control de procesos quÍmicos...diseño de controladores por retroalimentación 5 el método de la...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Prof: Ing. (MSc).
Juan Enrique Rodríguez C.
1 Octubre, 2013
Índice
Diseño de controladores por retroalimentación
Entonamiento de controladores
2
3
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Diseño de controladores por retroalimentación
Diseño de controladores por retroalimentación
4
2) Método: Substitución directa:
El método de substitución directa se basa en el hecho de que las raíces de la ecuación
característica varían continuamente con los parámetros del circuito; el punto en que el circuito se
vuelve inestable, al menos una, y generalmente dos, de las raíces se encuentra en el eje
imaginario del plano complejo, es decir, deben existir raíces puramente imaginarias.
Otra manera de ver esto es que, para que las raíces se muevan del plano izquierdo al derecho,
deben cruzar el eje imaginario; en este punto se dice que el circuito es “marginalmente estable” y
el término correspondiente de la salida del circuito en el dominio de Laplace es:
)(constante senoidal onda la de amplitud :b'
senoidal onda la de fase de ángulo :θ
senoidal onda la de frecuencia :w
:Donde
términosotrosθTwsenb'tc
tenemos término,esteinvertir Al
términosotrosws
bsbsC
1
n
u1
2
u
2
21
Esto significa que, en el punto de estabilidad marginal, la ecuación característica debe tener un
par de raíces puramente imaginarias:
n1,2 iw r
Diseño de controladores por retroalimentación
5
El método de la substitución directa consiste en substituir s = iwu, en la ecuación característica,
de donde resulta una ecuación compleja que se puede convertir en dos ecuaciones simultáneas:
Parte real = 0
Parte imaginaria = 0
A partir de esto se pueden resolver dos incógnitas: una es la frecuencia última wu, la otra es
cualquier parámetro del circuito, generalmente la ganancia última.
Ejemplo: Se debe determinar la ganancia y frecuencia últimas para el controlador de
temperatura del ejemplo anterior, mediante el método de substitución directa.
0K*0,801iw43iw420iw900
:KKy iw s substituye se Ahora,
0K*0,80143s420s900s
0K*0,016*5013s130s110s
CUn
2
n
3
n
Cn
C
23
C
Entonces se substituye i2 = -1 y se separan la parte real e imaginaria:
i00i w43w900K*0,801w420
0i0K*0,801420w43iw900iw
0K*80,01wi43wi420iw900i
0K*0,801iw43iw420iw900
n
3
nCU
2
n
CU
2
nn
3
n
CUn
2
n
23
n
2
CUn
2
n
3
n
Diseño de controladores por retroalimentación
6
De esta ecuación compleja se obtienen las dos siguientes, puesto que tanto la parte real como la
imaginaria deben ser cero:
2186,0 w 900
43 w 43900w
0 w 043900w*w
25,1K 0K*0,801 420
K*0,801 w K*08,01w420
oResolviend
043w900w
0K*0,801420w
nn
2
n
n
2
nn
CUCUCU
nCU
2
n
n
3
n
CU
2
n
Se tienen las siguientes posibilidades de solución para este sistema:
%/% 23,8K rad/s 0,2186 wPara
%/% -1,25K 0 wPara
CUn
CUn
Diseño de controladores por retroalimentación
7
Ejemplo: Considere el problema de control de un proceso de primer orden con un controlador
PI. Se puede demostrar fácilmente que la respuesta de lazo cerrado está dada por la siguiente
ecuación:
CP
CPP
I
CP
PI
SP22
I
K*K1K*K*τ
τ
2
1ζ
K*K
τ*ττ
:Donde
sY*1s2ζsτ
1sτsY
τ
Para la selección de los "mejores" valores de KC y τI vamos a utilizar los criterios simples de la
respuesta subamortiguada de un sistema de segundo orden. Seleccione el criterio de asentamiento
de un cuarto. Vamos a tomar como valores de KP = 0,1 y τP= 10. Nosotros, conocemos como
razón de asentamiento a:
2ζ1
2ππ
eA
C
Por lo tanto, para nuestro problema que tenemos:
Diseño de controladores por retroalimentación
8
4
1lnK*K1*
K*K1*τK*K*τ*4
τ2π-
: tenemoscionessimplifica unas de Después
4
1e
CP2
CPICPP
I
K*K1K*K*τ
τ
2
11
K*K1K*K*τ
τ
2
1*2-
2
CPCPP
I
CPCPP
I
La ecuación tiene dos incógnitas: KC y τI. Por lo tanto, vamos a tener varias opciones de
configuración del controlador que satisfacen la relación de asentamiento de un cuarto. Como KP
= 0.1 y τP= 10. Entonces, nos encontramos con las siguientes soluciones:
KC = 1 KC = 10 KC = 30 KC = 50 KC = 100
τI = 0,153 τI = 0,464 τI = 0,348 τI = 0,258 τI = 0,153
La pregunta es cuál elegir. Por lo general, se selecciona el primero Kc para que el controlador
tenga la "fuerza" necesaria para impulsar la respuesta de vuelta al punto de consigna deseado y
luego elegimos el valor de τI correspondiente, de manera que la razón de asentamiento de una
cuarto este satisfecha.
