control de procesos - utn · pdf fileen otra forma, ( 1) ( ) . comparando estas f a n n ai i i...

1

Control de Procesos Control de Procesos Enfoque desde la teorEnfoque desde la teoríía de sistemas dina de sistemas dináámicos y micos y

sistemas de control en variables de estadosistemas de control en variables de estado

Vicente CostanzaVicente Costanza

Centro de Aplicaciones InformCentro de Aplicaciones Informááticas ticas en el Modelado de Ingenieren el Modelado de Ingenieríía (CAIMI)a (CAIMI)

UTN UTN -- Facultad Regional RosarioFacultad Regional Rosario20082008

Curso de Postgrado de ActualizaciCurso de Postgrado de Actualizacióónn

UTNUTN--Facultad Regional Rosario Facultad Regional Rosario CAIMICAIMI--20082008

Repaso de Repaso de ÁÁlgebra Lineallgebra Lineal

Autovalores y Autovalores y autovectoresautovectores

Exponencial de una matrizExponencial de una matriz

SoluciSolucióón de una ODE lineal n de una ODE lineal

0

exp( )!

k

k

AAk

∞

=

=∑

A v vλ=

0, ( 0 )x A x x x= =

0( ) Atx t e x=

2


InterpretaciInterpretacióón geomn geoméétricatrica

( )

( )( )

es un autovector con 0

correspondiente al autovalor

0 no es invertible (¿por qué?)

0

det 0 raíz del polinomio

( ) det , "polA

vAv v v

A I vA I

v

A I

p x A xI

λλ

λλ

λ λ

= ≠ ⇒

− = ⇒ −

≠ ⇒ − = ⇒

= − inomio característico de "A


Distintos tipos de autovaloresDistintos tipos de autovalores

InterpretaciInterpretacióón de un n de un autovalorautovalorRelaciRelacióón con la traza y el n con la traza y el determinantedeterminanteAutovalorAutovalor 00AutovalorAutovalor real positivo o negativoreal positivo o negativo““AutovalorAutovalor”” complejocomplejo

3


Polinomio caracterPolinomio caracteríísticostico( )

12 1

1 2 1

( ) det , "polinomio característico de ", es también

( ) ( 1) ( ) , donde cada es una raíz, real o compleja.

En otra forma, ( 1) ( ) .Comparando estas f

A

nn

A i ii

n n nA n n n

p x A xI A

p x x

p x a a x a x a x x

λ λ=

−− −

= −

= − −

− = + + + + +

∏

( )1

1

1

ormas de expresar el polinomio, se llega a:

( 1) (0) det . Expandiendo det

y combinando los términos con se ve que su coeficiente

es - , y expandiendo ( ) dicho coeficien

nn

n i Ai

n

n

ii

a p A A xI

x

trA x

λ

λ

=

−

=

− = = = −

−

∏

∏ 10

1 0

te es - .

Resumiendo: det ; .

n

ii

n n

i ii i

a

A trA

λ

λ λ

=

= =

=

= =

∑

∏ ∑


Autovalores complejos. n=2Autovalores complejos. n=2Considerar las matrices del tipo .

Ver que las raíces de ( ) det( ) son:

(autovalores complejos). Pasemos a trabajar en .Considerar cualquier transformación lineal con esto

An

a bA

b ap x A xI

a biT

λ

− =

= −

= ±

( ) ( ){ }

s autovalores. Entonces, existirán vectores complejos ( ) no nulos, tales que:

( ) ( ) ( ) ( ).

