del programa son continuas,
* * * * * * *
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
Diferencial. Aplicaciones: Diferenciabilidad, Errores, Aproximaciones 185.- Al medirse un lado de un terreno triangular se anota 1850 m con un error
de 1 m. Los ángulos adyacentes, con un error de 30 minutos, midieron 45 y 75
grados. Hal lar el máximo error, y el error porcentual, al calcular la distancia
desde el lado hasta el vért ice formado por los otros dos.
Planteo, desarrollo y resultado:
Primero damos nombre a lados y ángulos, así como a la distancia buscada, a
part ir de un dibujo a mano alzada del tr iángulo.
La distancia buscada es: )(. Senbd
y )(
)(..
Sen
Senab por el teorema del seno.
Entonces:
);;(
º
)().(..
)(
)().(..
f
180Sen
SenSena
Sen
SenSenad
y su valor, en función de las mediciones de las magnitudes interviniente s, es:
m 05145960Sen
75Sen45Sen1850d ,
)º(
)º().º(..
Para determinar el valor del máximo error cometido, al calcular la distancia
d, mediante el uso de valores resultantes de una medición con errores, debido a
la calidad de los instrumentos, planteamos el diferencial de la dist ancia, en su
valor absoluto:
da60Sen
75Sen45Senddd
dd
dda
a
ddd
)º(
)º().º(
d60Sen
60Cos75Sen45Sen185060Sen45Cos75Sen18502 )(
)().().(.)º().º().º(.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
d60Sen
60Cos75Sen45Sen185060Sen75Cos45Sen18502 )(
)().().(.)º().º().º(.
36060Sen
60Cos75Sen45Sen185060Sen45Cos75Sen1850
60Sen
75Sen45Sen2
)(
)().().(.)º().º().º(.
)º(
)º().º(
m633136060Sen
60Cos75Sen45Sen185060Sen75Cos45Sen18502
,)(
)().().(.)º().º().º(.
entonces:
%,,
dd
p 172051459
3163100
d
dd
* * * * * * *
186.- Hal lar el error aproximado de la aceleración )(. Senga de un cuerpo
que baja por un plano inclinado de rozamiento nulo, s i g aumenta 3 cm por seg2
y rad ,70 con un error de 1º.
Planteo, desarrollo, respuesta
El error aproximado se determina por:
da
dgg
ada
donde: )(Seng
a
;
23
seg
cmdg ; )(
Cosg
a
; rad ,017450d
Finalmente:
025561501745070Cosseg
cm981
seg
cm370Sen017450Cosg
seg
cm3Senda
222,,),(),(,)()(
Entonces: 2
03,15seg
cmda
* * * * * * *
187.- Hal lar el valor aproximado del área de un rectá ngulo de dimensiones
35,02 por 24,97 metros, ut i l izando el concepto de diferencial total.
Planteo, Desarrollo, Respuesta
El rectángulo t iene un área yxA . donde, si se toma el verdadero valor
de las dimensiones dadas por el enunciado, se t iene: 2m ,,., 4587497240235A
que es el valor real del área del rectángulo.
Si se quiere hal lar este valor por medio del concepto de diferencial total se
plantea:
sabemos que IOSdzffz oi y que: dzffz oi de donde:
dzff oi por lo que, haciendo: ao Af valor del área, y tomando
dimensiones redondeadas de los lados, tal como: m35xa y m25ya ;
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
y haciendo Afi al valor aproximado del área, se t iene entonces como
expresión equivalente: aa dAAA donde el valor redondeado del área
es 2m 8752535yxA aaa .
Y el diferencial, es: yxxydyy
Adx
x
AdA aa
aaa
siendo, los incrementos: m ,, 020350235xxx a
y m ,, 030259724yyy a (donde se nota la elección
arbitraria de valores del entorno de las dimensiones dadas)
Entonces, el diferencial, es: 5500303502025yxxydA aaa ,,.,.
por lo que: 2m ,, 45874550875dAAA aa
que es el valor del área, aproximando por el diferencial y dimensiones
redondeadas (o aproximadas).
Nota: este problema es equivalente al problema cuyo enunciado dice: Hal lar el
área de un rectángulo mediante la fórmula yxA . donde se midieron m 35x
con un error m ,020x e m 25y con un error 030y , .
Cuya solución se plantea a part i r de:
cálculo del error aproximado: 5500303502025yxxydyy
Adx
x
AdA ,,.,.
cálculo del área aproximada: 2m ,, 45874550875dAAA oi
* * * * * * *
188.- Hal lar el error máximo de cálculo de la diagonal
del paralelepípedo de dimensiones: ancho=9m,
largo=7m y alto=4m, medidas con un instrumento de
0,02 m de error.
Planteo, Desarrollo, Respuesta
Llamando D a la diagonal, x al ancho, y al largo, y
z al alto, tenemos:
);;(22222
2222 zyxfzyxzyxzdD
cuyo máximo error de cálculo, será:
m 03310,0
146
4,0
479
)479(02,002,0
222222
^
zyx
zyxdz
z
Ddy
y
Ddx
x
DdDdD
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
189.- Hallar el error máximo de cálculo de la superf ic ie total, con tapa, del
paralelepípedo de dimensiones: ancho=9m, largo=7m y alto=4m, medidas con un
instrumento de 0,02 m de error.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Si l lamamos S a la superf icie total, x al ancho, y al largo, y z al alto,
(f igura del ejercicio anterior ) tenemos: );;( zyxfxy2yz2xz2s
con lo que el máximo error de cálculo de la superf ic ie total será:
dz
z
Sdy
y
Sdx
x
SdS
).(,)().().( 322622020dzyx2dyzx2dxzy2
luego: 2m 6,1dS
* * * * * * *
190.- Hallar el valor del mayor error posible al calcular el volu men de un
cil indro circular recto, cuyas mediciones de altura, a=8 cm, y de diámetro, d=12,
se hicieron con un error constante de 0,2 cm.
Planteo, desarrollo y resultado:
El volumen del cil indro circular recto es el producto del área del círculo de
la base por la altura. El área del círculo podemos calcular la por medio del
diámetro, o por medio del radio.
Por el diámetro: ad
V
2
2
Entonces, el mayor error al calcular el volumen con esta fórmula,
ut i l izando las mediciones, será:
2,04
2,0222
1
22
22dda
dad
ddd
adaa
Vdd
d
VdV
3cm 77876,528,16)2
128(
2
2,012)
2(
2
2,0
da
d
Por el radio: arV 2 donde: 2
dr
Pero, recordemos que el enunciado indica que se midió el diámetro (no el
radio) y con un error de 0,2 cm.
Por ello, no deberíamos util izar la fórmula del radio, pues no se trata de
una magnitud medida sino calculada; y esto nos lleva a la fórmula de cálculo por
medio del diámetro.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
No obstante, aprovechando que el mismo enunciado indica que el er ror
cometido al medir las longitudes es constante, podríamos considerar al radio
como si hubiera sido medido en r=6 cm, con un error de 0,1 cm (y no 0,2 cm).
Con estas consideraciones:
2,01,022 22 rradardrradaa
Vdr
r
VdV
3cm 77876,528,16)2,061,082(6)2,01,02( rar
* * * * * * *
191.- ¿Cuál es el incremento aproximado del volumen del cil indro anterior?
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Como vimos en clases (teóricas/prácticas) es: daa
Vdd
d
VdVV
(Notemos que en este caso no se util izan los valores absolutos de los factores,
como en el caso del error máximo. Tampoco se trata, conceptualmente, de un
error aproximado, sino que es directamente el diferencial de una función).
Entonces:
32
cm 77876,528,162,04
2,02
dda
dVV
* * * * * * *
192.- En un triángulo se midieron: el lado a=150 cm, con un error de 0,5 cm; el
lado b=200 cm, con un error de 0,6 cm; el ángulo comprendido entre a y b,
C=60º, con un error de 2º. ¿Cuál es el error aproximado al calcular el área?.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Primero damos nombre a lados y ángulos, así como a
la distancia buscada, a part ir de un dibujo a mano alzada
del tr iángulo.
El área es: );;(2
)(
2
baf
abSenadA por lo que el
error aproximado al calcular el área con las mediciones efectuadas, es:
dabCos
dbaSen
dabSen
dA
dbb
Ada
a
AdA
2
)(
2
)(
2
)(
donde rad º690 d
2222 07,344cm902
)º60(200150cm 6,0
2
)º60(150cm 5,0
2
)º60(200 cm
CosSenSendA
Y ahora: ¿Cuál es el error aproximado al calcular el perímetro en el
tr iángulo?.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Planteo, Desarrollo y Respuesta
);;()(222 bafabCosbabacbaP
db
abCosba
aCosbda
abCosba
bCosad
Pdb
b
Pda
a
PdP
)(2
)(1
)(2
)(1
2222
03051,518466,163868,09028,180
)º60(2001506,0
28,180
)º60(1502001
5,0)º60(2001502200150
)º60(2001501
)(2
)(
2222
cmSen
cmCos
cmCos
Cosd
abCosba
abSen
cm 85385,6d P
* * * * * * *
193.- Hallar el valor de los inf initésimos de orden superior de la expresión
2
2
xy
5xyxyxfz
);( en el punto );();( 25PyxP y sabiendo que 01,0 yx .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
dzzz IOS IOSdz
El incremento es:
01539,0
2.5
52.55
01,2.01,5
501,2.01,501,55
.
5.
2
2
2
2
2
2
2
2
xy
xyx
yyxx
yyxxxxz
y el diferencial es:
0155,04
72,001,0
y
z
x
zdxdy
y
zdx
x
zdz
por lo que los incrementos de orden superior, son de valor:
00011,00155,001539,0IOS
* * * * * * *
194.- Si: 22 yx102z
a.- hallar el diferencial total de la función en )3;4(P , si 2,01,0 yx .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
2206108dy6dx8dy32dx42dyy2dxx2dyy
zdx
x
zdz P
P
,.,...
b.- hallar el incremento total de la función:
Planteo, Desarrollo y Respuesta
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
)()()()()( 22222222 yyy2yxxx2x102yx102yyxx102z
),.,.()()()( 2031042yxyyxx2yyy2xxx2yx102 222222
05205022010 22 ,,),,(
c.- hallar los inf initésimos de orden superior:
Planteo, Desarrollo y Respuesta
)()()(IOS dyydxx2yxyyxx2dzz 22
05020102052yx 2222 ,),,(,)(
* * * * * * *
Comparar el incremento y el diferencial:
195.- 0,15yx ; C(2;3) ; .yxz 32
196.- 0,3yx ; C(2;1) ;xy y)Ln(xz 2
197.- 0,07yx ; C(1;2) ; .
.2.xz
2
23
2
yx
3yx
Hallar las estructuras funcionales (leyes) de los diferenciales:
198.- 3223 yx3yx2z ... 199.- 3.x)arctg(2.y/3z .
200.- 22 y3x22
x3z
).().(.
.
201.-
2y3x2e3z ...
202.- Valorar el diferencial del 198 para la condición C(2;1).
203.- Valorar el diferencial del 201 para 0,01yx .
204.- Valorar el diferencial del 199 para C(1;2) y ^ 0,01yx .
Hallar el diferencial:
205.- )..( 32 zyxLogw 206.- )..( 32 zyxLnw
207.- 3 23 zyx
zyxLnw
)( 208.-
3 23 zyx
zyxLogw
)(
209.- Hallar el valor exacto y el valor aproximado del
volumen de plástico necesar io para fabricar un vaso
cilíndrico recto de espesor e=2 mm, con un diámetro interior d=120 mm y una
altura inter ior a=250 mm. (Adaptado del texto de Piskunov, pág. 302; ed. 1994)
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Cálculo exacto:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
El volumen (V) de plástico necesario para la construcción del vaso, es la
diferencia de volumen entre la pared externa del vaso y el volumen de la pared
interna: )]..().().[(]..[)].()([ areaerareaerV 2222
que, en números, será:
3mm ,)].().()[()].().().[( 72215789250602250260areaerV 2222
Cálculo aproximado:
Si l lamamos oV al volumen interior del vaso, y iV al volumen encerrado por
la parte exter ior del mismo, el volumen V del total de plástico necesario, es,
como dij imos, la diferencia entre esos dos volúmenes; pero el volumen de la
pared externa resulta de incrementos pequeños de la pared interna del vaso, por
lo que dicha diferencia puede tomarse como un incremento de volumen, es
decir:
oooi dVIOSdVvVVV como );(.. arfarV 2o el diferencial, es:
)...(.)(......a
Vr
V oo 2602a260arra2rarrar2ar
dV 2o
3mm ,..).(.)..(.).(. 032111155601206050012060250212060a2120
En consecuencia, el volumen de plástico necesar io, es: 3mm ,03211115V
Comparación entre los valores exacto y aproximado encontrados:
Si div idimos el volumen aproximado por el volumen exacto, y mult ipl icamos
por 100, encontramos: %,,
.,8397
72215789
10003211115 que indica que el volumen
aproximado es casi el 98% del exacto, lo que confirma la v iabi l idad del
procedimiento, sobretodo si se relaciona esta situación con las calidades de los
instrumentos de medición, las tolerancias de fabricación, etc.
* * * * * * *
210.- Un triángulo rectángulo es medido con un instrumento que introduce un
error de 0,1 cm en cada medición, obteniéndose una base b=6 m y una altura
a=8 m. Hallar:
a) el valor de la hipotenusa calculada con estas mediciones;
b) el error aproximado al calcu lar la hipotenusa;
c) el valor del área, calculada mediante el semiproducto de la base por la altura,
medidas con el instrumento indicado;
d) el error aproximado en el cálculo del área;
e) el área, por la fórmula de Herón;
f) el error aproximado al calcula r el área por Herón;
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 0 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
g) ¿Son dist intos los errores calculados para el área?. ¿Por qué?;
h) los ángulos interiores restantes, en radianes;
i) el error aproximado en el cálculo de cada ángulo;
j) el error máximo en el cálculo de cada ángulo;
k) los errores porcentuales al calcular la hipotenusa, el área y los ángulos.
* * * * * * *
211.- En un circuito eléctrico se calcula la intensidad de corriente (I) mediante:
RIE . , donde E es una fuerza electromotriz de 110 volt ios, medidos con un
error de 50 milivolt ios y R es la resistencia del c ircuito, cuya medición da un
valor de 22 Ω , medidos con un instrumento de 3% de cal idad. Hallar los errores:
aproximado, máximo y porcentual, al calcular la intensidad de corriente con
estos valores medidos.
* * * * * * *
212.- Hallar el valor de la función 32 yx2z para 00191x , e 9970y , en forma
directa, aproximada y porcentual comparativa.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Valor directo:
99198959290619970001912yx2z 3232 ,,,.,. por convención de redondeo.
Valor aproximado:
Justif iquemos el procedimiento: sabemos que dzzzz if
y de aquí: dzzz if que, en realidad, signif ica: dzyxzyyxxz );();(
hagamos: 997000191yyxx ,;,; lo que podría lograrse con
desplazamientos inf initesimales a part ir de un par ordenado “cómodo”:
si tomamos 1x entonces 00190100191x ,, y si tomamos 1y
entonces 003019970y ,, ; entonces: dz11z997000191z );(),;,(
que desarrollamos así:
y
y
zx
x
z11zdz11z997000191z 1111 );();( ][][);();(),;,(
0030yx600190xy411z0030
y
z00190
x
z11z 11
2211
31111 ,)(,)();(),(][,][);( );();();();(
90101040200306001904yx2 1132 ,,,.,.)( );(
Porcentual: %,,
.,5095
991
100901
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
213.- Aproximar, mediante diferenciales la variación de longitud que
experimenta la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden x=6 cm, y=8 cm,
cuando el pr imero se alarga 0,25 cm y el segundo se acorta 0,125 cm.
* * * * * * *
214.- a) Hallar el incremento total de: 4zyx 222 si -0,11yx para
C(1;0,5) ; b) hallar el diferencial total; c) comparar las leyes del incremento y del
diferencial; d) comparar los valores del diferencial y del incremento; e) hallar la
ley y el valor de los IOS.
Planteo, desarrollo, respuesta
a) Explicitando z, se t iene: 4 22 yxz
Por definic ión, el incremento de una función es la función incrementada menos
la función original:
2222 y-x-4- )()(4);();( yyxxyxfyyxxfz
Entonces:
08977,008977227,00,5-1-4- )11,05,0()11,01(4 2222 z
b), c), d), e): determínelos Ud., por favor.
* * * * * * *
215.- (Del texto Cálc. Sup. de M.R. Spiegel, ed. 1993, pág. 130): Si
23 y3xyxz , 5x , 5y , 20x , , 10y , , calcular: a) z ; b) dz ; c) expl icar la
comparación de los valores hallados; d) s i 2x y 1y hal lar z ; e) hal lar dz ;
f) comparar los valores hallados en d) y en e).
Respuestas
a) 65811z , ; b) 312dz , ; c) ¿?; d) 66z ; e) 123dz ;
f) ¿?.
Verif icar que las respuestas observen el convenio de redondeo, caso
contrario, adaptar las al mismo.
* * * * * * *
216.- (Del texto Cálc. Sup. de M.R. Spiegel, ed. 1993, pág. 130): Calcular el
valor aproximado, mediante diferenciales, de .,.,5 32 12283A
Respuesta 012A ,
* * * * * * *
217.- Los catetos de un triángulo rectángulo se midieron con un instrumento
que dio un error de 0,1 m en cada lado, dando m 3a y m 4b . Con estas
medidas se calculó el tercer lado y el área. Hallar: a) el valor de la hipotenusa;
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
b) el error aproximado en el cálculo de la hipoten usa; c) el error máximo en el
cálculo de la hipotenusa; d) el error porcentual del error máximo en el cálculo de
la hipotenusa; e) el error porcentual del error aproximado en el cálculo de la
hipotenusa; f) el valor del área; g) el máximo error en el cálcu lo del área; h) el
error porcentual del error máximo en el cálculo del área.
Algunas Respuestas
a) m 5h ; b) ¿?; c) m ,140dh
; d) %,82
dh
p
; e) ¿?; f) 2m 6A ; g) 2m ,350dA
; h)
%,85
dA
p
; [Verif icar que las respuestas observan el convenio de redondeo,
caso contrario, adaptarlas al mismo].
* * * * * * *
218.- La potencia P disipada por una resistencia R en un circuito eléctrico, se
calcula mediante la expresión: R
EP
2
siendo E la tensión eléctrica en los
bornes de la resistencia, y R la resistencia que dis ipa potencia. Antes de
calcular, se mide la tensión eléctrica con un voltímetro de 3% de calidad,
obteniéndose: V 220E . La resistencia se mide con un óhmetro de 2% de
calidad, obteniéndose: 63R .
Calcular, mediante estas mediciones: a) el valor de la potencia disipada; b) el
error aproximado en el cálculo de la potencia; c) el error porcentual del error
aproximado de potencia; d) el máximo error de potencia; e) el error porcentual
del máximo error de potencia.
Algunas Respuestas
a) w,2768P ; b) w,730230dP ; c) ¿?; d) ¿?; e) ¿?.
[Verif icar que las respuestas observan el convenio de red ondeo, caso contrar io,
adaptarlas al mismo].
* * * * * * *
219.- La altura de un cono es cm 30h y el radio de su base es cm 10r .
¿Cómo variará su volumen (3
hrV
3.. ) si su altura aumenta 3 mm y su radio
disminuye 1 mm?.
Respuesta
3cm ,4231dV [Verif icar que la respuesta observe el convenio de redondeo,
caso contrario, adaptarla al mismo].
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
220.- El peso específ ico de un cuerpo se obtiene mediante la expresión: w
Pz ,
siendo P el peso del cuerpo, y w el peso de un volumen igual de agua. Se
conoce que existe un error de 0,1 unidades en P, y de 0,05 unidades en w, y
que unidades 8P y que unidad 1w . Se quiere saber cómo afecta al valor del
peso específ ico calculado, cuando: a) ambos errores de medición son posit ivos;
b) el error de w es negativo. También se desea saber: c) el mayor error
porcentual; d) la comparación con el error máximo de cálculo de z.
Algunas Respuestas
a) unidades ,30dz ; b) unidades ,50dz ; c) %,256dzp
; d) ¿?.
* * * * * * *
221.- Al medir dos lados de un triángulo oblicuángulo se obtuvo 63 y 78 m,
respectivamente. Al medir el ángulo comprendido entre esos lados, se obtuvo
60º. Los errores de medición, fueron: m ,10dL , en la longitud de cada lado; y
º1d , en la medición del ángulo. Hal lar el máximo error cometido al calcular el
valor del tercer lado.
Respuesta 1,11 m
[Verif icar que la respuesta observe el convenio de redondeo, caso contrar io,
adaptarla al mismo].
* * * * * * *
222.- Para calcular la capacidad de un tanque de combustible con forma de
paralelepípedo, se toman las medidas de sus lados: m 1x , m 3y , y m 2z .
Sabiendo que en cada medida hay un error de 5 cm, a) ¿cuál es la cantidad de
litros que constituyen el máximo error de cálculo de la capacidad?; b) ¿cuál es
el máximo error de cálculo de la superf icie total del tanque; c) ¿cuál es el
máximo error de cálculo de la diagonal del tanque?.
Algunas Respuestas
a) 550 litros; b) ¿?; c) ¿?.
* * * * * * *
223.- Si 22 yx9z , a) hal lar el diferencial de z; b) verif icar que el valor
aproximado, mediante el diferencial, de 22 189519z ,,. , es: 999z , .
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
224.- Como otra aplicación del diferencial, determinar la continuidad y la
diferenciabil idad de la función, en el origen:
(0;0)y)(x; para 0
(0;0)y)(x; para .
22 yx
yx
z
Planteo, desarrollo, respuesta
Continuidad en el origen:
Para que la función sea continua en el origen, debe: a) tener un valor real
en el mismo; b) este valor debe coincidir con el límite de la función. Veamos:
a) Por definic ión de la función, en el origen va le: 000fyxfz );();(
b) Y si tomamos límite:
)
][
()().
()(
1y
x
xLím
y
yx
xLím
yx
yxLímzLím
20y0x
2
22
0y0x22
0y0x
0y0x
0Acotada)Acotada()
][
(
0xLím
1y
x
1xLím
0y0x2
0y0x
c) Luego: 0)0;0()( 0
00
fzzLím
yx
lo que indica que la función es continua
en el origen, y en todo el plano [xy].
Diferenciabilidad:
Sabemos que la función es diferenciable en un punto, si:
0yx
dzzLím
22
0y0x
)(
Calculemos el incremento en el punto del origen:
2200
yx
yxyxf0y0x0f00fyyxxfz
.);();();();(][ );(
Ahora, hallemos el diferencial, en el origen:
yy
zx
x
zdz 000000
);();();( ][][][ donde, las der ivadas las encontraremos
aplicando la definic ión, para evitar la indeterminación del cálculo directo:
]
.
[]);();(
[]);();(
[][ );();(x
0x
0x
Límx
00z0x0zLím
x
yxzyxxzLím
x
z 22
0x0x00
0x00
00Límx
0Lím
x
x
0
Lím0x0x
2
0x
][][][ y también:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
]
.
[]);();(
[]);();(
[][ );();(y
y0
y0
Límy
00zx00zLím
y
yxzyyxzLím
y
z22
0y0y00
0y00
00Límy
0Lím
y
y
0
Lím0y0y
2
0y
][][][
con lo que el diferencial es: 0y0x0dz 00 );(][
y ahora aplicamos la condición de diferenciabi lidad:
).
()
.
()
.
