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08 Otoño

w w w . m a t e m a t i c a s d m . w o r d p r e s s . c o m

CURSO 13/14

MATEMÁTICAS 3º E.S.O.

Colegio Divino Maestro Madrid Matemáticas 3º ESO Curso 2013/14

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F.A.Q.

¿QUÉ ES ESTO? Esto es esencialmente un cuadernillo de trabajo de Matemáticas para el nivel de 3º ESO. En el encontrarás ejercicios para practicar clasificados por estándares Matemáticos marcados por la ley para el curso de 3º de la ESO, así como los ejercicios del libro y de las pruebas CDI relacionadas con ellos.

De momento el cuadernillo solo comprende dos unidades didácticas correspondientes a los temas 1, 2 y 7 del libro de texto.

Pero además al final encontrarás en los diferentes anexos las pruebas CDI realizadas en la Comunidad de Madrid desde el 2008, plantillas de cálculo mental y diferentes plantillas de destrezas de pensamiento que utilizaremos en clase.

¿QUÉ SON LOS ESTÁNDARES MATEMÁTICOS? Los estándares son conocimientos esenciales de la materia de Matemáticas que marca la ley, para los tres primeros cursos de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad de Madrid (BOCM de 21 de octubre de 2009) que debéis dominar para superar la asignatura de Matemáticas.

¿QUÉ SON LAS PRUEBAS CDI? Las Pruebas de Conocimientos Destrezas Indispensables (pruebas CDI) son pruebas para comprobar el grado de adquisición de los conocimientos y destrezas que se consideran indispensables para cada una de las etapas en Matemáticas y Lengua. Seguramente la mayoría de vosotros ya las habéis realizado en 6º de Primaria.

Tened en cuenta que, en 3º de la ESO, las calificaciones que obtengáis aparecerán en vuestro expediente académico y se tendrán en cuenta para la concesión de los diplomas y premios extraordinarios de la Educación Secundaria Obligatoria, de acuerdo con lo que establezcan al respecto las órdenes de bases y convocatorias, pudiendo además hacer media con las demás calificaciones de la asignatura de Matemáticas.

¿QUÉ SIGNIFICAN LOS DISTINTOS ICONOS QUE APARECEN EN CUADERNILLO?

Ejercicios de vuestro libro de texto relacionado con el estándar.

Ejercicios extra para que sigáis practicando.

Ejercicios de las pruebas CDI relacionados con el estándar.


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UNIDAD DIDÁCTICA 1: NÚMEROS Y MÁS NÚMEROS…

1. Explicar mediante ejemplos cómo una misma cantidad se puede expresar mediante fracciones equivalentes entre sí.

EJERCICIOS 1 pág. 15, 38, 39 y 40 pág. 24

SEGUIMOS PRACTICANDO!

1. Si tienes dos fracciones cualesquiera y hallas sus fracciones irreducibles correspondientes, ¿puedes determinar a partir de éstas si las fracciones iniciales son equivalentes? Justifica tu respuesta.

2. Escribe una fracción equivalente a con denominador 20. ¿Puedes hallar un fracción

equivalente con denominador 5?

3. Demuestra de tres maneras distintas que las fracciones y son equivalentes.

2. Aplicar las propiedades de las potencias para simplificar fracciones cuyos numeradores y denominadores son productos de potencias.

Dos fracciones son equivalentes entre sí cuando expresan la misma parte de una unidad o de una cantidad.

Las fracciones y son equivalentes si se cumple:

Descomponemos el numerador y el denominador en factores primos.

Dividimos el numerador y el denominador por los factores comunes.


4

4. Simplifica las siguientes fracciones utilizando el método descrito en el estándar 2.

3. Calcular la fracción irreducible equivalente a otra fracción cualquiera dada.

EJERCICIO 2 pág. 15

5. Simplifica estas fracciones hasta obtener las irreducibles equivalente utilizando alguno de los procedimientos anteriores. La mitad debes resolver con un método y la otra mitad con el otro.

Además del método citado en el punto anterior también podemos usar los siguientes:

• Dividimos sucesivamente el numerador y el denominador entre divisores comunes de ambos hasta ofrecer la fracción irreducible.

• Calculamos el M.C.D. de los términos de la fracción y dividimos el numerador y el denominador por su M.C.D.

M.C.D.(1050,1260) = 210


5

4. Representar fracciones sobre una recta graduada.

EJERCICIOS 4 pág. 15 Y 43 pág. 24

EJERCICIOS 1B ex. 2011

Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:

-‐Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.