Diseño de controladores por retroalimentación
Ejemplo: A partir de la siguiente ecuación característica de un tanque de calentamiento con
agitación continua que se obtuvo, se deben determinar los parámetros de ajuste de razón de
asentamiento de un cuarto para el controlador PID, mediante el método de la ganancia última;
también se deben calcular las raíces de la ecuación característica cuando el controlador se ajusta
con esos parámetros.
0τ
K1,205s 1,205K0,617s τ1,205K6,0437,859s3,272s0,387s
I
CC
2
DC
345
Primeramente se utiliza el método de substitución directa para calcular la ganancia y el período
de oscilación últimos de un controlador proporcional. Con τD = 0 y 1/τI = 0, la ecuación
característica se reduce a:
01,205K0,6176,043s7,859s3,272s0,387s C
234
A continuación se substituye s = iwu y KC = KCU, para obtener, después de simplificar, el
siguiente sistema de ecuaciones:
01,205K0,6177,859w0,387w
06,043w3,272w-
CU
2
u
4
u
u
3
u
A partir de éste, se pueden obtener la frecuencia y ganancia últimas:
%/% 10,44 0,6177,859w0,387w1,205
1K
rad/min 1,3593,272
6,043w
2
u
4
uCU
u
Diseño de controladores por retroalimentación
El período último es: min 4,621,359
2π
w
2πT
u
u
De acuerdo con la tabla de ajuste de razón de asentamiento de un cuarto, los parámetros de
asentamiento para un controlador PID son:
min 0,588
4,62
8
Tτ
min 2,312
4,62
2
Tτ
%/% 6,141,7
10,44
1,7
KK
uD
uI
CUC
Con estos parámetros de ajuste la ecuación característica es:
03,208,017s10,34s7,859s3,272s0,387s 2345
Con cualquier programa de calculadora o computadora, se encuentra las raíces de esta ecuación
característica, las cuales son:
-5.5520 + 0.0000i
-0.4245 + 0.9855i
-0.4245 - 0.9855i
-1.0269 + 0.4889i
-1.0269 - 0.4889i
Diseño de controladores por retroalimentación
11
Criterios de rendimiento del tiempo integral
La forma de la respuesta de lazo cerrado completo, desde el tiempo t = 0 hasta el momento que
ha alcanzado el estado estacionario, se podría utilizar para la formulación de un criterio de
comportamiento dinámico. A diferencia de los criterios simples que sólo utilizan características
aisladas de la respuesta dinámica (por ejemplo, la relación de asentamiento), los criterios de esta
categoría se basa en la respuesta completa del proceso. Los más utilizado son los siguientes:
1.- Integral del error cuadrático (ISE), donde:
2.- Integral del valor absoluto del error (IAE), donde:
3.- Integral del error absoluto ponderado en el tiempo (ITAE), donde:
Tenga en cuenta que E(t)= Ysp(t) - Y(t) es la desviación (error) de la respuesta del valor en el
punto de consigna deseado.
dt tEISE0
2
dt tEIAE0
dt tEITAE0
t
Diseño de controladores por retroalimentación
12
Seleccionar el tipo de controlador y los valores de sus parámetros ajustados de tal manera que se
minimice el ISE, IAE, o ITAE en la respuesta del sistema.
¿Cuál de los tres criterios anteriores vamos a utilizar?
Depende de las características del sistema que queremos controlar y algunos otros requisitos que
imponemos a la respuesta de control del proceso.
Las siguientes son algunas pautas generales:
• Si queremos suprimir fuertemente grandes errores, ISE es mejor que el IAE debido a que los
errores se elevan al cuadrado y por lo tanto contribuyen más al valor de la integral.
