Pxaxmrrarzxcroxrs(de curvas y supercies)Mxax uri Cxamrx CxivoI. CurvasUna parametrizaci on de una curva C es una funci on vectorialc : I R Rncon la propiedad que al variar el par ametro t I su imagen c(t) va describiendo los puntosde C.Una interpretaci on fsica habitual es pensar que el par ametro t representa al tiempo y que c(t)indica en qu e posici on del plano o del espacio se encuentra una partcula en el instante t.Se presentan a continuaci on una serie de ejemplos con la intenci on de aportar ideas y m etodospara describir param etricamente a ciertas curvas.1. C1 : y = 2 en R2Los puntos de C1 son de la forma(x, 2)Cada valor de x produce un punto sobre la recta C1. Es decir, la funci onc1 : R R2c1(x) = (x, 2)es una parametrizaci on de C1.2 MARIA DEL CARMEN CALVO2. C2 :3x y z = 1x + y = 2en R3C2 es una recta en R3, la intersecci on de los planos1 : 3x y z = 1 y 2 : x + y = 2Despejamos y de la ecuaci on de 2:y = 2 xy lo reemplazamos en la ecuaci on de 13x (2 x) z = 13x 2 + x z = 14x z = 3De aqu obtenemos quez = 4x 3Luego, los puntos de C2 son los (x, y, z) tales quey = 2 x y z = 4x 3con lo cual(x, y, z) = (x, 2 x, 4x 3)= (0, 2, 3) + (x, x, 4x)= (0, 2, 3) + x(1, 1, 4)es decir, C2 es la recta dirigida por el vector (1, 1, 4) que pasa por el punto (0, 2, 3).Una parametrizaci on de C2 es entoncesc2 : R R3c2(x) = (x, 2 x, 4x 3)FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 3xyz3. C3 : x2+ y2= 1 en R2Una parametrizaci on de esta circunferencia es la funci onc3 : [0, 2] R2c3(t) = (cos t, sen t)El par ametro t representa en este caso el angulo que forma el vector de origen (0, 0) y extremo(x, y) con el semieje positivo de las abscisas.4 MARIA DEL CARMEN CALVO4. C4 :x29+y24= 1 en R2Para hallar una parametrizaci on de esta elipse notemos que su ecuaci on se puede escribir enla forma

x3

2+

y2

2= 1lo que signica que un punto (x, y) C4 si y s olo si (x3,y2) C3. Pero en tal caso,x3= cos t ey2= sen tpara un t [0, 2].Despejando x e y obtenemos una parametrizaci on de esta elipsec4 : [0, 2] R2c4(t) = (3 cos t, 2 sen t)Conviene observar que, como se ve en el gr aco, ahora t ya no tiene la misma interpretaci onque en el caso anterior.5. C5 :(x 2)29+(y + 3)24= 1 en R2Comencemos por notar que (x, y) C5 si y s olo si (x 2, y + 3) C4. Luego, para cada(x, y) C5 habr a un t [0, 2] tal quex 23= cos t ey + 32= sen tFACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 5De modo que una parametrizaci on de esta elipse est a dada porc5 : [0, 2] R2c5(t) = (3 cos t + 2, 2 sen t 3)6. C6 : x2 y2= 1 en R2En primer lugar vamos a parametrizar la rama derecha de esta hip erbola, llamada hip erbolaequil atera. A partir de esa trayectoria construiremos luego por simetra respecto del eje yla parametrizaci on de la rama izquierda.Sobre la rama derecha es x1; luego, podemos despejarla de la ecuaci onx =

y2+ 1Esto ya nos dara una forma describir param etricamente los puntos de C6 mediante la funci ond(y) = (

y2+ 1, y)denida en R. Pero vamos a encontrar otra parametrizaci on utilizando las funciones hiperb olicasde manera an aloga a lo hecho con la circunferencia y las funciones trigonom etricas.Recordemos que la funci on senh t es biyectiva entre R y R, derivable y su inversa argsenhtiene estas mismas propiedades6 MARIA DEL CARMEN CALVOsenh argsenhEsto nos permite pensar a cada y R comoy = senh tpara un unico t R1. De esta forma,x =

