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DEPARTAMENT DE TERMODINÀMICA

Problemas de Física Diplomatura en Óptica y Optometría

(Curso 2004/2005)

Introducción: unidades Fundamentos matemáticos. Vectores y Campos. Propiedades de los sólidos. Fluidos ideales. Fluidos reales. Fenómenos de superficie Ondas Mecánicas. Acústica. Campo eléctrico. Corriente continua. Campo magnético. Inducción magnética.

Manuel Dolz Departamento de Termodinámica. Facultad de Farmacia, 2do piso, Despacho: 2-51

http://www.uv.es/~mdolz/docencia J.A. Martinez-Lozano y Pilar Utrillas

Departamento de Termodinámica. Facultat de Física. Bloque C (3er piso) Despachos: 3307/3310

http://www.uv.es/~utrillas/docencia http://www.uv.es/~jmartine/docencia

Física. Diplomatura óptica y optometría 3

Introducción: unidades

0.1.- Expresad 1 km en cm, micrómetros (µm), nanómetros y en las unidades del SI.

0.2.- Sabiendo que 1 atm es la presión ejercida por una columna de mercurio (ρ=13,6 g/cm3) de 76 cm de altura, hallad su valor en el S.I.

0.3.- Escribe en el S.I. : a) 10cc ; b) 3atm.; c) 7.2 km/h, d) 30ºC; e) 300g.

0.4.- Calculad las dimensiones de la constante universal de la gravitación, G, y sus unidades en el

sistema internacional (S.I.) sabiendo que: 1 22

Gm mF=

r

0.5.- Demostrad que la fórmula del periodo del péndulo simple T=2π Lg

, donde L es la longitud del

péndulo y g la aceleración de la gravedad, es dimensionalmente correcta.

0.6.- Suponiendo que la velocidad de propagación del sonido, c, en un gas depende de la presión, p,y de la densidad, ρ, encontrad una expresión para c utilizando el análisis dimensional..

0.7.- Calcular la altura de una tubería de 10m de larga, inclinada 30º sobre la horizontal.


Fundamentos Matemáticos.Vectores y Campos Resumen Teoría • Vector: v = vx i + vy j + vz k

• Suma vectores: A + B = C | C | = A+ B + 2AB cos (A, B) • Resta vectores: A - B = D | D | = A+ B - 2AB cos (A, B)

• Producto escalar: µ v = (µ v) vu vu = vv

A . B = AB cos (A, B) cos (A, B) = A.BAB

A . B = AxBx + AyBy + AzBz • Producto vectorial: A x B = C | C | = AB sen (A, B)

i j k

C = Ax Ay Az Bx By Bz

• Circulación de v : C = b

avdr∫ =⌡⌠

a

b (vxdx + vydy + vzdz)

• Flujo de un vector v : φ = b

avds∫

• Operador : = ix∂∂

+ jy∂∂

+ kz

∂∂

• Gradiente (de un escalar): u = u ix

∂∂

+u jy

∂∂

+u kz

∂∂

(es un vector)

• Divergencia (de un vector): v = ∂vx∂x +

∂vy∂y +

∂vz∂x (es un escalar)

• Rotacional (de un vector): (es un vector) i j k

x v = ∂∂x

∂∂y

∂∂z

vx vy vz

• Campo Conservativo: C = a

vdr∫ = b

a( xv)dr∇∫ = 0


Problemas: Vectores y Campos

1.1.- De un cierto vector a se conoce su módulo, a = 6, y dos de sus cosenos directores, que son: cosα = 1/2 y cosβ = 1/3. Calcular las componentes de un vector b , que cumpla la condición: a x b = i - (3/2) j .

Solución: b (0,0,1/2).

1.2.- Comprobar si el triple producto escalar ( a · b · c ) posee la propiedad asociativa. Para ello

tomar tres vectores cuyos módulos son 2, 5 y 8, respectivamente, y que forman entre sí ángulos de 60°.

Solución: No posee la propiedad conmutativa.

1.3.- Dados los vectores a (2,2,0) y b (3,-1.2), calcular: a) a · b ; b) a x b ; c) ( a x b ) · a ; ( a x b ) · b Solución: a) 4; b) 4 i - 4 j - 8 k ; c) 0; 0.

1.4.- Hallar la derivada del vector v = x i + y j , sabiendo que x = acosωt; y = asenωt. Comprobar

que resulta un vector perpendicular a v , y hallar la relación entre sus módulos. Solución: v '= -ωy i + ωx j ; v' = ωv.

1.5.- Dados los vectores a = x i + z j + y k ; b = -z i + j - x k , hallar el gradiente de su producto

escalar en el origen de coordenadas. Solución: k

1.6.- Calcular la circulación del vector a = xy i - z2 j + xyz k , desde el punto A (0,0,0) hasta el

punto B (1,1,1) a lo largo de la curva: s = t i + t2 j + t3 k .

Solución: 1/3.

1.7.- Dado el campo de vectores de posición r xi i j zk= + + , calcular:

a) El gradiente del módulo. b) La divergencia. d) El rotacional. c) La circulación a lo largo de una línea cerrada. Solución: a) r /r; b) 3; c) 0; d) 0.