-‐ Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la derecha del 1, etcétera. Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida:

-‐Para ubicar fracciones, divides la unidad (o las unidades) en tantas partes iguales como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo:


6

5. Ordenar conjuntos formados por números de cualquier tipo: enteros, decimales y fracciones.

EJERCICIOS 1A ex. 2011, 1 ex. 2012, 1 ex. 2013

6. Distinguir, al hallar el decimal equivalente a una fracción, entre decimales finitos y decimales infinitos periódicos, indicando en ese caso, el grupo de decimales que se repiten o forman período.

EJERCICIOS 16, 17, 20, 22 pág. 19 y 50, 51, 54, 56, 57, 58 pág. 25

Todo número racional puede expresarse mediante el número decimal que resulta de dividir el numerador entre el denominador.

Al buscar la expresión decimal de un número racional pueden darse los siguientes casos:

* Decimal exacto: el resto de la división es 0 después de sacar una o varias cifras decimales.

* Decimal periódico: el resto de la división nunca es 0, por más decimales que saquemos y además llegará un momento en se repetirá, y por tanto, las cifras del cociente también se repetirán.

-‐ Si el período empieza inmediatamente después de la coma, se tratará de un decimal periódico puro.

-‐ Si el período no empieza inmediatamente después de la coma, es un número decimal periódico mixto.


7

7. Hallar la fracción generatriz correspondiente a un decimal finito.

La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado periódico es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.

Podemos estudiar tres casos:

EJEMPLO 1: Número decimal limitado o finito 1,75

-‐ Llamamos a la fracción generatriz:

-‐ Multiplicamos la expresión de por la potencia de 10 necesaria para eliminar la coma:

-‐ Despejamos y simplificamos la fracción:

-‐ Así:

EJEMPLO 2: Número decimal periódico puro


-‐ Multiplicamos la expresión de por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo después del primer período:

-‐ A la expresión obtenida le restamos la expresión inicial:


-‐ Así:


8

EJERCICIOS 18 pág.19 y 52, 53, 55 pág. 25

¡FÍJATE BIEN EN EL TIPO DE DECIMAL Y RESUELVE SIN SALTARTE PASOS!

6. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales:

¿Qué sucede cuando el número es periódico puro de período 9?

7. ¿Puedes hallar la fracción generatriz de un número decimal ilimitado no periódico? Justifica tu respuesta.

EJEMPLO 3: Número decimal periódico mixto


-‐ Multiplicamos la expresión de por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo después del primer período, y por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo antes del primer período:

-‐ Restamos las dos expresiones obtenidas:


-‐ Así:


9

8. Hallar la fracción irreducible, resultado de operar con fracciones.

EJERCICIOS 9, 10, 11, 12 pág. 17 y 44, 45, 46, 47 pág. 24

EJERCICIOS 1 ex. 2009, 8B ex. 2010, 2B ex. 2011, 2 ex. 2012, 2B ex. 2013

AL CALCULAR LA IRREDUCIBLE UTILIZA SIEMPRE EL MÉTODO DE LA FACTORIZACIÓN O DEL M.C.D.

8. Calcula y expresa el resultado en la fracción irreducible que corresponda.

a) 2− 3

4"

#$

%

&'⋅15

16: 23

= g)

b) h)

c) i)

d) j)

e) k)

f) l)


10

9. Conocer el significado de una potencia de exponente un número entero, ya sea este positivo o negativo.

EJERCICIOS 10, 11, 12, 13 pág. 37 y 37, 38, 39, 40, 41 pág. 44

EJERCICIOS 2A ex. 2013

10. Conocer el significado de la expresión a0.

EJERCICIOS 7, 8, 9 pág. 37

11. Conocer y aplicar las propiedades de las operaciones con potencias.

EJERCICIOS 1, 2, 3 pág. 35 y 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 pág. 44

EJERCICIOS 2A ex. 2011

POTENCIA BASE NEGATIVA:

• Exponente par resultado positivo • Exponente impar

POTENCIA EXPONENTE NEGATIVO: Cuando tenemos un exponente negativo hay que invertir la base para pasar a exponente positivo.

Cualquier número elevado a exponente 0 es igual a la unidad. Vemos por qué, imaginemos la

operación

-‐ Por un lado, aplicando las propiedades de las potencias:

-‐ Por otra parte, calculado las potencias y operando:

Como la operación es la misma es ambos caso, resulta que:


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12. Expresar números muy grandes y muy pequeños con notación científica.

