El Algebra Lineal es la rama de lasmatemáticas que estudia conceptos talescomo vectores, matrices, sistemas deecuaciones lineales y en un enfoque masformal espacios vectoriales ytransformaciones lineales.

1 3 1 1 1 0 0 /3

2 1 2 -1 0 1 0

3 1 1 2 0 0 1

Para encontrar la inversa de lamatriz debemos iniciar porencontrar primero la diagonal de los1, dividiendo siempre por el mismonumero (ejemplo; 3 / 3 = 1) quedeseamos convertir en 1 así:Dividimos la ecuación 1 por elnumero 3 para hallar el primer 1.

1 1/3 1/3 1/3 0 0

1 2 -1 0 1 0 /2

1 1 2 0 0 1

1

23

Dividimos la ecuación 2 porel numero 2 para hallar elsegundo 1.

2 PASO

1 PASO

3 PASO

1 1/3 1/3 1/3 0 0

1/2 1 -1/2 0 1/2 0

1 1 2 0 0 1 /2

1

2

3

Dividimos la ecuación 3 por el numero 2 para hallar el tercer 1.

4 PASO

1 1/3 1/3 1/3 0 0

1/2 1 -1/2 0 1/2 0

1/2 1/2 1 0 0 1/2

1

2

3

Encontramos la diagonal 1.

5 PASO

1 1/3 1/3 1/3 0 0

1/2 1 -1/2 0 1/2 0 (*-1/3)

5/6 0 1/2 1/3 -1/6 0

1

2

1

Ahora vamos a buscar el primer 0 de laecuación 1 (color naranja), para lo cualdebemos coger la ecuación que deseamosconvertir (1) junto con la ecuación que tengaun 1 debajo o encima del numero quevallamos a convertir en 0 (2), entoncespasamos el numero que deseamos convertiren 0 a multiplicar con el signo contrario enla ecuación que contenga el 1 y realizamos lasiguiente operación: Multiplicamos deafuera hacia adentro y le sumamos elnumero de arriba en toda la ecuación,ejemplo: (-1/3 * 1/2 + 1 = 5/6 y asísucesivamente hasta que obtengamos lanueva ecuación.

6 PASO

5/6 0 1/2 1/3 -1/6 0 /(5/6)

1/2 1 -1/2 0 1/2 0

1/2 1/2 1 0 0 1/2

1

2

3

Ubicamos nuestra nueva ecuación y ahora vamos a recuperar el 1 de la ecuación 1 que hemos perdido di viendo entre el mismo numero 5/6 toda la ecuación.

1 0 3/5 2/5 -1/5 0

1/2 1 -1/2 0 1/2 0

1/2 1/2 1 0 0 1/2

1

2

3

Tenemos nuestra nueva ecuación al recuperar el numero 1 de la Ecuación 1.

7 PASO

8 PASO

1 0 3/5 2/5 -1/5 0 *(-1/2)

1/2 1 -1/2 0 1/2 0

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

1

22

Al recuperar nuestro numero 1, ahoravamos a buscar el 0 de la ecuación 2,tomando como referencia la Ec 1 y la Ec 2,pasando el numero que deseamosconvertir en 0 a multiplicar con el signocontrario en la ecuación que contenga el 1y realizamos las correspondientesoperaciones de multiplicación y suma.

9 PASO

1 0 3/5 2/5 -1/5 0

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

1/2 1/2 1 0 0 1/2

1

2

3

1

Tenemos nuestra nuevaecuación, y ahora vamos aencontrar el tercer cero.

1 0 3/5 2/5 -1/5 0 *(-1/2)

1/2 1/2 1 0 0 1/2

0 1/2 7/10 -1/5 1/10 1/2

1

3

3

Ahora vamos a buscar el 0 de laecuación 3, tomando como referenciala Ec 1 y la Ec 3, pasando el numeroque deseamos convertir en 0 amultiplicar con el signo contrario enla ecuación que contenga el 1 yrealizamos las correspondientesoperaciones de multiplicación ysuma.

