crecimiento y decrecimiento

5/24/2018 Crecimiento y Decrecimiento

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANAGUSTNFACULTADDEINGENIERA CIVIL

ESCUELAPROFESIONALDEINGENIERA CIVIL

CURSO:ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMACRECIMIENTO DECRECIMIENTO Y DESINTEGRACION

DOCENTE:LIC. BIDDER CALAPUJA

PRESENTADO POR: GONZALO ARCE HUAHUACHAMPI ALEJANDRA SANCHEZ YANCAPALLO MONICA SIVINCHA QUISPE LUIS SULLCA VILCA MARIELA YUCRA CHAPALLMA

SEMESTRE IVSECCION

AREQUIPA PER2012

Crecimiento, Decrecimiento y desin tegracin Radiactiva


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Sea P=P(t) una poblacin que depende del tiempo t

dP

dt

Es la tasa de cambio de la poblacin que se mide en nmero de unidades por

unidad de tiempo

1 dP

P dt Denota la tasa de crecimiento de la poblacin, que se mide en porcentaje por

ao, horas, das, etc.

1 dPk

P dt Sirve para predecir el futuro, donde K es igual a la constante de

proporcionalidad en resumen.

0 0( )

dPkP k cte porporcionalidad

dt

P t P

Si K>0dP

dtdenota crecimiento

Si K


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cabo del primero llevaba un atraso de 20 pginas y al trmino de 6 meses un atraso de

70pginas. Considere cada trimestre de tres meses sin receso entre cada uno de ellos.

Solucin:

:

( ) :

( ) :

t tiempo medido en meses

H t nmero de hojas escrita al cabo de t meses

L t nmero de hojas ledas al cabo de t meses

Ya ahora tenemos los siguientes datos que sacamos del problema, para esta parte

tomamos como 6 meses es igual a un trimestre, escribimos ( )H t donde t esta en

funcin del tiempo en trimestre.

(0) 10 L(0)=0

(1) (1) 20

(2) (2) 70

H

H L

H L

Y ahora las ecuaciones diferenciales sern:

Donde Ha es el nmero de hojas escritas, entonces integramos y tenemos:

( ) ktdH

kH H t cedt

Ahora la otra parte donde L es la variable por as decirlo que nos indica la lectura

de apuntes de los alumnos:

1

dLp pt c

dt

De la ecuacin tenemos una condicin en la variable L:

1

(0) 0

0

( )

L

pt c

L t pt

Ahora aremos una relacin entre las dos ecuaciones pero el tiempo se va dar en

meses

(3) (3) 20

(6) (6) 70

H L

H L

Resolviendo el sistema:

3

6

10 3 20

10 6 70

k

k

e p

e p


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Restando la segunda ecuacin con dos veces la primera y poniendo 3kx e

obteniendo la ecuacin cuadrtica

210 20 30x x

Cuya solucin positiva es

3

3

k

x e

.De esta forma:

ln(3) 10

3 3k p

As:

ln3

3( ) 10

10( )

3

t

H t e

L t t

Y el nmero de pginas de atraso al cabo de 9 meses es:

3ln3(9) (9) 10 30

270 30

240

H L e

2. Si la vida media de una sustancia reactiva es de 32 das. Determinar el tiempo t enque 24 kilos se convierten en 3 kilos.

Solucin:

Sea el modelo matemtico de acuerdo a los datos del problema:

dSkS

dx

Dnde: S es la funcin de sustancia que depende del tiempo

k es la constante de proporcionalidad

(0) 24S kg. y . . 32v m das.

Nos piden determinar el tiempo t tal que ( ) 3S t kg.

La ecuacin anterior se resuelve mediante el mtodo de separacin de variables, entonces

tenemos:


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ln( )( ) kt

dSkdx

S

dSk dt

S

S kt cS t ce

Ahora usando las condiciones iniciales del problema:

(0)(0) kS ce 24 c ( ) 24 ktS t e

ln 2.v m

k

ln2

. .k

v m

ln 2

32k

Entonces, tenemos la ecuacin diferencial:

ln2

32( ) 24t

S t e

Cuando ( ) 3S t se tiene:

ln2

32

ln2

32

3 24

18

1 ln(2) ln( )

8 32

ln(2)3ln(2)

32

96

t

t

e

e

t

t

t

3.En una reaccin qumica, la sustancia M se transforma en otra sustancia a unavelocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todava. Si al inicio de la

reaccin haba 200 gr. De M y a una hora ms tarde 75 gr, calcule el porcentaje de M

transformada despus de 2 horas. (gua UNSA EE.DD 1edicin

Despejando S:

Integrando ambos

miembros:

Despejando S:


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datos:

M(t) la cantidad de sustancia

sabemos : M(0)=200gr; M(1)=75gr

: ;k 0

:% 2

:

de : ( )

: (0) 200 200

: (1) 20

kt

sea

dMkM

dtnos piden M transformada despues de horas

solucion

dMkM M t e c

dt

ahora M c gr c gr

M

75

0 75 ln( )200

ke k

75ln(

200

752ln( )

200

reemplazando :

M(t) 200 e

:

(t) 200e 28.125

:

200 100%

(200 28.125)

: 85.93%

entonces

M gr

por regla detres simple

gr

x

rpta lacantidad transformadadespues dedoshoras es

4.El azcar se disuelve en el agua con una rapidez proporcional a la cantidad que quedasin diluir .si 30 libras de azcar se reduce a 10 libras en 4 horas en cunto tiempo se

habr diluido el 95% del azcar?.(gua de practica UNSA-EE.DD 3edicion)

0

(t)

: ;

(0) 30

(4) 10

(t)

(0) 30 30

kt

DATOS

sea A la cantidad de azucar presente enuntiempo

dAsabemos kA k o

dt

A

A

SOLUCION

A Ce

hallando C A Ce C


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4

0.275

0.275

(4) 10 30 0.275

:

( ) 30

: ( ) 95%

(5)(30)(t) 30 10.89100

: 10.89 95%

k

t

t

hallamdo k A e k

reemplazando

A t e

nos piden A t cuando seha diluido el

A e t horas

respuesta despues horas sehabra diluido el

5. Usando carbono -14 cuya vida media es de 5568,determine la edad deunfosil humanoque contiene 25.2mgr de C-14,si la cantidad presente en un ser humano vivo es de 53.8

mgr

5600 4

:

( ) :

(0) 53.8mgr;C(5600) 26.9mgr

sabemos : ( )

:

(0) c 53.8 53.8

(5600) 53.8 26.9 1.2378 10

kt

k

DATOS

sea C t la cantidad de carbonoen el humano

C

dCkC C t ce

dt

entonces

C c

C e k

4

4

1.2378 10

1.2378 10

:

( ) 53.8

:

( ) 53.8 25.2

6127 .

t

t

reemplazando

C t e

entonces

nos piden la EDAD del fosil humano

A t e

laedad del fosil es aos aprox

Ejercicios propuestos:

1. En una reaccin qumica, la sustancia M setransforma en otra sustancia a unavelocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todava. Si al inicio de

la reaccin haba 200g. de M y una hora ms tarde 75gr., calcule el porcentaje de

M transformada despus de dos horas.

Rpta. 85,93%


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2. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidadpresente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, Qu cantidad puede

esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento?

Rpta. 8 veces ms

3. Un magnate posee una fortuna que crece a un ritmo proporcional al cuadrado desu valor en cada momento. Si tena 10 millones de dlares hace un ao y hoy tiene

20 millones. De cunto ser su fortuna en 6 meses?

Rpta. 40 millones

4. Una bola de naftalina pierde su volumen por evaporacin con una rapidez que esproporcional a su rea instantnea. Si el dimetro de la bola disminuye de 2cm a

1cm en 3 meses. Cunto tiempo se requiere para que su dimetro sea de 1mm?

Rpta. 5,7 meses

5. Con frecuencia, el fechado por carbono se usa para determinar la edad de un fsil.Por ejemplo, en una cueva de Sudfrica se hall un crneo humano junto con los

restos de una hoguera. Los arquelogos creen que la edad del crneo sea igual a la

edad de la hoguera. Se ha determinado que slo queda 2% de la cantidad original

de carbono 14 en los restos de madera en la hoguera. Estime la edad del crneo, si

la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 aos.

Rpta. 31606 aos.

6. Los arquelogos utilizaron piezas de manera quemada o carbn vegetal, que seencontraron el sitio para fechar unas pinturas prehistricas y dibujo en paredes y

techos de una caverna en Lascaux, Francia. Si se encuentra que haba disminuido

85.5% del C-14 que se encontr en arboles vivos del mismo tipo.

Rpta. 15600aos

7. Cuando un haz vertical de luz pasa por un medio transparente, la rapidez a la quedecrece su intensidad I es proporcional a I t , donde t presenta el espesor del

medio (en pies). En agua de mar clara, la intensidad tres pies por debajo de la

superficie es 25%de la intensidad inicial 0I del haz incidente.Cul es la intensidad

del haz de 15 pies debajo de la superficie?


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Rpta. 0(15) 0.00098I I aproximadamente 0.1% de 0I

8. La poblacin de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al nmerode personas presente en el tiempo t. Si en 5 aos se duplica una poblacin inicial

0P Cunto tarda en triplicarse? En cuadriplicarse?Rpta. 7,9 aos; 10 aos

9. La poblacin de un pueblo crece a una tasa proporcional a la poblacin presenteen el tiempo t. L a poblacin inicial de 500 se incrementa 15% en diez aos.

Cul ser la poblacin en 30 aos? Qu tan rpido est creciendo la poblacin

en 30t ?

Rpta. 760 ; aproximadamente11 personas/ao

10.El isotopo reactivo de Plomo, 209Pb , decae a una rapidez proporcional a lacantidad presente en el tiempo ty tiene una vida media 3.3horas. Si al inicio est

presente un gramo de isotopo, Cunto tiempo tarda en decaer 90% del plomo?

Rpta. 11horas

11.El carbono obtenido de un antiguo crneo contiene solamente la sexta parte de C-14 respecto del carbono obtenido de un hueso actual. qu tan antiguo es el

crneo?

(la vida media del C-14=5600 aos). (EE.DD 4edicin-EDWARDS-PENNEY)

Respuesta=14735 aos apr ox.

12.Un accidente en una planta de potencia nuclear ha dejado una rea contaminadacon material radioactivo a su alrededor, la cual decrece de manera natural. La

cantidad inicial de material radioactivo presente es de 15 su(unidad de seguridad)

y 5 meses ms tarde es todava de 10 su.(EE.DD 4edicin-EDWARDS-

PENNEY)

a) Escriba una frmula para calcular la cantidad A(t) de material radioactivo quepermanece despus de t meses.

b) Qu cantidad de material radioactivo permanecer despus de 8 meses?c) Cunto tiempo pasara hasta que A=1 su, de tal manera que sea seguro para

que la gente pueda regresar a esa rea?

Respuesta a) A (t)=15((2/3) (t/5))

b) aprox . 7.84su


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c) despus de 33.4 meses

13.supngase que la poblacin P de bacterias en un cultivo al tiempo t , cambia a unarazn directamente proporcional a si inicialmente hay 1000

bacterias y despus de 4 horas la poblacin se redujo a 100 bacterias determine:

a) la poblacin en funcin del tiempo.b) la poblacin despus de un tiempo muy largo.

(EE.DD-J .VENTURA BERRECI L -DAVID ELI ZARRARAZ)

Respuesta a)0.0018

1000( )

1000 999 tP t

e

b) 1

14.Cierto material radioactivo se desintegra con una rapidez proporcional a lacantidad existente en cada instante. En una prueba realizada con 60 mg de este

material, se observ que despus de 3 horas, solamente permaneca el 80% de la

masa original.

Hallar: (EE.DD-J .VENTURA BERRECIL-DAVI D

ELIZARRARAZ)

a) La cantidad restante de masa en cualquier instante.b) Qu cantidad de material hay despus de 5 horas?c) Cuanto tiempo de transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto

de la cantidad inicial?

Respuesta=

0.07438) ( ) 60

)41.37

)18.64

ta x t e

b mg

c horas

15.La poblacin de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al nmero de habitantesque hay en un momento dado, si despus de 5 aos la poblacin se ha triplicado y

despus de 8 aos la poblacin es de 45000 habitantes ,halle el nmero de

habitantes que haba inicialmente en la cuidad. (gua UNSA EE.DD 1edicin) .

Respuesta=7760 habitantes

16.Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente , la razon conque decrece su intensidad Z es proporcional a Z(t) donde t representa el espesor ,


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en pies del medio . en agua de mar clara , la intensidad a 3.ft bajo la superficie ,es

el 25% dela intencidad inicial del rayo incidente cual es la intensiad del rayo a

15 ft bajo la superficie.

(EE.DD 6edicion- DENNIS G.ZI LL )

Respuesta=0.0009810 aprox 0.1% de la intensidad ini cial

17.En un proceso radioactivo se efectan dos mediciones .la primera, dos horasdespus de iniciado el proceso, arroja la cantidad de 10 mgr .mientras que en la

segunda ,que se efecta una hora despus ,indica la presencia de 8 mgr cul es la

cantidad original de la sustancia radioactiva?.(gua de practica UNSA-EE.DD

3edicion)

Respuesta=15.62mgr.

18.Suponga que un cuerpo mineral formado en un antiguo cataclismo contenaoriginalmente el isotopo de uranio-238,el cual tiene una vida media de 4.51x10^9

aos, pero no contena plomo ,producto final del decrecimiento radioactivo del

uranio . si ahora la relacin entre los tomos de uranio y plomo en el mineral es de

0.9 cundo ocurri el cataclismo?

(EE .DD 4edicin-EDWARDS-PENNEY)

Respuesta=hace 4.86x10^ 9 aos.

19.Suponga que el pentobarbital de sodio se usa para anestesiar a un perro. Estequeda anestesiado cuando su torrente sanguneo contiene al menos 45 miligramos

de pentobarbital de sodio por Kg de peso ,suponga tambin que esta sustancia seelimina exponencialmente del torrente con una vida media de 5 horas qu dosis

se le debe administrar a un perro de 50 Kg de peso para anestesiarlo durante 1

hora

(EE .DD 4edicin-EDWARDS-PENNEY)

Respuesta=2.585 mi l igramos.

20.Se ha observado en el laboratorio que el radiose desintegra a una rapidezproporcioanl ala cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 aos. que

porcentaje desaparecera en un ao?.(EE.DD-J .VENTURA BERRECIL-DAVID ELI ZARRARAZ)

Respuesta=0.0433% de la cantidad inicial .

EJERCICIOS PROPUESTOS

21.Una cierta sustancia radioactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar quetanto tiempo toma el 90% de la radiactividad en disiparse.


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Respuesta: t= 126 aos

22.Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad proporcional a sucantidad de material presente. Un bloque de ese material tiene originalmente una

masa de 100 gr. Y cuando se le observa despus de 02 aos, su masa ha disminuido

a 80 gr.

Encuentre una expresin para la masa de ese material como funcin del tiempo.

Respuesta: x (t)= 100 e

23.Suponer que una gota de lluvia esfrico se evapora a una velocidad a su reasuperficial. Si originalmente el radio es de 3mm. , 1 hora despus se ha reducido a

2mm. Encontrar una expresin para el radio de la gota como funcin del tiempo.

Respuesta: r=t mm, 0


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