DEPARTAMENTO DE FÍSICA

MANUAL DE LABORATORIO DE FÍSICA I

Corina Burgos Castillo

I N D I C E

PRESENTACIÓN...................................................................1 INTRODUCCIÓN...................................................................2

I.- Instrumentos de Medición........................................................3 I a. Apreciación o Exactitud de una Escala..............................3 I b. Escalas Nonio: Vernier (Pié de Metro)..............................5 I c. Micrómetro o Tornillo Micrométrico.................................7 I d. Cronómetro........................................................................8 I e. Catetómetro………………………………………............9 I f. Dinamómetro.......................................……...……….....10 I g. Balanza………………………………………...……......11 I h. Regla de Medir (el metro)......…………………....…......12 II.- Sistema de Unidades...............................................................13 III.- Notación Científica.................................................................14 IV.- Prefijos del Sistema Internacional..........................................15 V.- Operaciones con Potencias de 10............................................15 VI.- Aproximaciones Numéricas....................................................16 VII.- Orden de Magnitud................................................................ 17 VIII.- Cifras Significativas.............................................................. 18 IX.- Cifras Significativas en operaciones aritméticas................... 18 Ejercicios............................................................................... 20 Experimento Sugeido. Medición de Magnitudes Físicas I.....23 X.- Medición y Errores..................................................................25 XI.- Clasificación de los Errores....................................................26 XII.- Propagación de Errores...........................................................27 Ejercicios................................................................................32 Experiencia Sugerida. Medición de Magnitudes Física II.....35 XIII.- Gráficos..................................................................................37 XIII a. Gráficos de algunas funciones elementales y su Conversión a la forma lineal......................................37 XIII b. Método de los Mínimos Cuadrados...........................44 XIV.- Escalas....................................................................................49 XV.- Interpolación y Extrapolación................................................53 XIV.- Informe..................................................................................54

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I N T R O D U C C I O N

En este Manual de Laboratorio se iniciará enseñando al alumno a utilizar

instrumentos de medición, como la regla, balanza, Vernier ( pié de metro), etc, orientado

fundamentalmente a la buena utilización de la precisión o incertidumbre de los

instrumentos en las mediciones realizadas con cada uno de ellos.

Las mediciones obtenidas en un trabajo experimental necesitan de un trato

especial, por lo tanto es fundamental ver el carácter de las medidas, la exactitud de ellas,

los sistemas de unidades y los tipos de errores.

Luego las medidas se ordenan en una tabla de valores y posteriormente se

grafican para su interpretación, estableciéndose una relación entre las variables medidas,

esto último permite obtener una ley física.

Finalmente la información recolectada en el proceso anterior se debe redactar

en un informe final del experimento realizado. Por último, se entregan normas para la

elaboración del trabajo experimental.

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P R E S E N T A C I O N

Este Manual de Laboratorio está orientado a entregar al alumno

conceptos, técnicas usuales y conocimientos básicos necesarios para el desarrollo del

laboratorio de Física, en particular la mecánica clásica de los primeros años de estudios

universitarios. En consecuencia, para el logro de este objetivo se entregarán aspectos

fundamentales de matemática, estadística, instrumentación y conceptos básicos de física

experimental. Algunos tópicos tratados no se han desarrollado con toda la formalidad

matemática requerida, pues no es el objetivo de este compendio.

Este Manual de Laboratorio se enmarca en los objetivos del Proyecto

MECESUP UCN-9905 orientado al mejoramiento del proceso enseñanza aprendizaje de

la Física para las carreras de ciencias e ingeniería de la Universidad Católica del Norte.

Dada la orientación específica de este trabajo no se pretende un

estudio exhaustivo y acabado de cada uno de los temas tratados, puesto que solo se

pretende preparar al alumno y facilitarle el desarrollo de las experiencias contempladas

en el programa de la asignatura de Física I ( Mecánica).

Como una declaración de buenas intenciones, el presente trabajo podría

ser continuado con un segundo aporte orientado a elaborar un manual de Laboratorio con

guías correspondientes a las experiencias pertinentes.

Para terminar, quisiera agradecer a mis colegas Dra. María Loreto

Ladrón De Guevara y Dr. Miguel Murphy G por su colaboración, al Departamento de

Física y al Proyecto MECESUP UCN-9905 por la oportunidad y facilidades para el

desarrollo de este Manual de Laboratorio, que espero cumpla con su objetivo

fundamental: que sea de utilidad para los alumnos que cursen la asignatura de Física

Mecánica en el área de ciencias e ingeniería.

Corina M. Burgos C. Departamento de Física UCN

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I.- INSTRUMENTOS DE MEDICION

Las magnitudes físicas son medidas que en la práctica se realizan en forma directa o indirecta. La forma directa consiste en utilizar un instrumento cuya escala permita leer el valor de una magnitud desconocida. La forma indirecta consiste en utilizar alguna relación matemática y/o geométrica que permita saber el valor de la magnitud desconocida. Por ejemplo, el peso de los cuerpos se miden directamente mediante dinamómetros. También se puede medir indirectamente el peso de los cuerpos, utilizando una balanza para obtener la masa del cuerpo y finalmente se obtiene el peso a través de ecuaciones (fórmulas). Toda medición directa o indirecta requiere siempre del uso de instrumentos que posean una escala para realizar la lectura de una medición. Existen dos grupos de instrumentos: en el primer grupo están los instrumentos que tienen una sola escala lineal para medir, como las reglas, termómetros, etc y los que poseen una escala lineal fija y otra auxiliar móvil, adherida a la primera, que permite aumentar la exactitud de la medida, como el Vernier o Pié de metro, el Catetómetro, etc. En el segundo grupo están los que poseen escalas lineales circulares que giran frente a una aguja fija, como los que miden frecuencia, balanza de baño, etc. y los que poseen escalas no lineales, como el multímetro. Otros instrumentos, como los que tienen una escala digital, no se encuentran dentro de ésta clasificación.

I a.- APRECIACIÓN O EXACTITUD DE UNA ESCALA

Al iniciar un trabajo con instrumentos de medición se debe analizar la escala para saber en qué unidades mide y cuál es el intervalo de medición entre línea y línea. Para conocer el intervalo de medición se verifica si la escala es lineal o no. Una escala lineal se caracteriza porque la diferencia entre dos números consecutivos es siempre constante. El cociente entre dos números consecutivos y el intervalo comprendido entre

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ellos (número de líneas), entrega el mínimo valor que puede medirse con esa escala. A este valor se le llama precisión o exactitud del instrumento. En forma análoga se determina la precisión de otras escalas lineales. Ejemplo cm 10 11 12 El mínimo valor que mide la escala es 1.0/10 de cm o sea 0.1 cm

Para el caso de las escalas no lineales se procede como en el caso anterior, pero deberá repetirse el cálculo de la precisión en cada zona de la escala. Ejemplo

cm .1010

0.110

cm )0.110.12(Precisión ==−

=

5 Cuando los instrumentos son de mala calidad o están deteriorados por el uso, el error de calibración aumenta y puede sobrepasar la exactitud de la escala. Así, si la precisión de un dinamómetro es de 0.2 N se justificará hacer lecturas, tales como, 7.4 N o 10.8 N, pero si el dinamómetro está deteriorado por el uso, la precisión puede ser de 0.5 o más, por lo que la décima de las lecturas carecen realmente de significado. Los instrumentos de medición deben ser revisados periódicamente por instrumentistas para evaluar los errores de calibración que comete cada instrumento después de algún tiempo de uso.

