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1. NUMEROS Y OPERATORIA

En este primer tema vamos a repasar los numeros reales, prestando especial atencion a las

operaciones, as como las propiedades de las potencias y logaritmos. Ademas se recordara la

resolucion de ecuaciones (lineales y cuadraticas) y las operaciones basicas con polinomios.

1.1. Numeros reales y operatoria

1.1.1. Numeros reales

Aqu tenemos una lista de numeros de diferentes tipos:

0 , 1 , 17 , 4 , 53,2

7, pi ,

2 , e , pi3 .

Los numeros naturales son los siguientes:

1 , 2 , 3 , 4 ...

Otra clase de numeros la forman numeros enteros:

... 4 , 3 , 2 ,1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ...

Evidentemente, todos los numeros naturales son enteros.

A partir de los enteros se obtienen las fracciones (cocientes de enteros). Por ejemplo:

5

3, 2

7,1

4,61

.

Las fracciones se llaman numeros racionales.

Hay muchas formas de escribir un numero racional. Ejemplos:

5

3=

10

6=

15

9= = 53 =

106 =

159 =

3 =3

1=

6

2=

9

3= = 31 =

62 =

93 =

Todo numero entero (luego, todo numero natural) es un numero racional.

Curso Introductorio a las Matematicas Universitarias. Tema 1. Hoja 2

Los siguientes numeros, ademas de otros muchos, son numeros irracionales:

pi ,2 ,

3 , e .

Los numeros racionales y los numeros irracionales forman la clase de los numeros reales.

Un numero real o es racional o es irracional.

Hay una clase aun mayor de numeros, los numeros complejos, que se estudian mas adelante.

Ejercicios

1. Indicar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) 2 es entero; (b) 3 es racional;

(c) 0 es real; (d)2 es real; (e) pi es racional; (f) e es natural.

1.1.2. Operaciones

Con los numeros reales hay dos operaciones muy importantes: la suma (o adicion) y el

producto (o multiplicacion).

La diferencia (o resta) puede verse como una suma:

x y = x+ (y) .

Hay que tener en cuenta las siguientes propiedades:

x+ 0 = x ; (x) = x ; x+ (x) = 0 ; (x+ y) = x y .

Ejemplo. Se verifican las siguientes igualdades:

a (a b) = a a+ b = b .

Ejemplo. Las siguientes igualdades son correctas:

(a b) a = a b a = b .

El producto de dos numeros se representa de varias maneras:

a b = a.b = ab ,

3 4 = 3 4 = 12 ,2 a = 2.a = 2a ,a x = a.x = ax .

Algunas propiedades del producto son:

1x = x , 0x = 0 ,

xy = 0 = x = 0 o y = 0 .


La propiedad distributiva o propiedad del factor comun relaciona la suma y el producto:

x(y + z) = xy + xz

Ejemplo. Se cumple lo siguiente:

a b(a+ 1) = a ba b .

Ejemplo. Se verifican las siguientes igualdades:

(1 b)a+ a = a ba+ a = 2a ba = (2 b)a .

Tambien se puede hacer as:

(1 b)a+ a = [(1 b) + 1]a = (1 b+ 1)a = (2 b)a .

El cociente (o division) de dos numeros se suele escribir de varias formas

a : b =a

b= a/b .

No tiene significado la division por 0, as que no se debe escribir1

0, ni

0

0

El cociente se puede contemplar como un producto:

x

y= x

1

y.

Se verifican las siguientes propiedades:

x

y=u

v xv = yu ;

x =11x

;x

1= x ;

xyuv

=xv

yu.

Ejemplo. Se tiene lo siguiente:aab

=ab

a= b .

Ejemplo. Se verifica que

a

b+ a

b =ab

b+ ab = a+ ab = a(1 + b) .

El producto repetido de un mismo factor da lugar a las potencias (de exponente natural):

xn = x x x ... x (n veces )

Conviene definir x0 = 1, para x 6= 0. Ejemplos: (a) x3 = xxx; (b) a2 = aa; (c) m1 = m.


Ejemplo. Se verifica lo siguiente:

x(1 + y + y2) y(1 + x+ x2) = x+ xy + xy2 y yx yx2 =

= x y + xy(y x) = (x y) xy(x y) = (x y)(1 xy) .

Ejemplo. Se cumplen las siguientes igualdades:

ab3 + 2a2b2 + a3b = ab(b2 + 2ab+ a2) = ab(a+ b)2 .

Ejercicios

1. Escribir como diferencias las siguientes sumas: (a) 5+7; (b) 2+(pi); (c) e+1; (d) 2+2;(e) 4 + (1); (f) 2 + 3.

2. Escribir como cocientes los siguientes productos: (a) 2 17; (b) 3 11

2; (c) 3 2; (d) 4 (1);

(e) 6 7; (f) 2 2.

3. Simplificar las siguientes expresiones: (a) (a b) (a + b); (b) a + b (a b); (c) a +x (2x+ a); (d) (u v) (v u); (e) v x+ (v u); (f) x [(x y) + (y x)].

4. Efectuar: (a) a+1

x; (b) u 1

v; (c) b2 1

1 b ; (d)b

w+ b; (e)

x2

y y

2

x; (f)

x+ y

x x+ y

y.

5. Simplificar: (a) x2x3; (b) x2y1 + x1y2; (c)x3

x2; (d)

x3

x2; (e)

x3

x2; (f)

x3

x2.

1.1.3. Parentesis y factorizacion

Cuando una expresion algebraica contiene dos o mas terminos, entonces ese factor se puede

sacar fuera de un parentesis. Por ejemplo

ab+ ac = a(b+ c) .

A este proceso se le llama factorizacion.

Ejercicios

1. Factorizar xy 3xzObservamos que cada factor tiene un termino comun, x, por tanto

xy 3xz = x(y 3z) .

2. Factorizar

a) 2ax 3ay + 2bx 3byb) x3 + 3x2 x 3.


3. Quitar parentesis y simplificar (3a+ b) + 2(b+ c) 4(c+ d).Empezamos quitando parentesis y agrupamos factores comunes

(3a+ b) + 2(b+ c) 4(c + d) = 3a+ b+ 2b+ 2c 4c 4d= 3a+ b(1 + 2) + c(2 4) 4d = 3a+ 3b 2c 4d .

4. Quitar parentisis y simplificar

a) (a+ b)(a b)b) (3x 3y)2

c) 2(p2 3(q + r) + q2)d) x(2x 4y) 2x(4x+ y)

5. Simplificar

a)a

5a+ 2a 3a

b) 3c+ 2c 4c+ c5c 8c

c)2a 34a

+ 5 6 3a

1.1.4. Divisibilidad

En esta seccion se trabaja solamente con numeros naturales (1, 2, 3...) El producto de dos

numeros naturales m y n lo escribiremos de cualquiera de las siguientes formas:

m n = m n = m.n = mn

Sean m y n numeros naturales. Se dice que m es multiplo de n y que n es divisor de m si

existe otro natural k de modo que m = kn. Por ejemplo:

Multiplos de 6 = {6, 12, 18, 24...} (conjunto infinito)Divisores de 6 = {1, 2, 3, 6} (conjunto finito)

Un numero natural p se dice que es primo si p > 1 y sus unicos divisores son 1 y p. Los

primeros numeros primos son

2, 3, 5, 7, 11, 13...

Se define el maximo comun divisor de dos o mas numeros naturales, y se denota por m.c.d.,

como el mayor de los divisores comunes a dichos numeros.

Si queremos hallar el maximo comun divisor de 12 y 18, formamos los conjuntos de sus

divisores:

Divisores de 12={1, 2, 3, 4, 6, 12} y Divisores de 18={1, 2, 3, 6, 9, 18}.La interseccion de estos dos conjuntos es {1, 2, 3, 6} y esta constituido por los divisorescomunes de 12 y 18. El mayor de ellos es 6; por tanto, el m.c.d.(12, 18) = 6.


Para determinar el m.c.d. se siguen los pasos: (i) Se descompone cada numero en producto

de factores primos. (ii) Despues se toman los factores comunes con sus menores exponentes.

Ejemplo. En el caso anterior, 12 = 22 3 y 18 = 232. Sigue que elm.c.d.(12, 18) = 23 = 6

Ejemplo. Se tiene que 225 = 32 52 y 300 = 22 3 52. Los factores comunes son 3 y 5,con exponentes menores 1 y 2, respectivamente. Luego m.c.d.(225, 300) = 3 52 = 75.

Ejemplo. Se tiene que 72 = 23 32, 108 = 22 33 y 180 = 22 32 5. Los factores comunesson 2 y 3, con exponentes menores 2. Luego, el m.c.d.(72, 108, 180) = 22 32 = 36.

Se define el mnimo comun multiplo de dos o mas numeros naturales, y se denota por

m.c.m., como el menor de los multiplos comunes a dichos numeros.

Para determinar el mnimo comun multiplo de 12 y 18, formamos los conjuntos de sus

multiplos (que son infinitos):

Multiplos de 12={12, 24, 36, 48, 60, 72, }Multiplos de 18={18, 36, 54, 72, 90, 108, }.Los multiplos comunes son {36, 72, 108, }, siendo el menor 36. As pues, elm.c.m.(12, 18) =36.

Para determinar elm.c.m. se siguen los pasos: (i) Se descompone cada numero en producto

de factores primos. (ii) Despues se toman todos los factores, comunes y no comunes, con

sus mayores exponentes.

Ejemplo. En el caso anterior, 12 = 22 3 y 18 = 2 32. Sigue que el m.c.m.(12, 18) =22 32 = 36

Ejemplo. Se tiene que 225 = 32 52 y 300 = 22 3 52. Los factores presentes son 2, 3 y 5.Eligiendo sus mayores exponentes se obtiene que el m.c.m.(225, 300) = 22 32 52 = 900.

Ejemplo. Se tiene que 72 = 23 32, 108 = 22 33 y 180 = 22 32 5. Los factores son 2 , 3 y 5.Tomando sus mayores exponentes, resulta que el m.c.m.(72, 108, 180) = 23 33 5 = 1080.

Ejercicios

1. Calcular todos los divisores de los numeros (a) 60 ; (b) 315 ; (c) 1111.

2. Hallar el maximo comun divisor de los numeros (a) 62 y 70 ; (b) 415 y 520 ; (c) 530 y

1250.

3. Encontrar el maximo comun divisor de los numeros (a) 180, 252 y 594 ; (b) 600, 900 y

1200 ; (c) 924, 1000 y 1250.

4. Hallar el mnimo comun multiplo de los numeros (a) 62 y 124 ; (b) 52 y 76 ; (c) 540 y 711.


5. Encontrar el mnimo comun multiplo de los numeros (a) 20, 30 y 45 ; (b) 39, 52 y 76 ; (c)

140, 980 y 1400.

6. Se quiere embaldosar el suelo de una habitacion de 1620 cm de larga por 980 cm de ancha

con losetas cuadradas lo mas grandes posible, sin que haya que romper ninguna. Cual

sera el lado de cada loseta? Cuantas se necesitaran?

7. En su ferretera Jose tiene los tornillos metidos en bolsitas. En la caja A tiene bolsitas con

18 tornillos cada una, en la caja B las bolsitas contienen 24 tornillos cada una y en la caja

C las bolsitas son de 30 tornillos cada una. Todas las cajas tienen el mismo numero de

tornillos. Cuantos tornillos como mnimo hay en cada caja?

