curso propedéutico de cálculo sesión 8: …jortega/materialdidactico/maeprope/...sucesiones y...

Sucesiones ySeries

Sucesiones

SeriesDefinición yPropiedades

Series de TérminosPositivos

Aplicaciones aProbabilidad

Series dePotenciasDefinición yPropiedades

Operaciones sobreSeries de Potencia

Series de Taylor yMaclaurin

Curso Propedéutico de CálculoSesión 8:

Sucesiones y Series

Joaquín Ortega Sánchez

Centro de Investigación en Matemáticas, CIMATGuanajuato, Gto., Mexico

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Esquema

1 Sucesiones

2 SeriesDefinición y PropiedadesSeries de Términos PositivosAplicaciones a Probabilidad

3 Series de PotenciasDefinición y PropiedadesOperaciones sobre Series de PotenciaSeries de Taylor y Maclaurin

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SucesionesDefinición

Un sucesión es un conjunto ordenado de números.

Por ejemplo2,4,6,8,10,12, . . .

es la sucesión de los números pares positivos.

El primer elemento es 2, el segundo es 4, el quinto es 10 yel elemento que ocupa el lugar n es 2n.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Vemos en este ejemplo que lo que hemos hecho es asociara cada número natural 1,2,3, . . . un número par 2,4,6, . . . :

1 2 3 4 5 · · · n · · ·↓ ↓ ↓ ↓ ↓ · · · ↓ · · ·2 4 6 8 10 · · · 2n · · ·

Por lo tanto, una sucesión no es más que una funcióndefinida sobre los números naturales que toma valoresreales.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








DefiniciónUna sucesión de números reales es una función f : N→ R.Si f (n) = an, decimos que an es el n-ésimo término de lasucesión. Usualmente escribiremos (an)

∞n=1 o {an,n ≥ 1}

para denotar esta sucesión y en algunos casossimplemente (an).

ObservaciónEn algunos casos consideraremos sucesiones quecomienzan en cero en lugar de comenzar en uno:{an,n ≥ 0}. También consideraremos sucesiones quecomienzan en un índice arbitrario c, {an,n ≥ c} osucesiones dóblemente infinitas: {an,n ∈ Z}

Sucesiones ySeries

Sucesiones








DefiniciónSea (an)

∞n=1 una sucesión en R y a ∈ R. Decimos que la

sucesión (an)∞n=1 converge a a, si para todo real positivo ε

existe un entero positivo N = N(ε) tal que |an − a| < ε,siempre que n ≥ N.

Si (an)∞n=1 converge a a escribimos an → a cuando n→∞

o limn→∞ an = a, decimos que a es el límite de la sucesión(an)

∞n=1 y que la sucesión es convergente. Una sucesión

que no es convergente, es divergente.

Esta definición formaliza la siguiente idea intuitiva: a es ellímite de la sucesión (an) si a medida que crece el índice nlos elementos an de la sucesión están cada vez máspróximos al límite a.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SucesionesEjemplos

Ejemplo: an = 1n .

Esta sucesión converge a 0 en R: dado ε > 0 escogemosN = N(ε) tal que 1

N < ε.Entonces tenemos que para todo n ≥ N

|an − a| =∣∣∣1n− 0∣∣∣ = ∣∣∣1

n

∣∣∣ ≤ 1N< ε.

Gráficamente, la convergencia equivale a que, paracualquier ε > 0, a partir de un cierto índice N, todos losmiembros de la sucesión caigan dentro de una banda deancho 2ε centrada en el valor del límite, que es cero en estecaso.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SucesionesEjemplos

Ejemplo: an = n.

Esta sucesión es divergente ya que para cualquier a ∈ R ycualquier ε > 0 fijo existe N ∈ N tal que N > a + ε y lacondición de la definición no se satisface.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SucesionesEjemplos

Ejemplo: an = 1 + 1n .

Consideremos la sucesión an = 1 + 1n para n ∈ N.

Vimos que la sucesión (1n ) converge a 0 y por lo tanto

nuestra idea intuitiva es que la sucesión an = 1 + 1n debe

converger a 1 + 0 = 1. Comprobemos a partir de ladefinición que esto es cierto. Sea ε > 0, queremos ver queexiste N = N(ε) tal que si n ≥ N, |an − 1| < ε.

|an − 1| =∣∣∣1 +

1n− 1∣∣∣ = ∣∣∣1

n

∣∣∣ = 1n.

Al igual que en el ejemplo 1, basta escoger N de modo que1N < ε para tener

|an − 1| = 1n≤ 1

N< ε.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SucesionesPropiedades

Propiedades.Supongamos que (an) e (bn) son sucesiones de númerosreales y an → a,bn → b. Entonces

1. El límite de una sucesión convergente es único.2. Toda sucesión convergente es acotada.3. lim(an + bn) = a + b4. Para c ∈ R, lim(can) = ca5. lim(anbn) = ab6. lim(an/bn) = a/b si b 6= 0, bn 6= 0 para n ∈ N.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Ejemplo.

Determine limn→∞

3n2

7n2 + 1.

Al igual que en el caso de límites de funciones, en el casode un cociente de polinomios conviene dividir numerador ydenominador entre la mayor potencia de n que aparezca enel denominador.

limn→∞

3n2

7n2 + 1= lim

n→∞

37 + 1/n2

=limn→∞ 3

limn→∞ 7 + limn→∞ 1/n2

=3

7 + 0=

37

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

DefiniciónSea (an)

∞n=1 una sucesión en R, decimos que esta sucesión

tiene límite infinito o tiende a infinito, si dado cualquierk ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces an > k.Escribimos an →∞ cuando n→∞ o limn→∞ an =∞.