()(22
0y0x22
22
0y0x22
22
0y0x22
0y0x yx
yxLím
yx
yx
yx
Límyx
0yx
yx
Límyx
dzzLím
y tomemos límite radial, haciendo:
)())(
.()
.
..()
.(
20x22
2
0x2220x22
0y0x m1
mLím
m1x
xmLím
xmx
xmxLím
yx
yxLím
adoindetermin
2m1
m
por lo que concluimos que la función no es diferenciable en el origen, es decir,
no puede ser expresada por: yxyy
zx
x
zz 21000000
);();();( ][][][
* * * * * * *
225.- Determinar la continuidad y la diferenciabil idad de la función:
(0;0)y)(x; para 0
(0;0)y)(x; para .
22 yx
yx
z , en el origen.
Planteo, desarrollo, respuesta
Continuidad en el origen:
Ya se vio en un ejercic io anterior que las derivadas parciales de esta
función son nulas en el origen.
Y para que la función sea cont inua en el or igen, debe: a) tener un valor
real en el mismo; b) este valor debe coincidir con el límite de la función.
Por definic ión de la función, en el origen v ale: 000fyxfz );();(
Y su límite: Indeterm.)().
..()
.()(
220x2220x22
0y0x
0y0x m1
m
m1
mLím
xmx
xmxLím
yx
yxLímzLím
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
por lo que no existe el límite de la función en el origen, y por lo tanto tampoco
se cumple que el límite de la función en el or igen debe ser igual al valor de la
función en el or igen: 0z(0;0)Indeterm.)(
zLím
0y0x
y, en consecuencia, la función no es continua en el origen.
Diferenciabilidad:
Sabemos que la función es diferenciable en un punto, si:
0yx
dzzLím
22
0y0x
)(
Pero como no es continua en el origen, no es diferenciable, puesto que el
límite en el origen es indeterminado.
Por curiosidad, veamos el comportamiento de la condición de
diferenciabil idad, en este caso:
calculemos el incremento en el punto del origen:
0y0x0f00fyyxxfz 00 );();();(][ );(
);(.
)()(
)).((]
)()(
)).(([ );( yxf
yx
yx
y0x0
y0x0
yyxx
yyxx22220022
El diferencial, en el origen, es: 0y0x0yy
zx
x
zdz 000000
);();();( ][][][
y ahora aplicamos la condición de diferenciabi lidad:
)][
.()
.
()
.
()(322
0y0x22
22
0y0x22
22
0y0x22
0y0x yx
yxLím
yx
yx
yx
Límyx
0yx
yx
Límyx
dzzLím
que por límite radial:
]
)([]
)(
.[]
.
..[)
.(
320x323
2
0x32220x22
0y0x m1x
mLím
m1x
xmLím
xmx
xmxLím
yx
yxLím
adoindetermin
(¿qué pasará con los límites sucesivos?) por lo que concluimos que la función
no es diferenciable en el or igen. Si bien existen las derivadas parciales en el
origen (son ambas iguales a cero), y sin embargo es discontinua en el origen y
por lo tanto no es diferenciable.
* * * * * * *
226.- Determinar la continuidad y la diferenciabi lidad de: 22 yxz , en el
origen.
Planteo, desarrollo, respuesta
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Continuidad: Un anál isis simple de la estructura de la función permite
determinar que es continua para todo punto del [xy].
Diferenciabilidad: Como una condición necesar ia de diferenciabilidad
es que existan las derivadas parciales en el punto, hallemos la con respecto a x,
mediante la definic ión, para evitar alguna indeterminación “f ict ic ia”:
]
)([]
);();([]
);();([][ );();(
x
0x0Lím
x
00z0x0zLím
x
yxzyxxzLím
x
z22
0x0x00
0x00
einexistent][][
x
xLím
x
xLím
0x
2
0x puesto que por derechas vale +1 y por
izquierdas vale -1. Con la otra derivada ocurre algo simi lar. Por lo tanto no
tendremos diferencial. En consecuencia, la función es diferenciable en todo el
plano del dominio de la función, a excepción del origen de coordenadas.
* * * * * * *
227.- Determinar la continuidad y la diferenciabil idad de: )( 2y2xez .
Planteo, desarrollo, respuesta
Para todo punto del dominio la función existe. Por lo tanto es continua
siempre. Lo mismo le pasa a sus derivadas parciales:
)(..2y2xex2
x
z
y )(..
2y2xey2y
z
; existen y son continuas.
Entonces existe el diferencial, en todo punto:
yey2xex2yy
zx
x
zdz
2y2x2y2x
)()( ....
Por lo que la función es diferenciable en todo el [xy].
* * * * * * *
228.- Mediante el diferencial estimar el valor de: 222 051981012 ,,, .
Planteo, desarrollo, respuesta
Mirando los valores pertenecientes a la expresión, tomemos una condición
inf initesimalmente cercana a los mismos, tal como );;( 122C , y homologuemos la
expresión a una función );;( zyxfzyxw 222 . De esta manera podemos
pensar en incrementos de las variables, tales como: 0102012x ,, ,
0202981y ,, , y 0501051x ,, .
Entonces, IOSdzw o sea que:
IOSdwzyxwzzyyxxw );;();;( de donde:
IOSdwzyxwzzyyxxw );;();;( y considerando despreciables a los
IOS: dwzyxwzzyyxxw );;();;(
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y tomando al primer miembro como representante de la expresión dada, y a
39122zyxw 222222 , tendremos: dw3051981012 222 ,,,
donde: zz
wy
y
wx
x
wdw
siendo las derivadas:
3
2
122
2
zyx
x
zyx2
x2
x
w
222
C
222
C
222C
3
2
9
2
zyx
y
y
w
C
222C
y
3
1
9
1
zyx
z
z
w
C
222C
entonces: 0100503
1020
3
2010
3
2z
3
1y
3
2x
3
2dw ,,),(,
y de aquí: 0130103dw3051981012 222 ,,,,, que es el valor buscado.
El verdadero valor, con los datos propios de la expresión, es:
0130104816893051981012 222 ,,,,, por convención de redondeo.
* * * * * * *
Derivación de funciones compuestas
Supongamos que un cierto fenómeno físico (un proceso industrial, po r
ejemplo) es descr ipto por una relación funcional tal como );( yxfz en
donde, a su vez, existen las relaciones funcionales: )(rgx e )(rhy .
Entonces, podemos decir que: )())();(();( rFrhrgfyxfz
lo que impl ica que z es f inalmente una función de r, y la variación de z con
respecto a r es la derivada, total, o única, dr
dz.
Por lo tanto, si varía r, variarán x e y, y en consecuencia se
producirá una variación de z.
Esto signif ica que z depende de r, a través de x y de y; situación que se
define como función de función, o función compuesta, y v imos en Anam1 los
pormenores de una tal función en el caso de funciones monovariables.
Y vimos que si )(xfy y )(rgx entonces )())(( rFrgfy
siendo fogrgfrF ))(()( : función compuesta, en la que la imagen de )(rgx es
el dominio de )(xfy .
También vimos que la derivación de esta función compuesta se hace
mediante alguno de los procedimientos:
a) se sustituye la función g en la estructura de la función f, y se deriva
normalmente con respecto a la variable r;
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
b) la regla de la cadena.
En ambos casos se obtiene una derivada ú nica, o total, dr
dy.
La situación en las mult ivariables, como en el caso de nuestra z, función
de dos variables independientes, es básicamente similar, pero con
part icularidades.
También aquí, para derivar, podemos sustituir variables p or funciones, y
en consecuencia, las cosas ocurren así: en nuestra función );( yxfz , todo
cambio en r provocará un cambio en z, a través de sendos cambios en x y en y,
siendo la der ivada de z con respecto a la variable r la herramienta que pondera
este cambio.
Si se sustituyen las funciones )(rg y )(rh en );( yxf , se obtiene una nueva
estructura funcional: )())();(();( rFrhrgfyxfz donde )(rF es la mínima
expresión de la estructura resultante, la cual se der iva con respecto a r,
obteniéndose la expresión de la ley (dr
rdF )() que refleja la variación de z en
respuesta a la variación de r.
Este procedimiento, de primero sustituir y después der ivar, como di j imos,
se vio en Anális is 1. Otra opción que vimos fue aplicar la regla de la cadena.
Regla de la cadena para funciones mult ivariables
La regla de la cadena en funciones mult ivariables es el objeto de estudio
del Análisis 2, por lo que tomando la expresi ón :
la variable r es l lamada variable independiente, o f inal;
la variable z es variable dependiente, o función;
las variables x e y son variables intermedias; y no son independientes,
sino que se relacionan a través de una única variable (en la si tuación que
estamos viendo), r.
la función z es función mult ivariable, de x y de y.
las funciones x e y son funciones monovariables, de r.
la derivada así obtenida es total , no parcial.
Es condición de existencia de la derivada obtenida que las derivadas de
);( yxfz , y de )(rgx y de )(rhy , sean continuas en sus respectivos
puntos de determinación; o sea, que tales funciones sean diferenciables:
es decir, que si );( yxfz es diferenciable en );( 00 yxP (por ejemplo), y las
funciones )(rgx e )(rhy son derivables en )( 0rQ (por ejemplo),
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 1 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
entonces la función compuesta )())();(();( rFrhrgfyxfz es diferenciable
en 0r .
Si la variable r experimenta un incremento r ello implicará incrementos
en x y en y, tales como: )()( rgrrgx y )()( rhrrhy
Estos incrementos provocarán un incremento total de la función z:
yxyy
zx
x
yxzyxfyyxxfz
P
oooooo
21
);();();(
Si con este incremento total de la función, y el incremento de la variable r,
establecemos un cociente incremental, y tomamos el límite de dicho cociente
incremental para 0r , tendremos, por definición, la derivada total de la
función z con respecto a la variable r:
dr
dz
r
yxyy
zx
x
z
Límr
yxfyyxxfLím
r
zLím PP
r
oooo
rr
21
000
);();(
Es preciso insist ir en que se trata, en este caso, de una der ivada total y no
de una derivada parcial (r
z
dr
dz
).
Aplicando propiedad distributiva:
r
y
r
x
r
y
y
z
r
x
x
zLím
r
y
r
x
r
yy
z
r
xx
z
Límdr
dz
rr21
0
21
0
y como el límite de la suma es igual a la suma de los límites:
r
yLím
r
xLím
r
y
y
zLím
r
x
x
zLím
rrrr2
01
000
y como el límite de un producto es el producto de los límites de los factores:
r
yLímLím
r
xLímLím
r
yLím
y
zLím
r
xLím
x
zLím
rrrrryx
rrProo
02
001
00);(
000
y como las derivadas parciales de la expresión son valores ya def inidos para el
punto bajo análisis, sus valores representan constantes para el límite indicado,
y como el límite de una constante es la constante:
r
yLímLím
r
xLímLím
r
yLím
y
z
r
xLím
x
z
rrrrrr 02
001
000
y como estos límites definen der ivadas totales:
dr
dyLím
dr
dxLím
dr
dy
y
z
dr
dx
x
z
rr2
01
0
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
y como vimos en la clase correspondiente, el límite de los inf initésimos es 0:
dr
dy
dr
dx
dr
dy
y
z
dr
dx
x
z00
Entonces, f inalmente, obtenemos:
dr
dy
y
z
dr
dx
x
z
dr
dz
expresión que nos da la der ivada de la función z con respecto a la variable r, y
cuyo formato estructural se conoce como regla de la cadena.
El algor itmo obtenido puede enunciarse así (para esta situación):
la derivada total de la función mult ivariable z, con respecto a la var iable
f inal r, es el producto de la derivada parcial de la fun ción, con respecto a su
primera variable intermedia, por la derivada total de la primera variable
intermedia con respecto a la variable f inal r, más el producto de la der ivada
parcial de la función con respecto a su segunda intermedia, por la derivada tota l
de esta intermedia con respecto a la f inal r.
Finalmente, si se necesita valuar la der ivada así obtenida para una
condición C del problema, nótese que, tras las sustituciones correspondientes
en las derivadas del segundo miembro, la derivada obtenida queda en función
de la variable f inal r, por lo que la condición C es de estructura C(r).
Si ahora consideramos que );( yxfz y );( srgx e );( srhy ,
entonces: );());();;(();( srFsrhsrgfyxfz
lo que implica que z resulta de una composición de funciones, teniéndose que
las variables x e y se comportan como intermedias, y las variables r y s se
comportan como variables f inales, siendo z, entonces, una función mult ivariable
de las variables r y s.
De este modo, las derivadas de z con respecto a cualquiera de las
variables r y s serán der ivadas parciales, y no totales: s
z
r
z
; .
También x e y son funciones mult ivariables de las variables r y s, por lo
que sus derivadas con respecto a estas variables también serán parciales y no
totales.
En consecuencia, si las funciones );( yxfz , );( srgx e );( srhy ,
son diferenciables en sus respectivos dominios, podemos obtener las der ivadas
de la función compuesta aplicando la regla de la cadena:
r
y
y
z
r
x
x
z
dr
z
y
s
y
y
z
s
x
x
z
ds
z
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Prestemos atención a que en estos algoritmos obtenidos todas las
derivadas son parciales; no existe ninguna derivada total.
En el caso de una función );( yxfz en la que se sabe que );( sxgx e
);( sxhy , entonces, la composición de funciones es:
);());();;(();( sxFsxhsxgfyxfz
Aplicando la regla de la cadena, podemos obtener el algoritmo de las dos
derivadas parciales posibles de la función z, siempre que sea posible de
diferenciar:
x
y
y
z
x
z
x
y
y
z
x
x
x
z
x
z
y
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
En la expresión de la izquierda observamos que la der ivada de la función z
con respecto a la variable x aparece tanto en el primer miembro como en el
segundo.
Razonando, deducimos que la derivada que aparece en el segundo
miembro expresa el efecto que un incremento de x provoca sobre z, tomando a
la variable s como invariante en ese momento; o sea, s no experimenta
incremento alguno y por lo tanto no actúa sobre z (“s se comporta como una
constante”). Mientras que la misma expresión vista en el pr imer miembro nos
indica que la derivación toma en cuenta el efecto que todas las variables , al
incrementarse, provocan sobre la función z.
Otra posibil idad:
),;( zyxfw y );;( ysrgx , );( srhy y );;( ysrjz
entonces: );;());;();;();;;(();;( ysrFysrjsrhysrgfzyxfw
obteniéndose, por la regla de la cadena:
r
z
z
w
r
y
y
w
r
x
x
w
r
w
;
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
y
z
z
w
y
w
y
x
x
w
y
z
z
w
y
y
y
w
y
x
x
w
y
w
* * * * * * *
Observación: Después de analizar el Ejemplario siguiente, obsérvese que, en
todos los casos, en la mínima expresión f inal, las derivadas obtenidas están en
función sólo de las variables f inales , no habiendo variables intermedias , salvo
en el caso de aquel las variables intermedias que cumplen un doble rol: son
intermedias pero también f inales.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
En el proceso de der ivación de funciones compuestas, se deriva primero
por la regla de la cadena y luego se sustituye por las funciones de las variables
intermedias, l legándose siempre a la mínima expresión.
* * * * * * *
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
229.- a) Derivar ).(
..
yxLn
yx2z para )( t2Cosx e )( t2Seny ; b) Valorar para º15t ;
c) Valorar para rad ,250t .
Planteo:
)())();(();( tFtftffyxfz 21 donde yx, son variables intermedias y t es la
variable f inal. Como la relación funcional entre z y t es del t ipo monovariable,
frente a un cambio de t se producirá un cambio de z , cambio que será
representado por la derivada total dt
dz y que podrá estructurarse funcionalmente
por la regla de la cadena: dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Para encontrar las expresiones de cada una de las derivadas indicadas, en
su mínima expresión, recurrimos al
Cálculo auxiliar:
).(
).(..
).(
..).(..
).(
....).(..
yxLn
1yxLny2
yxLn
yx2yxLny2
yxLn
yx
yyx2yxLny2
x
z222
).()..(
).()..(()..(.
t2Sent2CosLn
1t2Sentt2CosLnt2Sen22
).(. t2Sen2dt
dx ;
).(
).(..
).(
.).(..
).(
....).(..
yxLn
1yxLnx2
yxLn
x2yxLnx2
yxLn
yx
xyx2yxLnx2
y
z222
).()..(
).()..()..(.
t2Sent2CosLn
1t2Sent2CosLnt2Cos22
; ).(. t2Cos2
t
y
Desarrollo y respuesta a)
)).(.().()..(
).()..(()..(.t2Sen2
t2Sent2CosLn
1t2Sentt2CosLnt2Sen2
dt
dz2
).(.).()..(
).()..()..(.t2Cos2
t2Sent2CosLn
1t2Sent2CosLnt2Cos22
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
).()..(
).()..()..(.
).()..(
).()..()..(.
t2Sent2CosLn
1t2Sent2CosLnt2Cos4
t2Sent2CosLn
1t2Sent2CosLnt2Sen42
2
2
2
).().().()..(
).()..(.t2Sent2Cos
t2Sent2CosLn
1t2Sent2CosLn4 22
2
Desarrollo y respuesta b)
24530Sen30Cos30Sen30CosLn
130Sen30CosLn4
dt
dz 22
2t
,)º()º()º().º(
)º().º(.
Desarrollo y respuesta c)
38550Sen50Cos50Sen50CosLn
150Sen50CosLn4
dt
dz 22
2t
,),(),(),().,(
),().,(.
* * * * * * *
230.- Si ).();( vuSenuvufz 2 donde );(x.eu xy yxg y y)h(x;Log(xy)v
hallar: a) la expresión de la variación de z con respecto de y;
b) el valor de esta der ivada para la condición C(2;1) .
Planteo, Desarrollo, Respuesta:
a)
Simbol izando la composición de las funciones, tenemos:
);());();;(();( yxFyxhyxgfvufz lo que implica que las incógnitas podrían ser :
x
z
y
y
z
, donde x e y son las variables f inales, y u y v las variables intermedias.
Aplicamos la regla de la cadena para la derivada buscada:
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
Por cálculos auxi liares encontramos cada derivada, en su mínima
expresión:
)).(..()..(..).(. .. yxLogexCosyxLogex2vuCosvu2u
z yxyx
; yx2 ex
y
u ..
)).(.(.).(. .. yxLogexCosexvuCosuv
z yxyx
;
y
eLog
y
v )(
con las que componemos la expresión de la derivada buscada:
yx2yxyx exyxLogexCosyxLogex2y
v
v
z
y
u
u
z
y
z ... .))].(..()..(..[
xyxLogexCosyxLogex2exy
eLogyxLogexCosex yxyxyxyxyx ))].(..()..(..{[.
)()).(.(. .....
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
})(
)).(.( .
y
eLogyxLogexCos yx
})(
)).(.()).(..()..(...{. ....
y
eLogyxLogexCosyxLogexCosyxLogxex2ex yxyxyx2yx
)})(
).(.()).(..(..{. ...
y
eLogyxLogxyxLogexCosex2ex yxyx2yx
)})().(()).(..(..{. ... y
1
xyxyx2yx eLogyxLogyxLogexCosex2ex
]})().[()).(..(..{. ... y
1
xyxyx2yx eyxLogyxLogexCosex2ex
b)
Valuamos la derivada obtenida en la condición del problema.
C
y
1
xyxyx2yxC eyxLogyxLogexCosex2ex
y
z]}])().[()).(..(..{.[][ ...
]}).[()).(..(..{. ... 1
1
21212212 e12Log12Loge2Cose22e2
]})[())(..(.{.]})[())(..(.{. e2Log2Loge2Cose2e2e2Log2Loge2Cose2e2 2223222232
30858e4Log4LogeCose8e2e4Log2Loge2Cose8e2 222222 ,]}[))(.(.{.]}[))(..(.{.
* * * * * * *
231.- Una f igura tr iangular se transforma de modo que el ángulo A aumenta, a
velocidad constante, de 0º a 90º en 10 segundos. El lado c disminuye 1 cm por
segundo. El lado b aumenta 1 cm por segundo. Si en un instante, A=60º, c=16
cm, y b=10 cm, ¿qué velocidad de variación t iene el área del tr iángulo?.
Planteo, desarrollo, respuesta
No se t ienen datos suficientes como para saber qué t ipo de tr iángulo es,
por lo que se disponen los datos según la convención clásica.
Las disposic iones podrían ser:
A f in de util izar los
datos del problema, las dos últ imas disposiciones son las más adecuadas.
Elegimos (arbitrar iamente) la segunda.
Del anál isis de la consigna del problema surge que los lados t ienen una
velocidad de variación, o sea, son funciones del t iempo. En consecuencia, el
área S del tr iángulo, al ser función de los lados y ser éstos funciones del
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
t iempo, también será función del t iempo y tendrá una velocidad de variación.
Por ello, estamos en presencia de una función compuesta:
)())();();(();;(2
)();(
2321 tFtftftffAcbf
ASencbhbf
hbS
Con lo que la solución del problema será hallar:
dt
dA
A
S
dt
dc
c
S
dt
db
b
S
dt
dS
Donde: seg
rad
20
º9
seg010
º0º90 ; 1 ; 1
segdt
dA
seg
cm
dt
dc
seg
cm
dt
db
Y además: 2
)(.. ;
2
)(. ;
2
)(. ACoscb
A
SASenb
c
SASenc
b
S
Por lo que: seg
cmACoscbASenbASenc
dt
dS 2
202
)(..1
2
)(.1
2
)(.
Y entonces: 88126,8202
)º60(.16.101
2
)º60(.101
2
)º60(.16 2
seg
cmCosSenSen
dt
dS
Finalmente: seg
cm
dt
dS 2
88,8
* * * * * * *
232.- Si )(y
xSenz donde tex y 2ty hallar
dt
dz.
Respuesta
)()."(
2
t
3
t
t
eCos
t
et
dt
dz
* * * * * * *
233.- Valorar las derivadas posibles de:
1y
-1x
eu si )(
2
2x
22
yxv
yvuLnz
Planteo, desarrollo, respuesta
De acuerdo a los datos se trata de una función compuesta, por lo que:
);());();;(();( 21 yxFyxfyxffvufz las derivadas posibles son: y
z
x
z
; .
Para encontrarlas, se aplica la regla de la cadena:
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
Donde: 1 ; 2 ; 2 ; 1
; ; 2
22
y
vy
y
ux
x
v
vuv
ze
x
u
vu
u
u
z x
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Luego:
yxye
xeye
vu
xeux
vue
vu
u
x
z
x
xxxx
222
2
222
).(.2.2..22
12
y:
yxye
yye
vu
yu
vuy
vu
u
y
z
x
x
222
2
222
14141
12
2
Entonces:
2e
e1
2e
1
e
e12
21e
1
1e
11
e
12
111e
1e1e2
yxye
xeye2
x
z2221
11
C222x
x2x
C
.])..[(])..[(
260e3e21
ee12
e2ee21
ee12
ee2e1
ee2e12
2e
e1
2e1e
2
2
2
22
2
222
22
2
2
2,
.
).(
.
).(
])[(
]).([
)(
)(
Y:
2e
e1
1e
e14
21e
1
11e
14
111e
111e4
yxye
1yye4
y
z222221
21
C222x
2x
C
671
1e2e3
ee54
e2ee21
ee54
e2e1e
eee1422222
2
,)(
][
])([
* * * * * * *
234.- a) Hallar la der ivada de u con respecto a r si 32.3 zyxu y 32 rxy
y 23 rxz ; b) Valorar la para la condición C(1;2).