8. Un viajero va a Madrid cada 12 das, otro cada 18 das y un tercero cada 24 das. Hoy

estan los tres en Madrid. Dentro de cuantos das volveran a coincidir los tres en Madrid?

9. Juana tiene un reloj que da una senal cada 60 minutos, otro que suena cada 150 minutos y

un tercero que lo hace cada 6 horas. Los tres dan la senal a las 10 de la manana. Cuantas

horas transcurriran, como mnimo, para que los tres vuelvan a sonar a la vez? A que hora

lo haran?

1.1.5. Fracciones

El cociente de dividir 2 entre 3 lo escribimos en la forma 23 o bien 2/3. A23 se le llama

fraccion. Significa que si dividimos una unidad en tres partes escogemos 2 de esas 3 partes.

El numero que esta sobre la lnea de la fraccion se denomina numerador y el numero que

esta debajo de la lnea de fraccion se llama denominador.

fraccion a numeradorb denominador

Las fracciones m/n y k/h son iguales (son el mismo numero) si mh = nk; es decir,

m

n=k

h mh = nk .

Los numeros racionales son las fracciones de numeros enteros. Cualquiera de los numeros

racionales se puede escribir de infinitas formas como fraccion de enteros.

Operaciones con fracciones

Suma:a

b+c

d=ad+ bc

bd=

mb a+

md c

m(m = m.c.m.(b, d)).

Multiplicacion:a

b cd=a

b cd=a

b

c

d=ac

bd


Division:

a

bc

d

=a

b:c

d=ad

bc

Ejercicios

1. Simplificar 13 +27

El mnimo comun multiplo de los dos denominadores que aparecen en nuestra expresion

es m.c.m(3, 7) = 21. Si escribimos cada fraccion con el m.c.m.(3, 7), obtenemos que:

1

3=

1

3 7

7=

7

212

7=

2

7 3

3=

6

21.

Por tanto1

3+

2

7=

1

3 7

7+

2

7 3

3=

7

21+

6

21=

13

21

Otra forma de hacerlo es la siguiente:

1

3+

2

7=

(7 1) + (3 2)7 3 =

13

21

2. Simplificar

a) 32

3 21

6

b)3

7 14

15

c)53

5

71

3

d)

2

3 1

42

3+

1

4

+3

5

e)1

2 +1

4 +1

2

1.1.6. Forma decimal

Todos los numeros reales se pueden escribir en forma decimal. Por ejemplo:

32718 = 3 . 100 + 2 . 10 + 7 +1

10+

8

100;

aqu 327 es la parte entera y 018 es la parte decimal.


En ocasiones la parte decimal es periodica, como en los siguientes ejemplos:

8c75 = 8757575... (periodica pura)

1650b3 = 1650333... (periodica mixta)

Si la parte decimal es finita, se puede escribir como periodica. Por ejemplo:

256 = 256b0 = 256000... (periodica mixta)

Los numeros que tienen una parte decimal periodica son exactamente los numeros racionales.

En los siguientes ejemplos se ve como se pasa de decimal a fraccion y de fraccion a decimal.

Ejemplo. Dado x = 875, claramente se puede escribir

x =875

100.

Ejemplo. Para pasar a fraccion x = 8c75 se hace lo siguiente: llamamos

x = 8c75 = 87575757...

Como el periodo tiene 2 cifras multiplicamos por 102 = 100:

100x = 875757575...

Observemos que x y 100x tienen la misma parte decimal. Restamos y se obtiene 100xx =99x = 875 8. Luego x = 875 8

100 1 =867

99

Ejemplo. Para escribir como fraccion x = 1652c03 realizamos lo siguiente. En primer

lugar, pasamos a una expresion decimal periodica pura:

x = 1652c03 = 1652030303...

10x = 1652c03 = 1652030303...

Como 10x es periodico puro, hacemos algo similar al ejemplo anterior:

1000x = 165203030303...

Restamos: 1000x 10x = 165203 1652. Por tanto x = 165203 16521000 10 =

163 551

990

Ejemplo. Dada la fraccion2

5, se utiliza el algoritmo de la division y se obtiene

2

5= 04 .

Ejemplo. La fraccion5

3se escribe, despues de realizar la division, del siguiente modo:

5

3= 1b6 .


Hemos dicho que todo numero real tiene un desarrollo decimal, pero no siempre es unico.

Hay que tener en cuenta que

0b9 = 09999... = 1 .

Por ejemplo: 247 = 246b9. Otro ejemplo: 13b9 = 14.

Los numeros irracionales son los que tienen un desarrollo decimal infinito no periodico:

pi = 314159... ;2 = 141421... ;

3 = 173205... ; e = 271828...

Por tanto, al escribir un numero irracional en forma decimal siempre estamos haciendo

una aproximacion y nunca es una representacion exacta.

Representacion geometrica. Se toma una recta y en ella dos puntos cualesquiera, a

los que asociamos los numeros 0 y 1 (lo haremos quedando el 0 a la izquierda y el 1 a la

derecha). Entonces se pueden representar todos los numeros reales en esa recta, de modo

que a cada punto le corresponde un numero y a cada numero le corresponde un punto.

Ese numero se suele llamar abscisa del punto.

Tambien los numeros reales se pueden representar como vectores. Por ejemplo, el numero

2 se corresponde con un vector de modulo 2, orientado de izquierda a derecha, y situado

con origen en cualquier punto de la recta.

Ejercicios

1. Escribir como fraccion los siguientes numeros: (a) 23; (b) 0c12; (c) 31b4; (d) 5123b4; (e)

61b1; (f) 112b3.

2. Escribir en forma decimal: (a)7

2; (b)

6

3; (c)

1

4; (d)

5

6; (e)

35; (f)

17

3. Indicar cuales de los siguientes numeros son racionales y cuales irracionales: (a) 2676767...;

(b) 8123321123321...; (c) 555999...; (d) 0010101...; (e) 0010010001...; (f) 00100101001....

4. Escribir de forma mas simple: (a) 00b9; (b) 345b9; (c) 10b9; (d) 9b9; (e) 008b9; (f) 98b9.

5. Calcular: (a) 12 . 109 + 2 . 1010; (b) 12 . 109 2 . 1010; (c) 2 . 1010 . 12 . 109; (d)12 . 109

2 . 1010;(e) (12 . 109)2; (f) (12 . 109)2.

6. Dibujar en una recta los numeros: (a) 32; (b) 23; (c) 06; (d) 2; (e) 53; (f) pi.

1.2. Potencias y logaritmos

1.2.1. Potencias

Recordemos que el producto repetido de un mismo factor da lugar a las potencias (de

exponente natural):

xn = x x x ... x (n veces )

y que se define x0 = 1, para x 6= 0. Ejemplos: (a) h3 = hhh; (b) x2 = xx; (c) a1 = a.


Si descomponemos en factores el numero 2000, tenemos que 2000 = 2 2 2 2 5 5y que podemos escribir como 24 53 = 24 53 = 2453, donde 2 y 5 son las bases y 4 y 5son los ndices o exponentes.

base! ab exponente

Varias igualdades muy importantes son:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 , (a b)2 = a2 2ab+ b2 ,

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 , (a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3 ,

a2 b2 = (a b)(a+ b) , a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2) .

Para x 6= 0 se definen las potencias de exponente entero negativo:

xn =1

xn(n = 1, 2, 3...)

No esta definido 0n. Ejemplos: (a) x2 =1

x2; (b) a1 =

1

a.

Leyes de ndices

1. an am = an+m

2. an

am = anm

3. (an)m = anm

4. a0 = 1 , con a 6= 05. an = 1an

6. an/m = man

Ejercicios

1. Evaluar32 34 353 32 36 .

Si utilizamos las propiedades de las potencias tenemos

32 34 353 32 36 =

324+5

312+6=

33

35= 335 = 32 =

1

32.

2. Evaluar

a)33 5753 34

b)23 35 (72)274 24 33


c)41,5 81/322 322/5

d)34

2 516

2

3. Simplificar a1/2b2c2 a1/6b1/2cAplicando las leyes de ndices obtenemos

a1/2b2c2 a1/6b1/2c = a 12+ 16 b2+ 12 c2+1 = a 46 b 52 c1 = a2

3 b 52c

.

4. Simplificar

a)a3b2c4

abc2y evaluar cuando a = 3, b =

1

8y c = 2.

b)x2y3 + xy2

xy

c)x2y1/2

x 3

y2

(x5y3)1/2

Notacion en ingeniera y prefijos comunes

Es habitual utilizar las potencias de 10 para escribir numeros grandes y numeros pequenos,

tal como se hace en los siguientes ejemplos:

23 1010 = 23 109 = 23 1 000 000 000 = 23 000 000 000

23 1010 = 23 1011 = 23 0000 000 000 01 = 0000 000 000 23

Prefijo Nombre significado

T tera 1012

G giga 109

M mega 206

k kilo 103

m mili 103

micro 106

n nano 109

p pico 1012


Ejercicio

1. Evaluar1,6 105 25 103

100 106

1.2.2. Formula del binomio de Newton

Queremos calcular las potencias de un binomio a+ b. Ya sabemos que

(a+ b)0 = 1 = 1a0b0

(a+ b)1 = a+ b = 1a1b0 + 1a0b1

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3

Vemos que se obtienen sumas en las que las potencias de a disminuyen, mientras las de b

aumentan. Con los coeficientes podemos formar el siguiente triangulo de Tartaglia:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

La regla de formacion es que cada numero es suma de los dos que estan encima y que en

los extremos aparece siempre el 1. Podemos continuar el triangulo de Tartaglia:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Entonces se tiene

(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+ b)5 = a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a+ b)6 = a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6


Es habitual escribir

n

k

para referirnos al numero que esta en la fila n (n = 0, 1, 2...) y que ocupa en ella el lugar

k (k = 0, 1, 2...). Por ejemplo:

0

0

= 1 ,

1

0

= 1 ,

2

1

= 2 ,

3

1

= 3 ,

5

2

= 10 ,

6

4

= 15

Observamos las siguientes propiedades

*

n

0

=

n

n

= 1

*

n

1

=

n

n 1

= n

*

n

k

=

n

n k

*

n

k

=

n 1k

+

n 1k 1

Para n = 1, 2, 3..., el factorial de n es

n! = n(n 1) 3 2 1 .Conviene escribir 0! = 1. Ejemplos: 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24.

Hay varias expresiones para

m

n

en las que se utilizan los factoriales:

m

n

=m!

n!(m n)! =m(m 1) (m n+ 1)

n!

Ejemplo:

16

3

=16 15 143 2 1 = 560.

Ahora podemos escribir la igualdad para (a+b)n, llamada formula del binomio de Newton:

(a+ b)n =

n

0

anb0 +

n

1

an1b1 + +

n

n 1

a1bn1 +

n

n

a0bn .

Se escribe de forma abreviada as:

(a+ b)n =nX

i=0

n

i

anibi .

Ejercicios

1. Escribir el desarrollo de: (a) (1+x)2; (b) (1u)3; (c) (x y)3; (d)

x 1y

3

; (e) (v 1)4;(f) (1 + x)5.

2. Desarrollar: (a) (2 x)2; (b) (3 + x)3; (c)

3 1x

3

; (d)

1 1x2

4

; (e)

x 1x

3

; (f)

(2 x)4.

3. Calcular: (a)

17

0

; (b)

155

2

; (c)

13

4

; (d)

11

6

; (e)

11

3

; (f)

4

2

.

