curso propedéutico de cálculo sesión 1:...

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Curso Propedéutico de CálculoSesión 1: Funciones

Joaquín Ortega Sánchez

Centro de Investigación en Matemáticas, CIMATGuanajuato, Gto., Mexico

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Esquema

1 Números Reales

2 Funciones

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Reales

El cálculo se basa en las propiedades de los númerosreales, así que comenzaremos por dar una idea de cómosurge este conjunto de números y que propiedades tiene.

En el camino iremos definiendo otros conjuntos de númerosque son necesarios para la descripción de los númerosreales.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Naturales

Los números naturales o enteros positivos son los númerosque usamos para contar: 1,2,3, .... El conjunto de losnúmeros naturales es infinito y usualmente se denota con elsímbolo N, de modo que

N = {1,2,3,4, . . . }.

Si a es un número entero usamos la notación a ∈ N paraindicar que a es un elemento del conjunto N de los númerosnaturales.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Enteros

Si sumamos dos números naturales el resultado siempre esun número natural.

En cambio, si restamos dos números naturales el resultadopuede no ser un entero positivo. Por ejemplo, si restamos 5menos 7 el resultado no es un entero positivo. Tampoco loes el resultado de restar 5 menos 5.

Para poder realizar estas operaciones tenemos que ampliarel conjunto de números que estamos considerando paraincluir los enteros negativos y el cero.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Enteros

El conjunto que incluye todos estos números, es decir, losnaturales, el cero y los enteros negativos se conoce comoel conjunto de los enteros y se denota por Z:

Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . . }.

Ahora podemos sumar o restar enteros y el resultado serásiempre otro entero.

Esto nos permite resolver cualquier ecuación de la formax + a = 0 dónde a es un número entero (a ∈ Z) y x es laincógnita. La solución de esta ecuación es x = −a.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Enteros

Consideremos ahora la operación de multiplicar dosnúmeros.

Si multiplicamos enteros el resultado es otro entero, al igualque ocurre con las operaciones de suma y resta. Decimospor lo tanto que el conjunto de los números enteros escerrado respecto de las operaciones de suma, resta ymultiplicación.

Sin embargo, si consideramos la operación de dividir dosnúmeros enteros, el resultado no siempre es otro entero.Por ejemplo, 4 dividido por 2 es 2, que es entero, pero 2dividido por 4 no es un número entero.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Racionales

De nuevo, si queremos realizar la operación de dividir dosenteros cualesquiera debemos considerar otro conjunto denúmeros, más amplio que el conjunto de los enteros, quese conoce como el conjunto de los números racionales y sedenota por la letra Q.

Este conjunto está formado por todos los cocientes denúmeros enteros:

Q ={a

b: a,b ∈ Z

}.

Q contiene a los números enteros; basta tomar b = 1 en elcociente que aparece en la definición.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Racionales

Q es cerrado respecto de las operaciones de suma, resta,multiplicación y división.

Por lo tanto, dentro de este conjunto podemos resolvercualquier ecuación lineal con coeficientes racionales, esdecir, ecuaciones de la forma ax + b = 0 para a,b ∈ Q.

Los números racionales tienen una característicaimportante cuando vemos sus desarrollos decimales. Laparte decimal de un número racional o es finita o tiene unpatrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo1/4 = 0.25, 1/3 = 0.3333 . . . y 20/11 = 1.818181 . . . .

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Reales

Pudiéramos pensar que con este conjunto tendríamossuficiente para todas las operaciones que queremos hacerpero si intentamos resolver ecuaciones con términos nolineales tendremos problemas.

Por ejemplo, si queremos resolver x2 = 2, la solución no esun número racional. Esto no es tan fácil de ver como en losejemplos anteriores pero este era un hecho conocido porlos matemáticos griegos.

La demostración que presentamos a continuación apareceen los libros de Euclides y es una demostración porcontradicción o reducción al absurdo.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Reales

Supongamos que la solución de esta ecuación es unnúmero racional, es decir que existen a,b enteros tales que(a/b)2 = 2.

Podemos suponer que a y b no tienen factorescomunes.

