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Simposio LAS/ANS 2007 / 2007 LAS/ANS Symposium XVIII Congreso Anual de la SNM / XVIII SNM Annual Meeting XXV Reunión Anual de la SMSR / XXV SMSR Annual Meeting

Copatrocinado por la AMEE / Co-sponsored by AMEE Cancún, Quintana Roo, MÉXICO, del 1 al 5 de Julio 2007 / Cancun, Quintana Roo, MEXICO, July 1-5, 2007

Definición Alternativa del Equilibrio Electrónico: Del Análisis de la Deduccion de Spencer de la Teoría de la Cavidad de Bragg-Gray.

Mario Moranchel y Rodríguez, José Trinidad Alvarez Romero

Departamento de Ingeniería Nuclear, Escuela Superior de Física y Matemáticas, Instituto Politécnico Nacional, Unidad Profesional “Adolfo López Mateos”, México, D.F., mmoranchel

@esfm.mx, [email protected]; Departamento de Metrología de las Radiaciones Ionizantes, Gerencia de Aplicaciones Nucleares en la Salud, Instituto Nacional de Investigaciones

Nucleares, Km. 37, Salazar, Estado de México, [email protected].

Resumen

La definición de la fluencia espectral de los electrones empleada en la deducción de Spencer para la teoría de la cavidad de Bragg-Gray (BG) asume la condición adicional de equilibrio electrónico (EE). Tal condición conduce a que la razón de las dosis absorbidas del medio respecto a la de la cavidad se exprese en función del poder de frenado másico total del medio. En este trabajo se muestra que, más que el poder de frenado másico total debe quedar en función del poder de frenado másico colisional del medio, de acuerdo con la condición de EE asumida. Como consecuencia, se obtiene una expresión para dicha razón de dosis absorbida que depende exclusivamente de los poderes de frenado másico colisional de ambos medios, resultando una expresión más representativa de los fenómenos físicos que ocurren. Además, se obtiene una expresión para la fluencia espectral de los electrones primarios reflejando ampliamente los procesos físicos que darán origen a la dosis absorbida en el medio. Finalmente, se obtiene una condición adicional para la existencia del EE en función de la fracción de la energía perdida por los electrones en la radiación de frenado.

1. INTRODUCCIÓN

El problema central de la dosimetría de radiaciones ionizantes es la determinación de la energía impartida promedio por un campo de radiación, como función del tiempo y del espacio, por unidad de masa del objeto irradiado. Tal energía, en el caso de un campo primario de fotones, se imparte en dos etapas [1]. En la primera los rayos x o γ transfieren su energía al átomo liberando una partícula cargada (generalmente un electrón, y así lo consideraremos de aquí en adelante). En la segunda, el electrón disipa su energía cinética a lo largo de su trayectoria por múltiples colisiones “blandas” y/o “duras” con los átomos y electrones atómicos, respectivamente, o bien mediante mecanismos radiativos (bremsstrahlung) al interactuar con el núcleo de los átomos. En la primera etapa se da origen a un flujo de electrones (que llamaremos primarios) del medio irradiado, puestos en movimiento desde energía cero hasta una energía máxima igual a la energía máxima de la radiación incidente. La caracterización de este flujo de electrones se efectúa mediante la “fluencia espectral de electrones”, ΦT

e. En la segunda etapa, electrones de esta

Memorias CIC Cancún 2007 en CDROM 70 Proceedings IJM Cancun 2007 on CDROM

Mario Moranchel y Rodríguez et al, Definición Alternativa de Equilibrio Electrónico

los

se hacen algunas observaciones a la deducción de pencer para la teoría de Bragg-Gray [2].