O sea que en la base , , la matriz de es (convencerse). Tambié

u viT u vi Tu iTv u vi a bi u vi au bv i av bu

v u T A

λ+

±

+ = + = + = + + = − + +

{ } { }1 2

n,en la base canónica, la matriz de es (como vimos en la Clase 1),

lo que demuestra que, para la base , , .A

A

T AT v u e e=

4


Transformaciones de similaridadTransformaciones de similaridad

{ }1 1 1

1 2

R ec o rd a r q u e u n a m a triz rep resen ta la acc ió n d e u n a tran s fo rm ac ió n lin ea l :

( ) ( ) ,

d o n d e , , e s la b ase can ó n ica .R eco rd a r tam b ién q u e la m ism a t

n nA

n n n

i iA A i ij ji i j

n

AT

T x T x e a x e

e e e= = =

→

=

=

∑ ∑ ∑…cB

1

ran s fo rm ac ió nlin ea l ten d rá u n a m a triz d is tin ta s i s e ex p resa

en o tra b ase , y q u e e s ta s m a trices se re lac io n an

en la fo rm a : , d o n d e e s tá a so c iad a co n la tran s fo rm ac ió n

B

QB Q AQ −

→

=c

B

B B


InvariantesInvariantes

1

Las matrices , relacionadas en la forma se dice que son "similares"

(puesto que en realidad dependen de una elección de base para representar una misma transformación)

Notar que se verifica

A BB QAQ −=

(ejercicio):det( ) det( )

( ) ( )y por eso se dice que el determinante y la traza son

"invariantes" frente a cambios de base.

A Btr A tr B

==

5


Formas canFormas canóónicas de matricesnicas de matrices1. Autovalores reales y distintos1. Autovalores reales y distintos

1 2

Supongamos que la matriz de tiene todos los autovalores reales y distintos, o sea, su "espectro"

( ) { , ,..., }Como para cada existe un autovector no nulo ,

y como se puede demostrar (ej

n

i i

A n n

Av

λ λ λ λλ

×

=

n1 2

ercicio !) que los son linealmente independientes, se tiene que

{ , ,..., } es una base de i

n

v

v v v=B


DiagonalizaciDiagonalizacióónn

1

21 2

1

1 2

En la base de autovectores la matriz de toma la forma diagonal:

0 00 0

= { , ,..., },

0 0

y además ,donde [ ]

n

n

n

A

D diag

D Q AQQ v v v

λλ

λ λ λ

λ−

=

==

B

6


Exponencial de matrices diagonalesExponencial de matrices diagonales

1 2

11 2

1 2

Si { , , ..., }, ,

entonces es fácil ver que { , , ..., } para todas las potencias enteras positivas ,y entonces se puede verificar (ejercicio !):

{ , , ...,

n

k k k kn

D

D diag D QAQ

D diagk

e diag e eλ λ

λ λ λ

λ λ λ

−= =

=

= 1} .Resultado colateral interesante (ejercicio !):

det det

n A

A D trD trA

e Qe Q

e e e e

λ −=

= = =


Otros resultados de interOtros resultados de interééss1 1 1

S i e s u n a u to v a lo r d e c o n a u to v e c to r ,e n to n c e s . . . ,

o s e a q u e e s a u v a lo r d e , d e lo q u e s e s ig u e(e je rc ic io ) : e s a u to v a lo r d e .

S e e x tie n d e a lo s a u to v a lo

n

k k k k k

k k

A

A vA v A A v A v A v v

Ae eλ

λ

λ λ λ

λ

− − −

∈ ∈

= = = = =

1

1

1

r e s g e n e ra liz a d o s ( ) .A d e m á s p u e s to q u e e l p o lin o m io c a ra c te r ís t ic o

d e e s ( ) d e t( ) , e n to n c e s v im o s q u e

( 0 ) d e t ,

lo q u e e x te n d id o a la e x p o n e n c ia l n o s d a :

d e t

n

ii i

An

A ii

nA tr

i

A p x A x I

p A

e e e eλ

λ

λ

λ

=

=

=

∈

= −

= =

∑= = =

∏

∏ .A

7


Resultado CentralResultado CentralDescomposiciDescomposicióón A = S+Nn A = S+N

S es S es semisimplesemisimple (lo (lo ““diagonalizablediagonalizable””))N es N es nilpotentenilpotente (el (el ““restoresto””))S y N conmutan, o sea SN=NSS y N conmutan, o sea SN=NSLa descomposiciLa descomposicióón es n es úúnicanicaPor detalles ver (H+S 116)Por detalles ver (H+S 116)


Formas canFormas canóónicas de matricesnicas de matrices2. Forma can2. Forma canóónica nica ““realreal””

1 ,21) tie n e a u tova lore s gen e ra lizad os

02 ) tien e d os au tova lore s (rea le s) re p e tid os , y n o

1

0 e s sim ila r a (e je rc ic io ) .