10 PASO

10 PASO

1 0 3/5 2/5 -1/5 0

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

0 1/2 7/10 -1/5 1/10 1/2/(7/10)

1

2

3

Ubicamos nuestra nueva ecuación yahora vamos a recuperar el 1 de laecuación 3 que hemos perdidodividiendo entre el mismo numero7/10 toda la ecuación.

1 0 3/5 2/5 -1/5 0

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

0 5/7 1 -2/7 1 5/7

1

2

3

11 PASO

Tenemos nuestra nueva ecuación alrecuperar el numero 1 de la Ecuación 3.

12 PASO

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0 *(-5/7)

0 5/7 1 -2/7 1 5/7

0 0 11/7 -1/7 -2/7 5/7

2

3

3

Ahora vamos a buscar el segundo 0 dela ecuación 3, tomando comoreferencia la Ec 2 y la Ec 3, pasando elnumero que deseamos convertir en 0a multiplicar con el signo contrario enla ecuación que contenga el 1 yrealizamos las correspondientesoperaciones de multiplicación ysuma.

13 PASO

1 0 3/5 2/5 -1/5 0

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

0 0 11/7 -1/7 -2/7 5/7/(11/7)

1

2

3

Ubicamos nuestra nueva ecuación yahora vamos a recuperar el 1 de laecuación 3 que hemos perdidodividiendo entre el mismo numero11/7 toda la ecuación.

14 PASO

1 0 3/5 2/5 -1/5 0

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

0 0 1 -1/11-2/115/11

1

2

3

Tenemos nuestra nueva ecuación alrecuperar el numero 1 de la Ecuación 3.

15 PASO

1 0 3/5 2/5 -1/5 0

0 0 1 -1/11-2/115/11*(-3/5)

1 0 0 5/11 -1/11-3/11

1

3

1

Ahora vamos a buscar el segundo 0 dela ecuación 1, tomando como referenciala Ec 1 y la Ec 3, pasando el numero quedeseamos convertir en 0 a multiplicarcon el signo contrario en la ecuaciónque contenga el 1 y realizamos lascorrespondientes operaciones demultiplicación y suma.

16 PASO

1 0 0 5/11 -1/11-3/11

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

0 0 1 -1/11-2/115/11

1

2

3

Tenemos nuestra nueva ecuación, y vamos aencontrar el ultimo cero.

17 PASO

0 1 -4/5 -1/5 3/5 0

0 0 1 -1/11-2/115/11*(4/5)

0 1 0 -3/115/11 4/11

2

3

2

Ahora vamos a buscar el segundo 0 de laecuación 2, tomando como referencia la Ec 2y la Ec 3, pasando el numero que deseamosconvertir en 0 a multiplicar con el signocontrario en la ecuación que contenga el 1 yrealizamos las correspondientes operacionesde multiplicación y suma.

18 PASO

1 0 0 5/11 -1/11-3/11

0 1 0 -3/115/11 4/11

0 0 1 -1/11-2/115/11

1

2

3

Como resultado tenemosnuestra Matriz Inversa.

3 1 1 5/11-1/11-3/11 1 0 0

1 2 -1 X -3/115/11 4/11 = 0 1 0

1 1 2 -1/11-2/115/11 0 0 1

Tomamos la Matriz inicial y la multiplicamos por la inversaque nos dio como resultado, esto debe ser igual a la MatrizIdentidad.

Para realizar la correspondiente comprobación debemosmultiplicar la primera fila por la primera columna (1.1), por lasegunda columna (1.2) y por la tercera columna (1.3) y asísucesivamente, esto nos debe dar como resultado la MatrizIdentidad.

1.1=3x5/11 + 1x-3/11 + 1x-1/11 = 1

1.2= 3x-1/2 + 1x5/11 + 1x-2/11 = 0

1.3=3x-3/11 + 1x4/11 + 1x5/11 = 0

2.1=1x5/11 + 2x-3/11 + -1x-1/11 = 0

2.2=1x-1/11 + 2x5/11 + -1x-2/11 = 1

2.3=1x-3/11 + 2x4/11 + -1x5/11 = 0

3.1=1x5/11 + 1x-3/11 + 2x-1/11 = 0

3.2=1x-1/11 + 1x5/11 + 2x-2/11 = 0

3.3=1x-3/11 + 1x4/11 + 2x5/11 = 1