2. CONSIDERACIONES DE SPENCER

diho

las cargadas (CPE), aparte de considerar que se satisfacen ambas condiciones e Bragg-Gray [2].

rbida del medio “ ”, considerando la existencia de radiación de frenado en , resulta ser ],

fluencia espectral entregan parte o toda su energía inicial al medio mediante colisiones con electrones del mismo medio, fenómeno que da origen a una segunda avalancha de electrones llamados “electrones secundarios”, también llamados rayos delta, δ, los cuales a su vez pueden depositar su energía al medio1. Por lo tanto, es necesario considerar una fluencia espectral total de electrones (primarios más secundarios) ΦT

e,δ. Resumiendo, puesto que la deposición de energía en un medio por la incidencia del campo primario de rayos x o γ se lleva a cabo en la segunda etapa, esta energía impartida es caracterizada por la fluencia espectral total de los electrones. Por esta razón, en las diversas teorías de la cavidad para la dosimetría de rayos x o γ, uno de los problemas fundamentales es la determinación de la fluencia espectral total deelectrones. En este contexto, en el presente trabajo S

En su deducción para la teoría de la cavidad de Bragg-Gray, Spencer considera una pequeña cavidad llena de un me o g , rodeada por un medio homogéneo w el cual contiene una fuente

mogénea emitiendo N partículas cargadas idénticas por gramo, cada una con energía cinética 0T . Además, supone a la cavidad lo bastante lejos de las fronteras del medio w tal que exista

equilibrio de partícud Bajo tales condiciones la razón de la dosis absorbida de la cavidad “ g ” con respecto a la dosis abso w w[1

[ ] dTdxdT

dxdTTYTD

D To

o w

gc

owow

g

∫−=

)/()/(

)(11 ,

ρρ (1)

y res donde gD y wD son la dosis absorbida en los medios pectivamente, g w gcdxdT ,)( ρ es el poder de frenado másico colisional en el medio g , wdxdT )( ρ es el poder de frenado másico total en el medio w y )(Yw es la producción promedio de bremsstrahlung m0T ientras la partícula ar icial se frena hasta alcanzar el reposo en

luencia de partículas cargadas en equilibrio, ΦTe, se asume que se

uede expresar como [2], [3]

gada, de energía in 0T , w . c En cuanto el espectro de la fp

w

CPEeT dxdT

N)/( ρ

=Φ (2)

1 Aquí con objeto de simplificar el análisis, omitiremos la existencia de los electrones secundarios.


Congreso Internacional Conjunto Cancún 2007 / International Joint Meeting Cancun 2007

Sin embargo, ésta expresión sólo es válida en el caso de suponer ausencia de radiación de frenado [2], [3]. No obstante para la deducción de la ecuación (1), donde se asume que existe radiación de frenado, se emplea la ecuación (2) sin cambios y ningún comentario al respecto. Por lo tanto el uso de dicha ecuación (2) para la deducción de la ecuación (1) no es del todo claro y al estudiante que por primera vez analiza esta teoría puede causarle confusión dicha contradicción; además de que la generación de la radiación de frenado puede afectar a la fluencia espectral de electrones que da origen a la dosis absorbida, y por consiguiente a la definición de ΦT

e lo cual no es mencionado. Así entonces, al emplearse sin cambios la ecuación (2) en la deducción de la ecuación (1) puede conducir a suponer que la definición de ΦT

e no se afecta por la existencia de la radiación de frenado. Así entonces, nuestro objetivo será: 1) asumiendo la existencia de la radiación de frenado, determinar una expresión alternativa para la fluencia espectral de los electrones primarios, , en términos del poder de frenado másico colisional, 2) proponer una expresión alternativa para el calculo de la razón de dosis

eTΦ

wg DD , independiente de la existencia de radiación de frenado, y, 3) establecer una condición adicional para el Equilibrio Electrónico cuando son considerados los fenómenos de bremsstrahlung. 3. CONDICION ADICIONAL DE EQUILIBRIO ELECTRONICO AL CONSIDERAR LA

EXISTENCIA DE BREMSSTRAHLUNG

3.1 Deducción De La Expresiones Alternativas Para Y eTΦ wg DD

Bajo las consideraciones de Spencer, antes descritas, y en presencia de la generación de la radiación de frenado y su escape posterior, la dosis absorbida en el medio [1], esta dada por w

[ )(1)( 00 TYNTKD wwc

CPE

w −== ] (3) donde es el Kerma de colisión en el medio , y esta definida como, wcK )( w )( 0TYw

∫==− 0

000 )(1)()(

T

w dTTyT

TyTY

∫=0

0

,

0 )/()/(1 T

w

wr dTdxdTdxdT

T ρρ

∫−=0

0

,

0 )/()/(11

T

w

wc dTdxdTdxdT

T ρρ

.(4)

Memorias CIC Cancún 2007 en CDROM 72 Proceedings IJM Cancún 2007 on CDROM


La igualdad anterior se deduce al emplear las definiciones de el valor esperado de la razón de perdida de energía por radiación de frenado respecto a la perdida de energía total de un electrón primario, por unidad de trayectoria que recorra en el medio, , conocida también como, la fracción de la producción de bremsstrahlung (por colisiones radiativas) respecto a la perdida total de energía de un electrón primario de energía

)(Tyw

T , por unidad de trayectoria recorrida, y del poder de frenado másico total, siendo respectivamente,

],0[T )/(

)/()( , TodxdT

dxdTTyw

wrw ∈∀=

ρρ

(5)

wrwcw dxdTdxdTdxdT ,, )/()/()/( ρρρ += ],0[T To∈∀ (6)

Por otra parte, la dosis absorbida en el medio [1], esta dada como w

dTdxdTD wc

To

o

wTe

,)/( ρΦ= ∫ (7)

En virtud de la validez de las ecuaciones (3) y (7), y considerando que es el valor esperado de la producción promedio de bremsstrahlung, entonces, ΦT

e debe ser tal que )( 0TYw

wc

ow

dxdTTYN

Te

,)/()](1[

ρ−

=Φ (8)

En cuanto a la dosis absorbida en el medio , se tiene que g

dTdxdTD gc

To

o

gTe

,)/( ρΦ= ∫ (9)

Y, de las ecuaciones (3), (8) y (9) se deduce que

dTdxdTdxdT

TDD

wc

gcTo

oow

g

,

,

)/()/(1

ρρ

∫= (10)

3.2 Sobre La Validez De Las Expresiones Alternativas Y eTΦ wg DD

Si bien la expresión (2) es adecuada para representar a la fluencia espectral de los electrones primarios en ausencia de la radiación de frenado, aún no se sabe de su validez al considerar las interacciones de los electrones primarios con el campo Columbiano del núcleo de los átomos del medio. Es decir, ¿si existe radiación de frenado en un medio, entonces, ΦT

e dada por la expresión (2) será adecuada para representar a la fluencia espectral de los electrones primarios en dicho



medio? Intentemos buscar la respuesta correcta. Para ello, hagamos un breve análisis matemático de la dosis absorbida cuando existe radiación de frenado, y por consiguiente, considerando ΦT

e dada por la expresión (8). Acoplando las expresiones (4), (7) y (8) se obtiene lo siguiente:

∫Φ=0

0,)/(

T

wceTw dTdxdTD ρ .

[ ]

dTdxdTdxdT

TYNwc

T

wc

w,

0 ,

0 )/()/(

)(10

ρρ∫

−=

[ ])(1 00 TYNT w−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= ∫ }

)/()/(11{1 ,

00 dT

dxdTdxdT

TNT

To

o w

wc

ρρ

dTdxdT

dxdTNTo

o w

wc

∫=)/(

)/( ,

ρρ .(11)

por lo que

dTdxdTdxdT

NdTdxdTTo

owc

wwc

To

oTe ∫∫ =Φ ,, )/(

)/()/( ρ

ρρ (12)

Esta igualdad se cumple solo si

w

eT dxdT

N)/( ρ

=Φ (13)

Así entonces, concluimos que

[ ]wc

w

w

eT dxdT

TYNdxdT

N

,

0

)/()(1

)/( ρρ−

≡=Φ (14)

Pues bien, ahora podemos decir que las expresiones (2) y (8) son igualmente validas para representar a la fluencia espectral de los electrones primarios, ΦT

e, independiente de que exista o no radiación de frenado en el medio. Además, de la expresión (14) se obtiene que

[ ] wwwc dxdTTYdxdT )/()(1)/( 0, ρρ −= (15)



Esta última expresión manifiesta abiertamente la equivalencia de las expresiones (1) y (10) para el cálculo de la razón de dosis wg DD .

3.3 Deducción De La Condición Adicional Del Equilibrio Electrónico Al Considerar La Existencia De Bremsstrahlung. Pasemos a realizar un análisis en relación a la condición de Equilibrio Electrónico asumida en la deducción de Spencer para la teoría de la cavidad de Bragg-Gray considerando los efectos de bremsstrahlung. Reescribamos nuevamente la ecuación (15), la cual resulta de considerar el equilibrio electrónico y la existencia de bremsstrahlung:

[ ] ww

CPE

wc dxdTTYdxdT )/()(1)/( 0, ρρ −= (16) Haciendo uso de las ecuaciones (5), (6) y (17) se obtiene:

www

CPE

wrw dxdTTYdxdTdxdTdxdT )/)(()/()/()/( 0, ρρρρ −=−

)()/()/(

0, TY

dxdTdxdT

w

CPE

w

wr =ρρ

)()( 0TYTy w

CPE

w = (17)

Para muchos valores de y para diversas clases de medio w ha sido calculado el valor de , véase el apéndice E de la referencia [1]. Sin embargo, lógicamente, para una energía

dada el valor de siempre será el mismo, es decir, adquiere un valor constante para una dada.

0T)( 0TYw

0T )( 0TYw )(TYw 0

0T Por consiguiente, podemos decir que el asumir la condición de equilibrio electrónico en el medio

nos conduce a decir que “en cada unidad de trayectoria recorrida por un electrón primario de energía w

T , la fracción de producción de bremsstrahlung es constante”, es decir:

teconsTyCPE

w tan)( = [ ]0,0 TT ∈∀ (18) En otras palabras, en un medio donde se asume la condición de equilibrio electrónico se cumple que:



0)( CPE

w

dTTdy

= [ ]0,0 TT ∈∀ (19)

Preguntemos ahora ¿qué ocurre si en el medio se tiene que w 0)( ≠dTTdyw

? [ ]0,0 TT ∈∀ Para responder a esta pregunta, supongamos que en el medio w

0)(≠

dTTdyw [ ]0,0 TT ∈∀ (20)

Sea una función tal que 0)( ≠Tf

)()(

TfdT

Tdyw = [ ]0,0 TT ∈∀ (21)

Multiplicando ambos miembros de la ecuación (21) por e integrando desde hasta , con

, se tiene: dT 0 0T

00 ≠T

∫∫ =00

00

)()( TT

w dTTfdTdT

Tdy (22)

o bien

∫=−0

0

)()0()(T

ww dTTfyTy (23)

Ahora, los electrones primarios que se generan en el medio con energía cinética cero automáticamente alcanzan el reposo, por lo que no proporcionan (al medio) radiación de frenado, es decir, , entonces la expresión (23) se puede escribir como:

w

0)0( =wy

∫=0

0

)()(T

w dTTfTy (24)

Recordemos que la única condición establecida para es ser diferente de cero, entonces, si suponemos

)(Tf

aTf =)( [ ]0,0 TT ∈∀ , ℜ∈a , 0≠a (25)

resulta



∫ ==0

0

)(T

w aTadTTy (26)

Ahora, a partir de la definición para , considerando el resultado anterior, se tiene )( 0TYw

∫=0

000 )(1)(

T

ww dTTyT

TY

2

0aT= .(27)

Si, en este momento, asumimos la condición de equilibrio electrónico en el medio entonces deberá satisfacerse la ecuación (17) para cualquier valor de

wT . Ahora en particular, analizando el

comportamiento para , de las expresiones (17), (26) y (27) se tiene 0=T

2)()0()0(0 0

0aT

TYya w

CPE

w ==== (28)

de donde

02

0CPEaT= (29)

Como , entonces se debe de cumplir que . 00 ≠T 0CPE

a = Así que, el asumir la condición de equilibrio electrónico en el medio conlleva a una contradicción sobre la condición inicial de que

w0≠a para que se cumpla el que

0)( ≠dTTdyw . Entonces concluimos diciendo que: “si en un punto del medio es tal que w 0)( ≠dTTdyw , entonces no existe equilibrio electrónico en dicho punto”. Físicamente significa que, en cada punto del medio , “si la fracción de producción de bremsstrahlung no es constante, por unidad de trayectoria recorrida por un electrón primario de energía

w

T , entonces no existe equilibrio electrónico en el medio ”. w Hemos respondido a la pregunta inicial ¿qué ocurre en el medio si w 0)( ≠dTTdyw ? la respuesta es... no hay equilibrio electrónico en dicho medio. Podemos resumir este análisis enunciando una condición adicional para la existencia del equilibrio electrónico cuando sean considerados los fenómenos de bremsstrahlung:



Si es la fluencia espectral de los electrones primarios en un medio cualquiera en el cual existe radiación de frenado (bremsstrahlung) y

eTΦ

)/()/()( dxdTdxdTTy r ρρ= es el valor esperado de la razón de perdida de energía por radiación de frenado respecto a la perdida de energía total de un electrón primario por unidad de trayectoria recorrida en el medio, o en otras palabras, es la fracción de producción de bremsstrahlung por unidad de trayectoria recorrida por cada electrón primario de energía T , entonces “en cualquier punto de un medio o el alguna región del mismo, donde existe radiación de frenado, se asume la existencia del equilibrio electrónico, si y solo si, como condición adicional, se cumple que: “ en cada unidad de trayectoria recorrida por un electrón primario de energía T , la fracción de producción de bremsstrahlung es constante”.

4. ANÁLISIS DE LA CONDICION ADICIONAL DEL EQUILIBRIO ELECTRÓNICO CON VALORES EXPERIMENTALES

Experimentalmente se han obtenido, para muchos medios, una gran diversidad de valores para el poder de frenado másico colisional, radiativo y, por consiguiente, para el total desde energías muy bajas (centésimas de MeV) hasta energías mayores alrededor de los 100 MeV. El apéndice E de la referencia [1] muestra valores de las cantidades indicadas para medios tales como agua, nitrógeno, oxigeno, plomo, hierro, aire, etc. Las columnas 1, 2, 3 y 4 mostrados en la Tabla 1 fueron tomados de dicho apéndice, considerando como medio absorbedor el agua. En estas columnas se muestran, respectivamente, los valores de: la energía, el poder de frenado másico radiativo, el poder de frenado másico total y la fracción de perdida de energía por interacciones radiativas, , de los electrones primarios puestos en movimiento.

)(Tyw

Analizando los valores calculados, se observa que, adquiere valores diferentes al variar la energía. Por ejemplo, para energías del orden de centésimas de MeV toma valores del orden de 10-4, mientras que, entre 2 y 10 MeV toma valores del orden de 10-2; por lo que al aumentar la energía de los electrones primarios los valores de se incrementan.

)(Tyw

)(Tyw

)(Tyw

Lo anterior nos muestra, con valores experimentales, que no es constante, para todo valor de la energía cinética de los electrones primarios y en cualquier medio

)(Tyw2.

Esto nos permite establecer que la existencia del Equilibrio Electrónico conlleva a una situación física ideal en todo punto del medio donde se supone su cumplimiento y que realmente no es posible bajo las primicias de su estricta definición.

2 Aunque aquí se tomaron valores para agua, se pudo haber considerado cualquier otro medio.



Tabla I. Valores del poder de frenado y de , a diversas energías de los electrones primarios, para el agua. Valores tomados del apéndice E de la referencia [1].

)(Tyw

Poder de frenado másico Energía (MeV) Radiativo

(MeV cm2/g) Total

(MeV cm2/g)

Producción de radiación

)(Tyw 0.0100 3.898E-03 2.257E+01 9.408E-05

0.0125 3.927E-03 1.898E+01 1.133E-04

0.0200 3.963E-03 1.318E+01 1.663E-04

0.0300 3.984E-03 9.657E+00 2.301E-04

0.0400 4.005E-03 7.781E+00 2.886E-04

0.0500 4.031E-03 6.607E+00 3.435E-04

0.0900 4.181E-03 4.407E+00 5.393E-04

0.1000 4.228E-03 4.120E+00 5.841E-04

0.2000 4.801E-03 2.798E+00 9.826E-04

0.3000 5.514E-03 2.360E+00 1.331E-03

0.4000 6.339E-03 2.154E+00 1.658E-03

0.5000 7.257E-03 2.041E+00 1.976E-03

0.9000 1.159E-02 1.976E+00 3.251E-03

1.0000 1.280E-02 1.862E+00 3.579E-03

2.0000 1.678E-02 1.850E+00 7.085E-03

3.0000 4.299E-02 1.889E+00 1.095E-02

4.0000 6.058E-02 1.931E+00 1.495E-02

5.0000 7.917E-02 1.917E+00 1.911E-02

9.0000 1.601E-01 2.116E+00 3.636E-02

10.0000 1.814E-01 2.149E+00 4.072E-02

25.0000 5.277E-01 2.598E+00 1.039E-01

50.0000 1.146E+00 3.286E+00 1.923E-01

90.0000 2.173E+00 4.366E+00 2.978E-01



5. CONCLUSIONES

En la mayoría de las situaciones, y sobre todo en aspectos didácticos y de enseñanza, la manera más sencilla de analizar y comprender los fenómenos físicos radica en la forma de presentar los modelos matemáticos creados para su propia explicación. Mientras más sencillo y menos complejo sea el modelo mejor será la comprensión del fenómeno. En nuestro tema de análisis, el modelo matemático para la fluencia espectral y los mecanismos de interacción con el medio establecen, indudablemente, la fácil comprensión de la dosis absorbida en el mismo.

eTΦ

Si bien en este trabajo se ha demostrado la validez y el uso indistinto de la expresiones (2) y (8) para representar a la fluencia espectral de los electrones primarios, , en un medio donde se generan electrones primarios por gramo con energía cinética inicial , es muy importante reconocer que es el resultado de los fenómenos físicos que ocurren entre los electrones primarios y los átomos del medio. En este sentido, y para una mayor comprensión, la expresión para debe ser tal que revele explícitamente aquellos fenómenos que coadyuvan su existencia.

eTΦ

N 0TeTΦ N

eTΦ

De igual forma, se ha demostrado la validez y el uso indistinto de las expresiones (1) y (10) para determinar la razón de dosis wg DD , sin embargo la diferencia sustancial radica en manifestar explícitamente los mecanismos de interacción que dan lugar a la dosis absorbida. Finalmente, partiendo de la existencia del equilibrio electrónico y la validez de las expresiones alternativas para y e

TΦ wg DD se ha determinado una condición adicional para su estricta existencia, cuando en el medio son consideradas las pérdidas radiativas, que si bien no es fácilmente comprensible, esta nos lleva a determinar que el Equilibrio Electrónico es una condición poco realista. Es decir, la existencia del EE ha sido idealizada para determinar de una manera sencilla la dosis absorbida en los medios de investigación y tratamiento, ya que siempre tendremos pérdidas radiativas que por lo general no serán constantes y por consiguiente jamás se cumplirá estrictamente el Equilibrio Electrónico. De esto último hace referencia el ICRU 60 (1998) [4], a saber: “para la existencia del Equilibrio Electrónico las pérdidas radiativas y aquellas debido a colisiones nucleares elásticas deban ser despreciables”.

REFERENCIAS

1. Frank H A, “Basic γ ray dosimetry”, Naval Research Laboratory, Washington, D.C. (1967). 2. Frank H. Attix, Introduction to Radiological Physics and Radiation Dosimetry, Jhons Wiley

and Sons, (1986). 3. Harold E J, Jhon R Cunningham, The Physics of Radiology, Charles C. Thomas Publisher,

fourth edition, (1984). 4. ICRU Report 60, Fundamental Quantities and Units for Ionizing Radiation, International

Commission Radiation Units and Measurements, Bethesda (1998.).


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