0

0 03 ) 1 0 tien e tre s a

0 1

a ba b i

b a

I

λ

λλ

λ

λλ

λ

λλ

λ

− = ±

=

u tova lore s (rea le s) rep e tid os ,

0 0 0 0 p e ro n o e s s im ila r a 1 0 n i a 0 0 .

0 0 0 0

λ

λ λλ λ

λ λ

8


Forma canForma canóónica nica ““realreal”” (contin(continúúa 1)a 1)1

1 2 2 2

1

22 3 2 2

2

2 3 2 2

2 3 2

1

2

0 00 0 0 0 00 1

00 0 0

1

0 0 0

1 00 0

0 1

tie n e d o s a u to v a lo re s re a le s : ( c o n m u ltip lic id a d 3 )y ( c o n m u ltip lic id a

a bb a

a bb a

λλ

λ

λλ

λλ

×

×

×

−

−

d 2 ) , y d o s a u to v . g e n e ra liz a d o s ( c a d a u n o c o n m u ltip lic id a d 2 ) .a b i±


Forma canForma canóónica nica ““realreal”” (contin(continúúa 2)a 2)1 1

2

2

00

0 01 0

2

0 0 00 0 0 00 1 01 0 1 0

0 (ejercicio)

0

cos sin (ejercicio)

sin cos

0 0 1 0 (ejercicio)

1 0 1 1

a bb a a

ee

e

b be e

b b

e I

e e e e

λ λλ

λ

λλ λλλ λ

−

+

=

− =

= + =

= = ⋅

1 0 0 = (ejercicio)

1 1e

ee e

λλ

λ λ

=

=

9


Forma canForma canóónica nica ““realreal”” (contin(continúúa 3)a 3)"Existe una única descomposición de la matriz de la forma

, donde1) es semisimple (su complexificación es diagonalizable)2) es nilpotente (a partir de cierta , 0)3) y conmutan (

k

AA S NSN k NS N SN N

= +

==

( )

1

1

2 3 ( 1)

)"Entonces, se puede calcular, dado 3):

,

, donde está en la forma cuasi-diagonal, y; (resulta nilpotente)

2! 3! ( 1)!

A S N S N

S S

kN

S

e e e e

e Qe Q SS QSQ N A S

N N Ne I Nk

+

−

−

−

= =

=

= = −

= + + + + +−

…


Consecuencias de la forma realConsecuencias de la forma realSea ( ) el espectro de y Re( ( )) el conjunto

de las partes reales del espectro. Entonces, si los elementosde verifican < , 1, , ; se puede demostrar

(ver Hirsch+Smale) que existe una bai

A A R A

R R i n

λ λ

α β

=

< = …

2 2

se de en la cual:

donde el producto interno , y la norma son losinducidos por la base .

, ,

n

nx Ax x x xα β⋅ ⋅ ⋅

≤ ≤ ∀ ∈

B

B

10


Siguen consecuencias Siguen consecuencias ……

( )

P or lo que hem os visto hasta ahora (convencerse fehacientem ente!) la exponencial de m atrices puedeconsiderarse (salvo cam bio de bases): .1) a su vez puede pensarse c

A S N S N

S

e e e ee

+= =

om o el producto de térm inos que contienen las exponenciales de las partes reales de los au tovalores, por otrostérm inos en senos y cosenos de las im aginarias;2 ) es una sum a de térm inos de la seriNe m n≤ e,puesto que es n ilpotente .N


Normas de matrices Normas de matrices RelaciRelacióón con normas de vectoresn con normas de vectores

{ }( )2 2 2

1 2

La norma que utilizaremos en esta etapa del curso es

max , 1 , donde la norma de vectores

es la usual .

