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DEPARTAMENTO DE

MATEMÁTICAS CURSO 2019/20 Estas actividades están pensadas para que el alumnado que tiene pendiente la asignatura de Matemáticas de 2º de ESO, que aún no la ha recuperado y quiera recuperarla, realice este cuadernillo durante el periodo de suspensión temporal de la actividad educativa presencial durante las dos semanas próximas, entregándolo a su respectivo/a profesor/a del curso de 3º de ESO antes del 15 de mayo de 2020 incluido.

Deberán realizarse en el cuaderno de clase, copiando los enunciados y siguiendo los procesos necesarios, igual que se trabaja en el aula.

Una vez realizados, se deben escanear (pueden hacerlo con aplicaciones móviles como “camscanner-pdf creator, fax”) y enviarlo al correo de cada PROFESOR/A indicando el nombre del alumno/a y el curso:

• PROFESOR DE 3º ESO A Y C camoral_57@hotmail.com • PROFESOR DE 3º ESO B matematicas1santiagosantana@gmail.com • PROFESORA DE 3º ESO ACADÉMICAS D Y E angeles.matematicas1@gmail.com • PROFESORA DE 3º ESO APLICADAS D Y E pinog.matematicas@gmail.com

Números enteros (ℤ)

Suma de números enteros (+4) + (+8) = (+12) (–6) + (–5) = (–11)

• La suma de nos enteros del mismo signo se obtiene sumando los valores absolutos de dichos números y poniendo el signo común.

(+5) + (–7) = (–2) (+10) + (–7) = (+3)

• La suma de nos enteros de distinto signo se obtiene restando los valores absolutos de dichos números y poniendo el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Resta de números enteros (–3) – (+5) = (–3) + op (+5) = (–3) + (–5) = (–8) 7 – (–4) = 7 + op (–4) = 7 + 4 = 11

La resta de dos números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Multiplicación de números enteros (+3) ·(+5) = (+15) (+3) · (–5) = (–15) (–3) · (+5) = (–15) (–3) · (–5) = (+15)

En la multiplicación de dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y, después, se aplica la regla de los signos.

+ • + = + + • – = –

– • – = + – • + = –

División de números enteros (+14) : (+2) = (+7) (+14) : (–2) = (–7) (–14) : (+2) = (–7) (–14) : (–2) = (+7)

En la división de números enteros, se dividen sus valores absolutos y, después, se aplica la regla de los signos.

+ : + = + + : – = – – : – = + – : + = –

Jerarquía de las operaciones con números enteros En la realización de varias operaciones combinadas, se sigue este orden:

1. Se resuelven los paréntesis y corchetes 2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones 3. Se efectúan las sumas y restas

(siempre de izquierda a derecha)

−5 − 3 · −2 + −8 : 2 (–8) · (–2) + (–8) : 2

16 (–4) = 12

1. Calcula:

a) (–2) + 3 – 5 + (–3) – (–2) =

b) 12 + 7 – (–5) – 10 + (–5) – (–3) =

c) 3 + (–6) + (–7) – 7 – (–10) =

2. Calcula:

a) (–2) · 7 · (–1) · (–5) =

b) (–4) · (–1) · 5 · 3 =

c) (–24) · 2 : (–12) =

2

3. Teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones, calcula:

a) 2 · (–7) –(–6) · 2 + (–9) · 3 –(–3) =

b) (–6) · (–4) + 5 · 2 – 12 : (–3) – 8 : (–4) =

c) 10 + (–5) + 7 – (–24) : (–6) – 8 : 2 + (–9) : 3 =

d) −10 + (−4) : 5 · −3 + 8 + 27 =

Potencias

Potencias de números enteros

an baseexponente

La potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que la base se repite tantas veces como indique el exponente.

Potencias de exponente par Potencias de exponente impar

Tanto si la base es positiva como si es negativa el resultado es otro número positivo

Si la base es positiva el resultado es otro númeropositivo y si la base es negativa el resultado es otro número negativo

Propiedades de las potencias

• Multiplicación de potencias de la misma base: (–2)5 · (–2)2 = (–2)5+2 = (–2)7 • División de potencias de la misma base: 35 : 32 = 35 – 2 = 33 • Potencia de una potencia: −5 2 3 = −5 2·3 = −5 45 • Potencia de un producto: −2 · 7 6 = −2 6 · 76 • Potencia de un cociente: −8 ∶ −4 8 = −8 8 ∶ −4 8 • Potencia de exponente 1: −9 4 = −9 134 = 13 • Potencia de exponente 0:65 = 1 −8 5 = 1: • Potencia de exponente negativo: 5;8 = 4

2<

Raíces cuadradas Índice

𝑎> = ±𝑏 Radical radicandoraíz

36 = ±6, ya que 62 = 36 y (–6)2 = 36 −36 no existe

Observa que los números enteros positivos tienen dos raícescuadradas, una positiva y otra negativa, y que los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada.