Planteo, Desarrollo y Respuesta
a) Se trata de una derivada de función compuesta, por lo que se apl ica la
regla de la cadena:
2232 )(2.3)2(331 rxrrrzrr
z
z
u
dr
y
y
u
r
z
z
u
dr
y
y
u
dr
dx
x
u
r
u
(obteniendo las derivadas, las sustituciones y las mínimas expresiones, desde el
cálculo auxiliar).
b) 291)(2.3 223
C
C
rxrrr
u
* * * * * * *
235.- Si 222 yx10z y sabiendo que x e y son funciones del t iempo t,
hallar la ley de variación temporal de la función.
Planteo, desarrollo, respuesta
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
ttt dt
dytf
dt
dxtf
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dztFtftffyxfz
)(2)(2 )())();(();( 2121
236.- Si ,4
22
2
yx
xyz
hallar las funciones
s
z
r
z
si 4sy 3s2rx .
Planteo, desarrollo, respuesta
Se trata de una función compuesta, por lo tanto: r
y
y
z
r
x
x
z
r
z
donde: 222
2223
222
222
222
222
16)32(
))32(16(4
)4()32(
))32()4(()4(4)(4
ssr
srss
ssr
srss
yx
xyy
x
z
;
; 0r
y
r
y ; 2
r
x
d
d
222
3
222
3
222
3
]16)32[(
)32(32
])4()32[(
4)32(8
)(
8
ssr
srs
ssr
ssr
yx
yx
y
z
Entonces : 222
222
222
3
222
2223
]16)32[(
))32(16(1280
]16)32[(
)32(32 2
]16)32[(
))32(16(4
ssr
srss
ssr
srs
ssr
srss
r
z
y
4
]16)32[(
)32(323
]16)32[(
))32(16(44
y
z 3
x
z
s
y
y
z
s
x
x
z222
3
222
2223
ssr
srs
ssr
srss
s
z
222
3223
222
332223
])4()32[(
)32(2])32(16[34
])4()32[(
)32(42])32(16[43
ssr
srsrsss
ssr
srssrss
237.- Dar los valores de s
z
r
z
, de la función anterior, para la condición
C(2;3).
Planteo, desarrollo, respuesta
29,097969
28800
]316)3322[(
))3322(316(3128
]16)32[(
))32(16(128222
222
222
222
CC ssr
srss
r
z
222
3223
222
3223
]316)3322[(
)3322(2])3322(316[3334
]16)32[(
)32(2])32(16[34
CC ssr
srsrsss
s
z
17,897969
800448
Cs
z
* * * * * * *
238.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano y=2 con
49222 zyx . Hallar con qué rapidez se mueve el punto cuando x=6 y aumenta
4 unidades por segundo.
Planteo, desarrollo, respuesta
La velocidad del punto viene expresada por:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
222
222
xv v
dt
dz
dt
dy
dt
dxvvvvvv zyzyx
por lo que es necesario conocer cada una de las
derivadas indicadas para determinar la velocidad.
Por el enunciado del problema se conoce que:
seg4
u
dt
dx el lo s ignif ica que x es función de t y,
además, debe serlo y a través de dt
dy; como
)(tf2y se t iene: 0dt
)2(
d
dt
dy
Para encontrar dt
dz, planteamos como si fuese una función compuesta:
);()x(49)x(49049x 22222222 yxfyzyzzy
dt
dzbuscar )())(f);(f(fy)f(x;z )(fy ^ )(f xsi 2121 tFtttt
a f in de obtener la velocidad del punto.
Por lo tanto, derivando como compuesta, tomamos a x y a y como
variables intermedias, y a t como variable f inal, derivando con la regla de la
cadena:
dt
dx
x
z0
y
z
dt
dx
x
z
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
En consecuencia: seg
842649
6
seg4
49 2222
uu
yx
x
dt
dx
x
z
dt
dz
Finalmente: seg
94,85.45.165.1680804v222 u
que es la velocidad del punto.
* * * * * * *
239.- Si 10
xzev
y3 ).( donde )(ySenx y )(. yCos3z hallar
dy
dv.
Respuesta
)(. yCosedy
dv y3
* * * * * * *
240.- Si ).( zyew x3 donde )(. xSenuy y )(. uSenxz hallar x
w
y
x
w
.
Respuesta
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 2 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
)]).(()()(..(.[ 1x3uSenxCosxSenu3ex
w x3
; ))(.)(.( uCosxxSene
u
w x3
* * * * * * *
241.- Sobre un monitor, una f igura tr iangular se transforma de modo que el
ángulo A aumenta, a velocidad constante, de 0º a 90º en 10 segundos. El lado
AC disminuye 1 cm por segundo. El lado AB aumenta 1 cm por segundo. Si en el
momento en que se fotografía la f igura, A=60º, AC=16 cm y AB=10 cm, ¿cómo
varían: a) el lado BC; b) el área del tr iángulo?. (Referencia: ejercicio 230).
* * * * * * *
242.- Si 2z
y2x3w
donde ).( uxLny 2 y u23z hallar
x
w
y
x
w
.
Respuesta
)( u23x
4x3
x
w
; ]
).([
u
2
u23
uxLnx6
u23
1
u
w 42
* * * * * * *
243.- Si xyez donde 22 vux y )(v
uarctgy hallar
u
z
y
v
z
.
Respuesta
].
)(.
.[).(
22
22
22
12v2u
v
u1tg
vu
vuv
vu
v
utgu
eu
z
; ].
)(.
.[).(
22
22
22
12v2u
v
u1tg
vu
vuu
vu
v
utgv
ev
z
* * * * * * *
244.- Hal lar la ley de variación del volumen de un cono circular cuyo radio
aumenta 5 cm por segundo, a part ir de r = 50 cm, mientras su altura disminuye
10 cm por segundo, a part ir de a =100 cm.
Planteo, desarrollo, respuesta
El volumen del cono se calcula mediante la expresión: );(..
raf3
arv
2
Según la consigna, seg
cm10
dt
da lo que implica que: )(tga ; y también
seg
cm5
dt
dr lo que signif ica que: )(thr .
En consecuencia: )())();(();( tFthtgfrafv
por lo que la ley de variación buscada es:
seg
cm9426179
seg
cm5
3
ar2
segcm
cmcm10
3
r
dt
dr
r
v
dt
da
a
v
dt
dv 3332
,
..
.
.)(
.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
245.- 0. tpara y valorar Sen(t);y cos(t); xpara
22 yx
xy2z
Respuesta
2tSentCos2dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dzt
44
tt
)]()(.([
* * * * * * *
246.- Si 33 yxyxT donde )(. Cosx y )(. Seny hallar
T y
T.
Respuesta
)]([)(
Sen23CosT
; ])())()(()().([ 1Sen2CosSenCosSen3
T 22
* * * * * * *
247.- Si )(.x
ySenzw donde: s2r3x 2 , 3s2r4y y 22 s3r2z , hallar
s
w
.
Respuesta
s2r3
s2r4Sens3
s2r3
s2r4Cos
s2r3
r2s3ss3r222
s
w2
3
2
3
2
2322
..)).((
[
* * * * * * *
248.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano y=2 con
49222 zyx . Hallar la velocidad con que se mueve z, cuando x=6 y aumenta 4
unidades por segundo.
Respuesta
segundo
unidades 8
dt
dz o sea que la velocidad de z es 8 unidades por segundo, y
avanza en sentido contrar io al del crecimiento del eje z.
* * * * * * *
249.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección de la superf icie
0zyyxx 222 . y el plano 02yx . Cuando 3x y aumenta 2 unidades por
segundo, hal lar: a) la velocidad de y; b) la velocidad de z; la velocidad del
punto.
Respuesta
seg
un 2
dt
dyvy ;
seg
un 3,43
7
24
dt
dzvz ;
seg
un . 45,47248v 22
* * * * * * *
250.- Si 22 yyxz donde )(tSenx y tey hallar dt
dz y calcular la para 0t .
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Respuesta
tt2t ee2tSentCosetSen2dt
dz)..)(()(.).(. ; 2
dt
dz
t
* * * * * * *
251.- Si 2222 yxyxLnz )( donde )(. vCosex u y )(. vSeney u hallar u
z
, y
valorarla para );( 23C
Respuesta
ue2u
z
; 1022
u
z
C
,
* * * * * * *
252.- Si 2222 yxyxLogz )( donde )(. vCosex u y )(. vSeney u hallar u
z
, y
valorarla para );( 23C .
253.- Si vuz donde )(xSenu y )(xCosv hallar la der ivada de la
función y valorar la para ),( 32C .
Respuesta
)((.)]([)]().[( )()( xSenLnxSenxSenxCosdx
dz 1xCos1xCos2 ; 990dx
dz,
* * * * * * *
254.- Si )( vuvz u donde: Sen(2.x)u y 2.Cos(x) v hallar los valores
de sus derivadas para )(1C .
* * * * * * *
255.- Si 2z
y2x3w
donde: ).( uxLny 2 y u23z , hal lar las der ivadas de
la función.
Pistas
Hay que hal lar las mínimas expresiones de:
dx
dz
z
w
x
y
y
w
dx
dx
x
w
x
w
y
du
dz
z
w
u
y
y
w
du
dx
x
w
u
w
* * * * * * *
256.- Si )().()().( 1xLny2y2Ln1xz , donde srx e y s-rey hal lar las
mínimas expresiones de sus der ivadas.
* * * * * * *
Derivación de funciones implícitas
Vimos en Anam1 que si )(xfy define una relación funcional de la variable
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
dependiente y con respecto a la variable independiente x, exist iendo en un
entorno de un cierto punto )( 0xP , al igual que todas sus derivadas, puede
escribirse: 0)( xfy ; y reduciendo a su mínima expresión el primer miembro,
se obtiene: 0))(();( xfyyxr , siendo )(xfy una función implícita, de
estructura f , conocida o no, y contenida en la función );( yxr .
Supongamos ahora tres cosas:
a) que )(xfy describe cierto fenómeno físico, o problema;
b) que no se conoce su estructura funciona l f ;
c) que se necesita saber su der ivada con respecto a x, o sea, su ley de
variación con respecto a x (dx
dy).
En consecuencia, 0);( yxr es una función portadora de una relación
funcional implícita, de estructura )(xfy que es continua, al igual que todas
sus derivadas, en el entorno del punto )( 0xP .
En símbolos: )(0);( xfyyxr .
La función )(xfy puede, o no, ser explic itable a part ir de la función
portadora de la función implícita ( 0);( yxr ) por procedimientos algebraicos.
Si es expl icitable, se lo hace y luego se deriva, obteniéndose la der ivada
buscada.
Si no es expl icitable, podemos aplicar la regla de la cadena para funciones
compuestas a la estructura de la función 0);( yxr , en donde las variables x e y
serán tomadas como variables intermedias, y x también será variable f inal.
Veamos por qué:
si pensamos en la derivada de la función implícita, ello signif ica que t i ene
que haber habido un incremento de una variable independiente (en este caso, la
x), o sea: x ; este incremento genera un incremento de la función: y ; entre
el incremento de la función y el incremento de la va riable que lo or iginó,
conformamos un cociente incremental; si tomamos el límite de este cociente
incremental para el incremento de la variable que t iende a cero, tenemos la
derivada que estamos buscando:
'0
ydx
dy
x
yLímx
Pero tenemos el problema que la función no está explic itada, sino que es
implícita en 0);( yxr . Por ello, ahora deducimos que si existe x éste origina
y , y ambos originan r , lo que signif ica que podemos decir que estamos frente
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
a una función compuesta, un poco especial (segundo miembro nulo):
0))(;();( xfxryxr
y el incremento de la función portadora, debido al incremento de la variable x,
es: );();( yxryyxxrffr oi
Como, según , x es el único causante de r , deducimos que:
0dx
0d
dx
xfxdr
dx
yxdr
)())(;();( y entonces: 0
x
rLím
dx
dr
0x
de donde: 0r
por lo tanto: 0yxryyxxrffr oi );();(
Si expresamos ahora el incremento en función del diferencial exacto y los
IOS, se t iene: 0);();( 21
yxy
y
rx
x
ryxryyxxrr
Pxo
y s i div idimos (y distribuimos) por el incremento de la variable independiente, y
conformamos el cociente incremental, y tomamos límite del mismo, es:
)0(0
2100
xPxxx
Límx
y
x
x
x
y
y
r
x
x
x
rLím
x
rLím
o
y podemos expresar: 0010
dx
dy
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
dx
dr
Pxo
es decir: 0
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
dx
dr
Pxo
de donde: 0
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
Pxo
y observando el primer miembro de la últ ima expresión, se ve que es el
desarrollo de la aplicación de la regla de la cadena, donde los primeros factores
de cada término son las derivadas de la función portadora con respecto a las
variables intermedias de la función compuesta, valoradas en el punto de
existencia de la función ( )( 0xP ); y los segundos factores son las derivadas de
las variables intermedias con respecto a la variable f inal; y por la condición de
función implícita, el segundo miembro es nulo.
Como toda der ivada de una variable con respecto a ella misma es la
unidad, se t iene, como mínima expresión, y dando por sobreentendida la
valoración de las derivadas de los primeros factores: 0
dx
dy
y
r
x
r
expresión en la que se conocen todos los valores, a excepción de la derivada
buscada, la que se puede explic itar:
y
rx
r
dx
dy
yx
yx
);(
);(
expresión que permite obtener la derivada de la función implícita por apl icación
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
de la regla de la cadena a la función portadora de la misma.
Si bien aquí se observa que es senci llo el despejar para ob tener la
derivada buscada, si anal izamos con detenimiento la expresión , vemos que
constituye una ecuación con una incógnita (s istema nxn=1x1), por lo que t iene
solución (es compatible) y podemos solucionar la mediante el método de los
determinantes, que establece que toda incógnita es la relación entre el
determinante sustituto para la incógnita y el determinante pr incipal del sistema:
sII .
Por lo tanto, el denominador de la , puede considerarse como un
determinante de una f i la y una columna (determinante monoelemento) cuyo
resultado es el monoelemento con su signo; del mismo modo, el numerador
de la expresión es otro determinante monoelemento, por lo que:
x
r
x
r yxyx
);();( ^
y
r
y
r yxyx
);();(.
El determinante principal es una combinación, o arreglo, de los
coeficientes que afectan a las incógnitas del s istema, distribuidos en f i las y
columnas, convenientemente ordenados.
El determinante sustituto es el mismo pr incipal en el que se ha sustituido
la columna de los coefic ientes de la incógnita buscada por la columna de los
coeficientes independientes (no afectan a ninguna incógnita) cambiados de
signo.
De acuerdo a esto, en el sistema dado por la incógnita buscada es dx
dy,
su coeficiente es y
r yx
);(, y el término o coeficiente independiente es
x
r yx
);(.
En consecuencia, aplicando el álgebra de los determinantes al s istema 1x1
de la , tenemos que la incógnita buscada es:
y
rx
r
y
r
x
r
dx
dy
yx
yx
yx
yx
yx
);(
);(
);(
);(
que es la , ahora obtenida por determinantes.
Este hecho de apl icar el álgebra de los determinantes para obtener las
derivadas implícitas a part ir de un sistema de ecuaciones que las contienen, nos
permite establecer un método general para la obtención de las deriv adas de las
funciones implícitas.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Método general de derivación de funciones implícitas
Consiste en la aplicación conjunta de la regla de la cadena para derivación
de funciones compuestas y el álgebra de los determinantes.
Supongamos que cierto fenómeno fís ico es descripto por medio de dos
ecuaciones que conforman un sistema descriptor del fenómeno:
)5(0);;;(
)4(0);;;(
2
1
yxvur
yxvur
en donde u y v son funciones implícitas de estructuras g y h desconocidas:
);(
);(
yxhv
yxgu
En este proceso, o fenómeno, por algun a razón, podrían variar x o y, o
ambas, y el problema radica en cómo valorar los cambios en u, o en v, o en
ambas, cuando ello suceda.
La ponderación de tales cambios (o ley de variación de la función) se
obtendrá por la derivación de u, o de v, o de ambas, en relación a las variables
x e y.
De este modo, x e y están actuando como variables independientes en el
proceso, e independientes entre sí; mientras que u y v actúan como variables
dependientes, o funciones (implícitas en r1 y en r2); y r1 y r2 actúan como
funciones portadoras de funciones implícitas.
De acuerdo a esto, las leyes de variación posibles, o incógnitas a
determinar, son: x
u yx
);(
x
v yx
);(
y
u yx
);(
y
v yx
);(
las que algunas, o todas, pudieran ser las incógnitas buscadas en determinado
proceso.
Generalmente, suele ser de necesidad el encontrar sólo una de ellas; el
“peor caso” será la necesidad de determinar a todas las incógnitas indicadas.
Para obtener las estructuras de las derivadas buscadas, apl icamos la regla
de la cadena y el álgebra de determinantes.
Búsqueda de x
u yx
);(: aplicamos la regla de la cadena a la expresión :
01111
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
x
v
v
r
x
u
u
r
Expresión en la que se observa el doble rol de x; es intermedia e independiente,
a la vez.
Minimizando:
001111
y
r
x
r
x
v
v
r
x
u
u
r 0111
x
r
x
v
v
r
x
u
u
r
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
En la expresión obtenida por la regla de la cadena en observamos que
aparece la incógnita buscada (x
u
) pero también aparece una incógnita no
buscada (x
v
).
Signif ica que se t iene un sistema de una ecuación con dos incógnitas
(1x2). No t iene solución.
Se necesita armar otra ecuación con las mismas dos incógnitas, para tener
un sistema compatible (2x2); para el lo util izamos la y le aplicamos la regla de
la cadena:
002222
y
r
x
r
x
v
v
r
x
u
u
r 0222
x
r
x
v
v
r
x
u
u
r
Con la y la , armamos el sistema:
0
0
222
111
x
r
x
v
v
r
x
u
u
r
x
r
x
v
v
r
x
u
u
r
Mirando con detenimiento el sistema así formado, observamos:
a.- los primeros términos de sendas ecuaciones contienen la pr imera incógnita;
b.- los segundos términos contienen la segunda incógnita;
c.- los terceros términos contienen los coeficientes independientes;
d.- los segundos miembros son ambos nulos;
e.- cada incógnita está afectado por un coeficiente determinado.
Estamos en condiciones de armar el determinante pr incipal del sistema y,
a part ir de él, los correspondientes sustitutos, obteniéndose:
v
r
u
r
v
r
u
rv
r
x
r
v
r
x
r
v
r
u
r
v
r
u
rv
r
x
r
v
r
x
r
v
r
u
r
v
r
u
r
v
r
x
r
v
r
x
r
v
r
u
r
v
r
u
r
v
r
x
r
v
r
x
r
ux
x
u yx
1221
2112
1221
1221
1221
1221
22
11
22
11
);(
Expresión en la que, luego de susti tuir por las derivadas indicadas, y de l levar a
la mínima expresión, habremos obtenido la derivada buscada.
Los determinantes pr incipal y sustituto suelen llamarse
determinantes Jacobianos (el Jacobiano principal, y el Jacobiano sustituto) con
los símbolos:
v
r
u
r
v
r
u
r
uv
rrJ
22
11
21 y
v
r
x
r
v
r
x
r
xv
rrJux
22
11
21
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Del mismo sistema, y en caso de ser necesario, podemos obtener:
v
r
u
r
v
r
u
rx
r
u
r
x
r
u
r
v
r
u
r
v
r
u
rx
r
u
r
x
r
u
r
v
r
u
r
v
r
u
r
u
r
x
r
x
r
u
r
v
r
u
r
v
r
u
r
x
r
u
r
x
r
u
r
vx
x
v yx
1221
2112
1221
1221
1221
2121
22
11
22
11
);(
Y mediante los Jacobianos:
v
r
u
r
v
r
u
rx
r
u
r
x
r
u
r
uv
rrJ
ux
rrJ
ux
x
v yx
1221
2112
21
21
);(
Para hallar las otras dos derivadas , en caso de que sea necesario, aplicamos
la regla de la cadena a las expresiones y del sistema, derivando con
respecto a la segunda variable f inal y, obteniéndose:
0
0
222
111
y
r
y
v
v
r
y
u
u
r
y
r
y
v
v
r
y
u
u
r
de donde:
v
r
u
r
v
r
u
r
v
r
y
r
y
r
v
r
uv
rrJ
yv
rrJ
uy
y
u
1221
2121
21
21
y
v
r
u
r
v
r
u
r
y
r
u
r
u
r
y
r
uv
rrJ
uy
rrJ
vy
y
v
1221
2121
21
21
El uso de la denominación Jacobianos es opcional, dado que el álgebra de
los determinantes resuelve a través de los determinantes principal y sustituto.
En general, si consideramos un sistema de n portadoras de implíc itas,
descriptoras de un mismo fenómeno:
);.....;(
..................................
);.....;(
);.....;(
:implícitas 0);.....;;;;.....;;(
funciones de ........................................................
sistema el 0);.....;;;;.....;;(
definen que 0);.....;;;;.....;;(
21
2122
2111
2121
21212
21211
nnn
n
n
nnn
nn
nn
xxxfy
xxxfy
xxxfy
yyyxxxr
yyyxxxr
yyyxxxr
aplicando la regla de la cadena y el álgebra de los determinantes, obtenemos
las expresiones de las derivadas implícitas buscadas ( incógnitas); por ejemplo,
si buscamos obtener 3
2
x
y
, planteamos el sistema de las der ivadas para con 3x :
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
0
............................................................................................................
............................................................................................................
0
0
33
1
133
2
23
1
1
3
2
3
1
1
2
3
2
3
2
2
2
3
1
1
2
3
1
3
1
1
1
3
1
3
2
2
1
3
1
1
1
dx
y
y
r
dx
y
y
r
dx
x
x
r
dx
x
x
r
x
x
x
r
dx
y
y
r
dx
y
y
r
dx
x
x
r
dx
x
x
r
x
x
x
r
dx
y
y
r
dx
y
y
r
dx
x
x
r
dx
x
x
r
x
x
x
r
n
n
nnn
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
De este nuevo sistema, planteamos la estructura de la incógnita buscada a
través del álgebra de los determinantes:
n
n
n
n
yy
rrrJ
yxy
rrrJ
xy
x
y
..........
.....
..........
.....
1
21
31
21
32
3
2
donde:
n
nn
n
n
n
n
y
rn
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
y
r
yy
rrrJ
.....
...............................
.....
.....
..........
.....
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
21
y
n
nn
n
n
n
n
y
rn
x
r
y
r
y
r
x
r
y
r
y
r
x
r
y
r
yxy
rrrJxy
.....
...............................
.....
.....
..........
.....
31
2
3
2
1
2
1
3
1
1
1
31
2132
El método general de derivaciones implícitas consiste, entonces, en
considerar que un problema, o fenómeno, es descripto por un sistema nxn, de n
ecuaciones y n incógnitas (1x1, 2x2, 3x3, etc.), por lo que se resuelve éste
últ imo mediante el álgebra de los determinantes.
Como ejemplo de otra aplicación conjunta de la regla de la cadena y del
álgebra de los determinantes para obtener derivadas de las funciones implícitas,
y como aplicación, a su vez, del modo general presentado, supongamos que un
cierto fenómeno es descripto por la estructura funcional: 0);;( zyxr donde
se sabe que está definida implíc itamente la relación funcional: );( yxfz y se
desea saber el modo en que variará z con respecto a x, y con respecto a y, sin
conocerse la estructura f.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 3 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Por la regla de la cadena, establecemos que:
0000
x
z
z
r
x
r
x
z
z
r
y
r
x
r
x
z
z
r
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
y por el álgebra de los determinantes:
z
rx
r
z
r
x
r
z
rJ
x
rJ
zx
x
z
Y para la otra incógnita:
00
y
z
z
r
y
r
y
z
z
r
dy
dy
y
r
dy
dx
x
r : regla de la cadena;
y por el álgebra de los determinantes:
z
r
y
r
z
r
y
r
zy
y
z
Con lo que se obtuvieron las dos incógnitas buscadas.