La interpretación geométrica de esta norma es la máximadeformación que produc

n

A Ax x

x x x x

≤

= + + +…

e sobre el círculo unitario. las dos propiedades principales:

1)

2) par de matrices ,

nAx A x x

AB A B A B

≤ ∀ ∈

≤ ∀

Verificar como ejercicio

11


La exponencial y la soluciLa exponencial y la solucióón de ODEsn de ODEs

2 3 4

A partir de las propiedades de norma de matrices:

. Entonces, si llamamos , ver

que la serie definitoria de la exponencial de reales:

12! 3! 4! !

que sabemos que converge, implica

nn

n

A A A

n

α

α α α αα

≤

+ + + + + + +… …

2 3 4

la convergencia de

2! 3! 4! !por comparación entre las normas de cada término.

nA A A AI An

+ + + + + + +… …


La exponencial y La exponencial y …… (contin(continúúa 1)a 1)

2 3 4

Podemos concluir que la exponencial está bien definida como el límite de la serie

2! 3! 4! !Ademas, se puede verificar que:

1) es siembre invertible, y su inversa es

A

n

A

eA A A AI A

n

e e

+ + + + + + +

(ejercicio)… …

2) Si es un autovalor de , entonces lo es de 3) Los autovectores para , son "los mismos"

A

A

A

A e eA e

λλ

−

12



( )

D efin am o s la m atriz fu n c ió n "d e l tiem p o "( ) . E n to n ces , e l "in crem en to "

( ) ( ( )) ( ) , co n lo cu a l

(co m p le ta r lo s d e ta lles seg ú

( )

A t

A t h A t

A t A t

t et h e e I A h o h

e e A h o h

A t A tt e A A e

+

Φ

Φ + = = + + =

= + +

Φ = =

n H -S )



0

Entonces, para la ecuación diferencial (ODE); (0)

la función del tiempo ( ) verifica:

1) ( ) ( )

2) (0)

Lo cual termina de demostrar (salvo detalles)que la so

Aty

Aty y

Ay

x Ax x yg t e y

g t Ae y Ag t

g e y Iy y⋅

= =

= =

= = =

lución de la ecuación diferencial linealexiste siempre, y la gobierna la exponencial.

13


INTERVALOINTERVALO


Resultados FundamentalesResultados Fundamentales

Una vez encontrada una base en que Una vez encontrada una base en que la matriz la matriz AA tiene la forma cantiene la forma canóónica nica real, todavreal, todavíía puede modificarse para a puede modificarse para que la parte que la parte nilpotentenilpotente tenga efecto tenga efecto muy pequemuy pequeñño (orden de o (orden de HH--S S 148)148)Si todos los autovalores de A tienen Si todos los autovalores de A tienen parte real negativa, entonces el 0 es parte real negativa, entonces el 0 es un equilibrio un equilibrio asintasintóóticamenteticamente estable, estable, y viceversa.y viceversa.

14


SketchSketch de la prueba de convergencia exponencialde la prueba de convergencia exponencial

( )

2 2

2

Aceptando que, si el espectro de está entre y , entonces

, y teniendo en cuenta que

,1( ) , 2 , , entonces:2 ,

( )log ( ) , e integra

( )

,

,

n

A

Ax xd dx t x x x xdt dt xx x

d x t ddt x tx t dt

x Ax x x x

Ax xx

α β

α β

α β

= = ⋅ =

≤ = = ≤

≤ ≤ ∀ ∈

ndo en ,

( )log , o sea (0) ( ) (0) 0.

(0)

t t

t

x tt t e x x t e x t

xα βα β≤ ≤ ≤ ≤ ∀ ≥


ContinContinúúa la pruebaa la pruebaPara el caso de autovalores con parte real negativa,

(0) ( ) (0) 0 se transforma en

0, para algún 0(puesto que todos los autovalores están a la izquierda de

algún , que

0< ( ) (0)t te x x t e x t

t b

b

btx t e xα β≤ ≤ ∀ ≥

∀ ≥ >

−

−≤

está a la izquierda de 0).

Esto demuestra que el equilibrio 0 es asintóticamente estable, y

( ) 0 x t → exponencialmente .