Operaciones con raíces de igual índice Multiplicación División Potencia

5 · 2 = 5 · 2 = 10 1004

= 1004

= 25 368= 36 3

Jerarquía de las operaciones con potencias y raíces 1. Se resuelven los paréntesis y corchetes 2. Se realizan las potencias y raíces 3. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones 4. Se resuelven las sumas y restas

(siempre de izquierda a derecha)

64 ∶ −4 + −1 3 · −5 + 2 8 64 ∶ −4 + 1 · (−3) 8

8 : (–4) + 1 · (–2) –2 + (–27) = –29

4. Calcula:

a) 43

8· 4

3

8=

b) 3A

2∶ 3

A

6=

c) −2 3 6 =

d) 62

3 3· 6

2

8=

e) −2 8 · −2 6 3: −2 3 2 =

3

5. Calcula:

a) 4 · (–5 –2)3 – 14 : (–2) + (–8)2 =

b) c) −3 8 − 3 · 16 + −2 =

c) [(–5) – 3 · 2 – (–10)]4 + 5 · 22 =

Números racionales ( ) (Fracciones)

Sumas y restas

• Para realizar las mismas, los denominadores tienen que ser iguales. • Si los denominadores son diferentes, para resolverlas hay que reducirlas a

un común denominador. (m.c.m. de los denominadores)

Multiplicación • Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. (Nunca se halla el m.c.m.)

División • Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. (Multiplicamos en cruz)

6. Calcula y simplifica siempre que se pueda.

𝑎)28+ 4

B· 3

2+ 4

C

b) BD+ 10 +2

8− D

46· 83∶ A8

c) 𝟒𝟓· 𝟏𝟎𝟑+ 𝟓

𝟏𝟖− 𝟒

𝟏𝟓∶ 𝟏𝟑

Expresiones algebraicas

Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal. EJEMPLOS Monomio 3x – 5ab –7x3 x

53

Coeficiente 3 – 5 – 7 53

Parte literal x ab x3 x

Grado de un monomio El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal. EJEMPLOS Monomio Grado Explicación

– 3x 1 El exponente de x es 1 (x1) 4a2y 3 La suma de los exponentes de a2y1 es 2 + 1 = 3

– 5x2y3 5 La suma de los exponentes de x2y3 es 2 + 3 = 5

7. Completa la siguiente tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado – 3x – 3 x 1

– 2a3b xyz

7ab2c3

4

Monomios semejantes Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. EJEMPLOS 5x y 2x son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (x) 3xy2y – xy2 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (xy2) x2y3y xy2 no son monomios semejantes

Suma y resta de monomios La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. EJEMPLOS 2x + x = (2 + 1) x = 3x 2x + y → La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes

Producto de monomios El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y

cuya parte literal es el producto de las partes literales. EJEMPLOS 3x · 2x = (3 · 2) ·x ·x = 6 x2 4x · (–2x2) = [4 · (–2)]· x · x2 = –8x3

División de monomios El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya

parte literal es el cociente de las partes literales. EJEMPLOS

31·3·26

262:6 ===

xx

xxxx ( ) 2

33 2·

5105:10 x

xxxx −=

−−

8. Reduce las siguientes expresiones operando lo que sea posible:

a) 4x2 – 3x2 + 7y + 3x2 =

b) – a + 2a – 8b + a + 9b =

c) 5a2 · 5ax3 =

d) (7x5: 2x) + x =

Polinomios • La suma (o resta) indicada de dos monomios recibe el nombre de binomio. • La suma (o resta) indicada de tres monomios recibe el nombre de trinomio. • En general, la suma (o resta) indicada de varios monomios recibe el nombre de polinomio. • El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los sumandos que lo forman. EJEMPLO: 5x2 – 6x – 4 es un trinomio de 2º grado.