1.8.- Una partícula se encuentra sometida a la fuerza F = (3x2+6x) i - 14yz j + 20xz2 k . Calcular el

trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partícula se traslada desde el punto O (0,0,0) hasta el punto A (1,1,1) por los siguientes caminos:

a) A lo largo de la curva x = t; y = t2; z = t3.


b) A lo largo de la recta x = y = z. c) A lo largo del eje OX hasta (1,0,0); desde (1,0,0) paralelamente al eje OY hasta el punto

(1,1,0); desde (1,1,0) paralelamente al eje OZ hasta A (1,1,1). ¿Es F un campo de fuerzas conservativo? Solución: a) 6 u.d.t.; b) 13/3 u.d.t.; c) 32/3 u.d.t.

1.9.- Dado el campo vectorial r xi i j zk= + + calcular:

a) El flujo a través de la superficie rayada.

b) El flujo a través de toda la superficie del paralelogramo.

Solución: a) ΦABCD = abc; b) ΦT = 3abc

1.10.- Dado el campo de fuerzas F = 3x2 i + y j + 2z k

a) Determinar, si es posible, su gradiente, divergencia y rotacional. b) Considerar la superficie sombreada de

la figura. Determinar el flujo del campo de fuerzas a través de ella, y la circulación de dicho campo a lo largo de la línea que la delimita. (Febrero 1997)

Solución: a) No se puede; 6x+3; 0; b) 0;0.

z

A O

B C


Propiedades de los sólidos Resumen Teoría

• Ley de Hooke: Deformación = constante . esfuerzo

• Tracción: ∆LL =

1E

Fs E: Módulo de Young, s: superficie

∆rr = -

σE

Fs σ: Coeficiente de Poison

∆VV = -

pQ Q =

E3 (1 -2σ) Q: Coeficiente de Compresibilidad

• Flexión: s1 = 4E

l3

bd3 F s2 = 1

4E l3

bd3 F b,d : dimensiones, s: flecha

• Ángulo de cizalla: α = 1µ

Fs µ =

E2 (1+ σ) µ : módulo de rigidez

• Ángulo de Torsión: β = 1R M R =

π r42L µ R : cte de torsión , M: momento.

• Energía elástica(Tracción): W = 12 k (∆L)2

• Energía elástica(Cizalla): W = 12 k α2 =

12 µ s L α2

• Oscilaciones (Tracción): d2xdt2

+ ω2x = 0; x(t) = A cos( wt + f); ω = km ; k =

EsL ; T=2π

mLEs

• Oscilaciones (Torsión): d2βdt2

+ ω2β = 0 ω = RI k =

2L Iπr4 µ

Problemas: Propiedades de los sólidos

2.1.- Con qué fuerza tendremos que tirar de los extremos de un hilo de aluminio de 3.75 m de largo y 0.32 mm de espesor para que pueda pasar exactamente por un agujero de diámetro 0.30 mm.

Datos: Módulo de Young: 7.0 1010 N/m2. Coeficiente de Poison: 0.13. Solución: 2.7 103 N.

2.2.- Un bloque de mármol de 12 Tm se apoya sobre un tubo de acero vertical de 25 cm de largo, 12 cm de radio exterior y 4 cm de radio interior.

a) Calcular el acortamiento producido en el soporte. Datos: Módulo de Young: 2.1 104 kp/mm2.Solución: a) 3.55 10-6 m.


2.3.- Del techo de una habitación se cuelga un alambre de acero de 0.8 mm de diámetro en cuyo extremo inferior va soldado otro alambre de aluminio de 1.2 mm de diámetro, lastrado por su otro extremo con un peso de 15 kp. La longitud total de los dos alambres es de 4 m. Sabiendo que el peso provoca alargamientos iguales en los dos alambres, se piden las longitudes originales de estos, así como la energía elástica almacenada en cada uno.

Datos: Módulos de Young: acero, 2.1 104 kp/mm2; aluminio, 0.7 104 kp/mm2. Solución: l1=2.3 m; l2 = 1.7 m; ∆l = 3.3 10-3 m; E = 0.243 J.

2.4.- Un péndulo de torsión está formado por un alambre de 40 cm de longitud y 1 mm de diámetro, que lleva en su extremo inferior un disco metálico homogéneo de 500 g de masa y 8 cm de radio. Se aplica al disco un par de fuerzas de momento 3 Nm que le hace girar un ángulo de 10°. Calcular el módulo de rigidez del alambre.

Solución: µ=7 1013 N/m2.

2.5.- En un tubo rígido de 1.2 m de longitud y 3.6 cm2 de sección, se introduce agua. Si se aplica una fuerza de 47 kp mediante un émbolo que actúa por un extremo del líquido ¿Qué cambio de altura experimentará la columna líquida? ¿Cuál será la variación relativa de la densidad del agua, expresada en %?.

Datos: Módulo de compresibilidad del agua: 2.2 104 kp/cm2. Solución: ∆h=-0.71 mm; (ρ'-ρ)/ρ = 0.059%.

2.6.- Un bloque ortoédrico de cierto material sufre una variación relativa de volumen de 5.266 10-4 cuando es sometido a una presión de 135.8 atm. Se desea saber:

a) El coeficiente de Poisson de dicho material b) El valor de la fuerza tangencial que debe actuar sobre una de sus caras de dimensiones

2.8x3.5 m para que le produzca un ángulo de cizalla de 0.22°. Datos: Módulos de Young: 1600 kp/mm2. Solución: a) σ=0.40; b) F=2.11 108 N.