15


ComentariosComentarios

Ojo, existen ejemplos en que la Ojo, existen ejemplos en que la convergencia no es monconvergencia no es monóótona para tona para cada componente de la variable.cada componente de la variable.Hemos usado la denominaciHemos usado la denominacióón n AAestableestable (o (o HurwitzHurwitz) cuando todos ) cuando todos sus autovalores tienen parte real sus autovalores tienen parte real negativa.negativa.


Ejemplo en MATLABEjemplo en MATLAB

functionfunction dxdx==lineal(t,xlineal(t,x))A = [A = [--1 0; 3 1 0; 3 --0.2];0.2];dxdx = A*x;= A*x;

>> [>> [t,xt,x]=ode45('lineal',[0 10],[1 1]');]=ode45('lineal',[0 10],[1 1]');>> >> plot(t,xplot(t,x))

16



ExtensiExtensióón a sistemas no linealesn a sistemas no lineales

0

0

Recordar ( ), equilibrio ( ( ) 0 , asumir =0).

Linealiación: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) 0 ( ) ,

( )Por definición de derivada: lim 0 . Entonces:

( )lim 0 . Per

x

x

x f x x f x xff x f x x f x x x o xx

fA x f x Ax o xx

o xx

f x Axx

→

→

= =∂

= + = + +∂

∂⇒ = + +

∂

=

−=

i

20

o, por la desigualdad de Cauchy:

( ) ,( ) , ( ) lim 0 .

x

f x Ax xf x Ax x f x Ax x

x→

−− ≤ − ⋅ ⇒ =

17


ExtensiExtensióón a sistemas no lineales (continn a sistemas no lineales (continúúa)a)

20

2

2

2

( ) ,l im 0 0 0 ta l q u e s i

( ) , s e c u m p le , o s e a :

( ) , ( ) , , .

S i e s e s ta b le , s a b e m o s q u e c o n < 0 ,p o r lo q u e e s p o s ib le e n c o n tra r u n 0 ta l q u e

, (

,

x

f x A x x

x

f x A x xx

x

f x A x x f x x A x x x

c

x x f x

A x x x

ε δ

δ ε

ε

ββ

→

−= ⇒ ∀ > ∃ >

−< <

− = − <

>

=

≤

2

(c o n v e rg e n c ia e x p o n e n c ia l)

) , . C o n tin u a n d o c o m o e n

,e l c a s o lin e a l ( ( ) , e tc .) s e lle g a e n to n c e s a :

0 < ( ) (0 )

x

x xd x td t

c x

xc tx t e x

=

≤ −

−≤


NotaciNotacióón n ““modernamoderna”” sobre ODEssobre ODEs

FunciFuncióón de avancen de avanceFlujoFlujoVerificaciVerificacióón de la ODEn de la ODECaso lineal. RelaciCaso lineal. Relacióón con los n con los autovalores de la matriz autovalores de la matriz AA..RelaciRelacióón con mecn con mecáánica del continuonica del continuo

18


FunciFuncióón de avancen de avance

( ) ; (0)

( ),

nx f x x y

x t

= = ∈

Para un sistema dinámico autónomo inicializado

se suele expresar la solución que verifica a la ecuación y a la condición inicial como

pero también se puede pensar que la condició(0) ( )

.:

( ) ( )

n n

y x x tt

t

y x t

φ

φ

=

→t

t

ninicial "avanzó" hacia el punto

mientras el "tiempo" avanzó de 0 a La "función de avance "

condensa esta situación puesto que se define:


Flujo y verificaciFlujo y verificacióón de la ODEn de la ODEBasados en propiedades de las soluciones deecuaciones diferenciales, se pueden "juntar" todas las funciones de avance- en la forma

( , ) ( ) ( )para todas las combinaciones de las dos

variables ( ,

t

tt y y x t

t

φ φ =

) donde las soluciones esténbien definidas y sean diferenciables.

