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1

INSTITUTO TECNOLGICO DE CHETUMAL

PARA LAS CARRERAS DE:

INGENIERA EN GESTIN EMPRESARIAL INGENIERIA EN SISTEMAS

COMPUTACIONALES ING. CIVIL INGENIERIA ELECTRICA

ING. EN TECNOLOGIAS DE LA INFORMACIN Y COMUNICACIONES, BIOLOGA

ARQUITECTURA.

CUADERNILLO DEL CURSO DE NIVELACIN 2014

2

A LOS ESTUDIANTES

El presente Curso de Nivelacin forma parte del ingreso al Instituto

Tecnolgico de Chetumal y est dirigido a los aspirantes que han sido

aceptados en las carreras de licenciatura.

El objetivo del curso es profundizar y aumentar los conocimientos

matemticos que se estudian en las distintas Instituciones de Educacin

Media Superior, de manera que todos los estudiantes puedan acceder a los

primeros semestres de su carrera con un adecuado nivel de conocimientos y

de dominio, tanto en los conceptos como en los mtodos matemticos y lograr

un mejor desempeo acadmico durante su formacin profesional.

Para realizar el repaso de estos tan necesarios conocimientos, que se

utilizan en las materias de las distintas carreras, se trabaja con las nociones

bsicas. En cada tema tratado se incluyen ejercicios resueltos que el

estudiante deber desarrollar y comparar sus resultados con los aqu

presentados.

Para lograr terminar su carrera profesional, es indispensable que el

estudiante verdaderamente lo desee y este convencido de realizar el

esfuerzo para estudiar y adquirir los conocimientos necesarios de su

profesin. Este curso es el primer paso para lograr esta meta.

Bienvenido al Instituto Tecnolgico de Chetumal.

3

Contenido CAPTULO 1: CONVERSIN DE UNIDADES ............................................................................. 4

Tabla de unidades del sistema ingles en Estados Unidos ............................................... 4

Tabla de magnitudes y unidades bsicas para el SI ........................................................ 4

Conversin de Unidades .................................................................................................. 6

Ejemplos .............................................................................................................. 7

Problemas ............................................................................................................ 7

CAPTULO 2: INTRODUCCIN A LOS VECTORES ................................................................... 8

Ejemplo .............................................................................................................. 10

Problemas .......................................................................................................... 12

CAPTULO 3: MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO .............................................. 15

Ejemplos ......................................................................................................................... 16

Problemas ....................................................................................................................... 17

Rapidez y velocidad ........................................................................................... 17

Aceleracin uniforme ......................................................................................... 18

Gravedad y cuerpos en cada libre. ................................................................... 18

Proyeccin horizontal. ....................................................................................... 19

Problemas varios. .............................................................................................. 19

CAPTULO 4: FUERZA ............................................................................................................... 20

Leyes de newton del movimiento ................................................................................... 20

Ejemplos ............................................................................................................ 23

Problemas .......................................................................................................... 24

4

CAPTULO 1: CONVERSIN DE UNIDADES

Tabla de unidades del sistema ingles en Estados Unidos

Tabla de magnitudes y unidades bsicas para el SI

6

La relacin entre el centmetro y la pulgada se observa en la figura 3-1 por definicin, 1 pulgada

es exactamente igual a 25.4 milmetros. Esta definicin y otras definiciones tiles se presentan

a continuacin (los smbolos de las unidades se indican entre parntesis):

1 pulgada (in) = 25.4 milmetros (mm)

1 pie (ft) = .3048 metros (m)

1 yarda (yd) = .914metros (m)

1 milla (mi) = 1.61 kilmetros (km)

Conversin de Unidades

1. Escriba la cantidad que desea convertir.

2. Defina cada una de las unidades incluidas en

la cantidad que va a convertir, en trminos de

las unidades buscadas.

3. Escriba dos factores de conversin para cada

definicin, uno de ellos reciproco del otro.

4. Multiplique la cantidad que desea convertir por

aquellos factores que cancelen todas las

unidades, excepto las buscadas.

Ejemplos

Convierta la velocidad de 60 km/h a unidades de metros por segundo.

Hay que recordar dos definiciones que pueden dar por resultado cuatro factores de conversin.

1km = 1000 m

1h = 3600 s

Se escribe la cantidad que se va a convertir y se escogen los factores de conversin que cancelan

las unidades no deseadas.

A continuacin se dan ejemplos adicionales del procedimiento:

Problemas

1. La longitud de una libreta es 234.5 mm y su anchura es de 158.4 mm. Exprese el rea

superficial de la libreta en metros cuadrados.

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS

2. Un cubo tiene 5 in por lado Cul es el volumen del cubo en unidades del SI y en unidades

del SUEU? Resp. 0.00205 m3, 0.0723 ft

3

3. En una carretera interestatal se ha impuesto un lmite de rapidez de 75 mi/h. (a) A cunto

equivale esta rapidez en km/h? (b) Y en pies por segundo?

4. Un motor Nissan tiene 1600 cm3 de cilindrada (volumen) y un dimetro interior de 84 mm.

Exprese estas medidas en pulgadas cubicas y en pulgadas.

Resp, 97.6 m3, 3.31 in.

5. Un electricista tiene que instalar un cable subterrneo desde la carretera hasta una

vivienda que se localiza a una distancia de 1.2 mi en el bosque. cuantos pies de cable va

a necesitar?

6. Un galn estadounidense tiene un volumen equivalente a 231 in3. cuantos galones se

necesitan para rellenar un depsito que mide 18 in de largo, 16 in de ancho y 12 in de alto?