De manera similar decimos que la sucesión tiene límitemenos infinito o tiende a menos infinito si dado cualquierk ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N, entonces an < k.Escribimos an → −∞ cuando n→∞ o limn→∞ an = −∞.

Estas sucesiones no son convergentes.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Ejemplo: an = n2.

Esta sucesión tiende a infinito: como los términos de lasucesión son positivos basta considerar k > 0 en ladefinición.

En este caso basta tomar N ≥√

k para obtener que

n ≥ N =⇒ an > k

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Ejemplo.

Veamos que la sucesión an =1

(2n + 1)1/2 − (2n − 1)1/2

también tiende a infinito.

an =1

(2n + 1)1/2 − (2n − 1)1/2 =(2n + 1)1/2 + (2n − 1)1/2

(2n + 1)− (2n − 1)

=12((2n + 1)1/2 + (2n − 1)1/2)

≥ 12(2(2n − 1)1/2)

= (2n − 1)1/2.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Vimos quean ≥ (2n − 1)1/2

y queremos que an ≥ (2n − 1)1/2 > k . Elevando alcuadrado y despejando n obtenemos

n ≥ (k2 + 1)/2.

Por lo tanto, dado k > 0 basta tomar N > k2+12 para obtener

que

n > N ⇒ 1(2n + 1)1/2 − (2n − 1)1/2 > a.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Resaltamos la diferencia entre an → a y an →∞.

En el primer caso a es un número y podemos medir ladistancia entre a y an. En cambio∞ no es un número y ladistancia entre∞ y an siempre vale∞. Si an →∞ lasucesión an es divergente.

Las sucesiones que no tienen límite en el sentido queacabamos de describir (finito o infinito), se conocen comosucesiones oscilantes.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Ejemplo: an = (−1)n.

Si n es par, an = 1 mientras que si n es impar, an = −1;pero ni 1 ni −1 pueden ser límites de esta sucesión:

Supongamos que 1 es límite, entonces a partir de un ciertoentero N, todos los términos de la sucesión deberíansatisfacer |an − 1| < 1/2.

Pero si n > N es impar entonces

|an − 1| = | − 1− 1| = 2 > 1/2,

y la sucesión no converge a 1.

De manera similar se muestra que tampoco converge a −1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Uno podría pensar que si (an)∞n=1 es una sucesión

convergente con límite a y b es un número real tal quean < b para todo n ∈ N, entonces a < b también, pero estono es cierto: basta tomar an = 1− 1/n para todon, a = 1 y b = 1.

Con este ejemplo vemos que la próxima propiedad es lomejor que se puede esperar.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Propiedades.

7. Sea (an)∞n=1 una sucesión convergente de números

reales con límite a. Si b ∈ R es tal que an ≤ b paratodo n ∈ N, entonces a ≤ b.

8. Sean (an)∞n=1 y (bn)

∞n=1 sucesiones convergentes de

números reales con límites a e b respectivamente. Sian ≤ bn para todo n ∈ N, entonces a ≤ b.

9. Si (an)∞n=1, (bn)

∞n=1 y (zn)

∞n=1 son sucesiones de

números reales con bn ≤ an ≤ zn para todo n ylim bn = lim zn = ` entonces (an)

∞n=1 es convergente y

lim an = `.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SucesionesSucesiones Monótonas

Definición

• Si an ≤ an+1 para todo n ∈ N, decimos que la sucesión(an)

∞n=1 es creciente.

• Si an < an+1 para todo n ∈ N, decimos que la sucesiónes estrictamente creciente.

• Si an+1 ≤ an para todo n ∈ N, decimos que la sucesiónes decreciente

• y si an+1 < an para todo n, que es estrictamentedecreciente.

Decimos además que cualquiera de estas sucesiones esmonótona.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Propiedades.

10. Toda sucesión monotona en R tiene límite enR∗ = R ∪ {∞}. Una sucesión monotona en R convergesi y sólo si es acotada.

11. Si (an)∞n=1 es una sucesión creciente en

R, lim an = sup{an : n ∈ N}. Si (an)∞n=1 es una

sucesión decreciente en R, lim an = inf{an : n ∈ N}.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Ejemplo: an = an.Un ejemplo importante es el de la sucesión an = an, paraa ∈ R. El comportamiento de esta sucesión cuando n→∞depende del valor de a.

1 Si a = 0,an = an = 0 y lim an = 0.2 Si a = 1,an = an = 1 y lim an = 1.3 Si a = −1, la sucesión toma alternadamente los

valores +1 y −1 y es oscilante.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

4 Si a > 1 la sucesión an = an es creciente:

an − an−1 = an − an−1 = a(an−1 − 1) > 0.

Por la propiedad 11, lim an = sup an. Veamos que lasucesión no está acotada. Sea k = a− 1 y escribamosa = 1 + k . Usando el desarrollo binomial obtenemos

an = an = (1 + k)n =n∑

j=0

(nj

)k j > 1 + nk

Como k > 0, la sucesión (1 + nk)∞n=1 no está acotada ypor lo tanto tampoco lo está (an)

∞n=1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

5 Si 0 < a < 1 entonces 1 < a−1. Sea ` > 0 tal quea−1 = 1 + `. Entonces

0 < an =1

(1 + `)n <1

1 + n`

Es fácil ver que cuando n→∞,1/(1 + n`)→ 0, demodo que por la propiedad 8, an → 0.

6 El caso −1 < x < 0 es similar al anterior, solo que lostérminos sucesivos tienen signos distintos, pero envalor absoluto |an| → 0 y an → 0.