4. Calcular el coeficiente de x15 en el desarrollo de (1 + x)20.


1.2.3. Logaritmos

Si y = ax, con a > 0 y distinta de 1, entonces x es el logaritmo de y en base a. De hecho

y = ax x = lga y

Por ejemplo,

lg10 1000 = lg10 103 = 3

lg2 8 = lg2 23 = 3

lg1/2 4 = x, donde

1

2

x

= 4 lg1/2 4 = 2lg7 7 = 1

lg5 1 = 0

lg2(3) = @lg1 8 = @

lg2 0 = @ .

Propiedades

Sea a > 0 y 6= 1. Entonces

1. lga(xy) = lga x+ lga y

2. lgax

y= lga x lga y

3. lga xy = y lga x

4. lga 1 = 0

5. lga a = 1

Las bases mas usadas son a = 10 y a = e. Si no se indica la base, se entiende que es

a = 10 y se trata del logaritmo decimal; por ejemplo log 100 = 2. Para el caso a = e, se

llama logaritmo neperiano o logaritmo natural y se escribe de cualquiera de las siguientes

maneras:

loge x = lnx = L x .

Ejercicios

1. Evaluar (a) lg3 9, (b) lg10 10, (c) lg16 8

2. Resolver la ecuacion (a) log x = 3 (b) lg2 x = 3, (c) lg5 x = 2.

3. Escribir log8 4581

en terminos de log 2, log 3 y log 5.

4. Simplificar lg2 64 lg2 128 + lg2 32.

5. Evaluarlg5 25 lg5 125 + 12 lg5 625

2 lg5 5

6. Resolver la ecuacion lg(x 1) + lg(x+ 1) = 2 lg(x+ 2).


1.3. Ecuaciones

Una ecuacion con una incognita es una igualdad que solo se verifica (solo es cierta) para

determinados valores de la incognita.

Resolver una ecuacion es encontrar el valor (o valores) de la incognita para los que la

igualdad es cierta. Al valor (o valores) que resuelven una ecuacion se le llama solucion o

raz de la ecuacion.

1.3.1. Ecuaciones lineales

Una ecuacion lineal es una ecuacion que se puede reducir a la forma ax+ b = 0, siendo x

la incognita y a y b datos o parametros. La solucion es x = ba .

Ejemplos:

1. 4x 3 = 5 es una igualdad y la incognita es x.

4x 3 = 5 4x = 5 + 3 = 8 x = 84= 2.

La igualdad solo se verifica si x = 2. Esta igualdad es una ecuacion. Su solucion o

raz es x = 2.

2. 4u 8 = 4(u 2) es una igualdad y la incognita es u.

4u 8 = 4(u 2) 4u 8 = 4u 8 0 = 0.

La igualdad se verifica para cualquier valor de u. En este caso la igualdad es una

identidad. Podemos intercambiar los dos miembros de la igualdad en cualquier lugar

que aparezcan.

3. 3x 2 = 3(x 2) 3x 2 = 3x 6 3x 2 3x+6 = 0 4 = 0. La igualdad nose verifica para ningun valor de la incognita x. La ecuacion no tiene solucion.

4. 4x y = 8 es una igualdad pero, en este caso, tenemos dos letras; debemos decidircual es la incognita y resolver la ecuacion en funcion de la otra letra.

Si la incognita es x, entonces

4x y = 8 4x = 8 + y x = 8 + y4

.

Si la incognita es y, entonces,

y = 8 4x y = 8 + 4x.

5. 53xx =1x + 3 .

5 3xx

=1

x+3 (si x 6= 0) 53x = 1+3x 51 = 3x+3x 4 = 6x x = 4

6=

2

3.


6.y + 2y 6 = 2 .

(Se aisla un radical)y + 2 = 2 +

y 6

(Elevando al cuadrado) y + 2 = 4 + y 6 + 4y 6 1 = y 6 (Elevando al cuadrado) y 6 = 1 y = 7.

7. Hallar el peso de una municion de artillera sabiendo que la carga pesa 0,8 kg., el

proyectil pesa 23 del peso total de la municion y el casquillo pesa14 del total de la

municion.

Sea x = peso total de la municion en kg. Entonces:

x = 0,8 +2x

3+x

4 x = 9,6 + 8x+ 3x

12 12x = 9,6 + 11x x = 9,6 kg.

Ejercicios

1. Resolver la ecuacion en y: 6b+7a6b 3ay2b2 = 1 ayb2ab (sol: y =7b(ba)3(b3a) )

2. Resolver las ecuaciones en x:

a) axba+b +bx+aab =

a2+b2

a2b2 (sol: x = 0)

b) x+12 = x 2x+34 (sol: no tiene solucion)c) x+ 3x3 1 = 2x3 (sol: Infinitas soluciones. Cualquier valor real)d) x1n1 +

2n2(1x)n41 =

2x11n4 1x1+n (sol: x = 34 )

e) x+ma+b ax(a+b)2 = ama2b2 b2x

a3ab2+a2bb3 (sol: x =(a+b)m

a , a 6= 0 )f )a2 x+b2 x = a+ b (sol: x = 0)

g) 3+x3x =q

19 +

1x

49 +

2x2

(sol: x = 34)

3. En una cierta fabrica las mujeres representan el 35% del total de trabajadores, siendo el

resto hombres. El numero de hombres excede en 252 al de mujeres. Determinar el total de

trabajadores. (sol: 840 trabajadores)

4. Un conjunto de mercancias fue vendido en 1386 euros con un beneficio del 10%. Determinar

el precio de coste de las mercancas. (sol: 1260 euros)

5. En una prueba matematica el 12% de los estudiantes de una clase no resolvio un problema,

el 32% lo resolvio con algunos errores y los 14 restantes obtuvieron la solucion correcta.

Cuantos estudiantes haba en la clase? (sol: 25 estudiantes)


1.3.2. Ecuaciones cuadraticas

Una ecuacion cuadratica o ecuacion de segundo grado es una ecuacion que se puede reducir

a la forma ax2 + bx+ c = 0, siendo x la incognita y a 6= 0 , b , c datos o parametros.

Esta ecuacion tiene dos soluciones o races que son:

x1 =b+b2 4ac

2ay x2 =

bb2 4ac2a

.

Las races de una ecuacion de segundo grado cumplen:

1. x1 + x2 = ba2. x1 x2 = ca

Ejemplos:

1. x213 + (x 2)2 = x

2+22

( El m.c.m. de los denominadores es 6 ) 2(x2 1) + 6(x2 4x+ 4) = 3(x2 + 2) 2x2 2 + 6x2 24x+ 24 = 3x2 + 6 5x2 24x+ 16 = 0

x =24

(24)2451625 =

241610 x1 = 4 y x2 = 45

2. (x+ 1)2 (x 2)2 = (x+ 3)2 + x2 20

x2 + 2x+ 1 (x2 4x+ 4) = x2 + 6x+ 9 + x2 20 x2 + 2x+ 1 x2 + 4x 4 = 2x2 + 6x 11 2x2 8 = 0 x2 = 4 x = 2

3. 14 +1

4+x +1

4+2x = 0

Multiplicamos por 4(4 + x)(2 + x) suponiendo x 6= 4 y x 6= 2(4 + x)(2 + x) + 4(2 + x) + 2(4 + x) = 0 x2 + 12x+ 24 = 0 x = 6 23

4. Para que valores reales de a tiene la ecuacion x2 + 2axa2 3 + 4 = 0 races iguales?

Las races x1 y x2 son iguales cuando el discriminante = b2 4ac = 0 (Ojo con no

confundir las letras). En este caso:

4a2(a2 3) 16 = 0 a4 3a2 4 = 0 Hacemos a2 = z con lo que a = z y a4 = z2 z2 3z 4 = 0 z1 = 4 y z2 = 1 a = 2


Ejercicios

1. Resolver las siguientes ecuaciones en x:

a) 32(x2 2)2 x+18 = 18 x14 (sol: x = 4 y 113 )

b)x 2 = x 4 (sol: x = 6)

c) 3x414 +

12(x

4 2 12x2 = x254 (sol: x = 0

25)

d) 5x+2 +x

x+3 =32 (sol: x = 3 , 4 )

2. Despues de los examenes finales en una escuela, los estudiantes (todos) intercambiaron

fotografas. Cuantos estudiantes haba si se sabe que intercambiaron un total de 870

fotografas? (sol: 30 estudiantes)

3. Dos barcos se encuentran, uno va hacia el Sur y el otro hacia el Oeste. Dos horas despues

del encuentro estan separados 60 Km. Hallar la velocidad de cada barco, sabiendo que la

de uno de ellos es 6 Km/h mayor que la del otro. (sol: 18 y 24 Km/h)

Completar cuadrados

Una ecuacion de segundo grado se puede escribir como diferencia de cuadrados:

ax2 + bx+ c = a(x2 + bax+ca) = a[(x+

b2a)

2 + ca b2

4a2 ] = a[(x+b2a)

2 b24ac4a2 ] =

= a[(x+ b2a)2 (

b24ac2a )

2]

Por ejemplo3x2 4x 5 = 3

x2 43x

5

= 3

x 4322 3

4322 5

= 3

x 232 193

Ejercicio

1. Completa cuadrados en las siguientes expresiones

a) x2 2x 18b) 3x2 + 4x 1c) x2 + 14x+ 13


1.4. Desigualdades y valor absoluto

1.4.1. Desigualdades

Una desigualdad es una expresion con alguno de los smbolos siguientes , o .

p < q significa que p es menor que q p > q significa que p es mayor que q p q significa que p es menor o igual que q p q significa que p es mayor o igual que q.

Propiedades

1. Al sumar desigualdades se conserva el orden.

2. Al multiplicar una desigualdad por un numero positivo se conserva el orden.

3. Al multiplicar una desigualdad por un numero negativo se invierte el orden.

Para resolver una inecuacion de debe despejar la incognita, siguiendo las propiedades

anteriores.

Ejercicios

1. Resolver 2 + 4x < 1.La inecuacion 2+4x < 1 es equivalente a 4x < 3, es decir x < 3

4 Por tanto, cualquier

numero menor que 34es solucion de la inecuacion.

2. Resolver 2 x < x 7.Para resolver 2 x < x 7, pasamos las x a un lado de la desigualdad, por ejemplo a laderecha y lo que no tiene x al otro lado de la desigualdad, esto es a la izquierda. Se obtiene

primero 9 < 2x, as que x >9

2.

3. Resolver 2 + x x+ 8Las soluciones de 2 + x x+ 8 se pueden obtener as: 2x 6, luego x 3.

4. Resolver x+ 1 < 1x 1

Pasamos todos los miembros a un lado de la desigualdad, por ejemplo la izquierda,

x+ 1 +1

x 1 < 0.Realizamos la operacion

(x+ 1)(x 1) + 1x 1 < 0

x2

x 1 < 0 .Para que un cociente sea de signo negativo es necesario que el numerador y denominador

sean de signo contrario. En ete caso el numerador es positivo, por tanto, el denominador

debe ser negativo, esto es x 1 < 0, es decir x < 1.


Ejercicios

1. Resolver las siguientes inecuaciones

a) x 1 1 x;b) 3x 1 x3;

c)1

x> 2;

d)1

x< 7x 4;

e) x+ 2 < 3x+ 4;

f )1

x2 7.

1.4.2. Valor absoluto

Se define el valor absoluto |x| del numero real x del siguiente modo:

|x| =

x si x 0x si x < 0

Por ejemplo: | 3| = |3| = 3; |2| = | 2| = 2.