Fluidos ideales y reales. Fenómenos de superficie

Resumen Teoría

• Ecuación hidróstatica: p = p0 - ρgh • P. Arquímedes: E = V ρ g E: empuje • Ecuación de continuidad: s v = s' v' = cte

• Teorema Bernoulli: p + ρgh + 12 ρ v2 = cte

• Teorema Torricelli: v = 2gh

• Viscosidad: F = η s ∆v ∆h v: velocidad

• Número de Reynolds: R = v ρd η

• Fórmula de Stokes: F =6π r η v

• Tensión superficial: σ = dW ds =

∆W ∆s W: Trabajo

• Ecuación de Laplace: pL - p0 = σ

1

r1 +

1 r2

Gota esférica: pL - p0 = 2σ r

Burbuja esférica: pL - p0 = 4σ r

• Ley de Tate: mg = k σ

• Ley de Jurín: h = 2σ cosθ

ρgR

Problemas: Fluidos ideales y reales. Fenómenos de superficie

3.1.- Un barco que en el mar desplaza 4000 toneladas, tiene una sección por la línea de flotación de 1000 m2. Al navegar por un río se hunde 12 cm más que en el mar. Determinar la densidad del agua del mar.

Solución:1031 kg/m3.

3.2.- En un recipiente se tiene aceite flotando sobre agua. Un corcho, de sección transversal cilíndrica de radio r y longitud l, está situado verticalmente entre las dos capas, de modo que su parte superior está en el aceite y su base en el agua. Determinar la porción de corcho que está bajo el agua, en función de las densidades del corcho (ρ), del aceite (ρa) y del agua (ρo).

Solución: lo/l = (ρ-ρa)/(ρo-ρa).


3.3.- Desde un punto situado a una altura de 10 m sobre la superficie de un estanque lleno de agua y de profundidad 5 m se deja caer una esferita de 0.2 cm de radio.

a) Si la esferita es de hierro de densidad 7.5 (relativa al agua), calcular : (i) lo que tarda en llegar al fondo del estanque. (ii) La energía cinética con que llega al fondo. b) Si la esferita es de madera de densidad 0.3. calcular : (i) la profundidad hasta la que llega a hundirse en el estanque. (ii) La velocidad con que emerge a la superficie. Se prescinde en todo el problema de las fuerzas de rozamiento. Solución: ai) 0.32 s; aii) 3.5 10-2 J; bi) 4.29 m; bii) 14 m/s.

3.4.- En el fondo de un recipiente cilíndrico de 30 cm de diámetro se realiza un orificio circular de 5 cm de diámetro. Si dicho depósito se llena de agua, determinar la velocidad con que fluirá ésta por el orificio en el instante en que la altura del líquido en el depósito es de 60 cm. ¿Qué error, en %, se introduce en el resultado si se desprecia la velocidad propia de la superficie libre del líquido en el depósito?.

Solución: a) 3.43 m/s; b) 0.00241 %.

3.5.- Una fuente lanza un chorro de agua de 10 m de altura. La boca del chorro, que está a nivel del suelo, tiene un diámetro de 1.25cm. La bomba que impulsa el agua está 3 m por debajo de la boca, en la vertical de la misma. La tubería que conduce el agua desde la bomba hasta la boca de la fuente tiene un diámetro de 1.5 cm. Determinar la presión que ejerce la bomba.

Solución: 1.79 atm.

3.6.- Se tiene un depósito de agua, de 2 m2 de sección, abierto por su parte superior. A 46 cm por debajo de la superficie libre del líquido se practica un orificio de 2 cm2.

a) Determinar la velocidad de salida del agua por dicho orificio. b) Es posible aumentar dicha velocidad ejerciendo una sobrepresión en la superficie superior

del agua. Suponiendo que se optase por este método, colocando una plancha de plomo que cubriese toda la superficie, determinar el espesor que debería tener dicha plancha para duplicar la velocidad de salida obtenida en el apartado a).

Datos: Densidad del plomo: 11300kg/m3. Solución: a) v2 = 3 m/s; b) 0.597 m.(Febrero 1996)

3.7.- En la conducción de la figura circula agua cuya viscosidad podemos considerar despreciable. a) Determinar la presión en A, PA.

Cerrando la llave T, el agua queda en reposo. Suponiendo que la presión en B no ha variado: b) Calcular la nueva presión en A, PA' .


A B C

S v

Sv v

A

CC

A B

SB

h

Datos de la conducción: Secciones: SA = 1.5 m2; SB = SC = 0.5 m2 Desnivel: h = 10 m. Características del fluido en B: vB = 6 m/s; PB = 5 atm.

Solución: a) 4.18 atm. ; b) 4.03 atm.(Julio 1996) 3.8.- Mediante un sifón se saca agua de un

depósito cilíndrico de 1000m de diámetro, lleno de agua salada de densidad 1050kg/m3.El tubo que forma el sifón tiene una sección de 6 cm2 y su punto más alto se encuentra a 60 cm de la superficie libre del agua, mientras que la salida del desagüe se halla 36 cm por debajo.

Calcular la velocidad en 1, 2, y 3 y la presión en el punto 2.(Febrero98).

1

36 cm

60 cm

3

2

3.9.- El esquema adjunto representa la salida de agua desde un depósito de gran sección, cuyo nivel permanece cte., que al final desemboca a la presión atmosférica. Esta salida está formada por dos tubos, uno de 2 m de longitud y 100 cm2 de sección, y otro, acoplado a éste, que tiene 50 cm de longitud y 25 cm2 de sección. Los puntos medios de ambos tubos están conectados con un manómetro que indica la diferencia de presión entre éstos. Calcular:

a) Velocidad del agua en cada tubo. b) Lectura del manómetro.

