curvas en el espacio - universidad de chile · ¿son todas las parametrizaciones de una misma curva...

Semana 11 [1/48]

Curvas en el espacio

October 11, 2007


Curvas en el espacio Semana 11 [2/48]

Coordenadas ortogonales

Sistema de coordenadas curvilíneasUna transformación invertible ~r : D ⊆ R3 → R3,

~r (u, v , w) = (x(u, v , w), y(u, v , w), z(u, v , w)).

Veremos algunos sistemas de coordenadas clásicos...



Coordenadas ortogonales

Sistema de coordenadas curvilíneasUna transformación invertible ~r : D ⊆ R3 → R3,

~r (u, v , w) = (x(u, v , w), y(u, v , w), z(u, v , w)).

Veremos algunos sistemas de coordenadas clásicos...



Coordenadas cilíndricas

La posición de un punto ~P en el espacio queda determinada por tresvariables, ρ, θ y z:

+

θ

ρ ∈ [0, +∞[

θ ∈ [0, 2π[z ∈ R

P

ρ

z




La relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas viene dada por

~r (ρ, θ, z) = (x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z(ρ, θ, z)) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z).

Recíprocamente, a un punto (x , y , z), le corresponde las coordenadas:

ρ =√

x2 + y2, θ = arctan(y

x

)

, z = z.







ρ =√


x

)

, z = z.



Coordenadas esféricas

La posición de un punto ~P está determinada por un radio r y dos ángulos θ yϕ:

+

θ

P

ϕ

z

y

x

r

r ∈ [0, +∞[

ϕ ∈ [0, π]

θ ∈ [0, 2π[




Para un punto descrito usando los valores r , ϕ y θ:

~r (r , ϕ, θ) = (r sen ϕ cos θ, r sen ϕ sen θ, r cos ϕ).

Recíprocamente, para un punto (x , y , z), se tiene la relación:

r =√

x2 + y2 + z2, ϕ = arctan

(

√

x2 + y2

z

)

,

θ = arctan(y

x

)

.



Curvas

Denotamos por Rn el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana:

‖~x‖ =√

~x · ~x =√

x21 + . . . + x2

n .

CurvaΓ ⊆ Rn es una curva

si existe ~r : I = [a, b] → Rn continua, llamada parametrización de la curva, talque

Γ = {~r (t) : t ∈ [a, b]}.

I

~r(t)

Γ



Curvas


‖~x‖ =√

~x · ~x =√

x21 + . . . + x2

n .



Γ = {~r (t) : t ∈ [a, b]}.

I

~r(t)

Γ



Tipos de curvas

1) Suave : si admite una parametrización de clase C1.

2) Regular : si admite una parametrización ~r (·) de clase C1 tal que‖d~r

dt (t)‖ > 0, para todo t ∈ I.

3) Simple : si admite una parametrización de clase C1 e inyectiva.

4) Cerrada : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de clase C1 talque ~r (a) = ~r (b).

5) Cerrada simple : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de claseC1 tal que ~r (a) = ~r (b) y que sea inyectiva sobre [a, b).



Tipos de curvas









Ejemplos

La cicloide: Es la curva descrita por un punto en una rueda (radio R)que gira sin resbalar.

t

a

p

R

Su parametrización viene dada por

~r (t) = (Rt , R) − (a sen t , a cos t) = (Rt − a sen t , R − a cos t),

a: Distancia del punto al centro de la rueda.



Ejemplos


t

a

p

R






Ejemplos

a<R

a=R

a>R



Ejemplos

Hélice: Curva parametrizada por la función

~r (t) = (a cos t , a sen t ,ht2π

), t ∈ [0, 4π].

h

h~r

4π0



Reparametrización

Parametrizaciones equivalenteDos parametrizaciones ~r1 : [a, b] → Rn y ~r2 : [c, d ] → Rn de una misma curvaΓ se dicen equivalentes siexiste una función biyectiva θ : [a, b] → [c, d ] de clase C1 tal que~r1(t) = ~r2(θ(t)) para todo t ∈ [a, b].

