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Trabajo Práctico N ro 4: Verificación de Secciones de Hormigón Pretensado. Página 1 de 26

Cátedra: ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Y PRETENSADO

TRABAJO PRÁCTICO

ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Y PRETENSADO.

Tema: Verificación de Secciones de Hormigón Pretensado.

Fecha de realización: 04/10/17

Fecha de presentación: 10/10/17

Grupo Nro.: 8

Integrantes:

1. CARBALLO, Anselmo Gastón.

2. CLARO, Fernando.

3. POSLUSZNY, Guillermo Javier.

AÑO 2017


Objetivos: 1. Analizar y aprender a utilizar algoritmos de diseños básicos para este tipo de elementos. 2. Aplicar las especificaciones descriptas y establecidas en el reglamento adoptado, CIRSOC 201 2005. 3. Diferenciar condiciones de estado límite de servicio y estado límite último. 4. Interpretar la incidencia de las pérdidas de pretensado.

Consigna: Se deberá verificar el siguiente elemento de hormigón pretensado de sección “pi” perteneciente a una cubierta de una planta industrial porque se ha detectado que la memoria de cálculo está incompleta y se había considerado originalmente la utilización de un hormigón H-25. En la misma se preveía introducir una fuerza de postesado en obra Pj1 en cada elemento tensor (cable) a los 7 días de hormigonado del elemento. Como armadura activa se previó utilizar dos cables con la cantidad y diámetro de cordones especificados en cada caso. Analizar la conveniencia de tesar ambos cables simultáneamente.

Documentación a presentar formalmente: 1. Memoria de cálculo incluyendo: verificación de las secciones críticas en estado límite de servicio, cálculo de pérdidas de pretensado y verificación de la resistencia a flexión en estado límite último. La verificación a esfuerzo de corte será opcional. 2. Conclusiones de la verificación. Algoritmo de resolución: 1. Propiedades geométricas de las secciones de tramo y apoyos. 2. Análisis de cargas. 3. Solicitaciones. 4. Tensiones límites en hormigón y acero de pretensado. 5. Cálculo de las fuerzas de pretensado inicial y efectiva. 6. Definición de armadura de tracción en estado de servicio. 7. Cálculo de pérdidas instantáneas y diferidas. 8. Verificación de tensiones en el hormigón y en el acero de pretensado. 9. Verificación de la resistencia a flexión. 10. Verificación de cuantía mínima. 11. Verificación de la resistencia a corte. 12. Documentación gráfica. Datos adicionales: Acero activo: C-1900 G/270 Acero pasivo: ADN-420

Pj1

[KN/m]

8 T Q2 680 12,75111,4

Sobrecarga de cubierta

[KN/m]

Cantidades de cordones Diametro de cordones

[mm][cord/cable]Grupo Nº

Clase de

Pretensado

Clase de

exposicion

Carga permanente luego

del tesado [KN/m]


1. Propiedades geométricas de las secciones de tramo y apoyos. Resistencia del hormigón.

De acuerdo con las condiciones de exposición en las que se halla la viga, se determinan los requerimientos por durabilidad dispuestos en el Reglamento CIRSOC 201-05. Dada la exposición Q2, se tiene que:

En consecuencia adoptamos para la estructura un hormigón de resistencia nominal f’c = 40 MPa, con una relación agua – cemento de a/c = 0.45

Con las características dadas del acero y utilizando la tabla 3.12 del reglamento CIRSOC 201-05. Obtenemos las tensiones límites del acero.

f'c [MPa]

Ec [MPa]

f'ci [MPa]

Eci [MPa]

HORMIGON - PARAMETROS

40

29725

28

24870


Propiedades geométricas del elemento. Hallamos las propiedades del elemento con el software AutoCAD. EN APOYO

5

12,7

1864

1682

19Eps [Mpa]

Cantidad de Cordones [cord/Cable]

Tipo de cordon BR (Baja relajación)

Diametro Nominal [mm]

fpu [Mpa]

fpu [Mpa]

fy [MPa]

ACERO - PARAMETROS

Armadura Pasiva ADN 420

420

Armadura activa C-1900 G/270


EN TRAMO

2. Análisis de cargas.

Debido a que se desconoce el destino se toma a la sobre carga eventual como 100%.

Luego calculamos las cargas se servicio sin mayorar (ELS) a la que va a estar sometida la viga

las cuales van a ser.

Ag [m2] p[m] Ixx[m4] Ysup[m] Yinf[m] Wsup[m3] Winf[m3]

0,2657 5,764 0,0062 0,162 0,338 0,03827 0,01834

EXCENTRICIDAD APOYO[m] EXCENTRICIDAD TRAMO[m]

0,063 0,24

Valor [KN/m]

qD0 6,74

qD1 0

qD2 1,4

qL1 0

qL2 11Fraccion sobre carga eventual

Cargas

Peso propio

Permanente al momento del tesado

Permanente luego del tesado

Fraccion de sobrecarga casi permanente

6,74 [KN/m]

8,14 [KN/m]

19,14 [KN/m]

Q1= qD0 + qD1

Q2 = qD0 + qD1 + qD2 + qL1

Q3 = qD0 + qD1 + QD2 + QL1 + QL2

Carga semipermanente (t∞)

Carga Durante el tesado (t0)