I b.- ESCALAS NONIO: VERNIER

( pié de metro ) Hay instrumentos que pueden aumentar su precisión agregando a la escala fija una escala auxiliar móvil, llamada NONIO. Cuando es necesario medir longitudes con una precisión mejor que la resolución de la escala del instrumento se recurre a un sistema inventado por el portugués Pedro Núñez (s.XVI, conocido por su versión latina de nonius) y un siglo después puesto en practica por Pedro Vernier, razón por la cual dicho dispositivo se llama Nonio o Vernier. A través de un ejemplo se explicará la forma de utilizar el Vernier. La fig.1 muestra un objeto “A” del cual se desea determinar su longitud. Primero se determina la precisión o exactitud de la escala fija (regla). En la escala fija se aprecia hasta el mm, es decir: en seguida se determina la precisión del nonio. Como se observa en la fig. 2, el nonio tiene 20 divisiones en una longitud de 39 mm de la escala fija (regla) de modo que su exactitud es ∆ = 1 / 20 mm = 0.05 mm. Esto significa que cada división del nonio equivale a 0.05 mm. En el ejemplo de la fig.1, el cero del nonio sobrepasa 11 divisiones de la escala fija (regla) y una fracción de milímetros; la séptima división del nonio coincide con una

mm 110

mm )1020(Precisión =−

=

6 línea de la escala fija y la fracción decimal es 14(0.05 mm) = 0,70 mm. De manera que la lectura correcta de la longitud del objeto “A” es, 11.70 mm. Este resultado es confiable si el cero de la escala fija coincide con el 0 del nonio.

Fig. 1

Fig. 2

A

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I c.- MICROMETRO O TORNILLO MICROMETRICO El tornillo micrométrico es un instrumento que se utiliza para medir espesores; es fácil de descalibrar, por lo que se recomienda utilizarlo con mucho cuidado. Este instrumento, que se ilustra en la fig.3, tiene la forma de una pinza ( lado izquierdo de la fig. 3), que es donde se coloca el objeto a medir. En el lado derecho está el tornillo”T” que a medida que gira, la pinza se va abriendo y se descubre una escala lineal fija que está sobre un cilindro macizo, generalmente con una escala en milímetros. En cada vuelta el tornillo avanza 1 mm de la escala fija. La periferia del tornillo esta dividida en 100 partes. Al medir, por ejemplo, un objeto “B”, quedan al descubierto un número de intervalos que indica el número de milímetros enteros que hay entre los extremos de “B”, la división centesimal que hay entre la periferia del tornillo “T”, indica las centésimas de milímetros. En la fig. 3 la lectura es: 16.45 mm.

Fig. 3

T

B

8 Se recomienda no apretar demasiado el tornillo, pues puede deformarse el objeto cuyo espesor se desea medir, lo cual puede variar la precisión de 1/100 mm que se pretende obtener con el instrumento. Para evitar este tipo de error se debe ejercer una presión suave sobre el objeto a medir. La descripción del uso de estos dos instrumentos se consideran importantes por la utilización en los laboratorios de mecánica de los primeros cursos de Física.

I d.- CRONÓMETRO

El cronómetro se usa para medir intervalos de tiempo, pero se diferencia del reloj que se usa para dar la hora. Es evidente que bajo ciertas condiciones el reloj puede servir de cronómetro, pero en el laboratorio es normal usar un instrumento que se pueda detener o continuar midiendo bajo el control de un interruptor u otro mecanismo. Los cronómetros en general son instrumentos de alta exactitud, pero la precisión depende del error en hacer parar y andar el instrumento. Por motivo de diferencias en el tiempo de reacción, el error en las primeras mediciones puede ser del orden de 0.5 s y con la práctica se puede lograr 0.2 s.

Fig. 4

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I e.- CATETOMETRO

El catetómetro sirve para medir diferencias de alturas entre dos puntos. Este consiste en una regla metálica con una escala fija que se dispone verticalmente sobre una base, y sobre la cual se desliza un nonio con un pequeño anteojo acoplado. Subiendo y bajando el anteojo con el nonio se puede medir la diferencia de altura entre dos puntos deseados, ubicados a poca distancia, uno o dos metros, por delante del catetómetro.

Fig. 5

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I f.- DINAMÓMETRO

El Dinamómetro mide la fuerza con que se actúa sobre un cuerpo. Se sostiene el dinamómetro por un extremo y por el otro se engancha al cuerpo sobre el cual se va a aplicar la fuerza. En el interior del instrumento existe un resorte que al alargarse por efecto de la fuerza mueve una aguja por una escala fija lineal, la que una vez estabilizada indica el valor de la fuerza.

Fig. 6

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I g.- BALANZA La balanza sirve para medir la masa de los cuerpos. Existen varios tipos, en los cuales la medición de masa se hace comparando la del cuerpo de masa desconocida con la masas patrón calibradas que posee el instrumento. Una vez que se logra el equilibrio, el indicador, llamado también aguja, deberá oscilar levemente en torno a una raya central. Otras tienen un largo brazo con una escala fija por el cual desliza una pesa, que de acuerdo a su posición, equilibra los cuerpos de masas desconocidas colocadas sobre un platillo fijo. También existen de dos o tres brazos paralelos (fig. 7) cada uno con ranuras donde se ajusta la pesa que desliza por cada brazo, indicando el valor de la masa.

Fig. 7

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I h.- REGLA DE MEDIR ( el metro)

La regla de medir es uno de los instrumentos más simples que existen y su escala es lineal. Una de sus ventajas es su construcción barata y puede dar resultados precisos hasta dentro de 1/5 de mm. Sin embargo, para conseguir esta precisión deben evitarse ciertos errores, tales como el error de paralaje (si hay un espacio entre el objeto que se está midiendo y la regla y la línea de visión no es perpendicular a la regla, la medición es incorrecta), el error en el cero (esto se debe a que el extremo de la regla se encuentre gastada o haberse falseado la posición del cero por cualquier causa) y calibración (la escala de la regla puede estar incorrectamente marcada. Por lo tanto, la regla debe calibrarse colocándola lado a lado de una regla patrón).

Fig. 8

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II.- SISTEMAS DE UNIDADES

Para trabajar en física con las leyes y sus ecuaciones correspondientes es importante hacer uso de las unidades de medición. Para esto existen convenios internacionales que estandarizan los sistemas de unidades. Actualmente tenemos el sistema internacional (SI), donde el estándar de longitud es el metro, del tiempo el segundo y de la masa el kilógramo. Este sistema se llamaba antes sistema MKS ( metro-kilogramo-segundo) Un segundo sistema métrico es el CGS, donde el centímetro, el gramo y el segundo son unidades estándar de longitud, masa y tiempo, respectivamente. El sistema británico de ingeniería tiene como unidades estándares el pie para la longitud, la libra para la fuerza y el segundo para el tiempo. En física, son muy importantes las cantidades físicas debido a que las leyes se fundamentan en ellas. Las cantidades físicas se clasifican en cantidades básicas y cantidades derivadas: las cantidades básicas se definen en términos de un estándar. Los científicos, recomiendan el mínimo de cantidades básicas que permitan una descripción completa del mundo físico. En el sistema SI son siete las cantidades básicas y se muestran en la tabla. *

Cantidad Unidad Abreviatura Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Cantidad de sustancia mol mol Corriente eléctrica ampere A Temperatura kelvin k Intensidad luminosa candela cd En la práctica, cada sistema de unidades que se adopta se fundamenta en la definición de tres magnitudes fundamentales: masa, longitud, tiempo, para la Mecánica (cuatro para Electomagnetismo: masa, longitud, tiempo, carga eléctrica). * Douglas C. Giancoli , Física para universitarios

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III.- NOTACIÓN CIENTÍFICA En ciencias, a veces se debe trabajar con números extremadamente grandes o pequeños. Los físicos por ejemplo, han logrado medir el diámetro de los átomos unos 0.000 000 0001 m. Por otra parte, la edad de la tierra se calcula en unos 5.000 000 000 de años. Debido a que estos números son engorrosos de leer y escribir resulta necesario adoptar una forma que simplifique su escritura y poder realizar operaciones con mayor comodidad. Surge entonces la Notación Científica que permite el uso de las potencias de 10 que es de enorme utilidad en estos casos, veremos algunos ejemplos.

- La masa de la Tierra es 5980 000 000 000 000 000 000 000 kg ; utilizando potencias de 10 se escribe 5.98 x 10 24 kg.

- El espesor de una hoja de papel de cuaderno es 0.00007 m; utilizando potencias de 10 se escribe 7 x 10 –5 m.