Propiedades

1. |x| 02. |x| = 0 x = 03. |x| = | x| , |x y| = |y x|4. |xy| = |x||y| ,

x

y

=|x||y| (y 6= 0)

5. |x+ y| |x|+ |y| , |x y| |x|+ |y|6. Sea a > 0. Entonces

|x| < a a < x < a

7. Sea a > 0. Entonces

|x| > a x > a o x > a

La distancia entre dos numeros reales se expresa usando el valor absoluto:

d(x, y) = |x y| = |y x| .

Ejemplos: d(2, 3) = 5; d(3, 7) = 4.

Ejercicios


1. Resolver |2 x| < 1

|2 x| < 1 1 < 2 x < 1 3 < x < 1 1 < x < 3

2. Resolver |x 1| < 2

|x 1| < 2 2 < x 1 < 2 1 < x < 3.

3. Resolver |x 4| = 2

Primera forma: |x 4| = 2 x 4 = 2

x = 6x = 2

Segunda forma: Por definicion tenemos que

|x 4| =

x 4 si x 4 0(x 4) si x 4 < 0

es decir

|x 4| =

x 4 si x 4x+ 4 si x < 4 .

Por tanto debemos resolver dos ecuaciones

|x 4| = 2

x 4 = 2 si x 4x+ 4 = 2 si x < 4

x = 6 si x 4x = 2 si x < 4

.

Luego las soluciones son x = 6 y x = 2.

Ejercicios.

1. Hallar: (a) | 7|; (b)

12

; (c)

13

; (d) | pi|; (e) |e pi|; (f) |2 1|.

2. Hallar: (a) |x2|; (b) |1 + x2|; (c)

11 + x2

; (d) |a2 + b2|; (e)

1 + u2

v2

; (f)

1 x21 + x2

.

3. Determinar todos los numeros que cumplan las desigualdades: (a) |x2| < 3; (b) |x2| < 2;(c) |x 4| < 5; (d) |x+ 1| < 3; (e) |x+ 2| 2; (f) |x+ 1| 0.

4. Escribir usando valores absolutos: (a) 1 < x < 1; (b) 7 x 1; (c) 5 x 8; (d)1 < x < 8; (e) 5 < x < 1; (f) 2 x 0.

1.5. Polinomios y fracciones algebraicas

Un polinomio es una expresion de la forma

f(x) = anxn + an1xn1 + ...+ a1x+ a0,

donde los coeficientes a0, a1, ..., an son numeros reales.


1.5.1. Operaciones con polinomios

Las operaciones usuales, suma, resta y producto de funciones polinomicas son nuevamente

funciones polinomicas. Sin embargo, el cociente de funciones polinomicas no es, en general,

una funcion polinomica. Recordamos brevemente como se realizan estas operaciones con

algunos ejemplos.

Suma y resta de polinomios. Sean P (x) = 4x3 + 5x2 6 y Q(x) = 3x + 5 + 7x2. Paracalcular la suma y la resta de P y Q debemos agrupar los monomios semejantes, esto es,

aquellos que tienen la misma variable y el mismo grado.

P (x) +Q(x) = 4x3 + (5x2 + 7x2) + (3x) + (6 + 5) = 4x3 + 12x2 3x 1 ;

P (x)Q(x) = 4x3 + (5x2 7x2) (3x) + (6 5) = 4x3 2x2 + 3x 11 .

Producto de polinomios. El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene

multiplicando cada uno de los distintos terminos de uno de ellos por el otro, realizando a

continuacion la suma de todos los polinomios obtenidos.

Sean P (x) = 2x3 + 7x 5 y Q(x) = x2 + 3. Se tiene entonces que

P (x)Q(x) = (2x3 + 7x 5)(x2 + 3) = 2x5 6x3 + 7x3 + 21x 5x2 15= 2x5 + x3 5x2 + 21x 15.

Cociente de polinomios. Sean dos polinomios P (x) y Q(x), tales que el grado de P es

mayor o igual que el de Q. Realizar la division entera entre P (dividendo) y Q (divisor)

consiste en encontrar dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto), que verifiquen:

P (x) = Q(x)C(x) +R(x)

siendo el grado de R menor que el de Q.

Efectuemos la division entera entre P (x) = 20x3 18x2 + 4 y Q(x) = 4x 2.

1251020

2441820223

23

--+-

-+-

xxxx

xxx

xx

x

48

482

2

-+

+-

24

44

-+

+-

x

x

2

Por tantoP (x)

Q(x)=

20x3 18x2 + 44x 2 = 5x

2 2x 1 + 24x 2


Esto es,P (x)

Q(x)= C(x) +

R(x)

Q(x).

Si queremos dividir un polinomio P (x) entre Q(x) siendo Q(x) un polinomio de la forma

x a, entonces podemos usar la regla de Ruffini. El resto que se obtiene de este cocientecoincide con el valor que toma el polinomio P en a. Cuando el resto de este cociente nos

da 0 , entonces decimos que a es una raz del polinomio P .

Sea P (x) = 4x3 6x2 + 5x 11. Si dividimos este polinomio por x 2 obtendremos unpolinomio cociente de grado 2, como vemos en el siguiente ejemplo.

4 -6 5 -11

2

x3

x2

x

x2 x

a

a Resto

x-2

4

4 -6 5 -11

2

4

4 -6 5 -11

2 8

2

4

4 -6 5 -11

2 8

2

4

9 4

4 -6 5 -11

2 8

2

4

9

18

7

Luego

4x3 6x2 + 5x 11 = (x 2)(4x2 + 2x+ 9) + 7 ;es decir,

4x3 6x2 + 5x 11x 2 = 4x

2 + 2x+ 9 +7

x 2

La regla de Ruffini es util cuando queremos factorizar un polinomio, esto es, descomponer

el polinomio como producto de polinomios mas sencillos. Veamos con el siguiente ejemplo

cual es el procedimiento. Consideramos el polinomio

P (x) = x4 3x3 + 4x2 6x+ 4.

1. Confeccionamos la lista de divisores del termino independiente, que es 4.

divisores de 4 = {1,1, 2,2, 4,4}.


2. Probamos, haciendo uso de la regla de Ruffini, si los divisores obtenidos en el paso

anterior son races del polinomio P .

1

1 -3 4 -6 4

1 -2 2 -4

1 -2 2 -4 0

En este caso 1 s es raz.

3. Una vez localizada una raz, debemos comprobar si ese numero vuelve a ser raz, com-

probando con el polinomio cociente obtenido.

1

1

-1 1

1 -1 1

-4

1

-2 2

-3

Como vemos, 1 no vuelve a ser raz.

4. Pasamos a comprobar el siguiente candidato a raz, 2.

2

1

0 2

2 0 4

-4

1

-2 2

0

El 2 s es raz.

5. Seguimos este proceso hasta que el polinomio cociente tenga grado 2, como es en este

ejemplo. Para seguir buscando races en este polinomio de grado 2 la mejor opcion es

utilizar la formula de la ecuacion de segundo grado.

x2 + 2 = 0 = x2 = 2. No tiene soluciones.

Ya que este polinomio de grado 2 no tiene races, el proceso de factorizacion termina.

6. Escribimos la factorizacion de P (x): P (x) = (x 1)(x 2)(x2 + 2).

NOTA. Cuando un polinomio carece de termino independiente, el primer paso que se da

para efectuar la factorizacion es sacar factor comun la mayor potencia de x que sea posible.

x5 x3 = x3(x2 1) = x3(x+ 1)(x 1).

Ejercicios.

1. Calcular el polinomio P (x) si P (x) + (2x3 4x 1/2) = 3/2 7x.

2. Saca factor comun en los polinomios P (x) = 10x5 5x3 +35x2 y Q(x) = 4x3 6x2 +12x.

3. Calcula la division entre P (x) = 2x4 + 3x2 5 y Q(x) = x2 + 2.

4. Factoriza el polinomio P (x) = x4 + 5x3 + x2 + 5x.


Ejercicios.

1. Simplificar

a)x3 + y3

x+ y

b)4a3 6a2b+ 5b3

2a bc)

14x2 19x 32x 3

2. Factorizar

a) x3 7x 6b) x2 + 2x 3c) 2x3 + 5x2 4x 7d) 2x3 x2 16x+ 15

3. Resolver las ecuaciones

a) x3 2x2 5x+ 6 = 0b) x3 + 4x2 + x 6 = 0

4. Probar sin dividir si 2x2 3x+ 4 es divisible por x 2.

5. Probar sin dividir si 3x3 2x2 + x 5 es divisible por x+ 2.

1.5.2. Descomposicion de fracciones simples

Realizamos la suma

1

x 2 +3

x+ 1=

(x+ 1) + 3(x 2)(x 2)(x+ 1)

=4x 5

x2 x 2 .

El proceso inverso, esto es ir de4x 5

x2 x 2 a1

x 2 +3

x+ 1se llama descomposicion en

fracciones simples.

Para obtener la descomposicion en fracciones simples de una expresion algebaica seguimos

los siguientes pasos:

1. El grado del numerador debe ser al menos un grado menos que el denominador, en

caso contrario realizamos la division.

2. Factorizamos el denominador.

3. Buscamos los coeficientes de los polinomios del numerador segun la siguiente tabla.


Factores del denominador Expresion Descomposicion en fracciones simples

Races reales simplesf(x)

(x+ a)(x+ b)(x+ c)

A

x+ a+

B

x+ b+

C

x+ c

Races reales multiplesf(x)

(x+ a)3A

x+ a+

B

(x+ a)2+

C

(x+ a)3

Races complejas y simplesf(x)

(ax2 + bx+ c)(x + d)

Ax+B

ax2 + bx+ c+

C

x+ d

Ejercicios.

1. Descomponer en fracciones simples11 3x

x2 + 2x 3.Lo primero que observamos es que el grado del numerador es menor que el del denominador.

Factorizamos el denominador, esto es x2 + 2x 3 = (x+ 3)(x 1). Se tiene que las racesdel denominador son reales y simples. Por tanto buscamos una descomposicion en factores

de la forma:

11 3xx2 + 2x 3 =

A

x+ 3+

B

x 1 .

Operando

11 3xx2 + 2x 3 =

A(x 1) +B(x+ 3)(x+ 3)(x 1) .

Por tanto,

11 3x = A(x 1) +B(x+ 3) .

Para calcular los valores de A y B, podemos darles valores a la x y resolver el sistema que

resulta. Por ejemplo, para

x = 1 11 3(1) = A(1 1) +B(1 + 3) 8 = 4B B = 84= 2

x = 3 11 3(3) = A(3 1) +B(3 + 3) 20 = 4A A = 204

= 5 .

Luego se tiene que la descomposicion en fracciones simples viene dada por

11 3xx2 + 2x 3 =

5x+ 3

+2

x 1 .