Despejando obtenemos

a2 = 2b2. (1)

Por lo tanto a2 es un número par.

Como consecuencia a también es par, porque loscuadrados de números impares no pueden ser pares.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Reales

Como a2 es par, existe un entero k tal que a2 = 2k .

Sustituyendo en la ecuación (1) obtenemos que 4k2 = 2b2

o equivalentemente b2 = 2k2.

El mismo argumento anterior nos dice ahora que b tambiénes par y en consecuencia tanto a como b son pares. Perohabíamos supuesto que a y b no tenían factorescomunes.

Esta contradicción muestra que no existe ningún númeroracional x que sea solución de la ecuación x2 = 2.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Reales

Para poder resolver esta ecuación es necesario ampliar elconjunto de números e incluir, además de los racionales alos llamados números irracionales.

Los números irracionales son aquellos cuyo desarrollodecimal no termina (o sea que su desarrollo decimal esinfinito) y tampoco tiene un patrón que se repite. Ejemplosde números irracionales son

√2 y π.

Es posible demostrar que todo número irracional se puedeobtener como límite de una sucesión de númerosracionales, pero como aún no hemos introducido la idea delímite, no podemos profundizar en esta idea.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Números Reales

Este conjunto ampliado, que incluye tanto a los racionalescomo a los irracionales se conoce como los númerosreales, se denota por el símbolo R y va a ser el conjuntocon el cual vamos a trabajar.

Una propiedad fundamental de los números reales es queestán ordenados, es decir, existe una relación de orden quedenotamos por < tal que dados dos números reales x , ycualesquiera, siempre se tiene que una y sólo una de lasrelaciones

x < y ; x = y ; y < x ,

es cierta. Esta relación es transitiva: si x < y , y < zentonces x < z. Además si x < y entonces 0 < y − x .

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Esquema

1 Números Reales

2 Funciones

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Funciones

Una noción fundamental en Cálculo es la de función.

DefiniciónUna función es una regla que a cada elemento a de unconjunto A le asocia un único elemento f (a) en un conjuntoB.

El conjunto A se conoce como el dominio de la función f yB es el codominio o conjunto de llegada de la función f .Usamos la siguiente representación simbólica para unafunción de A a B:

f : A→ B

Decimos que el valor de la función f (a) es la imagen de apor la función f . El recorrido de f es el conjunto de valoresque toma la función

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Funciones

Aunque en la definición los conjuntos A y B pueden sercualesquiera, en lo que sigue vamos a considerar funcionesque están definidas entre conjuntos de números.

Veamos algunos ejemplos.

1 La función f : R→ R definida por la fórmula f (x) = x leasocia a cada número real, el mismo número real. Seconoce como la función identidad.

2 La función f (x) = 2x asocia a cada número real, eldoble de su valor.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Funciones

3 La función f (x) = x2 es una función que va de losnúmeros reales a los números reales positivos. En estecaso todo número real tienen una única imagen (eldominio de la función es el conjunto de los númerosreales) pero dos números reales distintos pueden tenerla misma imagen. Por ejemplo, f (−2) = f (2) = 4. Estoestá permitido por la definición.

Observamos que no todos los números reales sonimagen de otro número real, es decir, que el recorridono es el conjunto de los números reales sino unsubconjunto, el de los números reales positivos, quedenotamos por R+.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Funciones

4 La relación x2 + y2 = 4 define una circunferencia deradio 2, pero la variable y no es una función de xporque para cada valor de x hay dos valores de yasociados: Tenemos que y2 = 4− x2 y por lo tantopara −2 < x < 2, y = ±

√4− x2.

&%'$

-

6

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Funciones

Con frecuencia sólo damos una fórmula para definir unafunción, por ejemplo, decimos que f (x) = 3x + 5 og(x) =

√x − 5.

En estos casos está implícito que el dominio de la funciónes el conjunto de números reales en el cual la fórmula quedefine la función tiene sentido.

La función f está definida en todo R porque a cualquiernúmero real lo podemos multiplicar por 3 y sumarle 5, sinembargo en el caso de g tenemos que tener en cuenta quelas raíces de números negativos no están definidas (dentrode los números reales; hay que introducir los númerosimaginarios para poder hacer esto).