7 Si a < −1 entonces a = −b, con b > 1 y por (4)bn →∞. Por lo tanto la sucesión (bn)

n tomaalternadamente valores positivos y negativos que soncada vez mas grandes en valor absoluto, es decir laserie es oscilante y no es acotada.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Resumiendo tenemos

(1) a > 1, an →∞.(2) a = 1, an → 1.(3) −1 < a < 1, an → 0.(4) a = −1, an oscila y es acotada.(5) a < −1, an oscila y no es acotada.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

Ejemplo: an = n2/2n.Demuestre que la sucesión an = n2/2n converge usando lapropiedad 10.

Los primeros términos de esta sucesión son

12, 1,

98, 1,

2532,

916,

49128

, . . .

Veamos que esta sucesión es decreciente a partir de n = 3.Las siguientes desigualdades que presentamos son todasequivalentes.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Sucesiones

n2

2n >(n + 1)2

2n+1 ⇔ n2 >(n + 1)2

2⇔ n2 > n2 + 2n + 1

⇔ n2 − 2n > 1⇔ n(n − 2) > 1

Esta última desigualdad es cierta para n ≥ 3. Como lasucesión es decreciente y está acotada por debajo porcero, la sucesión tiene límite.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Esquema

1 Sucesiones



Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesDefinición

DefiniciónSea (an)

∞n=1 una sucesión de números reales. Para cada

n ∈ N definimos

Sn =n∑

k=1

ak = a1 + a2 + · · ·+ an.

La sucesión (Sn)n≥1 se conoce como la serie infinitaasociada a, o generada por, la sucesión (an)

∞n=1. La

notación usual es∞∑

n=1

an ó∑

an.

Decimos que an es el n-ésimo sumando y Sn es la n-ésimasuma parcial de la serie.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

DefiniciónSi la sucesión de sumas parciales (Sn)n≥1 convergedecimos que

∑an es una serie convergente. En caso

contrario la serie es divergente.

Si limn→∞ Sn = S decimos que S es la suma de la serie∑an y escribimos

∞∑n=1

an = S

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Así, para las series convergentes, el símbolo∑∞

n=1 an tieneun doble papel: representa la serie y también su suma.

Es importante distinguir claramente entre la sucesión(an)

∞n=1 y la serie

∑∞n=1 an y entienda la relación entre

ambas.

Consideraremos ocasionalmente series de la forma∑∞n=p an donde p ∈ Z, las cuales definimos como la serie∑∞n=1 bn donde bn = an+p−1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesPropiedades

Propiedad 1.Si∑

an converge entonces limn→∞ an = 0

La condición enunciada en la propiedad 1 es sólonecesaria, como lo muestra el siguiente ejemplo.

EjemploSi an = n−1/2 entonces an → 0 cuando n→∞ pero

n∑k=1

ak = 1 +1√2+ · · · 1√

n≥ n√

n≥√

n

y como√

n→∞ cuando n→∞,∑

an diverge a∞.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesPropiedades

Propiedad 2.Si∑

an converge, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que si m ≥ Nentonces ∣∣∣ ∞∑

k=m

an

∣∣∣ < ε.

ObservaciónSi se cambia un número finito de sumandos de una serie nose altera su convergencia o divergencia, pero puede variarel valor de su suma.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesPropiedades

Propiedad 3.Si∑

an y∑

bn son series de términos reales y an = bnpara todo n suficientemente grande, entonces o ambasseries convergen o ambas divergen.

Propiedad 4.Si∑

an es una serie convergente de términos reales yc ∈ R entonces

∑∞n=1 can = c

∑∞n=1 an

Propiedad 5.Si∑

an y∑

bn son series convergentes de términos realesentonces

∑∞n=1(an + bn) =

∑∞n=1 an +

∑∞n=1 bn

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Ejemplo: La serie geométrica.Sean a, z ∈ R. La serie

∑∞n=0 azn converge y su suma es

a/(1− z) si |z| < 1. Si a 6= 0 y |x | ≥ 1 esta serie diverge.

La fórmula para progresiones geométricas nos dice que

Sn = an∑

k=0

zk = a1− zn+1

1− z

Si |z| < 1 obtenemos

limn→∞

Sn =a

1− z.

Si a 6= 0 y |z| ≥ 1 entonces |azn| ≥ |a| > 0 para todo n y lapropiedad 1 muestra que la serie no puede converger. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

DefiniciónUna serie

∑an converge absolutamente (o es

absolutamente convergente) si∑|an| converge.

Propiedad 6.Si∑

an converge absolutamente entonces converge.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesDefinición

DefiniciónSea

∑ak una serie con términos ak ≥ 0 y sea

Sn =∑n

k=1 ak su n-ésima suma parcial. Como (Sn)n≥1 esuna sucesión creciente, tiene un límite S ∈ R∗ (que puedeser +∞) . Escribimos

∑∞k=1 ak = S. S se conoce como la

suma de la serie. Si S <∞ esta definición coincide con laanterior y decimos que la serie converge. Si S =∞ la seriediverge. En cualquier caso la serie tiene suma y escribimos∑

ak <∞ ó∑

ak =∞

según el caso.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Propiedad 7.Sea

∑an una serie con términos positivos.

∑an converge

si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

La serie∑∞

n=1 1/n, conocida como la serie armónica, esdivergente. Veamos que la sucesión de sumas parcialescorrespondiente a esta serie no está acotada. Usaremos elhecho de que (1/n) es una sucesión decreciente.