• Para la supresión de pequeños errores, IAE es mejor que el ISE porque cuando los números
pequeños (menor que uno) al cuadrado se vuelven aún más pequeño.
• Para suprimir los errores de que persisten durante tiempos largos, el criterio ITAE sintonizará
los controladores mejores porque la presencia de grandes tiempo amplifica el efecto de
inclusive pequeños errores en el valor de la integral.
En la siguiente figura se muestra, de una manera cualitativa, la forma de las respuestas de lazo
cerrado. Cuando ajustamos los parámetros del controlador utilizando ISE, IAE, o criterios de
desempeño ITAE, debemos recordar los dos puntos siguientes:
1. Diferentes criterios conducen a diferentes diseños de controlador.
2. Por el mismo criterio de tiempo integral, los diferentes cambios de entrada conducen a
diferentes diseños.
Diseño de controladores por retroalimentación
13
López y asociados, desarrollaron formulas de ajuste para el criterio de integral mínima de error
con base en la suposición de que la función de transferencia del proceso para las entradas de
perturbaciones es idéntica a la función de transferencia para la señal de salida del controlador. En
la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques del circuito para este caso, y en la tabla
posterior se dan las fórmulas de ajuste.
En estas fórmulas se aprecia la misma tendencia que en las de razón de asentamiento de un
cuarto, con la excepción de que el tiempo de integración, depende, hasta cierto punto, de la
constante de tiempo efectiva del proceso, y menos del tiempo muerto del proceso.
Diseño de controladores por retroalimentación
Modelo del proceso:
Controlador proporcional (P): GC(s) = KC
Integral del error ICE IAE IAET
a = 1,411 0,902 0,490
b = -0,917 -0,985 -1,084
Controlador proporcional-integral (PI):
Integral del error ICE IAE IAET
a1 = 1,305 0,984 0,859
b1 = -0,959 -0,986 -0,977
a2 = 0,492 0,608 0,674
b2 = 0,739 0,707 0,680
Controlador proporcional-integral-derivativo (PID):
Integral del error ICE IAE IAET
a1 = 1,495 1,435 1,357
b1 = -0,945 -0,921 -0,947
a2 = 1,101 0,878 0,842
b2 = 0,771 0,749 0,738
a3 = 0,560 0,482 0,381
b3 = 1,006 1,137 0,995
Fórmulas de ajuste de integral mínima de error para entrada de perturbaciones.
1ts
KesG
st0
b
0C
τ
t
K
aK
sτ
11KsG
I
CC
2
1
b
0
2
I
b
01C
τ
t
a
ττ
τ
t
K
aK
sτ
sτ
11KsG D
I
CC
3
2
1
b
03D
b
0
2
I
b
01C
τ
tτaτ
τ
t
a
ττ
τ
t
K
aK
Diseño de controladores por retroalimentación
Modelo del proceso:
Controlador proporcional-integral (PI):
Integral del error IAE IAET
a1 = 0,758 0,586
b1 = -0,861 -0,916
a2 = 1,02 1,03
b2 = -0,323 -0,165
Controlador proporcional-integral-derivativo (PID):
Integral del error IAE IAET
a1 = 1,086 0,965
b1 = -0,869 -0,855
a2 = 0,740 0,796
b2 = -0,130 -0,147
a3 = 0,348 0,308
b3 = 0,914 0,929
Fórmulas de ajuste de integral mínima de error para cambios en el punto de control.
1ts
KesG
st0
sτ
11KsG
I
CC
/τtba
ττ
τ
t
K
aK
022
I
b
01C
1
sτ
sτ
11KsG D
I
CC
3
1
b
03D
022
I
b
01C
τ
tτaτ
/τtba
ττ
τ
t
K
aK
Diseño de controladores por retroalimentación
Ejemplo: Se deben comparar los parámetros de ajuste que se obtienen con los diferentes
criterios de integral de error para entrada de perturbaciones de un controlador de temperatura del
intercambiador de calor; el cual K= 0,80 %/%; τ=33,8 seg y t0=11,2 seg; se debe utilizar la
función de transferencia del modelo de primer orden mas tiempo muerto, que se muestra a
continuación. Se considera a) un controlador P, b) un controlador PI y c) un controlador PID.