Resp. 15.0 gal.

7. La densidad del bronce es de 8.89 g/cm3. Cul es su densidad en kilogramos por metro

cubico?

CAPTULO 2: INTRODUCCIN A LOS VECTORES

UNA MAGNITUD ESCALAR es aquella que solo tiene modulo, como por ejemplo, el tiempo, el

volumen, la masa y la densidad de los cuerpos, el trabajo, la cantidad de dinero, etc.

Los escalares se suman por los mtodos ordinarios del algebra; por ejemplo:

UNA MAGNITUD VECTORIAL es aquella que, adems de modulo, posee direccin y sentido, por

ejemplo:

1) El desplazamiento: Un avin que vuela a una distancia de 160 km hacia el sur.

2) La velocidad: Un barco que navega a 20 nudos hacia el este.

3) La fuerza: Una fuerza de 10 kp aplicada a un cuerpo segn la vertical y con sentido hacia

arriba.

Una magnitud vectorial se representa por medio de una flecha a una cierta escala. La Longitud la

flecha representa el modulo del vector desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.-, La lnea sobre la

que se encuentra es la direccin del vector desplazamiento, etc.-, y el sentido es el indicado por la

flecha. Los vectores se suman por mtodos geomtricos.

EL VECTOR RESULTANTE de un sistema es un vector nico que produce los mismos efectos que

todos los dados.

9


EL VECTOR EQUILIBRANTE de un sistema dado es un vector nico capaz de compensar la

accin de todos los vectores, actuando simultneamente. Tiene el mismo modulo y direccin que el

vector resultante, pero sentido contrario.

MTODO DEL PARALELOGRAMO PARA LA SUMA VECTORIAL. La resultante de dos vectores

cuya direccin forman un ngulo se representa por un vector cuya direccin es la diagonal del

paralelogramo formado con los vectores dados y cuyo origen coincide con el comn de ambos.

MTODO DEL POLGONO PARA LA SUMA VECTORIAL. Es el mtodo de hallar el vector

resultante consiste en dibujar, a escala, y a partir de un punto cualquiera cada uno de los vectores

dados, de forma que el origen de uno de ellos coincida con el extremo anterior. El orden en que se

van tomando los vectores es arbitrario. La longitud del segmento que une el punto de partida con el

extremo del ltimo vector es el modulo, tanto el vector resultante como del equilibrante.

El vector resultante tiene por origen el punto de partida y por extremo el del ltimo vector. El vector

equilibrante tiene por origen el extremo del ltimo vector y por extremo, el punto de partida.

SUSTRACCIN DE VECTORES. Para restar el vector B del vector A basta con sumar.

Geomtricamente, el vector A con el opuesto al B; es decir,

COMPONENTE DE UN VECTOR: Segn una direccin es la proyeccin del vector sobre dicha

direccin. Por ejemplo, la componente horizontal de un vector es su proyeccin sobre la direccin

horizontal. Todo vector se puede considerar como el resultante de dos o ms componentes del

mismo, el vector suma de las componentes es igual al vector original. En general, lo ms cmodo

es descomponer un vector en sus proyecciones o componentes segn sus direcciones

perpendiculares entre s, cuando se trate de problemas en el plano, y en tres, si es en el espacio.

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Ejemplo

Cules son las componentes X y Y de una fuerza de 200 N, con un ngulo de 60?

Se dibuja un diagrama ubicando el origen del vector 200 N en el centro de los ejes x y y (vase

la figura 1)

Componentes:

Figura 1 Uso de la trigonometra para encontrar las componentes X y Y de un vector.

En primer lugar se calcula la componente X, o sea Fx, tomando en cuenta se trata del lado

adyacente. El vector de 200 N es la hipotenusa. Si se usa la funcin coseno, obtiene:

Para estos clculos notamos que el lado opuesto a 60 es igual en longitud a Fy por consiguiente

escribimos

O bien

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En general, podemos escribir las componentes X y Y de un vector en trminos magnitud F y su

direccin .

Donde es el ngulo entre el vector y el lado positivo del eje X, medido en direccin contraria a las

manecillas del reloj.

El signo de una componente dada se determina a partir de un diagrama de vectores. Las cuatro

posibilidades se presentan en la figura 2. La magnitud de la componente puede hallarse utilizando

el ngulo agudo cuando el ngulo es mayor de 90.

Fig. 2

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Problemas

1. Halle los componentes X y Y de (a) un desplazamiento de 200 km a 34, (b) una

velocidad de 40 km/h a 120 y (c) una fuerza de 50 N a 330. Solucin 166 km, 112

km; -20 km/h, 34.6 km/h; 43.3 N, -25 N.

2. Un trineo es arrastrado con una fuerza de 540 N y su direccin forma un ngulo de 40

con respecto a la horizontal. Cules son las componentes horizontal y vertical de la

fuerza descrita?

3. El martillo de la figura 3 aplica una fuerza de 260 N en un ngulo de 15 con respecto a

la vertical. Cul es la componente ascendente de la fuerza?

MTODO DE COMPONENTES PARA SUMAR VECTORES

1. Dibuje cada vector a partir del cruce de los ejes imaginarios X y Y.

2. Encuentre las componentes X y Y de cada vector.

3. Halle las componentes X de las resultantes, sumando las componentes X de todos los

vectores (las componentes a la derecha son positivas, y las que estn a la izquierda

son negativas.

4. Encuentre la componente y de la resultante sumando las componentes y de todos los

vectores (componentes hacia arriba son positivas y las que van hacia abajo son

negativas.)

