1) Hallar el valor de las expresiones dadas:

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS

Curso de Apoyo - INGRESO MATEMTICA -

PROGRAMA DE LA ASIGNATURAObjetivos propuestos:

Que los alumnos sean capaces de:

a) Identificar el tipo de problema propuesto y elegir la mejor estrategia para su resolucin.

b) Traducir un problema de expresin coloquial o grfica a su expresin simblica.

c) Operar con nmeros reales aplicando las propiedades correspondientes.

Contenidos:

A continuacin se detallan los contenidos conceptuales que se utilizarn en la aplicacin de ejercicios y de situaciones problemticas.

1. Nmeros reales: operaciones, propiedades; intervalos sobre la recta real.

2. Exponentes y radicales: exponentes enteros y racionales, definicin, propiedades.

3. Expresiones algebraicas: operaciones, propiedades; factorizacin.

4. Proporcionalidad. Razones y proporciones.

5. Expresiones algebraicas fraccionarias: simplificacin; operaciones combinadas; racionalizacin.

6. Ecuaciones: propiedades bsicas; ecuaciones lineales, cuadrticas y reducibles a ellas; ecuaciones fraccionarias; modelado y resolucin de problemas con ecuaciones.

7. Desigualdades: propiedades bsicas; conjunto solucin de inecuaciones lineales.

8. Rectas en el plano: ecuacin explcita, ecuacin general; representacin grfica; determinacin de la ecuacin de la recta conociendo diferentes datos; haz de rectas; posiciones relativas de dos rectas en el plano; problemas; interpretacin de grficos.

9. Trigonometra, nociones bsicas. Resolucin de tringulos rectngulos. Aplicaciones. Permetros y reas de figuras geomtricas.

Bibliografa sugerida:

Los contenidos anteriormente explicitados se encuentran desarrollados en cualquiera de los siguientes libros:

Stewart, J., Redlin, L., Watson, Preclculo, Mxico, S. International Thomson Editores, 3a ed, 2001.

Kaczor, Franco y otros, Matemtica I Polimodal, Buenos Aires, Ed. Santillana, 1999.

Berio, Colombo, Sardella y otros, Matemtica 1 Polimodal, Buenos Aires, Ed. Puerto de Palos. 2001.

Ejercitacin propuesta para el curso de apoyo

1) Resolver en cada caso las expresiones dadas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

2) Indicar si cada una de las siguientes expresiones es verdadera o falsa:

3) Determinar, en el caso que sea posible, el resultado de:

(Justificar si no es posible hacerlo)

4) Resolver utilizando propiedades de las potencias:

a)

( si a > 0 )

b)

( si a > 0 )c) ( si m.n > 0 )

d)

( si m > 0 )

e)

( si a > 0 ; b( 0 )5) Simplificar la expresin y expresar el resultado con potencias positivas:

(si t ( 0)

( si y ( 0)

( si x ( 0)

( si m ( 0)

(si s ( 0)

(si y ( 0)

(si x ( 0; y ( 0)

(si x ( 0; y ( 0; z ( 0)

6) Determinar el error cometido

7) Determinar los siguientes conjuntos, expresarlos utilizando la notacin de intervalos y representarlos sobre la recta real.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

8) Representar sobre la recta real los siguientes conjuntos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

9) Indicar verdadero o falso. En caso de ser falso, hallar la solucin correcta.

a)

b)

c)

d)

10) Realizar las operaciones indicadas y simplificar convenientemente indicando previamente las restricciones para cada caso:

11) Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:

12) Resolver las siguientes ecuaciones:

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

13) Expresar el smbolo indicado en trminos de los smbolos restantes. (Sealar las restricciones necesarias para ello)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

14) Indicar si las siguientes expresiones son idnticas o no para todo valor de la variable y justificar la respuesta.

15) Hallar x en los siguientes casos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

16) Determinar las soluciones reales de la ecuacin en cada caso:

17) Efectuar las operaciones indicadas y reducir a una expresin ms simple indicando las restricciones para su definicin.

a)

b)

c)

d)

e)

18) Dada la ecuacin x2+ b x + c = 0, determinar los valores de b y c sabiendo que x1 = 0 y x2 = 2 son sus soluciones.

19) Hallar a(( de modo tal que ax2 + 3x = 2 tenga a x = 1 como solucin. Tiene la ecuacin alguna otra solucin?

20) Determinar los valores de k (( para que las soluciones de la ecuacin sean iguales.