Funciones

NúmerosReales

Funciones

Funciones

Por lo tanto es necesario que x − 5 sea positivo, es decir,x − 5 ≥ 0 y x ≥ 5.

Así vemos que el dominio de esta función es el conjunto delos reales que son mayores o iguales a 5:

Dom(f ) = {x ∈ R : x ≥ 5}.

Este conjunto con frecuencia se conoce como el dominionatural de la función g.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesRepresentación Gráfica

La gráfica de una función es la representación gráficarespecto de un sistema de coordenadas cartesianas de lacolección de pares ordenados (x , f (x)).

Esta representación generalmente es una curva en el planoxy , aunque en ocasiones la representación puede ser máscomplicada. Veamos algunos ejemplos.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 La gráfica de la función f (x) = 0.5x − 1 es una rectacon pendiente 0.5 e intercepto -1. Su gráfica es

6

-

��

��

��

��

2−1

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 La gráfica de f (x) = x2 es una parábola que pasa porel origen y se abre hacia arriba. Su gráfica es lasiguiente

-

6

1−1

1

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesFunciones definidas a trozos

En todos los ejemplos que hemos visto el dominio de lafunción es un intervalo, posiblemente infinito, pero esto nosiempre es así. El dominio de una función puede ser launión de intervalos disjuntos o incluso conjuntos máscomplicados.

En general, aunque no siempre, este tipo de funcionesrequiere dos o más fórmulas para su definición. Veamosalgunos ejemplos de las situaciones que se presentan

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 La función definida por

f (x) =

{x − 1 para x < 0,x + 1 para x ≥ 0.

es una función definida a trozos.

−3 −1 0 1 2 3

−4

−2

02

4

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


2 La función f (x) = |x | se puede escribir másexplícitamente como

f (x) =

{x si x ≥ 0−x si x < 0.

−3 −1 0 1 2 3

−1

01

23

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


3 La función f (x) =√

x2 − 4 está definida sólo six2 − 4 ≥ 0, es decir, si x ≤ −2 o x ≥ 2, y estosintervalos son disjuntos y no son contiguos.

−6 −2 0 2 4 6

02

46

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesFunciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

DefiniciónUna función f : A→ B es inyectiva si dados dos elementosx , y en el dominio de f con x 6= y se tiene que f (x) 6= f (y).

La definición nos dice que elementos distintos del dominiotienen imágenes distintas y es equivalente a la siguientecondición:Dados dos puntos x , y en el dominio, si f (x) = f (y)entonces necesariamente x = y.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


Ejemplo

1 La función f (x) = 2x − 3 es inyectiva porque si x 6= y,también se tiene que 2x 6= 2y y de manera similar2x + 3 6= 2y + 3.

2 En cambio la función f (x) = |x | no es inyectiva porquef (−1) = f (1) = 1.

−4 −2 0 2 4

−5

05

10

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−1

01

23

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


DefiniciónUna función f : A→ B es sobreyectiva si todo elemento deB es imagen de un elemento de A, es decir, para todoy ∈ B existe x ∈ A tal que y = f (x).Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva ysobreyectiva.

Una función es sobreyectiva si el recorrido de la función esigual al conjunto de llegada o codominio de la función.

Una función f : A→ B es biyectiva si todos los elementosde A tienen una única imagen en B y todo elemento de Bes imagen de algún elemento de A.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 La función f : R→ R definida por f (x) = ax + b cona 6= 0 es sobreyectiva porque dado cualquier númeroreal y , podemos ver que y es la imagen según f dex = (y − b)/a:

f (x) = ax + b = ay − b

a+ b = y

Como f también es inyectiva, vemos que es biyectiva.2 La función f : R→ R definida por f (x) = x2 no es

inyectiva porque f (−1) = f (1) y tampoco essobreyectiva porque ningún número negativo esimagen de otro número real según esta función.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


3 Si restringimos el dominio de la función del ejemploanterior a los números positivos f : R+ → R,obtenemos una función inyectiva, porque ahora laimagen de cada número positivo es única, pero no essobreyectiva por la misma razón del ejemplo anterior.