A la función se la llama el " " del

sistema dinámico (y viceversa)

y

φ flujo

19


RelaciRelacióón con mecn con mecáánica del continuonica del continuo

0

Dado que la función ( ) ( , ) es la soluciónde la ecuación diferencial que pasa por (0) ,entonces el flujo debe verificar, en todo tiempo,

( ) ( , ) ( ( )) ( ( , ))

(0) ( ) (0, ):

x yx y

x y f x f yt

x y y y

φ

φ φ

φ φ

⋅ = ⋅=

∂⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

∂= = =

Nota las "líneas de flujo" de Mecánica de Fluídostienen la misma significación que las trayectoriasde un sistema dinámico, o de un flujo como se

definió arriba.


AplicaciAplicacióón al caso linealn al caso lineal

Para el caso ; (0) , se cumple( ) , para todo y para todo .

Por lo tanto, el flujo de un sistema lineal es( , )

( , ) ( , ) ( ) ( )

At n

At

At

x Ax x yx t e y t y

t y e y

t y Ae y A t y Ax t x tt

φφ φ

= =

= ∈ ∈

=∂

= = = =∂

20


Comportamiento cualitativo de los Comportamiento cualitativo de los sistemas no linealessistemas no lineales

StrogatzStrogatz (bifurcaci(bifurcacióón, ciclos ln, ciclos líímites, mites, atractores extraatractores extrañños, etc.)os, etc.)ArisAris: reacciones : reacciones autocatalautocatalííticasticas

Se retomarSe retomaráá en pren próóximas clases ximas clases ……


Comportamiento temporal de las trayectorias

21


Estabilidad de un equilibrioEstabilidad de un equilibrio

Los autovalores de la matriz Los autovalores de la matriz AAdeterminan la estabilidad del determinan la estabilidad del equilibrio del sistema no lineal equilibrio del sistema no lineal (concepto local).(concepto local).El equilibrio es El equilibrio es asintasintóóticamenteticamenteestable si y sestable si y sóólo si todos los lo si todos los autovalores de autovalores de AA tienen parte real tienen parte real negativa.negativa.Si alguno tiene parte real positiva, el Si alguno tiene parte real positiva, el equilibrio es inestable.equilibrio es inestable.


Estabilidad segEstabilidad segúún n LyapunovLyapunov

¿¿CCóómo inferir la estabilidad sin mo inferir la estabilidad sin calcular todos los autovalores de calcular todos los autovalores de AA? ? (pensar casos en que (pensar casos en que nn es grande)es grande)Concepto de la Concepto de la ““energenergííaa”” V(x). Si la V(x). Si la energenergíía decrece hacia el equilibrio, y a decrece hacia el equilibrio, y tiende a cero, se supone que dicho tiende a cero, se supone que dicho equilibrio serequilibrio seráá ““estableestable””. .

22


Definiciones de estabilidadDefiniciones de estabilidad

0

1) Un equilibrio de un sistema dinámico ( ) (es decirun punto para el cual ( ) 0 ) es cuando, paracualquier entorno de , existe otro entorno más pequeño

tal que cualquier tra

x x f xf x

U xU U

=

=

⊂

estable

0 0

yectoria solución ( )

iniciada en (o sea con (0) ), permanece

en el entorno para todo 0. (no se "escapa" de ).

2) El equilibrio es si es establey además, cua

y

y

t

U y U

U t U

x

α

α = ∈

≥

asintóticamente establelquier trayectoria ( ) como arriba verifica:

lim ( ) (o sea, tiende efectivamente al equilibrio).y

yt

t

t x

α

α→∞

=


FunciFuncióón de n de LyapunovLyapunovUna "función de Lyapunov" es una función definida

en un entorno suficientemente grande de , que: (i) toma valores reales no negativos,(ii) toma el valor 0 solamente en ,(iii) es continuamente d

V

B x

xerivable en , y verifica:

( ( )) 0 para toda trayectoria del

sistema dinámico ( ) iniciada en , 0.

y

y

Bd V tdt

t y B t

α

α

≤

∈ ∀ ≥

23


Teorema de Teorema de LyapunovLyapunovSi para el equilibrio existe una función de Lyapunov (como se definió anteriormente), entonces es estable.