%/% 2,033,8
11,2
0,80
0,490
τ
t
K
0,490K :IAET
%/% 3,333,8
11,2
0,80
0,902
τ
t
K
0,902K :IAE
%/% 4,933,8
11,2
0,80
1,411
τ
t
K
1,411K:ISE
1,084084,1
0C
0,9850,985
0C
0,9170,917
0C
a) un controlador P
b) un controlador PI
Al aplicar de manera semejante las fórmulas de la tabla, se obtienen los siguientes parámetros:
Criterio ICE IAE IAET
KC, %/% 4,7 3,7 3,2
τI 30,3 25,5 23,7
(min) 0,51 0,42 0,39
Diseño de controladores por retroalimentación
c) un controlador PID
Al aplicar de manera semejante las fórmulas de la tabla, se obtienen los siguientes parámetros:
Criterio ICE IAE IAET
KC, %/% 5,3 5,0 4,8
τI 13,1 16,8 17,8
(min) 0,22 0,28 0,30
τD 6,2 4,6 4,3
(min) 0,104 0,077 0,072
La primera conclusión que se obtiene al comparar estos parámetros de ajuste es que, de todas
estas fórmulas, resultan valores del mismo orden de magnitud o “encasillados”.
La segunda es que, del criterio de desempeño ICE, resultan parámetros de control más
aproximados a lo real (ganancia más alta y tiempo de integración más corto); mientras que con el
IAET generalmente se obtienen los resultados menos aproximados a lo real.
Diseño de controladores por retroalimentación
18
Seleccione el Tipo de controlador por retroalimentación
¿Cuál de los tres populares controladores de realimentación debe utilizarse para controlar un
proceso dado? La pregunta se puede responder de una manera muy sistemática de la siguiente
manera :
1 . Definir un criterio de comportamiento apropiado (por ejemplo , ISE , IAE o ITAE ) .
2 . Calcular el valor del criterio de la capacidad utilizando un controlador P, PI, o PID con los
mejores ajustes para los parámetros ajustados KC, τI, y τD.
3 . Seleccione ese controlador que proporciona el "mejor" valor para el criterio de desempeño .
Este procedimiento, aunque matemáticamente sea riguroso, tiene varios inconvenientes prácticos
graves :
Es muy tedioso .
Se basa en modelos (funciones de transferencia) para el proceso, sensor, y el elemento final de
control los cuales no se sabe muy exactamente.
Incorpora cierta ambigüedad en cuanto a cuál es el criterio más apropiado y lo que los cambios
de entrada a considerar.
Afortunadamente, podemos seleccionar el tipo de controlador de realimentación más adecuado
utilizando sólo consideraciones cualitativas generales derivadas del análisis en el capítulo.
Diseño de controladores por retroalimentación
19
En resumen, las conclusiones fueron las siguientes :
1 . El control proporcional
(a) Acelera la respuesta de un proceso controlado.
(b) Produce un offset (es decir, error de estado estacionario distinto de cero) para todos los
procesos excepto aquellos con términos 1/s (integradores) en su función de transferencia, tales
como el nivel de líquido en un tanque o la presión de gas en un recipiente.
2 . Control Integral
(a) Elimina cualquier desplazamiento.
(b) La eliminación de la compensación por lo general se produce a expensas de mayores
desviaciones máximas.
(c) Produce respuestas oscilantes lentas y largas.
(d) Si se aumenta el valor de la ganancia Kc para producir una respuesta más rápida, el sistema
se vuelve más oscilatorio y puede ser llevado a la inestabilidad.
3 . Control derivativo
(a) Se anticipa a futuros errores e introduce medidas adecuadas.
(b) Se introduce un efecto estabilizador sobre la respuesta de lazo cerrado de un proceso.
20
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS Entonamiento de controladores
Entonamiento de controladores
21
Una vez seleccionado el tipo de controlador de retroalimentación, todavía tenemos el problema
de decidir qué valores usar para sus parámetros ajustados. Esto se conoce como el problema de
optimización del controlador. Existen tres enfoques generales que podemos utilizar para afinar un
controlador :
Usar criterios simples, tales como:
1. La razón de asentamiento de un cuarto, el tiempo mínimo de asentamiento, el mayor error
mínimo, y así sucesivamente. Tal enfoque es simple y de fácil implementación en un proceso
real. Por lo general, proporciona múltiples soluciones. Se necesitan especificaciones adicionales
sobre el funcionamiento del lazo cerrado para romper la multiplicidad y seleccionar un solo
conjunto de valores para los parámetros ajustados.
2. Utilice los desempeños de los criterios de tiempo integral como ISE , IAE o ITAE. Este
enfoque es bastante engorroso y se basa en gran medida en el modelo matemático (función de
transferencia) del proceso. Aplicando de forma experimental en un proceso real, se consume
mucho tiempo .