Carga maxima total


3. Solicitaciones. Se calculan los momentos flectores en el centro del tramo y en la denominada “sección de

transferencia” que es aquella en la que puede considerarse que los elementos tensores ya han

transferido totalmente la carga de pretensado al hormigón. Del lado seguro, se supondrá que la

sección de transferencia se encuentra ubicada a 50 veces el diámetro de la armadura activa del

extremo de la viga:

𝑑𝑠𝑡 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =50 ∗ 12.7[𝑚𝑚]

1000= 0.635[𝑚]

Para la sección de transferencia se tiene que:

𝑀 [𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓] =𝑞 [𝑘𝑁𝑚 ] ∗ 𝑑𝑠𝑡[𝑚] ∗ (𝑙[𝑚] − 𝑑𝑠𝑡[𝑚])

2= [𝑘𝑁 ∗ 𝑚]

Mientras que para el tramo se tiene:

𝑀 [𝑒𝑛 𝑙

2] = 𝑅𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 −

𝑞 ∗ 𝑙2

8=𝑞𝑢 [

𝑘𝑁𝑚 ] ∗ (𝑙[𝑚])2

8= [𝑘𝑁 ∗ 𝑚]

Luego de determinadas las solicitaciones se calculan las tensiones a las cuales se hallan sometidas las fibras extremas:

CARGAS

Q1

Q2

Q3

101,94 [KN*m]

123,12 [KN*m]

289,49 [KN*m]

MOMENTO EN EL TRAMOMOMENTOS EN SECCION TRANFERENCIA

22,18 [KN*m]

26,79 [KN*m]

62,99 [KN*m]

inferior (+)

superior (-)

inferior (+)

superior (-)Tramo

1,209378408

-0,57956624

5,885496183

-2,663705252

15,78462377

-7,564410766

Tensiones con Carga total

maxima [KN/m] t∞

1,456379498 3,434569248

0,69793572

Tensiones con carga

semi-permanente

[KN/m] t∞

6,713195202

-3,217141364

-1,645936765

TENSIONES σ=M/W [KN/m]Tensiones en el momento del tesado

[KN/m] t0

Seccion de tranferencia


4. Tensiones límites en hormigón y acero de pretensado. En hormigón. El Reglamento estipula los valores de tensiones límites para el hormigón. Para el to, el valor de f’c es afectado por un coeficiente de 0,7 que tiene en cuenta el valor alcanzado por la resistencia en el momento del tesado (7 días).

En el momento del tesado (t0)

Bajo Cargas de Servicio y t∞

Expresion

Reglamentaria

Valor en

Mpa

0,6 * f'ci 16,8

0,5 * √f'ci 2,64

0,25 * √f'ci 1,32

0,45 * f'c 18

0,6 * f'c 24

√f'c 6,32

En el momento del

tesado (t0)

Luego de las

perdidas(t=infinito)

Compresion

Traccion en apoyos simple

Traccion

Compresion cargas permanentes

Compresion carga total

Traccion


En acero.

Acero C-1900 G/270 (correspondiente a diámetro nominal de 12,7mm, cordón de siete alambres con tratamiento termo-mecánico. BR-Baja relajación). fpu: Tensión de tracción especificada para el acero de pretensado: 1864MPa fpy: Tensión de fluencia especificada para el acero de pretensado: 1682MPa Se analizan las tensiones límites en el acero: Debidas a la acción directa de la fuerza aplicada por el gato (mínimo):

0,94 * fpy = 1581.08 MPa

0,80 * fpu = 1491.2 MPa (adoptado) Inmediatamente después de la transferencia del pretensado (mínimo):

0,82 * fpy = 1379.24 MPa (adoptado)

0,74 * fpu = 1379.36 MPa

En los dispositivos de anclaje y acoplamiento de cables de pos-tesado inmediatamente después de la transferencia de la fuerza de tesado (t=0):

0,70 * fpu = 1304.8 MPa


5. Calculo en la fuerza de pretensado. La fuerza de pretensado de dimensiona de modo de que para la carga total la tensión en la fibra inferior no supere la tensión de tracción admisible en el centro del tramo (6,32 MPa). El pretensado deberá compensar entonces una tensión igual a: 15,78 MPa - 6,32MPa = 9,46 MPa La tensión de compresión producida en la fibra inferior de la sección media por la fuerza de tesado vale:

9.46 =𝑃𝑒𝐴𝑔+ 𝑃𝑒 ∗ 𝑒

𝑊𝑖𝑛𝑓

𝑃𝑒 =9.46

1/𝐴𝑔 + 𝑒/𝑊𝑖𝑛𝑓

𝑃𝑒 = 0.563 𝑀𝑁 = 563 𝐾𝑁

6. Definición de armadura de tracción en estado de servicio

Para estimar la sección necesaria de acero de pretensado se debe conocer la fuerza de tesado en el momento de la transferencia. Dado que esa fuerza surge del cálculo de pérdidas donde ella misma es un dato de partida, es necesario hacer una estimación que llevara a un cálculo iterativo que converge muy rápidamente. Se supone un valor que evitara el proceso de iteración corresponde a una fuerza de transferencia 10 % superior a la fuerza efectiva. Es decir: Pi = 1.1 Pe = 619.3 KN (fuerza al instante de transferencia) En base a la utilización de cordones de 12,7 mm (98,7 mm2 de sección) de 7 alambres se obtiene: Donde: Pi = fuerza de pretensado en el instante de la transferencia Fi = tensión admisible en el acero en el instante de la transferencia Luego:

Cantidad Necesaria de cordones = 619.3 KN

1379.24∗ 0.0127∗ 𝜋2

4

= 𝟑. 𝟓𝟒 ≈ 𝟒 𝐜𝐨𝐫𝐝𝐨𝐧𝐞𝐬.