- Una cantidad negativa, tal como -357; utilizando potencias de 10 se escribe –3.57 x 10 2( distinto a 3.57 x 10 –2= 0.0375).

Con el objeto de uniformar la escritura con potencias de 10, adoptaremos el siguiente convenio: Al escribir un número real utilizando las potencias de 10 se elige un factor de valor absoluto entre 1 y 10 multiplicado por la potencia de 10 correspondiente, a esta forma de escritura se denomina notación científica. Número real = (factor numérico de valor absoluto entre 1 y 10) x (potencia de 10 de exponente adecuado) N = f x 10 α 1 < f < 10 Ejemplos: Notación Científica 32.01.......................................3.201 x 10 1 0.76.......................................7.6 x 10 –1 3493.002.....................................3.493002 x 10 3 604.00 x 10 - 4 ..........................6.0400 x 10 - 2

0.005370................................5.370 x 10 - 3

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IV.- PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL Los prefijos de origen griego más usados para expresar abreviadamente cantidades del tipo 10 n, siendo n un número real, son: Prefijo Factor Multiplicador Prefijo Factor multiplicador exa E 1.000.000.000.000.000.000 = 10 18 deci d 0.1 = 10 –1 peta P 1.000.000.000.000.000 = 10 15 centi c 0.01 = 10 –2 tera T 1.000.000.000.000 = 10 12 mili m 0.001 = 10 –3 giga G 1.000.000.000 = 10 9 micro µ 0.000.001 = 10 –6 mega M 1.000.000 = 10 6 nano n 0.000.000.001 = 10 –9 kilo k 1.000 = 10 3 pico p 0.000.000.000.001 = 10 –12

hecto h 100 = 10 2 femto f 0.000.000.000.000.001 = 10 –15 deca da 10 = 10 1 atto a 0.000.000.000.000.000.001 = 10 -18 Ejemplo: 1 megahertz = 10 6 Hz, 1 nanometro = 10 –9 m

V.- OPERACIONES CON POTENCIAS DE 10 Sean y dos números expresados en potencias de 10, entonces: 1.- 2.- 3.- ( p real ) 4.- ( si a = b )

aAN 101 ×= bBN 102 ×=

( ) ( ) ( ) baba BABANN +××=×××=× 10101021

bab

a

BA

BA

NN −×=

××

= 101010

2

1

( ) ( ) apppap AAN 10101 ×=×=

( ) aba BABANN 10101021 ×+=×+×=+

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VI.- APROXIMACIONES NUMÉRICAS Una cantidad física puede ser dada mediante un número que contenga muchas más cifras que las que se requieren, entonces se efectúa una aproximación numérica. Veamos el siguiente caso: el radio de giro de un planeta es R =1,758796 x 10 11 m y a) Se solicita usar sólo cuatro cifras, entonces, podemos escribir R = 1,759 x 10 11 m b) Si se quiere tres cifras numéricas R = 1,76 x 10 11 m c) Si se quiere dos cifras numéricas R = 1,8 x 10 11 m d) Si se quiere una cifra numérica R = 2 x 10 11 m En general, para aproximar un número se adopta el siguiente convenio: Sea un número de n cifras y se quiere aproximar a k cifras ( n > k). 1.- Se aumenta en una unidad si el número formado por las últimas n – k cifras es mayor que 5 x 10 n–k–1. 2.- No se modifica si el número formado por las últimas n-k cifras es menor que 5x10 n-k-1 3.- Cuando el número formado por las últimas n-k cifras es igual a 5 x 10 n-k-1, se aumenta si la k-ésima cifra es impar y no se modifica si es par (el cero se considera par).

17 En el ejemplo anterior , sin considerar la potencia 10 11 ni la unidad : n cifras k cifras n-k cifras 1 , 7 5 8 7 9 6 1ª k-ésima n-ésima En este ejemplo se tiene 7 cifras, entonces n = 7 y se solicita aproximar a cuarto cifras, de modo que k = 4, el número formado con las últimas n-k cifras es 796, luego: 5 x 10 7-4-1 = 500 ⇒ 500 < 796 por tanto la k-ésima cifra (el 8) aumenta en una unidad de acuerdo al primer punto del convenio y el número solicitado se escribe en forma correcta como 1,759 x 10

11 m.

VII.- ORDEN DE MAGNITUD Se acostumbra dar el nombre de orden de magnitud de un valor (o magnitud física) a la potencia de 10 más cercana al valor. Usted seguramente no sabe cuánto es el diámetro de un lápiz grafito (8.2 mm aproximadamente). Sin embargo, no tendrá dificultad en indicar cuál es la potencia de 10 más cercana al valor de ese diámetro. Es decir, podrá decidir con facilidad si el diámetro del lápiz está más cerca de 10 0 mm o de 101 mm. El orden de magnitud del lápiz grafito es 10 1 mm, puesto que ésta es la potencia de 10 más cercana al valor del diámetro. Otra forma conveniente de obtener el orden de magnitud de un valor es operar con los valores de ellas en notación científica.

18 Ejemplo: 563.264 x 10 3 = 5.63264 x 102 x103 =101x105 =106 : el orden de magnitud es 10 6 2.86169 x 10 9 = 10 0 x 10 9 = 10 9 : el orden de magnitud 10 9

VIII.- CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Toda medida realizada tiene que ser obtenida con un número determinado de cifras significativas. El número de cifras, contado desde la izquierda, hasta la primera cifra afectada por el error, inclusive, se denomina número de cifras significativas. No se consideran los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero. Los ceros a la derecha sí son considerados cifras significativas. Ejemplo: Cifras Significativas 5.0 cm……..............................2 0.78 cm…................................2 0.0306 cm................................3 39.04 cm....................................4 100.080 cm.............................….6 Es conveniente usar notación científica y en ese caso las lecturas anteriores se escriben: Cifras significativas 5.0 cm …....................................2 7.8 x 10 –2 cm …........................2 3.06 x 10 –3 cm …......................3 5.904 x 10 cm ...........................4 1.00080 x 10 2 cm .....................6

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IX.- CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN OPERACIONES ARITMETICAS Se aplican los siguientes criterios:

a) Adiciones y sustracciones : la operatoria de la adición y sustracción debe realizarse aritméticamente, pero el resultado final debe dejarse con el mismo número de decimales que tenga el dato con menos decimales, aplicando el criterio de aproximaciones numéricas descrito en página 16. Ejemplo: El semiperímetro del rectángulo de largo L = 1.7 m y ancho a = 0.94 m, es L + a = (1.7 + 0.94) m = 2.64 m = 2.6 m.

b) Multiplicación, divisiones, potencias, raíces: después de realizadas las operaciones aritméticas, el número de cifras significativas del resultado será igual al número de cifras significativas del dato con menos cifras significativas.

Ejemplo: Calcular el volumen de un paralelepípedo de lados a = 13.2 cm (3 cifras significativas), b = 9.6 cm (2 cifras significativas), c = 0.7 cm (1 cifra significativa), el resultado del volumen es: V = a x b x c = 13.2 x 9.6 x 0.7 cm3 = 88.704 cm3 = 9 x 101 cm3. Nuevamente se aplicó el criterio de aproximaciones numéricas al resultado.

c) Constantes: Aquellas que no provienen de mediciones, no influyen en el resultado, siempre que sean racionales y se expresen como fracciones de enteros; pero como los números irracionales (π = 3.14159....), tienen infinitas cifras significativas se usan al menos con la misma cantidad de cifras significativas que el dato con mas cifras significativas disponible, de lo contrario se estaría introduciendo un error adicional indeseado, evitable y no de carácter experimental.