S1 = 1

S2 = 1 +12

S4 = 1 +12+

13+

14> 1 +

12+ 2

14= 1 + 2

12

S8 = 1 +12+ · · ·+ 1

8= S4 +

15+

16+

17+

18> 1 + 3

12

S16 = S8 +19+ · · ·+ 1

16> S8 + 8

116

= S8 +12> 1 + 4

12

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

y en general

S2n = S2n−1+1

2n−1 + 1+· · ·+ 1

2n > S2n−1+2n−1 12n = S2n−1+

12.

Por recurrencia obtenemos que

S2n > 1 +n2

y vemos que esta sucesión no es acotada y por lo tanto laserie no converge.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesCriterios de Convergencia

Los siguientes criterios son válidos sólo para series detérminos positivos.

Criterio de ComparaciónSi para algún K > 0 y algún N ∈ N, se tiene que0 ≤ an ≤ Kbn para todo n ≥ N, entonces

1 Si∑

bn converge se tiene que∑

an converge y∑∞n=N an ≤ K

∑∞n=N bn.

2 Si∑

an diverge,∑

bn también.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesEjemplo

Ejemplo.Determine si la serie an =

n2n(n + 1)

converge o diverge.

Observemos que

n2n(n + 1)

=(1

2

)n nn + 1

<(1

2

)n

La serie de la derecha es una serie geométrica de razón1/2 < 1 y por lo tanto es convergente.

Por el criterio de comparación la serie∑

an también esconvergente.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Criterio de Comparación II

• Silim

n→∞

an

bn= K , 0 < K <∞

entonces ambas series convergen o ambas divergen.• Si K = 0, la convergencia de

∑bn implica la

convergencia de∑

an,• Si K =∞, la divergencia de

∑an implica la de

∑bn.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







SeriesEjemplo

Ejemplo.

Determine si la serie∑

an =∑ log n

n2 converge o diverge.

En este caso no es tan evidente con cual serie debemoscomparar. Si tomamos bn = 1/n2 obtenemos

limn→∞

an

bn= lim

n→∞

log nn2 n2 = lim

n→∞log n =∞,

y el criterio falla. Si en cambio comparamos con bn = 1/nobtenemos

limn→∞

an

bn= lim

n→∞

log nn2 n = lim

n→∞

log nn

= 0,

y el criterio tampoco funciona.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Observamos que las fallas son distintas. En el primer casoel límite es infinito pero la serie con la que comparamos esconvergente. En el segundo el límite es cero pero la seriecon la que comparamos diverge.

Intentamos ahora comparar con una serie que esté entrelas que hemos usado, como por ejemplo 1/n3/2,

limn→∞

an

bn= lim

n→∞

log nn2 n3/2 = lim

n→∞

log n√n

= 0,

Concluimos por el criterio de comparación II que la serieconverge.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Criterio del CocienteSea (an)n≥1 una sucesión de números reales estrictamentepositivos.

1 Si para algún N ∈ N existe un número real α ∈ (0,1)para el cual an+1/an ≤ α siempre que n ≥ N entonces∑

an converge.2 Si para algún N ∈ N, se tiene que an+1/an ≥ 1

siempre que n ≥ N entonces∑

an diverge.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Criterio del Cociente IISea (an)n≥1 una sucesión con an > 0 para n ≥ 1.

1 Si lim an+1an

< 1 entonces∑

an converge.

2 Si lim an+1an

> 1 entonces∑

an diverge.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Ejemplo.La serie

∑n−α converge si α > 1 y diverge si α ≤ 1.

Hemos visto que si α = 1 la serie diverge. Si α < 1,n−α > n−1 y por el Criterio de Comparación,

∑n−α diverge.

Supongamos ahora que α > 1 y consideremos la sumapara los índices n que satisfacen N + 1 ≤ n ≤ 2N; entonces

n−α ≤ (N + 1)−α < N−α

y2N∑

n=N+1

n−α < N−α(2N − N − 1) < N1−α

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Tomemos ahora N = 2j , para j = 0, 1, . . . , k − 1;obtenemos que

2k∑1

n−α ≤k−1∑j=0

2j+1∑n=2j

n−α ≤k−1∑j=0

2(1−α)j ≤∞∑

j=0

2(1−α)j =1

1− 2(1−α)

donde∑

2(1−α)j es una serie geométrica convergenteporque α > 1 y 21−α < 1.

Como estamos considerando una serie de términospositivos, la sucesión de sumas parciales es creciente yhemos mostrado que esta sucesión está acotada. Por lotanto la serie es convergente. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Ejemplo.

Determine la convergencia o divergencia de la serie∑ 2n

n!.

Usando el criterio del cociente

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

2n+1

(n + 1)!n!2n = lim

n→∞

2n + 1

= 0

Concluimos que la serie converge. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Ejemplo.Determine la convergencia o divergencia de la serie∑ 2n

n20 .

Usando el criterio del cociente

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

2n+1

(n + 1)20n20

2n = 2 limn→∞

( nn + 1

)20= 2

Concluimos que la serie diverge. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Criterio de la RaízDefinamos β = lim(an)

1/n. Entoncesa) Si β < 1,

∑an converge.

b) Si β > 1,∑

an diverge.c) Si β = 1, la prueba no da información.

Criterio de la IntegralSi f está definida para x > 0, es decreciente y positiva,entonces

∑f (n) converge si y sólo si

∫∞1 fdx converge.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

EjemploVeamos de nuevo el ejemplo de la serie

∞∑k=1

1nα

usando el criterio de la integral. La función f (x) = x−α paraα > 0 es positiva y decreciente. Por el criterio de la integraltenemos que ver la convergencia o divergencia de laintegral ∫ ∞

1

1xα

dx

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Si α 6= 1, ∫ t

1

1xα

dx =[ x1−α

1− α

∣∣∣t1=

t1−α − 11− α

.