En el proceso de derivación de funciones implícitas, se deriva
primero por la regla de la cadena; luego se aplica el álgebra de determinantes ; y
se reduce a la mínima expresión.
En caso de pedir lo el problema, se valúan las expresiones de las
derivadas obtenidas, para determinada condición impuesta por el enunciado, o
consigna.
En este caso, deberá tenerse en cuenta que la mínima expresión de una
función derivada como implíc ita contiene variables f inales e intermedias ;
situación que se analizará en los prácticos.
Recordemos que en el caso de las der ivadas de funciones compuestas no
aparecen las variables intermedias.
* * * * * * *
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
En todos los e jercicios se apl icará el método general ( regla de la
cadena/determinantes) exclusivamente, salvo especi fi cación par ticular .
257.- Si 2zxSenyzx 22 ).(.. en donde );( yxfz , a) hallar la der ivada de z con
respecto a y; b) valorar la der ivada para );;(2
3
4
3
3
4P .
Planteo, desarrollo y resultado:
a.- Con v istas a apl icar el método general de derivación de funciones
implícitas, que ut il iza la regla de la cadena para la derivación de funciones
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
compuestas, en combinación con el álgebra de los determinantes (o d e los
sistemas), hacemos 02zxSenyz2 )(x:w 2 como función portadora de la
función implícita );( yxfz , y deducimos que: 0yxWyxfyxww );());(;;(z)y;(x;:w
por lo que, apl icando la regla de la cadena para funciones compuestas en el
primer miembro, y derivando el segundo miembro con respecto a la misma
variable f inal, se t iene: 0dy
0d
y
z
dy
dy
dy
dx
)(
z
w
y
w
x
w o sea: 0
y
z
z
w
y
w
que es un sistema de una ecuación con una incógnita ( 1x1) desde el que
encontramos la derivada buscada (incógni ta del sistema), mediante la relación:
)(
).(
)(
).(
xzyCosxz2x
zxSen
xzxyCoszx2
zxSen
z
w
y
w
z
w
y
w
z
w
y
w
zy
y
z2
b.-
1802Cos316
2Sen3
2
3
3
4Cos
4
3
2
3
3
42
3
42
3
3
4Sen
xzyCosxz2x
zxSen
y
z
PP
,)(
)(
)(
)(
)(
).(
* * * * * * *
258.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano ][ 2y con la
superf icie 49zyx 222 . Cuando 6x y aumenta 4 unidades por segundo,
hallar: a) la velocidad de la coordenada z; b) la velocidad del punto.
Planteo, desarrollo y respuesta:
a) Intersectando los planos, resulta: 49z2x 222 o sea: 49z4x 22 ,
es decir que: 45zx 22 expresión en la que )(tgx y )(thz , según lo que
indica el enunciado del problema.
Llamando r a la función y der ivándola por medio de la regla de la cadena
como una compuesta que contiene implícitas:
0dt
45d
dt
dz
z
r
dt
dx
x
r
)( y como, según el enunciado, x varía a una velocidad
de 4 unidades por segundo, se t iene que: seg
u 4
dt
dx
por lo que: 0dt
dz
z
r4
x
r
de donde:
z
r
x
r4
dt
dz s
y por lo tanto: seg
un8
3
24
645
24
x45
64
z
x4
z2
x24
dt
dz
22
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
b) La velocidad del punto está compuesta por dos velocidades; la
correspondiente a la dirección x, y la correspondiente a la dirección z:
j8i4jt
zi
t
xjvivvvv zxzx
lo que permite:
seg
u ,
seg
un vv 948548084
t
z
t
x 2222
* * * * * * *
259.- Un punto se mueve sobre la curva de intersección del plano 02yx
con el plano 0yxzyx 222 . . Cuando 3x y aumenta 2 unidades por segundo,
hallar la velocidad con que se mueve e l punto.
Planteo, desarrollo, respuesta
Como el movimiento del punto t iene componentes en las tres direcciones,
su velocidad deberá ser:
222
dt
dz
dt
dy
dt
dxv
Y como seg
cm
dt
dx2 , para conocer las otras dos se plantea el sistema:
g : 02y-x
h : 0. 222 zyyxx donde: t(t)z s(t);y );( trx
Por lo que, planteando como derivación de funciones implícitas:
0dt
dzz2
dt
dyy2x20
dt
dz
z
h
dt
dy
y
h
dt
dx
x
h
)()(y)2x(
que es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se t iene un sistema 1x2 que,
para resolverlo, se apela a la otra componente del sistema descriptor del
fenómeno (g), se la deriva como implícita, y con ello se conformará un sistema
2x2:
002 0021 0
dt
dz
dt
dy
dt
dz
dt
dy
dt
dz
z
g
dt
dy
y
g
dt
dx
x
g
Entonces:
0dt
dz0
dt
dy2
0dt
dzz2
dt
dyy2x2
)(y)2x(
sistema desde el que conformaremos los determinantes, princip al y sustituto:
z2z210y2x1
y2x
))..(().(
0
2z-
)())).(.(()).((2 -
y).2(2x- yx6y2x4y4x22yx212y2x
1
y2xzt
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
entonces: z
yx3
z2
yx6
dt
dz zt )()(
Pero, por datos del problema: 2xy y reemplazando:
4x6x3
1x6
z
1x6
z
2xx3
dt
dz
2
)()())(( que, para 3x :
7
24
43633
136
dt
dz
2
..
)( o sea que:
seg
un
dt
dz
7
24
Y con ello, la velocidad del punto es:
44467,47
2422
2
22
v o sea:
seg
unv 45,4
* * * * * * *
260.- a) Hallar la der ivada de z con respecto a y si )(xyzSenzyx .
b) Valorarla para la condición );2
1C(1; 2 .
Planteo, Desarrollo, Respuesta
Del enunciado se deduce que );( yxfz , de la que se pide la y
z
.
a) Llamaremos r: 0)( xyzSenzyx
entonces: 0
y
z
z
r
dy
dy
y
r
dy
dx
x
r de donde: 0
y
z
z
r
y
r por lo que:
1xyzCosyx
xyzCoszx1
1xyzCosyx
1xyzCoszx
z
r
y
r
z
r
y
r
y
z zy
)(..
)(..
)(..
)(..
b) 11,02)1(
)1(.42
1)1(2
1
)1(.21
1)22
11(
2
11
)22
11(.2.11
1)(..
)(..1
Cos
Cos
Cos
Cos
Cos
Cos
xyzCosyx
xyzCoszx
y
z
CC
* * * * * * *
261.- a) Hallar la der ivada de y con respecto a x del sistema:
01
022
xyz
zyyx.
b) Valorarla para la condición );C(1;2 3 .
Planteo, Desarrollo, Respuesta
a) Llamando
01:
0:
2
221
xyzr
zyyxr desarrollamos por regla de la cadena:
(1) 0 0 111111
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
x
r
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
que es un sistema de una ecuación con dos incógnitas: una buscada y la otra
innecesaria; para resolverlo necesitamos armar otra expresión con las mismas
dos incógnitas y conformar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas;
entonces: (2) 0 0 222222
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
x
r
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
Entre (1) y (2) tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
que nos permit irá obtener la incógnita buscada, entonces:
yzxx
x2yzy
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
dx
dy2
2
1221
1221
22
11
22
11
yx
:
b) 1417
8
7
42
321
2322
yzxx
x2yzy
dx
dy
C
2
2
C
,.
.
)..(
)(
)(
* * * * * * *
262.- Para que la función yx3xy2F 22 permanezca constante si x aumenta 2
cm por segundo cuando pasa por el valor cm 3x , ¿a qué velocidad varía y,
cuando pasa por cm 1y ?.
Planteo, Desarrollo, Respuesta
Si F es constante, entonces:
dt
dyx3xy42xy6y2
dt
dy
y
F
dt
dx
x
F0
dt
dF 22
)()(
de donde: seg
cm312
15
32
33134
136122
x3xy4
xy6y22
dt
dy2
2
2
2
yt,
)()(
* * * * * * *
263.- Hallar Cdt
dz
si )();( 22 yxCosyxyxfz ① para
(3)
(2) )(
22
2
txSeny
tyLnx
siendo la condición: );C(3;2 1 .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
De ②: )(2 yLntx ④ Con ④ en ③: )())(( 1
2 tfytyLntSeny
De ②: 2x-t2 ey )( xtyLn ⑤ Con ⑤ en ③: )()(e 2
22x-t 2
tfxtxSen
Por lo tanto: )())();(();( 21 tFtftffyxfz y la derivada a encontrar es
la de una función compuesta, mientras que el sistema ②③ es un sistema de
funciones implícitas, que puede disponerse como:
(s) 0
(r) 0)(
22
2
txSeny
tyLnx
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Aplicando la regla de la cadena a la función principal:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Donde: ).().(2..).().(2 222 yxSenyxyxCosyxyxSenyxyxCosxyx
z
).().(2..).().(2 222 yxSenyxyxCosyxyxSenxyyxCosyxy
z
Entonces: dt
dxyxSenyxyxCosyx
dt
dz).().(2.. 2
dt
dyyxSenyxyxCosyx ).().(2..2
Luego: ][).().(2 22
dt
dyyx
dt
dxyxyxSenyxyxCos
dt
dz
Del sistema rs:
0t
s
dt
dy
y
s
dt
dx
x
s
0t
r
dt
dy
y
r
dt
dx
x
r
0dt
dt
t
s
dt
dy
y
s
dt
dx
x
s
0dt
dt
t
r
dt
dy
y
r
dt
dx
x
r
⑥
Por lo que las incógnitas del sistema son:
y
r
x
s
y
st
r
x
s
t
s
y
s
x
s
y
r
t
s-
x
s
t
r-
y
r
x
s
y
s
y
r
t
s
y
s
y
s
x
s
y
r
y
s
t
s-
y
r
x
rx
r
x
r
x
r
dt
dy
x
r
t
r
x
r
t
r
dt
dx ytxt
Las derivadas intervinientes son:
1 ;1
;.2 ;.2 );( );(...2 322
t
r
yy
rx
x
rt
t
sxSen
y
sxCosyx
x
s
Entonces: )]()(.[
)(.2
)]()(.[...2
2)(..223
2
222
23
xSenxCost
xCosy
dt
dy
xCosxSentyx
xSenty
dt
dx
Y la estructura, o ley, de la función buscada es, en su mínima expresión:
)()(..2
)(.2..22)(...).().(2.223
2223
xCosxSent
xCosyxxSentyyxSenyxyxCosy
dt
dz
Y su valor para la condición propuesta, );;();xC(t; 123Cy , es:
)2()2(.3.2
)2(.12.2.22)2(.3.1.)1.2(12)1.2(2.2223
2223
CosSen
CosSenSenCos
dt
dz
C
)4()4(.27
)4(2.82)4(.27.)2()2(
)4()4(.27.2
)4(.12.4.22)4(.27.)2(2)2(2
CosSen
CosSenSenCos
CosSen
CosSenSenCos
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
90,13
Cdt
dz
* * * * * * *
264.- Si Cos(x)y.ez para 22 ty2x y ty3x2 , hal lar la variación de z
con respecto a la variable t.
* * * * * * *
265.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita );( yxfz en el
sistema
1)(.2.3
)(.
zLnzyx
zyCosxez, valorándolas en el punto:
a) Q(e;;2), ¿tiene sentido?, ¿por qué?;
b) P(0;-1;1), ¿tiene sentido?, ¿por qué?.
* * * * * * *
266.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita contenida en
03y2x
e
.
Respuesta: 2y3
x2
dx
dy
* * * * * * *
267.- Hallar las der ivadas de )(xgy y )(xhz a part ir de:
)(2.3.2
0).(
xLnyzxe
x
yxLn
* * * * * * *
268.- Hallar las der ivadas de );( yxgu y );( yxhv a part ir de:
)(2.22.)(
zLogxuv
zyxuLnv
* * * * * * *
269.- zzyxyx ...2.210 contiene a );( yxfz ; hallar sus derivadas.
* * * * * * *
270.- La ecuación de estado de un gas perfecto es: P.Vm.C.T donde:
m es la cantidad de gas (moles); C es una constante; T es la temperatura; P es
la presión; V es el volumen.
En cierto instante, 118 moles de gas t ienen un volumen de 0,5 m3 bajo una
presión de 80000 Kg por m2.
Si 84780C , , hallar la velocidad del cambio de la temperatura si el volumen
aumenta 0,001 m3 por segundo y la presión disminuye a razón de 100 Kg por m
por segundo.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Planteo, Desarrollo y Respuesta
De la ecuación del gas despejamos la temperatura: );( VPfm.C
P.VT
para un valor dado de m .
Si tanto la presión, como el volumen son funciones del t iempo, ya que,
según el enunciado: seg
m ,
3
0010dt
dV y
seg
Kg.m 100
dt
dP entonces:
)())();(();( tFthtgfVPfm.C
P.VT luego: r : ))();(()();()( 0thtgftFVPftF
o sea que 0Cm
VPTr
.
. y entonces: 0
dt
0d
dt
dV
V
r
dt
dP
P
r
dt
dT
T
r
)(
de donde: 00010Cm
P100
Cm
V
dt
dT1 ,
.)(
. y despejando:
2998788084780118
50100800000010V100P0010
Cm
10010
Cm
P100
Cm
V
dt
dT,
,.
,..,],[
.,
.)(
.
Finalmente: seg
)grados(º ,30
dt
dT
*******
La resolución como función compuesta es más direct a: a part ir de la
expresión )())();(();( tFthtgfVPfm.C
P.VT donde t es variable f inal, y P y V
son variables intermedias, aplicamos la regla de la cadena:
84780118
10050001080000
Cm
100V0010P0010
Cm
P100
Cm
V
dt
dV
V
T
dt
dP
P
T
dt
dT
,.
.,,.
.
.,.,
.)(
.
y entonces: seg
)grados(º ,30
dt
dT
* * * * * * *
271.- Hallar las der ivadas de )(xgy y )(xhz a part ir de:
0)2.2.2(5
022.22.3
yxCos
zyx
* * * * * * *
272.- Hallar las der ivadas: x
w ;
x
v ;
y
u a part ir de:
0e3vxLog
0vLnu3y2x
w
yu2
2
1
..
2
.).(
)(..
uLog(y)3.x
* * * * * * *
273.- A part ir de:
12)3()2(32
05.23yLnxLogvu
yxvu hallar todas las der ivadas
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
posibles de las funciones implícitas );( yxfu y );( yxfv , valorándolas para la
condición );;;( 1122C .
* * * * * * *
274.- A part ir de: 023.yLn(x) ; 0)(. zLnxy hallar todas las der ivadas posibles
de la función implícita )(xfy y )(xgz , valorándola para la condición );;( 101C .
* * * * * * *
275.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita contenida en la
expresión 1)(.)(. xSeny
eySenxe , valorándolas para la condición ));(( 01SenC 1 .
* * * * * * *
276.- Hallar todas las derivadas posibles desde: ;0)(. zLny x ;0.3)( 2 yxLn
);(xfy );(xfz ).4;3;2(P
Planteo, desarrollo y resultado:
Armamos el sistema:
0.3)(:
0)(.:
2
2
1
yxLnr
zLnyr x
Desde el que, para obtener
las derivadas solic itadas, der ivamos aplicando la regla de la cadena:
0111
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r luego: 0111
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
x
r
Como se t iene un sistema de una ecuación con dos incógnitas, armamos
una ecuación complementaria con la otra función:
0222
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
con lo que: 0222
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
x
r
Resolviendo por determinantes el nuevo sistema así formado :
-0,02836
1-
..
..P
yx6
1
dx
dy
yx6
1
y
r
z
rx
r
z
r
0y
r
z
r
y
r
0x
r
z
r
x
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
x
r
z
r
x
r
dx
dy
P21
21
2
11
2
11
22
11
22
11
y también la derivada:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
y6z
y
x
1zLnyzzLnyLnyy6
y
r
z
r
y
r
x
r
x
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
x
r
y
r
x
r
y
r
dx
dzx
1x
21
2121
22
11
22
11
).(..)().(...
046dx
dz
yx6
zyLnzyx6zLnz
P
2
, ..
))(....).((.
Las que toman un valor real al valuarse sus respecti vas expresiones por
las coordenadas del punto P.
Como siempre, al tratarse de números f initos, medibles, se redondean a
dos cifras signif icativas después de la coma por arriba o por debajo de 5.
* * * * * * *
277.- Un cierto fenómeno físico está descri pto por el sistema
0yvu
0x2vu 2
.
donde se sabe que se encuentran implícitas );( yxfu y );( yxgv . Se necesita
encontrar las leyes de variación de y
u
y
x
v
.
Respuesta
2v2u
v2
y
u
2v2u
v2
x
v
* * * * * * *
278.- Dada la curva )(xfy definida implícitamente por 0xy2yxz , hal lar
la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto );( 11P .
Respuesta: x2y
* * * * * * *
Derivada direccional
Vimos que las derivadas parciales de una función );( yxfz , continua, al
igual que todas sus der ivadas, en el entorno de un punto );();( 00 baPyxP de su
dominio (f igura 113), se interpretan como el valor de la pendiente de una recta
tangente a la superf ic ie de la función sobre un punto ubicado en la curva de
intersección de la superf icie que grafica la función con un plano para y
constante, o para x constante, según se trate de:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 4 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
x
z
o de
y
z
, respectivamente.
Vimos también que la función toma un valor 000 );( zyxfz para un punto
);( 00 yxP de su dominio. Ello define un punto );;( 000 zyxT , situado sobre la
intersección dicha, en el que se produce la tangencia mencionada.
Cuando x pasa de un valor 0x a otro valor x , mayor o menor que 0x ,
decimos que se produjo un incremento x sobre la recta paralela al eje de
abscisas que pasa por );( 00 yxP . O sea que los desplazamientos de estos valores
de x ocurren en la “dirección x”.
Lo propio ocurre cuando se trata de un incremento y , pero en una
“dirección y”, f igura 114.
Conforme ocurren estos desplazamientos, en una o en otra dirección, las
rectas tangentes t ienen proyecciones sobre el xy , pasantes por );( 00 yxP , y
paralelas o al eje x o al eje y.
En consecuencia, tanto la recta tangente en );;( 000 zyxT , como su
proyección en el xy , están contenidas en una “dirección x” o en una “dirección
y”.
Por ello, podemos decir que la derivada parcial x
z
es una derivada en la
dirección del eje x (en el sentido que corresponda al incremento involucrado), y
que la der ivada parcial y
z
es una derivada en la dirección del eje y (con el
sentido (ley de crecimiento) que le corresponda al incremento de la variable y).
En suma, tales der ivadas parciales son derivadas siguiendo una dirección,
o derivadas direccionales, en la dirección de los ejes coordenados.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Si ahora pensamos en un punto );( yxU , en el entorno de );( 00 yxP , en el
dominio de la función, f igura 119, podemos decir que entre uno y otro punto
existe un desplazamiento, representado por un incremento s , y v isto sobre el
segmento de la recta s, la que representa una cierta dirección que vincula a
ambos puntos.
El incremento s se v incula con los incrementos x y y a través de la
relación pitagór ica: 22 yxs
El incremento s origina, al pasarse de un punto al otro, incrementos x y
y , los que, a su vez, originan un incremento z en la función, cuya estructura
será:
yxyy
zx
x
zyxfyyxxfffffz
PP
i
210originaldaincrementa );();(
Y como s originó el incremento z , establecemos el cociente incremental
s
z
y determinamos el límite de dicho cociente para cuando 0s ( U t iende
a P), obteniéndose: ds
dz
s
yxyy
zx
x
z
Lims
zLim PP
ss
21
00
Que es una der ivada total, no parcial, que llamaremos, por definición, la
derivada de la función en la dirección s; es decir que tenemos definida una
derivada direccional de la función z, en la dirección s:
s
y
s
x
s
y
y
z
s
x
x
zLim
ds
dz
PPs
210
)()()()( 21
0 SenCosSen
y
zCos
x
zLim
PPs
)()()()( 21
0 SenCosLimSen
y
zCos
x
z
sPP
2
01
0)()()()(
ssPP
LimSenLimCosSeny
zCos
x
z
0)()(
Sen
y
zCos
x
z
PP
puesto que, como sabemos: 0
000
yxs
LimLim
Analizando el plano del dominio observamos que )()( CosSen
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
y que )()( CosSen por lo que podemos establecer que:
PPP
Cosy
zCos
x
zCos
y
zSen
x
zSen
y
zCos
x
z
ds
dz
)()()()()()(
El últ imo miembro nos dice que la derivada direccional puede indicarse por
medio de los cosenos directores de la recta dirección s.
Sin embargo, para simplif icar el número de datos, es común util izar la
expresión del segundo miembro, en función del ángulo director con referencia al
eje de abscisas (eje x, en este caso).
Dado que los valores de las derivadas parciales de la expresión son
números reales, y los valores de los cosenos directores están comprendidos en
un intervalo 1;1 , también reales, la derivada direccional es un escalar, esto es,
un número real, f inito, medible.
Ahora, si x
z
ds
dz
rad
2º90rad0º0
y si y
z
ds
dz
rad0º0rad
2º90
Lo que implica que las der ivadas parciales en la dir ección x y en la
dirección y, son casos part iculares de la derivada direccional de la función.
En el caso de una función de tres variables independientes, tal como
);;( zyxfw , si consideramos una dirección s en su dominio, f igura 120, se
tendrá que: 222 zyxs y si 0s
0
0
0
z
y
x
por lo que la estructura de la der ivada direccional de la función w en la
dirección s será:
s
z
s
y
s
x
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
wLim
ds
dw
s321
0
o sea que: )()()( Cosz
wCos
y
wCos
x
w
ds
dw
Y si z
w
ds
dw
rad0º0rad
2º90rad
2º90
o x
w
ds
dw
rad
2º90rad
2º90rad0º0
o y
w
ds
dw
rad
2º90rad0º0rad
2º90
Interpretación geométrica de la derivada direccional
Puesto que la secante RT, el incremento s y el incremento z conforman
un triángulo rectángulo, al pasar del punto R al punto T en la superf ic ie de la
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
función (de U a P, en el dominio de la función), se t iene un ángulo 0 en el
interior de dicho triángulo, f igura 119.
La tangente del ángulo 0 es: s
zTng
)( 0
La recta tangente a la superf ic ie en T, forma un ángulo posit ivo entre
ella y la recta dirección s.
Cuando 0s entonces º18010 por lo tanto, al tomar
límite del cociente incremental (para definir la derivada direccional ) se t iene:
)()º180()()]([ 1000
TngTngTngTngLims
zLim
ds
dz
ss
lo que implica que el valor de la derivada dir eccional en el punto es el valor de
la tangente tr igonométrica del ángulo posit ivo formado entre la recta tangente en
P y la recta dirección s.
El valor, posit ivo o negativo, de la tangente está relacionado con el hecho
de que la función sea creciente, o decreciente, en el punto de tangencia.
Así, si la situación es la indicada por la f igura 121, entonces:
)()( 000
TngTngLims
zLim
ds
dz
ss
* * * * * * *
Gradiente
A part ir de la función );( yxfz supongamos un vector: ix
zv
P
1
posicionado en );( 00 yxP ; supongamos otro vector: jy
zv
P
2 también
posicionado en P, f igura 122.
