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7/24/2019 contenido_ma3b06_tema35

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEPRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

Muchos problemas fsicos dependen de alguna manera de la geometra. Uno de elloses la salida de lquido de un tanque a travs de un orificio situado al fondo del mismo. Laforma geomtrica del recipiente determina el comportamiento fsico del agua.

Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye atravs de un orificio de seccin transversal a!" el cual est# ubicado en la base del tanque. Sedesea establecer la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que estedemora en vaciarse.

Sea h$t% la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t y &$t% el volumen de

agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a travs del orificio es'

v ( )gh $*%

donde g es la gravedad. La ecuacin $*% representa la velocidad que una gota de aguaadquirira al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agu+ero.

,n condiciones reales" hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro deagua en un orificio" por lo que se tendr#

v ( c )gh

$)%

donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre - y * $ - c *%.

OBSERVACIN

Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica" se asume que c ( *

Seg/n la Ley de 0orricelli" la ra1n con la que el agua sale por el agu+ero $variacin del

volumen de lquido en el tanque respecto del tiempo% se puede e2presar como el #rea a! del

orificio de salida por la velocidad v del agua drenada" esto es

d&=a v $3%

dtsustituyendo la ecuacin $)% en la ecuacin $3%

d&( a c

dt

) gh

$4%

Si 5$h% denota el #rea de la seccin transversal hori1ontal del tanque a la altura h"aplicando el mtodo del volumen por secciones transversales se obtiene

h

& ( 5$h% dh-

derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del c#lculo


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d&=

dt5$h% dh

dt

$6%

Comparando las ecuaciones $3% y $6%

5$h%

dh

(dt

a c ) gh $7%

Sean h la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t" a! el #rea delorificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque" g la gravedad" C el coeficientede descarga y 5$h% el #rea de la seccin transversal del tanque. La ecuacin diferenciala!ciada al "r!#le$a de %aciad! del &an'ue es

5$h%dh

(dt

a c ) gh

,sta es una ecuacin diferencial de variables separables" la cual al resolversesu+eta a la condicin de conocer la altura inicial h- para el tiempo t ( -" permite obtener laley de variacin de la altura de lquido en el tanque en funcin del tiempo.

Si" adem#s" hay aporte de lquido al tanque" la ecuacin diferencial es

5$h%dh

( 8dt

a c ) gh

UNIDADES ( NOTACIONES

Ele$e&! N!&acin UnidadeAl&ura h $t% cm mt piesV!lu$en & $t% cm3 mt3 pies3

Tie$"! t seg seg seg)ra%edad g 9:* cm;seg) 9":* mt;seg) 3) pies;seg)

*rea del !rifici!de alida

a cm)

cm)

pies)

*rea de la eccin

Tran%eral

5$h% cm)

cm)

pies)

C!ef+ de decar,a c Sin Unidades


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E-ERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN. A PROBLEMAS DE

VACIADO DE TANQUES

/+ Un cilindr! rec&! circular de /0 "ie de radi! 1 20 "ie de al&ura. e&3 llen! c!n a,ua+

Tiene un "e'ue4! !rifici! en el f!nd! de una "ul,ada de di3$e&r! 5Cu3nd! e %aciar3&!d! el &an'ue6SOLUCIN7

*- pies La ecuacin diferencial asociada a los problemas de&aciado de tanques es

5$h% dh ( < a c ) g h dt $*%

,l di#metro del orificio por donde fluye el agua fueradel tanque es de * pulgada" por lo tanto el radio es *;)pulgada. Como las dimensiones del tanque est#n dadas

*en pie" utili1ando la equivalencia de * pulgada ()-*)

pies

piesy puesto que el #rea del orificio de salida es el #rea de

h una circunferencia $ (radio)) %" resulta que el #rea a!del orificio de salida es

a ( *

)

(

pie)

)4 6=7

>ig.* ,l coeficiente de descarga c! no est# dado por lotanto se asume c ( * y la gravedad es g ( 3) pies;seg

)