Se adopta 5 cordones de 7 alambres cada uno (datos de consigna).


𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5 ∗ 98.7 mm2 = 493.5 𝑚𝑚2

7. Cálculo de pérdidas instantáneas y diferidas.

Calculo de perdidas:

La siguiente tabla resume las principales causas de pérdidas:

Pérdidas Instantáneas:

En el Hormigón:

Pérdidas por Acortamiento Elástico (ES):

𝐸𝑆 = 𝐾𝑒𝑠 ∗ 𝐸𝑝𝑠 ∗𝑓𝑐𝑖𝑟𝐸𝑐𝑖

= [𝑀𝑃𝑎]

𝑓𝑐𝑖𝑟 = 𝐾𝑐𝑖𝑟 ∗ 𝑓𝑐𝑝𝑖 − 𝑓𝑔

𝑓𝑐𝑝𝑖 = (𝑃𝑝𝑖[𝑘𝑁]

𝐴𝑔[𝑚2]+𝑃𝑝𝑖[𝑘𝑁] ∗ (𝑒[𝑚])

2

𝐼𝑔[𝑚4]

) = [𝑀𝑃𝑎]

𝑓𝑔 = (2) ∗

𝑒

𝐼𝑔

Donde:

𝐾𝑒𝑠: 1,0 para elemento pretesado

𝐾𝑒𝑠: 0,5 para elementos postesados en los que los cables son tesados en forma consecutiva. En cualquier otro caso Kes variará entre 0 y 0,5 𝐸𝑝𝑠[𝑀𝑃𝑎]: Módulo de elasticidad de los elementos tensores (del orden de 196000MPa)

𝐸𝑐𝑖[𝑀𝑃𝑎]: Módulo de elasticidad del hormigón en el momento del tesado 𝑓𝑐𝑖𝑟[𝑀𝑃𝑎]: Tensión de compresión neta en elhormigón a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores inmediatamente después de haberse aplicado la totalidad del pretensado 𝑓𝑐𝑝𝑖[𝑀𝑃𝑎]: Tensión en el hormigón a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores

producida por la fuerza de tesado consideradas solamente las pérdidas por fricción y por acuñamiento de anclajes

𝑓𝑔[𝑀𝑃𝑎]: Tensión en el hormigón a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores

debido al peso propio y otras cargas presentes en el momento del pretensado


𝐾𝑐𝑖𝑟: 0,9 para elementos pretensados y 1,0 para elementos postesados

En el caso de elementos con cables no adherentes la expresión a utilizar será:

𝐸𝑆 = 𝐾𝑒𝑠 ∗ 𝐸𝑠 ∗𝑓𝑐𝑝𝑎

𝐸𝑐𝑖

𝑓𝑐𝑝𝑎[𝑀𝑃𝑎]: Tensión media en el hormigón a lo largo de la longitud de elemento a nivel del

centro de gravedad de los elementos tensores inmediatamente después de haberse aplicado la totalidad del pretensado.

EN EL ACERO:

Pérdidas por Fricción (FR): (Postesado)

Este tipo de pérdidas se da solamente en elementos postesados y se producen durante la puesta en tensión de los cables. La puesta en tensión de la armadura implica su alargamiento y por lo tanto un desplazamiento relativo respecto a las vainas. Existen tres causas de pérdidas por rozamiento (fricción): rozamiento en curva rozamiento en recta rozamiento en desviadores (pretensado externo) El CIRSOC 201-2005, artículo 18.6.2.1, propone la siguiente expresión para el cálculo de las pérdidas por fricción:

𝑃𝑃𝑥 = 𝑃𝑃𝑖 ∗ 𝑒−(𝐾∗𝑙𝑝𝑥+𝜇𝑝∗𝛼𝑝𝑥)

Si el valor del paréntesis resultara menor o igual que 0,3 la expresión anterior se podrá reemplazar por la siguiente expresión aproximada:

𝑃𝑃𝑥 = 𝑃𝑃𝑗 ∗ (1 + 𝐾 ∗ 𝑙𝑝𝑥 + 𝜇𝑝 ∗ 𝛼𝑝𝑥)−1

Donde: 𝑃𝑃𝑗 = Fuerza de tesado en el extremo desde donde se efectúa el tesado

𝑃𝑃𝑥 = Fuerza de tesado evaluada a una distancia “lpx” del extremo desde donde se efectúa el tesado K = Coeficiente de desviación accidental (rozamiento parásito o rozamiento en recta) por metro lineal de cable 𝑙𝑝𝑥 = Longitud de cable medida desde el extremo desde donde se efectúa el pretensado

𝜇𝑝 = Coeficiente de fricción por curvatura (o en curva)

𝛼𝑝𝑥 = Suma de los valores absolutos de las variaciones angulares (desviaciones

sucesivas), medidas en radianes, que se producen en el cable a lo largo de lpx.

