curva de capacidad pushover
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PROGRAMA CURVA DE CAPACIDAD PUSHOVER ELEMENTAL
NOMBRE: Ing. Edgar David Mora Martínez
RESUMEN
Un análisis simplificado valido para la evaluación de estructuras es el proceso de análisis
estático no lineal, este incluye el método de espectro de capacidad que usa la intersección de
la curva de capacidad pushover y un espectro reducido de respuesta para estimar el
desempeño de la estructura.
Debido a la cantidad de iteraciones necesarias para lograr la curva de capacidad de una
estructura es necesario utilizar un programa computacional, en este trabajo se da a conocer
los problemas y las soluciones encontradas para desarrollar un programa de pushover,
además se incluyen sus diagramas de flujo.
1. INTRODUCCIÓN
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS
Existen varios procesos de análisis estructural para evaluación de construcciones como el
estático o dinámico elástico y procesos usando análisis inelásticos.
La ventaja de usar procesos de análisis estáticos y dinámicos de códigos estándares es la
familiaridad de estos procesos y el análisis simplificado que permite a menudo mínimos costos
de diseño. La desventaja es la dificultad en aplicar disposiciones complejas para nuevas
estructuras en construcciones existentes. También queda una gran inseguridad de poder
satisfacer el desempeño requerido que se debería lograr usando procesos con un enfoque
más racional.
El más básico análisis inelástico es el análisis no lineal completo de historia en el tiempo, el
cual es algunas veces considerado complejo e impráctico para uso general. Un análisis
simplificado es el proceso de análisis estático no lineal, este incluye el método de espectro de
capacidad que usa la intersección de la curva de capacidad pushover y un espectro reducido de
respuesta para estimar el desempeño de la estructura.
El método del espectro de capacidad requiere de tres elementos primarios: capacidad,
demanda (desplazamiento) y desempeño.
1.2 DEMANDA
Es el movimiento del suelo durante un sismo. Para el método no lineal es fácil y más directo
usar un set de desplazamientos laterales como una condición de diseño. Para una estructura
dada y movimiento del suelo, la demanda de desplazamiento es un estimado de la respuesta
máxima esperada de una estructura durante el movimiento del suelo.
1.3 CAPACIDAD
La capacidad completa de una estructura depende de la capacidad de esfuerzos y deformación
de cada componente estructural.
La curva de capacidad de una estructura es representada por una curva pushover. La manera
más conveniente de graficar la curva pushover o fuerza – desplazamiento, es con el cortante
basal y el desplazamiento de la terraza.
Este proceso usa una serie de análisis secuenciales elásticos. El modelo matemático de la
estructura es modificado para tomar en cuenta reducción de resistencia en componentes que
han fluido. Una distribución de cargas laterales es aplicada hasta que componentes adicionales
fluyan.
Este proceso es repetido hasta un límite predeterminado. La curva de capacidad pushover
aproxima como las estructuras se comportan después de exceder su límite elástico.
1.4 DESEMPEÑO
Una vez que se ha definido una curva de capacidad y de demanda se debe chequear el
desempeño. Un chequeo de desempeño verifica que los componentes estructurales y no
estructurales no sean dañados más allá de los límites aceptables.
El punto de desempeño representa el máximo desplazamiento probable que se experimenta
en el sismo de diseño. Ya que el modelo matemático toma en cuenta directamente efectos
inelásticos de la respuesta del material. Las fuerzas internas calculadas son aproximaciones
razonables esperadas durante el sismo de diseño.
2. PROCESO PARA DETERMINAR LA CURVA DE CAPACIDAD
En este trabajo se describe el proceso, incluyendo los problemas y soluciones que se dieron,
para encontrar la curva de capacidad.
Para lograr severas iteraciones y definir la curva de capacidad se debe usar un programa
computacional.
Proceso:
i) Se define la geometría de la estructura, las secciones de cada elemento y los grados de
libertad de cada nudo.
0 0.05 0.1 0.150
2
4
6
8
10
Curva V-Deformación terraza
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
1
2
3
4
5
Espectro de Capacidad
Espectro Diseño Sd-Sa/B
Espectro Diseño Sd-Sa
0 1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
Esquema Estructural y Rótulas
Punto de desempeño
ii) El análisis se procede con una estructura de miembros ya definidos. Al cargar
incrementalmente la estructura con fuerzas laterales las secciones eventualmente fluirán
cambiando E*I en el análisis, por esto se debe conocer los diagramas momento –
curvatura de cada sección para obtener un E*I de cada etapa.
∅ =𝑀
𝐸 ∗ 𝐼===> 𝐸 ∗ 𝐼 =
𝑀
∅
Dónde:
E=Modulo de Young
∅=Curvatura
I=Inercia de sección analizada
M=Momento resistente
Curvatura
Diagrama Momento – Curvatura
iii) Se calcula primero las acciones actuantes resultado de cargas gravitacionales.