Si modificamos el codominio de la función yconsideramos f : R+ → R+ entonces la función esinyectiva y sobreyectiva, y por lo tanto es biyectiva.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesParidad

DefiniciónUna función f es par si su gráfica es simétrica respecto aleje y, o equivalentemente si

f (−x) = f (x)

para todo x en el dominio de f .

Una función f es impar si su gráfica es simétrica respecto alorigen, o equivalentemente si

f (−x) = −f (x),

para todo x en el dominio de f .

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesParidad

1 La función f (x) = |x | es un ejemplo de una función parpues si x > 0, f (−x) = x = f (x). Tambíén lo es lafunción f (x) = x2 y en general las potencias pares:f (x) = x2k , para k ∈ N.

2 La función f (x) = x es una función impar puesf (−x) = −x = −f (x). También lo son todas laspotencia impares: f (x) = x2k−1 para k ∈ N.

3 Hay funciones que no son pares ni impares, como porejemplo f (x) = 2x − 1, ya que no satisface ninguna delas dos condiciones que aparecen en la definición:

f (−x) =− 2x − 1 6= 2x − 1 = f (x)f (−x) =− 2x − 1 6= −2x + 1 = −f (x).

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesParidad

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y :Una gráfica es simétrica respecto al eje y si cada vez queun punto (x , y) está en la gráfica, el punto (−x , y) tambiénlo está.

Recordemos que la gráfica de una función f está dada porla colección de puntos (x , y) con y = f (x).

Si la función es par y tomamos un punto cualquiera (x , f (x))sobre su gráfica, teniendo en cuenta que f (−x) = x vemosque el punto (−x , f (−x)) = (−x , f (x)) también está sobre lagráfica, de modo que ésta es simétrica.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesParidad

En cambio, la gráfica de una función impar es simétricarespecto al origen de coordenadas. Una gráfica tiene estapropiedad si dado cualquier punto (x , y) en la gráfica, elpunto (−x ,−y) también está en la gráfica.

Geométricamente esta propiedad quiere decir que siunimos con una recta al origen con el punto (x , y) de lagráfica, hay otro punto de la gráfica que se encuentra sobreesta misma recta y a la misma distancia que (x , y) delorigen, pero en dirección contraria. No es difícil ver queeste punto es (−x ,−y).

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesParidad

Consideremos ahora la gráfica de una función impar yrecordemos que la propiedad que caracteriza a estasfunciones es que

f (−x) = −f (x). (2)

El punto (x , f (x)) está en la gráfica de esta función paratoda x en el dominio de la función. Pero usando la ecuación(2) vemos que (−x ,−f (x)) también está en la gráfica y porlo tanto ésta es simétrica respecto al origen.

Observamos además que si el origen está en el dominio dela función, la gráfica de la función tiene que pasar por él.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesFunciones Monótonas

DefiniciónDecimos que la función f es creciente si se tiene quef (x) ≤ f (y) siempre que x ≤ y. f es estrictamente crecientesi la desigualdad x < y implica que f (x) < f (y).

Decimos que la función f es decreciente si se tiene quef (x) ≤ f (y) siempre que x ≥ y. f es estrictamente crecientesi la desigualdad x < y implica que f (x) > f (y).

En cualquiera de los casos anteriores decimos que f es unafunción monótona. Si f es estrictamente creciente oestrictamente decreciente decimos que es estrictamentemonótona.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 Si f es una función lineal: f (x) = ax + b con a,b ∈ Rentonces f es estrictamente creciente si a > 0,estrictamente decreciente si a < 0 y es constante sia = 0.

−4 −2 0 2 4

−5

05

10

a>0

x

f(x)

−4 −2 0 2 4

−5

05

10

a<0

x

f(x)

−4 −2 0 2 4

−0.

50.

51.

01.

5

a=0

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 La función f (x) = x2 no es monótona. Si restringimosel dominio de la función a los reales negativosentonces es estrictamente decreciente, mientras que sirestringimos el dominio a los reales positivos la funciónes creciente. Algo similar ocurre con la funciónf (x) = |x |.