y2+ 1 =

senh2t + 1 = cosh ten virtud de la identidad hiperb olicacosh2t senh2t= 1y del hecho que cosh t1 > 0 para todo t R.Resulta entonces que cada punto de la rama derecha de la hip erbola equil atera se puedeexpresar en la forma(cosh t, senh t)para un unico t R tal como se muestra en el siguiente gr aco.el rea de esta regin mide t/21claramente debe ser t= argsenh yFACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 7La vericaci on de que el par ametro t se puede interpretar como el doble del area de la regi onsombreada requiere un simple c alculo integral.Ya estamos en condiciones de escribir la parametrizaci on prometida de la rama derecha dela hip erbola equil atera,c6d : R R2, c6d(t) = (cosh t, senh t)La siguiente gura ilustra c omo denir la parametrizaci on de la rama izquierdac6i : R R2, c6i(t) = (cosh t, senh t)7. C7 : gr aco de f : [a, b] R8 MARIA DEL CARMEN CALVOTal como se muestra en la gura anterior, cada punto del gr aco def se puede expresar enla forma(t, f (t))para t [a, b]. Luego, una parametrizaci on de C7 estar a dada porc7 : [a, b] R2c7(t) = (t, f (t))8. C8 : r= (coordenadas polares)Notemos que, si expres aramos a las coordenadas de la parametrizaci on en coordenadas po-lares, la expresi on claramente sera(, )para R>0 dado que r debe ser positivo.Con la ayuda del siguiente gr aco tratemos de hallar una parametrizaci on usando coorde-nadas cartesianas.C8xyDado P C8, sus coordenadas polares necesariamente son (, ) para alg un0; por lotanto, sus coordenadas cartesianas ser an( cos , sen )para 0.Deducimos de aqu la f ormula de una parametrizaci on de esta espiralc8 : R0 R2c8(t) = (t cos t, t sen t)FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 99. C9= Im(c9) , donde c9 : [0, 3] R3, c9(t) = (3 cos t, 3 sen t, t)Esta curva recibe el nombre de h elice circular. Si llamamos (x(t), y(t), z(t)) a las compo-nentes de c9(t)x(t) = cos t , y(t) = sen t , z(t) = tLas dos primeras satisfacenx(t)2+ y(t)2= 1Esto muestra que su imagen est a contenida en el cilindro de ecuaci onx2+ y2= 9La gura siguiente ilustra lo que acabamos de armar y nos va a permitir encontrar muyf acilmente una parametrizaci on para la proyecci on de esta curva sobre el plano xyPQC9xyzClaramente la proyecci on de la h elice sobre el plano xy es la intersecci on de dicho plano conel cilindro antes mencionado (en el gr aco, la curva azul) pues cada punto P de la h elicecae verticalmente sobre el punto Q de dicha intersecci on.La proyecci on de la h elice sobre el plano xy se expresa (en R3) mediante las ecuacionesx2+ y2= 9z = 022Conviene observar que en R3 la ecuaci on x2+ y2= 9 representa un cilindro, no una curva.10 MARIA DEL CARMEN CALVOO sea, la circunferencia de radio 3 centrada en el origen contenida en el plano xy.Queda entonces claro que una parametrizaci on de esta curva est a dada pord9 : [0, 2] R3d9(t) = (3 cos t, 3 sen t, 0)10. C10= Im(c10) , donde c10 : R R3, c10(t) = (cosh t, senh t, t)Si, como en el caso anterior, llamamos (x(t), y(t), z(t)) a las componentes de c10(t)x(t) = cosh t , y(t) = senh t , z(t) = tLas dos primeras satisfacenx(t)2 y(t)2= 1loquenosdicequelatrazadeestacurvaseencuentrasobreelcilindrohiperb olicodeecuaci onx2 y2= 1M as precisamente, sobre una de sus hojas. Esta situaci on se ilustra en la siguiente guraPQC10xyzComo en el caso anterior, nuestro objetivo en este ejemplo es hallar una parametrizaci on dela proyecci on de la traza de c10 sobre el plano xy.FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 11Siendo que la curva en cuesti on est a sobre una supercie cilndrica, el cilindro hiperb olicox2 