CRONOGRAMA CALCULO 3, 2015

Primera parte

Semana 1: del 2 al 6 de marzo(1) Curvas parametricas (p. 134) Curva parametrica (=trayec-

toria). Curva. Ejemplos 2.32.,2.33, 2.34, 2.37 (la helice) y2.35 (la cicloide, con detalles).

(2) Vector velocidad, recta tangente, longitud de arco: Vec-tor velocidad=vector tangente, velocidad(p.139). Ejemp-los 2.36,2.37, 2.38. Recta tangente (p.141). Ejemplos 2.39,2.40. Longitud de arco: justificacion de formula longitudde arco (p271) Definicion longitud de arco (p270) Ejemplo4.5 (circunferencia). Ejemplo 4.3 (hipocicloide de 4 pun-tas)

Semana 2: del 9 al 13 de marzo(1) Integral de una funcion a lo largo de una curva: Integral de

una funcion a lo largo de una curva (p412) Interpretacionfsica (p411) Justificacion de la formula (p413) Ejemplo7.1. Integral a lo largo de curvas planas (p414) Ejemplo7.2.

(2) Campos vectoriales y circulacion: Campos vectoriales (p276)solo dibujos para entender la idea. Circulacion de un campo~X=integral de lnea de ~X (p420) Interpretacion fsica (p419)Trabajo de una fuerza, justificacion de la formula (p419)Ejemplo 7.3. Notacion como forma diferencial (p421) Ejem-plo 7.4 Reparametrizaciones (p424), que preservan y re-vierten orientacion (p424). Teorema 1 (p426), sin demostracion.Ejemplo 7.9 (la curva )

Semana 3: del 16 al 20 de marzo(1) Rotor, campos conservativos, potencial escalar. El oper-

ador nabla (p286) El rotor=el rotacional (p290) Ejemplos4.25 y 4.26. El rotor de un campo plano (p295). El ro-tor y las rotaciones (p292) El rotor y las rotaciones enun flujo (p293) Campo irrotacional (p293) Ejemplo 4.28.Campos de gradientes o conservativos(p156) Ejemplo 2.47,

2.48. Potencial escalar ( ~X = f f potencial escalar)1

2 CRONOGRAMA CALCULO 3, 2015

Teorema 14 (p160) Ejemplos 2.53 y 2.54 El rotor de uncampo de gradientes es cero (cuenta)

(2) Teorema equivalencia campo irrotacional, campo conserva-tivo. Teorema 3 (p428)Teorema 7 (p531) con demostracionde lo que se pueda (i.e. todo menos 4 1 que requiereStokes, lo veremos en la semana 10). Interpretacion fsica(p533). Ejemplos 8.10 y 8.11. Ejemplo donde no funcione,

si no est en las hiptesis: X = (y,x,0)x2+y2

El caso plano. (p536)

Ejemplos 8.12 y 8.13. Semana 4: del 23 al 27 de marzo

(1) AJUSTE(2) Superficies parametricas: Superficie parametrica (p441).

Ejemplo 7.15. Vectores tangentes (p442) Superficie regular(p442) Vector normal (p443) Ejemplo 7.16. Plano tangente(p444) Ejemplos 7.17,7.187.19.

Semana 5: del 6 al 10 de abril(1) Area de una superficie: area de una superficie parametrica

(p449) Justificacion de la formula del area. Ejemplos 7.20

y 7.21. Area de una superficie expresada como una grafica(p452) Area de una superficie de revolucion (p453) Areade una esfera, area de un toro.

(2) Integral de funciones escalares sobre superficies. Definicion(p460) Justificacion (p461) Ejemplo 7.22. Integrales so-bre graficas (p462) Ejemplos 7.23, 7.24, 7.25, 7.26. Inter-pretacion de f como funcion densidad de masa, carga, etc.

Semana 6: del 13 al 17 de abril(1) Flujo a traves de una superficie. Definicion (p469) (Obs:

SXdS =

S

X.ndS= flujo de X a traves de S, ver Teo-rema 5, p475) Ejemplo 7.27. Observar que es independientede la parametrizacion (Teorema 4, p474 - sin demostracion)Interpretacion fsica (p475) Ejemplos 7.30 (Flujo del calor)y 7.31 (Ley de Gauss) Resumen formulas para integrales(parte 1 de cuadro p480)

(2) Observaciones y aplicaciones. Superficies orientadas (p470)Parametrizaciones que conservan o invierten la orientacion(p471) Ejemplo 7.28. Orientacion y elemento vectorial desuperficie de la esfera (p473) Ejemplo 7.29. Integrales sobregraficas (p479) Ejemplo 7.32. Ejercicios 2 y 3 .

Semana 7: del 20 al 24 de abril(1) Ejemplos a eleccion, repaso o ejercicios.

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(2) Teorema de Green. Regiones simples y elementales y susfronteras (p500) Teorema de Green (p503)-sin demostracion.Una generalizacion del Teorema de Green, el caso del anillodelimitado por dos circunferencias (p503) Ejemplo 8.1 Teo-rema area de una region (p505) Ejemplo 8.2. Forma vecto-rial del Teorema de Green, usando el rotor (p506). Ejemplo8.3

Semana 8: del 27 al 30 de abrilREPASO

Segunda parte

Semana 9: del 11 al 15 de mayo(1) PARCIALES(2) Teorema de Stokes. Teorema de Stokes para superficies

parametricas. (p518) Demostracion para graficas (p514)Optativo. Ejemplos 8.5, 8.6, 8.7. Interpretacion: rotorcomo circulacion por unidad de area. (p519)

Semana 10: del 18 al 22 de mayo(1) Aplicacion 1: la ley de Faraday (p523). Aplicacion 2: la

ley de Ampe`re (ejercicio 26, p530). Recordar Teorema Xirrotacional en R3 implica X campo de gradientes. Termi-nar demostracion del Teorema usando Teorema de Stokes(p533).

(2) Divergencia, campo solenoidal, potencial vector. Definicionde divergencia (p287) Ejemplo 4.19. Interpretacion fsica(p287). ejemplos 420,4.21,4.22,423,4.24. Teorema, los ro-tores tienen divergencia cero (p296) Ejemplo 4.31. definicioncampo vectorial solenoidal (=divX=0). Teorema 8: todocampo vectorial solenoidal en R3 tiene un potencial vector(p538). Con demostracion, es constructiva. Observacion,el campo tiene que estar definido en todo R3, sino el teo-rema no es valido. Ejemplo, campo gravitatorio no tienepotencial vector (p538), demostracion (p638)

Semana 11: del 25 al 29 de mayo(1) Teorema de Gauss: Regiones elementales y sus fronteras

(p541) ejemplos. Teorema de Gauss (p544), sin demostracion.Generalizaciones (p546) Ejemplos 8.16, 8.17. Interpretacinfsica: divergencia como flujo por unidad de volumen. Ejem-plo 8.18. Ejemplos donde no se aplica Gauss: campo grav-itacional.

4 CRONOGRAMA CALCULO 3, 2015

(2) Ley de Gauss. Teorema 10 (p550) con demostracion. In-terpretacion fsica: Ejemplo 8.19 flujo electrico a traves dela superficie = carga.

Semana 12: del 1 al 5 de junio(1) Ecuaciones de Maxwel, p561.(2) Formas diferenciales. Introduccion (p567) 0-formas (p568)

Ejemplo 8.20. 1-formas (p568) Ejemplo 8.21 2-formas (p569)Ejemplo 8.22 3-formas (p570) Ejemplo 8.23. Integrales de1-formas sobre curvas (p571) Ejemplo 8.24 Integrales de2-formas sobre superficies (p572) Ejemplos 8.25 y 8.26. In-tegrales de 3-formas sobre regiones (p574) Ejemplo 8.27

Semana 13: del 8 al 12 de junio(1) El algebra de las formas diferenciales. Producto exterior

de formas diferenciales (p575) Ejemplos 8.28,8.29 y 8.30.Derivada de una forma diferencial (p577) Ejemplos 8.31 al8.34.

(2) Expresion de los teoremas usando formas diferenciales. Teo-rema fundamental del calculo (p567) Teorema de Green(p580) Teorema de Stokes (p581) Teorema de Gauss (p581)Teorema general de Stokes (p581)

Semana 14: 15 al 19 de junioAJUSTE Semana 15: 22 al 26 de junio

REPASO

References

[1] J. Marsden, A. Tromba, Calculo Vectorial, 5ta edicion, Freeman and Com-pany, N.Y. 2003.