curso cpr de cehegín: día 5
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Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Las matemáticas de la relatividad (y II)
José Antonio Pastor González
CPR de CehegínLunes 21 de noviembre de 2011
La geometría del espacio-tiempo:una introducción al pensamiento de Albert Einstein
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Contenidos
1 Curvatura de Gauss
2 Métricas
3 Ejemplos
4 La métrica de la relatividad especial
5 Una métrica para relatividad general
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Contenidos
1 Curvatura de Gauss
2 Métricas
3 Ejemplos
4 La métrica de la relatividad especial
5 Una métrica para relatividad general
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto delas principales – puede determinarse desde dentrosólo depende de las medidas que efectuemos en lasuperficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen lamisma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separaciónde trayectorias inicialmente paralelas, péndulos deFoucault, etc.
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto delas principales – puede determinarse desde dentrosólo depende de las medidas que efectuemos en lasuperficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen lamisma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separaciónde trayectorias inicialmente paralelas, péndulos deFoucault, etc.
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto delas principales – puede determinarse desde dentrosólo depende de las medidas que efectuemos en lasuperficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen lamisma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separaciónde trayectorias inicialmente paralelas, péndulos deFoucault, etc.
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Qué significa esto?
la curvatura de Gauss de una superficie – el producto delas principales – puede determinarse desde dentrosólo depende de las medidas que efectuemos en lasuperficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen lamisma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro)¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separaciónde trayectorias inicialmente paralelas, péndulos deFoucault, etc.
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Y lo más importante:
la curvatura de Gauss de una superficie determinafuertemente la geometría de la mismaa saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas,caminos de mínima distancia, etc.así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura delespacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la deGauss)1... y esto es, entre otras razones, porque no tienesentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas
1De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Y lo más importante:
la curvatura de Gauss de una superficie determinafuertemente la geometría de la mismaa saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas,caminos de mínima distancia, etc.así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura delespacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la deGauss)1... y esto es, entre otras razones, porque no tienesentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas
1De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Y lo más importante:
la curvatura de Gauss de una superficie determinafuertemente la geometría de la mismaa saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas,caminos de mínima distancia, etc.así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura delespacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la deGauss)1... y esto es, entre otras razones, porque no tienesentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas
1De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Geometría diferencial (I)
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Geometría diferencial (II)
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La curvatura del espacio-tiempo
el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... estoes un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puedela forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas deespacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies yteniendo información sobre la curvatura de Gauss de las2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espaciocompleto – análogo a las secciones normales
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La curvatura del espacio-tiempo
el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... estoes un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puedela forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas deespacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies yteniendo información sobre la curvatura de Gauss de las2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espaciocompleto – análogo a las secciones normales
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Por qué es importante la curvatura?
no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamosnosotros la curvatura?pues porque la curvatura determina la geometría, lasmedidas, lo que son las líneas rectas y recordemos dedónde venimos – problema de sistemas pequeños en elprincipio de equivalencia – y a dónde queremos llegar –una formulación de las leyes físicas válidas para cualquiersistemaLA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LARESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN ELPRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a unaformulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOSSISTEMAS, INERCIALES O NO
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Por qué es importante la curvatura?
no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamosnosotros la curvatura?pues porque la curvatura determina la geometría, lasmedidas, lo que son las líneas rectas y recordemos dedónde venimos – problema de sistemas pequeños en elprincipio de equivalencia – y a dónde queremos llegar –una formulación de las leyes físicas válidas para cualquiersistemaLA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LARESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN ELPRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a unaformulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOSSISTEMAS, INERCIALES O NO
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Por qué es importante la curvatura?
no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamosnosotros la curvatura?pues porque la curvatura determina la geometría, lasmedidas, lo que son las líneas rectas y recordemos dedónde venimos – problema de sistemas pequeños en elprincipio de equivalencia – y a dónde queremos llegar –una formulación de las leyes físicas válidas para cualquiersistemaLA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LARESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN ELPRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a unaformulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOSSISTEMAS, INERCIALES O NO
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Ecuación de campo (I)
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Ecuación de campo (II)
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Ecuación de campo (III)
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Contenidos
1 Curvatura de Gauss
2 Métricas
3 Ejemplos
4 La métrica de la relatividad especial
5 Una métrica para relatividad general
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Recordemos que...