Si hacemos t →∞, la integral converge si α > 1 y divergesi α < 1.

Si α = 1 ∫ t

1

1x

dx =[log x

∣∣∣t1= log t ,

que diverge cuando t →∞.

En resumen, la serie converge si α > 1 y diverge si α ≤ 1. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

EjemploDetermine si la siguiente serie converge

∞∑n=1

n5n2 − 4

Tenemosn

5n2 − 4>

n5n2 =

15· 1

n.

y por el criterio de comparación, como vimos que la serie∑1/n diverge, la serie en consideración también diverge. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Si consideramos una serie∑

an de términos que puedanser positivos o negativos, podemos usar la propiedad 6 yver si la serie es absolutamente convergente, ya que eneste caso la serie sería convergente.

Para este proceso podemos considerar la serie∑|an|, que

es una serie de términos positivos, y aplicar los criterios deconvergencia que hemos estudiado hasta ahora.

Veamos esto con un ejemplo.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

Ejemplo

Veamos que la serie∞∑

n=1

(−1)n+1 3n

n!converge

absolutamente.

Veamos la prueba del cociente para los valores absolutosde los términos de la serie.

limn→∞

|an+1||an|

= limn→∞

3n+1

(n + 1)!n!3n = lim

n→∞

3n + 1

= 0.

Con base al criterio del cociente concluimos que la serieconverge absolutamente. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series

EjemploDetermine la convergencia o divergencia de la serie∞∑

n=1

cos(n!)n2 .

Usamos el criterio de comparación para el valor absoluto delos términos de la serie.∣∣∣cos(n!)

n2

∣∣∣ ≤ 1n2

de modo que la serie converge absolutamente. •

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Recordemos que una variable aleatoria es una función Xdefinida sobre un espacio de probabilidad que toma valoresreales.

Vamos a considerar ahora variables discretas, que sonaquellas que toman una cantidad finita o numerable devalores.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

La distribución de una variable discreta se caracteriza através de función de probabilidad, que definimos de lasiguiente manera: Si la variable toma valores x1, x2, x3, . . .definimos

pi = P(X = xi)

Observamos que los números pi se caracterizan por dospropiedades:

(i) pi ≥ 0 para todo i ≥ 1.(ii) p1 + p2 + p3 + · · · = 1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Bajo estas condiciones, si A es un conjunto de númerosreales, un intervalo por ejemplo, y queremos hallar laprobabilidad de que la variable X tome valores en esteconjunto, basta sumar las probabilidades de los valores dela variables que están en el conjunto:

P(X ∈ A) =∑

i:xi∈A

pi

Por lo tanto, si conocemos la función de probabilidad,podemos hallar la probabilidad de que la variable X tomevalores en cualquier conjunto.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

EjemploLanzamos un dado y la variable X representa el valor queobtenemos.

El conjunto de valores de esta variables es {1,2,3,4,5,6},y la función de probabilidad es

pi = P(X = i) =16, i = 1, . . . ,6.

Si queremos hallar la probabilidad de que la variable tomeuna valor par, tenemos

P(X sea par ) = P(X ∈ {2,4,6}) = 36=

12

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Ejemplo: Distribución BinomialSuponemos que realizamos una serie de experimentos condos resultados posibles, 1 y 0, que llamamos éxito yfracaso, 1 ocurre con probabilidad p y 0 ocurre conprobabilidad q = 1− p.

Si realizamos n experimentos de estas características ensucesión y de manera independiente, llamamos Sn alnúmero de éxitos que ocurren en estos n experimentos.

Estos experimentos se conocen como ensayos de Bernoulli.

Esta variable toma valores en el conjunto {0,1,2, . . . }

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

La distribución de esta variable es bien conocida y se llamadistribución binomial. La fórmula es

P(Sn = k) = pk =

(nk

)pk (1− p)n−k

para k = 0,1, . . . ,n.

Usando el binomio de Newton es posible demostrar que lasuma de pi es 1:

1 = (p + q)n =n∑

k=0

(nk

)pkqn−k .

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Ejemplo: Distribución de PoissonUna variable aleatoria de Poisson toma valores en elconjunto {0,1,2, . . . } y su distribución depende de unparámetro λ > 0.

Su función de probabilidad está dada por

P(X = k) = Pk =λke−λ

k !

Para ver que la suma de las pk vale 1 usamos un resultadoque demostraremos en la siguiente sección:

eλ =∞∑

k=0

λk

k !

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Ejemplo: Distribución GeométricaConsideremos una sucesión de ensayos de Bernoulli yllamemos X a la variable que cuenta el número de ensayosque realizamos hasta obtener el primer éxito. Esta variabletoma valores en {1,2,3, . . . }

Para que el primer éxito ocurra en el k -ésimo ensayo esnecesario que los primeros k − 1 ensayos tengan comoresultado un fracaso, lo que ocurre con probabilidad qk−1 yen el k -ésimo ensayo debe ocurrir un éxito, y esto tieneprobabilidad p.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Por lo tanto, la función de probabilidad de esta variable es

pk = P(X = k) = pqk−1, k ≥ 1.

