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CONTROL 3 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA Primer Semestre 2014 (20-05-2014)

PAUTA

1.- Una masa de 4 libras de peso se suspende de un resorte ocasionando un estiramiento

de 2 pie. En el instante 0t , sin velocidad inicial la masa se desplaza 0,5 pie

sobre su posición de equilibrio y se suelta. En el mismo instante se aplica una fuerza

externa 2

.( ) 8 ( )

lb pief t sen t

seg . Suponiendo que no hay resistencia del aire,

encontrar la ecuación del movimiento resultante y la posición del objeto después de

4

segundos. Considere

232

pieg

seg

Sol:

La constante de rigidez k del resorte verifica: 42 gmk

Entonces 2

2seg

lbk y slugsm

8

1

la constante de amortiguación es 0c

la ecuación diferencial es

0)0(,2

1)0();(64)(16)( xxtsentxtx

ecuación característica de la correspondiente ecuación homogénea

ipp 40162

Luego la solución de ecuación homogénea

IRCCtsenCtCtxh 2121 ,);4()4cos()(

--------------------------------------------------------1.0 pto.-------------------------------------------

solución particular de la ecuación no homogénea

)()cos()( tBsentAtxp , ByA constantes reales por determinar.

Derivando y reemplazando se obtiene 15

640 ByA

Entonces )(15

64)( tsentx p

Y la solución general es

IRCCtsentsenCtCtx 2121 ,);(15

64)4()4cos()(

-----------------------------------------------------------1.0 pto.-----------------------------------------

2

Usando la condiciones iniciales

12

1)0( Cx y )cos(

15

64)4cos(4)( 2 ttCtx

Entonces 15

160

15

644)0( 22 CCx

---------------------------------------------------------0,5 ptos.----------------------------------------

Luego

)(15

64)4(

15

16)4cos(

2

1)( tsentsenttx y 5169,3

2

12

15

32)

4(

x

---------------------------------------------------------0,5 ptos.------------------------------------------

2.- Usando serie de potencias encuentre la solución general alrededor de 0x de la

ecuación : 2 0y x y y .

Sol.:

Como 0x es punto ordinario de la ecuación, buscaremos soluciones del tipo

0

)(n

n

n xaxy .

Derivando y remplazando en la ecuación tenemos

0)1()2)(1(2

1)1(22

0

2

02

2

n

n

nn

n

n

nn

n

n

xanann

xanxnanyyxy

Entonces 0)1()2)(1(2 2 nn anann para todo 0n

--------------------------------------------------1.0 pto.--------------------------------------------------

Obtenemos la formula de recurrencia

0;)2(2

12

na

na nn

De donde si 5,4,3,2,1,0n , se tiene respectivamente

137066

02504413022

7532

1,

322

1

,532

1,

22

1,

32

1,

2

1

aaaa

aaaaaaaa

---------------------------------------------0,5 ptos.------------------------------------------------------

3

En general se obtiene

1,)12(7532

)1(

1,!2

)1(

112

022

nan

a

nan

a

n

n

n

n

n

n

-------------------------------------------------1.0 pto.---------------------------------------------------

Luego la solución general es

IRaaxn

xaxn

axyn

n

n

n

n

n

n

n

10

1

12

1

1

2

20 ,;)12(7532

)1(

!2

)1(1)(

--------------------------------------------------0,5 ptos.------------------------------------------------