2. Descomponer en fracciones simples

a)x3 2x2 4x 4

x2 x 2b)

2x+ 3

(x 2)2

c)5x2 2x 19(x+ 3)(x 1)2

d)7x2 + 5x+ 13

(x2 + 2)(x+ 1)

e)3 + 6x+ 4x2 2x3

x2(x2 + 3)


1.5.3. Operaciones con fracciones algebraicas

Al igual que se procede con las fracciones numericas, para sumar fracciones algebraicas se

calcula el mnimo comun multiplo de los denominadores, que pasa a ser el denominador

de la fraccion que resulta. Fijemonos en el siguiente caso. Para calcular

x

1 x +x

1 + x 2x 1

1 x2

descompondremos los denominadores en factores: 1 x = 1 x, 1 + x = 1+ x y 1 x2 =(1x)(1+x). Entonces el m.c.m(1x, 1+x, 1x2) = (1x)(1+x) = 1x2 y podemosescribir

x

1 x +x

1 + x 2x 1

1 x2 =x(1 + x)

1 x2 +x(1 x)1 x2

2x 11 x2

=x+ x2 + x x2 2x+ 1

1 x2 =1

1 x2Ejemplo. Efectuar la suma algebraica

x+ 2y

x2 y2 +x y

x2 + 2xy + y2 2x+ y

Observese que x2 y2 = (x + y)(x y), x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 y x + y = x + y. Portanto, el m.c.m.(x2 y2, x2 + 2xy + y2, x+ y) = (x+ y)2(x y). Luego,

x+ 2y

x2 y2 +x y

x2 + 2xy + y2 2x+ y

=(x+ 2y)(x+ y) + (x y)(x y) 2(x+ y)(x y)

(x+ y)2(x y)

=x2 + 3xy + y2 + x2 y2 2x2 + 2y2)

(x+ y)2(x y) =3xy + 2y2

(x+ y)2(x y) =3xy + 2y2

x3 xy2 + x2y y3

Ejercicios

1. Efectuar las operaciones siguientes, simplificando el resultado si es posible

(a)x

a+

x

3a; (b)

2a

3b+

3b

4c+

4c

5a+

1

6abc; (c)

4x

x2 y2 4

x+ y

2. Realizar las operaciones

(a)2a

a b 3b

a+ b a

2 ab+ 4b2a2 b2

(b)1

1 n +1

1 + n+

2

1 + n2 4

1 n4

(c)a

(a b)(a c) +b

(b a)(b c) +c

(a c)(b c)3. Calcular

yz

(x+ y)(x+ z)+

xz

(y + z)(y + x)+

xy

(z + x)(z + y)+

2xyz

(x+ y)(y + z)(x+ z)


1.6. Ejercicios

1. Indicar cuales de los siguientes numeros son enteros: (a)2; (b)

222; (c) 2+22;

(d)2

3 5

3; (e)

22

2; (f)

2

3:

2

6.

2. Simplificar las siguientes expresiones:

a) yb y(1 b)b) xy x2y + xy2

c) a {a [a (a 1)]}d) a {u [a (u a)]}e) (1 a) (1 a)2

f ) (a2 x2)(a2 + x2)

3. Simplificar

2

3 1

42

3+

1

4

+3

5.

4. Un deposito tiene 450 litros de combustible cuando tiene tres cuartos de su capacidad.

Cuanto es la capacidad del deposito? Cuantos litros contiene si sabemos que tiene dos

tercios de su capacidad?

5. Tres personas, Pedro, Miguel y Angel tinen una sociedad. Pedro invierte 35 del total, Miguel23 de lo que falta y Angel 8 euros. Determinar (a) el total de los fondos, (b) los fondos con

los que participa Pedro y Miguel.

6. Calcular 0c23 + 0d456

7. Hallar 0c23 + 0d456, escribiendo primero los sumandos en forma de fraccion.

8. Hallar02b9 + 03b909b9 08b9

9. Evaluar32 55

34 54 + 33 53

10. Evaluar43

3 352

25

3

11. Evaluar82 52 34252 24 92

12. Cuantos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden en el 67 del

contenido inicial?

13. Simplificar

a)a

b+ ab


b)a

u2+

u

a2

c) 1 1x

d)ab

c a

bc

e)

1

x 1

1

x+ 1

f )a bc

c2

a2 b2

14. Simplificar

a) 1 +1

1 + 11+ 1

1+ 1a

b)aba

a+ bb

c)a2b2

aa+bb2

d)v

x

1v1x

e)(x+ y)2(x2 y2)(x y)2(x2 + y2)

f )

1x +

1y

xy yx

15. Calcular x sabiendo que verifica

94

78

=

94

x

16. Hallar

15

8

+

15

9

17. Simplificar la expresion

161

+

162

1714

+

1715

18. Que relacion existe entre m y n para que se verifique la igualdad

m

n

= 2

m 1n

19. Encontrar el valor de x para que se cumpla la siguiente igualdad

12

x

=

12

3

20. Calcular el valor de x en la igualdad

x

16

=

x

7

21. Hallar el coeficiente de x15 en el desarrollo de (x+ 2)20

22. Desarrollar (3 + 2x)5


23. Calcula el termino independiente (en el que no figura x) en el desarrollo de

2x2 3x

15

24. Desarrollar las siguientes potencias:

(a) (2 + x)5 ; (b) (4 x)7 ; (c)

x

2+

3

4

3

; (d) (3 + 2x2)5

25. Tomar logaritmos en las siguientes expresiones.

(a) x =abc

mn; (b) x =

a2b3c

m3np2; (c) x =

a1

2 bc

a2 3bc

2

3

.

26. Si

log x =1

2log a+ 3 log b 1

3(log c+ 2 log d) ,

expresar el valor de x en funcion de a, b, c y d.

27. Demostrar la siguiente relacion

log(a2 b2) = log(ab) + log(ab ba).

28. Completar cuadrados

a) 3x2 7x+ 6b) x2 x 2c) 3x3 + 5x+ 5d) 3x2 + 17x+ 10

29. Resolver las inecuaciones siguientes:

a) x+ 2 < 6 xb) 4x 2 > 7 5xc) x2 + 1 < 0

d) 1x x+ 2

e)1

x2 2

f )1

1 x 1 + x

30. Resolver las siguientes inecuaciones:

a) |x 1| 0b) |x 2| 3c) |x+ 5| > 5d) |x 5| < |x+ 1|


e) |x+ 1|+ |x+ 2| > 1f ) |x 1|.|x 2| 3

31. Demostrar la identidad

x+ |x|2

2

+

x |x|2

2

= x2.

32. El polinomio P (x) es de grado 5 y Q(x), de grado 3. Cual es el grado de: P (x) + Q(x),

P (x)Q(x) y P (x)/Q(x)? (Suponiendo que P (x)/Q(x) sea un polinomio).

33. (a) Calcula el valor de m en el polinomio P (x) = x3 6x +m, sabiendo que al dividirlopor Q(x) = x+ 2 da de resto 7 .

(b) Sin efectuar las divisiones, podras saber si son exactas los siguientes cocientes de

polinomios?

() (x2 3x+ 5) : (x 1) ; () (x3 + 3x+ 14) : (x+ 2).

34. Factoriza los siguientes polinomios.

(a) x3 + 4x2 3x 18 ; (b) 9x6 16x2 ; (c) x3 2x2 5x+ 6 .

35. Calcular el cociente y el resto al dividir P (x) entre Q(x).

(a) P (x) = 3x4 2x2 1, Q(x) = x2 3 ;(b) P (x) = 6x5 3x4 + x2 x, Q(x) = x2 2x+ 1.(c) P (x) = x3 + 3x2 + 5x+ 6, Q(x) = x+ 1.

36. Descomponer en fracciones simples

a)2x2 9x 35

(x+ 1)(x 2)(x+ 3)

b)x2 + 1

x2 3x+ 2c)

3x2 + 16x+ 15

(x+ 3)3

d)x2 x 13

(x2 + 7)(x 2)e)

6x 5(x 4)(x2 + 3)

2. TRIGONOMETRIA

En el presente tema nos ocuparemos de la trigonometra. Definiremos las razones trigonome-

tricas de un angulo y veremos algunas de las relaciones basicas entre ellas. Tambien conside-

raremos la resolucion de triangulos y sus aplicaciones mas significativas.

2.1. Medida de angulos. Razones trigonometricas

Un angulo viene determinado por dos semirrectas, llamadas lados, con un mismo origen

llamado vertice. Hay diversas maneras de medir la amplitud de un angulo: en el sistema sexa-

gesimal se toma como unidad el angulo recto. Un angulo recto se divide en 90 partes llamadas

grados sexagesimales. En el sistema circular la unidad de medida es el radian. Un angulo mide

un radian cuando la longitud del arco es igual al radio. Tenemos que

360o = 2pi radianes.

Por tanto, mediante una regla de tres simple obtenemos que, si la medida de un angulo es de g

grados sexagesimales, su equivalencia en radianes viene dada por:

r =pi

180g.

En general, en el contexto de la trigonometra se suelen usar los grados sexagesimales, pero

hay que tener en cuenta que en el Analisis se deben usar radianes. En este tema utilizaremos

principalmente grados sexagesimales.

Definamos a continuacion las llamadas razones trigonometricas para los angulos del intervalo

(0, 90). Dado un angulo , definimos (vease la figura):

sen =longitud del cateto opuesto a

longitud de la hipotenusa

cos = longitud del cateto contiguo a longitud de la hipotenusa

tg =longitud del cateto opuesto a longitud del cateto contiguo a =

sen

cos.


Las razones trigonometricas se suelen representar en la llamada circunferencia goniometrica,

que no es mas que una circunferencia de radio 1, en la que los angulos se representan inscritos,

es decir, con el vertice en el centro.

Una aplicacion del teorema de Pitagoras en la figura anterior nos proporciona la llamada iden-

tidad fundamental de la trigonometra:

sen2 + cos2 = 1

Extendemos la definicion anterior de razones trigonometricas a los angulos en el intervalo (0, 360)

con los convenios habituales: las longitudes horizontales hacia la derecha y verticales hacia arriba

son positivas, mientras que las longitudes horizontales hacia la izquierda y verticales hacia abajo

son negativas.

A continuacion mencionamos las razones trigonometricas de los angulos mas usuales:

0o 30o 45o 60o 90o

seno 0 12

2

2

3

2 1

coseno 1

32

2

212 0

tangente 0

33 1

3 no definida

Ademas del seno, coseno y tangente de un angulo, se definen otras razones relacionadas, que son

la secante (sec), cosecante (cosec) y cotangente (cotg), de la siguiente forma:

sec =1

cos

cosec =1

sen

cotg =1

tg.


Hay muchas formulas que son utiles a la hora de calcular senos y cosenos de unos angulos,

conocidos otros. Por ejemplo, las formulas de adicion y sustraccion

sen( ) = sen cos cos sen cos( ) = cos cos sen sen

tg( ) = tg tg 1 tg tg

donde , son angulos arbitrarios, o las formulas del angulo doble:

sen 2 = 2 sen cos

cos 2 = cos2 sen2

tg 2 =2 tg

1 tg2 siendo arbitrario. A partir de las formulas anteriores se pueden deducir otras, por ejemplo,

obteniendo las razones trigonometricas de 90 o 180 en terminos de las de , o tambienlas propiedades de simetra del seno, coseno y tangente:

sen() = sencos() = costg() = tg.

Ejercicios

1. Calcula la altura que alcanza una escalera de 6 metros de longitud cuando descansa sobre

una pared y forma un angulo de 60o con el suelo.

Solucion: x = 6 sen 60o.

2. Resuelve la ecuacion sen 2x = senx.

Solucion: x = kpi, pi3 + 2kpi,pi3 + 2kpi, k N.

3. Resuelve la ecuacion sen x+ cos x = 1.

Solucion: x = 2kpi, pi2 + 2kpi, k N.

2.2. Resolucion de triangulos

Uno de los objetivos principales de la trigonometra es la resolucion de triangulos. Es decir,

dados ciertos angulos y lados de un triangulo, calcular los restantes. Para facilitar esta tarea,

adoptamos el siguiente convenio: un triangulo con vertices en los puntos A, B y C se denota por

ABC. Ademas, llamamos a, b y c a los lados enfrentados a los vertices A, B y C, respectivamente.