M

α = 20°

L = 2 m

L = 0.5 cm

h= 3 m 1

2

Solución: a) v1 = 8.69 m/s; v2 = 2.17 m/s; b) 0.31 atm.(Febrero 1997)


3.10.- Calcular la máxima diferencia de presión que puede haber entre los extremos de una conducción cilíndrica de 20 cm de longitud y de 3 cm de diámetro, para que por su interior circule un líquido de viscosidad 2,1 mPa s y cuya densidad es de 0,9, sin que su régimen llege a turbulento, en el caso de que dicha conducción sea vertical y que el líquido ascienda.

Solución: ∆P= 1766,8 N/m2

3.11.- Un líquido viscoso de densidad 0.90 circula por una conducción cilíndrica horizontal de 180 cm2 de sección. Si el NR es 900 y la disminución de presión por unidad de longitud (pérdida de carga) es de 420 Pa/m, calcular:

a) Velocidad media del fluído b) Viscosidad del líquido c) Gasto cúbico Solución: : a) 1.4 m//s, b) 0.214 Pa s, c) 0.0.252 m3/s

3.12.- Se quiere conocer el radio de las partículas más pequeñas de una sal insoluble. Si se echa en agua y dos horas después de agitar el producto, el agua estaba turbia a partir de 2 cm por debajo de la superficie libre, ¿ cual es el radio de dichas partículas mas pequeñas?.

(Viscosidad del agua 1,2 mPa s. Densidad de la sal 2,5 g/cm3) Solución: : 10-4 cm.

3.13.- Los reogramas siguientes corresponden a diferentes tipos de fluidos que en general, responden a la ecuación: n

0 kτ = τ + γ . Indica el tipo de fluido al que corresponde cada gráfica así como la ley correspondiente.( Sep2001)

τ

γ

a) τ

γ

b) τ

γ

c) τ

γ

d)

η

γ

e) η

γ

f)

η

γ

g)

3.14.- Determinar el diámetro máximo que puede tener una aguja de acero para que, al depositarla sobre la superficie del agua, se mantenga a flote (sin que el agua la moje).

Datos: Tensión superficial del agua 0.073 N/m. Densidad del acero 7500 Kg/m3. Solución: 1.6 mm.


3.15.- Se tienen dos burbujas de agua jabonosa de 3 cm y 5 cm de radio respectivamente. Suponiendo que se juntan sin que ninguna de ellas desaparezca, determinar el radio de curvatura de la superficie esférica común.

Solución: 7.5 cm.

3.16.- Con un cuentagotas de 0.5 mm de radio se dejan caer gotas de un líquido de densidad 1.5 g/cm3 sobre un recipiente cilíndrico cuya base tiene 5 cm de radio, a razón de 40 gotas/minuto. En una hora, la altura alcanzada por el líquido en el recipiente es de 20 cm. Determinar la tensión superficial del líquido y el radio de una gota.

Solución:: Tensión superficial 6.13 N/m; r = 5.4 mm.

3.17.- Los radios de las ramas de un tubo de vidrio en forma de U son iguales a 1 mm y 3 mm respectivamente. ¿Que diferencia habrá entre las alturas alcanzadas en ambas ramas si se introduce agua, suponiendo que el ángulo de contacto es de 0° y la tensión superficial de 0.073 N/m.

Solución::0,99 cm

3.18.- Al situar un líquido, de densidad 1.1 (relativa al agua) y tensión superficial desconocida, en un tubo de vidrio en forma de U, de ramas de diámetros 1 mm y 2 mm, se observa que la diferencia de las alturas alcanzadas en ambas ramas es de 4.17 cm (ver figura). Si el ángulo de contacto es 0o, determinar: a) La altura que alcanzaría el líquido en un tubo capilar de 0.2 mm de radio. b) Se utiliza un cuentagotas que forma gotas de agua de 0.3 g de masa ¿Cuántas gotas del líquido anterior serán necesarias para obtener 3 cm3 de dicho líquido? Datos: Tensión superficial del agua 0.073N/m Solución: a) 0.21 m; b) 3.57 gotas ( Febrero 1997)

1 mm 2 mm

4.17cm

3.19.- Se vierte un líquido en un depósito en el que hay dos tubos capilares de 25 y 100 µm de diámetro respectivamente. Una vez alcanzado el equilibrio, el líquido se encuentra 8 cm por debajo en el primero, respecto al segundo. Determinar el ángulo de contacto sólido-líquido. Datos: Tensión superficial 0.4 N/m. Densidad 2.5 g/cm3. Solución: 92.34°.


Ondas Mecánicas. Resumen Teoría

• Movimiento armónico simple (MAS): Ψ(x,t) = A cos [2π (xλ ±

tT ) + φ]

ω = 2πT k =

2πλ v =

λT Ψ(x,t) = A cos [kx ± ωt + φ)

• Ecuación de ondas: ∂2Ψ(x,t)

∂x2 = µF ∂2Ψ(x,t)

∂t2 µ: densidad lineal

v = ± Fµ 2 Ψ( r ,t) =

2

2 21 (x, t)v t

∂ ψ

∂

• Densidad de energía cinética: ρec = µ2

∂Ψ(x,t)

∂t 2

• Densidad de energía potencial: ρep = µ2

∂Ψ(x,t)

∂x 2

• Densidad de energía total: ρE = 2ρec = 2ρep

• Efecto Doppler: ν' =|v| - (vo -vm)|v| - (vF -vm) ν

Problemas: Ondas Mecánicas 4.1. La posición de una partícula que vibra, en función del tiempo, viene dada por la gráfica a), y

la de todas las partículas en función de la distancia en la gráfica b).¿Cual es la ecuación de la

onda y su velocidad de propagación?.