y2= 1, que es ortogonal al plano xy (sobre el que queremos proyectar) su proyecci onser a la intersecci onx2 y2= 1z = 0Tal como se ve en el gr aco, esta curva es una de las ramas de la hip erbola equil atera sobreel plano xy. Y por lo tanto, podemos decir que la funci ond10 : R R3d10(t) = (cosh t, senh t, 0)es una parametrizaci on de esta curva.11. Imagen de una curva en el plano xy por una funci onf : R2 RComo ultimo ejemplo haremos un proceso inverso al de los dos previos. Partimos de unacurva en el plano xyd11 : R R3, d11(t) = (t, sen t, 0)y queremos hallar una parametrizaci on de la curva obtenida al subir3los puntos de la trazade d11 al gr aco de una funci onf : R2 R , f (x, y) = 4x2 3xy 2y2f(x,y)dc1111PQ3o bajar12 MARIA DEL CARMEN CALVOSi subimos el punto P de la traza de d11 al gr aco defobtenemos el punto Q. Decir esto eslo mismo que decir que el punto Q se proyecta, sobre el plano xy en el punto P.Se deducede aqu que ambos comparten sus dos primeras coordenadas; m as precisamente, siendoP = (t, sen t, 0)Qdebe tener la formaQ = (t, sen t, z)pero como adem as est a sobre el gr aco def , su ultima coordenada debe ser la imagen de lasdos primeras. Luego,Q = (t, sen t, f (t, sen t))De esta forma, la funci onc11 : R R3c11(t) = (t, sen t, f (t, sen t))es la parametrizaci on que buscamos.FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 13II. SuperciesUna parametrizaci on de una supercie en S R3es una aplicaci on : [a, b] [c, d] R3tal que al variar los par ametros s [a, b] y t [c, d]su imagen (s, t) va describiendolos puntos de la supercie S .En esta secci on vamos a presentar parametrizaciones de las cu adricas y de algunas otras super-cies destacadas.1. S : y x = 2 (plano vertical)Los puntos de Sse caracterizan por tener vinculadas sus dos primeras coordenadas por larelaci ony = x + 2mientras que la ultima coordenada puede tomar cualquier valor.-22xyz(,+2,) xx zLuego, la aplicaci on : R2 R3dada por (x, z) = (x, x + 2, z)es una parametrizaci on del plano S .14 MARIA DEL CARMEN CALVO2. S : 3x 2y + 4z = 1 (plano no vertical)Como es un plano no vertical, el coeciente de z siempre ser a no nulo y podremos despejarz de la ecuaci on que dene a S . En nuestro caso,z =34x 12y 74 x (,,- -)xyzxy y 34_ 12_74_Por lo tanto, un punto (x, y, z) Ssi y s olo si(x, y, z) = (x, y,34x 12y 74)donde x, y son n umeros reales cualesquiera. Luego, la aplicaci on : R2 R3dada por (x, y) = (x, y,34x 12y 74)es una parametrizaci on de S .3. S: z =f (x, y) (gr aco de una funci onf : A R2 R)El gr aco defse dene comogr af( f ) = {(x, y, z) R3/ (x, y) A y z =f (x, y)}FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 15De modo que lo que caracteriza a los puntos de este conjunto es que su ultima coordenadaes la imagen porf de las dos primeras, que deben estar en el dominio def . Gr acamente,(,,0)(,,(,)) x x y yfxxyyzPodemos decir entonces que la aplicaci on : A R3dada por (x, y) = (x, y, f (x, y))es una parametrizaci on del gr aco def .4. S: x2+ y2+ z2= r2(esfera de radio r)( , ) = constante(0,0,r)xyz(r,0,0)= constanteMeridiano ParaleloP = 16 MARIA DEL CARMEN CALVORecordando la denici on de las coordenadas esf ericas, un punto (x, y, z) Ssi y s olo si(x, y, z) = (r cos sen , r sen sen , r cos )donde 02 y 0.Luego, la aplicaci on : [0, 2] [0, ] R3dada por (, ) = (r cos sen , r sen sen , r cos )es una parametrizaci on de la esfera de radio r.5. S:x2a2+y2b2+z2c2= 1 (elipsoide)xyza bcSiguiendo el procedimiento que utilizamos para encontrar una parametrizaci on de la elipsea partir de la de la circunferencia, escribimos la ecuaci on de Sen la forma

