demostracion weibull

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Para las siguientes demostraciones tomaremos como u= ( λt ) r t= u 1 r λ dt= ( u 1 r 1 λr ) du Asi como la definición de Г ( z +1) = 0 t z e t dt DEMOSTRACION DE LA MEDIA E ( t ) = 0 tf ( t ) dt= 0 t ¿¿¿ λ r r λ r 0 u 1 r e u du=¿ 1 λ Г [ 1 r + 1] DEMOSTRACION DE LA VARIANZA E ( t 2 ) = 0 t 2 f ( t ) dt= 0 t 2 ¿¿¿ λ r r λ r 0 ( u 1 r ) r+ 1 u r 1 e u du= 1 λ 2 [ u 2 r e u du ] = ¿ 1 λ 2 Г [ 2 r +1 ] Recapitulando E ( x 2 ) ( E ( x ) ) 2 = 1 λ 2 Г [ 2 r +1 ] ( 1 λ Г [ 1 r +1 ]) 2 = 1 λ 2 ( Г [ 2 r +1 ] Г [ 1 r +1 ] 2 )

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Page 1: demostracion weibull

Para las siguientes demostraciones tomaremos como u=( λt )r t=u1r

λ dt=( u

1r−1

λ r )du

Asi como la definición de Г ( z+1 )=∫0

t z e−tdt

DEMOSTRACION DE LA MEDIA

E ( t )=∫0

tf ( t )dt=∫0

t ¿¿¿

λr rλr r λ

∫0

u1r e−udu=¿

1λГ [ 1r+1]

DEMOSTRACION DE LA VARIANZA

E (t 2 )=∫0

t 2 f ( t )dt=∫0

t 2¿¿¿

λr rλr rλ

∫0

∞ (u1r )r+1

ur−1 e−udu= 1λ2

[u2r e−udu ]=¿ 1

λ2Г [ 2r+1]

Recapitulando E (x2 )−(E ( x ) )2= 1

λ2Г [ 2r +1]−( 1λ Г [ 1r +1])

2

= 1

λ2(Г [ 2r +1]−Г [ 1r +1]

2

)