Si además la derivada de a lo largo de cualquiertrayectoria del sistema es estricta

x Vx

Vmente negativa, es decir

( ( )) 0 , 0,

entonces es asintóticamente estable.

yd V t tdtx

α < ∀ ≥


Consecuencias del teoremaConsecuencias del teoremaLa funciLa funcióón de n de LyapunovLyapunov funciona como funciona como una una ““energenergííaa”” del sistema, que se del sistema, que se ““apagaapaga””en el equilibrio.en el equilibrio.Si se la encuentra, es mSi se la encuentra, es máás fs fáácil (al menos cil (al menos cuando cuando nn es grande) ver estabilidad es grande) ver estabilidad estudiando su derivada que calculando estudiando su derivada que calculando todos los autovalores del sistema.todos los autovalores del sistema.Se extiende a sistemas no lineales.Se extiende a sistemas no lineales.El teorema no dice cEl teorema no dice cóómo encontrar la mo encontrar la funcifuncióón de n de LyapunovLyapunov (si es que existe).(si es que existe).

24


LyapunovLyapunov para el caso linealpara el caso lineal

Sistema dinámico: Equilibrio: 0

Función de Lyapunov: ( ) ' , matriz 0A lo largo de las trayectorias del sistema:

'( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

( ) '( ) ' ( )

x Axx

V x x Px P

d dx dxt V x t t t t Px t x t P t

t x t A Px t x

==

= ≥

⇒ = = ⋅ +

= +

VV Vdt dt dt

V ( )'( ) ( ) '( ) ' ( )t PAx t x t A P PA x t= +


Aspectos prAspectos práácticos para el caso linealcticos para el caso linealM étodo 1:- Proponer una matriz simétrica y definida positiva,- Calcular ' y verificar si 0,- Si no lo es, proponer otra , etc.

M étodo 2:- Proponer una 0,- Resolver la ecuación '

PQ A P PA Q

P

QQ A P PA

= + ≤

≤= + (encontrar ),

- Verificar si 0, si no modificar y repetir...P

P Q≥

25


ComentariosComentariosVer que la ecuaciVer que la ecuacióón para n para PP (llamada (llamada ““de de

LyapunovLyapunov””) es lineal (para ) es lineal (para nn grande, la grande, la resoluciresolucióón de un sistema lineal de n de un sistema lineal de ecuaciones algebraicas lleva menos ecuaciones algebraicas lleva menos trabajo numtrabajo numéérico que el crico que el cáálculo de todos lculo de todos los autovalores de la matriz los autovalores de la matriz AA).).QuQuéé relacirelacióón hay con el mn hay con el méétodo de todo de

autovalores?. Se puede demostrar (ver autovalores?. Se puede demostrar (ver Sontag), que Sontag), que AA es estable si ses estable si sóólo si para lo si para toda toda Q<0Q<0 existe una existe una P>0P>0 que satisface la que satisface la ecuaciecuacióón n AA’’P+PA=QP+PA=Q


Un ejemplo de aplicaciUn ejemplo de aplicacióón de n de LyapunovLyapunovConsiderar el sistema dinámico (podría ser predador-presa)

2 ( 1)( 1) , y particularizar el equilibrio 0.

0 2 0La linealización en 0 tiene matriz 1 0 0 , que tien

0 0 0

x y zy x z x y zz xy

A

= − = − − = = = =

− =

( )1

2 2

e

autovalores 0 , 2 . Por lo tanto, el origen

es asintóticamente estable. Pero, ¿será estable?Verificar que efectivamente lo es, a través del análisis de lafunción ( , , ) 2 (que resulta

i

V x y z x y

λ λ±= = ±

= +

no

de Lyapunov).