−4 −2 0 2 4

05

1015

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3−

10

12

3

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 En general, la función f (x) = xn es creciente si n esimpar mientras que para n par la función no esmonótona.

En este último caso se presenta una situación análogaa la del ejemplo anterior: la función es creciente parax ≥ 0 y decreciente para x ≤ 0

Funciones

NúmerosReales

Funciones


Una función estrictamente monótona es inyectiva porque six 6= y , por las propiedades de los números reales o bienx < y o y < x . Supongamos que este último es el caso yque la función es estrictamente creciente, entonces

y < x ⇒ f (y) < f (x)

y f (x) 6= f (y).

Un argumento similar muestra el resultado en los otroscasos

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesPolinomios

DefiniciónUn polinomio o una función polinomial f es una función dela forma

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0

donde ai ∈ R para i = 0,1, . . . ,n. Si an 6= 0 decimos que ftiene grado n.Observamos que un polinomio tiene como dominio alconjunto de los números reales. Si el grado del polinomioes impar entonces el recorrido de la función también es elconjunto de los números reales. Si el grado es par entoncesel recorrido es solo un subconjunto de los números reales.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesPolinomios

EjemploLa función f (x) = x3 − x es un polinomio de grado 3mientras que g(x) = x18 − 3x9 + 2 es un polinomio degrado 18.

DefiniciónSi g y h son polinomios, decimos que la función

f (x) =g(x)h(x)

es una función racional.Observamos que una función de este tipo sólo estarádefinida si el denominador no se anula, de modo que eldominio de f excluye los puntos en los cuales h(x) = 0, osea, las raíces del polinomio h.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesPolinomios

Consideremos la función

f (x) =1

x2 + a

Veamos cuál es el dominio de f . Esta función está definidapara todos los números reales x excepto cuandox2 + a = 0. Por lo tanto necesitamos hallar las raíces deeste polinomio. Hay tres casos:• Si a > 0 entonces la ecuación x2 = −a no tiene raíces

reales y por lo tanto x2 − a no se anula para ningúnx ∈ R, de modo que la función f está definida paratodos los números reales.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesPolinomios

• Si a = 0 la ecuación x2 + a = 0 tiene una únicasolución x = 0. Por lo tanto el dominio de f es elconjunto de los números reales distintos de 0.

• Si a < 0 la ecuación x2 = −a tiene dos soluciones,x = ±

√−a, de modo que el dominio de f es el conjunto

de los números reales excepto = ±√−a.

−4 −2 0 2 4

05

1015

a>0

x

f(x)

−4 −2 0 2 4

05

1015

a=0

x

f(x)

−4 −2 0 2 4

05

1015

a<0

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesTransformaciones de Funciones

Veamos cuál es el resultado de hacer una transformaciónlineal sobre el argumento o sobre una función dada f .

Sea c > 0 y consideremos inicialmente las traslaciones.

• Si definimos g(x) = f (x − c), la gráfica de g se obtienetrasladando la gráfica de f c unidades a la derecha. Encambio la gráfica de g(x) = f (x + c) se obtienetrasladando la gráfica de f c unidades a la izquierda.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x+1)

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x−1)

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x)

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


• Si la traslación se aplica a la función en lugar delargumento, el resultado es distinto.

La gráfica de la función g(x) = f (x) + c se obtienetrasladando c unidades hacia arriba la gráfica de f y lagráfica de g(x) = f (x)− c corresponde a trasladar lagráfica de f c unidades hacia abajo.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x)−5

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x)+5

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x)

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


Sea f una función y c > 1 una constante.• La gráfica de g(x) = f (cx) se obtiene comprimiendo

horizontalmente la gráfica de f por un factor de cunidades.

• La gráfica de g(x) = f (x/c) se obtiene estirandohorizontalmente la gráfica de f por un factor de cunidades.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


−3 −1 0 1 2 3

−50

050

f(1.5x)

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−2

−1

01

2

f(x/1.5)

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x)

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones


• La gráfica de g(x) = cf (x) se obtiene estirandoverticalmente la gráfica de f por un factor de cunidades.