20 Ejemplo: Calcular el volumen de un cilindro circular recto de radio 5,4 cm y altura 54,6 cm. En la fórmula , V = π r 2 h, la constante π (= 3.14159....) debe usarse al menos con tres cifras significativas. V = π r 2 h = 3.14 (5.4) 2 54.6 cm 3 = 4944.3696 cm 3 = 4.9 x 10 3 cm 3

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EJERCICIOS

1.- Indique la lectura a) Vernier:............................ cm

b) Probeta:......................... 2.- Aproximar a tres cifras numéricas las cantidades a) 73450 ; 7,3459 ; 7,245 b) 62351 ; 6,235 ; 6,2355 3.- Calcular el orden de magnitud de las operaciones a) ( 4x10 4 x 9x10 –7) / ( 3x106 x 7x1012) b) ( 6x10 –4 x 8x10 –7 x 3x10 15 ) c) 68,2 x 0,0032 d) ( 354,2 x 10 3 ) (0,132)

0 1 2 3

50 40 30

ml

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 / 10

22 4.- Aplique el criterio de cifras significativas en las siguientes operaciones

a) 1.25 + 4.786 + 3.7 =.................... b) 558.626 - 43.5371 =…............................... c) 2.3 x 3.45 =............................... d) [4.567 x 10 3 ] [67.893 x 10 –2 ] =................. e) √ 4 x √ 4.5 =................................ f) 18.7 – 2 √ 64 = ............................................. 5.- Escribir en notación científica las siguientes magnitudes físicas a) Constante gravitacional G = 0,00000000000667 [ N m2 / kg ] ............................. b) Rapidez de la luz c = 299.790.000 [ m / s ] ................................................ c) Carga del electrón e = 1.602.192 x 10 –27 [ C ] ........................................... d) Radio de la Tierra R T = 6.378.00 [ m ] ....................................................... e) Acel. de gravedad g = 9803 x 10 –3 [ m / s2 ] .............................................. 6.- Determine el número de cifras significativas de las siguientes magnitudes físicas

a) 632.5 [s]................. b) 0.000362 [m]................. c) 67.538 x 106[kg]……………. c) 8437292[km]……. e) 0.032700 [kg]…………. f ) 0.000083 [km]……………….

g) 0.489000[cm]......... h) 53.7 x 10 –4[cm]............. i ) 0.06330 [gr]………………… 7.- Aproximar al número de cifras numéricas indicadas en paréntesis los números a) 0.0065 ( 2 ).................b) 36.284 x 10 –3 ( 1 ).................c) 7.4550 ( 3 )..................... d) 93525 ( 4 )..................e) 0.852 x 10 6 ( 2 )..................... f) 0.5293 ( 2 )...................... 8.- Aproxime a tres cifras numéricas dándole la forma de notación científica a los números

a) 1.595 x 10 -4 ........................................ b) 184.4079................................................. c) 0.000034519........................................ d) 742.86 x 10 6...........................................

e) 725.49000............................................ f) 0.459 x 10 –2...........................................

23 9.- Dada la expresión : 4 [ 8,17 x 10 –5 ] 2 [7,41 x 10 6 ] X = 9,065 x 10 4

determine su valor y luego aproxime a tres cifras numéricas.

10.- Dada la expresión:

[ 83,6 x 10 –3 ] 4 [ 76,90 x 10 –5 ] Y = 100 [37,1 x 10 5 ]

determine su valor y luego expréselo en notación científica

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EXPERIMENTO SUGERIDO

MEDICION DE MAGNITUDES FÍSICAS I. OBJETIVOS: - Aprender a manipular con destreza y habilidad los instrumentos de medición: Vernier, Tornillo Micrométrico, Balanza y Regla. - Aprender los conceptos “cifras significativas”, ”notación científica” y

“orden de magnitud”, criterios de aproximación y forma de expresar el resultado de una medición. INTRODUCCIÓN: En esta sesión de laboratorio se utilizarán diferentes instrumentos para medir longitudes y masas, y así determinar volúmenes y densidades de diferentes cuerpos geométricos. Con esta actividad se pretende aplicar algunos conceptos y la forma de escribir una medida dadas en las secciones anteriores. MATERIALES: Tornillo Micrométrico, Vernier, Regla, Balanza, y una esfera metálica pequeña. ACTIVIDADES 1.- Mida el diámetro de la esfera con los instrumentos que se indican, escriba su valor e indique el número de cifras significativas (C.S). Tornillo Micrométrico...............................mm C.S................................................ Vernier ......................................................mm C.S................................................ Regla.........................................................mm C.S................................................

25 2.- Exprese las medidas en METROS y luego escriba en Notación Científica (N.C.). Tornillo Micrométrico..............................m N.C............................................... Vernier .....................................................m N.C............................................... Regla.........................................................m N.C............................................... 3.- Mase la esfera e indique el Orden de Magnitud (O.M.) de la medida. Balanza....................................................gr O.M................................................ 4.- Determine el volumen de la esfera (V esf. = 4 / 3 π r 3 ) en cm3, utilizando las medidas hechas con los tres instrumentos. Aplique aproximaciones numéricas y cifras significativas. 5.- Determine la densidad de la esfera (densidad = masa / volumen) en gr/cm3, utilizando cada uno de los volúmenes calculados anteriormente. Aplique aproximaciones numéricas y cifras significativas.

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X.- MEDICIONES Y ERRORES

El resultado de una medición física no puede considerarse algo en sí exacto, por estar limitado por la precisión propia del instrumento y otros factores que pueden alterar el resultado obtenido en relación al valor real de la magnitud física. Al presentar el resultado de una medición, es entonces necesario dar cuenta no sólo del valor numérico que entrega el aparato, sino de una “incertidumbre” asociada a ese valor. Por ejemplo, si como resultado de la medición con una balanza de una masa M obtenemos la cantidad 2,923 g, ésta debe ser expresada de la forma M = 2.923 ± 0.001 gr, donde el valor 0.001 g corresponde en este caso a la incertidumbre de la medición. Esto quiere decir que el valor real de la masa M posiblemente no es menor que 2.923 – 0.001 g ni mayor que 2.923 + 0.001 g, o en otras palabras, se encuentra dentro de un intervalo determinado por la incertidumbre. Cualquiera que sea la medida a realizarse, dicha medida es imprecisa y esto depende de varios factores como la calidad de los instrumentos, las condiciones en que se realizaron las medidas en el laboratorio, el método utilizado, la habilidad del experimentador, etc. La teoría de errores estudia fundamentalmente este problema y llama a la incertidumbre, error de la medida o error absoluto. Este error se designa por δx y se define como la diferencia entre el valor medido X y el valor verdadero Xo :

δx = X – Xo . Pero en la práctica no se conoce el valor verdadero Xo, por lo que es conveniente hablar del módulo δx de la medición y definirlo como la diferencia entre el valor medido, X y el valor verdadero Xo :

δx = | X – Xo |

27 De esta definición resulta:

Xo = X ± δx , lo que indica que el valor verdadero Xo no es posible precisar. También en la teoría de errores para las mediciones se utiliza el concepto de error relativo (e.r). Este se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medido:

e.r. = δx / X , y se expresa con un decimal, también se puede expresar como un porcentaje, pero en este caso se le llama error porcentual, y se define:

E% = e.r. x 100 que indica el error cometido en 100 unidades de la magnitud medida, por lo tanto nos indica la precisión de la medida. En la teoría de errores es más cómodo trabajar con el error porcentual que con el error absoluto, ya que la primera da una precisión de la medición y la segunda da una exactitud de la medición.

XI.- CLASIFICACION DE LOS ERRORES

Los errores se clasifican en: errores sistemáticos, errores casuales o aleatorios y errores personales. a) Errores Sistemáticos Son aquellos que se repiten constantemente en un experimento o durante una serie de medidas afectando de manera sistemática los resultados finales, siempre de la misma forma si se cumplen las mismas condiciones de experimentación.