Luego a estas se acumulan las acciones resultantes de cargas laterales, la estructura
distribuirá de forma diferente estos esfuerzos acumulados debido a la disminución de
rigidez (E*I) de ciertos elementos.
Por ejemplo en la figura 1a se tiene momentos de un pórtico trabajando en el rango
elástico con una carga lateral, y en la figura 1b se tiene momentos de un pórtico con el
nudo derecho de la viga trabajando en el rango inelástico.
Figura 1
Las acciones se calcularon mediante el método de análisis estructural de rigideces usando
matrices de rigidez y de transformación para sistemas globales, locales y generalizados,
usando ensambles de acuerdo a los grados de libertad de cada elemento agrupados en
una matriz, a esta matriz se la llamó VC.
iv) Luego de varias iteraciones aumentando las cargas laterales, eventualmente varias
secciones perderán capacidad de resistir momentos, a esto se la conoce como rótula
plástica. Como se señaló anteriormente el análisis estructural se lo realiza usando matrices
de rigideces y de transformación, el problema que surge en la formación de una rótula
plástica es que la matriz de rigidez de la estructura se vuelve singular, y al calcular los
desplazamientos y giros de cada grado de libertad se necesita conocer la inversa de la
matriz de rigidez lo cual no es posible.
q=K\Q
Dónde:
K=Matriz de rigidez de la estructura
Q=Vector de cargas en grados de libertad
q= Desplazamiento o giros de grados de libertad
Se puede solucionar este problema creando nuevas matrices de rigidez de elementos y de
transformación para diferentes sistemas para estos casos de formación de rótulas
plásticas.
En este trabajo se usó también otra alternativa, al formarse una rótula plástica se aumenta
un grados de libertad en ese giro. Se da un ejemplo en un pórtico muy simple, en la figura
2a se observa una estructura de dos pisos con sus grados de libertad enumerados, y su
matriz de colocación VC es:
𝑉𝐶 =
[ 0 0 0 1 5 60 0 0 2 7 81 5 6 3 9 102 7 8 4 11 121 5 6 2 7 83 9 10 4 11 12]
Dónde: VC=Matriz de colocación que contiene grados de libertad de cada elemento por fila.
En la figura 2b se tiene la misma estructura pero con una rótula plástica en el elemento 5 en su nudo derecho, en el programa computacional se coloca una condición para que cuando esto ocurra se sume un grado de libertad extra y se sobreponga en donde corresponda, en este caso en VC(5,6), resultando:
𝑉𝐶 =
[ 0 0 0 1 5 60 0 0 2 7 81 5 6 3 9 102 7 8 4 11 121 5 6 2 7 133 9 10 4 11 12]
Figura 2
v) El programa se detendrá solo cuando la estructura colapse. El criterio de colapso se toma
del código ATC 40:
Tabla 11-2 / ATC-40
Rotula plástica
10 3 4
9 11
12
a)
1 2
5 7
8 6
b)
1 2
5 7
8
10 3 4
9 11
12
13
ELEM 1
ELEM 2
ELEM 3
ELEM 4
ELEM 5
ELEM 6
ELEM 1
ELEM 2
ELEM 3
ELEM 4
ELEM 5
ELEM 6
6
En donde la máxima deriva total es definida como la deriva entrepisos en el
desplazamiento del punto de desempeño. La deriva máxima inelástica es definida como la
porción de la deriva máxima total más allá del punto de fluencia efectiva. También, Vi es el
cortante basal calculado en el piso i y Pi es la carga gravitacional tota en el piso i.
Para el programa realizado se tomó el nivel de desempeño de seguridad de vida con una
deriva total de 0.02.
También el programa se detendrá si la matriz de rigidez de la estructura es singular, ya que
esto indica que la estructura es inestable, esta situación ocurre con la aparición de varias
rótulas plásticas.
3. PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LA CURVA DE CAPACIDAD
A continuación se presentan los diagramas de flujo del programa principal y programas
subalternos para la obtención de la curva de capacidad pushover.
4. CONCLUSIONES
Es importante conocer todo el proceso de la obtención de la curva de capacidad para
entender el proceso con el que trabajaría un programa comercial, así se sabrá las limitaciones
y se podrá asegurar y justificar cualquier cálculo hecho en estos programas, además estos
programas permiten comparar resultados y saber si se está en un rango correcto de los
resultados.
5. BIBLIOGRAFÍA
Applied Technology Council – Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings Volume 1-ATC 40 American Society of Engineers – Seismic Rehabilitation of Existing Buildings - AISC 41-06