Los angulos correspondientes a cada vertice se suelen denotar como los vertices.


Para la resolucion de triangulos es util tener en cuenta tres propiedades basicas. En primer lugar,

en todo triangulo se verifica A+B +C = 180o. En segundo lugar, tenemos el teorema del seno

senA

a=

senB

b=

senC

c

y el teorema del coseno:a2 = b2 + c2 2bc cosAb2 = a2 + c2 2ac cosBc2 = a2 + b2 2ab cosC.

Cuando los triangulos a tratar son rectangulos, tambien podemos usar el teorema de Pitagoras,

que es un caso particular del teorema del coseno.

Veamos algunos ejemplos de resolucion de triangulos.

Ejemplo 1. (a) Resolver un triangulo del que se sabe que A = 36o, B = 44o y c = 7 cm.

En primer lugar, observamos que C = 180o A B = 180o 36o 44o = 100o. Si usamosel teorema del seno, obtenemos

senA

a=

senC

c= sen 36

o

a=

sen 100o

7,

de donde

a =7 sen 36o

sen 100o= 418 cm.

De la misma forma, usando de nuevo el teorema del seno,

b =7 sen 44o

sen 100o= 494 cm.

Por tanto, para el triangulo propuesto tenemos A = 36o, B = 44o, C = 100o, a = 418 cm,

b = 494 cm, c = 7 cm.

(b) Resolver el triangulo que tiene b = 10 cm, c = 2386 cm y A = 5562o. Usamos el teorema

del coseno para calcular el lado a:

a2 = b2 + c2 2bc cosA = 100 + 5692996 4772 cos(5562) = 39983,

de donde a = 1999. Para calcular C, podramos usar el teorema del seno:

senA

a=

senC

c= sen(55

62o)1999

=senC

2386

y llegamos a senC = 0985. De aqu obtendramos C = 8009o.

Pero en lugar de calcular C mediante el teorema del seno se nos podra ocurrir usar el teorema

del coseno. En tal caso:

c2 = a2 + b2 2ab cosC = 5692996 = 39983 + 100 3998 cosC


y tenemos cosC = 017376, con lo que C = 100o. Por que nos da un valor diferente? Lo queocurre es que no es conveniente usar el teorema del seno para calcular angulos, ya que en el

intervalo (0, 180) hay dos angulos con el mismo seno. Esto no ocurre con el coseno, y por eso

para calcular angulos debe usarse el teorema del coseno en lugar de el del seno. Por tanto el

valor correcto en nuestro ejemplo es C = 100o, con lo que B = 2438o.

Resumiendo, para nuestro triangulo tenemos a = 1999 cm, b = 10 cm, c = 2386 cm,

A = 5562o, B = 2438o, C = 100o.

Ejercicios

1. Resolver el triangulo ABC sabiendo que c = 25, A = 35o y B = 68o.

Solucion: a = 1472, b = 2379, c = 25, A = 35o, B = 68o, C = 77o.

2. Desde un aeropuerto C se observan dos aviones A y B bajo un angulo de 38o. Si distan 5

y 8 km del aeropuerto, respectivamente, calcula la distancia que los separa.

Solucion: a =82 + 52 2 8 5 cos 38o = 5095 km.

2.3. Algunas aplicaciones

El estudio de situaciones de la vida real conduce muchas veces a la resolucion de triangulos.

Uno de los ejemplos tpicos es el de la doble medicion para calcular la altura de un edificio, un

arbol, etc., pero tambien hay otros muchos. Veamos algunas aplicaciones tpicas.

Ejemplo 2. (a) Un bote de motor navega durante tres horas a razon de 20 millas por hora

en direccion Norte 40o Este. Que distancia hacia el Norte y que distancia hacia el Este ha

recorrido?

a

b

6040o

A

B


Puesto que el bote ha navegado durante 3 horas a 20 millas/hora, ha recorrido 60 millas. Se

trata de calcular los lados a y b en el triangulo de la figura. Tenemos A = 180o90o40o = 50o,y por el teorema del seno:

sen 50o

a=

sen 90o

60,

es decir, a = 60 sen 50o = 4596. Usando el teorema de Pitagoras tendremos 602 = a2 + b2, de

donde b =602 45962 = 3857. Por tanto el bote ha recorrido 4596 millas hacia el Norte y

3857 hacia el Este.

(b) Encontrar la altura de un arbol si se sabe que el angulo de elevacion disminuye desde 45o

hasta 30o cuando nos alejamos 10 metros.

a 10 m

30o45o

h

Vemos en la figura que

tg 45o =h

a

tg 30o =h

a+ 10.

Despejando a en ambas ecuaciones e igualando llegamos a que

h

tg 45o=

h

tg 30o 10,

y despejando h:

h =10 tg 30o tg 45o

tg 45o tg 30o = 1366.

Por tanto la altura del arbol es de 1366 metros.

Ejercicios

1. Se quiere medir la altura h de una estatua situada sobre un pedestal. Desde un punto que

se encuentra a 20 metros del pedestal, este se observa bajo un angulo de 12o y el extremo

superior de la estatua bajo un angulo de 28o. Que altura tiene la estatua?

Solucion: h = 20(tg 28o tg 12o).


2. Calcula la altura h de un edificio sabiendo que, desde cierto punto, la cuspide del edificio

forma un angulo de 30o con la horizontal y cuando nos aproximamos 70 metros el angulo

es de 60o.

Solucion: h =70 tg 60o tg 30o

tg 60o tg 30o .

3. Un barco que se encuentra frente a un golfo es observado desde los dos cabos que lo forman

y que distan 10 km. Desde cada cabo se ve el barco con angulos de 28o y 32o. Calcula la

menor distancia d a que se encuentra el barco de la costa.

Solucion: d =10 sen 28o

sen 120o.

2.4. Ejercicios del tema

1. Resolver el triangulo ABC en los siguientes supuestos:

(a) b = 7, c = 8, A = 30o.

(b) c = 628, b = 480 y C = 55o10.

2. De un triangulo se conocen dos angulos que miden 55o y 45o y el lado opuesto al de 45o

que mide 100 m. Calcula los otros dos lados.

3. Halla el area de un hexagono regular de 10 cm de lado.

4. Calcular el area de un octogono regular de lado 7 cm.

5. La diferencia entre la longitud de una circunferencia y el permetro de un hexagono regular

inscrito es de 28 m. Halla el radio de la circunferencia.

6. Cuando el Sol esta a 30o por encima del horizonte, cuanto mide la sombra proyectada

por un arbol de 15 m de altura?

7. Calcula la longitud de un puente que se quiere construir sobre un barranco, conociendo

que los angulos que forman los extremos del barranco A y B con un punto en el fondo del

barranco O son ABO = 32o y OAB = 48o y que la distancia entre A y O es de 120 m.

8. Encuentra un angulo agudo tal que sen(x+ 30o) = cos x.

9. Desde un barco se ve la torre de un faro bajo un angulo de 30o. Cuando el barco ha

recorrido 200 m en la direccion del faro dicho angulo es de 45o. Calcula la altura de la

torre sobre el nivel del mar y la distancia a la que se encuentra el barco del faro en el

momento de la segunda medicion.

10. Se quiere medir la altura de una montana cercana a un pueblo. A la salida de este han

medido el angulo de elevacion que es de 30o. Han avanzado 100 m hacia la base y han

vuelto a medir el angulo de elevacion siendo ahora 45o. Calcula la altura de la montana.


11. Dos montaneros que han ascendido en fines de semana sucesivos a dos picos querran saber

que distancia hay entre ellos. Para ello han medido desde la base del pico A los angulos

1 = 85o y 2 = 30

o, despues han caminando hasta la base del pico B y han medido los

angulos 1 = 40o y 2 = 93

o. La distancia que hay entre dichas bases es de d1 = 600

metros. Podras calcular la distancia entre los picos?

d

d1C D

a

1

a

2

b

1

b

2

A

B

2.5. Otras cuestiones

1. Demostrar las siguientes formulas, llamadas de transformacion en producto:

sen+ sen = 2 sen+

2cos

2

cos+ cos = 2cos+

2cos

2

sen sen = 2cos + 2

sen 2

cos cos = 2 sen + 2

sen 2

,

donde , son angulos arbitrarios.

2. Calcular de forma exacta las razones trigonometricas de los siguientes angulos:

(a) 15o ; (b) 195o ; (c) 75o ; (d) 105o .

3. Deducir una formula para calcular el area de un polgono regular de n lados.

2.6. Soluciones a los ejercicios

1. (a) a = 4, b = 7, c = 8, A = 30o, B = 6103o, C = 8897o; (b) a = 7632, b = 480, c = 628,

A = 85o59, B = 38o51, C = 55o10.

2. b =100 sen 55o

sen 45o, c =

100 sen 80o

sen 45o.

3. A = 3075.


4. A = 401,93.

5. R =28

2pi 6.

6. S =15

tg 30o.

7. d =120 sen 100o

sen 32o.

8. x = arc tg

3

3.

9. y =100 tg 45o tg 30o

tg 45o tg 30o .

10. h = 136, 6 m.

11. d = 1687, 21 m.

3. FUNCIONES ELEMENTALES.

El objetivo de este tema es repasar el concepto de funcion, as como el estudio de sus

propiedades basicas y sus graficas.

3.1. Concepto de funcion y propiedades basicas.

Decimos que hay una correspondencia entre dos conjuntos cuando existen unas determinadas

reglas que permiten asociar elementos del primer conjunto (conjunto inicial) con elementos del

segundo conjunto (conjunto final).

Una aplicacion es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto inicial un

unico elemento del conjunto final.

Cuando los conjuntos inicial y final son subconjuntos de R, hablamos de funciones reales de

variable real. Si f es una funcion de A R en R, llamamos dominio de la funcion al conjuntode los elementos de A cuya imagen pertenece a R y recorrido o imagen de la funcion al conjunto

de todos los valores que toma la funcion.

Ejercicios

1. (a) Si a cada persona del mundo se le asigna su madre biologica, es aplicacion?

(b) Si a cada mujer del mundo se le asignan sus hijos, es aplicacion? Por que?

2. Indicar cuales de las siguientes graficas representan funciones y en tal caso, hallar el do-

minio y recorrido.

p 2p

2p- -

1

1

-

p

1

1

-1

1

- 2 3-3 2

1

- 1-2

2

2

1

-


Propiedades de las funciones

Acotacion. Una funcion f esta acotada superiormente si sus imagenes no superan cierto valor,

esto es, cuando existe M R tal que f(x) M , para cualquier x del dominio de f . Se dice queM es una cota superior.

De la misma forma, la funcion f esta acotada inferiormente si sus imagenes superan siempre

un cierto numero, es decir, si existe m R de tal forma que f(x) m, para todo x en el dominiode f .

Decimos que una funcion f esta acotada si lo esta superior e inferiormente. Esto equivale a

que existe M 0 de tal forma que |f(x)| M , para todo x del dominio de la funcion.

Ejemplos. La funcion f(x) = x2 1 solo esta acotada inferiormente (f(x) 1) mientras quela funcion g(x) = 1 x2 lo esta solo superiormente (g(x) 1). La funcion h(x) = 1

1 + x2esta acotada (|h(x)| 1)y la funcion l(x) = x no esta acotada ni superior ni inferiormente.