28

Fuentes de errores sistemáticos: error de calibración de los instrumentos, condiciones experimentales no apropiadas, técnicas imperfectas, formulas incorrectas, error de paralaje (lectura hecha por el observador bajo un ángulo de inclinación), etc. b) Errores casuales o aleatorios Son aquellos que siempre están presentes en la medida y no es posible determinar su causa. Cuando son significativos, se pueden disminuir aumentando el número de medidas. Tienen tratamiento matemático. Fuentes de errores casuales: error de apreciación en la lectura del instrumento, condiciones de trabajo (las condiciones ambientales pueden cambiar). c) Errores personales Son aquellos errores ocasionados por equivocaciones del experimentador y se pueden evitar aumentando el cuidado y la atención al efectuar las mediciones. El objetivo principal de la teoría de errores es estudiar un método matemático que debe darse a los diferentes resultados obtenidos al medir una magnitud , para tratar de hallar el valor más probable, o sea, la mejor estimación de la medida buscada.

XII.- PROPAGACIÓN DE ERRORES Cuando se operan dos valores con sus respectivos errores (error absoluto), de algún modo éstos errores participan en las operaciones y se propagan hasta el resultado. Existen reglas matemáticas de derivación para la propagación de los errores que se pueden ver en cursos más avanzados. Aquí se darán a conocer otras reglas para las que es suficiente el álgebra, pues éstas pueden ser útiles en este curso.

29 ADICION Y SUSTRACCIÓN En general, sea A y B dos medidas y δA y δB sus respectivos errores. La suma de estas medidas es: Si consideramos sus respectivos errores habría que plantear: I.- de tal modo que , es la suma de los errores: Esta regla es válida para más de dos sumandos. Sea donde A y B tienen los errores δA y δB, respectivamente. Teniendo en cuenta esto se tiene: II.- Note que aunque las medidas se restan los errores se suman: Esta regla es válida para varios términos restados. Ejemplos: 26, 3 ± 0, 1 cm 25, 0 ± 0, 2 cm + 8, 5 8 ± 0, 0 1 cm _ 15, 0 3 ± 0, 0 1 cm 34, 8 8 ± 0, 1 1 cm 9, 9 7 ± 0, 2 1 cm El resultado correcto es: 34,9 ± 0,1 [cm] El resultado correcto es: 10,0 ± 0,2 [cm]

( ) ( ) ( ) ( )BABAs BABAS δδδδδ +±+=±+±=±

( ) ( ) ( ) ( )BABAR BABAR δδδδδ +±−=±−±=±

BAS +=

sδ ( )BAs δδδ +=

BAR −=

( )BAR δδδ +=

30 PRODUCTO Y COCIENTE Sea P = AB donde A y B tienen los errores δA y δB, respectivamente. Entonces: III.- La regla es válida para más de dos factores Sea C = A / B donde A y B tienen los errores δA y δB, respectivamente. Entonces: IV.- Ejemplos: ( 25,10 ± 0,05 ) cm ( 2,3 ± 0,1) cm = (25,10)(2,3) ± (25,10)(2,3)[0,05 / 25,10 + 0,1 / 2,3] = 57,73 ± 2,625 = 5,8 x 10 ± 0,3 x 10 cm2 El resultado correcto es: ( 5,8 ± 0,3 ) x 10 [cm2]

( )( )

+±=±±=±

BAABABBAP BA

BAPδδ

δδδ

+±=

BAAB BA δδ

1

+±=

±±

=±BAB

ABA

BAC BA

B

AC

δδδδ

δ

+±=

BABA BA δδ

1

31 445,25 ± 0,05 gr 445,25 445,25 24,7 ± 0,3 cm3 24,7 24,7 = 18,026316 ± 0,2209674 = (18,0 ± 0,2 ) gr / cm3 El resultado correcto es: (18,0 ± 0,2 ) [gr / cm3] POTENCIACION Y RADICACIÓN Una medida y su error absoluto elevado a un exponente n que puede ser mayor que 1 (potenciación) o menor que 1 (radicación), se procede así : la medida se eleva al exponente n más menos la medida elevada al exponente se multiplica por n y por el cociente entre el error y la medida. Se aplica el criterio de cifras significativas y aproximaciones numérica al resultado final. Si n > 1 ó n < 1, se tiene: V.- Ejemplo de potenciación: ( 83,4 ± 0,2 ) 2 = ( 83,4 ) 2 ± ( 83,4) 2 [ 2 x 0,2 / 83,4] = 6955,56 ± 33,36 = 69,6 x 102 ± 0,3 x 10 2 El resultado correcto es: ( 69,6 ± 0,3 ) 10 2

= ± [ 0,05 / 445,25 + 0,3 / 24,7 ]

×±=

AnA An δ

1

( )

×±=±=±

AnAAAM Annn

AMδ

δδ

32 Ejemplo de radicación: ( 15,3 ± 0,1) 1/ 2 = ( 15,3 ) 1/ 2 ± ( 15,3 ) 1/ 2 [ 1 / 2 x 0,1 / 15,3 ] = 3,9115214 ± 0,0127827 El resultado correcto es: 3,91 ± 0,01 NOTA: Se recomienda en todos los casos aproximar los resultados al final. CASOS ESPECIALES I.- Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por una constante física, dicha constante multiplica o divide a la medida y el error, aplicando al resultado final el criterio de cifras significativas y aproximaciones numéricas: Sea k una constante física, A una medida y δA su error, luego:

F = k ( A ± δA ) = kA ± kδA

Ejemplo Ia : Sea la constante física g, la aceleración de gravedad, y m la medida de una masa con su respectivo error. Se pide determinar el peso en newton (N). Peso = m g = 9,8 m / s 2 ( 3,1 ± 0,1 ) kg = ( 9,8 x 3,1 ± 9,8 x 0,1 ) kg m / s2 = ( 30,38 ± 0,98 ) N Resultado final: Peso = ( 30 ± 1 ) N

33 II.- Una medida con su respectivo error absoluto si se multiplica o divide por una constante matemática, dicha constante sólo multiplica a la medida. Al resultado final se aplica el criterio de cifras significativas y aproximaciones numéricas. Sea k una constante matemática, B una medida y δB su respectivo error, luego:

H = k ( B ± δB ) = kB ± δB

Ejemplo IIa.- Sea π la constante matemática y R una medida que corresponde al radio de un círculo, medido en cm. Se pide calcular el perímetro del círculo. Perímetro = 2 π R = 2(3,14) (2,34 ± 0,05) = 6.28 ( 2,34 ± 0,05) = 14.6952 ± 0,05 = 14,70 ± 0,05 Resultado final : Perímetro = (14,70 ± 0,05 ) cm Ejemplo IIb.- Sea π la constante matemática y R una medida que corresponde al radio de un círculo, medido en cm. Se desea calcular el área del círculo. Área = π R2 = 3.14 (2,23 ± 0,05) 2 = 3,14 [(2,34) 2 ± (2,34) 2 (2 x 0,05 / 2,34)] = 3,14 [5,4756 ± 0,234] = 17,1933.... ± 0,234 Resultado final: Área = (17,2 ± 0,2) cm2 En este ejemplo se desarrolla primero la potenciación ( fórmula V ) y luego se aplica la regla II (casos especiales).

34

EJERCICIOS

1.- De las medidas dadas, determine la(s) medida(s) que Ud. considere están erradas. Fundamente su respuesta. a ) (5,03 ± 0,1) cm ..................…………..... b) (3,10 ± 0,02) cm............................… c) (3,00 ± 0,05) cm ...................................... d) (2,04 ± 0,05) cm...........................…. e) (4,05 ± 0,01) cm ....................................... f) (6,5 ± 0,2) cm ................................... *2.- Se miden, con diferentes instrumentos, los lados de la siguiente figura. Determine el volumen de la figura. (36,20 ± 0,02) mm (18,25 ± 0,05) mm (32,0 ± 0,1) mm (120,0 ± 0,1) cm *3.- Los lados de un rectángulo son: a = (6,5 ± 0,2) cm y b = (4,25 ± 0,05) cm Determine:

a) el área del rectángulo b) el perímetro del rectángulo

35 *4.- Con dos instrumentos A y B de precisiones 0,01 mm y 0,2 mm, respectivamente, se miden las dimensiones de un paralelepípedo rectangular (ver fig.), obteniéndose los siguientes valores: Instrumento A : ancho = 24,61 mm y alto = 24,61 mm Instrumento B : largo = 92,6 mm

a) Determine la diferencia entre las áreas achuradas I y II del paralelepípedo. b) Determine el área basal del paralelepípedo. ¿Entre qué valores fluctúa el área

basal? *5.- Experimentalmente se desea determinar el volumen de un cilindro pequeño, de madera. El diámetro se mide con un Micrómetro, la lectura es: d = 10,50 ± 0,01 mm y la altura se mide con un Vernier, el que se registra en la figura siguiente: ¿Entre que valores fluctúa el volumen del cilindro de madera? *6.- Una persona de masa m1 = (50,8 ± 0,2) kg y otra de masa m2 = (82,0 ± 0,1) kg están sentadas frente a frente de modo que sus centros están separados una distancia r = (60,0 ± 01) cm. Determine la magnitud de la fuerza gravitacional que cada persona ejerce sobre la otra. Constante gravitacional G = 6.67 x 10 –11 N m 2 / kg 2 .