?ara determinar 5$h%" que es el #rea de la seccin transversal del tanque en funcinde la altura h! " obsrvese en la >ig. * que las secciones transversales del tanque soncircunferencias de radio constante r ( *- pies. ?or lo tanto" el #rea de la seccin transversales la misma" independientemente de la altura h a la cual se efect/e el corte. 5s"

5$h% ( $ *- %)

(

*-- pies)

Sustituyendo a" c" g" y 5$h% en la ecuacin $*%

multiplicando por

*--

*y simplificando

dh ( ig. *" las secciones transversales del tanque soncircunferencias cuyo radio vara dependiendo de la altura a cual se efect/e la seccintransversal. Sea h la altura a la cual se efect/a el corte y r el radio de la circunferencia. ,l#rea de la seccin transversal es variable y est# dada por

5$h% ( r) $)%

?ara e2presar r en funcin de h" debe hacerse una abstraccin" en el sentido devisuali1ar el tanque" no como un slido" sino como una figura plana. Hbservando el tanquede frente como una figura plana se ve tal y como se muestra >ig. )


8/55

Si se ubican los e+es coordenados de talforma que el vrtice del cono coincida con elorigen del sistema de coordenadas" entoncesse tiene una figura simtrica respecto del e+e y"tal y como se muestra en la >ig. )

altura

6 pies 6 pies

6

r

*)h

>ig.3

*)pies

r

h

radio

>ig. )

?or simetra" ser# suficiente traba+ar con uno de los tri#ngulo

?or seme+an1a de tri#ngulos $ver >ig. 3% se tiene entonces la siguiente relacin deproporcin

r=

6

despe+ando rh *)

r (6

h*)

$3%

sustituyendo la ecuacin $3% en la ecuacin $)%

6 ) )6 )

5$h% ( h *)

( h*44

Sustituyendo 5$h%" a" c y g en la ecuacin $*%

)6 h ) dh (

* 7 74h dt

multiplicando por *44

*44 *44 *-

)6 h) dh ( ig. *" es decir"

F h$-% ( F.h

,l orificio de salida tiene radio r" por lo2 tanto" el #rea del orificio de salida es a ( r)

>ig. *Sea c el coeficiente de descarga y g la

gravedad.

Las secciones transversales del tanque hemisfrico" son circunferencias de radiovariable" seg/n la altura donde se realice la seccin transversal. Sea 2 el radio variable de laseccin transversal. ?or ser circunferencia" el #rea es

5$h% ( 2) $)%

Se debe establecer una relacin entre el radio 2 y la altura h" de tal forma que el #reade la seccin transversal quede e2presada en funcin de la altura h.

Hbservando el tanque de frente comouna figura plana y ubic#ndolo en un sistemade coordenadas cartesianas rectangularescomo se muestra en la >ig. ). ?uesto que la>ig.) resultante es simtrica respecto dele+e y" ser# suficiente traba+ar con la mitadde la figura.

altura

F

F < h FF 2

h

radio>ig. )

FF < h

2 >ig 3

,l tri#ngulo que se forma" tiene como baseel radio .2" ..altura.. $ F < h % .e.. hipotenusa F .

5plicando el 0eorema de ?it#goras altri#ngulo de la >ig. 3

F)

( 2)

A $ F < h %)


11/55

desarrollando

simplificando

F)

( 2)

A F)

D ) F h A h)

2)

( ) F h < h)

$3%

sustituyendo la ecuacin $3% en la ecuacin $)%5$h% (

$ ) F h < h

)% $4%

5hora se sustituyen 5$h% y a en la ecuacin $*%

$ ) F h < h) % dh ( < r) c ) gh

dt $6%

La ecuacin $6% es una ecuacin diferencial de variables separables. ?ara separar las

variables se multiplica la ecuacin $6% por el factor *

r) c )gh

* $ ) F h < h)

% dh ( dt $7%

r)

c )gh

5 partir de la ecuacin diferencial $6% y sabiendo que para el tiempo t ( - la altura esh ( F" se debe determinar el tiempo de vaciado tv" esto es el tiempo para el cual la altura delquido en el tanque es cero.

