definicion precisa de limites

Ing. Luis Ernesto Aguilar Limites y su definición precisa

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LIMITE

Un límite se utiliza en matemática para poder analizar el comportamiento de las funciones en alrededores de un valor del dominio. Es decir, suponga que tenemos la función ℎ(�), y nos interesa saber a que valor se acerca dicha función cuando x se acerca al valor 3; al preguntar esto debemos notar que no nos interesa el valor de la función cuando x es 3, sino los valores muy cercanos a 3, tan cerca como sea posible, simbólicamente esto se denota así: lim�→ ℎ(�) = 5 La notación anterior afirma que en la función ℎ(�) los valores se están acercando a 5 cuando los valores de x se están acercando al valor 3, no se debe confundir lo anterior.

Ejemplo: Obtenga la grafica de la siguiente función y resuelva los siguientes cuestionamientos:

(�) = �� + 1 �� < 1 1 �� 1 < � ≤ 2 � + 1 �� > 1 �

a. ¿Cuál es la imagen de la función cuando x es 1? b. ¿A que valores se acerca la función cuando x se esta acercando a 1? c. ¿Qué se puede concluir acerca de los incisos anteriores?

Solución: El grafico de la función es como se muestra arriba, ahora observe el primer cuestionamiento, nos indican determinar cual es el valor de (1), es decir que tengo que evaluar 1 en la función, pero


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por ser una función por partes se debe determinar cual es la función que corresponde para un � = 1, según la función este numero no esta contenido, esto quiere decir que la imagen no existe, y entonces: (1) = ∄ Porque el 1 no esta contenido en el dominio de la función. El siguiente inciso pregunta a que valor se acerca los valores de la función cuando la variable se acerca a 1. Del grafico observe que para valores muy cercanos a 1, pero menores a 1(se acostumbra decir a la izquierda de 1), la función pareciese que se acercara al valor de 2, entonces esto lo simbolizamos de esta forma: lim�→�� (�) = 2 El signo menos en el 1, indica que son valores a la izquierda. La simbología muestra a que valor esta cercana la función cuando la variable esta cercana a 1, a pesar de saber que la imagen de 1 no existe. De la misma forma podemos acercar la variable a 1 pero por la derecha, es decir, valores superiores a 1 pero muy cercanos, y del grafico observamos que es 1, esto es entonces: lim�→�� (�) = 1 Por definición sabemos que el valor de (1) no existe, sin embargo si existen imágenes alrededor de 1, a la izquierda de 1 las imágenes se parecen cada vez mas al valor 2, y por la derecha las imágenes siempre son 1.


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DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE

Cuando decimos que:

lim��

��

Decimos que las imágenes de la función están muy cercanas a L, cuando x esta muy cercano a a, y es de aquí donde sale la siguiente pregunta: ¿Qué tan cerca estamos de L, para poder afirmar que estamos muy cerca a a? Esta pregunta se puede resolver si somos capaces de decir la distancia a la que nos encontramos de x, y la distancia a la que estamos de L; para eso ayudémonos de la siguiente figura: Observe que estando muy cercanos a �, las imágenes están muy cercanas a L, y como decimos muy cercanos, entonces vamos a generar distancias, alrededor de a y alrededor de L: Las distancias por ser muy pequeñas y variables se describen con dos letras griegas, !"#$%& �'� y ( $)* �+�, en donde épsilon denota la distancia alrededor de L y delta la distancia alrededor de a. De acuerdo con esto se genera un intervalo alrededor de a: Y de igual forma alrededor de L

* , + * � +

- � '

- , '


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Recuerde que:

�� |�| ≤ / 01231/0� − / ≤ � ≤ /

Los intervalos generados se utilizan para obtener la siguiente afirmación: SI EXISTE UNA DISTANCIA MUY PEQUEÑA ALREDEDOR DE a, ENTONCES DEBE EXISTIR UNA DISTANCIA MUY PEQUEÑA ALREDEDOR DE L, ASÍ DE ESTA FORMA ENTONCES SE PUEDE CONCLUIR QUE: lim�→� (�) = � Esto quiere decir que si elegimos cualquier � dentro del intervalo (� − 4, � + 4) entonces la imagen de ese � 6 (�)7 debe encontrarse dentro del intervalo (� − 8, � + 8). Esto se puede describir matemáticamente de la siguiente forma:

Si � debe encontrarse entre � − 4 y � + 4: � − 4 < � < � + 4 −4 < � − � < 4 |� − �| < 4

Entonces (�) debe encontrarse entre � − 8 y � + 8: � − 8 < (�) < � + 8 −8 < (�) − � < 8 | (�) − �| < 8

Entonces la definición matemática para poder demostrar un límite es: ∀ 4 > 0 ∃ 8 > 0 ∴ 0 < |� − �| < 4 =�� | (�) − �| < 8 En palabras generales lo que afirma la definición anterior es que si existe una distancia pequeña alrededor del a, entonces debe existir una distancia pequeña alrededor de L, así de esa forma se puede demostrar un límite.

Ejemplo 1: Demuestre que: lim�→ 3� − 2 = 7

Solución: Según la definición de límite, se debe demostrar que: 0 < |� − �| < 4 =�� | (�) − �| < 8


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Para este caso entonces queda que:

0 < |� , 3| < 4 =�� |3� − 2 − 7| < 8 0 < |� − 3| < 4 =�� |3� − 9| < 8 0 < |� − 3| < 4 =�� 3|� − 3| < 8 0 < |� − 3| < 4 =�� |� − 3| < 83

Observe que en los dos términos de la definición se encuentra el término |� − 3|, y este por ser el mismo en ambos lados entonces se puede afirmar que:

4 = 83 Observe que fuimos capaces de poder afirmar que para una distancia 8 dada, podemos encontrar una distancia 4, por lo tanto el limite si existe y es verdadero.

Ejemplo 2: Demuestre que: lim�→� �A + 2� = 3

Solución: De la definición de límite se debe cumplir que: 0 < |� − �| < 4 =�� | (�) − �| < 8 Entonces se obtiene que: 0 < |� − 1| < 4 =�� |�A + 2� − 3| < 8 0 < |� − 1| < 4 =�� |(� + 3)(� − 1)| < 8 0 < |� − 1| < 4 =�� |� + 3||� − 1| < 8 Para poder encontrar un 4 en términos de 8 debemos reemplazar el término |� + 3| por una constante razonable, sabemos que: |� − 1| < 4 Supongamos un valor para 4; sabiendo que es muy pequeño parece razonable adoptarlo como 1, así entonces obtenemos que: |� − 1| < 1 −1 < � − 1 < 1 0 < � < 2


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Debido a que se supuso un valor para 4 entonces el valor de x, estará en el intervalo anterior, y para convertir ese intervalo en el término que queremos reemplazar podemos hacer:

0 � 3 < � � 3 < 2 � 3 3 < � � 3 < 5

Para garantizar que las distancias se encuentran dentro de un intervalo adecuado se puede adoptar el mayor valor, es decir se puede afirmar que:

|� � 3| � 5 Así entonces, se tiene que:

0 < |� , 1| < 4 =�� 5|� − 1| < 8 0 < |� − 1| < 4 =�� |� − 1| < 8/5 Entonces ya se puede afirmar que: 4 = 8/5 Pero según el procedimiento anterior se dijo que 4 = 1, por lo tanto el delta se debe elegir entre el menor entre ambos, y la solución se escribe como: 4 = min {1, 8/5} UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE QUETZALTENANGO 10-08-10

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