θ: Reparametrización.



Reparametrización





Reparametrización

¿Son todas las parametrizaciones de una misma curvanecesariamente equivalentes?

NOΓ ~r1 ~r2

Figure: Parametrizaciones no equivalentes para la misma curva Γ



Reparametrización

ProposiciónSi Γ no es cerrada, entonces todas sus parametrizaciones regulares soninyectivas y equivalentes .

Si Γ es una curva cerrada, se tiene que todas sus parametrizacionesinyectivas en el interior de su dominio son equivalentes.

Una parametrización regular ~r separa en dos tipos:

1 Las que tienen la misma orientación que ~r (que llamaremos orientaciónpositiva .

2 Las que tienen la orientación opuesta se llamará orientación negativa



Reparametrización








Parametrización en long. de arco

Γ una curva simple y regular. ~r : [a, b] → Rn una parametrización regularde Γ.

Aproximamos la longitud de Γ por una poligonal a través de los puntos~r (t0),~r (t1), . . . ,~r(tN), con a = t0 < t1 < . . . < tN = b una malla de puntos.

~r(t1)

~r(t0)

~r(t7)

~r(t8)Γ

L(Γ) ≈∑8

i=1

∥

∥~r(ti) −~r (ti−1)∥

∥






~r(t1)

~r(t0)

~r(t7)

~r(t8)Γ

L(Γ) ≈∑8

i=1

∥

∥~r(ti) −~r (ti−1)∥

∥




Se cumple

Proposición

La sumaN−1∑

i=0

∥

∥~r (ti+1) −~r (ti)∥

∥ converge, cuando el paso de la partición ∆({ti})

tiende a cero, a la integral∫ b

a

∥

∥

∥

∥

d~rdt

∥

∥

∥

∥

dt .

Longitud de curva

L(Γ) :=

∫ b

a

∥

∥

∥

∥

d~rdt

∥

∥

∥

∥

dt (1)

Este valor no depende de la parametrización regular ~r que se escoja paradescribir Γ.




Se cumple

Proposición

La sumaN−1∑

i=0

∥

∥~r (ti+1) −~r (ti)∥



a

∥

∥

∥

∥

d~rdt

∥

∥

∥

∥

dt .

Longitud de curva

L(Γ) :=

∫ b

a

∥

∥

∥

∥

d~rdt

∥

∥

∥

∥

dt (1)





Función longitud de arcoDefinimos s : [a, b] → [0, L(Γ)] como

s(t) :=

∫ t

a

∥

∥

∥

∥

d~rdt

(τ )

∥

∥

∥

∥

dτ (2)

s(t)

~r (a)

~r (t)

Γ

s(·) resulta ser una función de clase C1 con

dsdt

(t) =

∥

∥

∥

∥

d~rdt

(t)

∥

∥

∥

∥

> 0





s(t) :=

∫ t

a

∥

∥

∥

∥

d~rdt

(τ )

∥

∥

∥

∥

dτ (2)

s(t)

~r (a)

~r (t)

Γ


dsdt

(t) =

∥

∥

∥

∥

d~rdt

(t)

∥

∥

∥

∥

> 0




s(·) es una función estrictamente creciente y luego biyectiva.

Su inversa es también de clase C1 y estrictamente creciente.

Podemos considerar la reparametrización dada por esta función inversa,denotada t : [0, L(Γ)] → [a, b].

Consideramos la parametrización equivalente con parámetro, la longitudde arco:

~σ(s) = ~r (t(s)), s ∈ [0, L(Γ)]

Parametrización natural o de longitud de arco.








~σ(s) = ~r (t(s)), s ∈ [0, L(Γ)]




Ejemplo

Parametrización natural de la cicloide

~r (t) = R(t − sen t , 1 − cos t), t ∈ [0, 2π]

~σ(s) = 2R

(

arccos(

1 −s

4R

)

−(

1 −s

4R

)

√

1 −(

1 −s

4R

)2, 1 −

(

1 −s

4R

)2)


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