4.2.- La función de onda de una onda transversal en una cuerda tensa viene dada por la ecuación

y = 0.03 sen(2 t - 3x). donde x e y se expresan en cm y t en segundos. Determinar: a) Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda. b) El desplazamiento respecto de la posición de equilibrio en x = 0.2, para t = 0.2 s y t = 0.4

s.

y(cm)

5

1

3

5 x(cm)

-5

5

2

6

8

y(cm)

t(s)


c) Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración de oscilación de las partículas de la cuerda.

Solución: a) A= 0.03 cm ; T = π s ; v = (2/3) cm/s ; b) y (x=0.2; t=0.2) = -0.006 , y (x=0.2; t=0.4) = 0.006 ; c) vy = 0.06 cos (2t -3x) , ay = -0.12sen (2t -3x)

4.3.- Un foco puntual realiza un movimiento periódico representado por la ecuación

y (cm) = 4 cos 2π (t6 +

x240 ).

Determinar: a) La velocidad de la onda. b) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de

tiempo transcurrido es de 1 segundo. c) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 210 cm. d) Si el desplazamiento (y) de una determinada partícula en un instante determinado es de 3

cm, determinar cuál será su desplazamiento 2 segundos más tarde. Solución: a) 0.4 m/s; b) 60°; c) 315°; d) -3.79 cm.

4.4 Demostrar que las funciones:

y = y0 sen(kx-ωt)

y = A eik(x-vt) i=(-1)1/2

satisfacen la ecuación de ondas.

4.5.- A qué velocidad debería ir una nave espacial para ver verde el planeta Marte (planeta rojo) . Datos: λ del rojo 750 nm; λ del verde 600 nm.

Solución: 2.7 108 km/h

4.6.- Un coche se desplaza con un movimiento uniforme y rectilineo a una velocidad de 30 m/s. En sentido contrario va un camión a una velocidad de 21 m/s con una superficie reflectora en su parte posterior. Si el coche emite un sonido de 1000 Hz, calcular:

a) La frecuencia percibida por un observador fijo situado entre ambos. b) Frecuencia de las ondas que llegan a la superficie reflectora cuando ambos vehículos se

han cruzado. c) Frecuencia que percibirá el observador después de que las ondas se reflejen en el camión. Solución:: 1079 Hz; 862´2 Hz ; 812 Hz.

4.7.- Un foco emite un sonido de 310 hertz y se desplaza hacia un observador a una velocidad de 79 km/h. A su vez, el observador se mueve hacia el foco a una velocidad de 35 km/h y percibe el sonido con una frecuencia de 340 hertz. ¿ Cúal es la velocidad del sonido en el aire?. ¿ Qué frecuencia percibirá cuando se hayan sobrepasado y se alejen uno del otro?.

Solución: : 349 m/s ; 284 Hz.


4.8.- Un niño sentado a la puerta de su casa ve acercarse un autobús con velocidad uniforme y un sonido de motor de 3000 r.p.m.. Al alejarse el autobús, observa una disminución aparente de frecuencia de 15 Hz. El mismo autobús (a la misma velocidad), varias calles después, ve acercarse un coche por una calle perpendicular a su dirección y con una velocidad de 60 Km/h. Calcular la frecuencia del sonido que percibirá el conductor del coche en el momento en que la línea que une el autobús y el coche forma un ángulo de 60° con la dirección del coche.

Solución: 58.68 Hz.

4.9.- Un barco se acerca perpendicularmente a una costa acantilada. Pone en marcha la sirena, emitiendo un sonido de una determinada frecuencia.

a) Si la relación entre las frecuencias que percibe un observador situado en el acantilado (ν') y la que percibe el capitán del barco como eco (ν") es ν'/ν"=98/100, averiguar cual es la velocidad del barco.

b) Debido a un fuerte oleaje, el barco sufre una desviación de 90° de su rumbo, manteniendo el módulo de su velocidad. Si la frecuencia del sonido que percibe el observador del acantilado después de recorrer 80 m es 5/6 de la que percibía antes, determinar la distancia a que se encuentra el barco del observador.

Solución: a) 6.93 m/s, b) 133.3 m.

4.10.- Un avión se desplaza a velocidad v= 720 km/h constante a una altura h= 1000m sobre el suelo. Lleva una sirena a bordo que emite un sonido de frecuencia ν = 435 Hz.

a) Determinar la frecuencia que percibirá un observador en reposo situado en el suelo, cuando el avión haya recorrido 1000 m después de pasar por su vertical.

b) Supongamos ahora, que la sirena esta fija sobre el suelo a una altura h' = 200 m. Un observador se desplaza sobre el suelo con una velocidad horizontal v' = 36 km/h, de forma que su trayectoria define con el punto donde se encuentra la sirena un plano vertical. Calcular la frecuencia percibida por el observador 30 s después de haber pasado por la vertical de la sirena.