Se plantea as" el problema de valor de frontera

) F h h )

dh = dt

r)

c ) g hh$-% =Fh$t

% =-

Integrando la ecuacin diferencial $7% de forma definida' el tiempo vara entre t ( -y t ( tv $tv tiempo a determinar% la altura vara entre h ( F y h ( -

- t v1

2 R h h)

r)

c

)g

F

dh (

dt $=%

-

Fesolviendo las integrales definidas-

2 R h h

) F F F

2 R h h

) dh F

( -

dh

( < ) F h1/ 2 dh-

+ h3 / 2 dh-

v

h

h h


12/55

F

4 F h3 ; )

( A3

-

F

) h6 ; )

(6

-

4 F6; )

3

) F6; )

A (6

*4 F6; )

*6

t v t v

dt ( t

;( tv

--

sustituyendo los resultados de las integrales en al ecuacin $=%

*4 F6 ; ) ( tv

r) c )g *6

?or lo tanto" el tiempo que demora en vaciarse el tanque es t (*4 F)

*6 r)

c

F

) g

@+ Un &an'ue de a,ua &iene la f!r$a 'ue e !#&iene al 8acer ,irar la cur%a 1 ? ;

alreded!r del e>e 1+ Siend! la //72 de la $a4ana e re&ira un &a"n 'ue e&3 en elf!nd! 1 en ee $!$en&! la "r!fundidad del a,ua en el &an'ue e /2 "ie+ Una 8!ra$3 &arde la "r!fundidad del a,ua a decendid! a la $i&ad+ De&er$inea9 5A 'u= 8!ra e&ar3 %ac:! el &an'ue6#9 5A 'u= 8!ra 'uedara en el &an'ue 2@G del %!lu$en de l:'uid! inicial6SOLUCIN7

*) mt

7"46 mt

h

a% La curva y ( 24;3

que se hace giraralrededor del e+e y para generar el tanquetiene su vrtice en el origen. Cuando lavariable y toma el valor de la m#2imaprofundidad de lquido en el tanque" esto es"y ( *)" la variable 2 que representa el radiode giro toma el valor 2 ( $*)%

3;4( 7"46. ,n la

>ig. * se muestra la forma apro2imada deltanque

La ecuacin diferencial asociada a unproblema de vaciado de tanque es

r >ig. * 5$h% dh ( < a c )gh

dt $*%

,l coeficiente de descarga es c ( * y la gravedad es g ( 3) pies;seg). ,l #rea a del

orificio de salida debe determinarse.

Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. ?or lo tanto" el#rea de las secciones transversales es

5$h% ( r) $)%

; ;

*


13/55

,l radio r debe e2presarse en funcin de la altura h. ?ara ello debe observarse eltanque como una figura plana" vista desde el frente. La >ig. ) muestra la curva plana

y ( 24;3

altura

*)

7"46

r

y ( 24;3

? $r"h%

Hbserve en la >ig. ) que el punto ?$r" h%pertenece a la curva y ( 2

4;3@ esto quiere

decir que las coordenadas del punto ?

satisfacen la ecuacin de la curva.

Sustituyendo 2( r" y ( h

h ( r4;3

J hEespe+ando r

r ( h3;4

$3%

radio >ig. )

sustituyendo la ecuacin $3% en la ecuacin$)%

5$h% ( h 3;)

Una ve1 que el #rea de la seccin transversal del tanque ha quedado e2presada enfuncin de la altura" se sustituyen 5$h%" c y g en la ecuacin $*%

h3 ; ) dh ( < a 74 h dt $4%

La ecuacin $4% es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteadoy debe resolverse su+eta a dos condiciones' la primera condicin es que para eltiempo t ( - seg" la altura es h ( *) pies@ la segunda condicin es que luego de una de

iniciado el proceso de vaciado" es decir" para t ( 37-- seg" la altura de lquido en el tanqueha descendido a la mitad" esto es" h ( 7 pies.