Suma y Resta de polinomios • Para sumar dos o más polinomiosse colocan uno debajo de otro, haciendo coincidir, en la

misma columna, los monomios semejantes. Sumar los polinomios A = x3 + 5x2 – 7 y B = x2 – 3x – 2

A → x3 + 5x2 – 7 B → x2 – 3x – 2

A +B → x3 + 6x2 – 3x – 9 • El opuesto de un polinomio es otro polinomio, que sumado con él, lo anula. El opuesto de P = 4x2 – 5x – 2 es – P = – 4x2 + 5x + 2, ya que, sumándolos, se obtiene el polinomio nulo.

• Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. Es decir, se le

cambia el signo al segundo y se suman. Vamos a restar los polinomios A y B de arriba:

A → x3 + 5x2 – 7 –B → – x2 + 3x + 2 A – B → x3 + 4x2 + 3x – 5

5

Producto de polinomios • Producto de un polinomio por un número.

x3 – 5x2 – 2x + 1 * 3 3x3 – 15x 2– 6x + 3

→ (x3- 5x – 2x + 1) · 3 = 3x3 – 15x2 – 6x + 3

• Producto de un polinomio por un monomio.

x3 – 5x2 – 2x + 1 * – 4x – 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (– 4x) = – 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

• Producto de dos polinomios.

x3 – 5x2 – 2x + 1 * x2 – 4x + 3

3x3 – 15x2 – 6x + 3 – 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

x5 – 5x4 – 2x3 + x2 . x5 – 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3

→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (x2 – 4x + 3 ) = = x5– 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3

Productos notables • Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 EJEMPLOS:

(x + 3) 2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 (4 + 5x)2 = 42 + 2 · 4 · 5x + (5x)2 = 16 + 40x + 25x2

• Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

EJEMPLOS: (x – 5)2 = x2 – 2 · x · 5 + 52 = x2 – 10x + 25 (1 – 3x)2 = 12 – 2 · 1 · 3x + (3x)2 = 1 – 6x + 9x2

• Suma por diferencia Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

(a + b) · (a – b) = a2 – b2 EJEMPLOS: (x + 2) · (x – 2) = x2 – 22 = x2 - 4 (2x + 5) · (2x – 5) = (2x)2 – 52 = 4x2 – 25

9. Dados los polinomios M(x) = 6x3 – 7x2 + 5x – 9, N(x) = 2x3 – 4x – 6 y P(x) = 5 – 5x + 3x2 – 2x3, calcula:

a) M(x) – N(x) b) M(x) + N(x) – P(x)

10. Calcula:

a) (x + 1) · (2x2+3)

b) (2x2 + 3x – 5) ·4x

c) (x – 1)2

d) (2x+ 1) · (2x – 1)

e) (3x + 5)2

Ecuaciones de 1er grado

Resolución de ecuaciones de 1er grado Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra (incógnita). Es hallar su solución.

• Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los miembros.

• Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos. • Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la

ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución).

6

PRIMER CASO x + 7 = 9 → x + 7 – 7 = 9 – 7 Lo que está sumando pasa al otro x = 9 – 7 miembro restando. SEGUNDO CASO x – 5 = 8 → x – 5 + 5 = 8 + 5 Lo que está restando pasa al otra x = 8 + 5 miembro restando. TERCER CASO

39

3·39·3 =→=xx Lo que está multiplicando pasa al otro

39

=x miembro dividiendo.

CUARTO CASO →= 6

4x 4·64·

4=

x Lo que está dividiendo pasa al otro

x = 6 · 4 miembro multiplicando.

Método general de resolución de ecuaciones Resuelve la ecuación 2(x – 4) – (6 + x) = 3x – 4 Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar paréntesis. 2x – 8 – 6 – x = 3x – 4 2.º Reducir términos semejantes. x – 14 = 3x – 4 3.º Transponer términos. Restamos x en ambos miembros (segundo caso) x – x – 14 = 3x – x - 4 – 14 = 2x – 4 Sumamos 4 en ambos miembros (primer caso) – 14 + 4 = 2x – 4 + 4 – 10 = 2x 4.º Despejar la incógnita. Dividimos ambos miembros entre 2 (tercer caso) xx

=−→=− 5

22

210

11. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2 – 3x =–1

b) 101

5−

=x

c) 5x + 2 = 3x – 2

d) 3x + 8 – 5(x + 1) = 2(x + 6) – 7x

Resolución de ecuaciones con denominadores Resuelve la ecuación

473

23

312 −

+−

=− xxx

Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar los denominadores. m.c.m. (3,2,4) = 3 · 22 = 12