Solución: a) 307.2 Hz; b) 424.3 Hz.(Febrero 1997)


Acústica Resumen Teoría • Ley de Beer: I =I0 exp (-βx) β: coeficiente del medio

• Atenuación: I1I2

= r22r21

• Factor de transmisión: φt =I1I2

• Intensidad total: It+Ir=I0

• Nivel de intensidad (dB): ∆S=10 log I

10-12

Problemas: Acústica 5.1.- Un muro de 60 cm tiene un espesor de semiabsorción de 80 cm y una impedancia acústica de

4200 Ω acústicos. Si a este muro le llega una onda de 5 W/m2, a) ¿Cual es la intensidad reflejada en la primera cara del muro? b) ¿Cual es la intensidad que llega a la segunda cara? c) ¿Cual es la intensidad reflejada en la segunda cara? (Impedancia del aire Za = 420 Ω acústicos)

Solución: : 3,35; 0,98; 0,66 W/m2

5.2.- Una locomotora se acerca en linea recta desde 1 Km de distancia a un observador, quien percibe el silbato con un tono de 704 Hz. En este instante el tren empieza a frenar con una deceleración de 0,5 m/s2. En el momento de detenerse, el observador aprecia un aumento de nivel de intensidad de 20 db en relación al instante inicial. Calcular la frecuencia real del sonido. (Suponer 340 m/s para la velocidad del sonido)

Solución: : 642 Hz

5.3.- A 100 m del lugar donde se produce una explosión de frecuencia media 60 Hz, el nivel de intensidad del sonido es de 100 db. Calcular: la distancia a la que deja de ser audible la explosión si se supone despreciable la absorción, y la potencia sonora del foco.

Solución: : 31620 m; 1260 W

5.4.- Si 10 sonidos idénticos producen conjuntamente un nivel de intensidad de 50 db, ¿cual sería el nivel de intensidad en db, en las mismas condiciones, de uno solo de ellos?

Solución: : 40 db


5.5- El máximo nivel de intensidad (en db) que pueden soportar los obreros de una fábrica es de 60 db. Si cada una de las máquinas produce 40 db, ¿cuántas de ellas podrán funcionar al mismo tiempo?

Solución: : 100 máquinas

5.6- El nivel de intensidad de cierto sonido vale 60 db después de atravesar cierta pared. Sabiendo que el coeficiente de absorción de la misma es de 0,5 cm-1, calcular:

a) La intensidad física de la onda en la primera cara de la pared si el espesor de esta es de 2 cm.

b) El nivel de intensidad (en db) percibido, despues de atravesar el muro, si este fuera de doble espesor.

Solución: : 2,7 10-6 W/m2; 55,66 db

5.7.- Un foco sonoro emite un sonido de 1000 Hz y potencia 0,5 W. Calculese el coeficiente de absorción del material con que se tiene que construir un recinto para que a 20 m del foco y con un espesor de 15 cm no se perciba sensación sonora alguna en el interior del recinto.(Considerar el factor de transmisión =0´5).

Solución: : 1.136 cm-1

5.8.- A 3 km de la pista de aterrizaje de un aeropuerto se construye un hotel. a) Si a una distancia de 30 m un avión al despegar da un nivel de intensidad de 130 db, ¿Qué

nivel de intensidad se percibirá a la puerta del hotel? b) ¿Qué grosor han de tener las paredes del hotel si el coeficiente de absorción del material

empleado es de 0,6 cm-1 para que no se perciba sensación fisiológica en su

interior.?(Supongase para dicho sonido que la intensidad umbral es de 10-11 W/m2 y que el factor de transmisión es 1).

Solución: : 90 db; 30´7 cm.


Campo eléctrico. Corriente continua Resumen Teoría

• Ley de Coulomb: 1 2 r2q qF k ur

=

• Campo eléctrico: r20

F qE k uq r

= =

• Flujo: Superficie plana E.Sφ = Superficie no plana E.Sφ = ∫

• Teorema Gauss: E.Sφ = ∫ = 4πk qint

• Potencial electrostático: V V VE V i j kx y z

∂ ∂ ∂= −∇ = + +

∂ ∂ ∂

V Edr∆ = −∫

• Corriente: I = dqdt

• Resistencia: R = ρ Ls ρ: resistividad s: sección

• Asociación resistencias: Serie R = R1 + R2 Paralelo 1R =

1R1

+ 1

R2

• Ley de Ohm: V = I R • Energía: dEp = dq (VA - VB)

• Potencia: P = dEpdt = I V = I2R =

V2

R

Problemas: Campo eléctrico. Corriente continua

6.1.- Consideremos un modelo planetario del átomo de hidrógeno. Un electrón gravita alrededor de un protón describiendo una trayectoria circular de radio r = 5 nm bajo el efecto de la fuerza de Coulomb. a) ¿Cuál es la energía total del electrón? b) ¿Cuál es la velocidad del electrón? me= 9.1 10-31 Kg, qe=-1.6 10-19 C

Solución: a) ET = -2.3 10-20 J ; b) v = 2.25 105 m/s

6.2.- Sea E = (a+bx) xu el campo eléctrico en cierta región del espacio. ¿Cuánto valen el potencial

eléctrico y la densidad de carga correspondiente?.