?or lo tanto" lo que debe resolverse es el problema de valor de frontera

h3 ; ) dh =h$-% =*)h

: a h dt

$37--% =7



= *

3 ; )

74 h : h

h dh ( a dt $6%

integrando definidamente@ el tiempo vara entre t ( - seg y t ( 37-- seg@ la altura vara entreh ( *) pies y h ( 7 pies

: h


14/55

7

h3 ; )

37--

: *)

dh

= a dt (6)

-

Fesolviendo las integrales7 *)

h3 ; )

*)) ) )

dh (

h dh ( h

;(( *) ) ( 7 ) + ( < =) A *: ( < 64

h *)

)

7

37--

) )7

37--

dt ( t ; ( 37---

o

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin $7%

multiplicando por

*

37--

$64% ( 37-- a:

* )=

simplificando

37--

( a4

a (3

*7--

,ste valor que se obtuvo para a $#rea del orificio de salida% se sustituye en laecuacin $6%

3; ) 3

h dh ( dt *7--

multiplicando por

*7--y simplificando

3

)--

h dh3

( dt $=%

Se pide determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque" es decir" el tiempopara el cual la altura de lquido en el tanque se hace cero. ?ara ello se debe resolver elproblema de valor de frontera

)--

3

h dh = dt

h$-% =*)h$t

% =-

h

h:

v


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La ecuacin diferencial $=% se integra de forma definida' el tiempo vara entre t ( - segy t ( tv@ la altura vara entre h ( *) pies y h ( - pies

)--

3

-

h dh

t v

(

dt $:%

*) -

Fesolviendo las integrales defindas-

h dh*)

*)

( h dh-

t v

*)

( h

( < =))

-

t v

dt ( t

;( tv

--

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin $:%

tv ( )--

$=)% = 4:--

3

Ee aqu se tiene que" el tanque demora en vaciarse t ( 4:-- seg" lo que equivale a* hora y )- min. Si el proceso de vaciado se inicio a las **')= am" entonces para saber a quehora el tanque estar# vaco" debe sumarse el tiempo de vaciado tv a las **')=. Luego" el

tanque estar# vaco a las *)'4= pm.

b% ?ara saber a que hora queda en el tanque el )6K de su capacidad" se debecomen1ar por establecer cual es la altura de lquido en el tanque cuando resta el )6K de sucapacidad.

Como se conoce la altura inicial de lquido en el tanque" el volumen total se determinapor el mtodo del volumen por secciones transversales

h- *) *) 6 ; )

V =

A(h) dh

-

=

-

h3;)

dh () h

(

6-

) $ *) %

6

luego el )6K del volumen total es

)6K & (

)6 ) $ *) %6 ; ) (

$*) %6 ; )

*-- *-

Conocido el volumen cuando resta el )6K de lquido en el tanque" utili1ando el mismomtodo por secciones transversales" se podr# determinar cual es la altura de lquido en eltanque en este caso

;)

;

6


16/55

sustituyendo 5$h% y )6K &

h)6K

)6K & ( 5$h% dh-

h)6K

$*) %6 ; )(

*- h3 / 2 dh$9%

-

Fesolviendo la integral definidah)6K 6 ; )

h)6K

h3 / 2 dh =-

) h6

-

()

$ h6

)6K%6 ; )

sustituyendo el resultado de la integral en la ecuacin $9%

multiplicando por 6

)

$ *) %6 ;)

*-

(

6 ; )

) 6

$ h)6K %6 ; )

$*) %6 ; )

elevando a );6

$ h)6K %

h)6K =

(4

*)= 7":9

$ 4 %) ; 6

Una ve1 conseguida la altura de lquido en el tanque cuando queda el )6K delvolumen total" se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esa altura. ?ara ellodebe resolverse el problema de valor de frontera

)-- 3

h dh = dt

h$-% =*) *)h$t

)6K % =

$ 4 %

) ; 6

La ecuacin diferencial $=% se integra de forma definida' el tiempo vara entre t ( - seg