Veamos que esta es, efectivamente, una función deprobabilidad, para lo cual hay que verificar que suma 1, y lohacemos usando la serie geométrica:

∞∑k=1

pk =∞∑

k=1

pqk−1 = p∞∑

k=0

qk

= p1

1− q= 1

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

DefiniciónSea X una variable aleatoria discreta con función deprobabilidad p(x) tal que la serie

∑x |x |p(x) <∞. El valor

esperado de X, que denotamos por E(X ) se define cómo

E(X ) =∑

x

x p(x)

El valor espardo también se conoce como la esperanza, lamedia o el primer momento de X.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Ejemplo: Distribución de BernoulliVamos a hallar el valor esperado de una variable deBernoulli con probabilidad de éxito p.

Esta variable toma los valores 1 con probabilidad p y 0 conprobabilidad q = 1− p. Por lo tanto

E(X ) = 0 · q + 1 · p = p

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

TeoremaSea X una variable aleatoria con función de probabilidadp(x) y sea g una función g : R→ R. Entonces

E(g(X )) =∑

g(x)p(x)

siempre que∑

x |g(x)|p(x) <∞.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

PropiedadesSean X , Y variables aleatorias con media finita y a,bconstantes. Entonces

1 E(aX + b) = a E(X ) + b.2 Si P(a < X ≤ b) = 1 entonces a < E(X ) ≤ b.3 E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Ejemplo: Distribución BinomialRecordemos que una distribución binomial de parámetros ny p representa el número de éxitos en una serie de nensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito p.

Por otro lado vimos que una variable de Bernoulli tiene valoresperado p.

Si Bi son variables de Bernoulli independientes conprobabilidad de éxito p, Sn =

∑nk=1 Bk

Por las propiedades del valor esperado

E(Sn) = E(n∑

k=1

Bi) =n∑

k=1

E(Bi) = np

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Ejemplo: Distribución de PoissonVeamos cuál es el valor esperado de la distribución dePoisson.

E(X ) =∑

k

kP(X = k) =∞∑

k=0

kλke−λ

k !

=∞∑

k=1

λke−λ

(k − 1)!= λe−λ

∞∑k=1

λk−1

(k − 1)!

= λe−λ∞∑

k=0

λk

k != λ.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Esquema

1 Sucesiones



Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de PotenciasDefinición

Hasta ahora hemos considerado series en las cuales lostérminos son números reales pero podemos ampliarnuestra consideración a series en la cuales los términosdependen de una variable que llamaremos x . Un ejemplotípico es el siguiente

∞∑n=1

sen nxn2 =

sen x1

+sen 2x

4+

sen 3x9

+ · · ·

Si fijamos un valor de x , por ejemplo x = 3.1, regresamosal análisis de una serie numérica.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Tenemos entonces dos preguntas:1 ¿Para qué valores de x converge la serie?2 ¿A que función converge? Es decir, ¿cuál es la suma

S(x) de la serie?

El tema general de las series de funciones está fuera delalcance de este curso, pero vamos a analizar un casoparticular que es el de las series de potencias:

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · ·

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de PotenciasEjemplo

Ejemplo¿Para qué valores de x la serie de potencias

∞∑n=0

axn = a + ax + ax2 + ax3 + · · ·

converge y cuál es su suma?

Ya estudiamos esta serie, se trata de la serie geométrica.Sabemos que la serie converge para −1 < x < 1 y su sumaS(x) es

S(x) =a

1− x, −1 < x < 1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Vamos a llamar conjunto de convergencia al conjunto de losvalores de x para los cuales una serie de potenciasconverge.

Vamos a considerar unos ejemplos para ver quecaracterísticas tiene este conjunto

Sucesiones ySeries

Sucesiones








EjemploDetermine el conjunto de convergencia para la serie

∞∑n=0

xn

(n + 1)2n

Algunos términos de la serie pueden ser negativos si x < 0.Veamos la convergencia absoluta con el criterio delcociente.

limn→∞

∣∣∣ xn+1

(n + 2)2n+1(n + 1)2n

xn

∣∣∣ = limn→∞

|x |2

n + 1n + 2

=|x |2.

La serie converge absolutamente (y por lo tanto converge)cuando |x | < 2 y diverge cuando |x | > 2.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








El criterio no dice nada cuando |x | = 2, es decir, x = 2 óx = −2. Estos puntos los analizamos individualmente.

Para x = 2 el término general de la serie es

1n + 1

que corresponde a la seria armónica, que sabemos que esdivergente.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








En cambio para x = −2 el término general es

(−1)n

n + 1

que es una serie alternante, ya que los signos de términossucesivos son distintos. Es posible demostrar que estaserie es convergente usando un criterio de convergenciapara series alternantes.

En resumen, el conjunto de convergencia es el intervalo

[−2,2).

Sucesiones ySeries

Sucesiones









∞∑n=0

xn

n!.

limn→∞

∣∣∣ xn+1

(n + 1)!n!xn

∣∣∣ = limn→∞

|x |n + 1

= 0.

Por el criterio del cociente concluimos que la serie converge(absolutamente) para todo x .

Sucesiones ySeries

Sucesiones









∞∑n=0

n! xn.

limn→∞

∣∣∣(n + 1)! xn+1

n! xn

∣∣∣ = limn→∞

(n + 1)|x | =

{0 si x = 0,∞ si x 6= 0.

Por el criterio del cociente concluimos que la serie sóloconverge para x = 0.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








En los ejemplos anteriores el conjunto de convergencia fueun intervalo, aunque en uno de los ejemplos resultó unintervalo degenerado. El resultado general es el siguiente.

TeoremaEl conjunto de convergencia para una serie de potencias∑

anxn puede ser uno de los siguientes conjuntos:(i) {0},(ii) un intervalo (−R,R) posiblemente incluyendo uno o

ambos extremos,(iii) toda la recta real.Decimos que el radio de convergencia R de la serie es 0,Re∞, respectivamente.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Ejemplo

Hallar el radio de convergencia de la serie∞∑

n=2

log nn2 xn.