21) En el mes de agosto, el alquiler de un departamento fue de $1500. Cunto abonaron en el mes de septiembre, si el reajuste se efecta por el aumento del costo de vida, que en agosto fue del 5,3% ?22) El precio de lista de un electrodomstico es de $745. Por pago al contado, se hace un descuento del 12%. Calcular el precio al contado.

23) En una oficina se ausentaron 4 empleados de un total de 64. Calcular el porcentaje de inasistencia.

24) De un total de 17 clases, si el porcentaje permitido de inasistencia es de 25% (para mantener la regularidad de la materia), cul es el nmero por el que debe multiplicarse el total de clases para obtener la cantidad de clases a las que se debe asistir para no quedar libre?

25) Cunto se debe abonar si se hace un descuento del 25% sobre $60?

26) Cunto se debe abonar si se hace un recargo del 12% sobre $40?

27) En las elecciones presidenciales de 1983, el total de votantes fue de 14.677.151

Para la eleccin de presidente, los partidos mayoritarios obtuvieron los siguientes votos:

PartidoCantidad de votosPorcentaje obtenido sobre el total de votantes

UCR7.431.679

PJ5.719.881

PI338.460

Completar la tabla anterior con los porcentajes obtenidos por cada partido respecto del total de votantes.

28) Un fabricante de refrescos produce uno de naranja que es anunciado como de sabor natural aunque slo contiene 5% de jugo. Una nueva reglamentacin estipula que para que una bebida se anuncie como natural deber contener por lo menos 10% de jugo de fruta. Cunto jugo de naranja debe agregar el fabricante a 900 litros de refresco de naranja, antes de fraccionar para su venta, para cumplir con la reglamentacin?29) Si la produccin de una mquina embaladora aument de 72 a 84 unidades, cul fue el porcentaje de incremento? Elija la opcin correcta y justifique.

30) Cul es el 10% del 20% de 30? Elija la opcin correcta y justifique.

31) Un equipo de bsquet gan el 45% de los primeros 80 partidos jugados. Cuntos de los 82 partidos restantes debe ganar para vencer exactamente en el 50% de los partidos jugados? Elija la opcin correcta y justifique.

32) Los nmeros a, b y c son positivos y adems . Si a aumenta en un 50% y b disminuye en un 25%, qu debe ocurrir con c para que se conserve la igualdad? Elija la opcin correcta y justifique.

33) La universidad Pacfica I tiene 236 profesores, de los cuales 25 son bachilleres, 145 son licenciados, 53 masters y 13 doctores. Qu porcentaje de profesores tienen grado de licenciatura? Cuntos profesores tienen grado de maestra? Qu porcentaje de profesores tienen doctorado?

34) Indicar el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones fraccionarias:

35) Indicar el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:

36) Las instrucciones en una caja de pelcula indican que esta debe almacenarse a una temperatura entre 5 C y 30 C. Entre qu valores en la escala de Fahrenheit corresponden estas temperaturas? (recordar que la relacin entre grados Celsius y grados Fahrenheit est dada por: C = 5/9 (F 32) )

37) Al elevarse el aire seco se expande y al hacerlo se enfra a una tasa de 1 C por cada 100 metros de altura, hasta aproximadamente 12 km.

a) Si la temperatura a nivel del suelo es de 20 C, escribir la frmula para la misma a una altitud h.

b) Qu intervalo de temperatura puede esperarse si un aeroplano despega y alcanza una altura mxima de 5 km.?

38) Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura (en metros) despus de t segundos es:

Determinar el instante en el que llega a una altura de 196 metros.

39) Hallar las dimensiones de un rectngulo sabiendo que su altura es 3 cm mayor que su base y que su superficie es de 70 cm2.

40) Un jet vol desde Nueva York a Los ngeles, una distancia de 4.200 kilmetros. La velocidad del viaje de regreso fue de 100 kilmetros por hora mayor que la ida. Si el total del viaje tom 13 horas, cul fue la velocidad de Nueva York a Los ngeles?

41) Se debe construir una fbrica en un lote que mide 180 por 240 metros. Un cdigo de construccin local especifica que la fbrica debe estar rodeada por un csped de ancho constante e igual en rea a la de la fbrica. Cul debe ser el ancho de este csped y cules son las dimensiones de la fbrica?