*)y t ( t)6K@ la altura vara entre h ( *) pies y h (

$ 4 %) ;

6

pies

;


17/55

)--

3

*)

$ 4 %) ;

6

h dht)6K

( dt $*-%*) -

Fesolviendo las integrales defindas*)

$ 4 %) ; 6

*)*)

h dh*)

( h dh ( *)

$ 4 %) ; 6

) *)

$ 4 %) ;

6

)( < =) A

* *) ) $ 4 %) ; 6

( < =) A )3"=6 (


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De&er$ine7a9 Tie$"! 'ue de#e &rancurrir "ara 'ue 'uede en el &an'ue un c!n&enid! e'ui%alen&eal /H.@G de u ca"acidad#9 Tie$"! de %aciad! &!&al del &an'ue

SOLUCIN7

La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es

5$h% dh ( < a c )gh dt $*%

,l #rea del orificio de salida es a ( * cm)" pero como las dimensiones del tanque est#n

en metros debe efectuarse la conversin. ?uesto que * cm ( -"-* mt ( *-< )

mt" entoncesa ( * cm

)( $* cm %

)( $ *-

D )mt%

)( *-

D 4mt

).

,n el enunciado del problema dan el coeficiente de descarga c ( 44=.*-D 3

y lagravedad g ( *-mt;seg

)

Seg/n puede observarse en la >ig. *" las secciones transversales son rect#ngulos"dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a : y los otros dos lados de longitudvariable r. ,l #rea de la seccin transversal es entonces

5$h% ( : r $)%

Eebe e2presarse la longitud r en funcin de la altura h. ?ara ello si se observa eltanque de frente" como una figura en un plana" ubicada en un sistema de coordenadascartesianas rectangulares" se ver# como lo muestra la siguiente >ig. )

y) mt $)"4%

?$r"h%

Hbsrvese que el punto ?$r"h% pertenece a larecta que pasa por los puntos $*" -% y $)" 4%. La

pendiente la recta es

r4 mt

h

$*"-% 2*mt >ig. )

m (4 -

( 4) *

La ecuacin de la recta que pasa por el punto$*" -% $o $)" 4%% y tiene pendiente 4 es

L' y ( 4 $ 2 < * %

a que el punto ? $r" h% pertenece a la recta Lentonces satisface la ecuacin de dicha recta" por lo tanto sustituyendo 2 ( r " y ( h

h ( 4 $ r < * %

despe+ando r r ( h A * $3%4

Sustituyendo la ecuacin $3% en la ecuacin $)%" se tiene el #rea de la seccionestransversales en funcin de la altura h


19/55

5$h% ( :h *4

( ) $ h A 4 %

5hora se sustituyen 5$h%" a" c y g en la ecuacin $*%

) $ h A 4 % dh ( < *-< 4

. 44= . *-< 3 )-h dt

simplificando) $ h A 4 % dh ( < 44= . *-

< = )-h

*;)

dt $4%

La ecuacin diferencial $4% es una ecuacin diferencial de variables separables y deberesolverse su+eta a la condicin de que la altura inicial de lquido en el tanque es 4 mt" esdecir" h$-% ( 4. ?ara separar las variables" la ecuacin $4 % debe multiplicarse por el factor

*-=

44= )- h

*; )

= +

) .*-

h 4

dh

( dt

44= )- h*; ) integrando

2 .10=

44= )-

*; ) dt $6%h

5mbas integrales son inmediatas

dh =

h1/ 2 dh + 4

h1/ 2 dh = h3 ; )

A : h*;)

A B

h +4 )*h*; ) 3

dt ( t A B2sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin $6%

) .*-=

)

h3 ; ) +: h*; )

( t A B $7%

44= )- 3

?ara determinar el valor de la constante B de integracin se usa la condicin inicialh$-% ( 4" esto es" se sustituye en la ecuacin $7% t ( - seg y h ( 4 mt"