5. Determine la magnitud y direccin de la resultante a partir de sus componentes

perpendiculares Rx y Ry.

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4. Un rio fluye hacia el sur a una velocidad de 20 km/h. una embarcacin desarrolla una

rapidez mxima de 50 km/h en aguas tranquilas. En el rio descrito, la embarcacin

avanza a su mxima velocidad hacia el oeste. Cules son la velocidad y direccin

resultante de la embarcacin? Solucin 53,9 km/h, 21.8 SO.

5. Una cuerda que forma un ngulo de 30 con la horizontal arrastra una caja sobre el

piso. Cul tendr que ser la tensin de la cuerda si requiere una fuerza horizontal de

40 lb para arrastras la caja?

6. Se necesita un empuje vertical de 80 N para levantar la parte movil de una ventana. Se

usa una larga prtiga para realizar dicha operacin. Qu fuerza ser necesaria

ejercer a lo largo de la prtiga si esta forma un ngulo de 34 con la pared? Solucin

95 N.

7. La resultante de dos fuerzas A y B es de 400 N a 210. Si la fuerza A es de 200 N a

270, Cules son la magnitud y direccin de la fuerza B?

8. Halle la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares: (a) 400 N, 0, (b) 820 N,

270 y (c) 500 N, 90. Solucin 512 N, 321.3.

9. Cuatro cuerdas, toda las cuales forman ngulos rectos entre s, tiran de una argolla.

Las fuerzas son de 40 lb, E; 80 lb, N; 70 lb, O; y 20 lb, S. encuentre la fuerza resultante

sobre la argolla.

10. Dos fuerzas actan sobre el automvil ilustrado en la figura 4. La fuerza A es igual a

120 N, hacia el oeste, y la fuerza B es igual a 200 N a 60 NO. Cules son la

magnitud y la direccin de la fuerza resultante sobre el automvil? Solucin 280 N,

38.2 NO.

11. Suponga que la direccin de la fuerza B del problema se invirtiera (+180) y que los

dems parmetros permanecieran sin cambio alguno. Cul sera la nueva resultante?

(Este resultado es la resta vectorial A B)

12. Calcule la fuerza resultante que acta sobre el perno de la figura 5. Solucin 69.6 lb,

154.1

14


13. Calcule la resultante de las siguientes fuerzas aplicando el mtodo de componentes,

efectuar la suma de vectores: A = (20 N, 30), B = (300 N, 330) y C = (400 N, 250)

14. Tres embarcaciones ejercen fuerzas en el gancho de amarre como muestra la figura 6.

Halle la resultante de esas tres fuerzas. Solucin 853 N, 101.7

15. Hallas grficamente, la resultante de cada uno de los tres sistemas de fuerzas

concurrentes y coplanares indicados en la figura 7. (a), (b) y (c).

16. Un barco navega hacia el este con una velocidad de 10 nudos. Hallar la velocidad que

debe llevar un segundo barco para que, partiendo hacia el nordeste, desde el mismo

punto que el primero y al mismo tiempo que l, formando su rula un ngulo de 30 con

el norte, se encuentre constantemente al norte del primero. Solucin 20 nudos

17. Desde un automvil que marcha a una velocidad de 24 km/h se lanza una pelota en

direccin perpendicular a la carretera, con una velocidad de m/s. Calcular la velocidad

relativa de la pelota con respecto a la tierra en el momento inicial. Solucin 8.9 m/s

18. La velocidad de la aguas de un rio de 600 m de anchura es de m/min. Cunto tiempo

tardara en cruzar el rio un bote cuya velocidad, en agua en reposo, es de 150 m/min?

Hacia qu punto de la orilla opuesta deber apuntar el bote en el momento de iniciar

su movimiento? Solucin 5 min; 450 m aguas arriba

19. Un soldado en reposo apunta con su fusil a un carro de combate situado 250 m de

distancia y que se mueve a una direccin perpendicular al eje del fusil con una

velocidad de 22 m/s. a) Si la velocidad de la bala es de 500 m/s, con que ngulo

horizontal, con respecto a la lnea soldado-carro, debe apuntar el fusil para lograr un

impacto sobre el carro? b) A cuntos metro por delante del carro debe apuntar?

Solucin 2.52a: 11 m

20. Descomponer un vector fuerza de 10 kp en dos componentes perpendiculares de

manera que la lnea de accin de uno de ellos forme un ngulo de 45 con la del otro

vector de 10 kp. Resolver el problema analtica y grficamente, Solucin 7.07 kp

ambas componentes

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21. Descomponer un vector fuerza de 100 kp en dos componentes perpendiculares de

manera que la lnea de uno de ellos forme un ngulo de 30 con el vector de 100 kp.

Resolver el problema analtica y grficamente, Solucin 50 kp; 86.6 kp

22. Un poste de telgrafos esta soportado por un cable que ejerce una fuerza de 250 kp

sobre el extremo superior del mismo. Sabiendo que le cable forma con el poste un

ngulo de 42, calcular las componentes horizontal y vertical del vector fuerza.

Solucin Horizontal 167 kp; Vertical 186 kp

23. Un caballo ejerce una fuerza de 300 kp para arrastrar una barca a lo largo de un canal

utilizando una cuerda de 50 m de longitud. Sabiendo que la barca navega a una

distancia de 10 m de la orilla del canal, calcula: a) el valor efectivo de la fuerza que

tiende a a arrastrar a la barca por el canal; y b) la fuerza transversal que debe efectuar

el timonel para mantener la barca a una distancia de 10 m de la orilla. Solucin 294 kp;

60 kp

CAPTULO 3: MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Una forma conveniente de describir objetos en movimiento consiste en analizar su velocidad o su

aceleracin en este captulo se presentaron diversas aplicaciones que incluyen dichas cantidades

fsicas.