Solución: V = -ax - 12 bx2 + C; ρ = εob

6.3.- Dos esferas muy pequeñas de dos gramos de masa, cargadas positivamente con la misma carga, se encuentran en los extremos de dos hilos de seda de un metro de longitud, suspendidos en el mismo punto. Si en la posición de equilibrio, el ángulo que forma cada hilo con la vertical es de 30°, se pide:


a) Calcular el valor de la tensión de los hilos en posición de equilibrio b) Calcular la carga de cada esfera c) Si desaparece una carga, calcular el campo eléctrico que sería necesario aplicar para que

la otra permaneciera en la misma posición. Solución: a) 0.023N; b) 1.12 10-6 C; c) 104 N/C

6.4.- Sobre un sistema de referencia O(x,y,z) se disponen cuatro cargas q puntuales y positivas situadas en los puntos de coordenadas (a,0,0), (-a,0,0), (0,a,0) y (0,-a,0).

a) Determinar el campo y el potencial creados por esa distribución de carga en un punto de coordenadas (0,0,z).

b) En el punto (0,0,0) se coloca una carga q de masa m. Seguidamente se desplaza ligeramente en la dirección del eje OZ ( a2+z2 ≈ a2 ) y se deja en libertad. Determina el periodo de oscilación si dicha carga es negativa. Si la carga es positiva ¿Que tipo de movimiento realizará?. Justifícalo.

Solución: a) E = qz

πε0(a2 + z2)3/2 ; V = q

πε0(a2+z2)1/2 b) T = 2πaq πmε0a .

6.5.- Sea el modelo simple del átomo, constituido por una carga puntual +q rodeada de una distribución esférica de carga de radio a con densidad de carga constante ρ y carga total -q. Se pide:

a) calcular E en puntos interiores (r<a) y exteriores (r>a) a la distribución. b) calcular el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio. c) calcular E∇ en cada una de las regiones en las que se ha dividido el espacio.

Solución: r2 30

q 1 rE u4 r a

= − πε

= ; r< a; E = 0 r > a; b) 2

30

q 1 r 3V4 r 2a2a

= − − πε

,

r<a; V = 0 , r > a ; c) E∇ = ρε0

6.6.- Suponiendo que una carga positiva está distribuida uniformemente en un volumen esférico de R=10 cm, siendo la densidad de carga por unidad de volumen (3/4π) 10-5 C/m3, calcular el potencial y el campo creados en los siguientes puntos:

a) En un punto situado a 5 cm del centro de la esfera b) En un punto situado a 20 cm del centro de la esfera c) En un punto de la superficie de la esfera Solución: a) E = 4500N/C; V = 1237.5V; b) E = 2250N/C; V = 450V; c) E = 9000N/C; V =

900V. Nota: Se recomienda resolver el problema en general para un volumen esférico de radio a y

con densidad de carga ρ, y posteriormente hacer la aplicación numérica.


6.7.- Para cargar una batería de 24 V y resistencia interna 2 Ω se utiliza un generador de 30 V y 1 Ω de resistencia interna en serie con una resistencia de 3 Ω. Calcular: a) La potencia suministrada por el generador, b) las pérdidas de potencia por efecto Joule, y c) la energía almacenada durante 30 horas de carga. Solución: a) Pg = 29 W, b) ∆P = 6 W, c) E = 0.72

kWh 6.8.- Sea una pila cuya fuerza electromotriz es ε y su resistencia interna r. Si se conecta a una

resistencia R, demostrar que la potencia consumida por la resistencia es máxima para R=r. ¿Cuánto vale esa potencia máxima?.

Solución: Pmax = ε2

4r

6.9.- En el circuito de la figura: a) Calcular la resistencia equivalente a la asociación de R3 y R4. Hacer lo mismo con R1 y R2. Dibujar el circuito resultante equivalente al de la figura,

señalando los puntos A y B. b) Calcular la corriente que pasa por

la pila. c) Calcular la tensión en el punto A,

en el punto B, y la diferencia de tensión entre A y B.

d) Calcular la corriente que pasa por cada resistencia y decir qué tensión hay entre los extremos de cada resistencia.

Datos: R1 = R2 = 4 Ω,R3=R4= 16Ω.

Solución: a) R12 = 2Ω, R34 = 8Ω; b) I= 1A; c) VA = 8V, VB = 10V, VB - VA = 2V;

d) I1 = I2 = I3 = I4 = 0.5 A, V1 = V2 =2 V, V3 =V4 = 8 V

R

R

RR

V = 10

1

2

3 4

B A

6.10.- Dados los dos circuitos de la figura a) Determinar el valor de RT para que los dos circuitos sean equivalentes, suponiendo que R1 =

R2 = R3 = R4 =R

b) Determinar el valor de R para que por el circuito circule una intensidad de 1 A, suponiendo que ε = 6 V y r =1 Ω.

Solución: a) 53 R; b) 3Ω

+ -

Rε r 1

2

3

R

R R 4

+ -

r

R T

ε


Campo magnético. Inducción

Resumen Teoría

• Fuerza de Lorentz F qv B= ∧

• Fuerza sobre un elemento de corriente: F IL B= ∧ (conductor recto o campo uniforme) dF IdL B= ∧ (conductor no recto o campo no uniforme)

• Ley de Biot y Savart: rm 2

IdL udB kr∧

= km = µ04π

• Campo creado por una corriente rectilínea:

Conductor finito B = km I L

y y2+ L2

4

Conductor infinito B = 2 km Iy

• Campo espira: B =2π km I R2

(x2+ R2)3

• Teorema Ampere: m cBdr 4 k I= π∫

• Flujo magnético: Bdrφ = ∫

• Ley de Faraday- Henry: ε = - dφmdt

• Inducción mutua y autoinducción: φm1 = L1 I1 + M12 I1

φm2 = L2 I2 + M21 I1 M12 = M21 = M

ε = - dφm1

dt = -L1 dI1dt - M

dI2dt

Problemas: Campo magnético. Inducción.