42) Obtener la ecuacin de la recta que cumple con la condicin pedida en cada caso. Graficarlas en un sistema de ejes cartesianos.

a) Pasa por (2; 3) y su pendiente es 1

b) Pasa por (-2; 4) y su pendiente es 1

c) Pasa por (1; 7) y su pendiente es 2/3

d) Pasa por (-3; -5) y su pendiente es 7/2

e) Pasa por (2; 1) y (1; 6)

f) Pasa por (-1;-2) y (4; 3)

g) Pendiente 3; interseccin eje de ordenadas en 2.

h) Pendiente 2/5; interseccin eje de ordenadas en 4.

i) Interseccin con el eje de ordenadas en 3 y con el eje de abscisas en 1.

j) Interseccin con el eje de ordenadas en 6 y con el eje de abscisas en - 8.

k) Pasa por (4; 5); paralela al eje x.

l) Pasa por (4; 5); paralela al eje y.

m) Pasa por (1; -6); paralela a la recta x + 2 y = 6.

n) Interseccin eje de ordenadas en 6; paralela a la recta 2 x + 3 y +4 = 0.

o) Pasa por (-1; 2); paralela a la recta x = 5.

p) Pasa por (2; 6); paralela a la recta y = 1.q) Pasa por (-1; -2); perpendicular a la recta 2 x +5 y +8 =0.r) Pasa por (1; 7); paralela a la recta que pasa por (2; 5) y (-2; 1).

43) Utilizando el concepto de pendiente determinar si los siguientes puntos pertenecen a la misma recta:

a) (1; 1), (3; 9), (6; 21)

b) (-1; 3), (1; 7), (4; 15)

44) Una empresa tiene tres vendedores, a los cuales les paga de modo diferente:

al vendedor A le abona una suma fija de $100 ms un 5 % de las ventas que hizo ese mes;

al vendedor B le paga una cantidad fija de $200 ms un 3 % de sus ventas del mes;

al vendedor C slo le abona un 10 % sobre las ventas que realiz ese mes.

a) Se puede modelizar cada una de las formas de pago con una recta? Justificar.

b) En caso afirmativo, determinar la ecuacin de cada una de las rectas.

c) Graficar las tres rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

d) Analizar cunto deben vender en un mes los vendedores A y C para obtener el mismo ingreso.

45) Una empresa que fabrica clavos alquila un galpn. Aunque no haya produccin, debe pagar el alquiler del local y abonar el sueldo a dos de sus operarios, lo que implica un gasto fijo mensual de $ 3.000. Si hay produccin de clavos, tiene un gasto de materia prima y energa elctrica de $ 50 por cada 100 kg. de produccin.

a) Cul es la recta asociada al gasto mensual de la empresa? Graficarla.

b) Qu significa en este caso la pendiente y la ordenada al origen?

46) En otra empresa, al vendedor le abonan por mes, de la siguiente forma:

Ingreso vendedor ($)

150 -

100 -

50 -

100 200 Monto ventas ($)a) Cul es la suma fija que gana por mes?

b) Cul es el porcentaje sobre las ventas?

c) Cunto debe vender para recibir un sueldo de $300?

47) Un fabricante de pequeos aparatos domsticos encuentra que si produce x hornos con termostato en un mes, su costo de produccin est dado por la ecuacin y = 6 x + 3.000 (y en pesos).

a) Graficar.

b) Qu representan la pendiente y la interseccin con el eje de ordenadas de esta grfica?

48) Qu significa la pendiente? Suponiendo que la grfica de la temperatura ambiente durante un cierto perodo de tiempo es una recta, cmo est cambiando el clima si la pendiente de la recta es positiva? si es negativa? si es nula?

Optativo * 49) Una fbrica de pisos antideslizantes P&M est desarrollando un nuevo tipo de plastificado de alta resistencia para uso industrial. Este plastificado lleva un pulido especial. Los tcnicos que probaron las distintas posibilidades de pulido, establecieron el precio del metro cuadrado de piso listo para transitar en funcin de la superficie que ocupa. El mejor sistema que encontraron cuesta $25 el metro cuadrado. Adems, cobran un gasto fijo de asesoramiento permanente de $80.

Considerar la recta p(s) que asigna el precio correspondiente p (en $) a la superficie s de piso plastificado (en m2).

a) Completar la tabla de valores.

Superficie (m2)Precio ($)

0,5

1

1,5

2

2,5

3

b) Indicar la ecuacin de la recta p. Graficarla.

c) Cul es la variable independiente? Cul la dependiente?

d) Cul es el costo de plastificar un piso de 25 m2?

e) Qu superficie tiene un piso cuyo plastificado tiene un costo de $ 280?

50) Hace tres aos, la poblacin de una pequea comunidad indgena era de 400 personas. Como consecuencia de su integracin en otras comunidades, la poblacin ascendi a 3500 personas. Suponiendo que la poblacin crece en forma lineal:

a) expresar mediante una frmula la cantidad de habitantes en funcin del tiempo;

b) indicar aproximadamente cundo llegar la poblacin a 10000 habitantes;

c) realizar el grfico cartesiano.