Velocidad media es la distancia recorrida por unidad de tiempo, y aceleracin media es el

cambio de velocidad por unidad de tiempo

Las definiciones de velocidad y aceleracin conducen al establecimiento de cuatro

ecuaciones bsicas correspondientes al movimiento uniforme acelerado:

Si se tiene como datos tres de los cinco , los otros dos pueden determinarse a partir

de una de estas ecuaciones. Para resolver problemas de aceleracin, lea el Problema analizando

cuales son los tres parmetros proporcionados como datos, y cules son los desconocidos.

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Aceleracin gravitacional: Los problemas que incluyen la aceleracin gravitacional pueden

resolverse en forma similar a otros problemas de aceleracin. En este caso, uno de los parmetros

se conoce de antemano y es

El signo de la aceleracin gravitacional es segn de elija la direccin positiva hacia arriba o

hacia abajo.

Movimiento de proyectiles: la clave para resolver problemas que incluyen movimiento de

proyectiles es tratar el movimiento horizontal y e vertical por separado. La mayora de los

problemas de proyectiles se resuelven utilizando el siguiente procedimiento:

Descomponga la velocidad inicial Vo en sus componentes x, y.

Las componentes horizontal y vertical de su posicin en cualquier nstate estn dadas por:

Las componentes horizontales y verticales de la velocidad en cualquier instante estn dadas por:

Es posible obtener la posicin y la velocidad finales a partir de sus componentes.

Un aspecto importante que hay que recordar al aplicar estas ecuaciones es que deben ser

congruentes en su conversin de signo y unidades.

Ejemplos

1. Un cuerpo de mueve, partiendo de reposo, con una aceleracin constante de 8m/s2.

Calcular a) la velocidad instantnea y al cabo de 5s, b) la velocidad media durante

los 5 prmeros segundos del movimiento, c) la distancia recorrida s, desde le reposo, en

los 5 primeros segundos.

a)

b)

c) osea

17


2. La velocidad de un vehculo aumenta uniformemente desde 15km/h hasta 60 km/h en

20 s. Calcular a) velocidad media en km/h y en m/s, b) la aceleracin a es km/s2 y en

m/s2, c) la distancias s, en metros, recorrida durante este tiempo.

a)

b)

c)

Problemas

Rapidez y velocidad

1. Un automvil recorre una distancia de 86km a una rapidez promedio de 8m/s.

Cuntas horas requiri para completar el viaje? Resp. 2.99h

2. El sonido baja con una rapidez promedio de 340m/s. El relmpago que proviene de

una nube causante de una tormenta distante se observa en forma casi inmediata. Si el

sonido del rayo llega a nuestro odo 3s despus. A qu distancia esta la tormenta?

3. Un cohete pequeo sale de su plataforma de direccin vertical ascendente y recorre

una distancia de 40m antes de iniciar su regreso hacia el suelo 5s despus de que fue

lanzado. Cul fue la velocidad promedio de su recorrido? Resp.16m/s

4. Un automvil transita por una curva en forma de U y recorre una distancia de 400m en

30s. Sin embargo, su posicin final est a solo 40 m de la posicin inicial. Cul es la

rapidez promedio y cul es la magnitud de la velocidad promedio?

5. Una mujer camina 4 min en direccin norte a una velocidad promedio de 6 km/h;

despus camina hacia al este a 4km/h durante 10 min. Cul es su rapidez promedio

durante el recorrido? Resp.4.57km/h

6. Cul es la velocidad promedio de todo recorrido descrito en el problema anterior?

7. Un auto mvil avanza a una rapidez promedio de 60mi/h durante 3h y 20min. Cul

fue la distancia recorrida? Resp. 200mi

8. Cunto tiempo tardara en recorrer 400km si la rapidez promedio es de 90km/h?

9. Una canica rueda hacia arriba una distancia de 5m en una rampa inclinada, y despus

se detiene y regresa hasta su punto localizado 5m ms abajo que su punto de partida.

Todo el recorrido lo realiza en solamente 2s. Cul fue la rapidez promedio y cul fue

la velocidad promedio?. Resp.7.5m/S 2.5m/s

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Aceleracin uniforme

10. El extremo e un brazo robtico se mueve hacia la derecha a 8m/s. 4s despus, se

mueve hacia la izquierda a 2m/s. Cul es el cambio de velocidad y cul es la

aceleracin?

11. Una flecha se acelera de cero a 40m/s en .5s que permanece en contacto con la

cuerda del arco. Cul es la aceleracin promedio? Resp.80m/s2

12. Un automvil se desplaza inicialmente a 50km/h y acelera razn de 4 m/s2 durante 3s.

Cul es la rapidez final?

13. Una camin que viaja a 60mi/h frena hasta detenerse por completo e un tramo de

180ft. Cules fueron la aceleracin promedio y el tiempo de frenado? Resp -2.1 ft/s2 ,

4.09s

14. En la cubierta de un portaaviones, un dispositivo de frenado permite detener un Avon

en 1.5s. la aceleracin promedio fue de 49 m/s2. Cul fue la distancia de frenado?

cul fue la rapidez inicial?

15. En una prueba de frenado, un vehculo que viaja a 60km/h se detiene en un tiempo de

3s. Cules fueron la aceleracin y distancia de frenado? Resp. -5.56 m/s2, 25m

16. Una bala sale del can de un rifle de 28 in a 2700 ft/s. Cules son su aceleracin y

su tiempo dentro del can?