La presencia de materia y energía provoca que elespacio-tiempo tenga curvaturaLa curvatura determina la geometría – la forma de medir –en el espacio-tiempoEntre otras cosas, determina cuáles son los caminos másrectos en el espacio-tiempoNos referimos a las geodésicas... que son los caminosextremales2 para la longitud en el espacio-tiempo
2No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cadacaso... recordamos también el principio de mínima acción
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Recordemos que...
La presencia de materia y energía provoca que elespacio-tiempo tenga curvaturaLa curvatura determina la geometría – la forma de medir –en el espacio-tiempoEntre otras cosas, determina cuáles son los caminos másrectos en el espacio-tiempoNos referimos a las geodésicas... que son los caminosextremales2 para la longitud en el espacio-tiempo
2No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cadacaso... recordamos también el principio de mínima acción
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Recordemos que...
La presencia de materia y energía provoca que elespacio-tiempo tenga curvaturaLa curvatura determina la geometría – la forma de medir –en el espacio-tiempoEntre otras cosas, determina cuáles son los caminos másrectos en el espacio-tiempoNos referimos a las geodésicas... que son los caminosextremales2 para la longitud en el espacio-tiempo
2No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cadacaso... recordamos también el principio de mínima acción
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Recordemos que...
La presencia de materia y energía provoca que elespacio-tiempo tenga curvaturaLa curvatura determina la geometría – la forma de medir –en el espacio-tiempoEntre otras cosas, determina cuáles son los caminos másrectos en el espacio-tiempoNos referimos a las geodésicas... que son los caminosextremales2 para la longitud en el espacio-tiempo
2No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cadacaso... recordamos también el principio de mínima acción
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Punto de partida: la ecuación de campo
La traducción matemática de las ideas de Einstein está ensu ecuación de campo (en el vacío):
Ric = 0
donde Ric es curvatura la curvatura de Ricci, una mediade las curvaturas de Gauss de las distintas 2-rebanadasdel espacio-tiempo3 (16 ecuaciones, 10 libres)Así pues, dada una distribución de materia (condicionesde contorno) nuestro objetivo es encontrar una métrica g(10 funciones) satisfaciendo la ecuación
3El tensor Ric está formado por derivadas primeras y segundas de g
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Punto de partida: la ecuación de campo
La traducción matemática de las ideas de Einstein está ensu ecuación de campo (en el vacío):
Ric = 0
donde Ric es curvatura la curvatura de Ricci, una mediade las curvaturas de Gauss de las distintas 2-rebanadasdel espacio-tiempo3 (16 ecuaciones, 10 libres)Así pues, dada una distribución de materia (condicionesde contorno) nuestro objetivo es encontrar una métrica g(10 funciones) satisfaciendo la ecuación
3El tensor Ric está formado por derivadas primeras y segundas de g
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¿Y qué es g?
Pues g es una métrica...Una descripción exacta y precisa para medir intervalos enel espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadasA partir de g se puede hacer toda la geometríaY por supuesto, también se puede calcular la curvatura delespacio-tiempo
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¿Y qué es g?
Pues g es una métrica...Una descripción exacta y precisa para medir intervalos enel espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadasA partir de g se puede hacer toda la geometríaY por supuesto, también se puede calcular la curvatura delespacio-tiempo
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¿Y qué es g?
Pues g es una métrica...Una descripción exacta y precisa para medir intervalos enel espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadasA partir de g se puede hacer toda la geometríaY por supuesto, también se puede calcular la curvatura delespacio-tiempo
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Y qué es g?