B (

) .*-= ) 3 ; ) + : $4*; )

44= )- 3 =

) ( ) .*-

4*;)

4 +: 44= )-

=

3

3)

*): .*-=

( 4 .*-

(

44= )- 3 *34* )-este valor obtenido para B se sustituye en la ecuacin $7%

+

%4

( t


20/55

) .*-=

)

h3 ; ) +: h*; )

*): .*-=

44= )- 3 *34* )-


21/55

despe+ando t ) .*-

=

t (74

)h

3 ; ) : h*; )

$=%

44= )- 3 3

La ecuacin $=% representa la relacin funcional entre altura y tiempo.

a que se debe determinar el tiempo que debe transcurrir para que en el tanquequede solo el *:"=6K del volumen total de lquido" para usar la ecuacin $=% ser# necesarioconocer la altura de lquido en el tanque" cuando en este queda el *:"=6K del volumen total.

Se comien1a por determinar el volumen total de lquido en el tanque. Como el tanquese encuentra lleno" la altura total de lquido en el tanque coincide con la altura inicial.

5plicando el mtodo de las secciones transversales para hallar el volumen totalh- 4 4 4

& (

5$h% dh (

) $ h +4 % dh ( )

h dhA :

dh

- - - -

4 4

( h)

-

A :h

-

( *7 A 3) ( 4:

5s" el volumen total de lquido en el tanque es & ( 4: mt3. Luego" el *:"=6K del

volumen total es

*:"=6K & ($ * : "=6 % $ 4:

%*--

(9--

( 9

*--

5hora" usando la misma ecuacin anterior para calcular volumen" se puede establecercual ser# la altura h* del lquido en el tanque" si se sabe que el volumen es *9"=6K & ( 9 mt

3

h*

*:"=6K & ( 5$h% dh-

sustituyendo los datos

9 (

h*

)$ h-

h*

+4 % dh ( $ h) A :h %

-

( $ h* %)

A : h*

se tiene entonces una ecuacin de segundo grado en h*$ h* %

)A : h*< 9 ( -

Fesolviendo la ecuacin de segundo grado

: $:%) 4 $*%$9%

: *-- : *-

; ;

;


22/55

h* =)$*%

()

()


23/55

de donde resulta h ( < 9 y h ( *

a que h debe ser positivo" pues representa una altura" el valor h ( < 9 se descarta"por lo tanto" la altura de lquido en el tanque cuando el volumen es de *:"=6K del volumentotal es h ( * mt.

Luego" para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta *:"=6K delvolumen total" ser# suficiente con sustituir h ( * mt en la ecuacin $=%

) .*-=

t (74 ) :

( *)7=)="*934

44= )- 3 3 5s" el tanque demora en vaciarse hasta el *:"=6 K del volumen total

t ( *)7=)="*934 seg ( 36 horas *) min = seg ( * da ** horas *) min = seg.

b% ?ara determinar el tiempo de vaciado total del tanque" es decir" cuando la altura delquido en el tanque es cero" se sustituye h ( - en la ecuacin $=%

) .*-= 74 *): .*-=tv ( 44= )- ( 3

*34* )- ( )*3436")=3

5s" el tanque demora en vaciarse totalmentet ( )*3436")=3 seg ( 69 hora *= min *6 seg ( ) das ** horas *= min *6 seg

+ El &an'ue 'ue e $ue&ra en la fi,ura e encuen&ra llen! en un /00G7 El l:'uid!eca"a "!r un !rifici! de @ c$2 de 3rea. i&uad! en el f!nd! del &an'ue+ De&er$inea9 Tie$"! de %aciad! &!&al#9 Tie$"! "ara 'ue el %!lu$en de l:'uid! en el &an'ue decienda @ $&

SOLUCIN7

4 mt

: mt

M

*) mt L

h

3 mt

2mt>ig *


24/55


5$h% dh ( < a c ) gh dt $*%

,l coeficiente de descarga es c ( *@ la gravedad es g ( 9":* mt;seg)