EJERCICIOS 15, 16 pág. 39 y 51 pág. 45

EJERCICIOS 6 ex. 2009, 3 ex. 2012

13. Realizar operaciones de multiplicación y división de números expresados con notación científica, con y sin calculadora.

EJERCICIOS 17 pág. 39 y 52 pág. 45

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Un número expresado en notación científica consta de un número decimal cuya parte entera tiene una sola cifra no nula, multiplicado por una potencia de 10 de exponente entero.

Ejemplos:

OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

A) Para multiplicar o dividir números expresados en notación científica multiplicamos o dividimos, por separado, los números decimales y las potencias de 10:

B) Para realizar sumas o restas, primero transformamos uno de los número de forma que ambos queden multiplicado por potencias de 10 del mismo orden, y a continuación aplicamos la propiedad distributiva:


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14. Expresar con notación decimal un número dado en notación científica cuando el exponente no es muy grande.


9. Expresa en notación decimal los siguientes números expresados en notación científica.

a) 3, 4·104 b) 7,8914·104 c) 1,2345·102

d) 2,3·10−4 e) 5·10−5 f) 1,006·10−3

15. Resolver problemas referidos a situaciones reales en los que intervengan números de cualquier tipo, utilizando la calculadora cuando la complejidad de las operaciones lo aconseje.

EJERCICIOS 59 pág. 46 y 63, 64 pág. 47

PARA IR RECORDANDO CÓMO FUNCIONAN LAS RAÍCES…

EJERCICIOS 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28 pág. 41

16. Extraer factores de una raíz, descomponiendo previamente el radicando en factores.

17. Factorizar expresiones numéricas sencillas que contengan raíces.

Para extraer factores de una raíz se descompone el radicando en factores primos. Si:

• Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando

• Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

• Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.


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EJERCICIOS 35 pág. 43

18. Operar con radicales que contengan alguna raíz sencilla simplificando los resultados.

EJERCICIOS 29, 30, 31, 32, 33, 34 pág. 43 y 53, 54, 55, 56, 57 pág. 45

EJERCICIOS 4 ex. 2008

19. Distinguir entre aproximaciones por defecto y por exceso de un número.

10. Da las aproximaciones por defecto por exceso y por redondeo con 1, 2, 3 y 4 cifras de: 3 = 1,732058… y 𝜋! = 9.869604…

3 Defecto Exceso Redondeo 𝜋! Defecto Exceso Redondeo 1 cifra 1 cifra 2 cifras 2 cifras 3 cifras 3 cifras 4 cifras 4 cifras

A la hora de operar con números decimales con un número ilimitado de cifras decimales, no podemos usar una cantidad infinita de cifras decimales, por lo que debemos tomar una aproximación, es decir, un número próximo al valor exacto.

Las aproximaciones pueden ser por defecto o por exceso, así:

• Aproximación por defecto, pues

• Aproximación por exceso, pues


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20. Distinguir entre truncamiento y redondeo.

EJERCICIOS 23, 24, 25 pág. 21

21. Dar aproximaciones decimales por defecto y por exceso de un número expresado mediante raíces, indicando el margen de error, con ayuda de la calculadora.


• Aproximación por truncamiento: suprimimos las cifras decimales, sin más, a partir de un orden de aproximación dado.

• Aproximación por redondeo: observamos la primera cofra que debe suprimirse de acuerdo con el orden de aproximación deseado y procedemos del siguiente modo: -‐ Si es menor que 5, la cifra inmediatamente anterior se deja igual. -‐ Si es mayor que 5, añadimos una unidad a la cifra inmediatamente

anterior.

ERROR ABSOLUTO:

ERROR RELATIVO:

PERO… ¿QUÉ PASA CON LOS IRRACIONALES?

Al aproximar un número irracional, por ejemplo por 1,41 no es posible cuantificar exactamente el error absoluto, pero sí podemos afirmar que éste es menor que 0,005. Decimos que 0,005 es una cota o margen del error absoluto.

Se acostumbra a expresar una aproximación mediante el valor aproximado seguido de una cota del error absoluto.

Esta expresión indica que el valor exacto de se encuentra en el intervalo cuyos extremos son 1,41 – 0,005 y 1,41 + 0,005


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22. Dar el resultado de un problema, utilizando la unidad de medida adecuada, en forma de número decimal, redondeándolo si es necesario con el margen de error o precisión requeridos, de acuerdo con la naturaleza de los datos.