* Aplique propagación de errores, cifras significativas y aproximaciones numéricas.

cm0 1 2 3

II I

Área Basal

0 10

36

EXPERIENCIA SUGERIDA

MEDICION DE MAGNITUDES FÍSICAS II OBJETIVO: - Saber representar una medida considerando el error absoluto. - Identificar los posibles errores en la medición. - Aprender a operar con magnitudes que tienen error absoluto. INTRODUCCIÓN: En la primera experiencia se utilizaron instrumentos que miden longitudes pequeñas sin considerar el error absoluto de su medida, en esta sesión será necesario considerarlo para las operaciones entre medidas experimentales y ver la forma como se combinan y modifican los errores a través de las reglas propuestas por la “propagación de errores”. MATERIALES: Vernier, Tornillo Micrométrico, Balanza y Golillas. ACTIVIDADES 1.- Mida el diámetro externo e interno de una golilla con el VERNIER y su altura con el TORNILLO MICROMETRICO (como el de la fig). d ext = .................. ± .................. mm d int = ………….. ± ................. mm h = ................... ± ................. mm

d ext

d intd int h

d ext.

37 *2.- Determine el Volumen de la Golilla, en cm 3. 3.- Mase la Golilla : M = .................. ± ................gr *4.- Determine la densidad de la Golilla, en gr / cm 3.

*Aplique propagación de errores y cifras significativas

PREGUNTAS 1.-¿ Qué indica el error absoluto? 2.-¿ Entre qué valores fluctúa (ó esta comprendido) el volumen de la Golilla? 3.-¿ Cuál es el orden de magnitud de la densidad de la Golilla? 4.-¿ Cuántas cifras significativas tiene la masa y altura externa de la Golilla?

38

XIII.- GRAFICOS En un experimento es importante investigar siempre la dependencia funcional entre dos variables físicas. Supongamos que X e Y son magnitudes físicas que están interrelacionadas en un fenómeno, haciendo un experimento sobre dicho fenómeno podemos ir dando valores a X, controlados con instrumentos de medición, y medir los valores de Y que resulten en cada caso. Con una serie de valores experimentales de (X,Y) puede determinarse la dependencia matemática entre ambas variables, o sea, la función f(x) que evalúa los valores de Y: Y = f (X) En otras ocasiones se conoce la dependencia funcional de X con Y, y lo que se desea es determinar un parámetro dado de esa relación (o sea, si se sabe que y = kx2 puede ser de interés determinar k). Tanto en el primer caso como en el segundo caso el experimentador puede auxiliarse de gráficos cartesianos x, y, colocando los puntos experimentales (x,y) medidos, y trazando luego la curva que mejor los une. El objetivo de este capítulo es dar a conocer la información matemática que nos puede dar un gráfico, la forma en que deben escogerse las escalas en los ejes coordenados y cómo trazar la mejor curva.

XIII a.- Gráficos de algunas funciones elementales y su conversión a la forma lineal.

Puesto que la recta es la única forma de gráfica que se puede trazar con alguna seguridad, fácil de calcular su pendiente y obtener la ecuación, se darán métodos para convertir algunas ecuaciones a una forma que dé una gráfica proporcional o línea recta. Toda función y = f (x) representa una curva en el planos X ,Y ; esta puede ser continua o no, según la función que represente. En este curso de laboratorio se utilizarán sólo las curvas continuas cuyas funciones elementales son:

39 I.- y = mx + b, con m y b constantes II.- y = a x n , con a y n constantes III.- y = a e kx , con a y k constantes IV- y = a x 2 , o potencias más elevadas de x El gráfico de la ecuación I representa una línea recta la cual corta al eje Y. La relación entre las variables X e Y se llama lineal (gráfico Nº 1). En el caso que b = 0 , y = m x , entonces la relación entre las variables x e y es también lineal ( gráfico Nº 2 ). y = m x + b y = m x Gráfico Nº 1 Gráfico Nº 2 Por lo tanto, es necesario recordar algunas propiedades de la recta. Su ecuación básica es: y = mx + b donde m y b son constantes. La constante m es la pendiente de la recta y es una medida de su inclinación respecto a la recta horizontal. Un valor pequeño de m representa poca inclinación respecto a la horizontal y un valor grande de m indica que la recta tiende a la vertical.

y

x x

y

b

40 La pendiente m se puede calcular a partir de la expresión: donde los puntos de coordenadas (x1, y1) , (x2 , y2) se escogen arbitrariamente sobre la recta (gráfico Nº 3).

Gráfico Nº 3

Una pendiente positiva significa que la recta asciende a medida que x aumenta, y una negativa que la desciende. De la ecuación básica se ve que cuando x = 0, y = b, esto significa que la recta corta al eje y en un punto cuyo valor es b. Por tanto, la constante b es el intercepto de la recta con el eje y. La ecuación II representa una variedad de curvas llamadas potenciales. Para graficar estas curvas es conveniente aplicar logaritmo a ambos miembros de la ecuación:

x 1 x 2

Y y 1 y 2

x

∆y

∆x

12

12

xxyy

xym

−−

=∆∆

=

41

y = a x n ; en que a y n son constantes por determinar, resultando

log y = n log x + log a de manera que el cambio adecuado de variables que linealiza el problema es: Y = log y ; X = log x y al reemplazar en la ecuación anterior se tiene :

Y = m X + b , donde m = n y b = log a las que se pueden obtener del gráfico lineal. En la ecuación III, y = a e kx , el exponente kx debe ser siempre adimensional. Si x tiene unidades cm, entonces k debe tenerlas en cm –1. Al aplicar logaritmo neperiano a ambos miembros de la ecuación, se tiene: ln y = k ln x + ln a de manera que el cambio adecuado de variables que linealiza el problema es: Y = ln y ; X = x y al remplazar en la ecuación anterior se tiene: Y = m X + b donde m = k ln x y b = ln a. La pendiente m y el intercepto b se calcula por el método de los mínimos cuadrados, k y a se puede calcular para una base dada (base 10, base e = 2,718...) de la relación exponencial.