51) Se quiere crear un servicio minitel (servicio de informacin electrnico) y se propone a los futuros clientes elegir entre tres formas de pago trimestral:

Tarifa A: Pago de la suma global de $ 380.

Tarifa B: Pago de $ 147 ms $ 0,20 por minuto de conexin.

Tarifa C: El precio del minuto de conexin es de 0,45.

a) Analizar cul es la tarifa ms conveniente para el consumidor segn el tiempo de comunicacin. Hallar la expresin lineal de cada tarifa (p) en trminos del minuto de conexin (m).

b) Representar las tres formas de tarifas en ejes cartesianos.

52) A fines del siglo XIX en la Argentina se registr un vertiginoso crecimiento de la poblacin, como consecuencia de la inmigracin de europeos. El grfico muestra los vaivenes de la inmigracin de espaoles e italianos en nuestro pas entre 1860 y 1930. Obtener la informacin a partir del grfico y responder las preguntas a continuacin. Lo que se refiere a la inmigracin de espaoles est indicado con lnea continua y la de italianos, con lnea punteada. (El eje de ordenadas expresa cantidad en miles).

a) En qu dcada se produjo el mayor aumento en el ingreso de inmigrantes espaoles?

b) Durante qu dcadas se mantuvo estable la inmigracin de espaoles e italianos?

c) Cul es la diferencia aproximada entre la inmigracin de italianos y de espaoles a principios de siglo?

d) En qu perodo, aproximadamente, la inmigracin espaola fue mayor que la italiana?

e) Indicar el perodo en el que la razn de cambio del aumento de inmigrantes espaoles fue mayor al pasar de una dcada a otra. Justificar.

53) Calcular en el sistema sexagesimal la amplitud de los siguientes ngulos: (utilizar calculadora cientfica).

54) Expresar los siguientes ngulos en radianes, dando las respuestas en funcin de (.

55) Si cos ( = ( ( es un ngulo agudo), determinar las otras cinco razones trigonomtricas.

56) Determinar las seis razones trigonomtricas del ngulo ( del tringulo rectngulo que se muestra a continuacin.

57) Un pino Gigante proyecta una sombra de 135 metros de largo. Determinar la altura del rbol si el ngulo de elevacin del Sol es de 25,7.

58) Un pintor tiene que apoyar una escalera en una pared para acceder a la parte ms alta. Sabe que, para que no se resbale, el pie de la escalera debe estar a 1,20 m de la pared y que sta debe formar un ngulo de 70 con el piso. Determinar el largo de la escalera, a qu altura llega y qu ngulo forma con la pared.

59) En determinado momento, una varilla de 85 cm de alto, clavada verticalmente en un jardn, produce una sombra de 45 cm de largo. A 2 cm de la parte superior se at un alambre tirante que se clav en el pasto, justo en el extremo de la sombra. Determinar qu ngulo forman los rayos del sol con el piso en ese momento, cul es la longitud del alambre y qu ngulo forma este con la varilla.

60) Desde un helicptero que vuela sobre el mar a 5000 metros de altura se divisa una boya. La amplitud del ngulo que forman la visual y la vertical es 47. Calcular a qu distancia de la boya se encuentra el helicptero.

61) Para sostener un poste de 22 m de altura se utiliza un cable de acero fijado desde el extremo superior del poste al piso. Calcular la longitud del cable si forma con el piso un ngulo cuya amplitud es 69.

62) Calcular la amplitud del ngulo opuesto a la base de un tringulo issceles sabiendo que la longitud de cada lado congruente es 39 cm y la longitud de la base es 18 cm.

63) Una columna sostiene una estatua. Con un teodolito situado a 12 metros del pie de la columna se ve el extremo superior de la estatua con un ngulo de elevacin de 72 y el extremo inferior bajo un ngulo cuya amplitud es 58. Calcular la altura de la estatua.

64) Dado sen ( = calcular las restantes razones trigonomtricas de (.

65) Dado cos ( = calcular las restantes razones trigonomtricas del complemento del ngulo (.

66) Dado sen ( = 1/2 calcular las restantes razones trigonomtricas del suplemento del ngulo (.