26


Sistemas de controlSistemas de control


Naturaleza de un sistema de Naturaleza de un sistema de control linealcontrol lineal

Un sistema inicializado en cero (Un sistema inicializado en cero (x(tx(t)=0)=0para para tt≤≤00) se dice ) se dice ““lineallineal”” si se comporta si se comporta linealmente con respecto a las estrategias linealmente con respecto a las estrategias de control (o si la salida de control (o si la salida y(t), ty(t), t≥≥00, es una , es una funcifuncióón lineal de las entradas n lineal de las entradas u(t)u(t) ):):

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) salida correspondiente a la entrada ( ) ( ) salida correspondiente a ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i iy t u ty t u t u t

y t y t y tα α

α α+

⇒ = +

27


Operador lineal sobre las entradasOperador lineal sobre las entradasUn sistema lineal es entonces un operador Un sistema lineal es entonces un operador

lineal en el espacio de funciones de entradas lineal en el espacio de funciones de entradas admisibles. Se puede demostrar (Sontag) admisibles. Se puede demostrar (Sontag) que un tal operador tiene que tomar la que un tal operador tiene que tomar la forma general:forma general:

0

( ) ( , ) ( ) , 0t

y t h t u d tτ τ τ= ≥∫

A la función de dos variables h se la suele llamar “kernel” del operador lineal.


Operador sobre las entradas (continOperador sobre las entradas (continúúa)a)

Para el caso en que la Para el caso en que la ““estructuraestructura”” del del sistema no varsistema no varíía con el tiempo a con el tiempo (par(paráámetros constantes, o sistema metros constantes, o sistema ““time time invariantinvariant””) el kernel del operador lineal ) el kernel del operador lineal depende sdepende sóólo de las lo de las ““diferencias de diferencias de tiempotiempo””, y se transforma entonces en una , y se transforma entonces en una funcifuncióón de una sola variable: n de una sola variable:

0 0

( , ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

h t h t

y t h t u d h u t d

τ τ

τ τ τ τ τ τ

→ −

= − = −∫ ∫

28


ConvoluciConvolucióónn 1: respuesta al 1: respuesta al impulso impulso h(h(ττ))


Entrada: Entrada: u(u(ττ)=)=cos(cos(ττ))

29


ReflexiReflexióón 1: n 1: uurr((ττ)=)= u(u(--ττ) =cos() =cos(--ττ))


ReflexiReflexióón 2: n 2: u(tu(t--ττ)) = = uurr(t(t++ττ)=)= cos(tcos(t--ττ))t=4t=4

30


Varios Varios u(tu(t--ττ)=)=uurr ((ττ+t) +t) para para u=1,2,3,4u=1,2,3,4


Salida variosSalida varios

31


SalidaSalida


LaplaceLaplace -- ConvoluciConvolucióónn

Naturaleza de un sistema linealNaturaleza de un sistema linealRespuesta al impulso Respuesta al impulso ConvoluciConvolucióónncon la entradacon la entradaTransformada de Transformada de LaplaceLaplacePropiedades de la transformadaPropiedades de la transformadaTransformada de la Transformada de la convoluciconvolucióónn

32


Ejercicios sugeridos en Clase 1Ejercicios sugeridos en Clase 1Hallar la exponencial de las siguientes matrices, a Hallar la exponencial de las siguientes matrices, a mano y con mano y con MatlabMatlab: :

Considerar el sistema lineal Considerar el sistema lineal inhomoginhomogééneoneo: :

Hallar la soluciHallar la solucióón exacta y comprobar con n exacta y comprobar con MatlabMatlabDescubrir quDescubrir quéé tipo de ODEs no tienen solucitipo de ODEs no tienen solucióón n úúnica, y otras que nica, y otras que ““explotanexplotan”” en un tiempo finito.en un tiempo finito.Explorar los demos de control de Explorar los demos de control de MatlabMatlab, en , en especial, especial, tipeetipee: : heatexheatex..

4 1 1 1 1 3, ,

1 2 5 3 0 1−

− −

1 3 sin 1; (0)

2 2 cos 1t

x x xt

− = + = −


Recomendaciones para leerRecomendaciones para leer

Ver el tratamiento de estabilidad Ver el tratamiento de estabilidad segsegúún n LyapunovLyapunov en Sontag y en Sontag y HirschHirsch--SmaleSmale..Recordar matrices definida positivas Recordar matrices definida positivas y su relaciy su relacióón con formas cuadrn con formas cuadrááticasticas

control de procesos - utn · pdf fileen otra forma, ( 1) ( ) . comparando estas f a n n ai i i...

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