42 Para el caso de la ecuación IV es necesario mostrar las gráficas y sus correspondientes ecuaciones, de manera de encontrar la relación con la gráfica experimental. (i) (ii) (iii)

(iv) (v) (vi) Si las ecuaciones de la forma y = a x 2 (i) ; y = b x 3 (ii) o potencias más elevadas de x se grafican, normalmente se obtienen curvas. Sin embargo, si sustituimos x2 = u en la ecuación (i) o x3 = u en la ecuación (ii), entonces las ecuaciones se convierten en: y = a u ; y = b u , las cuales representan la forma de la línea recta. En consecuencia, en la ecuación (i), los valores de y deberán transportarse en función de los x2, y en la (ii) en función de x3.

x

y y

x

y

x x x

y y y

x

2xy = 3xy =2/1xy =

2/1−= xy 1−= xy 2/3xy =

43 Por ejemplo, si se tienen los siguientes valores: Y 1 2 3 4 5 6 X 1 4 9 16 25 36 Al observar la gráfica se ve que es similar al caso (iii), que corresponde a la ecuación algebraica y = x ½ , por lo tanto corresponde a una ecuación de potencia. Una vez reconocida la curva y su ecuación se procede a linealizar la curva, para esto se busca una variable auxiliar que sustituya a la variable que tiene la potencia, es decir, x ½ = u, entonces la nueva ecuación es y = u, que al graficarla representará una recta. Si se da valores a la variable X, se obtiene la siguiente tabla: Y 1 2 3 4 5 6 u 1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

y

1 4 8 12 16 20 24 28 32 36 x

44 Finalmente, la gráfica queda así: Y la pendiente es y su ecuación Ejemplo de una ley física: Para el Péndulo Simple la relación entre la longitud L y el tiempo de oscilación T es de la forma: ⇒

6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 u

Y

gLT π2=

gLT 22 4π=

12424

=−−

=m

224TgL

π=

uy =

45 Si se transporta directamente los valores de L en función de los correspondientes de T, se producirá una curva cuadrática, de la forma (i) de las gráficas mostradas anteriormente. Pero si sustituimos por una variable auxiliar X, la nueva ecuación transportada será: , que representa una recta que pasa por el origen y su pendiente es igual . Las transformaciones que se intentan en todos los casos anteriores hasta obtener la relación lineal entre X e Y permiten finalmente obtener la relación funcional entre las variables originales

2T

( )XfY =

XgL 24π=

24πg

46

XIII b.- METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS Una ley física entre las variables puede expresarse como:

y = f (x,m,b) = mx + b , donde f : función lineal y : variable dependiente x : variable independiente m y b : constantes por determinar; m pendiente de la recta y b intercepto(ordenada del origen). De acuerdo a lo explicado anteriormente, si las variables (x,y) muestran una relación lineal, la recta debe pasar por todos los puntos, pero esto es difícil puesto que existen varios puntos (x i , y i) con i = 1,2,3,...n y una recta queda determinada sólo por dos puntos. Un método es encontrar la “mejor recta” que ajuste los datos; y = mx + b (ecuación de la recta), y los valores numéricos de los parámetros m y b se determinarán utilizando un método estadístico llamado método de los Mínimos Cuadrados. Método de los Mínimos Cuadrados: La aplicación del método, al ajuste de una recta, dada una determinada nube de puntos, como el de la fig.1, permitirá cuantificar los parámetros m y b de la expresión general de la recta a ajustar :

Fig.1

y

x

bmxy +=

bmxy +=

47 La condición que debe cumplirse es que:

= mínimo

Esto es Se trata de minimizar la función f (b,m), lo cual se puede lograr mediante la igualación a cero de sus derivadas parciales con respecto a los parámetros m y b, o sea: , . Estas ecuaciones constituyen un sistema de dos ecuaciones con las dos incógnitas: m y b. La solución de este sistema da como resultado, , , donde m es la pendiente y b es el intercepto

( ) ( )[ ] mínimo , 2∑ =+−= ii mxbymbf

( ) 021

∑ =−−−=∂∂ n

ii mxbymf

( ) 021

∑ =−−−=∂∂ n

ii mxbybf

( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= 22

ii

iiii

xxN

yxyxNm ( )22

2

∑∑∑ ∑∑∑

−

−=

ii

iiiii

xxN

yxxyxb

( ) ( )[ ]∑ ∑ +−=−n n

iii mxbyyy1 1

2

48

y la recta y = mx + b pasa por un punto muy particular, de coordenadas donde ( corresponde al valor medio o promedio de x e al valor medio o promedio de y) Entonces, una vez que se encuentran experimentalmente los n pares de datos (x i , y i ) y se calculan los valores de , se traza la recta que pasa por el punto C, llamado centroide, e intercepte el eje “y” en el punto ( 0, b), ver figura 2. La pendiente de dicha recta tiene que ser igual al valor calculado con la ecuación de la pendiente m. Figura 2

bx

y

C

Nx

x i∑= Ny

y i∑=

y

x

yxb ,,

x y

( )yxC ,

49

Ejemplo Sean los siguientes pares de valores (x, y) a los que se desea ajustar una recta:

N 1 1.9 10.0 19 100 2 4.2 20.0 84 400 3 5.8 30.0 174 900 4 7.8 40.0 312 1600 5 10.4 50.0 520 2500 6 12.6 60.0 756 3600 ∑ 42.7 210.0 1865 9100

Las ecuaciones son:

,

que de acuerdo a los datos de la tabla resultan: , de manera que la recta de ajuste será: y = 0.21x – 0.29, llamada también “recta de regresión”

( )22ii

iiii

xxNyxyxN

m∑−∑

∑∑−∑= ( )22

ii

iiiii

xxNyxxyx

b∑−∑

∑∑−∑∑=

ix iy ii yx 2ix

( ) ( )( ) ( )

21.00.21091006

7.420.210186562 =

−−

=m ( ) ( )( ) ( )

29.00.2109100618650.2107.429100

2 −=−−

=b

50 Luego se determina el centroide . De acuerdo a los resultados la gráfica queda como lo muestra la figura.

x2

y

Nx

x i∑=Ny

y i∑=

0 10.0 20.0 30.0 35.0 40.0 50.0 60.0

0.356

0.210==x 1.7

67.42

==y

12.6 10.4 7.8 7.1 5.8 4.2 1.9

- 0.29

C

0

51

XIV.- ESCALAS

En una experiencia llevar los puntos experimentales (x, y) a un gráfico no es algo trivial, es necesario saber seleccionar una escala que permita visualizar en forma global la representación gráfica de las cantidades físicas. Existen dos tipos de escala que pueden ser útiles; la escala lineal (uniforme) y la escala no lineal (escala de potencias de 10). Se utiliza una escala lineal cuando los valores a representar tienen órdenes de magnitud similares; si estos valores tienen un rango amplio de órdenes de magnitud se utiliza una escala de potencias de 10. La escala lineal se caracteriza porque los números que se asignan a la escala deben estar a igual distancia unos de otros, es decir, la diferencia entre dos números consecutivos de la escala debe ser siempre constante. Ejemplos de escalas lineales: Recomendaciones para construir una escala lineal 1.-Se elige un sistema de coordenadas; a menudo se usa el sistema de coordenadas ortogonales. 2.-Sobre una hoja de papel milimetrado se dibujan los ejes x e y ; en cada eje se escoge un trazo de largo L medido en cm ó mm (ver fig.1), a elección, dejando un margen entre ambos extremos de cada eje.

- 30 - 20 -10 0 10 20 30 1,0 x 10 2 2,0 x 10 2 3,0 x 10 2

52 3.-En los extremos del trazo L elegido se ubican los valores experimentales cercanos al valor mínimo (V mín ) y al máximo (V máx) que se van a representar (ver fig.1) 4.-Los valores experimentales ( Vx ) que faltan por graficar se ubican dividiendo el trazo en partes iguales ó utilizando la siguiente expresión algebraica:

Figura 1

5.-Cuando se selecciona la escala debe tratarse que los puntos experimentales no queden muy juntos. 6.- No deben unirse los puntos experimentales por medio de segmentos rectos; el gráfico tiene que construirse con una recta o curva suave y continua que pase lo más cerca posible de los puntos obtenidos (recta o curva de aproximación) figura 2 En la figura 3 se muestran dos casos para una relación lineal y otra no lineal.

Figura 2 lo que no debe hacerse lo que debe hacerse

Vmáx

L

Vmín Vx

l

LVVVV

lmínmáx

mínx

−

−=

53 Figura 3

REPRESENTACIÓN DE DATOS: Tablas y Gráficos

TABLAS. En el trabajo de cualquier experimento, se toman una serie de valores, éstos deben ser ordenados en una tabla de datos, la que contendrá diferentes columnas para cada serie de valores, con el propósito de facilitar la lectura, la comprensión de los datos y visualizar relaciones entre magnitudes cuyos valores aparecen en las diversas columnas. Además, toda tabla debe llevar un título y cada columna debe tener una letra que represente la variable física con su respectiva precisión y unidad.