,l #rea del orificio de salida est# dado en cm)" pero como las dimensiones del

tanque est#n dadas en mt" debe reali1arsela conversin a una sola unidad" 5sa ( 6 cm

)( 6 . *-

< 4mt

)

Seg/n se muestra en la >ig. *" las secciones transversales del tanque sonrect#ngulos" cuyo lados varan en funcin de la altura a la cual se efect/e la seccintransversal" sean L y M las longitudes de los lados. ,ntonces el #rea de la seccintransversal es

5$h% ( L M $)%

Se deben e2presar ambos lados $ L y M % en funcin de la altura.

Si se observa el tanque por una de sus caras y se considera una figura plana"ubic#ndola en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares" se obtiene lo que semuestra en la >ig. ).

y

*) mth

3 mt 2

L: mt

Como puede observarse la >ig. ) es simtricarespecto al e+e y" por lo tanto" a fin de establecer larelacin entre L y h se traba+a con la mitad del trapecioque se forma" como se muestra en la >ig.3

y4 mt

*) mt L ; )h

>ig ) 3;) mt 2 >ig 3

Se puede obtener la relacin entre L y h" a travs de la recta que pasa por los puntos$3;)" -% y $4" *)%" recta a la cual pertenece el punto $L;)" h%. Sin embargo" se mostrar# otroprocedimiento" el cual nos conduce a la misma relacin.

Hbserve que la >ig 3. se forma con un rect#ngulo y un tri#ngulo. Considrese eltri#ngulo. ,n la >ig. 4 se indican las dimensiones de los lados de dicho tri#ngulo.

Si se aplica seme+an1a de tri#ngulos a los dos tri#ngulos de la >ig. 4


25/55

4 ig. 4L (

6h A 3 $3%

*)

5hora debe visuali1arse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a laanterior. La figura plana que se observa" resulta igual a la de la >ig. )" lo que vara son lasdimensiones de las aristas" tal y como se muestra en la >ig. 6

y Como puede observarse la >ig. 6 es simtricarespecto al e+e y" por lo tanto" a fin de establecer larelacin entre M y h se traba+a con la mitad del trapecioque se forma

*) mth

) mt 2

M

4 mt>ig 6

y) mt

*) mt M ; )h

* mt 2 >ig 7

Se puede obtener la relacin entre m y h" a travs de la recta que pasa por los puntos$3;)" -% y $4" *)%" recta a la cual pertenece el punto $L;)" h%. Sin embargo" se mostrar# otroprocedimiento" el cual nos conduce a la misma relacin.

Hbserve que la >ig 7. se forma con un rect#ngulo y un tri#ngulo. Considrese eltri#ngulo. ,n la >ig. = se indican las dimensiones de los lados de dicho tri#ngulo. Si se aplicaseme+an1a de tri#ngulos a los dos tri#ngulos de la >ig. =

*) mt

) < * ( * mtM 1)

mt

simplificando

despe+ando M

(M

* )

*(h *)

M )(

*

) h *)

h mt

>ig. =M (

*h A ) $4%

7

)


26/55

Las ecuaciones $3% y $4% se sustituyen en la ecuacin $)%" resultando que el #rea de laseccin transversal del tanque en funcin de la altura es

5$h% ( 6

*) h +3

*

7

h +)

(

(6h

+37 )(h +*) )(

=)

6 h) +97 h +

43)

=)


) 6 h + 97 h + 43) dh ( < 6 . *- e %er&ical 8acia a#a>! cu1adi$eni!ne !n 2 $& de di3$e&r! 1 al&ura ; $&+ El &an'ue inicial$en&e e&a llen! en u&!&alidad 1 el li'uid! eca"a "!r un !rifici! de 20 c$2 de 3rea i&uad! al f!nd! del&an'ue+ De&er$inea9 Cu3n&! &ie$"! de#e &rancurrir "ara 'ue 'uede en el &an'ue l! un &erci! de uca"acidad inicial#9 Calcular el &ie$"! 'ue &arda en %aciare &!&al$en&e