Pues g es una métrica...Una descripción exacta y precisa para medir intervalos enel espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadasA partir de g se puede hacer toda la geometríaY por supuesto, también se puede calcular la curvatura delespacio-tiempo
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Contenidos
1 Curvatura de Gauss
2 Métricas
3 Ejemplos
4 La métrica de la relatividad especial
5 Una métrica para relatividad general
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Ejemplos de métricas: plano euclídeo
Consideramos el plano euclídeo con coordenadas cartesianas(x , y). Su métrica se escribe entonces así
dx2 + dy2
Tiene coeficientes constantes 1,0,1 por lo que la forma demedir no depende del punto (x , y) en el que estemossituadosA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0
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Ejemplos de métricas: plano euclídeo
Consideramos el plano euclídeo con coordenadas cartesianas(x , y). Su métrica se escribe entonces así
dx2 + dy2
Tiene coeficientes constantes 1,0,1 por lo que la forma demedir no depende del punto (x , y) en el que estemossituadosA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0
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Ejemplo: plano euclídeo en polaresConsideramos el plano euclídeo ahora con coordenadaspolares (r , φ). Su métrica se escribe entonces así
dr2 + r2dφ2
Figura: Expresión de la métrica euclídea usual del plano encoordenadas polares
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Ejemplos de métricas: plano euclídeo conpolares
Cosas que podemos decir de
dr2 + r2dφ2
Sus coeficientes son 1,0, r2 por lo que la forma de medirsólo depende de la distancia radial r pero no del ángulo φA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0Nos vuelve a salir lo mismo porque la curvatura, pese aque se expresa en términos de los coeficientes de lamétrica referidos a un sistema de coordenadas, esindependiente de las coordenadas: la curvatura del planosiempre es 0 (esto es lo que demostró Gauss)
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Ejemplos de métricas: plano euclídeo conpolares
Cosas que podemos decir de
dr2 + r2dφ2
Sus coeficientes son 1,0, r2 por lo que la forma de medirsólo depende de la distancia radial r pero no del ángulo φA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0Nos vuelve a salir lo mismo porque la curvatura, pese aque se expresa en términos de los coeficientes de lamétrica referidos a un sistema de coordenadas, esindependiente de las coordenadas: la curvatura del planosiempre es 0 (esto es lo que demostró Gauss)
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Ejemplos de métricas: plano euclídeo conpolares
Cosas que podemos decir de
dr2 + r2dφ2
Sus coeficientes son 1,0, r2 por lo que la forma de medirsólo depende de la distancia radial r pero no del ángulo φA partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio:K ≡ 0Nos vuelve a salir lo mismo porque la curvatura, pese aque se expresa en términos de los coeficientes de lamétrica referidos a un sistema de coordenadas, esindependiente de las coordenadas: la curvatura del planosiempre es 0 (esto es lo que demostró Gauss)
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Ejemplos de métricas: cilindroUn cilindro de radio r responde a esta ecuación
(u, v)→ (rcosu, rsenu, v)
donde u es la longitud y v es la alturala métrica del cilindro está dada por
r2du2 + dv2
de nuevo, los coeficientes de la métrica son constantes eiguales a r ,0,1a partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del cilindro:K ≡ 0nos sale lo mismo que en el plano... y eso significa que lageometría del cilindro es la misma que la del plano – salvoconsideraciones topológicas
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Ejemplos de métricas: cilindroUn cilindro de radio r responde a esta ecuación
(u, v)→ (rcosu, rsenu, v)
donde u es la longitud y v es la alturala métrica del cilindro está dada por
r2du2 + dv2
de nuevo, los coeficientes de la métrica son constantes eiguales a r ,0,1a partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del cilindro:K ≡ 0nos sale lo mismo que en el plano... y eso significa que lageometría del cilindro es la misma que la del plano – salvoconsideraciones topológicas
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Ejemplos de métricas: cilindroUn cilindro de radio r responde a esta ecuación
(u, v)→ (rcosu, rsenu, v)
donde u es la longitud y v es la alturala métrica del cilindro está dada por
r2du2 + dv2
de nuevo, los coeficientes de la métrica son constantes eiguales a r ,0,1a partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sussegundas derivadas se obtiene la curvatura del cilindro:K ≡ 0nos sale lo mismo que en el plano... y eso significa que lageometría del cilindro es la misma que la del plano – salvoconsideraciones topológicas
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Una métrica con curvaturaConsideramos una esfera de radio r dada en este dibujo, sumétrica es