• La gráfica de g(x) = f (x)/c se obtiene comprimiendoverticalmente la gráfica de f por un factor de cunidades.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

5f(x)

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x)/5

x

f(x)

−3 −1 0 1 2 3

−15

−5

515

f(x)

x

f(x)

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesComposición de Funciones

DefiniciónSean f y g funciones tales que los valores de f caen dentrodel dominio de g, de modo que tiene sentido considerar elvalor de g en f (x) para cualquier x. Definimos lacomposición de g y f , que se denota por g ◦ f por

(g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 Sean f (x) = ax para a ∈ R y g(x) = x + b para b ∈ R,entonces la composición de g y f es

(g ◦ f )(x) = g(f (x) = g(ax) = ax + c

que es una transformación lineal. Si hacemos lacomposición en el orden inverso obtenemos

(f ◦ g)(x) = f (g(x) = f (x + c) = a(x + c)

y vemos que el resultado es diferente, de modo que lacomposición de funciones no es conmutativa.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


2 Sean f (x) =√

x y g(x) = 2x + 3. Observamos que lafunción f sólo está definida para x ≥ 0 mientras que gestá definida para todo x ∈ R. El resultado de lacomposición g ◦ f es la función

(g ◦ f )(x) = 2√

x + 3

que está definida para x ≥ 0. Si buscamos componerlas funciones en el orden inverso queremos que la raízcuadrada de ax + b esté definida, y por lo tantotenemos que restringirnos los valores de x para loscuales 2x + 3 ≥ 0, o sea x ≥ −3/2. En este conjuntotenemos

(f ◦ g)(x) =√

2x + 3, para x ≥ −3/2.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesFunciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas tienen su origen en elestudio de los triángulos rectángulos.

Las principales funciones trigonométricas son el seno, elcoseno y la tangente y sus funciones inversas, arcoseno,arcocoseno y arcotangente. Veamos la definición de lastres primeras.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


��

��

��

��

a

hb

x

Consideremos un triángulo rectángulo como el de la figuracon hipotenusa de longitud h y sea x el valor en radianesdel ángulo de la base del triángulo opuesto al angulo recto,definimos

sen x =bh; cos x =

ah; tan x =

ba=

sen xcos x

.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


Algunas identidades trigonométricas importantes son

sen(−x) = − sen x ; cos(−x) = cos x ;

tan(−x) = − tan x ; sen2 x + cos2 x = 1.

−10 −5 0 5 10

−1.

00.

00.

51.

0

La función seno

t

sin(

t)

−10 −5 0 5 10−

1.0

0.0

0.5

1.0

La función coseno

t

cos(

t)

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesFunción Exponencial

DefiniciónDado un número a > 0, la función exponencial con base aes la función

f (x) = ax .

El dominio es el conjunto de los números reales mientrasque el recorrido es el conjunto de los números reales(estrictamente) positivos.

Si a > 1 la función f es estrictamente creciente mientrasque si a < 1 la función es estrictamente decreciente. Sia = 1 entonces f (x) = 1 para todo x y la función esconstante.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


La función exponencial con base a satisface las siguientespropiedades, que son consecuencia de las propiedades dela operación de potenciación de números reales.

1 ar as = ar+s, es decir, f (r)f (s) = f (r + s).2 ar/as = ar−s, es decir, f (r)/f (s) = f (r − s).3 (ar )s = ars, es decir (f (r))s = f (rs).4 a0 = 1, es decir f (0) = 1.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


La siguiente figura muestra la gráfica de las funcionesexponenciales con bases 2 y 1/2.

−3 −2 −1 0 1 2 3

02

46

8Función exponencial

x

f(x)

a=2a=1/2

Funciones

NúmerosReales

Funciones


La función exponencial se puede definir con cualquier basea > 0 pero hay un valor de a que juega un papel muyespecial en el cálculo y en las matemáticas en general, quees el número de Euler, denotado por la letra e. Este númerousualmente se define como el límite de una sucesión,

e = limn→∞

(1 +

1n

)n

y su valor es aproximadamente 2.7182818 . . . .