SECCION Pi[KN] kes kcir Ag[m2] Ig [m4] e [m] Es [MP] Eci [MPa] M (t=0) [KNm]

0 233,73 0,25 1 0,2696 0,0062 0,063 195000 24870 0

L/2 309,65 0,25 1 0,2696 0,0062 0,24 195000 24870 101,94

L 286,67 0,25 1 0,2696 0,0062 0,063 195000 24870 0

SECCION X=0 X=L/2 X=L

fcip 1,01 4,02 1,24

fg 0 3,95 0

fcir 1,01 0,07 1,24

ES 1,98 7,88 2,43


El CIRSOC 201-2005, tabla C18.6.2, da algunos valores orientadores para los coeficientes anteriores. Estos valores son reproducidos en la siguiente tabla:

La friccion en x = 0, al tomar el angulo de la vaina en esa sección como 0, es igual a 0. K = [adimensional] μp = [adimensional]

Lpx =l[m]

2= [m]

αpx = [rad]

FR𝑥 =(𝑃𝑝𝑗 − 𝑃𝑝𝑥)

𝐴𝑝𝑠

Aps= 98.7 * 5 cord/cable = 493.5 mm2 En X= L/2

Lpx [m] 5.4

μp 0.25

k 0.0066

αpx [rad] 0.157

A 0.075

𝑒−𝐴 0.93

Tensión en el tramo en el momento de la transferencia.

Pi/Aps = 309.65 KN/ 493.5 mm2 = 627.45 MPa. Tensiones de transferencia en anclaje activo introducida por el gato.


Pj/Aps = 332.96KN /493.5 m2 = 674.69 MPa.

FR 𝑙2= 674.69 MPa − 627.45 MPa = 𝟒𝟕. 𝟐𝟑 𝐌𝐏𝐚

En X= L

Lpx [m] 10.8

μp 0.25

k 0.0066

αpx [rad] 0.314

A 0.1498

𝑒−𝐴 0.861

𝑃𝑝𝑥 = 332.96 𝐾𝑁 ∗ 0.861 = 286.67 𝐾𝑁

𝑃𝑖𝐴𝑝𝑠

=286.67 𝐾𝑁

493.5 𝑚𝑚2= 580.89 𝑀𝑃𝑎

FR𝑙 =332.96 KN− 286.67 MPa

493.5 𝑚𝑚2= 𝟗𝟑.𝟖 𝐌𝐏𝐚

Pérdidas por Acuñamiento de anclajes (AC):

Δset =(Área rayada en la Figura 10.3.2.6.1)

(Aps · Eps)

= 6mm

p =∆P

Lpx=FR[MPa]

Lpx[m]∙ Aps [mm2] ∙

1

1000=kN

m

Longitud afectada = (Δset [mm] · Aps [mm2] · Eps[MPa]

p[kNm ]

)

12

= [m]

Esto quiere decir que, a una distancia de la longitud afectada desde el anclaje activo, el efecto de perdida debido a corrimientos de anclajes será compensado y anulado por los efectos de fricción negativa del elemento tensor.


A partir de ΔPcorrimiento se puede obtener la pérdida por penetración de cuña:

ΔPcorrimiento = Longitud afectada [m] · 2 · p [kN

m] = [kN]

Donde:

𝑙𝑎𝑓= (𝛥𝑠𝑒𝑡 × 𝐴𝑝𝑠 × 𝐸𝑝𝑠) 𝛥𝑠𝑒𝑡= deslizamiento esperable del sistema de anclaje= 6mm 𝐴𝑝𝑠= 493.5 𝑚𝑚2 𝑝= es la variación de la fuerza debida a la fricción (antes de anclar) P en X = L/2 = 5.4 m FR = 47.23 MPa Fuerza = 47.23 MPa * 493.23 mm2 = 23.31 KN P= FUERZA/LONG = 23.31/5.4 = 4.31 KN/m Longitud afectada Laf = ( 6 mm * 493.5 mm2 * (195000/4.32))^1/2 = 11.57m

∆Pcorrimiento = 11.57 * 2 * 4.31= 99.73 KN

Pérdida por Acuñamiento de anclaje (AC):

AC = ∆P[kN]

Aps[mm2]∙99.73(1000mm)2

493.5 ∗ 1m2∙1MN

1000kN= 𝟐𝟎𝟐. 𝟎𝟗[𝐌𝐏𝐚]

Pérdidas Diferidas:

En el Hormigón:

Pérdidas por Contracción (SH): La contracción es la deformación que sufre una pieza de hormigón por movimientos del agua no fijada químicamente al gel de cemento. Aunque el fenómeno más conocido es la pérdida de agua con la consiguiente disminución de volumen, existe también el fenómeno opuesto denominado hinchamiento o expansión. Obviamente, desde el punto de vista práctico interesa solamente la contracción que se produce desde el momento del tesado hasta el momento en que se desea conocer el pretensado efectivo. Dado que la mayoría de los elementos pretesados son puestos en tensión a edades muy tempranas, los efectos de la contracción son mucho más importantes que en elementos postesados.


Las variables que intervienen en la evaluación de la contracción son muchas pero la bibliografía propuesta por el CIRSOC considera solamente las siguientes:

i) RH: Humedad media del ambiente que rodea al elemento

ii) V/S: Relación entre la sección transversal de la pieza y su perímetro (en rigor se trata de

la relación Volumen/Superficie). En algunos textos se la

iii) Tiempo transcurrido desde la finalización del curado húmedo hasta la aplicación del

pretensado

La expresión que propone para el cálculo de la pérdida por contracción es la siguiente:

𝑆𝐻 = 8,2𝑥10−6 ∗ 𝐾𝑠ℎ ∗ 𝐸𝑠 ∗ (1 − 0,024𝑉

𝑆) ∗ (100 − 𝑅𝐻) = [𝑀𝑃𝑎]

Donde:

𝐾𝑠ℎ = 1,0 para elementos pretesados 𝐾𝑠ℎ = Para elementos postesados se extrae de la Tabla 10.3.2.2.1.