xa

2+

yb

2+

zc

2= 1De modo que (x, y, z) Ssi y s olo si (xa,yb,zc) pertenece a la esfera de radio 1, por lo cual,

xa, yb, zc

= (cos sen , sen sen , cos )para 02 y 0. Es decir,(x, y, z) = (a cos sen , b sen sen , c cos )FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 17Podemos armar entonces que la funci on : [0, 2] [0, ] R3dada por (, ) = (a cos sen , b sen sen , c cos )es una parametrizaci on del elipsoide de semiejes a , b y c.6. S: x2+ y2= r2(cilindro circular)Los puntos de Stienen la particularidad que sus dos primeras coordenadas est an vinculadaspor la ecuaci on que dene a S mientras que la ultima puede tomar cualquier valor totalmenteindependiente de las dos primeras. Adem as, seg un se ve en el gr acoxyz(x,y,z)(x,y,0) = (r cos t,r sen t, 0)el par (x, y) pertenece a la circunferencia centrada en (0, 0) y de radio r, por lo cual sabemosque existe un t [0, 2] tal que(x, y) = (r cos t, r sen t)Concluimos entonces que la aplicaci on : [0, 2] R R3dada por (t, z) = (r cos t, r sen t, z)es una parametrizaci on del cilindro S .Norx:Un razonamiento an alogo al hecho para obtener una parametrizaci on del elipsoide apartir de una de la esfera proporciona una forma de parametrizar un cilindro elptico.18 MARIA DEL CARMEN CALVO7. S: x z2= 0 (cilindro parab olico)La condici on que debe satisfacer un punto de R3para estar en este cilindro afecta s olo a laprimera y ultima coordenadas; la segunda puede tomar cualquier valor (totalmente indepen-diente de las otras dos).En la siguiente gura se muestra la proyecci on de un puntoP de Ssobre el planoxz (elpunto Q) y sobre el plano yz (el punto R).( ,,)xyzbccb c c222x=zPQRAl proyectarlo sobre el plano xz vemos que Q se mueve sobre la par abolax = z2de modo que la siguiente aplicaci on es una parametrizaci on de esta supercie : R R R3dada por (y, z) = (z2, y, z)Norx: tambi en podramos haber pensado que de la ecuaci onx z2= 0se puede despejar x como funci on de z y de esta forma interpertar a Scomo el gr aco de lafunci onx =f (z, y) = z2Utilizando el m etodo aplicado en el ejemplo 3. llegamos a la misma parametrizaci on de S .FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 198. S: x2 y2= 1 (cilindro hiperb olico)Esta cu adrica, como todas las supercies cilndricas 4generadas por una recta que es paralelaa uno de los ejes, tiene la propiedad que una de las coordenadas de sus puntos se mueve demanera independiente de las otras dos. En este caso, se trata de la variable z.(x,y,z)(-x,y,z)(x,y,0)=(cosh t,senh t,0)(-x,y,0)=(-cosh t,senh t,0)xyzBasta entonces conseguir una parametrizaci on de la curva x2 y2= 1 (pensada como curva,no como supercie) para obtener la de la supercie.Como vimos en la secci on anterior, para parametrizar la hip erbola completa debemos denirdos aplicacionesc1(t) = (cosh t, senh t, 0) , c2(t) = (cosh t, senh t, 0)ambas denidas en R.Luego, una parametrizaci on del cilindro hiperb olico est a dada por las aplicaciones1 : R R R3, 1(t, z) = (cosh t, senh t, z)2 : R R R3, 2(t, z) = (cosh t, senh t, z)4supercie generada por una recta que se mueve paralelamente a s misma y recorre una curva dada, seg un eldiccionario de la Real Academia20 MARIA DEL CARMEN CALVO9. S: z = x2 y2(paraboloide hiperb olico)La ecuaci on de Smuestra que se trata del gr aco de la funci onf (x, y) = x2 y2cuyo dominio es R2. La siguiente gura ilustra este hecho,xyz(x,y,0)(x,y,x- y )2 2De modo que, como vimos en un ejemplo anterior, una parametrizaci on de Ses : R R R3dada por (x, y) = (x, y, x2 y2)10. S: z = x2+ y2(paraboloide circular)Este caso es an alogo al anterior pues tambi en la ecuaci on deSmuestra que se trata delgr aco de una funci on; esta vez def (x, y) = x2+ y2FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 21Gr acamente,xyz(x,y,0)(x,y,x+ y )2 2De modo que, una parametrizaci on de Ses : R R R3dada por (x, y) = (x, y, x2+ y2)11. S: x2+ y2 z2= 1 (hiperboloide de una hoja)La ecuaci on de Ses equivalente ax2+ y2= z2+ 1Escrita de esta forma se ve5que los puntos de Sverican para cada z jo que susdos primeras coordenadas se mueven sobre la circunferencia centrada en (0, 0, z) de radioz2+ 1 contenida en el plano horizontal que pasa por (0, 0, z), como se ilustra en la siguientegura,5por ser z2+ 11 > 0 para todo z R22 MARIA DEL CARMEN CALVOx+ y= cosh tPQxyzy- z=12 22 2 2Es decir, son de la forma(

z2+ 1 cos t,

z2+ 1 sen t, z)para cada z R y cada 0t2. Esto ya nos da una parametrizaci on, pero vamos a utlizarlas funciones hiperb olicas para encontrar otra que nos ser a m as util.En la secci on anterior recordamos que la funci on senh : R R es biyectiva, derivable y suinversa argsenh : R R tambi en es derivable. Por otro lado, de la identidad hiperb olicacosh2u senh2u = 1se deduce inmediatamente quesenh2u = cosh2u + 1Esto sugiere interpretar a cada z R comoz = senh upara un unico u R6pues de esta forma,