Usamos el criterio del cociente

limn→∞

∣∣∣ log(n + 1)xn+1

(n + 1)2n2

log(n)x2

∣∣∣ = limn→∞

log(n + 1)log(n)

( nn + 1

)2|x |

= |x |

Por lo tanto el radio de convergencia es 1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Podemos también considerar una variación de las series depotencias, que son las series de la forma∑

an(x − a)n = a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + · · ·

que se denominan series de potencias en x − a.

Las propiedades de estas series son similares y enparticular su conjunto de convergencia siempre es uno delos siguientes intervalos:

(i) {a},(ii) un intervalo (a− R,a + R) posiblemente incluyendo

uno o ambos extremos,(iii) toda la recta real.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








EjemploDetermine el intervalos de convergencia para la serie

∞∑n=0

(x − 1)n

(n + 1)2

Aplicamos el criterio del cociente

limn→∞

∣∣∣(x − 1)n+1

(n + 2)2(n + 1)2

(x − 1)noBig| = lim

n→∞|x−1|(n + 1)2

(n + 2)2 = |x−1|

En consecuencia la serie converge si |x − 1| < 1, es decir,si 0 < x < 2 y diverge si |x − 1| > 1. Es posible ver que enlos extremos del intervalo también converge, de modo queel intervalo de convergencia es [0,2].

Sucesiones ySeries

Sucesiones








EjemploDetermine el intervalos de convergencia para la serie

∞∑n=0

(x + 2)n log(n)n 3n

Aplicamos el criterio del cociente

limn→∞

∣∣∣(x + 2)n+1 log(n + 1)(n + 1)3n+1

n 3n

(x + 2)n log(n)

∣∣∣ = |x + 2|3

En consecuencia la serie converge si |x + 2| < 3, es decir,si −5 < x < 1 y diverge si |x + 2| > 3. Es posible ver queen −5 la serie converge pero en 1 diverge, de modo que elintervalo de convergencia es [−5,1).

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de PotenciasOperaciones

Hemos visto que el conjunto de convergencia de una seriede potencias es un intervalo I y para los puntos de esteintervalo la serie representa una función S(x), que es lasuma de la serie en el punto x .

Es natural preguntarnos ahora sobre las propiedades quepuede tener esta función, y en particular preguntarnos si lafunción es continua, diferenciable o integrable. Veremos acontinuación que la respuesta a todas estas preguntas esafirmativa.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








TeoremaSea S(x) la suma de una serie de potencias que convergeen in intervalo I:

S(x) =∞∑

n=0

anxn.

Si x no es un punto extremo de I,

(i) S′(x) =∞∑

n=0

Dx(anxn) =∞∑

n=1

nanxn−1

(ii)∫ x

0S(t)dt =

∞∑n=0

∫ x

0antn =

∞∑n=0

an

n + 1xn+1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








EjemploVeamos como se aplican estos resultados a la seriegeométrica

11− x

= 1 + x + x2 + x3 + · · · , −1 < x < 1

Derivando término a término obtenemos

1(1− x)2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · , −1 < x < 1

Sucesiones ySeries

Sucesiones








Integrando término a término se obtiene∫ x

0

11− t

dt =∫ x

01 dt +

∫ x

0t dt +

∫ x

0t2 dt

es decir,

− log(1− x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · , −1 < x < 1.

Es posible mostrar que este resultado también vale parax = 1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








EjemploHalle una fórmula para la serie

S(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·

Vimos en un ejemplo que esta serie converge para todo x .Si derivamos término a término obtenemos

S′(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·

y en consecuencia S′(x) = S(x) para todo x y ademásS(0) = 1.

Sucesiones ySeries

Sucesiones








La única función que satisface estas condiciones esS(x) = ex y en consecuencia

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·

Sucesiones ySeries

Sucesiones








EjemploObtenga una representación en serie de potencias parae−x2

.

Basta con sustituir −x2 por x en la serie para ex :

e−x2= 1− x2 +

x4

2!− x6

3!+ · · ·

Sucesiones ySeries

Sucesiones








TeoremaSean f (x) =

∑anxn y g(x) =

∑bnxn, donde ambas series

convergen al menos para |x | < R.

Si se realizan las operaciones de suma, resta ymultiplicación de estas series como si fuesen polinomios, laserie resultante convergerá para |x | < R y representa af (x) + g(x), f (x)− g(x) y f (x) · g(x), respectivamente.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Dada una función f , por ejemplo, una funcióntrigonométrica, ¿podemos representarla mediante unaserie de potencias en x o, más generalmente, en (x − a)?

Más precisamente, ¿podemos hallar coeficientesc0, c1, c2, c3, . . . tales que

f (x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + · · ·

para toda x en algún intervalo alrededor de a?

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Si suponemos que esta representación existe, entoncespodemos usar el teorema sobre derivación término atérmino de las series de potencias para hallar loscoeficientes:

f ′(x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2 + 4c4(x − a)3 + · · ·f ′′(x) = 2!c2 + 3!c3(x − a) + 4 · 3c4(x − a)2 + · · ·f ′′′(x) = 3!c3 + 4!c4(x − a) + 5 · 4 · 3c5(x − a)2 + · · ·

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Poniendo x = a en las ecuaciones anteriores todos lostérminos se anulan salvo las constantes y obtenemos

c0 = f (a), c1 = f ′(a), c2 =f ′′(a)

2!, c3 =

f ′′′(a)3!

y en general

cn =f (n)(a)

n!En consecuencia los coeficientes están determinados por lafunción f , lo cual demuestra que las series de potencia sonúnicas.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

TeoremaSupongamos que f satisface

f (x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + · · ·

para toda x en algún intervalo alrededor de a. Entonces

cn =f (n)(a)

n!