17. Un tren monorriel que vieja a 80 km/h tiene que detenerse en una distancia de 40 m

Qu aceleracin promedio se requiere y cul es el tiempo de frenado? Resp. -6.17

m/s2 , 3.6 s

Gravedad y cuerpos en cada libre.

18. Una pelota en estado de reposo se suelta y se deja caer durante 5 s cules son su

posicin y su velocidad en ese instante?

19. Se deja caer una piedra a partir del estado de reposo. cundo alcana un

desplazamiento de 18 m por debajo del punto de partida? Cul es su velocidad en

ese momento? Resp. 1.92 s , -18.8 m/s

20. Una mujer suelta una pesa donde la parte ms alta de un puente y le he pedido a un

amigo, que se encuentra abajo, que mida el tiempo que tarda el objetivo en llegar al

agua en la parte inferior. Cul es la altura del puente si dicho tiempo es de 3 s?

21. A un ladrillo se le imparte una velocidad inicial de 6 m/s en su trayectoria hacia abajo.

Cul ser su velocidad final despus de caer una distancia de 40 m? Resp. 28.6 m/s,

hado abajo.

19


22. Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba y regresa a su posicin inicial en 5 s.

Cul fue su velocidad inicial y hasta que altura llego?

23. Una flecha se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 ft/s.

Cul es su altura mxima? Resp. 100 ft

24. En el problema 23, Qu velocidad inicial mnima se requiri para que llegara all?

Resp. 17.7 m/s

25. Un martillo es arrojado verticalmente hacia arriba en direccin a la cumbre de un techo

de 16 m de altura. Qu velocidad inicial mnima se requiri para que llegara all?

Proyeccin horizontal.

26. Una pelota de bisbol sale despedida de un bate con velocidad horizontal de 20 m/s.

es un tiempo de 0.25s, A qu distancia habr viajado horizontalmente y que tanto

habr cado verticalmente?

27. Un avin que vuela a 70 m/s deja caer una caja de provisiones. Qu distancia

horizontal recorrer la caja antes de caer al suelo, 340 m ms abajo? Resp. 583m

28. Es una explotacin maderera, los troncos se descargan horizontalmente a 15m/s por

medio de un conducto engrasado que se encuentra 20 m por encima de un estanque

para contener madera. Qu distancia recorren horizontalmente los troncos?

29. Una bola de acero rueda y cae por el borde de una mesa desde 4 ft por encima del

piso. Si golpea el suelo a 5 ft de la base de la mesa, Cul fue su velocidad horizontal

inicial? Resp. Vox= 10 ft/s

30. Una bala sale del can de un arma con una velocidad horizontal inicial de 400 m/s.

halle los desplazamientos horizontal y vertical despus de 3 s.

31. Un proyectil tiene una velocidad horizontal inicial de 40 m/s en el borde de un tejado.

Halle las componentes horizontal y vertical de su velocidad despus de 3 s. Resp. 40

m/s , -29.4 m

Problemas varios.

32. Un bulto colocado en un montacargas que asciende a una velocidad de 3m/s, se cae

de l y tarda 2 segundos en llegar al fondo del hueco. Calcular a) el tiempo que tarda

en alcanzar la mxima altura, b) la altura con respecto al fondo del hueco, desde la

que callo el paquete y c) la altura en la que se encuentra se segundo despus de la

cada. Sol. a) 0.306 s. b) 16.6 m. c) 14.04 m.

33. Un bloque partiendo del reposo, cae por un plano inclinado, sin razonamiento, que

forma un ngulo de 22 con la horizontal. Calcular: a) la aceleracin, b) el tiempo que

emplea en recorrer 20 m sobre el plano. Sol. 3.66 m/s 3.3 s.

20


34. Desde la parte superior de un plano inclinado de 30 m de longitud a una altura de 10 m

se deja caer un cuerpo partiendo del reposo. Suponiendo que no hay razonamiento,

calcular la velocidad del cuerpo al final del plano y compararla con la velocidad con

que llega al suelo un cuerpo en cada libre desde 10 m de altura. Sol. 14 m/s

35. Se dispara un proyectil de mortero con un ngulo de elevacin de 30 y una velocidad

inicial de 40 m/s sobre un terreno horizontal. Calcular, a) el tiempo que tarda en llegar

a tierra (duracin de trayectoria), b) el alcance del proyectil, c) ngulo que forma con el

terreno en el momento de llegar a l (ngulo de cada) Sol. 4.07 s ; 141.5 m; 30

36. Resolver el problema 43 suponiendo que se dispara sobre el mar desde un acantilado

cuya cota es de 150 m y con un ngulo de elevacin de 30. Sol. 3.87 s ; 134m ; 30

37. Un can dispara un proyectil con un ngulo de elevacin de 50 y una velocidad

inicial de 400 m/s sobre un terreno horizontal. Sabiendo que a una distancia de 1000 m

existe una pared vertical, calcular la altura de punto de la pared sobre el cual incide el

proyectil. Sol. 1116 m.

38. Se lanza una piedra desde una altura de 1 m sobre el suelo a una velocidad de 40 m/s

formando un ngulo de 26 con la horizontal. Sabiendo que a una distancia de 120 m

del punto de lanzamiento se encuentra un muro de 2m de altura, calcular a que altura

por encima de este pasara la piedra. Sol. 4.2 m.

39. Un deportista, cuyo centro de gravedad se encuentra a 1.2 m de altura, ha de saltar un

obstculo de 2m lanzndose con un ngulo de 60 con respecto a la horizontal.