𝐾𝑠ℎ = 0.77 𝐸𝑝𝑠[𝑀𝑃𝑎] = Módulo de elasticidad de los elementos tensores (del orden de 196000 MPa)

𝑉

𝑆 = Está expresado en centímetros.

𝑉

𝑆=

𝐴𝑔

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜=

0.2696

5.764[𝑐𝑚2] = 4.68[𝑐𝑚2]

𝑅𝐻 = Debería determinarse en cada caso. Una orientación puede tomarse de la Tabla 10.3.2.2.2.

𝑅𝐻 = 70

SH = 8,2𝑥10−6 ∗ 0.77 ∗ 195000 ∗ (1 − 0,024 ∗ 4.68 ) ∗ (100 − 70) = 𝟑𝟐. 𝟕𝟗[𝑴𝑷𝒂]


Pérdidas por Fluencia Lenta (CR):

De forma simplificada se engloban en el concepto de fluencia todas las deformaciones diferidas, elásticas y plásticas, que dependen de la tensión. También en forma simplificada, y siempre que la tensión actuante no sea demasiado elevada (digamos no superior al 40 o 50% de la tensión de rotura), la deformación de fluencia puede suponerse proporcional a la deformación elástica instantánea. La bibliografía recomendada por el CIRSOC hace un abordaje bastante simplificado a través de la expresión:

𝐶𝑅 = 𝐾𝑐𝑟 ∗𝐸𝑝𝑆

𝐸𝑐∗ (𝑓𝑐𝑖𝑟 − 𝑓𝑐𝑑𝑠) = [𝑀𝑃𝑎]

Donde: 𝐾𝑐𝑟 = 2,0 para elementos pretesados y 1,6 para elementos postesados 𝐸𝑝𝑆[𝑀𝑃𝑎] = Módulo de elasticidad de los elementos tensores (del orden de 196000 MPa)

𝐸𝑐[𝑀𝑃𝑎] = Módulo de elasticidad del hormigón a 28 días 𝑓𝑐𝑖𝑟[𝑀𝑃𝑎]= Tensión de compresión neta en el hormigón a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores inmediatamente después de haberse aplicado la totalidad del pretensado (ver ecuación para fcir

en pérdidas por acortamiento elástico) 𝑓𝑐𝑑𝑠[𝑀𝑃𝑎] = Tensión en el hormigón a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores debida a todas las cargas permanentes que se agregan luego del tesado

𝑓𝑐𝑑𝑠 = 𝑀𝑐𝑑𝑠 ∗𝑒

𝐼𝑔 = [(3) − (2)] ∗

𝑒

𝐼𝑔 = [𝑀𝑃𝑎]

𝑓𝑐𝑝𝑖= (𝑃𝑝𝑖

𝐴𝑔+𝑃𝑝𝑖 ∗ 𝑒2

𝐼𝑔)

𝑓𝑐𝑝𝑖= (

619.32

0.2696+

619.932 ∗ 0.242

0.0062)

𝑓𝑐𝑝𝑖= 4025𝐾𝑁

𝑚2= 4.02 𝑀𝑃𝑎.

fg = 𝑀∗𝑒

𝐼𝑔 = 101.94∗ 0.24

20.0062= 3946.06

𝐾𝑁

𝑚2= 3.95 𝑀𝑃𝑎

fcir = 𝑘𝑐𝑖𝑟 * 𝑓𝑐𝑝𝑖 ∗ 𝑓𝑔 = 1

fcir = 1 * 4.02 ∗ 3.95 = 0.07 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐𝑑𝑠 =𝑀𝑓 (𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝 𝑡 = 𝑖𝑛𝑓) − 𝑀𝑓 (𝑡 = 0) ∗ 𝑒

𝐼𝑔= 123.12 − 101.94

0.0062∗ 0.24 = 819.87 = 0.82 𝑀𝑝𝑎

𝐶𝑅 = 1.6 ∗19500029725

∗ (0.07− 0.82) = −𝟕.𝟖𝟕 [𝑴𝑷𝒂]

Valor negativo, indica que no existe perdida por fluencia lenta.


ACERO:

Pérdidas por Relajación(RE):

La única pérdida significativa que presenta el acero en el tiempo es la relajación, es decir, la pérdida de tensión a deformación constante. El valor de la relajación depende del tipo de acero, de la tensión de tesado, del tiempo transcurrido desde la puesta en tensión y de la temperatura. Asimismo depende de la interrelación con las otras pérdidas diferidas. La bibliografía propuesta por el CIRSOC utiliza la siguiente expresión:

𝑅𝐸 = [𝐾𝑟𝑒 − 𝑗 ∗ (𝑆𝐻 + 𝐶𝑅 + 𝐸𝑆)] ∗ 𝐶 = [𝑀𝑃𝑎] donde: 𝐾𝑟𝑒= Valores básicos de relajación J = Factor de interacción para la reducción de tensión debido a otras pérdidas C = Factor por nivel de tensión (fpi / fpu) Para cordones de baja relajación se tiene: 𝐾𝑟𝑒 = 35𝑀𝑃𝑎 𝑗 =0,04 Donde Kre y J se extraen de la siguiente Tabla 10.3.2.4.1:

J= 0.04

SH = 32.79 MPa

CR = 0 (por ser negativo)

ES = 7.88 MPa

El coeficiente “C” puede obtenerse a partir de las expresiones que figuran en la siguiente Tabla 10.3.2.4.2 (en el trabajo original no figuran expresiones sino valores): En la Tabla 10.3.2.4.2: 𝑓𝑃𝑖 = Tensión en los elementos tensores.