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UNIDAD DIDÁCTICA 2: CUESTIÓN DE PROPORCIONES

23. Resolver problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales mediante la regla de tres directa o planteando la igualdad de dos razones.


EJERCICIOS 8, 9, 10, 12 pág. 127

EJERCICIOS 7, 8 ex. 2008, 10 ex. 2012, 5, 6 ex. 2013

24. Detectar la existencia o inexistencia de proporcionalidad inversa en parejas de magnitudes.

Magnitudes inversamente proporcionales: se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuado al aumentar una de ellas la otra disminuye en la misma proporción (viceversa). Es decir, cuando una de duplica, la otra se hace la mitad…

Magnitud 1 a c e g Magnitud 2 b d f h

Se cumple que: a este productos se le conoce como constante de proporcionalidad

Magnitudes directamente proporcionales: se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuado al aumentar una de ellas (o disminuir) la otra lo hace en la misma proporció. Es decir, las dos se duplican, triplican, se hacen la mitad…

Magnitud 1 a c e g Magnitud 2 b d f h

Se cumple que: a este cociente se le conoce como razón de

proporcionalidad

También podemos resolver problemas de proporcionalidad directa empleando una regla de tres directa:


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EJERCICIOS 29, 30 pág. 133

25. Resolver problemas en los que intervienen magnitudes inversamente proporcionales.

EJERCICIOS 34, 35 pág. 133 y 55, 56, 57, 58 pág. 136

26. Resolver problemas en los que intervienen repartos proporcionales.


• Repartos directamente proporcionales: Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo: Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.

1º El reparto proporcional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibirá:


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PROBLEMA 2A ex. 2008

27. Calcular los intereses que genera una cantidad depositada en un banco, o en situaciones de préstamo, a un determinado tanto por ciento anual (o tipo de interés).

Interés simple:

Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.

Si depositamos un capital C en un banco durante un año, el banco nos dará una cantidad I, llamada interés, que se obtiene aplicando un porcentaje r%, llamado rédito, a la cantidad C. Si depositamos el capital durante t años, el interés se calculará con la fórmula:

Si depositamos el capital durante t meses, usaremos:

Y si depositamos el capital durante t días:

Al finalizar el periodo de tiempo el banco nos devolverá nuestro capital inicial más el interés producido.

• Repartos inversamente proporcionales: Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes. Ejemplo: Los dos camareros de un bar se reparten al final de mes un bote con 136 euros de propina de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado. Si uno ha faltado 3 días y otro 5, ¿cuántos euros corresponde a cada uno?

1º Tomamos los inversos:

2º Pasamos a común denominador:

3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 5 y 3


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11. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

12. Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €.

Calcular el tanto por ciento de interés.

13. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?

14. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.

15. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

EJERCICIO 69 pág. 139

28. Resolver problemas cotidianos en los que intervienen variaciones porcentuales.

AUMENTOS PORCENTUALES: Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cantidad.

Ejemplo: El precio de una bicicleta que costaba 400€ el año pasado ha subido un 20%, ¿cuál es su precio actual?

DISMINUCIONES PORCENTUALES: Una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cantidad.

Ejemplo: Un ordenador cuesta este año 850€. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?

PORCENTAJES ENCADENADOS: Los porcentajes encadenados surgen cuando aplicamos aumentos o disminuciones porcentuales sucesivamente. Equivale a aplicar un único porcentaje que es el producto de todos ellos.

Ejemplo: Un televisor que valía 100€ lo rebajaron un 15% en las rebajas de enero, pero luego en febrero subieron un 10%. ¿Cuál es su precio actual?

Enero (rebaja): 100% -‐ 15% = 85%

Febrero (subida): 100% -‐ 10% = 110%

En total: 0,85·1,10 = 0,935

Precio final del televisor: 1000 · 0,935= 935€


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EJERCICIOS 22, 23, 24, 26, 27, 28 pág. 131 y 50, 51, 52, 53, 54 pág. 135-‐136

PROBLEMA 2B ex. 2008, 2 ex 2013

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON PORCENTAJES


EJERCICIOS 1, 2 ex. 2008, 2, 3 ex. 2009, 2, 3 ex. 2010, 5 ex. 2011, 4 ex. 2012, 4 ex. 2013

PROBLEMA 1 ex. 2011

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