4·3)73·(3

2·6)3·(6

3·4)12·(4 −

+−

=− xxx

4(2x – 1) = 6(x – 3) + 3(3x – 7) 2.º Eliminar paréntesis. 8x – 4 = 6x – 18 + 9x – 21 3.º Reducir términos semejantes. 8x – 4 = 15 x – 39 4º Transponer términos. Restamos 8x en ambos miembros 8x – 4 – 8x = 15x – 39 – 8x – 4 = 7x – 39 Sumamos 39 en ambos miembros – 4 + 39 = 7x – 39 + 39 35 = 7x 5.º Despejamos la incógnita.

7

Dividimos ambos miembros entre 7. xx=→= 5

77

735

12. Resuelve estas ecuaciones.

a) 52

5212

41 −

=−

−− xxx

b)15132

54

34 −

+=−

−+ xxx

c) 410

)3(74)5(3

=+−

++ xx

Ecuaciones de 2º grado

Ecuación de 2º grado Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax2 + bx + c = 0, donde:

• a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a ≠ 0. • ax2 → término cuadráticobx → término lineal c → término independiente • x es la incógnita.

Fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula:

aacbbxcbxax

240

22 −±−

=→=++ aacbbx

242

1−+−

=

aacbbx

242

2−−−

=

EJEMPLO: Resuelve la ecuación de segundo grado x2 + 5x + 6 = 0. a = 1,, b = 5,, c = 6

215

224255

1·26·1·455 2 ±−

=−±−

=−±−

=x

224

215

1 −=−

=+−

=x 326

215

2 −=−

=−−

=x

Sustituyendo los valores – 2 y – 3 en la ecuación x2 + 5x + 6 = 0, se comprueba que la cumple. (– 2)2 + 5 · (– 2) + 6 = 0 → 4 – 10 + 6 = 0 → 10 – 10 = 0 → 0 = 0 (–3)2 + 5 · (– 3) + 6 = 0 → 9 – 15 + 6 = 0 → 15 – 15 = 0 → 0 = 0

13. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado

a) x2 + 4x + 3 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0 c) 7x2 + 21x = 28

d) (2x –4) · (x – 1) = 2

e) 3x · (x – 2) + 4 = x · (2x – 1) f) (2x – 3)2 – 1 = 0

Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0

Las ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0, donde b = 0. Para resolverlas se puede seguir este proceso:

acx

acxcaxcax −

±=→−

=→−=→=+ 222 0

8

* Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas:acx −

+=1y

acx −

−=2

* Si el radicando es negativo, no hay solución.

EJEMPLOS: 4,,41616

2323220322 21

2222 −==→±=→=→=→=→=− xxxxxxx

solucióntieneNoxxxxx −−→−±=→−=→−

=→−=→=+ 25253757530753 2222

Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0, dondec = 0.

Para resolverlas se puede seguir este proceso.

ax2 + bx = 0 Factor común x· (ax + b) = 0 → x1 = 0

abxbax −

=→=+ 20

Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas.

EJEMPLOS:

x2 – 12x = 0 → x · (x – 12) = 0 → x1 = 0 x – 12 = 0 → x2 = 12

2x2 + 5x = 0 → x · (2x + 5) = 0 → x1 = 0

2552052 2 −=→−=→=+ xxx

14. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas.

a) 7x2 – 28 = 0

b) 5x2 = 45

c) 5x2 + 5x = 0

d) 2x2 – 8x = 0

e) x · (5x – 4) = 3x · (x – 1)

Sistemas de ecuaciones lineales

Método de sustitución

Resuelve el sistema: ⎭⎬⎫

=−

=+

232

yxyx

1º Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. (en este caso x en la primera ecuación): x + y = 2 → x = 2 – y

2º Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación: 3x – y = 2 → 3(2 – y) – y = 2

3º Se resuelve la ecuación resultante. 3(2 – y) – y = 2 6 – 3y – y = 2

6 – 4y = 2 6 – 2 = 4y

14444 =→=→= yyy

4º Se calcula la otra incógnita en la ecuación despejada. x = 2 – y → x = 2 – 1 → x = 1

15. Resuelve por el método de sustitución:

a) ⎩⎨⎧

=−

=+

35

yxyx b)

⎩⎨⎧

+=

=+

121

xyyx

Método de igualación

9

Resuelve el sistema: ⎭⎬⎫

−=+

=−

932623

yxyx

1º Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (por ejemplo, x):

