dam m3

LES

DIF

ICU

LTA

TS D

’APR

ENEN

TATG

E D

E LE

S M

ATE

MÀ

TIQ

UES Mòdul 3:

Dificultats en la resolució de problemes

Formació Psicopedagògica

Josetxu Orrantia

1

índex

1. Introducció

2. Què fa un alumne competent per a resoldre un problema

3. Explicació de les dificultats

3.1 El punt de vista logicomatemàtic

3.2 El punt de vista lingüístic

4. L’avaluació en la resolució de problemes

5. La intervenció en la resolució de problemes

2

3

9

9

12

15

17

LES DIFICULTATS D’APRENENTATGE DE LES MATEMÀTIQUESMòdul 3: Dificultats en la resolució de problemes

Formació Psicopedagògica


2

1. INTRODUCCIÓ

Entrem ara en la segona part del mòdul, on plantejarem les dificultats que troben els

infants quan han d’utilitzar les operacions en contextos més amplis, és a dir, quan les

operacions es presenten en un problema verbal. Per a fer-ho, tal com hem fet amb les

operacions, desenvoluparem els punts següents:

a) partirem d’una teoria que ens expliqui què fan els alumnes i les alumnes quan

afronten la resolució d’un problema verbal;

b) plantegem després què succeeix amb les alumnes i els alumnes que no resolen

bé els problemes;

c) finalment considerarem alguns procediments que ens ajudin a avaluar l’actuació

d’aquests alumnes i intervenir-hi.


3

2. QUÈ FA UN ALUMNE COMPETENT PER A RESOLDRE UN PROBLEMA

En aquest punt, ens centrarem en els processos, les estratègies i les estructures de

coneixement que es posen en joc quan ens encarem amb la resolució d’un problema. Al

començament del mòdul indicàvem que en la resolució de problemes es poden distingir

diferents passos:

- traslladar les proposicions del problema plantejat a una representació interna;

- integrar-les dins d’una estructura coherent;

- planificar la solució i executar-la.

En aquest sentit, abans d’executar les operacions cal crear una representació de

l’enunciat del problema en la memòria, de tal manera que, per mitjà d’aquesta represen-

tació, l’alumne o alumna decideix quina operació ha de fer. Per tant, dedicarem aquest

subapartat a establir com es duu a terme aquest procés de representació.

Hi ha diferents models de simulació que han intentat establir les estructures de coneixement

i les estratègies que es posen en joc per a arribar a la representació del problema (M.S.

Riley, J. Greeno i J.I. Heller, 1983; M.S. Riley i J. Greeno, 1988; D.J. Briars i J.H. Larkin, 1984;

W. Kintsch i J. Greeno, 1985).

Des d’aquests models s’afirma que el procés de representació es duu a terme com

a resultat d’una interacció complexa de processament de baix a dalt (bottom up)

i de dalt a baix (top down), és a dir, tant el processament del text verbal del

problema com l’activitat de certs esquemes cognitius de l’alumne o alumna

contribueixen a la representació del problema.

• Transformar les frases en proposicions.

Processament Resultat

• Crear un conjunt per a cada frase.

• Activació de diferents superesquemes. • Els conjunts es relacionen entre si en una estructura part-tot, canvi.


4

Vegem com es fa aquesta representació, tot utilitzant un exemple concret:

En Joan té algunes bales.

Guanya 5 bales en una partida.

Ara en Joan té 8 bales.

Quantes bales tenia al començament?

Les primeres estructures de coneixement que es posen en joc transformen les frases en

proposicions. Per exemple, la primera frase, En Joan té algunes bales, consta de tres pro-

posicions que s’organitzen dins d’uns esquemes anomenats esquemes de conjunt (set

schema). Aquests esquemes estan compostos d’uns emplaçaments on s’inclouen les

proposicions. Així, les proposicions En Joan, bales i algunes s’assignen als emplaçaments

d’“especificació”, d’“objecte” i de “quantitat”, respectivament. I, d’aquesta manera, es

crea un conjunt amb “alguns” elements. Aquestes estructures de coneixement serveixen

per a comprendre aïlladament cadascuna de les frases. Tanmateix, això no és suficient

per a arribar a una representació coherent del problema. A més, necessitem altres estructu-

res de coneixement que ens permetin posar en relació aquestes frases, que ara anomenem

conjunts. Per això, en l’esquema de conjunt apareix un altre emplaçament anomenat rol,

que fa al·lusió a la funció que aquest conjunt tindria en una estructura d’ordre elevat o

superesquema.

Per mitjà dels superesquemes s’estableixen les diferents relacions que hi pot haver entre

els conjunts que figuren en l’enunciat. A més, s’assemblen al que en el mòdul “Les

dificultats d’aprenentatge de la lectura i l’escriptura” s’anomena superestructura textual

Esquema de conjunt per a transformar frases en proposicions

ConjuntP1 x1 = Joan

P2 Tenir (x1, P3)

P3 Algunes (bales)

Rol = ?

Joan Bales ?

Especificació Objecte Quantitat


5

ja que, com hem exposat al principi del mòdul (J. Orrantia, 1993; J. Orrantia i altres, en

premsa), els enunciats dels problemes es poden considerar un tipus específic de text. Hi

hauria tres tipus bàsics de superesquema: canvi, part-tot i més que o menys que, que

correspondrien a tres tipus bàsics de problemes; canvi, combinació i comparació, respec-

tivament (M.S. Riley i altres 1983).

1) En el superesquema canvi, que és el cas de l’exemple que ens ocupa, hi ha un con-

junt inicial d’objectes que es modifica mitjançant un conjunt canvi, bé afegint o bé

traient, i origina un conjunt resultat. Els objectes, les quantitats i les especificacions

d’aquests conjunts es deriven des de les proposicions de la base del text, creant esque-

mes de conjunt, que ara tenen un rol (inicial, canvi o resultat) dins del superesquema.

2) El superesquema part-tot corresponent als problemes de combinació també inclou

tres conjunts: dos que tenen el rol de subconjunt i un que té el rol de conjunt total.

Per exemple.: “En Joan té 5 bales (conjunt part 1); en Pere té 3 bales (conjunt part 2);

quantes bales tenen entre els dos? (conjunt total)”.

Superesquema d’un problema de canvi

Superesquema canvi

Conjunt inicial Conjunt canvi Conjunt resultat

Superesquema d’un problema de combinació (part-tot)

Superesquema part-tot

Conjunt part 1 Conjunt part 2 Conjunt total


3) I pel que fa als problemes de comparació, el superesquema conté un conjunt que fa

el paper de conjunt major, un altre de conjunt menor i un tercer que té el rol de con-

junt diferència. Per exemple: “En Joan té 5 bales (conjunt menor); en Pere té 3 bales

més que en Joan (conjunt diferència); quantes bales té en Pere? (conjunt major)”.

Ara bé, la qüestió és com s’activen cadascun d’aquests superesquemes, és a dir, com es

recuperen des dels coneixements per fer-se operatius en el procés de resolució. Des del

model que estem desenvolupant, s’estableix que els superesquemes es desencadenen

gràcies a determinades proposicions que figuren en la base del text.

Per exemple, el superesquema de canvi s’activa mitjançant proposicions que fan referència

a un increment o a un decrement (donar, prendre, afegir, perdre...). Així, en el problema que

estem considerant, en la base del text figura guanyar [Joan, 5 bales] i, per consegüent, ja

hi ha un conjunt que pertany a “en Joan”.

6

Superesquema d’un problema de comparació (més que/menys que)

Superesquema més que /menys que

Conjunt major Conjunt menor Conjunt diferència

Així, doncs, podem argumentar que per a resoldre un problema cal comptar

en la nostra base de coneixements amb aquests superes-quemes que relacio-

nen els conjunts de l’enunciat. Com hem tingut l’oportunitat de veure, aquests

superesquemes estableixen diferents relacions entre els conjunts que figuren

en un enunciat.

Així, el superesquema de canvi implica una relació dinàmica (el conjunt inicial

es modifica per mitjà d’un canvi), davant de la relació estàtica típica dels pro-

blemes part-tot o de la comparativa dels problemes més que/menys que. I

l’important és que l’alumne que ha de resoldre un problema identifiqui aques-

tes relacions per tal de poder resoldre’l.


7

En aquest cas, al conjunt a què fan referència aquestes proposicions se li assigna el rol

de conjunt de canvi, mentre que al conjunt existent se li assigna el rol de conjunt inicial.

L’existència d’aquests dos conjunts i la proposició de transferència (guanyar) activen la

creació del superes-quema de transferència.

Pel que fa als altres dos superesquemes, la proposició entre els dos activa l’estructura

part-tot, i al conjunt especificat per aquesta proposició se li assigna el rol de conjunt total;

d’altra banda, la proposició té més que o té menys que activa el superesquema més que/

menys que, i assigna el rol de diferència al conjunt en què apareix aquesta proposició.

Una darrera qüestió. Hi ha alguns problemes més difícils que no es poden resoldre amb

aquests coneixements, car els superesquemes plantejats reflecteixen directament les

accions del text, però hi ha problemes que no es presten fàcilment a aquesta situació.

Aquest és el cas dels problemes inconsistents, on l’acció reflectida en el text no es co-

rrespon amb l’operació que cal utilitzar.

Per exemple, el problema de canvi que estem considerant inclou en el text guanya i

l’operació que hem de fer és una subtracció. En aquest cas, per a resoldre el problema

cal recórrer al superesquema part-tot, tal com mostra la figura de la pàgina següent:

Com es pot apreciar, un cop creat el superesquema corresponent a l’estructura de canvi

s’afegeix (o se superposa) l’estructura part-tot, de tal manera que es decideixi si el conjunt

desconegut es considera una part o bé el tot dins d’aquesta estructura. En aquest cas, es

pot deduir que, com que s’afegeix una quantitat al conjunt inicial per a obtenir un con-

junt resultat més gran, aquest conjunt més gran esdevé el tot i el conjunt inicial descone-

gut, una de les parts, amb la qual cosa l’operació que cal fer és una subtracció.

Superesquema de canvi

Conjunt inicial Conjunt canvi Conjunt resultat

Superesquema part-tot

TotPart 1 Part 2


Una cosa semblant succeeix en el següent problema de comparació: En Joan té cinc bales;

ell té tres bales menys que en Pere; quantes bales té en Pere?

En aquest cas, la proposició menys que activa el superesquema dels problemes de

comparació, però indueix a fer una subtracció quan, en realitat, a la solució s’arriba amb

una suma. No obstant això, activant el superesquema parttot, al conjunt d’en Pere se li

assignaria el rol “tot”, amb la qual cosa caldria fer una addició des dels altres dos conjunts

que configuren les parts.

8

En definitiva, aquestes serien les estructures de coneixement que es posen

en joc per a comprendre un problema, és a dir, per a crear una correcta

representació del problema. A partir d’aquesta representació, es plantejaria

l’execució de les operacions per a arribar a la solució del problema, bé per

mitjà d’estratègies de recompte, o bé a partir de la recuperació immediata de

la memòria a llarg termini, com hem vist en l’apartat 2. En aquest sentit, les

operacions ja no es resolen aïlladament, sinó en el context de la resolució d’un

problema.


9

3. EXPLICACIÓ DE LES DIFICULTATS

Una vegada exposada la teoria sobre el que fa un alumne competent quan resol un

problema, ens centrarem en el següent punt de l’esquema: l’explicació de les dificultats,

o el que és el mateix, què no fa bé un alumne quan resol malament un problema. Per a

respondre aquesta qüestió, s’han proposat dues hipòtesis que, en bona part, queden

recollides en el model descrit en el punt anterior:

• Una parteix dels models que han considerat el desenvolupament de les estructures

logicomatemàtiques necessàries per a resoldre un problema, de manera que les dificultats

s’explicarien per una manca de coneixement logicomatemàtic.

• L’altra hipòtesi, de caràcter lingüístic, considera que les dificultats s’expliquen per

una manca de coneixement de certs termes lingüístics que hi ha en el problema.

Des del nostre punt de vista, totes dues hipòtesis poden interactuar entre si, ja que el

processament lingüístic és necessari per a accedir al coneixement logicomatemàtic.

Vegem breument cadascun d’aquests plantejaments en els subapartats següents.

3.1 El punt de vista logicomatemàtic

D’acord amb els models logicomatemàtics pel que fa a la resolució de problemes verbals,

diferents tipus de problemes necessiten diferents nivells de coneixement matemàtic, per

la qual cosa les dificultats sorgeixen quan no es compta amb prou coneixement per a

resoldre certs problemes (M.S. Riley i altres, 1983; M.S. Riley i J. Greeno, 1988).

En aquest sentit, aquests models han establert tres nivells de coneixement per a cada

categoria de problemes:

a) En el nivell 1 es podrien resoldre els problemes en què la informació respecte als

conjunts permet construir la representació del problema seqüencialment, proposició

a proposició, tal com es presenten en el text de l’enunciat.

D’aquesta manera, els coneixements requerits en aquest nivell permeten resoldre

els problemes de combinació en què la incògnita és el conjunt total; els problemes de


canvi, on apareix el conjunt inicial i la transformació i es pregunta pel resultat; i els pro-

blemes de comparació que pregunten per la diferència, tenint com a dades el conjunt

més gran i el més petit.

Problema de combinació

Prenguem, per exemple, el següent problema de combinació: “En Joan té 3 bales; en Pere té 5 bales; quantes bales tenen entre tots dos?”

Quan es presenta la frase “en Joan té 3 bales” es representa un conjunt amb tres elements, de la mateixa manera que amb la frase següent, “en Pere té 5 bales”, es pot crear un altre conjunt amb cinc elements. Finalment, quan es presenta la pregunta “quantes bales tenen entre tots dos?”, s’uneixen els dos conjunts, s’executen les accions de comptar aquest conjunt i s’arriba a la resposta “8”. Com podem observar, la resolució d’aquests problemes es pot aconseguir atenent de manera aïllada les diferents frases o proposicions que hi ha a l’enunciat. Així, i si s’utilitzen objectes concrets, es pot modelar cada frase directament des de l’enunciat sense atendre les altres.

b) Això no obstant, en el primer nivell no es poden resoldre problemes com els de

comparació en què apareixen frases com ara “en Pere té 3 bales més (o menys) que

en Joan”, ja que no es pot fer cap acció per a crear un conjunt sense tenir en compte

altres elements de l’enunciat (en l’exemple, les bales d’en Joan). En aquest cas cal

comptar amb els coneixements del nivell 2, ja que gràcies a aquest coneixement es

poden representar relacions entre conjunts utilitzant els superesquemes additius ja

coneguts.

Problema de comparació:

Prenguem com a il·lustració d’aquest nivell el següent problema de comparació: “En Joan té 3 bales; en Pere té 5 bales més que en Joan; quantes bales té en Pere?”

La frase “en Joan té 3 bales” ens duu a una representació similar a la del nivell 1, ja que es pot repre-sentar directament de l’enunciat. La frase següent, “en Pere té 5 bales més que en Joan”, no podem representar-la amb el coneixement del nivell 1, perquè requereix que es comprengui la relació entre conjunts. En aquest cas, en el nivell 2 es compta amb el supe-resquema de comparació, amb les categories conjunt major, menor i diferència.

Prenent-ho en consideració, a partir d’aquesta frase es pot construir un altre conjunt, tot afegint al primer el nombre especificat en la diferència (“5 més que”) i, davant la pregunta “quantes bales té en Pere?”, es respon comptant el nombre d’elements del conjunt que s’ha format. Dit d’una altra manera, per a respondre la pregunta del problema cal posar en relació els conjunts de l’enunciat atenent el superes-quema corresponent; en aquest cas, els conjunts especificats per en Joan i en Pere, de tal manera que el

10


11

conjunt especificat per en Pere és relatiu, i depèn per a crear-lo del conjunt especificat per en Joan. Tan sols apel·lant a un superesquema de comparació amb un conjunt major, un de menor i la diferència és possible resoldre el problema.

c) Finalment, en el nivell 3 s’afegeixen relacions part-tot a altres relacions ja pre-

sents, especialment amb els problemes inconsistents, com anticipàvem en el subapartat

anterior.

Problema de canvi

Considerem, per exemple, el problema de canvi ja conegut: “En Joan té algunes bales. Guanya 5 bales més en una partida. Ara en Joan té 8 bales. Quantes bales tenia en Joan de bon començament?”

Amb el coneixement aportat en aquest nivell es pot produir un procés de conversió que proporciona el coneixement necessari per a decidir que, si un conjunt ha estat incrementat, es representi una relació part-tot en què el resultat sigui el tot, i els altres conjunts en la relació (conjunt inicial i canvi), les parts. En aquest cas, i com que el conjunt inicial que busquem és una de les parts (és un nombre més petit que el resultat que representa el tot), l’operació és una resta, malgrat que en l’enunciat surt “guanyar”, que conduiria a una operació de suma.

En resum, diferents tipus de problemes necessiten diferents nivells de co-

neixement. Uns problemes es poden resoldre representant directament els

conjunts que apareixen en l’enunciat (nivell 1). Per a resoldre’n d’altres, cal

establir relacions entre els conjunts mitjançant els superesquemes (nivell 2).

Mentre que els problemes inconsistents (els més difícils), es resolen conver-

tint els superes-quemes en relacions part-tot.

Reprenguem ara la qüestió que ens ocupa: per què certs alumnes no són capaços de

resoldre un problema? Des d’aquest plantejament, diríem que no tenen el coneixement

logicomatemàtic necessari. Tant perquè no són capaços de representar directament els

conjunts del problema com perquè no tenen el coneixement de les estructures que posen

en relació els conjunts que hi apareixen; o no són capaços d’utilitzar l’estructura part-tot

associada a aquestes estructures.

No obstant això, s’han descrit algunes situacions que no són fàcilment explicables des

d’aquest model. Per exemple, alguns treballs han demostrat que davant de dos problemes

que requereixen el mateix coneixement logicomatemàtic, un es resol més fàcilment que


12

no pas l’altre. Per aquest motiu, s’ha proposat una altra explicació de les dificultats: el

coneixement lingüístic.

3.2 El punt de vista lingüístic

Considerem el següent problema de comparació, similar a d’altres de proposats per T.

Hudson (1983):

Hi ha 8 ocells.

Hi ha 5 nius.

Quants ocells més que no pas nius hi ha?

Des del punt de vista logicomatemàtic, aquest problema es podria resoldre amb els

coneixements del nivell 1, ja que no necessita establir relacions entre els conjunts, sinó que

es pot modelar seqüencialment des de l’enunciat. Tanmateix, els resultats semblen indi-

car que aquest problema és bastant difícil de resoldre per a molts nens i nenes que

aparentment haurien de comptar amb el coneixement requerit en aquest nivell. Ara bé,

T. Hudson (1983) ha aportat millores dràstiques en l’execució d’aquest tipus de problemes

quan es presenta de la manera següent:

Hi ha 8 ocells.

Hi ha 3 nius.

Quants ocells es quedaran sense niu?

Aquest segon problema és resolt sense dificultat aparent per molts alumnes que no resolien

l’anterior. Però hem de fer notar que l’estructura d’aquests dos problemes és la mateixa, és

a dir, les relacions que s’estableixen entre els conjunts són les mateixes, canviant solament

l’expressió quants ... més que ...? per l’expressió quants ... es quedaran sense ...?.

Així, doncs, tenint en compte aquestes dades, es pot suggerir que el fracàs dels alumnes

en els problemes de comparació probablement indica una manca de coneixement lingüístic

per a entendre el llenguatge que s’hi inclou (D.D. Cummins i altres, 1988).

En una línia semblant, s’han dut a terme altres investigacions (per exemple, E. de Corte,

L. Verschaffel i L. de Win, 1985; J. Davis-Dorsey, S.M. Ross i G.R. Morrison, 1991), utilitzant


13

altres tipus de problemes. Per exemple, en el treball d’E. de Corte i altres (1985), els autors

van presentar a alumnes de primer i segon curs dues sèries de problemes; en la sèrie A, els

problemes estaven plantejats de forma usual, tal com figuren generalment en els llibres de

text; i en la sèrie B, els mateixos tipus de problemes foren reformulats per facilitar-ne el

processament lingüístic:

Com es pot veure, en la forma més usual del problema de canvi no es fa referència

explícita al conjunt inicial no conegut, és a dir, no es menciona explícitament que en

Joan té algunes bales abans de perdre’n tres. La reescriptura consisteix principalment a

afegir una frase al problema en què s’identifiqui el conjunt inicial no conegut.

I, pel que fa al problema de combinació, en la seva forma habitual no es fa referència

explícita al fet que el subconjunt donat i el no conegut formen part, alhora, del conjunt

total. Els resultats globals que obtingueren E. de Corte i altres (1985) mostren que els

alumnes van rendir millor amb els problemes reescrits que no pas amb els problemes

presentats d’acord amb la formulació corrent. Per consegüent, des d’aquesta posició

s’argumenta que el processament lingüístic té un rol important, ja que aquests dos

problemes necessiten les mateixes estructures logicomatemàtiques per a ser resolts.

Malgrat això, des del nostre punt de vista es podria plantejar una interacció entre aquestes

dues hipòtesis explicatives de les dificultats (lingüística i logicomatemàtica). Així doncs,

una possible interpretació dels resultats anteriors podria ser que els alumnes amb menys

En Joan guanyà 3 bales.

Tipus de problema

Canvi

Combinació

Sèrie A Sèrie B

Ara ell té 5 bales.

Quantes bales tenia de bon començament?

En Joan i en Pere tenen 9 bales entre tots dos.

En Joan té 3 bales.

Quantes bales té en Pere?

En Joan tenia algunes bales.

Ell guanyà 3 bales més.

Ara ell té 5 bales.

Quantes bales tenia de bon començament?

En Joan i en Pere tenen 9 bales entre tots dos.

3 d’aquestes bales són d’en Joan.

La resta pertanyen a en Pere. Quantes bales té en Pere?


14

experiència o aquells que tenen dificultats en la resolució de problemes és probable que

depenguin d’un processament de baix a dalt (bottom up) per a construir una representació

adequada del problema, ja que possiblement tenen menys desenvolupats els esquemes o

estructures que relacionen els conjunts en els problemes.

En aquest sentit, la reescriptura per a afavorir el processament lingüístic fa més explí-

cites les relacions entre els conjunts sense afectar-ne l’estructura, cosa que facilita la

construcció d’una representació més apropiada. Els més experts, tanmateix, processen

el text del problema de dalt a baix (top down), és a dir, guiats des dels esquemes de

coneixements sobre les relacions i, d’aquesta manera, poden compensar la informació

omesa o ambigua del problema.

D’aquesta manera, el processament textual pot ajudar a accedir al coneixement

matemàtic rellevant. En altres paraules, podríem dir que les modificacions en el

text del problema, on les relacions entre els conjunts es fan més explícites,

donarien lloc a un processament del text més elaborat i, com a conseqüència

d’això, es podria facilitar la construcció d’una representació més adequada del

problema.

Amb tot, podríem treure’n les conclusions següents:

• Per a resoldre els problemes es duen a terme un seguit de passos que no necessària-

ment han de succeir en un ordre seqüencial. Aquests passos permeten establir una

representació correcta del problema.

• Per a arribar a la representació, l’alumne o alumna necessita posar en joc una sèrie

de superesquemes que permeten establir relacions entre els conjunts que figuren en

l’enunciat.

• A més, les dificultats en la resolució dels problemes sorgeixen quan l’alumne o alumna

no arriba a establir aquesta representació, bé perquè no té el coneixement logico-

matemàtic adequat, o bé perquè fracassa en el processament lingüístic, tot i que en la

integració d’aquestes dues explicacions es pot trobar una explicació més plausible del

perquè no estableix aquesta representació.


15

4. L’AVALUACIÓ EN LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Un cop considerats els aspectes relacionats amb el que fa un alumne quan resol problemes

i exposades les explicacions de les dificultats dels que fracassen, revisarem el problema

de l’avaluació.

El més comú és proposar a l’alumne que resolgui problemes presentats en un format

recognoscible i observar si la solució és correcta o no ho és. Lògicament, aquest tipus

d’avaluació no ofereix gaire informació, especialment des dels coneixements que tenim

sobre la resolució de problemes, llevat del cas d’afirmacions genèriques del tipus “aquest

alumne no ha entès bé el problema”.

En aquest sentit, no podem prendre gaires decisions per a ajudar un alumne que presenti

dificultats, o aquestes decisions han de ser també de caràcter general: “torna a llegir el

problema, que no l’has entès bé...”, “pensa en el que et demanen...” i d’altres de similars.

La qüestió és que necessitem saber quan un alumne no resol correctament un

problema. Si seguim el marc que hem exposat, l’avaluació s’hauria d’orientar

a comprovar si l’alumne té els processos, les estratègies i les estructures de

coneixements necessaris per a resoldre un problema i si els posa en joc en una

situació concreta de resolució.

Ara bé, hem de reconèixer que no és fàcil dur a terme aquest tipus d’avaluació, ja que

estem proposant que, d’alguna manera, es facin visibles processos que, en realitat, són

interns.

Podem trobar una possible solució a aquest problema en un corrent d’avaluació diferent

del tradicional i que se centra molt més en el procés que no pas en el producte. Aquest és

l’enfocament de l’avaluació dinàmica: el pressupòsit fonamental no és tant avaluar allò

que l’alumne és capaç de fer per si mateix, com allò que pot fer amb l’ajuda d’una altra

persona més experta.

És fàcil d’endevinar que aquest plantejament es troba en L.S. Vigotski i, més concretament,

en la seva teoria del desenvolupament cognitiu, especialment en el concepte de zona de

desenvolupament proper. Vegem breument com es pot aplicar aquest plantejament.


16

Un exemple d’avaluació dinàmica

Imaginem que tenim un alumne que no resol un problema concret i volem saber en quin pas del procés de resolució troba dificultats. A més, tenim una anàlisi d’aquests passos, és a dir, una anàlisi d’aquesta tasca en termes de les estratègies i dels coneixements que es posen en joc per a la seva resolució.

Podem continuar imaginant que disposem d’un seguit d’ajudes relacionades amb cadascun d’aquests passos. Per exemple, pensem en una ajuda que permet a l’alumne accedir al superesquema que relaciona els diferents conjunts que figuren en l’enunciat. Aleshores, oferim aquesta ajuda a l’alumne i li proposem que, fent-la servir, resolgui el problema. Un darrer esforç per imaginar que, amb aquesta ajuda, l’alumne és capaç de resoldre el problema.

La conclusió que podríem treure és que quan l’alumne afronta sol el problema, d’alguna manera no ope-ra amb les relacions que s’estableixen entre els conjunts ja que, si l’ajudem a efectuar aquest procés, pot resoldre’l correctament. També podria succeir que, fins i tot amb l’ajuda, l’alumne continués sense re-soldre el problema. En aquest cas, podríem pensar a oferir una ajuda relacionada amb un altre procés i

comprovarne l’efecte.

L’objectiu que es persegueix amb aquest procediment és, per dir-ho així, visualitzar les ac-

cions que executa l’alumne en els diferents processos implicats en la resolució del proble-

ma. No obstant això, som conscients que aquest plantejament necessita comptar amb un

seguit d’ajudes que es relacionin amb aquests processos. Per això, remetem l’estudiant al

subapartat següent, en què revisarem com cal intervenir amb els alumnes que presenten

dificultats i, a partir d’aquí, reprendrem aquest procediment d’avaluació.


17

5. LA INTERVENCIÓ EN LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

Abans d’entrar en el tema referent a la intervenció, convé advertir que tradicionalment

l’ensenyament de la resolució de problemes s’ha centrat (i possiblement se centra encara)

a instruir els alumnes en les estratègies d’execució, concretament en els algorismes per a

l’addició i la subtracció, parant poc esment en els aspectes relacionats amb la comprensió.

El més normal és que els alumnes aprenguin a sumar i a restar i aplicar posteriorment

aquestes operacions a un seguit de problemes més o menys rutinaris. Amb tot, hem tingut

l’oportunitat de veure que les dificultats que presenten molts alumnes s’han de trobar

precisament en l’execució de les operacions per a resoldre els problemes.

En aquest sentit, la instrucció hauria d’aportar a l’alumne el coneixement necessari perquè

arribés a crear una representació correcta del problema. En aquesta línia s’han elaborat

diferents investigacions que poden classificar-se des de diverses variables.

Així, hi ha estudis que s’han centrat en la instrucció en un únic tipus de problemes, com

el dut a terme per A.B. Lewis (1989), on ensenya l’alumnat a representar l’estructura dels

problemes de comparació més difícils. Tanmateix, altres investigacions s’han centrat en

l’ensenyament de tots tres tipus d’estructures, com ara el treball de G.B. Willis i K.C. Fu-

son (1988) i K.C. Fuson i G.B. Willis (1988).

Un altre aspecte que diferencia les investigacions fetes és l’ensenyament d’una úni-

ca estructura més global o general per a tots tres tipus de problemes, generalment

l’estructura part-tot (E.C. Rathmell, 1986), derivada del plantejament d’alguns autors com

L.B. Resnick (1983; 1989).

Però altres investigacions estan orientades a l’ensenyament d’una estructura per a cada

tipus de problemes (M.A. Wolters, 1983; G.B. Willis i K.C. Fuson, 1988; J. Orrantia i altres,

1995).

Tal vegada, la qüestió més rellevant que cal tenir en compte a l’hora d’intervenir és uti-

litzar una única estructura global per a tots els problemes o diferents estructures per a

diferents tipus de problemes. Alguns pensen que l’ensenyament s’hauria de centrar en


l’estructura part-tot, ja que es pot aplicar a qualsevol problema verbal.

En aquesta línia hi ha el treball desenvolupat per E.C. Rathmell (1986), que centra la ins-

trucció en la discussió de la relació part-tot per a tots els tipus de problemes.

Exemple d’ensenyament centrat en un problema de comparació

Al gimnàs hi ha sis pilotes. Hi ha nou noies que volen jugar a pilota. Quantes noies més que no pas pilotes hi ha? Les sis pilotes i les nou noies són part d’un conjunt o són dos conjunts diferents? [2 conjunts diferents]

Quantes noies tindran pilota? [6]

Són una part de les noies o totes les noies? [part]

Les nou noies són una part o són totes les noies? [totes les noies]

Sí, les nou noies són el conjunt total de les noies. Part d’elles tindran pilota i part d’elles no en tindran. Quan coneixes el tot i una de les parts, què fas per trobar l’altra part? [restar]

Quantes noies es quedaran sense pilota?

Sense posar en dubte que aquest tipus d’intervenció sigui efectiva (per bé que alguns sí

que ho facin, com ara M.A. Wolters, 1983, o K.C. Fuson i G.B. Willis, 1988), des del nostre

punt de vista, plantejar l’ensenyament de diferents tipus d’estructures pot ser més enri-

quidor per dues raons:

1) perquè permet més flexibilitat a l’hora d’aplicar estratègies de resolució;

2) perquè els diferents problemes expressen relacions semàntiques realment diferents,

com hem tingut ocasió de veure.

En aquest sentit, nosaltres hem desenvolupat un programa d’instrucció centrat en

l’ensenyament de diferents estructures, i que ha provat la seva efectivitat amb alumnes

que presenten dificultats en la resolució de problemes (J. Orrantia i altres, 1993, 1995).

Per a fer-ho, hem tingut en compte el marc teòric desenvolupat més amunt, especialment

el referent a l’explicació de les dificultats tant des del punt de vista lingüístic com logico-

matemàtic. El programa té una sèrie de components que descrivim a continuació:

18


19

a) Ajudes externes (reescriptura)

La primera ajuda del programa d’instrucció consisteix a reescriure el problema de

manera que en ressalti l’estructura semàntica per a afavorir el processament lingüístic.

Per exemple, per als problemes de combinació hem plantejat la modificació proposada

per E. de Corte i altres (1985) que havíem revisat més amunt.

En negreta figuren les modificacions que estan orientades a fer més patent l’estructura

part-tot.

En els problemes de canvi (vegeu els gràfics següents), hem escrit en negreta les expres-

sions que ressalten cadascuna de les categories de l’estructura (inicial, transformació i

resultat) i que destaquen l’acció temporal característica d’aquest tipus de problemes.

Per acabar, en els problemes de comparació –a més de la transformació proposada

per T. Hudson (1983) per als problemes en què es pregunta per la diferència– hem in-

troduït una frase (en negreta) que desvetlla quin és el conjunt major i el menor, ja que

aquest sembla que és l’aspecte que fa més difícils aquests problemes.

• En Joan i en Pere tenen 9 bales entre tots dos.

Normal Reescrit

• En Joan i en Pere tenen 9 bales entre tots dos.

• En Joan té 3 bales. • 3 d’aquestes bales són d’en Joan.

• Quantes bales té en Pere? • La resta pertanyen a en Pere. Quantes bales té en Pere?

• En Joan guanya 5 bales en una partida.

Normal Reescrit

• Al principi, en Joan té algunes bales.

• Ara té 8 bales. • Després guanya 5 bales en una partida.

• Quantes bales tenia al principi? • Al final té 8 bales.

Quantes bales tenia al principi?

• En Joan té 8 bales.

Normal Reescrit

• En Joan té més bales que en Pere.

• Ell en té 5 més que en Pere. • En Joan té 8 bales.

• Quantes bales té en Pere? •Ell en té 5 més que en Pere.

Quantes bales té en Pere?


b) Representació lingüística del problema (base del text)

Aquesta ajuda es relaciona, d’acord amb el model de W. Kintsch i J. Greeno (1985),

amb la representació de la base del text. Consisteix a articular l’enunciat del problema

en funció del que es coneix i del que no es coneix. Per exemple, el problema de canvi

reescrit s’articularia de la manera següent:

Amb aquesta ajuda pretenem que l’alumne s’encari amb una primera representació del

problema des d’allò més elemental, considerant les dades d’una banda, i la pregunta de

l’altra. A més, aquesta articulació servirà de pont entre l’enunciat, on els conjunts estan

més o menys aïllats, i el model del problema, on els conjunts es relacionen entre si des

de l’estructura que els organitza. D’altra banda, i com es pot apreciar en l’exemple, hem

posat els senyals que especifiquen les categories de l’estructura en negreta, ja que és un

aspecte fonamental que s’ha d’utilitzar en el model del problema, que ara passem a

comentar.

c) Representació figurativa del problema (model de la situació)

Aquesta ajuda serveix per a crear el model de la situació descrita en el problema. En

concret, el que es pretén és ensenyar a l’alumne els diferents esquemes d’ordre ele-

vat o superesquemes de la teoria de W. Kintsch i J. Greeno (1985) que, recordem, eren

l’esquema “part-tot” per als problemes de combinació (en la figura es recull cadascuna

de les parts i el tot), l’esquema “transferència” per als problemes de canvi (en aquest es

recull l’estat inicial, el canvi o transformació i l’estat final) i l’esquema “més que i menys

que” per als problemes de comparació (en què representem la quantitat més gran, la

més petita i la diferència).

Per a fer-ho, i basant-nos en investigacions precedents (G.B. Willis i K.C. Fuson, 1988; K.C.

Fuson i G.B. Willis, 1988; Vergnaud, 1982), hem dissenyat els esquemes figuratius següents:

20

• Al principi en Joan en té algunes.

• Després en guanya 5.

• Al final en té 8.

El que sé El que no sé

• Quantes bales té al principi?


21

Aquesta ajuda, que representa el problema amb un dibuix, serveix perquè l’alumne

“ompli” cadascuna de les categories de l’esquema que es refereixen a cada conjunt

conegut i al desconegut. Per a dur-ho a terme, i des de l’articulació “el que sé/el que no

sé”, juntament amb els senyals textuals, s’escull l’esquema i es col·loquen els números

des de “el que sé” en les seves categories corresponents, i la categoria que queda bui-

da s’omple amb una interrogació (?), que correspondria a la pregunta de “el que no sé”.

Per exemple, i continuant amb el problema de canvi, des de l’articulació “el que sé/el

que no sé”, es crearia la representació figurativa següent:

d) Raonament (planificació de la solució)

Aquesta ajuda es relaciona amb la decisió que hem de prendre pel que fa a l’operació

que cal executar. Respondria a la pregunta “cal que sumi o que resti?”. Aquesta ajuda

té sentit sobretot amb els problemes més difícils, on no es reflecteixen directament

les accions des del text. Tindria a veure amb l’estratègia “conjunt principal” de la teo-

ria de W. Kintsch i J. Greeno (1985), per mitjà de la qual es formen representacions

part-tot quan no són suficients les representacions amb altres esquemes.

Prenguem, per exemple, el problema de canvi que estem comentant. A partir de la re-

I FC

Canvi

P

P

T

Combinació

I = inicialF = finalP = part

T = transformacióM = majorm = menor

? 8+ 5


22

presentació figurativa no es pot decidir directament l’operació que cal fer. Per això, es

pot raonar amb l’alumne si el conjunt desconegut, en aquest cas el conjunt inicial, serà

més gran o més petit que el conjunt final.

En aquest sentit, a partir de la representació hem d’inferir l’assignació dels rols de sub-

conjunt i de conjunt principal, i convertir així l’estructura de canvi en una estructura part-

tot. En el cas que ens ocupa, hauríem de raonar que el nombre desconegut és més

petit, i d’aquesta manera li donem el rol de subconjunt i podem prendre la decisió de

fer una subtracció.

En el cas que els alumnes trobin dificultats en aquest punt, i tenim raons per creure

que és així (no endebades és el pas més complex del model de W. Kintsch i J. Greeno),

es pot introduir una intervenció similar a la proposada per E.C. Rathmell (1986) per a

l’estructura part-tot comentada més amunt. Però, a diferència del plantejament que

va fer E.C. Rathmell, aquí l’alumne ha operat amb altres nivells de la representació del

problema.

e) Revisió, avaluació i supervisió (ajudes metacognitives)

Per acabar, hem introduït en el programa d’instrucció un seguit d’ajudes més gene-

rals de caràcter metacognitiu, mitjançant les quals es revisa, s’avalua i se supervisa

l’aplicació de les ajudes anteriors. Per exemple, un cop decidida i executada l’operació

que cal fer, es pot introduir el resultat en el conjunt buit de l’esquema i comprovar si

és correcte.

També es pot anar supervisant l’execució de la resta de les ajudes; per exemple,

com sé si he articulat correctament les diferents frases del problema?, he omplert bé

l’esquema?, si no, en què m’he de fixar per a fer-ho correctament? Totes aquestes es-

tratègies més generals tenen com a funció que l’alumne s’autoreguli en l’aplicació de

tot el procés de resolució del problema.