z2+ 1 =

senh2u + 1 =

cosh2u = cosh uy de aqu deducimos que los puntos del hiperboloide de una hoja se pueden escribir en laforma(cosh u cos t, cosh u sen t, senh u)6claramente, u = argsenh z.FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 23Luego, : R [0, 2] R3dada por (u, t) = (cosh u cos t, cosh u sen t, senh u)es una parametrizaci on de S .12. S: z2 x2 y2= 1 (hiperboloide de dos hojas)Imitando el procedimiento seguido en el ejemplo anterior, despejamos x2+y2de la ecuaci onde S , que se escribe entoncesx2+ y2= z2 1Una primera observaci on es que esta supercie no tiene nada en com un con la parte delespacio encerrada entre los planos de ecuaci on z = 1 y z = 1 dado que debe ser z2 1 paraque el punto (x, y, z) S . Esto se ve claramente en la siguiente gura,PP'QQ'Como sucede con la hip erbola, en este caso tambi en vamos a necesitar dos aplicaciones paraparametrizar este hiperboloide.Consideremos primero la hoja superior. Los puntos de esta parte satisfacen z1. Siendola funci on cosh: R0 R1biyectiva y derivable, con inversa argcosh: R1 R0tambi en derivable y recordando nuevamente la identidad hiperb olica, podemos pensar quecada z1 es de la formaz = cosh upara un unico u R0. Luego, todo punto (x, y, z) Stal que z1 vericax2+ y2= z2 1 = cosh2u 1 = senh2u24 MARIA DEL CARMEN CALVOpara un u R0. Esto nos dice7que los puntos de la parte superior de Sse correspondenexactamente con los de la forma(senh u cos t, senh u sen t, cosh u)para u0 y 0t2.De modo que1 : R0 [0, 2] R3dada por 1(u, t) = (senh u cos t, senh u sen t, cosh u)es una parametrizaci on de la hoja superior de S .Con respecto a la hoja inferior, por razones de simetra respecto del plano xy, es claro que2 : R0 [0, 2] R3dada por 2(u, t) = (senh u cos t, senh u sen t, cosh u)es una parametrizaci on de esa parte del hiperboloide de dos hojas.13. S: z2= x2+ y2(cono)Consideremos primero los puntos del cono tales que z0;i.e., cualquiera que no sea elv ertice. Para ellos, la ecuaci on de Ses equivalente a

xz

2+

yz

2= 1xyzx+ y= z2 2 2y=-xy=x7recordar el gr aco de senh uFACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA MATEMATICA III 2006 25O sea, (x, y, z) Ssi y s olo si (xz,yz) pertenece a la circunferencia unitaria. Luego,xz= cos t ,yz= sen tpara un t [0, 2]. Es decir,x = z cos t , y = z sen tLlegamos entonces a que la aplicaci on : [0, 2] R R3dada por (t, z) = (z cos t, z sen t, z)es una parametrizaci on del cono.Cabe observar que el v ertice corresponde a (t, 0) para cualquier 0t2.14. S: z2= r2 x2+ y2 a

2, (a > r > 0) (toro)La siguiente gura ilustra la forma de esta supercie,Podemospensarenunaporci ondecilindrocircularrectoqueest econfeccionadoenunmaterial exible; lo doblamos de forma tal que coincidan los extremos. As generamos eltoro.Con el objeto de hallar una descripci on param etrica de los puntos de S ,consideremos elsiguiente gr aco esquem atico26 MARIA DEL CARMEN CALVOaPvua+ra+rP=( (a+r cos(u)) cos(v) , (a+r cos(u)) sen(v),r sen(u) )A partir de el se puede hallar la manera de describir el punto gen erico P de la supercie Sen funci on de los par ametros u, v [0, 2].Pero tambi en lo podemos hacer a partir de su ecuaci on. Si (x, y, z) S ,(

x2+ y2 a)2+ z2= r2por lo tanto, existe un u [0, 2] tal que

x2+ y2 a = r cos u , z = r sen uo sea,

x2+ y2= a + r cos u , z = r sen uequivalentemente, 8x2+ y2= (a + r cos u)2, z = r sen uy entonces, podemos armar que existe v [0, 2] tal quex = (a + r cos u) cos v , y = (a + r cos u) sen v , z = r sen uObtenemos as una parametrizaci on del toro : [0, 2] [0, 2] R3dada por(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen u)8dado que ambos miembros son positivos por ser 0 < r < a