Así, una función no puede ser representada por más deuna serie de potencias en x − a.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

La representación de una función f en una serie depotencias en términos de x − a es una serie de Taylor.

Si a = 0 la serie se conoce como la serie de Maclaurin.

Los siguientes resultados nos dicen cuándo es posibleencontrar una representación de este tipo para una funcióndada.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Teorema (Taylor)Sea f una función cuya (n + 1)-ésima derivada f (n+1)(x)existe para todo x en un intervalo I que contiene a a.Entonces, para todo x ∈ I,

f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +12!

f ′′(a)(x − a)2 + · · ·

+1n!

f (n)(a)(x − a)n + Rn(x)

donde el término Rn(x) está dado por

Rn(x) =1

(n + 1)!f (n+1)(c)(x − a)n+1

y c es un algún punto entre x y a.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Teorema (Taylor)Sea f una función con derivadas de todos los órdenes enalgún intervalo (a− r ,a + r). La serie de Taylor

f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +12!

f ′′(a)(x − a)2 + · · ·

representa a la función f en el intervalo (a− r ,a + r) si ysólo si

limn→∞

Rn(x) = 0

para todo x en el intervalo, donde Rn(x) es el residuo en lafórmula de Taylor.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

EjemploDetermine la serie de Maclaurin para sen x y demuestreque representa a la función para todo x .

Hallamos las derivadas y las evaluamos en 0:

f (x) = sen x f (0) = 0f ′(x) = cos x f (0) = 1f ′′(x) = − sen x f (0) = 0f ′′′(x) = − cos x f (0) = −1

f (4)(x) = sen x f (0) = 0...

...

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de PotenciasPor lo tanto,

sen x = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · ·

y este desarrollo vale para todo x siempre que el términodel residuo tienda a 0:

limn→∞

Rn(x) = limn→∞

1(n + 1)!

f (n+1)(c)xn+1 = 0

Ya vimos que las derivadas pueden ser ± sen x o ± cos x ytodas estas funciones, en valor absoluto, están acotadaspor 1, de modo que

|Rn(x)| ≤1

(n + 1)!|x |n+1

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Para ver que esta expresión tiende a 0 recordamos quedemostramos que la serie ∑

n

xn

n!

es convergente y en consecuencia el término general de laserie debe tender a 0 por la propiedad 1 de las series.

Por lo tantolim

n→∞Rn(x) = 0

para todo x .

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Ahora que tenemos la serie de Maclaurin para sen x ,podemos hallar la serie para cos x usando las propiedadesde las series de potencias y derivando la serie anterior.

Obtenemos

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · ·

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

La Serie BinomialRecordemos la fórmula del binomio

(1 + x)p = 1 +

(p1

)x +

(p2

)x2 + · · ·+

(pp

)xp

donde (pk

)=

p!k !(p − k)!

que también puede escribirse somo(pk

)=

p(p − 1)(p − 2) · · · (p − k + 1)k !

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Con esta definición,(p

k

)tiene sentido para cualquier número

real p, siempre que k sea un entero positivo.

TeoremaPara cualquier número real p y |x | < 1,

(1 + x)p = 1 +

(p1

)x +

(p2

)x2 +

(p3

)x3 + · · ·

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

Para ver este resultado calculamos las derivadas de lafunción y las evaluamos en 0:

f (x) = (1 + x)p f (0) = 1

f ′(x) = p(1 + x)p−1 f (0) = p

f ′′(x) = p(p − 1)(1− x)p−2 f (0) = p(p − 1)

f ′′′(x) = p(p − 1)(p − 2)(1− x)p−3 f (0) = p(p − 1)(p − 2)...

...

Faltaría ver que el término del residuo en el polinomio deTaylor tiende a cero.

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Series de Potencias

EjemploRepresente (1− x)−2 en una serie de Maclaurin para−1 < x < 1.

Usando el teorema anterior obtenemos

(1 + x)−2 = 1 + (−2)x +(−2)(−3)

2!x2 +

(−2)(−3)2!

x2

= 1− 2x + 3x2 − 4x3 + · · ·

En consecuencia

(1− x)−2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · ·

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Ejemplo: Distribución GeométricaVeamos cuál es el valor esperado de la distribucióngeométrica.

E(X ) =∞∑

k=1

kP(X = k) =∞∑

k=1

kpqk−1 = p∞∑

k=1

kqk−1.

La serie de la derecha parece ser la derivada término atérmino de la serie de potencias

∞∑k=0

qk

Recordamos que la esta serie de potencias converge paratodo valor de q < 1

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Recordamos que el valor de esta serie es

∞∑k=0

qk =1

1− q.

Si derivamos ambos lados respecto de q (recordando quelas series de potencias se pueden derivar término atérmino)

∞∑k=1

kqk−1 =1

(1− q)2 .

Sucesiones ySeries

Sucesiones







Aplicaciones

Combinando estos resultados obtenemos que

E(X ) = p∞∑

k=1

kqk−1 =p

(1− q)2 =1p.

Este resultado nos dice que si la probabilidad de que unevento suceda es p, en promedio hay que esperar 1/pensayo para que ocurra el evento.

curso propedéutico de cálculo sesión 8: …jortega/materialdidactico/maeprope/...sucesiones y...

Documents