3. Utilice reglas semiempíricas que se han demostrado en la práctica.
Entonamiento de controladores
22
En esta sección se discuten los más populares métodos de ajuste empírico, conocido como el
método de la curva de reacción del procedimiento, desarrollado por Cohen y Coon.
Considere el sistema de control de la siguiente figura, que ha sido "abierto", desconectando el
controlador desde el elemento de control final.
Luego, se introduce un escalón unitario de magnitud A en la variable c que acciona el elemento
de control final. En el caso de una válvula, c es la posición del vástago. Registre el valor de la
salida con respecto al tiempo. La curva ym(t) se llama la curva de reacción del proceso. Entre ym
y c tenemos la siguiente función de transferencia:
sG*sG*sGsC
sYsG mpf
MPRC
Entonamiento de controladores
23
Cohen y Coon, observaron que la respuesta de la mayoría de las unidades de procesamiento a un
cambio de entrada, como el anterior, tenía una forma signoidal (véase la figura), que puede
aproximarse adecuadamente por la respuesta de un sistema de primer orden con tiempo muerto
(ver la curva de trazos en la figura):
Que tiene tres parámetros: ganancia estática K, tD tiempo muerto, y la constante de tiempo τ. A
partir de la respuesta aproximada de la figura, es fácil estimar los valores de los tres parámetros.
Por lo tanto: K = B/A = salida (en estado estacionario) / entrada (en estado estacionario)
τ = B/S, donde S es la pendiente de la respuesta signoidal en el punto de inflexión
tD = tiempo transcurrido hasta que el sistema respondió
1τs
Ke
sC
sYsG
st
MPRC
D
Entonamiento de controladores
24
Luego se derivan expresiones para los "mejores" parámetros del controlador utilizando los
cambios de load y varios criterios de desempeño, tales como:
Índice de disminución de n cuarto
Mínimo offset
Mínimo Error cuadrático integral (ISE)
Los resultados de este análisis se resumen a continuación.
1. Para los controladores proporcionales, utilice
2. Para los controladores proporcional integral, utilice
3. Para los controladores proporcional integral derivativo, utilice
3τ
t1
t
τ
K
1K D
D
C
τ20t9
τ3t30tτ
12τ
t0,9
t
τ
K
1K
D
DDI
D
D
C
τ2t11
4tτ
τ20t9
τ3t30tτ
12τ
t0,9
t
τ
K
1K
D
DD
D
DDI
D
D
C
Entonamiento de controladores
25
Ejemplo: Procesos multicapacidad: Consideremos dos sistemas de primer orden en serie:
El aparato de medición y la válvula control (elemento de control final) tienen una dinámica de
primer orden, tales como:
1sτ1sτ
KG
21
PP
1sτ
KGy
1sτ
KG
f
ff
m
mm
A continuación, la función de transferencia entre el accionamiento de la variable control c y la
medición registrada a la salida, está dada por:
1sτ1sτ1sτ1sτ
KKKGGGsG
m21f
mpf
mpfPRC
Indica que la curva de reacción del procedimiento tiene las mismas características dinámicas
como la respuesta de un sistema compuesto de cuatro sistemas de primer orden en serie (es decir,
se trata de una curva signoidal).
La siguiente figura, muestra la curva de reacción para el siguiente proceso para los valores:
10 τ0,0 τ2,0 τ5,0τ
1,0K 1,0K 1,0K
mf21
fmP
Entonamiento de controladores
26
Dibujando la tangente en el punto de
inflexión encontramos:
S = pendiente en el punto de inflexión = 0,05
B = última respuesta = 1,0
τ = constante de tiempo efectivo = B / S = 20
tD = tiempo muerto = 2,5
K = Ganancia = B / A = 1,0/1,0 = 1.0
Por lo tanto, la curva de reacción del proceso se puede aproximar a través de la respuesta del
siguiente sistema de primer orden con tiempo muerto:
120s
1,0eG
-2,5s
PRC
La respuesta aproximada también se muestra en la anterior figura. Nos damos cuenta de que la
aproximación es satisfactoria hasta que la respuesta se ha alcanzado el 40% de su valor final.
Usando los ajustes Cohen-Coon sugeridas, encontramos:
Para el controlador proporcional: KC = 8,3
Para que el controlador proporcional-integral: KC = 7,3
τI = 6,6
Para el controlador proporcional-integral-derivativo: KC = 10,9
τI = 5,85
τD= 0,89