Si hablamos de la función exponencial sin especificar labase, se sobreentiende que la base es el número e.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


Para denotar la función escribimos f (x) = ex o tambiénf (x) = exp(x).

Al igual que en el caso general tenemos las siguientespropiedades

1 er es = er+s.2 er/es = er−s.3 (er )s = ers.4 e0 = 1.5 Como e > 1 la función ex es estrictamente creciente.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesFunciones Inversas

DefiniciónSea f una función con dominio A y recorrido B, f : A→ B.Decimos que la función g con dominio B y recorrido A,g : B → A es una inversa de f si para todo x ∈ A

y = f (x) si y sólo si x = g(y).

Como x ∈ A, x tiene una imagen según f .

Como B es el recorrido de f , todos los elementos de B sonimagen de algún elemento x del dominio A. Esto último nosdice que la función f es sobreyectiva.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


Supongamos que f tiene una inversa g y veamos que fnecesariamente es inyectiva:Supongamos que x 6= y pero f (x) = f (y) = z ∈ B.

• Como x ∈ A y f (x) = z, por la definición vemos queg(z) tiene que ser igual a x .

• Análogamente como y ∈ A y f (y) = z, g(z) = y .• Pero x 6= y de modo que g toma dos valores distintos

en z y en consecuencia no es una función.

Esta contradicción muestra que f tiene que ser inyectiva.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


En consecuencia una función con inversa tiene que serbiyectiva.

Recíprocamente, si una función es biyectiva, entonces tieneuna función inversa (¿puedes demostrar esto?).

Funciones

NúmerosReales

Funciones


A partir de la definición vemos que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x ,

de modo que g ◦ f es la identidad en A: (g ◦ f )(x) = x paratodo x ∈ A.

De manera similar

(f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y ,

de modo que f ◦ g es la identidad en B.

La notación usual para la función inversa de f es f−1.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


Si f es una función estrictamente creciente, entonces esinyectiva y es sobreyectiva si consideramos que sucodominio es el recorrido de la función.

Por lo tanto esta función es biyectiva y tiene una inversa.

Es posible demostrar que esta inversa también esestrictamente creciente.

De manera similar una función estrictamente decrecientetiene inversa y esta inversa es estrictamente decreciente.

Funciones

NúmerosReales

Funciones


1 La función f (x) = xn para n es impar es estrictamentecreciente y por lo tanto tiene una inversa quedenotamos por f−1(y) = y1/n, la n-ésima raíz de y .

2 La función f : R+ → R+ definida por f (x) = x2 tienefunción inversa g : R+ → R+, g(y) =

√y .

0.0 0.4 0.8 1.2

0.0

0.4

0.8

1.2

Funciones inversas

x

f(x)

x^1/2

Funciones

NúmerosReales

Funciones


3 La función f (x) = xn para n par no es inyectiva porquetenemos que f (−x) = (−x)n = xn = f (x).

Sin embargo, si restringimos el dominio de la función ax ≥ 0 como hicimos en el ejemplo anterior, la funciónes estrictamente creciente y tiene una inversaf−1(y) = y1/n.

Para ambas funciones el dominio y recorrido es elconjunto de los reales positivos R+.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesLogaritmo

DefiniciónSea a un número real positivo. El logaritmo con base a:f (x) = loga(x) es la función inversa de la funciónexponencial g(x) = ax .

El logaritmo natural f (x) = ln(x) es la función inversa de laexponencial con base e, g(x) = ex .

En general vamos a considerar sólo el logaritmo natural yusaremos las notaciones ln(x) o log(x) indistintamente.

Funciones

NúmerosReales

Funciones

FuncionesLogaritmo

Esta función tiene las siguientes propiedades• El dominio de la función logaritmo son los números

reales positivos mientras que su recorrido son todoslos números reales.

• Se tiene que log(ex) = x y elog x = x .• La función logaritmo es estrictamente creciente.• Tenemos que log(xy) = log(x) + log(y),

log(x/y) = log(x)− log(y), log(xs) = s log(x)

curso propedéutico de cálculo sesión 1:...

Documents