Si hacemos la suma vectorial de estos vectores, tenemos:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
jy
zi
x
zv
PP
El vector obtenido, y graficado a part ir del punto P en el plano del dominio
de la función, es definido como el vector gradiente de la función y se lo denota
por: jy
zi
x
zz
PP
Grad(z)
Como todo vector, t iene, f igura 123:
punto de apl icación (P);
dirección (dada por el segmento de recta que lo contie ne (g)); o bien,
orientación (ángulo , con referencia al eje de abscisas);
sentido (indicado por la f lecha en el extremo opuesto al punto de
aplicación); o bien, af ijo (A);
valor absoluto, intensidad, o módulo.
El módulo, o valor absoluto del gradiente, y su orientación, se obtienen
mediante las expresiones:
22
PP y
z
x
zz
Px
z
y
z
arcTng
Derivada direccional y gradiente
Si por el punto P consideramos una dirección s en la que existe la
derivada direccional de la función, su orientación, con respecto al eje de
abscisas, está dada por el ángulo , o sea, por el coseno director )(Cos .
Al igual que las direcciones (o ejes) x, y, z t ienen sus versores i, j, k , la
dirección s t iene su versor 0s , que, como todo vector unitar io, t iene un módulo,
valor absoluto, o intensidad, de valor: 10 s
Graficando este versor sobre la dirección s (f igura 124), a part i r del punto
P, vemos que la orientación posiciona sendos catetos de un triángulo
rectángulo, de modo que, por Pitágoras: 1)()(2
0
22 sCosSen
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
por lo que, sumando vectorialmente ambos catetos, obtenemos el versor
dirección: 0)()( sjSeniCos
Si ahora se mult iplica escalarmente (producto punto) el vector gradiente
por el versor dirección, aplicados en el punto P, se obtiene:
ds
dzSen
y
zCos
x
zjSeniCosj
y
zi
x
zsz
PP
P
P
)()()()(0
Este producto punto entre el gradiente y el versor dirección, que nos d a la
derivada direccional de la función en el punto P, también puede desarrollarse
así:
)()(1)(
2222
00 Cosy
z
x
zCos
y
z
x
zCosszsz
ds
dz
PPPP
Siendo el ángulo comprendido entre los dos vectores del producto
(f igura 125), y sabiendo que el coseno de este ángulo puede tomar valores del
intervalo 1;1 , para cualquier valor intermedio el coseno actúa como un factor
atenuador del valor absoluto del gradiente.
Pero si el coseno toma el valor 1, entonces
ds
dzz
ds
dz, que es el valor
máximo que puede tomar la derivada direccional, y por el lo decimos que el valor
de la máxima derivada direccional es el valor del módulo del gradiente; hecho
que sucede cuando 0 , por lo que ambos vectores del producto son
colineales “sumativos” (van en el mismo sentido).
Pero si el coseno toma el valor -1, entonces:
ds
dzz
ds
dz que es
denominada derivada direccional mínima, y signif ica, para radº180 , que los
dos vectores del producto son colineales “sustractiv os” (van en sentido
opuesto).
Cuando la derivada direccional es la máxima, signif ica que la función, en
el punto P, t iene máxima pendiente, o también máxima ley de variación, o
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
también máxima velocidad de variación, y la dirección en la que la der ivada es
máxima (o la pendiente es máxima) es la dirección coincidente con la dirección
del gradiente en el punto P.
Por el contrario, la mínima derivada direccional, o bien la mínima
velocidad de variación de la función, se relaciona con el sentido o puesto al de la
máxima der ivada direccional, si bien su valor absoluto es el mismo.
Por otra parte, si el valor de la función es un valor constante k, o sea:
kyxfz );( , se t iene la curva de nivel correspondiente a ese valor k. Esta curva
de nivel es una curva que se desarrolla en el [xy], f igura 126.
Ello indica que en la expresión kyxf );( está implícita la función )(xry
por lo que podemos establecer que: kxrxfyxf ))(;();( con lo que podemos
derivar a la expresión con las propiedades de la der ivación de funciones
implícitas, tomando a x como variable f inal:
0)(
dx
dy
y
f
x
f
dx
kd
dx
dy
y
f
dx
dx
x
f y entonces: t
P
P
p
y
fx
f
dx
dy
que es la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel en el p unto P (p en
la f igura 126).
Si consideramos la pendiente del gradiente, en el mismo punto, tenemos:
g
P
P p
x
z
y
z
)Tng(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
De modo que, mult iplicando: 1)Tng(
PP
gtPP
x
z
y
z
y
fx
f
ppdx
dy
Donde tp y gp representan a las respectivas pendientes de la derivada y
del gradiente, tomadas en el punto P, y como su producto resulta -1 ello indica
que ambas pendientes son ortogonales entre sí, es decir, perpendiculares ( g de
la f igura).
El gradiente de la función, resulta así, perpendicular a la curva de nivel de
cota k y en el punto P del dominio de la función. O sea que el ángulo entre
ambas pendientes es rad/º 290 .
Como consecuencia de esto, la derivada direccional de la función en el
punto P, según la dirección de la tangente a la curva de nivel (o sea, la
dirección perpendicular al gradiente) es:
0)º90()(
CoszCosz
ds
dz
P
Dado que la más importante propiedad del gradiente es la de que indica el
sentido de máxima variación de una función, es util izado para indica r
direcciones (o sentidos) de máxima variación de velocidades, temperaturas,
energías, alturas, etc.
* * * * * * *
Como un ejemplo de uso del gradiente en la v ida cot idiana, veamos el s iguiente documento real izado por : “Club de Planeadores Los Caranchos***Aeródromo: Ruta Provincial C-45. Alta Gracia. Departamento Santa María. Provincia de Córdoba. República Argentina***Teoría de Vuelo para Pilotos de Planeador***Stafford Allen
Capítulo IX
LOS PELIGROS OCULTOS Si manejamos un triciclo de reparto no tenemos el menor interés en chocar contra un ómnibus que viene
en sentido contrario. El peligro y, en consecuencia, los resultados de esta acción son obvios. Pero la verdadera amenaza es el ómnibus o el auto que no vemos. El aire, como hemos dicho antes, es invisible y, por lo tanto, el peligro que encierra tiene que ser presentido antes que visto. Sin embargo, el buen piloto de planeador ve el aire y su comportamiento, ya que se ha estado entrenando todo el tiempo sobre lo que está haciendo este elemento. Con el objeto de ayudar al alumno a adquirir este instinto incluimos este capítulo sobre algunas de las
trampas que pueden encontrarse.
GRADIENTE DEL VIENTO
Cuando sopla viento, la capa inferior de aire es frenada por la fricción con el suelo. El aire que se encuentra a 3 centímetros sobre el suelo puede hallarse casi estacionario; a 1,50 metros puede que se perciba una ligera brisa; y a 150 metros tal vez sea un fuerte viento. Este efecto del incremento de la velocidad del viento con la altura es muy pronunciado cerca del suelo y se conoce como gradiente del viento. Siempre se encuentra presente en algún grado y es afectado por muchas cosas, de las cuales la más importante probablemente es el tipo de suelo sobre el cual se desarrolla el viento. Las zonas boscosas harán que el aire se desplace más lentamente que en el caso de superficies planas y libres. Asimismo, el efecto del gradiente del viento es mayor con vientos fuertes que con brisas ligeras.
Tomemos un caso extremo para ver cómo esto afecta al planeador. Imaginemos un viento que sopla a 50 kilómetros por hora a 90 metros de altura y a cero kilómetros a 85 metros. Si un planeador vuela de frente al viento a 60 kilómetros por hora y a una altura de 100 metros, su velocidad real sobre el suelo será de 10 ki lómetros por hora. Cuando el planeador desciende a través del aire y llega a los 85 metros se encuentra con que el viento
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
disminuye repentinamente hasta que cesa por completo hasta quedar en calma completa, con lo que la velocidad de la máquina respecto al aire será de 10 kilómetros por hora. En consecuencia, el planeador entra en pérdida y lo hace en forma muy repentina y aguda. Este ejemplo extremo resulta, por supuesto, imposible en la práctica, pero sí es muy posible que la velocidad del viento sufra una modificación de 25 kilómetros o más entre los 100 y los 5 metros sobre el suelo. En este caso, mientras el planeador se aproxima con viento de frente para aterrizar y desciende desde los 100 metros, habrá una insidiosa tendencia del viento a disminuir que puede -si el piloto es suficientemente estúpido- llevar al planeador peligrosamente cerca de la pérdida a medida que se aproxima al suelo. Las medidas que deben tomarse son obvias. Haga la aproximación con suficiente velocidad y prevenga la disminución repentina del viento poniendo la proa hacia abajo tanto como sea necesario. El gradiente del viento es a menudo muy marcado cuando se aterriza en la cima de una colina. Hay un punto que necesita ser mencionado. Si usted trata de hacer un viraje muy escarpado en un gradiente de viento muy fuerte, las velocidades reales de las alas superior e inferior pueden ser muy distintas y esta diferencia es más marcada cuanto mayor es la envergadura del velero. Cuando nos hallamos con viento de cola el ala situada a un nivel inferior encontrará mayor velocidad del aire y el planeador necesitará cierta cantidad de alerón para obligarlo a hacer el viraje. A medida que completa el viraje hasta hallarse frente al viento mientras desciende, la punta del ala superior es la que enfrenta una mayor velocidad del viento y el planeador puede muy bien mostrar una violenta tendencia a girar en exceso sobre su eje longitudinal o sea a escarpar. La moraleja es clara: no haga virajes escarpados cerca del suelo. ……..”
* * * * * * *
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
279.- Hallar la der ivada direccional de la función
(0;0)y)(x; para 0
(0;0)y)(x; para 22
2
yx
yx
z
en el punto );( 00P , y en la dirección dada por el vector:
a) );( 11jis ; b) );( 01ij0iv ; c) );( 10ji0r .
Planteo, desarrollo, respuesta
Si la función es diferenciable en );( 00P , se calcula la derivada direccional
por la expresión: oszds
dz
En caso contrar io, hay que apl icar la definición de derivada direccional.
Veamos si es diferenciable en );( 00P : primero debemos ver si es
continua en );( 00P , para lo cual:
1.- por definición, la función es z=0 en dicho punto;
2.- el límite de la función es:
)
)(
()()()()(2
0y0x
2
22
0y0x22
2
0y0x22
2
0y0x
0y0x
x
y1
1yLím
x
yx
1yLím
yx
xyLím
yx
yxLímzLímL
0Acotada)Acotada(
0yLím
0y0x
3.- como 0zL 00P );( la función es continua en );( 00P .
Ahora veamos si es diferenciable en );( 00P : dyy
zdx
x
zdz
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
donde, por der ivación directa:
adaindetermin)(
)..
0
0
yx
yx2
x
z
P
222
3
P
y adaindetermin)(
).(
0
0
yx
yxx
y
z
P
222
222
P
ante la imposibil idad de la derivación directa, apelamos a la definic ión para
obtener las der ivadas:
x
00xzLím
x
00z0x0zLím
x
yxzyxxzLím
x
zLím
dx
dz
0x0xP
0xP
x
0xP
);();();(]
);();([)(
0x
0Lím
x
x
0
Límx
0x
0x
Límx
yx
yx
Límx
0xzLím
30x
2
0x
22
2
0x
0x22
2
0x0x
.][);(
);(
y la otra derivada:
y
0y0zLím
y
00zy00zLím
y
yxzyyxzLím
y
zLím
dy
dz
0y0yP
0yP
y
0yP
);();();(]
);();([)(
0y
0Lím
y
y
0
Límy
y0
y0
Límy
yx
yx
Límy
y0zLím
30y
2
0y
22
0y
y022
2
0y0y
.][
);();(
con lo que el diferencial de la función, en caso de ser diferenciable, sería:
0dy0dx0dyy
zdx
x
zdz PP
..][)(
Ahora encontremos el incremento de la función:
22
2
P
22
2
PPyx
yx0
yyxx
yyxx00zyyxxzz
.
)()(
).()();(];([)(
Con todos estos elementos podemos determinar la diferenciabi lidad de la
función mediante el cálculo del l ímite:
0
0
yxyx
yxLím
yx
0yx
yx
Límyx
dzzLím
2222
2
0y0x22
22
2
0y0x22
PP
0y0x
).(
.
.
))()(
(
para intentar levantar esta indeterminación, aplicamos límites por haz de rectas,
haciendo: xmy . con lo que:
222222
2
0x22
PP
0y0x xmxxmx
xmxLím
yx
dzzLím
.)..(
..)
)()((
adoindetermin)(.)..(
.
32222
3
0x m1
m
m1xm1x
xmLím
por lo que concluimos que la función no es diferenciable en el punto );( 00P , y por
lo tanto, la derivada direccional no se puede calcular por la expresión
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
oszds
dz y, en consecuencia, será necesario aplicar la definic ión de derivada
direccional, como sigue: 220s0s0s yx
PzQzLím
s
PzQzLím
s
zLím
ds
dz
)()()()(
donde, haciendo: tPQsyx 22 y sabiendo que: s
sso
entonces el segmento dir igido, o vector, que une los puntos P y Q, será:
ostPQ y el punto Q, a part ir del punto P, será: ostPQ
y en consecuencia, la der ivada será:
t
PzstPzLím
t
PzstPzLím
yx
PzQzLím
ds
dz o
0t
o
PQ220s
)().()().()()(
a.- Adaptando el planteo para el caso de );( 00P y );( 11Q , hacemos (f iguras 127):
la dirección es: );( 11jis con lo que 211s 22
y el versor dirección es: );(2
1
2
1
2
jiso
y entonces: );();();();(2
t
2
t
2
t0
2
t0
2
1
2
1t00stPQ o
con lo que la definic ión de der ivada direccional será:
t
0yx
yx
Límt
00z2
t
2
tz
Límt
PzstPzLím
ds
dz 2
t
2
t22
2
0t0t
o
0t
);(]
.[
);();()().(
22
1
t22
tLím
t
t
22
t
Límt
2
t
2
t
2
t
2
t
Límt
2
t
2
t2
t
2
t
Límt
yx
yx
Lím3
3
0t
2
3
0t
22
2
0t
22
2
0t
2
t
2
t22
2
0t
.
)()(
.)(
].
[);(
que es el valor buscado de la derivada direccional en la dirección hacia Q.
b.- si );( 01ij0iv entonces es );( 01Q (f igura 128), o sea, en el sentido
creciente de las x, por lo que la derivada direccional es la der ivada parcial en el
sentido de las x (más arriba calculada por definición); de cualquier manera, el
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
versor dirección es: );( 01i1
i
1
ivo con lo que la der ivada
direccional, apl icando la definic ión, es:
t
yx
yx
Límt
0yx
yx
Límt
00z0tzLím
t
PzvtPzLím
dv
dz0t22
2
0t
0t22
2
0t0t
o
0t
);();( ].
[].
[);();()().(
P0t30t
22
2
0t x
z00Lím
t
0Lím
t
0t
0t
Lím
)(
.
c.- Para el caso de la dirección );( 10ji0r el versor dirección es
);( 10j1
j
1
ji0ro
y el punto Q es );( 10Q , por lo que la dirección es en el
sentido de las y crecientes (f igura 129), por lo que la derivada direccional en
esta dirección es la derivada parcial de la función en la dirección de las y
(PP y
z
dr
dz
).
No obstante, organicemos el cálculo de la der ivada direccional mediante
su definic ión, para este caso:
t
yx
yx
Límt
0yx
yx
Límt
00zt0zLím
t
PzrtPzLím
dr
dzt022
2
0t
t022
2
0t0t
o
0t
);();( ].
[].
[);();()().(
P0t30t
22
2
0t y
z00Lím
t
0Lím
t
t0
t0
Lím
)(
.
* * * * * * *
280.- Hallar:
a) el ángulo de orientación de la máxima derivada direccional de la función
z=xySen(3xy) en P(1;);
b) el valor de ésta, en el punto P;
c) el valor de la der ivada d ireccional en la dirección s=2.i+3.j;
d) la expresión funcional de las curvas de nivel de la función;
e) la expresión funcional de la pendiente de las curvas de nivel;
f) la expresión funcional de la pendiente del gradiente;
g) una conclusión al comparar ambas pendientes obtenidas;
h) el valor de la derivada direccional en el punto P, a través del gradiente;
i) el ángulo entre el gradiente en el punto P y la dirección s.
Planteo, desarrollo y resultado:
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a.- La orientación ( ) de la máxima derivada direccional coincide con la
orientación del gradiente de la función.
Grafiquemos la situación en la f igura 130 y determinemos el gradiente en P :
ixyCosxyxySenyj
y
zi
x
zz P
P
P )]3(3)3(.[ 2
j3i3jxy3yCosx3xy3xSen 2P
2 )]()([
o sea que las componentes del gradiente son ambas
negativas y la orientación de éste resulta mayor de
180º, es decir: º180
donde: º,)( 66173
3arctg
x
z
y
z
arctg2
P
con lo que º,66197 .
b.- El valor de la máxima derivada direccional resulta de:
073133y
z
x
zz
ds
dz
ds
dz 22222
PP
MAXP
,][
c.- La dirección s implica una orientación )()2
3arctg(
2
3tg 1 por lo que la
derivada direccional en la dirección s es:
27242
3tgSen3
2
3tgCos3Sens
y
zCos
x
z
ds
dz 112PP ,))((.))((.)]()([][
d.- Si )(. xy3Senxykz , la expresión funcional de las curvas de nivel de la
función z es: );(:)(. yxr0kxy3Senxy que es una expresión portadora de
la función implícita )(xfy , y que, como se observa, no se puede explicitar.
e.- Para conocer la expresión funcional de las pendientes de las curvas de nivel,
derivamos a la portadora de implícita anter ior: 0dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
o sea:
0dx
dy
y
r
x
r
de donde: cn2
2
px
y
xy3yCosx3xy3xSen
xy3Cosxy3xy3ySen
y
rx
r
dx
dy
)()(
)]()([
f .- De la expresión funcional del gradiente se obtiene que la pendiente del
mismo es:
g2
2
py
x
xy3Cosxy3xy3ySen
xy3yCosx3xy3xSentg
)()(
)]()()(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
g.- Comparando la pendiente del gradiente con la pendiente de la curva de nivel
vemos que son recíprocas entre sí, lo que nos sugiere que si las mult iplicamos
obtenemos: 1x
y
y
xpp cng
)( lo que implica que el gradiente es
un vector perpendicular a la curva de nivel, en el punto del dominio que se
considere.
h.-
s
sj3i3sj3i3sj
y
zi
x
zsz
ds
dz 2o
2oPoP
P
____
)..()..(][)(
272413
96
32
j3i2j3i3
2
22
2 ,)..(
i.- Sabiendo que: )()()(__
CoszCos1zCosszszds
dzoo
se obtiene:
P
z
ds
dz
Cos
)( y º,,]
,
,[ 37141rad472
0731
2724Cos
z
ds
dz
arcCos 1
P
* * * * * * *
281.- Hallar:
a) el ángulo de orientación de la máxima derivada direccional de la función
w=x2+2.y2+z3 en P(3;2;1); b) el valor de ésta, en el punto P; c) el valor de
la derivada direccional en la dirección s=3.i+2.j+k; d) la expresión funcional
de la superf icie de nivel de la función; e) el ángulo entre el gradiente en el
punto P y la dirección s; f) el ángulo entre el vector gradiente y el plano del
dominio.
Planteo, desarrollo, respuesta
a.- Como la máxima derivada direccional en P viene dada por el módulo del
gradiente, su dirección será la de éste, según vimos en el teórico, y entonces se
pueden obtener las orientaciones del vector gradiente con cada uno de los ejes
coordenados, a través de los cosenos directores (f iguras 131):
109
6
96436
6)2()(
222
PPP
P
P z
w
y
w
x
w
x
w
x
w
Cos
de donde:
rad ,º, 9609254109
6Cos 1
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
y del mismo modo, analizando las proyecciones ortogonales del vector gradiente
sobre las paralelas a los ejes coordenados, se t iene:
109
8
109
y
w
Cos
)( de donde: rad ,º, 7009839109
8Cos 1
109
3
109
z
w
Cos
)( de donde: rad 1,2873,3º
Con lo que la dirección buscada viene dada por los ángulos obtenidos.
Pero como dij imos, la dirección de la máxima pendiente será la del
gradiente, o sea que si calculamos el gradiente en el punto dado, el vector que
se obtiene t iene la dirección buscada:
skjikzjyixk
z
wj
y
wi
x
ww PP 386].3..4..2[][)( 2
En consecuencia, podemos dar la respuesta requerida o dando este vector
dirección, o dando los valores de los cosenos directores de la dirección de
máxima pendiente, o sea del vector gradiente.
b.- 4410109z3y4x2z
w
y
w
x
ww
ds
dw
P
2222
P
222
P
,
^
c.-
2220
123
.2.3 kjik
z
wj
y
wi
x
w
s
sk
z
wj
y
wi
x
wsw
ds
dw
PPP
89914
37
14
31618
14
kj2i3k3j8i6
14
kj2i3kz3jy4ix2 2 ,
.....
.......
d.- kz2.yxw 322 entonces 0kz2.yx 322 de donde: 3 2y2z 2x-k
que es la superf icie de nivel para cuando la función w pasa por el valor k en el
hiperespacio.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
i . - )(_
Coszszds
dzo luego: º,,]
,[ 6918rad330
109
899Cos
z
ds
dz
Cos 1
P
1
f .-109
10
w
y
w
x
w
Cos
P
22
)( entonces: º,,][ 7016rad290109
10Cos 1
* * * * * * *
282.- Si xyyxLnz )( 2 hallar:
a) la derivada direccional en el punto P(-1;1) en una dirección a elegir;
b) el gradiente de la función en P; c) la dirección u or ientación de la
derivada direccional; d) la máxima derivada direccional en P; e) la
orientación de la máxima der ivada direccional; f) el gráfico del gradiente.
Planteo, desarrollo, respuesta
a)
PP
Seny
zCos
x
z
ds
dzSen
y
zCos
x
z
ds
dz)()( )()(
ejemplo.por ,60º eligiendo )()()(
2Senyx
y
1CosyLny
x
2
P
1x
P
x
b) ijijy
zi
x
zz
P
202
c) La dirección de la derivada direccional en el punto P, es la elegida: =60º.
Aunque también podemos indicarla por s=a.i+b.j donde, si tomamos, por
ejemplo, a=2, entonces b=a.tang(60º)=2.tang(60º)=3,464.
Entonces, la dirección podría estar dada por: s=2.i+3,464.j .
d) 20222
22
y
z
x
zz
ds
dz
P
P
e) rad º1802-
0arctg
x
z
y
z
arctg
P
(por ser una fracción negativa: “y en el límite…”).
f)
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
283.- Hallar:
a) el ángulo de orientación de la máxima derivada direccional de la función
yx
x2yxfz
.);( en A(-3;-2);
b) el valor de ésta, en el punto A;
c) el valor de la der ivada direccional en la dirección s=2.i+3.j;
d) el valor de la derivada direccional en el punto P, a través del gradiente;
e) la dirección de máxima pendiente de la función;
f) la dirección de pendiente nula, en A, de la función.
Planteo, desarrollo, respuesta
a.- Como zds
dz
el ángulo de or ientación de la máxima der ivada direccional de
la función es el ángulo del gradiente, por lo tanto:
2
3Tg
y
xTg
y2
x2Tg
yx
y2
yx
x2
Tg
x
z
y
z
Tg 1
A
1
A
1
A2
21
A
1
)(
)(
rad 5,3rad ,,, ºº 98280693033156
b.- 217521
94
1
44
yx
x2
yx
y2z
ds
dz2
A2
2
A2A
A
,..