r2dφ2 + (r2sen2φ)dθ2 ≡ r2dσ2
Figura: Coordenadas esféricas: φ es colatitud y θ es longitud
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La métrica de la esfera
Si tomamos en la esfera estas coordenadas hemos visto quesu métrica es
r2dφ2 + (r2sen2φ)dθ2
los coeficientes son r2,0, r2sen2φ y no son constantespues dependen de la colatitud φa partir de estos coeficientes y de sus derivadas seobtiene la curvatura de la esfera: K ≡ 1/r2
éste es nuestro primer ejemplo de métrica con curvatura...además podemos ver la esfera no cómo algo curvado enel espacio tridimensional, sino simplemente como puntosdel plano (φ, θ) en los que medimos de forma distinta a lausual dφ2 + dθ2
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La métrica de la esfera
Si tomamos en la esfera estas coordenadas hemos visto quesu métrica es
r2dφ2 + (r2sen2φ)dθ2
los coeficientes son r2,0, r2sen2φ y no son constantespues dependen de la colatitud φa partir de estos coeficientes y de sus derivadas seobtiene la curvatura de la esfera: K ≡ 1/r2
éste es nuestro primer ejemplo de métrica con curvatura...además podemos ver la esfera no cómo algo curvado enel espacio tridimensional, sino simplemente como puntosdel plano (φ, θ) en los que medimos de forma distinta a lausual dφ2 + dθ2
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La métrica de la esfera
Si tomamos en la esfera estas coordenadas hemos visto quesu métrica es
r2dφ2 + (r2sen2φ)dθ2
los coeficientes son r2,0, r2sen2φ y no son constantespues dependen de la colatitud φa partir de estos coeficientes y de sus derivadas seobtiene la curvatura de la esfera: K ≡ 1/r2
éste es nuestro primer ejemplo de métrica con curvatura...además podemos ver la esfera no cómo algo curvado enel espacio tridimensional, sino simplemente como puntosdel plano (φ, θ) en los que medimos de forma distinta a lausual dφ2 + dθ2
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Un abstracción importante
En efecto, podemos representar una esfera como los puntosdel plano (φ, θ) pero en lugar de medir con la métrica natural
dφ2 + dθ2
medimos con esta otra:
r2dφ2 + (r2sen2φ)dθ2
Asi, se tiene que LA GEOMETRÍA DE ESTE PLANO ES LAMISMA QUE LA DE LA ESFERA (independencia con respectoal ambiente, aparición de modelos con curvatura negativa)
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
Contenidos
1 Curvatura de Gauss
2 Métricas
3 Ejemplos
4 La métrica de la relatividad especial
5 Una métrica para relatividad general
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La métrica de Minkowski
Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x , y , z, t) dela siguiente forma
dx2 + dy2 + dz2 − dt2
donde recordemos que (x , y , z) son cartesianas y t es eltiempo del observador.
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La métrica de Minkowski
Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x , y , z, t) dela siguiente forma
dx2 + dy2 + dz2 − dt2
donde recordemos que (x , y , z) son cartesianas y t es eltiempo del observador. Cosas que cumple esta métrica:
es una métrica indefinidasu curvatura es cerosus geodésicas (caminos extremales) son líneas rectas
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La métrica de Minkowski
Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x , y , z, t) dela siguiente forma
dx2 + dy2 + dz2 − dt2
donde recordemos que (x , y , z) son cartesianas y t es eltiempo del observador. Cosas que cumple esta métrica:
es una métrica indefinidasu curvatura es cerosus geodésicas (caminos extremales) son líneas rectas
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La métrica de Minkowski
Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x , y , z, t) dela siguiente forma
dx2 + dy2 + dz2 − dt2
donde recordemos que (x , y , z) son cartesianas y t es eltiempo del observador. Cosas que cumple esta métrica:
es una métrica indefinidasu curvatura es cerosus geodésicas (caminos extremales) son líneas rectas
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La métrica de Minkowski
Así pues, la métrica
dx2 + dy2 + dz2 − dt2
representa un espacio-tiempo SIN CURVATURA – y por tanto,sin materia – donde las partículas se mueven a lo largo delíneas rectas permitidas4. Una manera alternativa de escribiresta métrica es así
dr2 + r2dσ2 − dt2
que es la métrica de Minkowski en esféricas
4Según su carácter causal
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Contenidos
1 Curvatura de Gauss
2 Métricas
3 Ejemplos
4 La métrica de la relatividad especial
5 Una métrica para relatividad general
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La solución de Schwarzschild
Unos pocos meses después de la aparición de la ecuación decampo de Einstein aparece la primera solución:
−(
1− 2Mr
)dt2 +
1(1− 2M
r
)dr2 + r2dσ2
que representa un espacio-tiempo CON CURVATURA y estacurvatura se debe a una masa esférica M, sin rotación,localizada en el origen de coordenadas
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La solución de Schwarzschild predice...
