CÁLCULO IIIDERIVADA DIRECCIONAL

I. En los siguientes problemas encuentre un vector que indique la dirección en la cual la función dada aumenta más rápidamente en el punto indicado. Halle la razón de cambio máxima.

a) f ( x , y )=e2x sen y ;(0 , π4 ) b) F ( x , y , z )=x2+4 xz+2 y z2; (1,2 ,−1 )

II. En los siguientes problemas obtenga un vector que indique la dirección en la cual la función dada disminuye más rápidamente en el punto indicado. Encuentre la razón de cambio mínima.

a) f ( x , y )=tan ( x2+ y2 ) ;(√ π6 ,√ π6 ) b) F ( x , y , z )=√ xz e y ; (16 ,0 ,9 )

Respuestas

√2i+ √22j ,√ 52 ;; −2 i+2 j−4 k ,2√6 ;−8√ π6 i−8 √ π6 j ,−8 √ π3 ;−38 i−12 j−23 k ,−√83281

24PROBLEMAS

1. El radio r y la altura hde un cilindro circular recto aumenta a razón de 0.01 cm/min y 0.02 cm/min, respectivamente. Use la Regla de la Cadena para calcular la tasa de crecimiento del volumen con respecto al tiempo, cuando r=4cm y h=7cm. ¿Con qué rapidez varía el área de la superficie curva?

2. La temperaturaTenun punto ( x , y ) enuna placa de metalcolocada enel plano xy es inversamente proporcionala la distancia alorigen . La temperatura en P (3,4 ) es 1000 .Calcule larazòn decambio deT en Pen la direcciòndel vector i⃗+ j⃗ . ¿ Enque

direcciònaumentamàs rapidamenteTenP?¿ EnquedirecciòndisminuyemásrapidamenteT enP? ¿Enquedirecciòn seanula latasa devariaciòn?

R :−28√2;−12 i−16 j ;12i+16 j ;c (4 i−3 j ) paracualquier c ≠0.

3. En cualquier punto ( x , y ), el potencial eléctrico es V, y V=e−2xcos 2 y . El potencial se mide en voltios

y la distancia en pies. (a) Determine la razón de cambio del potencial en el punto (0 , π4 ) en la

dirección del vector unitario cos16π i+sen 1

6π j. (b) Halle la dirección y la magnitud de la máxima

razón de cambio de V en (0 , π4 ) . R: (a) −1; (b) dirección del vector − j⃗ y magnitud 2.

PLANO TANGENTEI. En los siguientes problemas obtenga una ecuación del plano tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto dado.

a) z=25−x2− y2; (3 ,−4 ,0); b) z=cos (2x+ y ) ;( π2 , π4 ,− 1

√2 );c) z= ln (x2+ y2 ) ;( 1√2,1

√2,0)

II. En el siguiente problema encuentre los puntos de la superficie dada en los que el plano tangente sea paralelo al plano indicado.

x2+ y2+z2=7 ;2x+4 y+6 z=1

III. Halle los puntos de la superficie x2+4 x+ y2+z2−2 z=11 en los cuales el plano tangente sea horizontal

Respuestas

6 x−8 y+z=50; 2 x+ y−√2 z= 4+5 π4

; √2x+√2 y−z=2; ( 1√2 ,√2 , 3√2 ),(−1√2 ,−√2 ,− 3

√2 )(−2,0,5 ) ,(−2,0 ,−3)

Nota: Este documento admite correcciones.