)()(
c.- 7722
3tgSen6
2
3tgCos4Sens
y
zCos
x
z
ds
dz 11AA ,))((.))((.)]()([][
d.-
22ooPoP
P 32
j3i2j6i4sj6i4sj
y
zi
x
zsz
ds
dz)..()..(][)(
___
77213
10
13
188,
e.- La dirección (S) de máxima pendiente de la función dada, será la dirección
del gradiente de la función, ya que la máxima der ivada direccional se obtiene
cuando su valor coincide con el valor absoluto del gradiente; es decir:
jijyx
xi
yx
yj
y
zi
x
zzS
AAA
64
22
22
f .- Pendiente nula se corresponde con derivada direccional nula en el punto A ;
por ello: AA
Seny
zCos
x
z0
ds
dz
)()(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
luego: )()( Seny
zCos
x
z
con lo que:
Ay
zx
z
Tg
)( de donde:
Ay
zx
z
Tg
1
que es la orientación, medida en grados sexagesimales, o en radianes, de la
dirección en que la derivada es nula.
6
23
)3.(22y 4
23
)2.(22
2222
AAAA yx
x
y
z
yx
y
x
z
entonces: º11 33,69rad 588,03
2
6
4
TgTg
Por otra parte, si la dirección viene indicada por el vector S=a.i+b. j:
a
b
3
2 111 TgTg
y
zx
z
Tg
A
de donde: a
b
3
2 por lo que:
2.j3.iS
2b
3a
* * * * * * *
284.- Hallar la derivada direccional de la función )(.. yCosey4xz x22 en el
punto P(0;0) y con or ientación de la dirección dada por =-30º.
Respuesta 870ds
dz
P
,
* * * * * * *
285.- Hallar la der ivada direccional de 532 yzxw en el punto P(1;2:-1) y
en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
PPP x
w
y
w
x
wCosCos
x
wCos
y
wCos
x
w
dS
dw
)()()()(
)(362)()1(32312)(332)( CosCosCosyzxCosdS
dwP
P
Para encontrar el ángulo, y su coseno, recurrimos a la geometría analít ica:
si a, b y c, son los números directores de un vector con los respectivos ejes x, y,
z, entonces sabemos que los cosenos directores de e se vector son:
)( ^ )( ^ )(222222222 cba
cCos
cba
bCos
cba
aCos
Y como los ángulos deben ser iguales, por la consigna del problema:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
)( )( )(222222222 cba
cCos
cba
bCos
cba
aCos
Condición que se deberá cumplir, necesariamente, para: a=b=c
con lo que: 3
1
3
1
3
)( )( )(
2
22222222
a
aa
a
aaa
a
cba
aCosCosCos
Por lo que los ángulos iguales son: rad 9553,0º7356,54)3
1arcos(
Y la derivada buscada es: 58,057735,03
1)(
Cos
dS
dw
P
De forma parecida, se podría plantear a través del gradiente:
s
skji
s
skyjzix
s
sk
x
wj
y
wi
x
wsw
dS
dwP
PP
3623320
entonces:
222222362362
bbb
kjibkji
cba
kcjbiakji
dS
dw
P
lo que permite:
58,03
1
3
362
3362
3
3622
kjikji
b
kjibkji
dS
dw
P
* * * * * * *
286.- Si z = 102 -x2-y2, hal lar la derivada direccional de z, en el punto P(4;3),
en la dirección
PQ , para )2,3;1,4(Q .
Planteo, desarrollo, respuesta
Una forma: ;; j6i8jy2ix2jy
zi
x
zzsz
ds
dzP0
050
j20i10
2010
j20i10
323414
j323i414
yyxx
jyyixx
s
ss
22222PQ
2PQ
PQPQ0
,
,,
,,
,,
,,
,,
luego:
948050
2
050
2180
050
j20i10j6i8sz
ds
dz0 ,
,,
,,
,
,,
Otra forma:
)()()()()()( Sen6Cos8Seny2Cosx2Seny
zCos
x
z
ds
dzP
05,0
2,0)(;
05,0
1,0)(
2222
PQPQ
PQ
PQPQ
PQ
yyxx
yySen
yyxx
xxCos
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
O bien:
arcTg(2)Sen)Sen()2Cos(arcTg)Cos(2arcTg1,0
2,0arcTgarcTg
PQ
PQ
xx
yy
luego: 94828Sen6Cos8ds
dz,arcTg(2)Sen6-)Cos(arcTg)()(
* * * * * * *
287.- Hallar la dirección de máxima der ivada di reccional de la función anterior,
en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
Como la máxima derivada direccional ocurre cuando la dirección a
considerar es la del gradiente, la orientación de la máxima derivada direccional
es la or ientación del gradiente; luego, cualquier vector dirección s que se
considere, arbitrariamente, con esa misma orientación º87,216 , será un vector
representativo de la dirección de máxima variación de la derivada direccional en
el punto P; por lo tanto:
º,,
,arcTgº
,
,arcTgarcTg 87216
80
60180
80
60
y
z
y
z
P
Si, por ejemplo, tomamos el vector jis 6,008 , que es precisamente el
gradiente de la función (f igura 132), y lo posic ionamos en el punto P, tendremos
la dirección pedida.
También podríamos elegir, arbitrar iamente,
jbijbias 2 donde b debe satisfacer la relación:
jisb 5,125,1rad785,3Tg2º87,216Tg2 .
Generalmente, con obtener el ángulo de orientación
es suficiente.
* * * * * * *
288.- Si ,4
22
2
yx
xyz
hallar su máxima derivada direccional en P(0,75;0,5).
Planteo, desarrollo, respuesta
22
PPP y
z
x
zz
s
z
donde: 222
222 )(4
yx
xyy
x
z
(que podremos comprobar con cálculos auxiliares);
y también:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
222
3
222
222
222
322
222
222
)(
8
)(
)(8
)(
8)(8
)(
24)(8
yx
yx
yx
yyxxy
yx
xyyxxy
yx
yxyyxxy
y
z
422
2322222
222
32
222
222
]8[)(48)(4
P
PP
PPyx
yxxyy
yx
yx
yx
xyy
s
z
60,2
5,075,0
]5,075,08[)75,05,0(5,04422
232222
* * * * * * *
289.- Graficar el gradiente de la función anterior, en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
jijy
zi
x
zz
P
P 56,247,0
* * * * * * *
290.- Si P(1;1;0) 23 zxyxw
a.- Hallar el gradiente de la función en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
kjikjxyiyxkz
wj
y
wi
x
ww P
P
P
222)3( 22
b.- Graficar el gradiente.
Respuesta
c.- Hallar la derivada direccional en P, en la dirección de kjiv 632 .
Planteo, desarrollo, respuesta
;)(; kj2i2kjxy2iyx3kz
wj
y
wi
x
wwvw
v
wP
22
P
PP0P
7
k6j3i2
49
k6j3i2
632
k6j3i2
v
vv
2220
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Entonces: 57,07
4
7
664
7
63222
kjikji
v
w
P
d.- Hallar la máxima derivada direccional en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
3122222
222
P
P
P
z
w
y
w
x
ww
v
w
e.- Hallar la mínima derivada direccional en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
3122222
222
P
P
P
z
w
y
w
x
ww
v
w
f .- Hallar la dirección de máxima derivada direccional.
Planteo, desarrollo, respuesta
Si a la dirección buscada la l lamamos
s , es un vector coincidente con el
vector gradiente; por lo tanto, la dirección y el sentido del vector gradiente es la
dirección de la máxima derivada direccional: kjiws P
22 .
Llamando 0s al versor dirección y sabiendo que la dirección de máxima
derivada direccional coincide con el vector gradiente, su valor debe coincidir con
el versor gradiente:
kjikjikjikji
w
w
s
sws
3
1
3
2
3
2
3
22
9
22
)1()2(2
22
22200
o sea que: kCosjCosiCoskjis )()()(3
1
3
2
3
20 (cosenos directores)
o bien, los ángulos directores:
º47,109)3
1(Cos ; º81,131)
3
2( ; rad 84,0º19,48)
3
2( 1-1
CosarcCos
g.- Hallar la dirección de mínima derivada direccional.
Planteo, desarrollo, respuesta
Es la misma dirección, con sentido opuesto, del vector gr adiente:
kjiws P
22
Con cosenos directores: 3
1)( ;
3
2)( ;
3
2)( CosCosCos
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
291.- Hallar la der ivada direccional de la función
22 y2xLogz . en el punto
P(-2;1), según la dirección que une a P con Q(-6;-2).
Respuesta 610ds
dz
P
,
* * * * * * *
292.- Hallar la der ivada direccional de la función
22 y2xLnz . en el punto
P(-2;1), según la dirección que une a P con Q(-6;-2).
Respuesta 41ds
dz
P
,
* * * * * * *
293.- Hal lar la dirección, en el punto R(0;1), en que presenta pendiente nula la
función 22 yxLny3xz )(. .
Respuesta º,821
294.- Hallar la dirección, en el punto R(0;-1), en que presenta pendiente nula
la función 22 yxLny3xz )(. .
Respuesta º,4363
* * * * * * *
295.- Hal lar la derivada de la función 25 y5xz . , en el punto P(1;2), según la
dirección del vector s=4.i+3.j .
Respuesta 8ds
dz
P
* * * * * * *
296.- Hallar la dirección, en el punto P(1;2), en que presenta pendiente nula la
función 24 y3xz . .
Respuesta rad3204318 ,º,
* * * * * * *
297.- Calcular la derivada direccional de z=3.arctg(2x/y) , según la dirección
=2./3 y en el punto P(1;1).
Respuesta 641ds
dz
P
,
* * * * * * *
298.- Hallar sobre el punto A(2;-1), la der ivada de 3
1
2 xy2yxz .. según la
dirección que une A con B(1;3).
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Respuesta 372ds
dz
P
,
* * * * * * *
299.- Hallar:
a) el gradiente de z=-x2+y2;
b) su valor para el punto P(2;1);
c) su magnitud;
d) su orientación;
e) su gráfica.
Respuestas
a.- jy2ix2jy
zi
x
zz ..
b.- j2i4jy2ix2z PP )..(
c.- 4742024z 22
P,)()(
d.- rad68243153rad46057262
1tg
4
2arctg
x
z
y
z
arctg 1P ,º,,º,)()()(
e.-
* * * * * * *
En los siguientes ejercicios realizar lo indicado en el anterior:
300.- z=-x2+y2; Q(-1;5). 301.- z=-x2+y2; R(-3;-7).
302.- ex. ( - y)+Log(y); B(0;1). 303.- ex. ( - y )+Ln(y); B(0;1).
304.- z=Sen(3.x.y).x.y; C(1;/3). 305.- z=Ln((x2+2)/y2); E(4;-2).
306.- z=Log((x2+2)/y2); E(4;-2).
* * * * * * *
En los siguientes ejercicios:
a) hallar el gradiente de las funciones dadas;
b) Valorar lo para el punto indicado;
c) Hallar su magnitud;
d) Graficarlo:
307.- u=Ln(x.y)+x.ez; Q(2;2;2). 308.- u=x
2.y+y
2.z+z
2.x; R(1;0;2).
* * * * * * *
309.- Si xyyxLnz )( 2 hallar:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
a) la dirección de máxima pendiente en el punto Q(1;-1);
b) el ángulo entre esta dirección y la dirección de máxima pendiente del
ejercic io 281.
Planteo, desarrollo, respuesta
a.- rad º)(
)(
arctg
x
z
y
z
arctg 000tg
yLnyx
2
yxy
1
1
Q
x
1x
Q
2
de acuerdo a este resultado podemos elegir l ibremente un vector dirección dado
por, por ejemplo: i3j0i3djics2 . .
b.- como la orientación obtenida en el ejercicio 281 fue: º180 también
podemos elegir l ibremente un vector dirección acorde, tal como:
i4j0i4bjias1 . con lo que el ángulo que forman entre sí estas dos
direcciones, o vectores, se obtiene planteando: )(Cosssss 2121
de donde:
112
12
34
i3i4
ss
ssCos
2221
21
.)(
...)(
y entonces: º)( 1801arcCos .
Vemos en la f igura la interpretación
gráfica, trasladando uno de los vectores hacia
el punto de aplicación del otro .
* * * * * * *
310.- Hallar las direcciones de máxima pendiente de )/arctg( xyz , en R(2;1) y
en P(1;2), y determinar el ángulo entre ellas, interpretando gráficamente.
* * * * * * *
311.- Hal lar los gradientes de la función )/arctg( xyz , en R(2;1) y en P(1;2), y
determinar el ángulo entre ellos, interpretando gráficamente.
* * * * * * *
312.- a.- Hallar la derivada direccional de 22 yxz en P(1;1) y según la
dirección º45 , aplicando: 1) cosenos directores; 2) propiedad del gradiente.
b.- Hallar la máxima derivada direccional.
c.- Dar la orientación de la máxima derivada.
d.- Expresar la dirección de la máxima der ivada.
* * * * * * *
313.- Hallar la dirección de máxima pendiente de ).3()..2( yCosxSenz , en P(2;1) y
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
en Q( )4/;4/ .
* * * * * * *
314.- Hallar:
a) la der ivada direccional de w=Ln(x.y)+x.ez en P(1;2;-1) y según la dirección
del vector v=[2;-1;3];
b) la máxima derivada direccional en P;
c) hallar la derivada direccional y la máxima derivada direccional para logar itmo
decimal en lugar de natural.
* * * * * * *
315.- Hallar la derivada direccional de w=2.x.y-z3 en P(2;-1;1) y según la
dirección de máxima pendiente de la función.
316.- Hallar la der ivada direccional de la función 22 xy3xz en el punto );( 21P
en la dirección que apunta hacia el or igen.
Planteo, desarrollo, respuesta
Podemos encontrarla por la propiedad del gradiente:
s
sj
y
zi
x
zsz
ds
dzo
)( Las derivadas son: 2y3x2
x
z
y xy6
y
z
.
Encontremos la dirección s, que part iendo de P apunta hacia el origen, es
decir: j2ij2i1s
por lo tanto: 521s 22
y en consecuencia:
99165
38
5
2414
5
j2ijxy6iy3x2
ds
dzP
2
P
,])[(
* * * * * * *
317.- Hallar la derivada direccional de la función 22 yxz en el punto );( 11P
en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con el sentido posit ivo de
las x.
Planteo, desarrollo, respuesta
s
sj
y
zi
x
zsz
ds
dzo
)( ; 2x2
x
zP
P
)( ;
2y2y
zP
P
)( ;
j870i501
j870i50
87050
j870i50
s
j60Seni60Cos
s
ss
22o .,.,
.,.,
,,
.,.,).º().º(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
7427411j870i50j2i2ds
dz,,),,()(
* * * * * * *
318.- Hal lar la derivada direccional de la función zyxw .. en el punto );;( 101P y
en el sentido del vector kjis .
Planteo, desarrollo, respuesta
Planteamos: PoP
szds
dz][
y hallamos el gradiente en el punto:
jk0j1i0kyxjzxizykz
wj
y
wi
x
wz PPP
...)......(][)(
Hallamos el versor dirección: 3
kji
111
kji
s
ss
222o
Con lo que la derivada es: 3
1
3
kjijsz
ds
dzPo
P
][
* * * * * * *
Plano tangente
Las derivadas parciales de una función z=f(x;y), continua en el entorno de
un punto 00 ; yxP , y valuadas en dicho punto, t ienen un valor coincidente con el
valor tr igonométrico de las tangentes de los ángulos α y β :
)Tg();( 00
x
yxz y )Tg(
);( 00
y
yxz
Las rectas que representan estas derivadas son tangentes a la superf icie
de la función en el punto 000 ;; zyxT , f igura 133.
Sabemos, por Geometría, que dos rectas pueden c onformar un plano que
las contiene.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Por lo tanto, las dos rectas tangentes en el punto T, aquí consideradas,
están contenidas en un plano que es tangente a la superf icie de la función en T.
También sabemos que por un punto pasan inf initas rectas, por lo qu e
deducimos que por el punto T pueden pasar inf initas rectas tangentes, todas
ellas contenidas en el mismo plano de las rectas consideradas.
Cada una de estas inf initas rectas puede ser representativa de una
derivada direccional en una determinada direcci ón, y representa el valor de una
tangente de un cierto ángulo correspondiente a esa dirección.
Entonces, por el punto T de la superf icie de la función (“chapa alabeada”,
en general) pasa “el plano de las tangentes”, o plano tangente tP ([ tP ]), cuya
estructura funcional, según vimos en Geometría Analít ica, es:
tP : 0)()()( 000 zzcyybxxa
donde a, b y c, son los números directores del plano.
Si de esta expresión expl icitamos 0zz , se t iene:
)()()()( 00000 yyBxxAyyc
bxx
c
azz
que, además de ser otra forma de escr ibir la estructura del plano tangente, el
primer miembro es también el incremento IOSdzz de la función, al pasar de
un valor )();( 00 Pzyxz a un valor )();();( 00 Qzyxzyyxxz .
En consecuencia, establecemos que:
zyxyy
zx
x
zyyBxxAzz
PP
21000 )()(
donde: 00 yyyxxx , siendo ));;(();( 00 yxPEyxQ .
Y en el caso de que 0xx , y tome su valor )( 0xx , se t iene que:
yyy
z
x
zyyBAzzz
PP
2100 00)(0
o sea: yyy
zyBzzz
P
20 desde donde organizamos el
cociente incremental: y
y
y
y
y
z
y
yB
y
zz
y
z
P
2
0
y tomando límite:
Pyy
Pyyyyyyyy y
z
y
zB
y
zz
y
z
B LimLimLimLimLim 2
0
00000
ya que: 0Lim 20
yy
.
Ahora, si 0yy , y toma su valor )( 0yy , se t iene que:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
00)(0)( 21000
x
y
zxx
x
zBxxAzzz
y entonces:
)(Lim
)(
)(Lim
)(
)(Lim
)(Lim
)(Lim
01
0
0
0
0
0
0
0 00000 xx
x
xx
xx
x
z
xx
xxA
xx
zz
xx
z
xxxxxxxxxx
Px
zA
De esta forma, la expresión funcional del plano tangente tP , en función de
las derivadas de la función, valoradas en el punto P de su dominio, es:
:tP )()( 000 yyy
zxx
x
zzz
PP
Expresión que, al estilo de la geometría analít ica, podemos indicarla así:
:tP 0)()( 000
zzyy
y
zxx
x
z
PP
donde: bc
b
y
za
c
a
x
zc
PP
; ;1 son los números directores del tP .
Ahora, si consideramos que la función F(x;y;z)=0 es portadora de la
función implícita z=f(x;y), aplicando derivación de funciones implícitas, se
obtiene:
P
P
P
P
z
F
y
F
y
z
z
Fx
F
x
z
lo que permite reescribir el plano tangente, del siguiente modo:
)()()()( 00000 yy
z
F
y
F
xx
z
F
x
F
yy
z
F
y
F
xx
z
Fx
F
zz
P
P
P
P
PP
y también: )()( 000 yyy
Fxx
x
Fzz
z
F
PPP
y f inalmente: :tP 0)()( 000
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
PPP
siendo: PPP z
F
y
F
x
F
; ; , los números directores del plano tangente.
Interpretación geométrica del diferencial de una función de dos variables
independientes
Sabemos que: IOSdzIOSdzyxyy
zx
x
zz
PP
21
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Vemos, en la representación gráfica de la f igura 133, que )()( PzQzz
y que tPQzQzIOS )()( mientras que )()( PzQzdz
tP
El diferencial total de la función
zPzQzyyy
zxx
x
zy
y
zx
x
zdy
y
zdx
x
zdz
tP
PPPPPP
)()()()( 00
puede ser considerado como la ecuación incremental del plano tangente.
De este modo: )()()()()()( PzQzQzQzPzQzIOSdzztt PP
En consecuencia, cuando tomamos )()( PzQzdzztP signif ica que se
toma como incremento total de la función al incremento refer ido al punto del
plano tangente por el cual pasa el eje que contiene al punto del dominio en el
cual la función se ha incrementado (Q, en este caso).
Esto equivale a sustituir (en Q) a la superf icie que grafica la función, por
su plano tangente a dicha superf icie (en P).
Signif ica, geométricamente, que las ordenadas de la superf icie y del plano
tangente, en el punto del dominio para función incrementada, dif ieren en un
inf initésimo de orden superior ( dzzIOS ) en relación a 22 yx , donde
es la hipotenusa del tr iángulo rectángulo conformado por yx , y el
segmento de recta PQ , en la f igura 133.
Recta Normal
La recta perpendicular al plano tangente (y a la superf icie de la función)
en el punto 000 ;; zyxT , en la f igura 133, se l lama recta normal, y se la denota
por n , o por n , y su estructura funcional, conocida como expresión canónica (o
universal, o simétrica) según la Geometría Analít ica, es:
n = n : c
zz
b
yy
a
xx 000
que, mult iplicando por –c: c
zzc
b
yyc
a
xxc 000
por lo que: 1
000000
zz
B
yy
A
xx
c
c
zz
c
b
yy
c
a
xx
y entonces: n : 1
000
zz
y
f
yy
x
f
xx
PP
Ahora, si de la expresión relacionamos el pr imero y el tercer miembro:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
000
000
1 z
x
f
xxz
x
f
xxzz
zz
x
f
xx
PPP
se obtiene un plano tangente a la función, en 000 ;; zyxT , y en la dirección de las
y, f igura 134.
y si también relacionamos el segundo y el tercer miembro:
000
000
1 z
y
f
yyz
y
f
yyzz
zz
y
f
yy
PPP
con lo que obtenemos un plano tangente a la función, en 000 ;; zyxT , y en la
dirección de las x, obteniéndose, por intersección de ambos planos, la recta
normal n :
1 n 000
00
00
zz
y
f
yy
x
f
xxz
y
f
yyzz
x
f
xxz
PPPP
La intersección de los planos (en este caso la normal n) t iene una
expresión vectorial, dada por el producto vectorial entre las normales a ambos
planos, con un sentido, u orientación, obtenido mediante la aplicación de la
regla de la mano derecha para el producto vectorial, f ig. 134.
Por ello, si l lamamos kajaian 3211 a la normal al plano en
la dirección de las x, y kbjbibn 3212 a la normal al plano en
la dirección de las y, y kAjAiAn 321 a la recta intersección,
que para nuestro caso representa la normal al plano tangente en el punto T, el
producto vectorial es:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
kAjAiA
bbb
aaa
kji
nnn 321
321
32121
Por otra parte, en función de la derivación implícita, a part ir de la
expresión del plano tangente vista más arriba, la recta normal t iene por
estructura:
n = n : 1
000
zz
z
F
y
F
yy
z
Fx
F
xx
PP
desde donde: 1
000
zz
y
F
yy
z
F
x
F
xx
z
F
P
P
P
P
y f inalmente: n = n :
PPP z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
000
Relación del plano tangente y de la recta normal con el gradiente
Sabemos que el gradiente de una función es un vector perpendicular a la
recta tangente en un cierto punto P de una curva de nivel de la función , como
vimos en la página 154.
Ahora bien, si hacemos que kzyxfzyxF );();;( (tres dimensiones),
en donde );( yxfz está como implícita y en forma de mónica negativa, F, que
conocemos como función portadora de la función );( yxfz , grafica una
superf icie de nivel con parámetro k.
Si k=0, la superf icie de nivel que se obtiene es la gráfica de );( yxfz (tres
dimensiones; que es la graficada en las f iguras 133 y 135, por ejemplo).