En aquest programa d’instrucció es recullen, com es pot observar, totes les estratègies

i els coneixements implicats en la resolució de problemes. I aquestes són les estratè-

gies que un alumne hauria de posar en joc quan afronta la resolució d’un problema.

Ara bé, fins a quin punt cal oferir a un alumne totes aquestes ajudes?


23

És possible que, quan un alumne no resolgui correctament un problema, la seva difi-

cultat es trobi en alguns o en tots els passos del procés de resolució. Quan això suc-

ceeix, cal comptar amb un procediment d’avaluació que ens resolgui aquest problema.

I, tal com ja plantejàvem en tractar de l’avaluació, la mateixa instrucció pot esdevenir

un procediment òptim (E. Sánchez, 1989).

Com que ara comptem amb la instrucció, podem reprendre el plantejament. Per a fer-

ho, i amb la dificultat de narrar amb paraules una situació que és purament procedi-

mental, posarem un exemple que esperem que il·lustri el que volem dir.

Resolució de problemes mitjançant la instrucció

Considerem dos alumnes (A i B) que resolen incorrectament, després que hagi estat reescrit, el següent problema de canvi ja conegut: “Al començament, en Joan tenia algunes bales; després juga una partida i guanya cinc bales més; al final, té vuit bales; quantes bales tenia al començament?” En aquest problema, l’error més comú és fer una addició, ja que moltes criatures es guien per estratègies superficials, com ara: “guanya” implica sumar.

Imaginem que proposem als dos alumnes que articulin el problema mitjançant “el que sé i el que no sé”, i un d’ells (l’alumne A) ho fa correctament, tal com s’exposa en la descripció de l’ajuda b del programa. Però no solament això, sinó que, a més, amb aquesta ajuda l’alumne resol el problema correctament; què podem dir-ne? Quines decisions hem de prendre pel que fa a la intervenció?

En aquest cas, simplement caldria demanar a l’alumne que quan s’encari amb els problemes, intenti articular-los mitjançant “el que sé i el que no sé” abans de resoldre’ls, perquè és probable que així li vagin millor les coses. A més, és fàcil predir que aquest alumne no presenta dificultats excessives en la resolució de problemes, o almenys aquestes dificultats no són específiques, ja que amb l’ajuda ha sabut crear una representació correcta.

Possiblement, l’articulació del problema en el que sap i el que desconeix li permet reduir la càrrega de la seva memòria de treball; ara no li cal traslladar i retenir les diferents frases del problema, alhora que en crea una representació correcta per a decidir l’operació a partir d’això. Per aquesta raó, en reduir-li la càrrega de memòria pot dur a terme la tasca. Considerem ara l’alumne B. Imaginem que amb l’ajuda manllevada no és capaç de resoldre el problema. Com que encara persisteix en l’error, li podem oferir una altra ajuda; li proposem representar el proble-ma en un “dibuix”, però no un dibuix qualsevol (molts alumnes fan un dibuix que reflecteix els aspectes físics del problema), sinó un que representi l’estructura semàntica de l’enunciat. Així, l’examinador li presenta l’estructura de canvi explicant cadascuna de les seves categories perquè l’alumne l’“ompli”, tenint en compte l’articulació “el que sé i el que no sé”. Després d’això, l’alumne B col·loca un 5 en el primer quadrat i un 8 en el cercle, deixant lliure l’últim quadrat (cosa molt habitual, ja que apareixen en aquest ordre seqüencial en l’enunciat). Ja en aquest punt, podem col·laborar amb l’alumne perquè ho ompli correctament, tal com figura en la ajuda c del programa.


Ara li proposem que resolgui el problema fent ús d’aquesta representació. Com és fàcil de preveure, pot resoldre’l correctament o incorrectament; pensem en la segona possibilitat: que l’alumne encara no pugui resoldre el problema; en aquest cas li donem una ajuda més, que hem anomenat de raonament, en què es proposa a l’alumne que pensi si el número del quadrat desconegut serà més gran o més petit que el número del quadrat final, en aquest cas un vuit. Si col·laborem amb ell perquè decideixi que és més petit, és molt probable que s’arribi a la conclusió que l’operació és una subtracció.

Com podem advertir, les decisions que cal prendre respecte a aquest alumne són molt diferents de les que havíem pres amb l’alumne anterior. En el primer cas, dèiem que podia efectuar tots els compo-nents implicats en la tasca, però possiblement no coordinava la seva execució en una mateixa seqüèn-cia d’accions per una càrrega excessiva de la memòria de treball.

En el cas del segon alumne, creiem poder anticipar que presenta dificultats amb tots els components relacionats amb la tasca i, per aquest motiu, la instrucció hauria de dirigirse vers cadascun d’aquests components. Dit altrament, la instrucció hauria de procurar que fos el mateix alumne el qui es propor-cionés a si mateix cadascuna de les ajudes, i no l’instructor, tal com s’ha plantejat en l’avaluació.

Hi ha un principi fonamental que guia tot aquest plantejament: adaptar la ins-

trucció a les necessitats particulars de cada alumne o alumna. Així, aquests

dos alumnes, i això és molt important, malgrat haver tingut un rendiment si-

milar en una avaluació més estàtica (tots dos resolien malament el problema),

rebran un règim instruccional diferent.

Lògicament, és fàcil predir que entre aquests dos casos, que podem considerar extrems,

se’n poden incloure molts d’altres. Allò que interessa és anar utilitzant les ajudes en funció

del que cada alumne necessita.

24

dam m3

Education