𝑓𝑝𝑖 =𝑃𝑝𝑖

𝐴𝑝𝑠=

𝑘𝑁

𝑚𝑚2∙(1000𝑚𝑚)2

1𝑚2∙1𝑀𝑁

1000𝑘𝑁=619.3

493.5𝑀𝑃𝑎 = 𝟏𝟐𝟓𝟒.𝟗𝟏𝑴𝑷𝒂

𝑓𝑝𝑖

𝑓𝑝𝑢=1254.91

1864= 0.67


𝐶 = 0.33 + 4 ∗ (0.67 − 0.6) = 𝟎. 𝟔𝟐 [𝑀𝑃𝑎]

𝑅𝐸 = [35 − 0.06 ∗ (32.79 + 0 + 7.88)] ∗ 0.62 = 𝟐𝟎. 𝟔𝟗[𝑀𝑃𝑎]

Tabla resumen de pérdidas

Tension en el gato = tensión efectiva de pretensado +∑𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 679 MPa

Tension en el centro del tramo (t0) = 679 − 𝐹𝑅 = 631.77 𝑀𝑃𝑎

Tension en el apoyo (t0) = 679 − 𝐴𝐶 = 476.91 𝑀𝑃𝑎

𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 =𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜

𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜=631.77

570.41= 𝟏. 𝟏𝟎 𝑴𝑷𝒂

Estimación inicial propuesta de perdidas es correcta debido a que se propuso 10%, coincidiendo

con el verdadero valor que se obtuvo de perdidas.

SECCION 0 L/2 L

Pj / Aps 674,69 - -

Pi / Aps 472,6 627,46 580,89

Pe / Aps - 570,41 -

FR 0 47,23 93,8

AC 202,09 0 0

ES 1,98 7,88 2,43

SH 32,79 32,79 32,79

CR - 0 -

RE - 20,69 -

∑ PERDIDAS - 108,59 -


8. Verificación de tensiones en el hormigón y en el acero de pretensado.

En el hormigón

Tiempo t=0 (transferencia)

Sección Long. Tranf. Centro tramo Fibra Superior Inferior Superior Inferior 𝑃𝑖/𝐴𝑔 -2.3

𝑃𝑖 ∗ 𝑒 ∗ 𝑦/𝐼𝑔 1.02 -2.12 3.88 -8.1

𝑀 ∗ 𝑦/𝐼𝑔 -0.58 1.21 -2.66 5.55

Total -1.86 -3.21 1.08 -4.85

Traccion adm. 2.64 - 1.32 -

Comp adm. -16.8

Verifica secciones t=0

Tiempo t=infinito (luego de perdidas)

Seccion L/2 Cargas Semi-Permanente Totales

Fibra Superior Inferior Superior Inferior 𝑃𝑒/𝐴𝑔 -2.09

𝑃𝑒 ∗ 𝑒 ∗ 𝑦/𝐼𝑔 3.53 -7.36 3.53 -7.36

𝑀 ∗ 𝑦/𝐼𝑔 -3.22 6.71 -7.56 15.78

Total -1.75 -2.74 -6.12 6.31

Traccion adm. 6.32 Compa dm. -18 -24

En el acero

Condicion a

Pj/Aps 674.69 ≤ 1491.2 VERIFICA

Condicion b Pi/Aps 627.46 ≤ 1379.24 VERIFICA

Condicion c Pj − AC/Aps 945.20 ≤ 1304.8 VERIFICA

Pj − FR/Aps 1302.15 ≤ 1304.8 VERIFICA


9. Verificación de la resistencia a flexión. Supondremos que se trata de una sección controlada por tracción por lo que la condición resistente se expresa como:

𝑀𝑢 ≤ ∅ ∗ 𝑀𝑛 = 0,90 ∗ 𝑀𝑛

𝑀𝑢 = 1,4 ∗ 289.49 = 405.286 𝐾𝑁.𝑚 Para el cálculo se utilizará la fórmula aproximada para la determinación de la tensión en el acero de los cordones en el momento de la rotura, es decir:

𝑓𝑝𝑠 = 𝑓𝑝𝑢 ∗ {1 −𝛾𝑝

𝛽1∗ [𝜌𝑝 ∗

𝑓𝑝𝑢

𝑓′𝑐

+𝑑

𝑑𝑝∗ (𝜔 − 𝜔′)]}

Asimismo, se supondrá, en primera instancia, que la sección se comporta como rectangular (a ≤ hf), que no existe armadura significativa de compresión y que no será necesario adicionar armaduras pasivas. Donde: 𝑓𝑝𝑠 = Tensión de la armadura tesa para el cálculo de la resistencia nominal

𝑓𝑝𝑢 = Tensión de tracción especificada para el acero de pretensado

𝑓𝑝𝑦 = Tensión de fluencia especificada para el acero de pretensado

𝛾𝑝 = Este factor tiene en cuenta la forma del diagrama tensiones-deformaciones de los aceros

(relajación normal, baja relajación, etc.) el cual está caracterizado por el cociente fpy / fpu

𝑓𝑝𝑢 = 1864𝑀𝑃𝑎

fpy / fpu=0.9

.