Si suponemos un punto );(;; 0000 zPTzyxT sobre esta superf icie de
nivel, el plano tangente en T t iene por estructura:
0)()( : 000
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
FP
TTTt
Un punto cualquiera sobre el [P t ] , por ejemplo el );;(R zyx , genera con T un
segmento de recta representado por el vector :
kzzjyyixx )()()(TR 000 .
El gradiente de la función portadora de implícita F, en T, es:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
kz
Fj
y
Fi
x
FF
TTTT
y en consecuencia:
T
T
T kzzjyyixxkz
Fj
y
Fi
x
FF ])()()[(TR 000
T
zzz
Fyy
y
Fxx
x
F
)()()( 000
Lo que signif ica que el producto punto entre el gradiente de la función
portadora F y un vector representativo del plano tangente es, precisamente, el
plano tangente.
Si, por hipótesis, estos dos vectores son perpendiculares entre sí, el
ángulo entre el los, que l lamaremos ω , es de 90º, y entonces se debe cumplir
que: 0)º90(TR)(TRTR CosFCosFFTTTTT
Y como consecuencia importante de que el producto punto sea nulo, es
que el vector gradiente de la función portadora de la función implícita que
grafica la superf ic ie es perpendicular al plano tangente, y a su vez, es paralelo a
la normal a la superf icie de nivel, en el punto T.
En definit iva, el vector gradiente representa a la normal n , es decir:
T
TT kz
Fj
y
Fi
x
FFn
que constituye otra expresión funcional de la recta normal al plano tangente,
además de las v istas más arr iba.
* * * * * * *
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
319.- Hallar la ecuación del plano tangente y la de la nor mal a la superf icie
22 yxz en el punto P(1;2) .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Plano Tangente Pt:
Como vimos en clase, la expresión funcional del plano tangente a una
superf icie en un punto T(1;2;5)z(1;2))T(1;2;z(P))T(P; es:
tP : 0)()(0)()()( 000000
zzyy
y
zxx
x
zzzcyybxxa
PP
Siendo: 541)(y)(xz 2y 1x 2
o
2
oooo
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
determinamos: 42.2)2( 21.2)2(
P
P
P
P
yy
zx
x
z
con lo que la ecuación del plano, es: 05)2(4)1(2 zyx
que, l levada a su mínima expresión, es:
542 :Pt 0542 058422 zyxzyxzyx
Recta normal n :
Canónica (universal; simétrica):
n : 1
5
4
2
2
1
1 000
zyxzz
y
f
yy
x
f
xx
PP
Vectorial (por intersección de planos):
Desde la expresión canónica armamos
la intersección de planos entre el primer y
tercer miembro (plano “en la dirección de las
y”) y entre el 2º y tercer miembro (plano en
“la dirección de x”):
1
5z
4
2y
1
5z
2
1x :n
5)-(z2)-(y-5)-2(z1)-(x- 4
20-4z2y-10-2z1x-
22 4zy 112z-x
Las normales a estos planos son (f igura 136):
40n ]224[ 1 kjizy kjizx 20n ]112[ 2
con lo cual, apl icando la regla de la mano derecha, en T:
kjikji 42)10()40()02(
2 0 1
4 1 0
k j i
nnn 21
que es la expresión vectorial de la normal al plano tangente en el punto T.
Vectorial (por gradiente):
Hagamos z implícita, de modo que la variable z permanezca mónica negativa:
0);;( 22 zyxzyxF
n4222
kjikjyixk
z
Fj
y
Fi
x
FF TT
TTTT
En conclusión: 542 :Pt zyx kji 42n
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
320.- Hallar la ecuación del plano tangente y la de la normal a la superf icie
22
1
yxLnz
en el punto P(1;1) .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Plano tangente:
0)()( 000 :
zzyy
y
zxx
x
zP
PP
t
entonces: 2
1
1x
z
22
22
22
22
P
P
P yx
x
yx
yx
yx
x
02
2)1(
2
1)1(
2
1 :P
2
1
1y
zt22
22
22
22
Lnzyx
yx
y
yx
yx
yx
y
P
P
P
Y en su mínima expresión:
)2(22)2()1(2)2
1(2)
4
2(2)
2
2(2)
2
2(22 :P 2
t LnLnLnLnLnLnLnzyx
o sea: )2(22 :Pt Lnzyx
Recta normal canónica: 2
2
2
1
1
1
1 :n
Lnz
yx
Recta normal vectorial, por gradiente: )2
2;1;1())();;(( LnTPzyxPT
Para z implícita, con z mónica negativa: 01
);;(22
zyx
LnzyxF
Entonces: )( 22
1
2
1
kjinkjik
z
Fj
y
Fi
x
FF
TTT
T
Recta normal vectorial, por intersección de planos:
2-
2
2z2y2-
2
2z2x
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1 LnLn
Lnzy
Lnzx
luego: kji 02n1 y kji 20n2
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Entonces: kiikji 2422
1 0 2
1 2 0
k j i
nnn 21
Es evidente que la util ización del formato función implícita y gradiente,
facil itan la obtención del plano tangente y la recta normal.
* * * * * * *
321.- Hallar la ecuación del plano tangente y la de la normal a la superf icie
01222 222 yxz en el punto T(1;-1;4) , f igura 137.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Para z implícita:
Siempre que sea posible, l levamos z a mónica negativa, o, al menos,
negativa: 01222 222 yxz y hacemos: 01222);;( 222 yxzzyxF
Para z implícita, la expresión del plano tangente es:
0)()( 000
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
TTT
Donde: 8z2z
F4y4
y
F4x4
x
FT
TT
T
TT
; ;
Y entonces: 0328z-4-4y-4-4x 048)1(4)1(4 zyx
Con lo que: -62z-y- x:Pt 08z-4y-4x 24
Recta normal: k2jik8j4i4kz
Fj
y
Fi
x
F
TTT
F n
En consecuencia, una vez conformada la estructura del plano tangente,
por z implícita, relevamos desde allí la estructura vectorial de la recta normal.
Para z explícita: en este caso, la expresión del plano tangente es:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
0)()( 000
zzyy
y
zxx
x
z
PP
para P(1;-1) siendo T(1;-1;4)=T(P;4)
Explicitamos z desde la expresión del enunciado:
2
1y
2
1)
1222
2( donde 1222
22
22
P
P
Px
z
yx
y
y
zyxz
Entonces: -62z-y- x 04)1(2
1)1(
2
1 :Pt 0 zyx
De donde, relevamos la normal vectorial: kji 2 n
O bien, expresamos la simétrica: 2
4
1
1
1
1 :n
zyx
desde la cual, a su vez, podemos encontrar el sistema que define la recta
intersección, y de al lí , la recta normal:
kjikjikjiyz
kjixz2422
1 2 0
1 0 2
k j i
nn n 20n 62
02n 6221
2
1
* * * * * * *
322.- Hallar la ecuación del plano tangente y la de la normal a la superf icie
10
4 22 yxz
en el punto T(2;-2;2) .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Para z implícita: zyx
F
10
4 22
entonces: 11 ; 5
8
5
2 ;
5
2
5
T
TTTTT z
Fy
y
Fx
x
F
y:
0105z-16-8y-4-2x 025
16
5
8
5
4
5
2 02)2(
5
8)2(
5
2 :Pt zyxzyx
Mínima expresión: 015z-8y-2x :Pt
-268z-5y
142z5x
5
2
8
2
2
2-x 5k -8j-2i n
zy
* * * * * * *
323.- Hallar la recta normal, vectorial y simétrica, a la superf icie xyz=12 en el
punto T(2;-2;3).
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Haciendo: 012);;( xyzzyxF la recta normal simétrica es:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
2
3
3
2
3
2-x
4
3
6
2
6
2-x
322-x
322-x
zyzy
xy
z
xz
y
yz
z
F
z
y
F
y
x
FTTT
TTT
2k-3j3i- n
* * * * * * *
324.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal de
)( yxxySenz en el punto )0;2
;2
( T .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Hacemos zyxxySenF )( entonces:
)()()( )( )( :Pt
2xyxxyCosyxySen00z
z
F
2y
y
F
2x
x
FT
TTT
)2
-)](xCos()Sen(2
[ )()()(
40z
2yyxxyCosyxxSen
2
T
0z44
z4
222
)2
-(y)2
-(x- 0)2
-)](yCos()Sen(2
[
Pt : 4
y x 04
y4
x4
- 2
322
zz
Recta normal vectorial : kj2
4in
Universal:
412
12 :n
2zyx
* * * * * * *
325.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal de x
yz
en el punto )2;1(P , f igura 138.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Hacemos 0xz-yz)y;F(x; 0 zx
yF ; 2z
Px
y )2;2;1())(;(T TPzP
02zz
F2y
y
F1x
x
F
TTT
)( )( :Pt
02zx2y11xz TTT )()()()(
Pt : 2y x2 022-y2x2- zz (f igura 139)
Recta normal vectorial: kj -i2n Canónica: 1
2
1
2
2
1 :n
zyx
En la f igura 140 observamos la intersección de la función con el plan o
tangente, y la ubicación de la normal.
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
326.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal a la
superf icie 22 yxz en el punto P(1;-2;5)))z(P;P(P oo . (Comparar con el ejercicio
318).
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Hacemos 022 zyxF ; 05)2( )1( :Pt
z
z
Fy
y
Fx
x
F
PPP
0)5()2(4)1(2 0)5()1()2(2)1(2 zyxzyyxx PPP
5z-4y-2x :Pt
kj 4-i2n ; simétrica: 1
5
4
2
2
1 :n
zyx
* * * * * * *
327.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal a la
superf icie 08916
222
zyx
en el punto P(4;3;4) .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Hacemos 08916
);;(222
zyx
zyxF 04)3( )4( :Pt
z
z
Fy
y
Fx
x
F
PPP
0)4()3(3
2)4(
2
1 0)4()
4()3()
9
2()4()
8( zyxz
zy
yx
xPPP
126z-4y-3x :Pt
Para no olv idarnos la relación entre la recta normal y el plano tangente,
recordemos que la recta normal es un vector paralelo a l vector gradiente de la
función, en el punto, y si bien podemos relevar directamente desde la estructura
del plano tangente la estructura de la recta normal, determinamos el gradiente
de F y asignamos su estructura a n:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
kjikjikz
Fj
y
Fi
x
FF
PPP
6433
2
2
1 n
Y la canónica, será: 6
4
4
3
3
4 :n
zyx
* * * * * * *
328.- Si z-2xzx3xy-yz)y;r(x; 2 es la superf icie de nivel de kyxfz );( , para
0k , determinar la expresión funcional del plano tangente a dicha superf icie en
el punto )1;0;1( P , conjuntamente con la expresión universal de la recta
tangente.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Si 0);( kyxfz , hacemos:
z-2xzx3xy-yz)y;r(x;);;(0);();;( 2 zyxFzyxfzyxF
01)0( )1( :Pt
z
z
Fy
y
Fx
x
F
PPP
01-2z-3y x:Pt 02231 0)1(2)0(3)1( zyxzyx
2
1
31
1 :n :será universal la 23 n
zyxkjiF
* * * * * * *
329.- Hallar las expresiones del plano tangente y de la recta normal a la
superf icie 22222 yxyyxz en el punto P(1;2;3) .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
Hacemos 0222);;( 22 zyxyyxzyxF
03)2( )1( :Pt
z
z
Fy
y
Fx
x
F
PPP
0)3()1()2()222()1()22( zyxyxyx PPP
0)3()2(4)1(2- zyx
3z-4y2x- :Pt o también: 3-4y2xz :Pt
Recta normal vectorial: kjikz
Fj
y
Fi
x
FF
PPPP
42 n P
Recta normal simétrica: 1
4
4
3
2
4 :nP
zyx
* * * * * * *
330.- Hal lar las expresiones de los planos paralelos al plano 064 zyx y que
sean tangentes a la superf icie 2132 222 zyx .
Planteo, Desarrollo y Respuesta
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 8 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Podemos pensar así:
1.- el plano tangente a la superf icie en algún punto t iene una recta normal en
dicho punto;
2.- si el plano tangente es paralelo a otro dado, la normal a éste es paralela a la
normal del plano tangente;
3.- si las normales son paralelas, sus componentes son proporcionales;
4.- por medio de la constante de proporcionalidad podemos hallar el punt o de
tangencia;
5.- en el punto de tangencia podemos determinar las componentes del plano
tangente.
Para encontrar la ley del plano tangente, hacemos:
2132);;( 222 zyxzyxF
desde donde encontramos la recta normal al plano tangente:
zkyjxikz
Fj
y
Fi
x
FF 642 n
por lo que la ley del plano tangente es:
0)(6)(4)(2)()( )(
oooooo zzzyyyxxxzz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
Encontramos la recta normal al plano referente:
kjikz
Fj
y
Fi
x
FFr 64 nr
Por ser paralelas las normales, sus componentes son proporcionales:
6p6z 4p4y p2x )64(642 n kjipzkyjxinp r
de donde: pz py 2
p
x
y reemplazando estos valores en la ecuación de la superf icie:
084248 021624
2132 2222
222 pppppp
zyx
de donde: 218
84.9.42424-p
2
raíces que podemos llamar: 2r 2q
Con estos dos valores de raíces, o de p, sustituimos en las proporciones
halladas y determinamos dos puntos de tangencia:
)2;2;1(T -2pz -2py -12
2-
21
px
)2;2;1(T 2pz 2py 12
2
22
px
Con las coordenadas de estos puntos de tangencia, escribimos las
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
expresiones de los planos tangentes a la superf icie dada:
0)2.(12)2.(8)1.(2 :P 0)2.(12)2.(8)1.(2- :P t2t1 zyxzyx
y en su mínima expresión:
216z4y x:P 2164 :P t2t1 zyx
que son los planos tangentes a la superf icie dada, en los puntos de tangencia
indicados, y que son, ambos, paralelos al plano de referencia.
* * * * * * *
331.- a.- Hallar la ecuación del p lano tangente a la superf icie 2. xyexz en el
punto )2;1;2(T ;
b.- Obtener una aproximación del valor de la función en el punto )02;1;9,1(Q ,
ut i l izando el plano tangente.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
a.- Si hacemos: 0.);;( 2 zexzyxF xy
la expresión funcional del plano tangente en el punto T, es:
0)2()1( )2(
z
z
Fy
y
Fx
x
F
Las derivadas, en el punto )1;2(P , son:
3.2.1.2.. 0021.221.222
eeeeeyxex
FP
xyxy
P
4.2. 21.2222
eexy
FP
xy
P
y 1
Pz
F
con lo que el plano tangente en T, es:
0)2()1(4)2(3 zyx
b.- A part ir de la expresión obtenida para el plano tangente, explicitamos z,
que representa la expresión funcional de la superf ic ie:
2)1(4)2(3 zyx de donde: )1(4)2(32z yx
expresión a part ir de la cual podemos aproximar el valor de la función en el
punto Q, perteneciente al entorno del punto P:
78,1)102,1.(4)29,1.(32)]1(4)2(32[(z)Q Qyx
valor que comprobamos calculando el valor de la función para el punto Q, en
forma directa: 79,1785777485,1.9,1).()( 202,1.9,12 eexz Qxy
Q
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
332.- a.- Representar gráficamente la curva de nivel de 2y
x2yxfz );( que
pasa por );( 22P ;
b.- Hallar la ecuación del plano tangente a la superf icie de la función en );;( 122T ;
c.- Justif ique si la función es más sensible a los cambios en x o en y.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
a.- En el punto );( 22P es 2x y 2y , por lo tanto, reemplazando en la ley de
la función se t iene que: 14
4
2
22
y
x2z
22
. por lo que la curva de nivel
es: 2
yx
2
que grafica una parábola de eje y (f igura).
b.- Se hace: 0zy
x2zyxF
2);;( y se obtienen:
2
1
y
2
x
F
P2
P
1
y
x22
y
F
P3
P
.
11z
FP
P
con lo que el plano tangente en );;( 122T , es:
01z1y2x )()()(2
1
o sea: y2
x1y1
2
x1y2x1z )()(
2
1 y entonces: 1y
2
xz
c.- La función es más sensible a los cambios en y, dado que la derivada parcial
respecto a y es mayor que la respecto a x.
* * * * * * *
Derivadas sucesivas (o de orden superior)
Si );( yxfz es continua y diferenciable en un entorno del punto );( 00 yxP
de su dominio, sus der ivadas pr imeras, que son nuevas funciones en las mismas
variables que la función de part ida , también deben ser continuas. Estas nuevas
funciones pueden ser nuevamente der ivadas, y si éstas son continuas, pueden
derivarse nuevamente, y así sucesivamente.
Si, por ejemplo 23..3);( yxyxfz podremos conformar la gri l la , en la
página siguiente, de las derivadas sucesivas, o consecutivas, considerando a n
como el orden de derivación.
Analizando la gri l la, vemos que cada nueva función, resultante de una
derivación, entrega dos nuevas derivadas (una por cada una de sus variables).
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Por otra parte, se observa que para cada orden de derivación se obtienen
2, 4, 8, 16, …, vn derivadas.
Esto permite obtener una fórmula simple que da el número de derivadas
esperables, o a obtener, en función del orden n de der ivación y del número v de
variables independientes que tenga la función a derivar: nn
v vD
n=1 n=2 n=3 n=4
);(..9
)..3();(
1
22
23
yxfyx
x
yx
x
yxf
x
z
);(
..18)..9(
);(
3
222
2
2
2
2
1
yxf
yxx
yx
x
z
x
f
x
yxf
7
2
3
3
.18 fyx
f
154
4
0 fx
f
yyx
f.36
3
4
yxyx
f.36
2
4
xyx
f.36
22
4
yxyx
f.36
2
4
xyxyx
f.36
4
xxyx
f.36
2
4
03
4
yx
f
yxy
f.36
3
4
xyxy
f.36
2
4
xxyxy
f.36
4
02
4
yxy
f
xxy
f.24
22
4
02
4
yxy
f
82
3
..36 fyxyx
f
);(..18
)..9(
4
2
222
1
yxfyx
y
yx
yx
z
y
f
9
3
..36 fyxxyx
f
10
2
2
3
.18 fxyx
f
);(..6
)..3(
2
3
23
yxfyx
y
yx
y
z
);(..18
)..6(
5
2
32
2
yxfyx
x
yx
xy
z
x
f
112
3
..36 fyxxy
f
12
23
.18 fxyxy
f
);(.6
)..6(
6
3
3
2
2
2
yxfx
y
yx
y
z
y
f
13
2
2
3
.18 fxxy
f
143
3
0 fy
f
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
03
4
xy
f
04
4
y
f
Así, para n=4, en una función de 2 variables, tendremos: 16244
2 D
derivadas; y si la función fuese de 3 variables y el orden deseado fuese 3:
273D 333 derivadas.
Si, por ejemplo, se quiere obtener, para la misma función dada, la derivada
de orden 5 siguiente: yxy
f
22
5
hay que determinar las siguientes derivadas:
0;.36;.18;.6;..622
5
22
42
2
33
2
23
yxy
fx
xy
fx
xy
fx
y
fyx
y
f
Y si se quiere obtener xyx
w
2
4
a part ir de 3223);;( yxyxzyxfw ,
hacemos: 4;.4;..4;..2.32
4
2
3222
xyx
wx
yx
wxy
yx
wxyx
x
w
Siguiendo con el anál isis de la gril la, observamos que yx
z
2
, 2
3
yx
w
,
3
3
x
f
,
etc., es la notación minimizada de derivada sucesiva.
Por otra parte, también observamos que
yx
yx
z..18 2
2
xy
z
2
, lo que
expresa que estas derivadas cruzadas (o mixtas, en relación a las variables
independientes de la func ión) de segundo orden son iguales, tanto en la
secuencia “pr imero x y después y”, como en la secuencia “primero y y después
x”, pero para una misma frecuencia (o cantidad de veces) de util ización de cada
variable en cada derivada mixta.
Igualmente:
yx
yx
f..36
2
3
xyx
f3
2
3
xy
f
permite ver que las derivadas
mixtas, en cualquier secuencia, pero con una frecuencia 2 para la variable x y
una frecuencia 1 para la variable y, son iguales.
Del mismo modo, en:
2
2
3
.18 xyx
f
yxy
f3
xy
f
2
3
pero para una
frecuencia 2 en y y una frecuencia 1 en x.
Similarmente en:
y
yx
f.36
3
4
xyx
f2
4
2
4
xyx
f3
4
xy
f
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
y también en:
xy
f3
4
3
4
yx
f
2
4
yxy
f
yxy
f
2
4
y lo propio en:
x
yx
f.36
22
4
yxyx
f4
xyx
f2
4
yxy
f2
4
xyxy
f4
22
4
xy
f
Esta es una importante observación, porque permite v isualizar que un
grupo de derivadas cruzadas, bajo c iertas condiciones de frecuencia, son
iguales; y que otro grupo, bajo otras condiciones de frecuencia, son iguales
entre ellas, mas no con los restantes grupos.
El teorema de Schwarz demuestra que der ivadas mixtas de segundo orden
son iguales, generalizando la propiedad para órdenes mayores de derivación.
Por otra parte, insist imos en que para la existencia de las derivadas
sucesivas, las funciones de part ida, u or iginal, y las funciones derivadas, mixtas
o directas, deben ser continuas en el entorno de un cierto punto del dominio de
existencia de la función de part ida; es decir, diferenciables.
Teorema de Schwarz
El teorema demuestra que der ivadas sucesivas de orden n de una función,
tomadas en una cierta secuencia de variables, son iguales a der ivadas
sucesivas del mismo orden de tal función, tomadas en secuencias cruzadas (o
mixtas), de sus variables, con misma frecuencia de derivación de cada variable.
Así, por ejemplo, si 32 yx2yxfz ..);( es una función definida, continua,
al igual que sus derivadas, en un entorno del punto );( yxP y en );( yxP , se
verif ica que, por ejemplo:
222
yx12xy
z
yx
z..
..
y también que: 2
2
3
2
33
y12yx
z
xy
z
xyx
z.
Observándose que las derivadas de segundo orden son iguales aunque la
secuencia de derivación es cruzada.
Se nota también que se derivó, en cada caso, tomando a una variable una
sola vez (frecuencia 1).
En las der ivadas de tercer orden, también iguales para las dist intas
secuencias de derivación, se tomaron a las variables un mismo número de veces
(frecuencia de derivación de cada variable: x dos veces; y una vez) cualquiera
fuera la secuencia de derivación.
Este hecho es justif icado por el teorema de Schwarz, part iendo de los
incrementos posibles de la función:
);();( yxfyyxxfz );();( yxfyxxfzx );();( yxfyyxfz y
con los que se conforma la función auxi liar de Schwa rz:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
);();();();();();( yxfyyxfyxfyxxfyxfyyxxfzzzS yx
);();();();();();( yxfyyxfyxfyxxfyxfyyxxf
);();();();( yxfyyxfyxxfyyxxf
que, a los efectos de poder aplicar el teorema de Lagrange (objetivo estratégico
de Schwarz), se reordena y se agrupa así:
);();();();();( yxfyyxfyxxfyyxxfyxS
en donde Schwarz llama )(xG al segundo término: )();();( xGyxfyyxf
y como consecuencia: );();()( yxxfyyxxfxxG
(Obsérvese la manera conceptual de Schwarz de ir preparando las estructuras a
f in de poder insertar conceptos existentes, como el teore ma de Lagrange).
De esta forma, la función auxiliar S se estructura como:
)()();( xGxxGyxS
que, por Lagrange:
)];();([)];();([)()()();( '''' yxfyyxfxyxfyyxfxxGxxGxxGyxS xxxx
para xxxx .
Pero la diferencia de funciones del últ imo miembro es una diferencia de
dos valores inf initesimalmente próximos de una misma función, donde un punto
está en el entorno del otro y según un desplazamiento en y; por lo tanto es
aplicable Lagrange nuevamente, obteniéndose:
xy
yxfyxyxfyxyxfyxyxS xyxy
);();()];([);(
2'''' para yyyy
Disponiendo ahora la función auxiliar, del modo siguiente (nuevamente es
ilustrativa la manera en que Schwarz util iza los conceptos conocidos para lograr
su objetivo de demostración):
);();();();();( yxfyxxfyyxfyyxxfyxS
y l lamando: );();()( yxfyxxfyH será );();()( yyxfyyxxfyyH
y entonces:
)];([)];();([)()()();( ''''' yxfxyyxfyxxfyyHyyHyyHyxS yxyyy
es decir que: yx
yxfxyyxfxyyxfxyyxS yxyx
);();()];([);(
2''''
De las dos expresiones de );( yxS obtenidas, “si los primeros miembros son
iguales, entonces los segundos también lo son”, y escribimos:
xy
yxfxy
yx
yxfyxyxS
22
);();();( por lo que:
xy
yxf
yx
yxf 22
);();(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Tomando ahora límites de ambos miembros:
xy
yxfLím
yx
yxfLím
yxyx
);();( 2
0;0;
2
0;0;
se t iene que: xy
yxf
yx
yxf 22
);();( expresión que nos dice que las
derivadas cruzadas son iguales, y que es lo que Schwa rz quiere demostrar.
Como consecuencia, o corolar io:
.);();();(
etcxyx
yxf
xy
yxf
yx
yxfpnpnm
m
nmn
m
nnm
m
Expresión de la que se deduce que el número de veces en que se der iva
con respecto a cada variable ( frecuencia de derivación de cada variable) es la
misma siempre, cualquiera sea la secuencia de derivación.
Así dist inguimos: orden de derivación, secuencia de derivación, frecuencia
de derivación.
Por ejemplo:
2
5
2
55
23
5
32
5
22
5
22
5 );();();();();();();(
xyxy
yxf
yxyx
yxf
xyxyx
yxf
yx
yxf
xy
yxf
xyx
yxf
xyx
yxf
Diferencial sucesivo (o de orden superior)
Oportunamente vimos que: si );( yxfz su incremento total podía
estructurarse como: IOSdzyxfyyxxfz );();(
donde: dyy
zdx
x
zdz
fue definido como el diferencial de la función.
Es obvio que el diferencial de la función es, en general, una nueva función
en las mismas variables que t iene la función or iginal.
Si ahora se vuelve a diferenciar esta función obtenida, es decir el
diferencial, se obtiene el diferencial del diferencial, o sea el diferencial segundo
de la función, siendo entonces el pr imer diferencial, el diferencial de primer
orden de la función, y se observa el siguiente desarrollo diferenciador:
dydx
x
z
ydxdx
x
z
xdy
y
zddx
x
zddy
y
zdx
x
zddzd )(
2
2
2222
2
2
dyy
zdxdy
xy
zdydx
yx
zdx
x
zdydy
y
z
ydxdy
y
z
x
zddyy
zdydx
yx
z2dx
x
z 22
2
222
2
2
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
El segundo término del sexto miembro implica una aplicación del teorema
de Schwarz.
Un nuevo paso de diferenciación permite obtener el diferencial de tercer
orden de la función, tras sendas aplicaciones de Schwarz:
dydx
yx
z3dx
x
zdy
y
zdydx
yx
z2dx
x
zdzddzd 2
2
33
3
32
2
222
2
223 )(
3
3
32
2
3
dyy
zdydx
yx
z3
y así sucesivamente para n=4; 5; 6;…
A medida que se aplica sucesivamente la diferenciación para
dist intos n, y comparando las estructuras que se obtienen, se inf iere que el
proceso de diferenciación sucesiva t iene una cierta simi litud con el desarrollo de
la potencia enésima de un binomio; por lo que, tomando n=2, por ejemplo, se ve
que:
n
dyy
zdx
x
zdy
y
zdydx
yx
zdx
x
zzd
2
2
2
222
2
22 2
Por lo tanto, se puede simbolizar el proceso de diferenciación sucesiva,
para orden n de diferenciación, mediante la siguiente estructura:
n
n dyy
zdx
x
zzd
Expresión que llamaremos algoritmo diferenciador sucesivo, el que se
interpretará del siguiente modo:
1.- cuando n se apl ica al símbolo del binomio (el signo +) nos indica el número
de términos que tendrá el desarrollo en su mínima expresión; esto es: tres
términos para n=2, 4 términos para n=3; n+1 términos para n=n;
2.- cuando n se apl ica a la derivación de la función, indica el orden de
derivación sucesiva de tal función;
3.- y cuando n se aplica al diferencial de la variable, indica la potencia a que es
elevado el diferencial de la variable (tanto de variable única, como el de
combinación de variables).
También puede observarse, en los desarrollos de 2º y 3e r orden anteriores,
a modo de ejemplo, que la nomenclatura del desarrollo del diferencial “ordena”
en forma alfabética, y decreciente para una y creciente para la otra, la
secuencia de derivación y/o de diferenciación de las variables.
A los f ines prácticos de su apl icación es úti l combinarlo con el l lamado
triángulo de Tartaglia (que se adjunta más adelante), cuya distr ibución adaptada
al algoritmo diferenciador, será:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
n n
dyy
zdx
x
z
0 1
1 1 1
2 1 2 1
.. ……….
Para el n correspondiente, los números de la segunda columna son los
coeficientes de cada der ivada en cada término del desarrollo del diferencial.
Siempre los coeficientes de las derivadas de los extremos del desarrollo
serán 1, mientras que los coeficientes de las der ivadas más internas del
desarrollo están en consonancia con el número de derivadas cruzadas iguales
que la función t iene para ese orden, y frecuencia, de der ivación.
Cabe acotar que en cada línea, en la segunda columna, la cantidad de
coeficientes que aparecen indican la cantidad de términos que el desarrollo del
diferencial t iene.
Además, para n=0 se t iene en el tr iángulo un solo 1; esto indica que hay
un solo término en el diferencial, que es precisamente la función, ya que al ser
n=0 ello indica que la función no será diferenciada, y en este caso, se t iene:
);(
0
0 yxfzdyy
zdx
x
zzd
* * * * * * *
El Triángulo de Tartaglia por Paulino Valderas
Extraído de: http://es.geocities.com/matesbueno/articulos/el_triangulo_de_tartaglia.htm En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de
Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.
n=0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 … .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
... Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás
filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.
El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que
queramos. En el ejemplo de arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
El Triángulo está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.
Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos: (a + b)
2 = a
2 + 2ab + b
2
(a + b)3 = a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3
(a + b)4 = a
4 + 4a
3b + 6a
2b
2 + 4ab
3 + b
4
etc... Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b,
son los mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo: (a + b)
4 = a
4 + 4a
3b + 6a
2b
2 + 4ab
3 + b
4 = 1a
4 + 4a
3b + 6a
2b
2 + 4ab
3 + 1b
4
Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a
4, a
3, a
2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término,
sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el último término. Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos
averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:
Veamos un ejemplo de cálculo para entender la fórmula:
Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de
Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56. Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y
al lugar que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:
...
Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.
De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que
van coincidiendo con los términos del Triángulo. Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo
de un binomio, llamada el Binomio de Newton:
Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolò Fontana, apodado
Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados
sobre artillería.
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
333.- Valorar las derivadas de n=3, para C(2;1) de: x
y
y
xz
Planteo, desarrollo, respuesta
El número de der ivadas de tercer orden de una función de 2 variables es:
8233
2 nVD y por Tartaglia:
1 3 3 1 :3n
1 2 1 :2n
1 1 :1n
1 :0n
Entonces, para n=3 se deben tener, según el Tartaglia: una derivada de
tercer orden con respecto a una variable; tres derivadas cruzadas iguales (por
Schwarz), con dist inta secuencia; otras tres der ivadas cruzadas iguales, con
dist inta secuencia, y con dist inta frecuencia de variables con respecto a las
otras tres; y una de tercer orden con respecto a la otra variable; o sea:
3
3
2
33
2
3
2
33
2
3
3
3
; ; ;y
z
xy
z
yxy
z
yx
z
xy
z
xyx
z
yx
z
x
z
375,08
366 ;
2 ;
1
43
3
43
3
32
2
2
CCx
y
x
z
x
y
x
z
x
y
x
z
x
y
yx
z
2504
1
x
2
yx
z
x
2
yx
z
C3
C
2
3
32
3
,
2y
2
yx
z
y
2
yx
z
x
1
y
1
yx
z
C3
C
2
3
32
3
22
2
12y
x6
y
z
y
x6
y
z
y
x2
y
z
x
1
y
x
y
z
C4
C
3
3
43
3
32
2
2
* * * * * * *
334.- Hallar: ''''
yyxx zz si )( 22 yxLnz
Planteo, desarrollo, respuesta
22
22
22
222
22
22''
22
' .2.2.4.2.2.2..2.2 ^
.2
yx
xy
yx
xyx
yx
xxyxz
yx
xz xxx
22
22
22
222
22
22''
22
' .2.2.4.2.2.2..2.2 ^
.2
yx
yx
yx
yyx
yx
yyyxz
yx
yz yyy
Entonces:
00.2.2.2.2.2.2.2.2
2222
2222
22
22
22
22''''
yxyx
yxxy
yx
yx
yx
xyzz yyxx
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
335.- Si 22
24
yx
xyz
hallar la
P
xyx
z3
para )5,0;75,0(P .
Planteo, desarrollo, respuesta
222
222
222
224
222
22422
222
2222
)(
)(4
)(
44
)(
844
)(
24)(4
x
z
yx
xyy
yx
yxy
yx
yxyyx
yx
xxyyxy
422
222222222222
)(
2)(2)())(2)(2(4
yx
z
yx
yyxxyyyxyyxyy
422
22223222322
yx
yxxyy4yxy2xyy24
)(
))(())()((
322
22222222
322
22322322
yx
xyy2yxyxyy24
yx
xyy4yxy2xyy24
)(
)]())([(
)(
)())()((
322
224224422
322
2242222
)(
]2222[24
)(
]22))(2[(24
yx
yxyyxxyyxy
yx
yxyyxxyy
322
222
322
422
)(
]3[8
)(
]3[24
yx
xyyx
yx
xyxy
622
2222223222223
)(
2)(3)3())](2()3(2[8
xyx
z
yx
xyxxyxyxxxxyxy
422
22322322
422
22322222
)(
)3(6)](2)3(2[8
)(
)3(6))](2()3(2[8
yx
xyxyxxxyxy
yx
xyxyxxxxyxy
422
2232222
422
22322222
)(
)3(6))](23(2[8
)(
)3(6))](3(2[8
yx
xyxyxxyxy
yx
xyxyxxxyxy
422
2222222
422
2232222
)(
)3(3))](23[(28
)(
)3(6))](23(2[8
yx
xyxyxxyxy
yx
xyxyxxyxy
422
4224
422
422224422
)(
3816
)(
39223328
yx
yyxxxy
yx
xyxyxxyyxxy
55,8
)5,075,0(
5,035,075,0875,05,075,016
)(
3816
xyx
z
422
4224
422
42243
CCyx
yyxxxy*
* * * * * *
336.- Hallar las der ivadas de 2º orden de 1
x
ytgz )]([ .
Respuesta: 2222
2
yx
xy2
x
z
)(
;
22
2222
yx
xy
xy
z
yx
z
;
2222
2
yx
xy2
y
z
)(
* * * * * *
337.- Hallar las der ivadas de 2º orden de )(. yLnez x2 .
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Respuesta: )(.'' yLne4z x2xx '''' . yx
x2xy z
y
1e2z ).(''
2
x2yy
y
1ez
* * * * * *
338.- Hallar las der ivadas de 2º orden de xyeyxCosz )( .
Respuesta: xxx yez '' x
xy eySenz )('' )('' yxCoszyy
* * * * * *
339.- Hallar las der ivadas cruzadas de 2º orden de 1y
exyz
2
y
.
Respuesta: ''''yxxy z1z
* * * * * *
340.- Hallar '''xyzw y '''
zyxw si yx
ew
z
.
Respuesta: 3
z
xyzyx
e2w
)(
'''
3
z
zyxyx
e2w
)(
'''
* * * * * *
341.- Hallar '''xxxw , '''
yyyw , '''zzzw , '''
xyzw si z2 yexw .
Respuesta: 0wxxx ''' 0wyyy
''' z2zzz yexw ''' z
xyz xe2w '''
* * * * * *
342.- Hallar las der ivadas segundas de )( yx eeLnz .
Respuesta: yx
yx
2
2
ee
e
x
z
xy
z
ee
e
yx
z 2
2yx
yx2
)(
2yx
yx
2
2
ee
e
y
z
)(
* * * * * *
343.- Hallar las der ivadas segundas de )( 22 xyCosxyzu .
Respuesta: )( 24
2
2
xyCosyx
u
)]()([ 222
2
2
xySenxyCosxy2x2y
u
)( 24
2
2
xyCosyx
u
)]()([ 222
2
2
xyCosxy2xySenx2y
u
4
2
2
xyz6z
u
)]()([ 22222
xySenxyCosxyy2zyx
u
32
yz2zx
u
3
2
xz2zy
u
)]()([ 22222
xySenxyCosxyy2zxy
u
32
yz2xz
u
3
2
xz2yz
u
* * * * * *
344.- Hallar las der ivadas segundas de 42 yxz .
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Respuesta: 342
4
2
2
yx
y
x
z
)(
342
42
2
2
yx
x3yy2
y
z
)(
)(
342
32
yx
xy2
yx
z
)(
* * * * * *
Valorar las der ivadas sucesivas de orden n=3, para C(2;1):
345.- 2.23.2.3 yxyyxz
Respuesta: 0x
zC3
3
][ ; 10
yx
zC2
3
][ ; 8
yx
zC2
3
][ ; 6
y
zC3
3
][
* * * * * *
346.- )(.)(. xCosyyCosxz
Respuesta: 910x
zC3
3
,][
420
yx
zC2
3
,][
540
yx
zC2
3
,][
681
y
zC3
3
,][
* * * * * *
347.- )22( yxLnz
Respuesta: 041x
zC3
3
,][
960
yx
zC2
3
,][
041
yx
zC2
3
,][
111
y
zC3
3
,][
* * * * * *
348.- yx
yz
Respuesta: 6
x
zC3
3
][ 8
yx
zC2
3
][ 10
yx
zC2
3
][ 12
y
zC3
3
][
* * * * * *
349.- Valorar C3
3
x
z][
de ).( yxSenz 2 para la condición C(2;1).
Respuesta: 60x
zC3
3
][
* * * * * *
350.- Probar que la función 22 yxLnz verif ica la ecuación diferencial
de Laplace: 0x
z
x
z2
2
2
2
* * * * * *
351.- Verif icar que 222 zyx
1u
satisface la ecuación diferencial
0z
u
y
u
x
u2
2
2
2
2
2
.
* * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
352.- Verif icar que las der ivadas para n=2 de yxyxz 2 .. son iguales.
* * * * * *
353.- Verif icar que las der ivadas para n=2 de )()(.. 2Sen2Senr2z son iguales.
* * * * * *
354.- Si se puede, hallar el diferencial de orden 2 de la función:
)(.)(.. yLn10xLn4yyxxz 22 para: a) P(0;0) , b) );(Q 10 .
Planteo, desarrollo, respuesta
Verif icamos si la función está definida o no en los puntos i ndicados:
en P(0;0) la función toma el valor
indet)indet.(10)indet.(4)0(.10)0(.400.00 22 LnLnz
por lo que no es posible diferenciar la función en este punto.
En P(0;1) la función toma el valor:
indet0)indet.(41)1(.10)0(.411.00 22 LnLnz
por lo que tampoco es posible diferenciar la función en este punto.
En consecuencia, en ninguno de los dos puntos indicados la función
existe y por lo tanto no es diferenciable.
* * * * * * *
355.- Hallar el diferencial de orden 2 de la función 24 yxz .
Planteo:
El diferencial se encontrará mediante la apl icación del algoritmo
diferenciador sucesivo: nn dxx
zdx
x
zzd )(
en conjunto con el tr iángulo de
Tartaglia y el teorema de Schwarz .
En consecuencia, se deberán hallar todas las der ivadas segundas de la
función: 2
2
222
2
222 dy
y
zdydx
yx
z2dx
x
zdx
x
zdx
x
zzd
)(
Desarrollo:
Las derivadas segundas son: 22
2
2
yx12x
z
4
2
2
x2y
z
xy
zyx8
yx
z 23
2
Respuesta:
2432222432222 dyx2dydxyx16dxyx12dyx2dydxyx82dxyx12zd
* * * * * * *
356.- Valorar el diferencial del ejercic io anterior para C(2;1).
Planteo, desarrollo, respuesta
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
22C
243222C
2 dy162dydx1816dx1412dyx2dydxyx16dxyx12zd .....)()(
Luego: 22C
2 dy32dydx128dx48zd )(
357.- Valorar el diferencial anterior para dx=-dy=-0,15.
Planteo, desarrollo, respuesta
31503215015012815048zd 2C
2 ),(),.,(),()(
* * * * * * *
358.- Hallar el diferencial de orden 3 de la función del ejercicio 354.
Planteo, desarrollo, respuesta
Por concurrencia del algoritmo diferenciador sucesivo, el tr iángulo de
Tartaglia, y el teorema de Schwarz:
3
3
32
2
32
2
33
3
333 dy
y
zdydx
yx
z3dydx
yx
z3dx
x
zdx
x
zdx
x
zzd
)(
donde: 0y
zx8
yx
zyx24
yx
zxy24
x
z3
33
2
32
2
32
3
3
; ; ;
Por lo tanto: 32322323 dy0dxdyx83dydxyx243dxxy24zd ..
o sea: 2322323 dxdyx24dydxyx72dxxy24zd
* * * * * * *
359.- Valorar el diferencial anterior para C(2;1) y dx=-dy=-0,15.
* * * * * *
360.- Hallar el diferencial n=2 de )(xySenz .
Respuesta: 22222 dyxySenxdydxxyxySenxyCos2dxxySenyzd )())()(()(
* * * * * *
361.- Verif icar que 0160zd3 , corresponde a )( yxLnz , para x=1, y=0,
dx=dy=0,1.
* * * * * *
362.- Hallar el diferencial segundo de )()( yLn10xLn4yxyxz 22 para C(0;0).
Respuesta:
adoindeterminzd2 porque la función no es diferenciable en el punto dado; o sea,
las derivadas parciales de primer orden no son continuas en dicho punto.
* * * * * *
363.- Hallar el diferencial segundo de la función anter ior en C(1;1).
Respuesta:
En este punto la función es diferenciable, por lo tanto:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
22C
2
2
2
2C2 dy12dydx2dx6dy
y
102dydx2dx
x
42zd .)])()[()(
* * * * * * *
364.- Verif icar que 0zd0
2
3 );(
)( si )()( yCosxSenz .
* * * * * *
365.- Verif icar que )....,.()();(
22
2
12
2 dy4dydx4dx250ezd si xyez .
* * * * * * *
Los Cuestionar ios, como el s iguiente, deberían ser resueltos a medida que se va progresando en el análisis de los temas. Las preguntas que contienen pueden ser uti l izadas en el Examen Final.
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Cuestionario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
1.- En la definición de derivada, ¿por qué es necesario que el incremento de la
variable t ienda a anularse?
2.- ¿Por qué la derivada parcial no es una tangente?
3.- En un entorno reducido, la distancia de algún punto del entorno al punto
entorno es nula: ¿por qué es verdadera/falsa esta afirmación?
4.- ¿Qué es diferenciabilidad de una función mult ivariable?
5.- ¿Sobre qué plano se grafican las curvas de nivel?
6.- ¿Cuáles son los pasos para graficar una función mult ivariable?
7.- ¿Cuál es el dominio de una función ksrfz );( ?
8.- ¿Qué t ipo de entorno valida la definición de límite?. Explique.
9.- Indique la interpretación geométrica de la derivada parcial con respecto a la
variable y.
10.- Explique si es continua la raíz cúbica de la suma de los cubos de x y de y.
11.- ¿Por qué es, o no, diferenciable en el origen la función 42 yxz ?
12.- ¿Qué establece el teorema del valor medio?
13.- Una función que t iene límite en un punto de su dominio, ¿es o no continua
en ese punto?
14.- ¿Qué establece el corolar io del Teorema de Schwarz?
15.- Una función );( yxfz ¿puede tener derivada total?
17.- ¿Cuál es el dominio de una derivada 2
2
3
3xyx
z
?
18.- Explique el tr iángulo de Tartaglia.
19.- Cite los métodos posibles para el cálculo de derivadas.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
20.- Expl ique si la derivabil idad de una función mult ivariable en un punto
implica, o no, continuidad de la función en ese punto.
21.- ¿Qué indica la derivada parcial de una función mult ivariable para cierto
punto de su dominio?
22.- ¿Qué indica el diferencial de una función mult ivariable para cierto punto
de su dominio?
23.- ¿Para qué sirve el diferencial de una función mult ivariable?
24.- Enuncie la regla de la cadena para la der ivación de una función
compuesta.
25.- Explique si siempre una derivada compuesta de una función mult ivariable
es una derivada total.
26.- ¿Cuándo una función mult ivariable es portadora de una función implícita?
27.- Cite los cuatro pasos de obtención de la derivada de una función implícita .
28.- ¿Por qué las derivadas parciales de una función mult ivariable en un cierto
punto de su dominio están relacionadas con el plano tangente a la superf ic ie
que grafica la función, en relación a dicho punto?
29.- El vector gradiente de la función mult ivariable se grafica perpendicular a
la superf ic ie de nivel de la función, y por lo tanto, representa a la normal al
plano tangente, y a la superf icie de la función: ¿es verdadero/falso?, explique.
30.- La derivada direccional indica la dirección en que la función cambia
velozmente sus valores: ¿es verdadero/falso?, explique.
31.- ¿Cuáles son los componentes de un gradiente de una función?
32.- ¿Cómo y para qué se relacionan el gradiente de una función y la derivada
direccional?
33.- ¿En qué dirección y orientación la función );( yxfz t iene una ley de
variación nula en un cierto punto P de su dominio?¿y las del gradiente?
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ÍNDICE
Pág. Contenido
Parte 1
1 Conceptos Básicos.
Parte 2
73 Derivadas parciales.
75 Interpretación geométrica de la derivada parcial.
76 Cálculo de la der ivada parcial .
77 Ejemplario.
90 Teorema del valor medio.
92 Diferencial total.
93 Aplicación del diferencial al cálculo de aproximaciones y errores.
97 Función diferenciable.
100 Ejemplario.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
116 Derivación de funciones compuestas.
117 Regla de la cadena.
121 Ejemplario.
130 Derivación de funciones implícitas.
134 Método general de derivación de funciones implícitas.
138 Ejemplario.
147 Derivada direccional.
150 Interpretación geométrica de la derivada direccional.
151 Gradiente.
152 Derivada direccional y gradiente.
156 Ejemplario.
174 Plano tangente.
176 Interpretación geométrica del diferencial.
177 Recta normal.
180 Relación (del plano y la recta) con el gradiente.
181 Ejemplario.
191 Derivadas sucesivas.
193 Teorema de Schwarz.
195 Diferenciales sucesivos.
197 Triángulo de Tartaglia.
199 Ejemplario.
205 Cuestionario.
206 Índice.
Parte 3
208 Extremos.
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Recreo: Qu ino, en: Gente en su sit io .