-1

-1 1

y=x-12

1

-1 1

y=1-x2

1

y=1 1+x/( )2 y=x

Periodicidad. Una funcion es periodica de periodo T (T 6= 0) cuando para todo x del dominio,se tiene que x+ T esta en el dominio y f(x+ T ) = f(x). Se llama periodo fundamental de f al

periodo mas pequeno de f .

Ejemplo La funcion f(x) = senx es una funcion periodica de periodo fundamental 2pi.

p

2

3p

2

3p

2

p

2

p 2p

2p- - - -

1

1

-

p


Paridad. Se dice que una funcion f es par cuando, para cada x de su dominio, x es tambiendel dominio y se satisface f(x) = f(x). En este caso, la grafica de la funcion es simetricarespecto al eje de ordenadas.

Decimos que una funcion f es impar cuando, para cada x de su dominio, x pertenecetambien al dominio y se verifica f(x) = f(x). En este caso, la grafica de la funcion essimetrica respecto del origen de coordenadas.

Ejemplos

x-x

f x( )

Funcinpar Funcinimpar

1 4

-1-4x-x

f x( )

-f x( )

Existen funciones que no son pares ni impares, como f(x) = x2 + x.

Crecimiento y decrecimiento. Sea f una funcion real de variable real e I un intervalo con-

tenido en su dominio.

f es creciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de I tales que x1 < x2, se tiene

f(x1) f(x2).

f es decreciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de I tales que x1 < x2, se tiene

f(x1) f(x2).

f es estrictamente creciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de I tales que x1 < x2,

se tiene f(x1) < f(x2).

f es estrictamente decreciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de I tales que

x1 < x2, se tiene f(x1) > f(x2).

Decimos que f esmonotona en I cuando es creciente, decreciente o constante en el intervalo.

Ejemplos. La funcion en (a) es creciente en el intervalo I y es estrictamente creciente en I. En

la figura (b) podemos observar que la funcion es decreciente en I y estrictamente decreciente

en el intervalo I.


x1 x2

(a)

f(x)1

x3

f(x)=2 f(x)3

II

(b)

x1 x2

f(x)1

x3

f(x)=2 f(x)3

II

Maximos y mnimos. Se dice que un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcion f es un

maximo absoluto de f cuando f(x0) es el mayor valor que toma f en su dominio, esto es,

f(x0) f(x), cuando x pertenece al dominio.Analogamente, decimos que un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcion f es un mnimo

absoluto de f cuando f(x0) es el menor valor que toma f en su dominio, es decir, f(x0) f(x),para cada x del dominio.

Un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcion f es un maximo relativo si f(x0) es el mayor

valor que toma f en un entorno del punto x0.

Un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcion f es un mnimo relativo si f(x0) es el menor

valor que toma f en un entorno de x0.

Ejemplo.

x1 x2 x3

x4

M

m ba

En la grafica de la funcion f se observa que el dominio de f es [a, b]. El punto (M,f(M))

es el maximo absoluto, mientras que los puntos (x1, f(x1)) y (x3, f(x3)) son maximos relativos.

Asimismo, el punto (m, f(m)) es el mnimo absoluto, mientras que los puntos (x2, f(x2)) y

(x4, f(x4)) son mnimos relativos.

Ejercicios

1. Estudia la acotacion de las siguientes funciones:

(a) y = 2x 1 (b) y = 1x

(c) y = 2x x2 (d) y = 12 + x4

2. Consideramos la funcion f(x) = x2 definida en [0, 1). Se pide extenderla periodicamente a

todo R y trazar su grafica.


3. Estudiar la paridad de las siguientes funciones:

(a) f(x) = x 2, x (,2).(b) f(x) = x3, x [2, 2].(c) f(x) = x2, x (2,).

(d) f(x) =x3

x4 + 1, x R.

4. Sea f(x) = x2/2. Probar que la funcion es creciente en el intervalo I = [1, 5]. Que sucede

en el intervalo J = [4,1]?5. Cuales son los maximos y mnimos absolutos y relativos de las funciones representadas

en las siguientes graficas?

x1 x2 x3 ba x1 baba

3.2. Transformaciones elementales.

Sea f una funcion real de variable real. Nuestro objetivo en este apartado es analizar como

se modifica la grafica de la funcion f cuando realizamos ciertos cambios en la misma.

f(x)

Traslaciones verticales. Sea a > 0. Consideramos las funciones y = f(x) + a e y = f(x) a. Lagrafica de cada una de estas funciones se obtiene trasladando verticalmente en a unidades la

grafica de la funcion f , hacia arriba en el primer caso y hacia abajo en el segundo.

f(x)+a

a

f(x)-a

a


Traslaciones horizontales. Sea a > 0. Construimos las funciones y = f(x+ a) e y = f(x a). Lagrafica de estas funciones se obtiene por traslacion horizontal en a unidades de la grafica de la

funcion f , hacia la izquierda en el primer caso y hacia la derecha en el otro.

f(x+a)

a

f(x-a)

a

Dilataciones y contracciones verticales. Consideramos ahora la funcion y = af(x), con a > 0.

La grafica de esta funcion es una dilatacion vertical (si a > 1) o una contraccion vertical (si

a (0, 1)) de la grafica de la funcion f .

y=af(x)

a>1

af(

0)

y=af(x)

a 0. En

este caso, la dilatacion o contraccion de la grafica de la funcion f se produce horizontalmente,

de forma que si a (0, 1) se dilata y si a > 1 se contrae.

f(ax)

a>1

x a0 /

f(ax)a


-f(x)

f(x)f(x)f(-x)

-f(-x) f(x)

3.3. Funciones elementales

Analizamos ahora las caractersticas de algunas funciones basicas.

Funciones polinomicas

Son aquellas que estan definidas mediante un polinomio, esto es, son de la forma

f(x) = anxn + an1xn1 + ...+ a1x+ a0,

donde los coeficientes a0, a1, ..., an son numeros reales.

Las operaciones usuales, suma, resta y producto de funciones polinomicas son nuevamente

funciones polinomicas. Sin embargo, el cociente de funciones polinomicas no es, en general, una

funcion polinomica.

Analicemos las caractersticas mas importantes en tres tipos particulares de funciones polino-

micas.

(A) Funcion lineal y funcion afn. Las funciones cuya representacion grafica es una recta que

pasa por el origen, se denominan funciones lineales.

Su formula siempre es de la forma y = mx. El valor m es la pendiente de la recta y nos indica

la mayor o menor inclinacion de la recta. Si la pendiente es positiva, la recta es creciente y si es

negativa, entonces la funcion lineal es decreciente.

y=mx

1

m

m>0m


y=mx+n

P(0,n)

Las rectas de la forma y = a son rectas horizontales (de pendiente 0), mientras que las rectas

de la forma x = a, son verticales (y por tanto, no se trata de funciones).

Ejercicios

1. Encuentra la formula de la funcion asociada a los siguientes fenomenos:

(a) Cantidad de gasolina en el deposito de un coche de 60 litros de capacidad, inicialmente

lleno, que consume 10 litros cada 100 km, en funcion de la distancia recorrida en un

trayecto de 400km.

(b) Longitud de una circunferencia cuando su radio crece desde 1 cm hasta 5 cm.

2. Representa graficamente las funciones obtenidas en el ejercicio anterior.

(B) Funcion cuadratica. Una funcion cuadratica en una funcion polinomica que viene dada por

un polinomio de grado 2. Dada una funcion cuadratica de la forma y = ax2 + bx+ c, su grafica

es una parabola con las siguientes caractersticas:

- Si a > 0 las ramas van hacia arriba y si a < 0 hacia abajo.

- Las abcisas de los puntos de corte de la parabola con el eje OX son las soluciones de la

ecuacion ax2 + bx + c = 0. Por tanto, el numero maximo de puntos de corte con el eje OX es

de 2, pudiendo darse el caso de que exista solo 1 o incluso, ninguno. Con el eje OY la parabola

siempre se corta en el punto P = (0, c).

- En el vertice la parabola presenta un maximo o mnimo, segun sea a positivo o negativo.

La abcisa del vertice viene dada por x = b2a

.

y=ax +bx+c2

a>0

a


2. Relaciona las graficas de la figura con las funciones cuadraticas que se proporcionan. Es-

cribe la ecuacion de la grafica que sobra.

(a) y = 2x22 (b) y = 2x2+2 (c) y = x24x+7 (d) y = 2x2+12x19

Funciones racionales

Son funciones de la forma

f(x) =P (x)

Q(x),

donde P (x) y Q(x) son polinomios. El dominio de estas funciones es el conjunto de numeros

reales para los que Q(x) 6= 0.En particular la funcion de proporcionalidad inversa f(x) =

k

x, (donde k es una constante

no nula) es una funcion racional. Esta funcion esta definida en R \ {0}, y su grafica es simetricarespecto del origen y recibe el nombre de hiperbola equilatera.

y=k/x

k>0k


Funcion exponencial.

Es una funcion de la forma f(x) = ax, donde a es un numero positivo distinto de 1. La

condicion sobre la base a hace posible que el exponente pueda tomar cualquier valor. Por tanto,

el dominio de la funcion es R. Por otro lado, los valores que toma la funcion son siempre

positivos, siendo su recorrido (0,+). La funcion exponencial es una funcion continua y acotadainferiormente.

Si f(x) = ax es una funcion exponencial, entonces verifica las siguientes propiedades:

- f(0) = 1, esto es, a0 = 1.

- f(1) = a1 = a, esto es, a1 = a.

- f(x) = 1f(x)

, es decir, ax =1

ax.

Una funcion exponencial especialmente importante es y = ex, cuya base es el numero e que

se define como

e = lmn

1 +1

n

n

y cuyo valor es e = 2,718281...

La grafica de una funcion exponencial viene condicionada fundamentalmente por el valor de

la base a, de tal forma que:

- Si a (0, 1) la funcion es estrictamente decreciente, tiende a infinito cuando x tiende a y converge a 0 cuando x toma valores grandes. Ademas se tiene que cuanto mas pequenoes el valor de la base a, mas rapido converge a 0.

- Si a > 1 entonces la funcion es estrictamente creciente, converge a 0 cuando x tiende a y crece a infinito cuando x +. En este caso, cuanto mayor sea la base a, mas rapido es elcrecimiento de la funcion.

Se observa tambien que las graficas de las funciones y = ax e y =1

a

xson simetricas

respecto al eje OY .

1

a11

y=ax

x

ay

=

1

Ejercicios

1. Representa graficamente las siguientes funciones exponenciales.

(a) y = 675x (b) y =4

5

x(c) y = 0,01x (d) y = 2,01x

2. Indica cuales de las anteriores funciones son crecientes o decrecientes.


Funcion logartmica.

La funcion y = loga x, siendo a un numero positivo distinto de 1, es la funcion inversa de la

funcion exponencial y = ax, esto es,

y = loga x, si y solo si x = ay.

As log2 8 = 3, log1/2 4 = 2, log7 7 = 1 y log5 1 = 0.Como funcion inversa de la exponencial, se concluye que el dominio de la funcion logartmica

es (0,+) y su recorrido R. Queda claro entonces que no tienen significado expresiones comolog2(3), log2 0, log2 3, log1 8.

Las propiedades de la funcion f(x) = loga x se obtienen de las propiedades de la correspon-

diente funcion exponencial.

- f(1) = 0, esto es, loga 1 = 0.

- f(a) = 1, es decir, loga a = 1

- f1

x

= f(x), o lo que es lo mismo, loga1

x

= loga x.

Las bases mas usadas son a = 10 y a = e. Si no se indica la base, se entiende que es a = 10 y

se trata del logaritmo decimal; por ejemplo log 100 = 2. Para el caso a = e, se habla de logaritmo

neperiano o logaritmo natural y se escribe de cualquiera de las siguientes maneras:

loge x = lnx = L x .

La siguiente igualdad nos permite pasar de logaritmos en una base a los de otra:

logb x =loga x

loga b.

Teniendo presente que las graficas de una funcion y su inversa son simetricas respecto a la

recta y = x, podemos obtener la grafica de la funcion logartmica a partir de la correspondiente

exponencial. De esta forma, tambien en este caso la base a condiciona la forma de la grafica.

- Si 0 < a < 1 la funcion f es estrictamente decreciente, tiende a + cuando x converge a0 (por la derecha) y tiende a cuando x toma valores muy grandes.

- Si a > 1 entonces es estrictamente creciente, y si x 0+, la funcion tiende a y cuandox + , la funcion tiende a +.

Se tiene, ademas, que las graficas de las funciones y = loga x e y = log1/a x son simetricas

respecto al eje OX.

y=log xa

y=log x1/a

y=ax

1

y=log xa

a >1

1

y=log xaa


Ejercicios

1. Representa la funcion y = log1/10 x y a partir de dicha representacion responde a las

siguientes preguntas:

(a) Cual es el dominio y el recorrido de esta funcion?

(b) Pasa por el punto (1,0)? Y por el (10,1)?

(c) Es acotada inferiormente? Y superiormente?

(d) Que ocurre cuando x 0+? Y cuando x +?

2. Representa graficamente las funciones y = log3 x e y = log9 x. Analiza las graficas y

contesta:

(a) En el intervalo (1,+) se verifica log3 x > log9 x?(b) Es cierta la expresion log3 x = 2 log9 x?

Funciones trigonometricas.

Estas funciones se definen a partir de las razones trigonometricas.

Funcion seno. La funcion seno f(x) = senx hace corresponder a cada valor x de un angulo,

medido en radianes, el valor del seno de dicho angulo.

Las propiedades mas importantes de esta funcion trigonometrica se recogen a continuacion.

- Su dominio es R y su recorrido [1, 1].- Es una funcion acotada en R.

- Es una funcion impar y periodica de periodo 2pi.

- Posee infinitos maximos absolutos en los puntos de abcisa x = pi/2 + 2kpi, k Z, donde lafuncion toma el valor 1.

- Asimismo presenta infinitos mnimos absolutos en los puntos de abcisa x = pi/2+(2k+1)pi,

k Z, donde la funcion toma el valor 1.- Corta al eje OX en los puntos de abcisa x = kpi, k Z.

p

2

3p

2

3p

2

p

2

p 2p

2p- - - -

1

1

-

p

Funcion coseno. La funcion coseno, f(x) = cos x, hace corresponder a cada valor x de un angulo,

medido en radianes, el valor del coseno de dicho angulo.


Las propiedades de la funcion coseno son analogas a las de la funcion seno como indicamos

a continuacion.

- Su dominio es R y su recorrido [1, 1].- Es una funcion acotada en R.

- Es una funcion par y periodica de periodo 2pi.

- Posee infinitos maximos absolutos en los puntos de abcisa x = 2kpi, k Z, donde la funciontoma el valor 1.

- Asimismo presenta infinitos mnimos absolutos en los puntos de abcisa x = (2k + 1)pi,

k Z, donde la funcion toma el valor 1.- Corta al eje OX en los puntos de abcisa x = (2k + 1)

pi

2, k Z.

p

2

3p

2

3p

2

p

2

p

p 2p

2p

- - - -

1

1

-

Funcion tangente. La funcion tangente, f(x) = tg x, hace corresponder a cada valor x de un

angulo, medido en radianes, el valor de su tangente.

Las principales propiedades de la funcion tangente son las siguientes:

- Esta definida para todos los valores x R que no anulan la funcion y = cos x, esto es, sudominio es el conjunto R \

(2k + 1)pi

2, k Z

.

- No esta acotada, siendo R su recorrido.

- Es una funcion impar y periodica de periodo pi.

- Es una funcion estrictamente creciente en los intervalos de la forma

(2k1)pi2, (2k+1)

pi

2

,

k Z y no tiene maximos ni mnimos.- Corta al eje OX en los puntos de abcisa x = kpi, k Z.- Las rectas de la forma x = (2k + 1)

pi

2son asntotas verticales para la funcion.


p

2

3p

2

5p

2

p

2

3p

2

5p

2

- - -

Ejercicio

Representa e indica las caractersticas mas notables de las siguientes funciones.

(a) y = 3 + sen(2x). (b) y = 3cos(4x). (c) y = tgx

4.

3.4. Ejercicios del tema

1. Hallar el dominio de las siguientes funciones.

(a) f(x) = x2 x ; (b) f(x) = x 1x 9 ; (c) f(x) =

ln(x 3)x+ 1

.

2. Analizar si las siguientes funciones son pares o impares.

(a) f(x) = |x| ; (b) f(x) = x2 + 1 ; (c) f(x) = x ;(d) f(x) = E(x), E(x) denota la funcion parte entera.

3. Sea f una funcion definida en R, par y periodica de periodo 2. Ademas, se conoce que

f(x) = 1 x, para x [0, 1). Representa graficamente la funcion f .

4. Estudiar el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones, as como los posibles

maximos y mnimos.

(a) f(x) = |x| 1 ; (b) f(x) = 1|x| ;

(c) f(x) = x2 4 ; (d) f(x) = x+ |x|.

5. Sea f la funcion dada por

f(x) =

8

j, como por ejemplo 1 10 2 0

0 5 3 20 0 8 60 0 0 5

.

Matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima

de la diagonal principal son nulos, es decir, si A = (aij) es cuadrada de orden n, A

sera triangular inferior si aij = 0 para todo i < j, como por ejemplo 1 0 0 0

2 5 0 01 0 8 09 3 4 7

.

Matriz triangular es una matriz triangular inferior o superior.

Observese que los terminos matriz identidad, diagonal, escalar y triangular se refieren unicamente

a matrices cuadradas. Ademas toda matriz diagonal es triangular superior y triangular inferior.

5.2. Traspuesta de una matriz

Dada una matriz A = (aij) de orden m n, llamamos traspuesta de A, y se denota por At, a lamatriz de orden n m que se obtiene cambiando filas por columnas en A, es decir, At = (bij)donde bij = aji. As por ejemplo

si A =

1 4 212 5 0

entonces At =

1 124 52 0

.


Observese que dada cualquier matriz A se verifica que (At)t = A.

5.3. Matrices simetricas y antisimetricas

Llamamos matriz simetrica a toda matriz cuadrada A = (aij) tal que aij = aji, es decir, si

A = At.

Ejemplos de matrices simetricas son

1 0 0 00 5 4 30 4 8 90 3 9 7

y

5 33 5

.

Llamamos matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada A = (aij) tal que aij = aji, es decir,si A = At. Como consecuencia de ello, los elementos de la diagonal principal de una matrizantisimetrica son nulos.

Ejemplos de matrices antisimetricas son

0 3 103 0 410 4 0

y

0 1313 0

.

Ejercicio: Determina de que tipo son las siguientes matrices (observa que una misma matriz

puede ser de varios tipos):

A =

1 0 10 2 31 3 4

B =

17 0 00 17 00 0 17

D =

1 0 0 01 2 0 01 1 3 01 1 1 4

E =

1 1 01 0 20 2 3

.

5.4. Operaciones con matrices

Hemos visto que los vectores los podemos identificar con matrices filas. De igual forma que

sumamos vectores y multiplicamos estos por un numero podemos definir dichas operaciones

para las matrices:


Suma de matrices

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij), del mismo orden m n, se define la suma de A y B,y se denota A+B, como la matriz (aij + bij), es decir:

A+B =

a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 a2n + b2n

am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn

.

Si A =

1 4 123 7 1

y B =

7 3 3216 2 8

entonces A+B =

8 1 213 9 7

.

En un contexto real podemos escribir por cada Centro de Ensenanza Secundaria de Canarias

la matriz cuadrada de orden 2 donde ordenamos los chicos y chicas de las dos modalidades de

Segundo de Bachillerato. Si queremos saber el numero de chicos y chicas por curso en los Centros

de Tenerife, basta con sumar las matrices asociadas a los centros sitos en dicha isla.

La suma de matrices posee las siguientes propiedades:

1. Propiedad asociativa: A+ (B + C) = (A+B) + C.

2. Propiedad commutativa: A+B = B +A.

3. A+O = O +A = A.

4. (A+B)t = At +Bt.

donde A,B,C son matrices cualesquiera del mismo orden y O es la matriz nula de dicho orden.

Producto de matrices por un numero real

El producto de una matriz A = (aij) por un numero real k es la matriz (kaij), que denotamos

kA, es decir, es la matriz del mismo orden que A cuyos elementos se obtienen multiplicando los

elementos de A por el numero k:

kA =

ka11 ka12 ka1nka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamn

.

Si A =

1 143 70 1

entonces 3 A =

3 429 210 3

.

Retornando al ejemplo de los Centros de Secundaria en Canarias, si fijamos uno de ellos y

sabemos que el numero de estudiantes aprobados por curso es el 70 por ciento de los matricula-

dos, multiplicando la matriz asociada a dicho Centro por 07 obtenemos el numero de alumnos

aprobados en cada especialidad de Bachillerato.


Al numero real k se le llama tambien escalar, y al producto de un numero por una matriz,

producto de escalares por matrices.

El producto de un numero por una matriz posee las siguientes propiedades:

1. k(A+B) = kA+ kB.

2. (k + h)A = kA+ hA.

3. k(hA) = (kh)A.

4. 1 A = A.

5. (k A)t = k At.

donde A y B son matrices cualesquiera del mismo orden y h, k son numeros reales.

Se llama matriz opuesta de la matriz A = (aij) a la matriz que resulta de multiplicar el numero

1 por A y la denotamos A.

Si A =

1 1130 170 21

su matriz opuesta es A =

1 1130 170 21

.

Observese que la suma de toda matriz con su opuesta es la matriz nula, es decir A+(A) = O.

Dadas dos matrices A, B del mismo orden llamamos diferencia de A y B, que escribimos AB,a la suma de A con la matriz opuesta de B, es decir AB = A+ (B).

Si A =

1 4 123 7 1

y B =

7 3 3216 2 8

entonces AB = 6 7 119 5 9

.

El producto escalar y la suma de matrices verifican las siguientes propiedades de simplificacion:

1. A+C = B + C es equivalente a A = B,

2. kA = kB es equivalente a A = B si k es distinto de 0,

3. kA = hA es equivalente a h = k si A es distinta de la matriz nula,

donde A,B,C son matrices cualesquiera del mismo orden y h, k son dos numeros reales.

Producto de matrices

Dados dos vectores podemos multiplicarlos mediante el producto escalar: si (x, y, z), (x, y, z) R3 su producto escalar se define como

(x, y, z) (x, y, z) = xx + yy + zz.


Ademas de la interpretacion geometrica de dicho producto se pueden dar otras. Por ejemplo si

vamos de paseo y compramos 3 CD de musica a 15 euros cada uno, 2 libros de bolsillo a 95

euros

curso cero 2012-2013.pdf

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