demostracion de la ecuacion diferencial de conduccion del calor en coorddenadas esfericas
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DEMOSTRACION DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE CONDUCCION DEL CALOR EN COORDDENADAS ESFERICAS
1- INDICE
2- FUNDAMENTO TEORICO................................................................................2
3- ESQUEMA.........................................................................................................4
4- DESARROLLO..................................................................................................5
5- CONCLUSION.................................................................................................12
6- APRECIACION CRÍTICA.................................................................................12
7- BIBLIOGRAFIA................................................................................................13
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2- FUNDAMENTO TEORICO
COORDERNADAS ESFERICAS
Definición
Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las coordenadas polares del plano, a base de girarlas alrededor de un eje. Su definición es la siguiente:
La coordenada radial : distancia al origen
La coordenada polar : ángulo que el vector de posición forma con el eje .
La coordenada acimutal : ángulo que la
proyección sobre el plano forma con
el eje .
Los rangos de variación de estas coordenadas
son:
El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π).
La coordenada radial es una distancia siempre positiva. Si, partiendo de un punto , vamos reduciendo el valor de , al atravesar el origen de coordenadas vuelve a aumentar. Lo que cambian son los valores de , que pasa a valer y , que pasa a
ser
Es un error muy común el suponer que llega hasta , como . Hay que recordar que
ambas coordenadas tienen significados geométricos muy diferentes. equivale a la
longitud geográfica, mientras que es el complementario de la latitud.
El valor corresponde al Polo Norte. Si ahora aumentamos , lo que hacemos es
viajar hacia al sur. El Polo Sur es . Y es lo máximo a lo que podemos llegar. No se
puede viajar al sur del Polo Sur. Si siguiéramos recorriendo la superficie terrestre lo que
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estaríamos haciendo es ya volver hacia el norte, lo que supone reducir . Eso sí, al pasar
por el Polo Sur, la longitud cambia a .
La gráfica siguiente muestra las coordenadas esféricas de un punto P
Las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas rectangulares x, y, z de un punto P en coordenadas esféricas vienen dadas a continuación.
Ecuación de Fourier
Si qi es debido solo a la conducción, la ecuación de Fourier establece
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Donde k es el cociente de transmisión de calor por conducción. El signo menos es debido a que el flujo de calor es en sentido contrario al crecimiento de la temperatura.
3- ESQUEMA
Hipótesis de trabajo
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El material es homogéneo (densidad es constante) e isotrópico(propiedades no varían en su dirección).
Las variaciones del volumen del elemento debido al cambio de temperatura son muy pequeñas o despreciables.
Consideremos que las propiedades físicas no cambian con la temperatura. En el cuerpo o volumen existen fuentes internas de calor que están uniformemente
distribuidas. Aplicando el principio general de la conservación de la energía. Que la energía calorífica neta importada por la transferencia de calor a través de
sus superficies más la energía calorífica importada por las fuentes internas de calor es igual a la variación de la energía del elemento de volumen considerado.
4- DESARROLLO
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5- CONCLUSIONEsta ecuación diferencial de conducción de calor es un modelo matemático que trata de semejar lo más posible describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio.
6- APRECIACION CRÍTICA
Para llegar a la deducción de la ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas esféricas hay varios métodos, nosotros escogimos el método que utilizamos limites que es más rápido y sencillo pero existe otro método donde se analiza más profundo y se ve el cambio de área a la entrada y de salida de cada uno de sus ejes, de dicho método solo haremos su gráfica.
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7- BIBLIOGRAFIA
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_esf%C3%A9ricas._Definici%C3%B3n
http://www.ehu.es/~mtpalezp/mundo/ana2/esfericas
http://www3.nd.edu/~msen/MecFl.pdf
Incropera, Frank y De Witt, David, Fundamentos de Transferencia de Calor (1999), Cuarta Edición
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