a partir de esta métrica uno puede calcular los caminosextremales que son los que siguen siempre la materia y laluzmateria: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurioluz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa,curvatura de la luzcorrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale deun campo gravitatorio está desplazadael ritmo de los relojes varía según su posición en uncampo gravitatorio
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La solución de Schwarzschild predice...
a partir de esta métrica uno puede calcular los caminosextremales que son los que siguen siempre la materia y laluzmateria: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurioluz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa,curvatura de la luzcorrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale deun campo gravitatorio está desplazadael ritmo de los relojes varía según su posición en uncampo gravitatorio
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La solución de Schwarzschild predice...
a partir de esta métrica uno puede calcular los caminosextremales que son los que siguen siempre la materia y laluzmateria: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurioluz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa,curvatura de la luzcorrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale deun campo gravitatorio está desplazadael ritmo de los relojes varía según su posición en uncampo gravitatorio
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La solución de Schwarzschild predice...
a partir de esta métrica uno puede calcular los caminosextremales que son los que siguen siempre la materia y laluzmateria: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurioluz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa,curvatura de la luzcorrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale deun campo gravitatorio está desplazadael ritmo de los relojes varía según su posición en uncampo gravitatorio
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La solución de Schwarzschild predice...
a partir de esta métrica uno puede calcular los caminosextremales que son los que siguen siempre la materia y laluzmateria: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurioluz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa,curvatura de la luzcorrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale deun campo gravitatorio está desplazadael ritmo de los relojes varía según su posición en uncampo gravitatorio
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Cómo se obtiene?
se parte de una masa M esférica, estática... eso daindependencia con respecto a t y simetría esférica...eliminamos muchas ecuaciones asíimponemos que la métrica, conforme la distancia se hacegrande, converja a la métrica de la relatividad especialal final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita entérminos del radio reste radio r (que no es la distancia al origen) es la clavepara entender lo que pasa
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Cómo se obtiene?
se parte de una masa M esférica, estática... eso daindependencia con respecto a t y simetría esférica...eliminamos muchas ecuaciones asíimponemos que la métrica, conforme la distancia se hacegrande, converja a la métrica de la relatividad especialal final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita entérminos del radio reste radio r (que no es la distancia al origen) es la clavepara entender lo que pasa
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Cómo se obtiene?
se parte de una masa M esférica, estática... eso daindependencia con respecto a t y simetría esférica...eliminamos muchas ecuaciones asíimponemos que la métrica, conforme la distancia se hacegrande, converja a la métrica de la relatividad especialal final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita entérminos del radio reste radio r (que no es la distancia al origen) es la clavepara entender lo que pasa
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Cómo se obtiene?
se parte de una masa M esférica, estática... eso daindependencia con respecto a t y simetría esférica...eliminamos muchas ecuaciones asíimponemos que la métrica, conforme la distancia se hacegrande, converja a la métrica de la relatividad especialal final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita entérminos del radio reste radio r (que no es la distancia al origen) es la clavepara entender lo que pasa
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
¿Churras con merinas?
En−
(1− 2M
r
)dt2 +
1(1− 2M
r
)dr2 + r2dσ2
dividimos la masa M por el radio r ... ¿estamos mezclando lasunidades?
Curvatura de Gauss Métricas Ejemplos La métrica de la relatividad especial Una métrica para relatividad general
La masa en kilos
Basta multiplicar
M =Gc2 Mkg
y las masas en kilos pasan a ser masas en metros. Algunosvalores:
La masa de la Tierra es 0,44cmLa masa del Sol es 1,47kmEl factor 1− 2M/r ≡ 1− 10−6 para una masa como el solcuando r es cuatro veces su radio (radio del sol≡ 7× 108m)
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En este espacio-tiempo hay curvatura...