7.1.- En cierta región del espacio actúa un campo eléctrico uniforme E = i - k (N/C), y un campo magnético B = 3 i - j + 2 k (T). Determinar la fuerza total ejercida sobre una carga en

movimiento q = 3 µC, en el instante en que lleva una velocidad v = 2 i - j (m/s).

Solución: F = - 3 10-6 ( i + 4 j ) N

7.2.- a) ¿Cuál es la velocidad de un haz de electrones cuando la acción simultánea de un campo eléctrico de 34 104 V/m y otro magnético de 2 x10-2 T, ambos perpendiculares entre sí, no produce desviación de la trayectoria de los electrones?

b) Cuál es el radio de la órbita del electrón cuando se suprime el campo eléctrico?. Solución: a) V = 1.7 107 m/s; b) r = 4.83 mm


7.3.- Un electrón en el punto A de la figura tiene una velocidad v0 de 107 m/s. Hallar:

a) La magnitud y dirección del campo magnético que obligará al electrón a seguir la trayectoria semicircular de A a B.

b) El tiempo necesario para que el electrón se mueva desde A hasta B.

c) ¿Cuáles son los resultados de los apartados anteriores si la partícula es un protón en lugar de un electrón?

mp=1.67 10-27kg, me=9.1 10-31kg BA

v0

10 cm_

Solución: a) B = 1.14 mT; b) t = 15.7 ns; c) B = 2.12 T; t = 15.7 ns

7.4.- Un hilo de 0.5 m de longitud está sobre el eje Y y transporta una corriente de 10 A en la dirección positiva de dicho eje. Si se aplica un campo magnético uniforme de componentes: Bx = 0.3 T, By = -1.2 T y Bz = 0.5 T.

Determinar: a) Componentes de la fuerza que actúa sobre el cable. b) Magnitud de la fuerza total que actúa sobre el cable. Solución: a) F = (2.5, 0, -1.5) N , b) F = 2.92 N

7.5.- Dos cables rectilíneos, paralelos y horizontales, uno sobre el otro, están separados por una distancia 2a. Si los dos transportan corrientes iguales en sentidos opuestos, ¿cuál es la magnitud del campo en el plano de los cables en un punto situado:

a) a la mitad de la distancia que las separa y b) a una distancia a por encima del hilo superior?. Si los hilos transportan corrientes iguales en el mismo sentido, ¿cuál es la magnitud del

campo en el plano de los cables en un punto situado: c) a la mitad de la distancia que los separa, y d) a una distancia a por encima del hilo superior?.

Solución: a) B = µ0I πa ; b) B =

13

µ0Iπa ; c) B=0 d) B =

23

µ0Iπa

7.6.- En el eje x de un sistema cartesiano se sitúa un conductor rectilíneo infinito por el que circula

una corriente de 5 A en el sentido positivo de x.

a)Calcular el vector campo magnético que crea en un punto situado a 3m del origen, sobre el

eje z.. b)Si una partícula de carga q=9C pasa por dicho punto con una velocidad:

v (2i 3j)m / s= + . ¿Qué fuerza actuará sobre ella?. c) Calcular el vector fuerza que actuaría

sobre otro conductor, de 6m de largo, paralelo al primero, que pasa por el punto anterior, si

circula por el una corriente de 2A también en sentido positivo de x.

Solución: a) B =-3.33 10-7 jT; b)F= -6 10-6 k N; c) F= -4 10-6 k N


7.7.- Un haz de electrones pasa, sin ser desviado de su trayectoria rectilínea, a través de un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares entre sí. El campo eléctrico está generado por dos placas metálicas paralelas situadas a ambos lados de la trayectoria, separadas 1cm y conectadas a una d.d.p. de 80V. El campo B vale 2 10-3 Wb/m2. A la salida de las placas, el campo magnético sigue actuando perpendicularmente a la trayectoria del haz, y observamos que éste se curva convirtiéndose en una trayectoria circular de 1.14 cm de radio.

a) Hallar la razón carga/masa de los electrones b) Calcular el tiempo que cada electrón invierte en recorrer una circunferencia completa c) Si el haz en su trayectoria circular equivale a una corriente de 20 mA ¿Qué campo

magnético B crea en el centro de la circunferencia?.

Solución: a) qm = 1.754 1011 C/kg; b) T = 1.79 10-8 s; c) B = 1.1 10-6 T.

7.8.- Hallar el campo magnético en el punto P de la figura, que es el centro común de los arcos de semicircunferencia.

Solución: m1 2

1 1B k I kR R

= π −

x

y

z

R

R1

2II

I

P

7.9.- Por un conductor rectilíneo largo (longitud infinita) circula una corriente de 20 A. Un circuito rectangular tiene dos de sus lados, de 10 cm de longitud, paralelos al conductor recto. Los otros dos lados miden 5 cm.

El lado del circuito más próximo al conductor recto y éste se encuentran separados por una distancia de 2 cm. Si por el circuito rectangular circula una corriente de 5 A en el sentido que se indica en la figura, hallar la fuerza neta ejercida sobre el mismo.

Solución: 7.14 10-5 i N

5A20A

2cm

10cm

5cm

x

y

z

departament de termodinÀmicamdolz/docencia/problemas 2004-2005.pdfdepartament de termodinÀmica...

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