Veamos un ejemplo sencillo que ilustra lo anterior. Supongamos que se desea determinar el valor de la aceleración de gravedad. Un método consiste en medir el tiempo que demora un cuerpo en caer en el vacío desde cierta altura. La relación entre el camino recorrido y el tiempo empleado es:

de donde

y y

x x

2

21 gtht = 2

2thg =

54 La tabla que se muestra a continuación contiene los valores de h y t obtenidos experimentalmente, así como otras columnas de datos elaborados, para obtener la aceleración de gravedad.

Tabla de Datos: Caída Libre h ± 0.1 [cm] t ± 0.01 [s] (t ± 0.01) 2[s 2] ( g ± δ g ) x 102[cm /s2] 140.0 0.53 0.28 9.97 ± 0.38

120.0 0.51 0.26 9.23 ± 0.37

- - - -

Respecto a los valores numéricos que corresponda colocar en las diversas columnas, en algunos casos es necesario reducir el número de cifras en la columna incluyendo el factor de multiplicación junto a la unidad, como por ejemplo:

L ± 0.0001 [m] (L ± 1) 10 – 4 [m]

0.0013 13 0.0002 2

- -

Recomendaciones que se deben tener en cuenta al representar los valores de una tabla de datos en un gráfico:

1.- Todo gráfico deberá tener un título que este relacionado con la experiencia realizada. 2.- Los ejes deben llevar claramente indicadas las magnitudes que ellos representan y las unidades correspondientes.

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3.- En el eje de las abscisas se representa la variable independiente o sea la magnitud cuyo valor controla el experimentador y en el eje de las ordenadas la variable dependiente que es la magnitud que se mide para algún valor de la variable independiente. 4.- Los puntos experimentales deben marcarse en forma nítida y precisa, se recomienda representarlos mediante cruces. 5.- La curva que representa los puntos debe trazarse de modo que sea lo más representativa posible del fenómeno en estudio, es decir, trazar una línea continua promedio entre los puntos. 6.- Es conveniente que el origen (ceros de ambas escalas) aparezcan en el gráfico, sin embargo, las escalas deben desplazarse cuando los datos experimentales están en un intervalo que así lo requiera, en tal caso, debe destacarse que la intersección de los ejes no es el origen (ver escalas lineales). 7.- De preferencia se presenta en cada gráfico una sola línea o curva, si es necesario dibujar dos o más curvas en un mismo gráfico, debe explicarse claramente qué significa cada una de ellas. 8.- Se recomienda graficar en papel milimetrado.

XV.- INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN Las mediciones efectuadas en un experimento nos proporcionan, en general, un conjunto de pares de datos numéricos correspondientes a dos variables. Con el objeto de visualizar el fenómeno físico se construye el gráfico y al trazar la curva que une los puntos experimentales se esta interpolando, ya que al hacerlo se generan infinitos puntos que no provienen de mediciones. El proceso de estimar valores entre puntos correspondientes a datos se llama interpolación.

56 El proceso de hacer predicciones basadas en la expansión de la curva más allá de los puntos límites que corresponden a mediciones se llama extrapolación Cuando se trabaja en un gráfico es conveniente conocer las condiciones bajo los cuales fue obtenida la información y usar el gráfico con mucho cuidado, especialmente en la interpolación y extrapolación, ya que una repetición de la experiencia puede mostrar que la interpolación o extrapolación ha fallado.

XVI.- EL INFORME Durante su carrera de ingeniero o científico y en su vida laboral futura Ud. tendrá, que escribir muchísimos informes de un trabajo de investigación o laboral, su memoria de título, por lo que se hace necesario adoptar ciertas normas para redactar un informe de laboratorio. El informe debe estar redactado en lenguaje preciso y ameno, tratando de atraer y retener la atención de los lectores. Debe mostrar un recuento claro y completo de la actividad experimental realizada, datos, gráficos, conclusiones y discusiones El informe no debe ser considerado como un trabajo que se presenta con el solo fin de cumplir, sino que debe ser pensado como un trabajo capaz de mostrar por escrito ideas y resultados. Con esto en mente, los informes que se realizan en los cursos básicos de laboratorio son un muy buen entrenamiento para mejorar redacción y la capacidad de comunicar temas científicos y técnicos. A continuación se dan algunas pautas y sugerencias sobre cómo organizar un informe de laboratorio informal y formal Informe Informal. Es aquel que generalmente se entrega al comienzo del periodo siguiente de la clase de laboratorio en que se realizó la experiencia.

57 Un esquema de este tipo de informe es el siguiente.

1.- Portada

a) Número y título de la experiencia b) Nombre del alumno o los alumnos c) Fecha de realización de la experiencia

2.- Detalle de la clase de laboratorio

a) Un dibujo del fenómeno experimental b) Materiales utilizados c) Tabla de Datos d) Gráficos (recta verdadera y mejor recta)

3.- Análisis El análisis debe contener una discusión de cada uno de los problemas planteados en el desarrollo de la experiencia. Informe Formal. Son mucho más completos y deben entregarse dentro de un tiempo prudente, de acuerdo a la dificultad del trabajo, este plazo puede ser una semana. El informe debe contar con secciones bien diferenciadas. Se sugiere el siguiente esquema, que es usualmente empleado en publicaciones científicas y técnicas. 1.- Portada

a) Título de la experiencia b) Autor (nombre del o los alumnos) c) Fecha de realización de la experiencia

2.- Cuerpo del informe

a) Resumen. El resumen debe dar un adelanto de lo que se leerá en el informe, en lo posible en no más de 100 palabras. Se debe indicar concisamente el tema del trabajo, referirse sucintamente a la metodología seguida y destacar los resultados más importantes obtenidos.

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b) Objetivo (s) de la experiencia c) Teoría. Se incluye una fundamentación teórica breve relacionada con la

experiencia d) Dibujo del fenómeno experimental y materiales e) Procedimiento Experimental. Se describe la experiencia totalmente de tal forma

que cualquier persona sea capaz de entender o volver a realizarla. No debe copiarse el procedimiento dado en la guía. Su redacción debe ser impersonal y en tiempo pretérito, nunca en primera persona

f) Resultados. Los resultados deben presentarse preferentemente en tablas de datos y gráficos. Los datos del experimento deben estar diferenciados de otros datos y seguir las indicaciones dadas en este libro para su confección. No es necesario anotar el desarrollo de las operaciones aritméticas que se realicen. Los gráficos deben ser incluidos cuando se necesitan. Para ello no olvidar las recomendaciones dadas.

g) Discusión. En esta parte se debe explicitar el análisis de los datos obtenidos. Comparar lo realizado con lo planificado, discutir los métodos y procedimientos empleados

h) Conclusiones. Se comenta objetivamente qué se aprendió del experimento. Indicar el grado en que se ha cumplido el objeto. Un buen informe es aquel que demuestra el mayor número de conclusiones correctas alcanzadas a partir de los datos obtenidos.

i) Referencias. Las referencias bibliográficas se ordenan al final del informe. j) Apéndices. A veces son necesarios para la mejor comprensión de alguna parte del

informe. Por lo general, no es conveniente distraer al lector con muchos cálculos, despejes de términos y propagación de errores en la mitad del informe, así que este lugar puede ser utilizado si se quiere destacar algún cálculo.

Las formas propuestas están encaminadas a satisfacer las necesidades de los experimentos a realizarse en el curso de mecánica

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BIBLIOGRAFIA

C.B. Daish. D.H. Fender “Física Experimental” Primera Edición en español Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana

México. Douglas C. Giancoli “Física para Universitarios” Vol. I Tercera Edición Pearson Educación. Vincenzo Giamberardino “Teoría de los Errores” Editorial Reverté Venezolana, S.A. L. Laroze et al. “Conceptos y Magnitudes en Física” Edit. UFSM Valparaíso, Chile. 1980. Raúl Portuondo Duany “Procesamiento de Datos Experimentales” La Habana, 1988. C. Schaefer. L. Bergmann “Prácticas fundamentales de Física” Editorial Labor, S.A.