Los puntos que satisfacen r ≡ r0 están a la mismadistancia del origen por lo que es sencillo construircircunferencias haciendo r constante. Además, ocurre quela longitud de estas circunferencias es L = 2πr0.No obstante, si tomamos un punto cualquiera en estacircunferencia, resulta que su distancia al origen no es r0.Ejemplo: entre r = 4 y r = 5 la distancia (radial) es 1,723Conclusión: r representa el radio pero sólo a distanciasgrandes (comparadas con 2M)
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En este espacio-tiempo los relojes...
...andan según su posición en el espacio
−(
1− 2Mr
)dt2 +
1(1− 2M
r
)dr2 + r2dσ2
un reloj situado en r1 = 4M y un reloj situado en r2 = 8M dan
dt2dt1
= 1,22
Si A1 emite un pulso por segundo, A2 recibe los pulsos cada1,22 segundos... menor frecuencia... corrimiento al rojogravitacional...
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También hay singularidades
−(
1− 2Mr
)dt2 +
1(1− 2M
r
)dr2 + r2dσ2
en r = 2M (evitable) hay un cambio de causalidad en lascoordenadas (intercambio entre los roles de t y r )r = 2M es una membrana 3D que sólo admite una formade paso: hacia dentroen r = 0 hay otra singularidad (esencial) (la física no llegaaquí)
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También hay singularidades
−(
1− 2Mr
)dt2 +
1(1− 2M
r
)dr2 + r2dσ2
en r = 2M (evitable) hay un cambio de causalidad en lascoordenadas (intercambio entre los roles de t y r )r = 2M es una membrana 3D que sólo admite una formade paso: hacia dentroen r = 0 hay otra singularidad (esencial) (la física no llegaaquí)
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También hay singularidades
−(
1− 2Mr
)dt2 +
1(1− 2M
r
)dr2 + r2dσ2
en r = 2M (evitable) hay un cambio de causalidad en lascoordenadas (intercambio entre los roles de t y r )r = 2M es una membrana 3D que sólo admite una formade paso: hacia dentroen r = 0 hay otra singularidad (esencial) (la física no llegaaquí)
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Espacio-tiempo de Schwarzschild
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Ejemplo: una trayectoria material
Una partícula material sigue una trayectoria con coordenadas
u → (t(u), r(u), φ(u), θ(u)).
Si exigimos que su trayectoria sea extremal en la métrica deSchwarzschild obtenemos la siguiente ecuación – en implícitas– para una órbita cerrada
1r(θ)
=Mh2
(1 + ecosθ(1− 3M2
h2 )
)siendo e,h constantes de integración.
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Ejemplo: una trayectoria material
El perihelio de la órbita (r mínima) se obtiene en los máximosde
1r(θ)
=Mh2
(1 + ecosθ(1− 3M2
h2 )
)por lo que el primer perihelio se produce en θ = 0 y el segundoen
θ ≡ 2π(1 +3M2
h2 )
Así, la precesión resulta ser
6πM2
h2
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Predicción vs Observación
La precesión estimada por Einstein para Mercurio es
6πM2
h2 ≡ 43,03 segundos de arco por siglo
mientras que la observada era 43,11′′ por siglo. Para Venustambién hay una estimación del orden de 8,6′′ por siglo y laobservación da 8,4. La teoría de Newton no explicacorrectamente estas cantidades.
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Ejemplo: una trayectoria luminosa
Una partícula luminosa sigue una trayectoria con coordenadasgenéricas
u → (t(u), r(u), φ(u), θ(u)).
Si exigimos que su trayectoria sea extremal en la métrica deSchwarzschild obtenemos la ecuación – en implícitas - dadapor
1r(θ)
=1R
cosθ +MR2 (2− cos2θ)
siendo R el perihelio de la órbita lumínica
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Ejemplo: una trayectoria luminosaSi r → ±∞ entonces θ = ±(π/2 + ∆θ/2). Sustituyendo en laexpresión de la órbita nos queda
∆θ ≡ 4MR≡ 1′75′′
Figura: Coordenadas esféricas: φ es colatitud y θ es longitud