362623623 +

=→+=→=−yxyxyx

293932932 −−

=→−−=→−=+yxyxyx

2º Se igualan las expresiones obtenidas:

293

362 −−=

+ yy

3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:

→−−=+→−−=+→−−

=+ 279124)93(3)62(2

293

362 yyyyyy

313393913122794 −=→

−=→−=→−−=+→ yyyyy

4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones despejadas en el paso 1º:

030

366

36)3(2

362

=→=+−

=+−

=+

= xyx

16. Resuelve por el método de igualación:

a) ⎩⎨⎧

=+

=−

25482

yxyx b)

⎩⎨⎧

=−

=+

102

yxyx

Método de reducción

Resuelve el sistema: ⎭⎬⎫

=−

=+

112352

yxyx

1º Se igualan los coeficientes de una incógnita, excepto el signo, para lo cual se elige un múltiplo común de ambos coeficientes. Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación.

⎭⎬⎫

=−

=+→

⎭⎬⎫

=−

=+

11231024

112352

yxyx

yxys

2º Se suman o se restan las dos ecuaciones del sistema resultante. Hemos reducido el sistema a una ecuación sencilla.

⎭⎬⎫

=−

=+

11231024

yxyx

7x = 21 3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:

3721217 =→=→= xxx

4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema: 2x + y = 5 → 2 · 3 + y = 5 → 6 + y = 5 →

→ y = 5 – 6 → y = –1

17. Resuelve por el método de reducción:

a) ⎩⎨⎧

=+

=−

834105

yxyx b)

⎩⎨⎧

=+

=−

25482

yxyx

18. Resuelve los siguientes sistemas por el método más adecuado

a) ⎩⎨⎧

=−

+=−

0)1(3)(2

yxyyx b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=−

−=−−

2)5(413251)3(2

yx

yx

Proporcionalidad numérica

Razón entre dos números o cantidades Una razón es el cociente indicado entre dos números, a y b, que se pueden comparar: K

L

En una razón, los números pueden ser cualquiera: 3,22, 68,2, 4532

; mientras que en una fracción los números son

10

enteros: 32; 68; 4532

Proporción

Si igualamos dos razones, obtenemos una proporción 𝒂𝒃= 𝒄

𝒅es una proporción

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN

a, d se llaman extremos b, c se llaman medios

Magnitudes directamente proporcionales

• Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: i. Al aumentar una cantidad el doble, el triple,…, la otra aumenta el doble, el triple…

ii. Al disminuir una cantidad la mitad, la tercera parte,…, la otra también disminuye la mitad, la tercera parte,…

• La razón entre dos cantidades es siempre la misma y se llama constante de proporcionalidad.

19. El precio de 12 fotocopias es 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?

20. En un examen, Enrique ha contestado correctamente 6 de 10 preguntas y, en otro, de 25 preguntas ha respondido bien a 14. ¿Obtendrá en ambos exámenes la misma calificación?

Problemas de porcentajes 21. En una clase de 2º ESO el 60% de los alumnos son chicas. Si en total hay 30 alumnos, calcula el número de

chicas, de chicos y el porcentaje de estos últimos.

22. En un instituto de 1200 alumnos se han publicado los resultados de una encuesta sobre música moderna: el 30 % de los alumnos prefiere música tecno, el 25 % pop, el 40 % rock, y el resto, música melódica. Calcula los alumnos que prefieren cada modalidad musical y el porcentaje de los que eligen la música melódica.

Magnitudes inversamente proporcionales

• Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: i. Al aumentar una el doble, el triple,…, la otra disminuye la mitad, la tercera parte,…

ii. Al disminuir una la mitad, la tercera parte,…, la otra aumenta el doble, el triple… • Al multiplicar (o dividir) uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de

la otra magnitud queda dividido (o multiplicado) por el mismo número.

23. Un depósito de agua se llena en 18 horas si un grifo vierte 360 litros de agua cada minuto. a) ¿Cuánto tardaría en llenarse si vertiera 270 litros por minuto? b) ¿Y si salieran 630 litros por minuto?

24. Si 20 obreros levantan un muro de ladrillos en 6 días, ¿cuánto tardarían 6 obreros?

Figuras planas. Áreas

Teorema de Pitágoras Áreas

a2 = b2 + c2 a→ hipotenusa b y c → catetos

25. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras: