ejercicio de decrecimiento y crecimiento
DESCRIPTION
uiruirykyuTRANSCRIPT
Ejercicio de decrecimiento y crecimiento
Un cultivo tiene una cantidad inicial Po de bacterias. Cuando t= 1 h, la cantidad de bacterias es de 3/2 Po. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias P (t) en el momento de t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos.
Solución:
Nos dan las condiciones
t=0→P (0 )=Po
t=1→P (1 )=32Po
Sustituyendo la variable x de la ecuación por la de P que es la que estamos trabajando nos queda que:
Dp/dt-KP=0; Es una ecuación lineal diferencial de 1er orden.
DondeP es la población existente de bacterias.K es la constante de crecimiento.
Procedemos a calcular la ecuación diferencial:Primero sacamos el factor integrante de la ecuación.
e− ∫ kdt=e−k ∫dt→e−kt Obteniendo este valor del factor de integración.
Entonces:
Donde nos queda que: P (t )=C x ekt
Recordamos las condiciones iniciales de t=0 ; P(0)= C x ek (0 )
p (0 )=C xe0=C x 1=c
peroC=P (0 )=Po
Ahora calculo k:
En conclusión la cantidad real Po de bacterias presentes en el tiempo t=0 no influyo para la determinación del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara y el tiempo requerido para que una población inicial de 100 de bacterias siempre será aproximadamente 2,71 horas.
Ejercicio de Carbono 14
Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14, calcule la edad del fósil.
Solución:
Quedaría: dA/dt=KA, cuando A(0)=Ao
dA/dt-KA=0
Sacamos el factor de integración e− ∫ kdt=e−k ∫ dt→e−kt
Lo multiplicamos por todos los miembros
Entonces:
Para t=5600 años (constante del c-14) se tiene que: A(5600)= Ao/2
Luego: A(5600)= Ao x ek (5600 )