67) Dado ABC tringulo rectngulo en A, calcular:

a) lado a sabiendo que

b) amplitud del ngulo B sabiendo que

c) lado b sabiendo que

Respuestas a los ejercicios propuestos

1.a) 1

b) 6,31 aprox

c) 0

d) 1/3

e) 35/8 = 4,375

f)

g)

h)

i)

j)

k)

2.a) F

b) V

c) V

d) V

e) V

f) V

g) V

h) V

i) F

3.a) 0

b) no es posible

c) no es posible

d) 0

e) 0

f) no es posible

g) no es posibleh) 1

i) 0

4.a)

b)

c)

d)

e)

5.a)

b) 6x7 y3

c) 16x8

d)

e) 64r7 s4

f) 648 y3

g) x7 y4

h)

7.a)

b)

c)

EMBED Equation.3

d)

e)

f)

g) (-5 ; 4)

h)

i)

j) (-2;1)

k)

l)

m) (-1; 0)

n)

o)

8.a) A =

b) B =

c) C =

d) D =

e) E =

f) F =

9.a) V

b) V

c) F , x = 3

d) V

10.a)

b)

c) x2 - x

d)

e)

f) 1-2b + b2

g) h2

h) x3 1

i)

j)

11.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

12.i) x = -37/18

ii) x = 14/3

iii) x = 5/2

iv) x = 7/8

v) x = 25/2

vi) x =

13.a)

b)

c)

d)

e)

f) ; B 0

g)

h)

i)

14.a) V

b) F

c) F

d) V

e) F

f) F

g) F

h) V

i) V

j) F

15.a)

b)

c)

d)

e)

f) x = -3 , x = 2 , x = -1

g) x = 5 , x = 2 , x = -4

h) x = -4 , x = 3

i)

j)

k) x = -1/2 , x = 2

l) x = -5 , x = 3

m) x = 11/5 , x = 15/7

n) x = -13/3 , x = -6

o)

p)

16.a)

b)

c) x = 100 x = -50

d)

e) no tiene solucin real

f)

g) x = 0 , x = 2 , x = -1

h) x = 3 , x = 0 , x = 6

i) x = 1 , x = -6

j) x = -1/2

17.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j) 2

18.b = -2

c = 0

19.a = -1 entonces -x2 + 3x 2 = 0 y las races son x = 1 , x = 2

20. k = 16 k = 4

21. $ 15790.5

22. $ 655.623. 6.25 %

24. 0.75

25. 45

26. 44.8

27. UCR = 50.63 % PJ = 38.97 % PI = 2.30 %

28. 50 litros

29. 50/3 % (opcin c)

30. opcin b

31. opcin c

32. opcin c

33. Licenciatura: 61.44 % Maestra: 22.46 % Doctorado: 55.08 %

34.a) S = (

b) S = (

c) S =

d) S =

e) S =

f) S =

g) S =

h) S =

i) S =

35.a)

b)

c)

d) (-3; 2)

e)

f)

g)

36.Entre 41 y 86 grados Fahrenheit

37.a) t(h) = 20 - si

b) 38.Alcanza una altura de 196 metros a los 2 y a los 6 segundos

39. Las dimensiones del rectngulo es de 10 cm por 7 cm.

40.velocidad: 600 km/h

41.Dimensiones de la fbrica: 180m x 120m ancho del csped: 30m

42.a) y = x + 1

b) y = -x + 2

c) y =

d) y =

e) y = -5x + 11

f) y = x 1

g) y = 3x 2

h) y =

i) y = 3x 3

j) y =

k) y = 5

l) x = 4

m) y =

n) y =

o) x = -1

p) y = 6

q) y =

r) y = x + 6

43.a) si

b) no

44.a) Si, ya que el ingreso depende del monto de ventas y se puede expresar de manera lineal I(m) = a.m + b

b) vendedor A: I(m) = 0,05m + 100

vendedor B: I(m) = 0,03m + 200

vendedor C: I(m) = 0,10m

c) Monto vendido $2000, para un ingreso de $200.

45.

46. a) $50

b) 50%

c) debe vender $500

47. La pendiente representa el costo por unidad y la ordenada, el costo fijo.

48.m > 0 entonces la temperatura aumenta

m < 0 entonces la temperatura disminuye

m = 0 entonces la temperatura se mantiene constante

49. optativo

50. a) h(t) = 3100 t + 400 t: tiempo transcurrido

3 h(t): Cantidad de habitantes

b) Aproximadamente 9 aos y medio.

51. m = Tiempo de comunicacin (minutos)

Ecuacin de las diferentes tarifas:

T (A) = $380

T (B) = $147 + 0.20m

T (C) = 0.45m

M = 588 conviene la tarifa B o C

M = 844 conviene la tarifa A o C

M = 1165 conviene la tarifa A o B

Si m< 588 conviene la tarifa C, si 588