𝛾𝑝 = 0.28

𝛽1 = Factor que relaciona la profundidad del eje neutro con la profundidad del bloque rectangular de tensiones utilizado para los cálculos de resistencia a flexión:

𝛽1 = 0.0778 𝜌𝑝= Cuantía de armadura tesa

𝜌𝑝 =𝐴𝑝𝑠

𝑏 ∗ 𝑑𝑝=

493.5

2 ∗ 0.402= 0.0006


b = Ancho del borde comprimido de la sección d = Distancia desde la fibra más comprimida hasta el baricentro de la armadura no tesa 𝑑𝑝 = Distancia desde la fibra más comprimida hasta el baricentro de la armadura tesa

𝑑𝑝 = 𝑦𝑠𝑢𝑝 + 𝑒 = 0.162 + 0.24 = 0.402

ω = Cuantía mecánica de la armadura traccionada no tesa = As · fy/ (b · d · fć) ω´ = Cuantía mecánica de la armadura comprimida no tesa = A´s · fy/ (b · d · fć) ωp= Cuantía mecánica de la armadura tesa = 𝜌𝑝· fps/ fć

𝑓𝑝𝑠 = 1864 ∗ {1 −0.9

0.65∗ [0.00065 ∗

1864

40+ 0]} = 𝟏𝟕𝟗𝟏. 𝟖𝟒𝑴𝑷𝒂

La fuerza provista por la armadura vale entonces:

𝑇 = 𝑓𝑝𝑠 ∗ 𝐴𝑝𝑠 = 1791.84 ∗ 493.5 = 𝟖𝟖𝟒. 𝟐𝟕𝑲𝑵

La profundidad del eje neutro de tensiones será:

𝑎 =𝑇

(0,85 ∗ 𝑓′𝑐∗ 𝑏)

=884.27

(0.85 ∗ 40 ∗ 2)= 0.013𝑚

Valor que resulta inferior a hf=[m] por lo que se convalida la hipótesis de suponer que se trata de una sección que se comporta como rectangular. El momento nominal vale entonces:

𝑀𝑛 = 884.27 ∗ (0.402 −0.013

2) = 349.72𝐾𝑁.𝑚

𝑀𝑢 ≤ ∅ ∗ 𝑀𝑛 = 0,90 ∗ 𝑀𝑛

402.286 ≤ 314.75 No verifica por lo que se debe agregar armadura pasiva:

𝐴𝐷𝑁 420

𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑇 + (𝑛° 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑖𝑜 ∗ 𝑛° 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 ∗ 420 [𝑀𝑃𝑎]

Adopto 2 Ø 12mm

𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 884.27 + (2 ∗ 2 ∗ 2.2[𝑐𝑚2] ∗ 420 [𝑀𝑃𝑎] = 𝟏𝟐𝟓𝟑. 𝟖𝟕𝑲𝑵

𝑎 =1253.87

(0.85 ∗ 40 ∗ 2)= 0.0184𝑚

𝑀𝑛 = 𝑇𝑎𝑟𝑚 𝑡𝑒𝑠𝑎 ∗ (𝑑𝑝 −𝑎

2) + 𝑇𝑎𝑟𝑚 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑠𝑎 ∗ (𝑑𝑝 − 0,05𝑚 −

𝑎

2)

𝑀𝑛 = 884.27 ∗ (0.402 −0.0184

2) + 369.6 ∗ (0.469 −

0.0184

2)


𝑀𝑛 = 𝟓𝟏𝟕. 𝟐𝟖𝑲𝑵.𝒎

𝑀𝑢 ≤ ∅ ∗ 𝑀𝑛 = 0,90 ∗ 𝑀𝑛

405.286𝐾𝑁.𝑚 ≤ 465.55𝐾𝑁.𝑚 Dado que:

𝑐 =𝑎

𝛽1≤ 0,375 ∗ 𝑑𝑝

𝑐 = 0.023 ≤ 0.1507 La deformación a nivel del centro de gravedad de los elementos tensores es:

𝜀𝑝𝑠 = 0,003 ∗𝑑𝑝 − 𝑐

𝑐

𝜀𝑝𝑠 = 0,003 ∗0.402 − 0.023

0.023= 𝟎. 𝟎𝟒𝟗

Con lo que se debe verifica que se trata de una sección controlada por tracción (𝜀𝑝𝑠 > 0,005)

10. Verificación de cuantía mínima La condición a verificar es:

1,2 ∗ 𝑀𝑐𝑟 ≤ ∅ ∗ 𝑀𝑛 = 0,9 ∗ 𝑀𝑛 El momento de fisuración es aquel que luego de descomprimir la fibra inferior produce en ella una tracción igual a ft siendo:

𝑓𝑡 = 0,7 ∗ √𝑓′𝑐 = 0,7 ∗ √40 = 𝟒. 𝟒𝟐 𝑴𝑷𝒂

Al verificar las tensiones en el hormigón se vio que el pretensado efectivo producía en la fibra inferior una tensión total igual a:

𝑃𝑒𝐴𝑔+𝑃𝑒 ∗ 𝑒 ∗ 𝑦𝑖𝑛𝑓

𝐼𝑔= 9.45 𝑀𝑃𝑎

Por lo que el momento de fisuración deberá producir una tracción igual a:

𝑃𝑒𝐴𝑔+𝑃𝑒 ∗ 𝑒 ∗ 𝑦𝑖𝑛𝑓

𝐼𝑔+ 𝑓𝑡 = 13.87 𝑀𝑃𝑎

𝑀𝑐𝑟 = (𝑃𝑒𝐴𝑔+𝑃𝑒 ∗ 𝑒 ∗ 𝑦𝑖𝑛𝑓

𝐼𝑔+ 𝑓𝑡) ∗ 𝑊𝑖𝑛𝑓 = 𝟐𝟓𝟒. 𝟑𝟕 𝒌𝑵 ∗𝒎


Lo cual debe verificar la condición

1,2 ∗ 𝑀𝑐𝑟 ≤ ∅ ∗ 𝑀𝑛 = 0,9 ∗ 𝑀𝑛

𝟑𝟎𝟓. 𝟐𝟓 𝑲𝑵.𝒎 ≤ 𝟒𝟔𝟓. 𝟓𝟓 𝑲𝑵.𝒎

11. Verificación de la resistencia a Corte

Tabla 1: datos iniciales

Pe [KN] 563

e [m] 0.24

Aps [mm2] 493.5

Acero pasivo 2 Ø 12 (220 mm2)

Tabla 2: cargas actuantes

Carga actuante al momento del tesado 𝑞𝐷0 + 𝑞𝐷1 6.74 𝐾𝑁

𝑚

Carga semipermanente 𝑞𝐷0 + 𝑞𝐷1 + 𝑞𝐷2 + 𝑞𝐿1 8.14 𝐾𝑁

𝑚

Carga máxima total 𝑞𝐷0 + 𝑞𝐷1 + 𝑞𝐷2 + 𝑞𝐿1 + 𝑞𝐿2 19.14 𝐾𝑁

𝑚

Carga mayorada 𝑄𝑢 = 1.4 ∗ 𝑄3 26.796 𝐾𝑁

𝑚

Esfuerzo de Corte 𝑉𝑢(𝑥) = 𝑄𝑢 ∗ (𝐿

2− 𝑥)

Momento flector 𝑀𝑢(𝑥) = 𝑄𝑢 ∗ 𝑥 ∗ (𝐿−𝑥

2)

𝑥 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑖𝑠 = 0.469𝑚

𝑉𝑢(𝑥) = 26.7696 ∗ (10.8

2− 0.469) = 𝟏𝟑𝟐. 𝟏𝟑 𝑲𝑵

𝑀𝑢(𝑥) = 26.796 ∗ 0.469 ∗ (10.8 − 0.469

2) = 𝟔𝟒. 𝟗𝟏 𝑲𝑵𝒎

Adopto un ancho medio, debido a que tenemos 2 nervios

𝑏𝑤 = 2 ∗ 0.14 = 𝟎. 𝟐𝟖𝒎

Siendo la contribución del hormigón

𝑉𝑐 = (√𝑓′𝑐

20+ 5 ∗

𝑉𝑢 ∗ 𝑑𝑝

𝑀𝑢) ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 = (

√40

20+ 5 ∗

132.13 ∗ 0.402

64.91) ∗ 0.28 ∗ 0.469 = 578.82 𝐾𝑁

𝑉𝑐 debe ser menor o igual que:

𝑉𝑐 ≤ 0.4 ∗ √𝑓′𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 = 0.4 ∗ √40 ∗ 0.28 ∗ 0.469 = 332.21 𝐾𝑁


Por lo tanto adoptamos 𝑉𝑐 = 332.21 𝐾𝑁

Como 𝑉𝑐 > 𝑉𝑢 se coloca armadura minina. Según CIRSOC 201-2005 Artículo11.5.6.4. Para los elementos pretensados con una fuerza de pretensado efectiva igual o mayor que el 40 % de la resistencia a la tracción de la

armadura de flexión, el área de la armadura de corte 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 debe ser igual o mayor que el menor valor de:

𝑇 = 884.27 𝐾𝑁 40% 𝑇 = 353.71 𝐾𝑁

𝑃𝑒 ≥ 353.71 𝐾𝑁

𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛𝑠

=𝐴𝑝𝑠

80∗𝑓𝑝𝑢

𝑓𝑦𝑡∗1

𝑑∗ √

𝑑

𝑏𝑤=493.5

80∗1864

420∗

1

0.469∗ √

0.469

0.28∗ 1002 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟓

𝒄𝒎𝟐

𝒎


=1

16∗ √𝑓′𝑐 ∗

𝑏𝑤𝑓𝑦𝑡

≥ 0.33 ∗𝑏𝑤𝑓𝑦𝑡

=1

16∗ √40 ∗

0.28

420≥ 0.33 ∗

0.28

420


= 2.63𝑐𝑚2

𝑚≥ 2.2

𝑐𝑚2

𝑚

El Articulo 11.5.4 limita la separación de armaduras de corte:

𝑆 ≤

{

𝑑

2𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠

3

4∗ ℎ 𝑝𝑟𝑒𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠

400𝑚𝑚 }

𝑆 = 0.375𝑚

𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0.755𝑐𝑚2

𝑚∗ 0.375𝑚 = 0.2831 𝑐𝑚2

Se adopta 1 Ø 6 c/ 37.5 cm en 2 ramas 𝐀𝐯 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟖 𝐜𝐦𝟐


12. Documentación Grafica

cátedra: estructuras de hormigon armado y pretensado ... · trabajo práctico n ro 4:...

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