Calcular la velocidad con que debe inicial el salto y distancia horizontal al obstculo

desde el punto donde se lanza. Sol. 4.65 m/s ; 0.925 m

CAPTULO 4: FUERZA

FUERZA es el empuje o el tirn que se ejerce sobre un cuerpo. Se trata de una magnitud vectorial

y, por consiguiente, se caracteriza por un mdulo, una direccin y un sentido.

Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo, ste adquiere una aceleracin en la misma direccin y

sentido de la fuerza. Recprocamente, todo cuerpo animado de una aceleracin deber estar

sometido a una fuerza resultante de la misma direccin y sentido que aquella. La fuerza resultante

que acta sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de su suma por la aceleracin

que la comunica.

Leyes de newton del movimiento

1. Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento y uniforme, a menos que actu

sobre l una fuerza resultante. Dicho en otras palabras: para que un cuerpo posea una aceleracin

debe actuar sobre l una fuerza.

21


2. Una fuerza F aplicada a un cuerpo le comunica una aceleracin a de la misma direccin y

sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a la masa del

cuerpo.

En trminos matemticos esta ley establece que , o bien , siendo una constante

de proporcionalidad. Eligiendo un sistema de unidades apropiado de manera que resulta

.

3. A toda fuerza (accin) se le opone otra (reaccin) igual y opuesta. Es decir, si un cuerpo ejerce

una accin sobre otro, este ultimo ejerce tambin una accin, del mismo modulo y direccin, pero

de sentido contrario, sobre el primero. Estas dos fuerzas, aunque opuestas, no se equilibran

mutuamente, ya que no estn aplicadas sobre el mismo cuerpo. Las fuerzas de accin y reaccin

siempre estn aplicadas a cuerpos distintos.

UNIDADES DE FUERZA. En la ecuacin es conveniente hacer , es decir, elegir las

unidades de fuerza, masa y aceleracin de forma que . Por ello, en cada sistema de

unidades se eligen dos de ellas como fundamentales y la tercera se considera deriva de aqullas.

1) En el sistema metro-kilogramo-segundo o sistema mks absoluto, la unidad de masa se elige

como fundamental y es el kilogramo (kg) y la unidad de aceleracin es el m/s2. La correspondiente

unidad de fuerza derivada- se denomina Newton (N) y se define como la fuerza que aplicada a un

cuerpo de 1 kg de masa le comunica una aceleracin de 1 m/s2.

2) En el sistema centmetro-gramo-segundo o sistema cgs absoluto, la unidad de masa se elige

como fundamental y es el gramo (g) y la unidad de aceleracin es el cm/s2. La correspondiente

unidad de fuerza derivada- se denomina dina y se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo

de 1 g de masa le comunica una aceleracin de 1 cm/s2.

3) En el sistema gravitatorio tcnico o terrestre, la unidad de fuerza se elige como fundamental y es

el kilopondio (kp) y la unidad de aceleracin es el m/s2. La unidad de masa derivada- se denomina

unidad tcnica de masa (utm) y se define como la masa de un cuerpo que al actuar sobre ella la

fuera de 1 kp adquiere una aceleracin de 1m/s2.

A continuacin se expresa la ecuacin ( , haciendo ) en cada uno de los

sistemas indicados:

Sistema mks: F (newtons) = m (kilogramos) X a (m/s2)

22


Sistema cgs: F (dinas) = m (gramos) X a (m/s2)

Sistema tcnico: F (kilopondios) = m (utm) X a (m/s2)

MASA Y PESO. La masa m de un cuerpo de idea de su inercia, mientras que el peso w de un

cuerpo es una expresin de la fuerza con que la tierra lo atrae y varia de unos lugares a otros. La

direccin del peso w de un cuerpo es, muy apropiadamente, la recta que une un lugar donde se

encuentra y el centro de la tierra.

Cuando un cuerpo de masa m cae libremente, la fuerza que acta sobre l es su propio peso

y la aceleracin que adquiere es la de la gravedad, g (intensidad del campo gravitatorio terrestre).

La formula se transforma ahora en cada uno de los sistemas de unidades coherentes

anteriores en

O sea,

Por

consigui

ente, . Por ejemplo, si un cuerpo pesa 30 kp en un lugar en el que la g = 9,8 m/s2 tiene

una masa . Si un cuerpo pesa 49 N en un lugar en el que g = 9,8m/s2,

su masa es .

LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL. La fuerza de atraccin entre dos cueros de masa m y m

separados una distancia r, es proporcional al producto de dichas masas e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia siendo la constante de proporcionalidad, G, la constante

universal de la gravitacin. Matemticamente se escribe en la forma:

Expresando m y m en kilogramos (kg) y r en metros (m), la fuerza viene mediada en newtons (N),

siendo G = 6,67 X 10-11

N*m2/kg

2.

w = mg

w (newtons) = m (kilogramos) X g (m/s2)

w (dinas) = m (gramos) X g (cm/s2)

w (kilopondios) = m (utm) X g (m/s2)

23


FUERZA DE ROZAMIENTO, o simplemente rozamiento, es una fuerza tangencial que acta en la

superficie de contacto entre dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con

respecto al otro. Las fuerzas tangenciales son paralelas a las superficies que estn en contacto.

Rozamiento cintico o de movimiento es la fuerza tangencial entre dos superficies cuando una de

ellas se desplaza sobre, y con respecto de, la otra.

Rozamiento esttico es la fuerza tangencial entre dos superficies, cuando no existe movimiento

relativo entre ellas. La fuerza tangencial entre dos superficies inmediatamente antes de que una de

ellas comience a desplazarse sobre la otra recibe el nombre de fuerza mxima de rozamiento

esttico.

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO CINETICO O DE MOVIMIENTO (K) entre dos superficies

slidas es el coeficiente entre la fuerza necesaria para desplazar una de ellas sobre la otra, con

velocidad uniforme y la fuerza normal que tiende a mantener unidas ambas superficies. Este

coeficiente, al definirse como una relacin entre dos fuerzas, es adimensional, es decir, un nmero

sin dimensiones.

Fuerza de rozamiento cintico = K X fuerza normal entre las dos superficies

COEFCIENTE DE ROZAMIENTO ESTATICO (S) es la relacin entre la fuerza mxima de

rozamiento esttico y la fuerza normal que tiende a mantener unidas ambas superficies. El

coeficiente de rozamiento esttico es mayor que el de rozamiento cintico.

Ejemplos

1. Calcular el peso w de un cuerpo cuya masa es a) 1 kilogramo, b) 1 gramo, c) 1 utm.

Solucin

El peso de un cuerpo es la fuerza con que es atrado por la tierra. Es una fuerza cuya direccin y

sentido es muy aproximada hacia el centro de la tierra.

a) En unidades mks, w = mg = 1kg x 9,8 m/s2 = 9,8 N.

24


En unidades cgs, w = mg = 1000 g x 980 cm/s2 = 980 000 dinas.

b) En unidades mks, w = mg = 0,001kg x 9,8 m/s2 = 0,0098 N.

En unidades cgs, w = mg = 1 g x 980 cm/s2 = 980 dinas.

c) En unidades tcnicas, w = mg = 1utm x 9,8 m/s2 = 9,8 kp

2. Calcular la masa m de un cuerpo cuyo peso q es a) 19,6 N, b) 1 960 dinas, c) 96kp.

Solucin

a) En unidades mks,

b) En unidades cgs,

c) en unidades tcnicas,

Problemas

1. Una fuerza aplicada a un cuerpo de 2 kg de masa le comunica una aceleracin de

3 m/s2. Calcular la aceleracin que comunicara si actuara sobre un cuerpo de

masa a) 1kg, b) 4 kg. Sol. a) 6 m/s2. b) 1,5 m/s2.

2. Una fuerza de 4 kp aplicada a un cuerpo le comunica una aceleracin de 1 m/s2.

Hallar la fuerza que aplicada a dicho cuerpo le comunique una aceleracin de a)

0,5 m/s2, b) 5 m/s2. Sol. a) 2 kp. b) 20 kp.

3. Calcular el peso de un cuerpo cuya masa es a) 2 kg. b) 0,5 g, c) 2 utm, d) 0,5 utm.

Sol. a) 19,6 N, b) 0,0049 N o 490 dinas, c) 19,6 kp, d) 4,9 kp.

4. Un bloque pende del extremo de una cuerda. Calcular la masa de dicho bloque

sabiendo que la tensin de la cuerda es a) 4,9 N, b) 1 kp, c) 4,9 x 5 dinas.

Sol. a) 0,5 kg, b) 0,102 utm, c) 0,5 kg.

5. Calcular la aceleracin producida por una fuerza a) de 5 N aplicada a una masa de

2 Kg. b) de 5 dinas aplicada a una masa de 2 g. c) de 5 kp aplicada a una masa de

2 utm. d) de 1 kp aplicada a un cuerpo de 9.8 kp de peso. Sol. a) 2.5 m/s2. b) 2.5

cm/s2. c) 2.5 m/s2. d) 1 m/s2.

25


6. Hallar la fuerza constante que aplicada a un cuerpo de 30 kp de peso le

comunique:

a) Una aceleracin de 3 m/s2. Sol. 9,2 kp.

b) Una aceleracin de 30 m/s/min. Sol. 1,53 kp.

c) Una velocidad de 9 m/s a los 6 segundos de empezar a moverse. Sol. 4,7 kp.

d) Recorrer un espacio de 30 m a los 5 segundos de empezar a moverser. Sol.

7,35 kp.

e) Un incremento de su velocidad desde 5 m/s hasta 15 m/s en 4 segundos. Sol.

7,63 kp.

f) Una disminucin de su velocidad desde 20 hasta 10 m/s en 30 m de recorrido.

Sol. 15,3 kp.

7. Calcular la fuerza que comunicara una aceleracin de a) 2 m/s2 a una masa de 2

kg, b) 80 cm/s2 a una masa de 50 g. Sol. a) 9,6 N o 9,6 x 105, b) 4 x 10-2 N o 4 x

103 dinas.

8. Calcular el espacio que recorrer un cuerpo de 5 kg de masa, cuando sobre l

acte una fuerza constante de 1 N durante 10 segundos. Sol. 10 m.

9. Calcular la fuerza constante de rozamiento necesaria para detener en 5 segundos

un automvil de 1 500 kp de peso que marcha a una velocidad de 90 km/h. Qu

espacio recorrer hasta detenerse? Sol. 762 kp; 62.5 m

10. Calcular la aceleracin y el tiempo que tarda en recorrer 70 m un cuerpo de 12 kp

de peso sometido a la accin de una fuerza constante de 3 kp. Sol. 2,45 m/s2;

7.55s

11. Un cuerpo de 100 kp de peso pende del extremo de una cuerda. Calcular su

aceleracin cuando la tensin en la cuerda es a) 125 kp, b) 80 kp, c) 100 kp. Sol.

a) 2,45 m/s2 hacia arriba, b) 1,96 m/s2 hacia abajo, c) 0 m/s2.

12. El ascensor de una mina, que pesa 800 kp, arranca hacia arriba con una

aceleracin de 6 m/s2. Calcular la tensin en el cable en el momento de arranque.

Sol. 1290 kp.

13. Un cuerpo de 1 500 kp de peso pende del extremo de un cable, desciende con una

velocidad de 4 m/s. sabiendo que el espacio que recorre hasta detenerse es de 3

m, calcular la tensin en el cable suponiendo que la deceleracin es constante.

Sol. 1900kp.

26


14. Qu fuerza hacia arriba se debe aplicar a un cuerpo de 50 kp de peso para que

su aceleracin de cada sea de 3 m/s2? Sol. 34.6 kp.

15. Qu fuerza hacia arriba se debe aplicar a un cuerpo de 2 kg de masa para que

ascienda con una aceleracin de 1,6 m/s2? Sol. 22,8 N.

16. El peso de un ascensor es de 1 200 kp. calcular la tensin en los cables cuando a)

asciende con una aceleracin de 1 m/s2, b) desciende con una aceleracin de 1

m/s2. Sol. 1 320 kp; 1078 kp.

17. Un hombre de 80 kp de peso esta dentro de un ascensor que desciende con una

aceleracin uniforme de 1 m/s2. Calcular la fuerza que el hombre ejerce sobre

dicho ascensor, idem cuando asciende con una aceleracin de 1 m/s2. Sol. 72 kp;

88 kp

18. Sabiendo que el alargamiento de un resorte es directamente proporcional a la

fuerza de traccin a que se someta, calcular la fuerza que indicara un

dinammetro calibrado en un lugar donde la gravedad es de 9,8 m/s2 cuando

sobre l se colocara un peso patrn de 2 kp en un lugar donde la gravedad fuera

de 9,5 m/s2. Sol. 1,94 kp.

19. De los extremos de una cuerda, que pasa por una polea sin rozamiento, penden

dos cargas de 2 y 6 kp de peso. Calcular la aceleracin y la tensin de la cuerda.

Sol. 4.9 m/s2; 3kp.

20. Un ascensor arranca hacia arriba con una aceleracin constante de forma que a

los 0,8 s ha ascendido 1 m. dentro de l va un hombre que lleva un paquete de 3

kp colgando de un hilo. Calcular la tensin en el hilo. Sol. 3.95 kp.

21. Un paracaidista de 70 kp de peso se lanza libremente al espacio desde el reposo y

a los 5 segundos del instante del lanzamiento abre su paracadas. Este tarda en

abrirse por completo 0,8 segundos y la velocidad pasa a 12 m/s cuando est

totalmente abierto. Calcular la fuerza media ejercida sobre las cuerdas del

paracadas, suponiendo que ste carece de peso. Sol. 400 kp.

22. Un vagon de 1 000 kp de peso es arrastrado sobre un va horizontal por un caballo

de 500 kp sabiendo que la fuerza de rozamiento sobre el vagn es de 150 kp,

calcular a) la fuerza que debe ejercer el caballo para que el vagn adquiera una

velocidad de 10 m/s a los 5 segundos de iniciado el movimiento, b) la mxima

tensin que debe poder soportar la cuerda. Sol. 455kp, 354kp.

23. Un plano inclinado forma un ngulo de 30 con la horizontal. Calcular la fuerza

constante paralela al plano que se necesita aplicar a un bloque de 40 kp de peso

para desplazarlo a) hacia arriba con una aceleracin de 1 m/s2, b) hacia abajo con

una aceleracin de 1 m/s2. Se supone que no hay rozamiento. Sol. a) 24 kp hacia

arriba, b) 16 kp hacia abajo.

24. Un plano inclinado que forma un ngulo de 25 en la horizontal tiene una polea en

su parte superior. Un bloque de 10 kp de peso est apoyada sobre el plano y

unido, por medio de una cuerda que pasa por la polea, a un cuerpo de 5 kp de

27


peso que cuelga libremente. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular el

espacio que recorrer el cuerpo de 5 kp en 2 segundos partiendo del reposo. Sol.

1.02m.

25. Calcular la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 50 kp de peso

para desplazarlo con una velocidad uniforme sobre una superficie horizontal,

siendo el coeficiente de rozamiento 0,2. b) sabiendo que la fuerza horizontal que

es necesario aplicar a un cuerpo de 150 kp de peso para desplazarlo sobre una

superficie horizontal con velocidad uniforme es de 30 kp, calcular el coeficiente

cintico de rozamiento. Sol. 10 kp; 0,2

26. Calcular la fuerza paralela a un plano inclinado, de 30 m de altura y 40 m de base,

que es necesario aplicar a un bloque de 100 kp de peso para que no se desplace

sobre l. El coeficiente de rozamiento es igual a 0,25. Sol. 40 kp.

27. Sabiendo que para ascender un bloque de 50 kp de peso con una velocidad

uniforme por un plano inclinado que forma un ngulo de 30 con la horizontal es

necesario aplicar una fuerza paralela al plano de, 40 kp, calcular el coeficiente de

rozamiento cintico. Sol. 0.346.

28. Un bloque de metal se coloca sobre una tabla horizontal que se va inclinando

gradualmente. Cuando la tabla forma un ngulo de 27 con la horizontal, el bloque

est a punto de comenzar su desplazamiento. Calcular el coeficiente de

rozamiento esttico entre el bloque y la mesa. Sol. 0,51

cuadernillofisica.pdf

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