SOLUCIN7

a% La ecuacin diferencial asociada a losproblemas de vaciado de tanques es

r5$h% dh ( < a c )gh

dh$*%

3 mt

) mt

h

>ig. *

Las dimensiones del tanque est#ndadas en metro" por lo que el #rea del orificiode salida tambin debe quedar e2presado en

metroa ( ) cm

)( ) $ *-

< )mt %

)( ) . *-

< 4mt

)

,l coeficiente de descarga es c ( * y lagravedad es g ( 9":* mt;seg

)

Como puede observarse en la >ig. *"las secciones transversales del tanque soncircunferencias cuyo radio r vara de acuerdocon la altura a la cual se efect/e el corte

5s" el #rea de las secciones transversales es

5$h% ( r)

$)%

Eebe establecerse una relacin entre el radio variable r de las circunferencias y laaltura h. ?ara ello" debe visuali1arse el tanque de frente como una figura plana. Ubic#ndoloen un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares" se ver# como se muestra en la>ig. )

adas en metros


31/55

La ecuacin de la curva que giraalrededor del e+e y para generar el tanqueno est# dada e2plcitamente por lo quedebe determinarse.

La ecuacin ordinaria de la par#bola

de vrtice $2-" y-%" e+e el e+e y" abre haciaaba+o y donde p es la distancia entre elvrtice y el foco es

$ 2 < 2- %)

( D 4 p $ y < y-%

altura

3 mt r

?$r" h%

h

,l vrtice de la par#bola que semuestra en la >ig. ) es el punto $-" 3% ypasa por los punto $*" -% y $< *" -%.

* mt radio

>ig. )

Sustituyendo en la ecuacin ordinaria de la par#bola las coordenadas del vrtice y lascoordenadas de uno cualquiera de los dos puntos por donde pasa

$ * < - %) ( D 4 p $ - < 3 % *) p ( * p ( **)

Ee aqu que" la ecuacin de la par#bola que se gira alrededor del e+e y para generarel paraboloide de la >ig. * es

2)

( *

$ y3

3 % $3%

,l punto ?$r" h%" seg/n se muestra en la >ig. )" es un punto de la par#bola. ?or lo tatosatisface la ecuacin de la misma. Sustituyendo 2 ( r " y ( h en la ecuacin $3%

r) ( *3

$ h 3 % $4%


5$h% (

$ h3

3 % ( $ 3

3

h % $6%

La ecuacin $6% representa el #rea de las secciones transversales $circunferencias deradio variable% en funcin de la altura.


$ 33

h % dh ( < ) . *- < 4 *9"7) h dt $7%

La ecuacin $7% es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado"la misma debe resolverse su+eta a la condicin inicial h$-% ( 3" es decir" para el tiempot ( - seg la altura es h ( 3 mts $tanque totalmente lleno%.


32/55


*-4

variables se multiplica la ecuacin $7% por el factor )

*9"7) h*; )

*-4 3 h dh ( dt

integrando7 *9"7) h

*-43 h dhh

*; ) ( dt $=% 5mbas integrales son inmediatas

dh 3

hdh

hdh ( 7 h

)

h + k

3 h

h*; )

*; ) *; ) *;) 3;)*

3

dt ( t A B2sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin $=%

*-4 ) $ 7 h*;) ig. *

,l coeficiente de descarga es c ( -"=6y la gravedad es g ( 9":* mt;seg

)

Las secciones transversales del tanqueson circunferencias de radio variable r" seg/npuede verse en la >ig. *" el cual varadependiendo de la altura donde se haga elcorte transversal. ,ntonces el #rea de lassecciones transversales es'

5$h% ( r) $)%donde r debe e2presarse en funcin de h.


35/55

?ara poder e2presar el radio r en funcin de la altura h se debe visuali1ar el tanque defrente" como una figura plana y ubicarla en un sistema de coordenadas cartesianasrectangulares" tal y como se muestra en la >ig. )

Hbserve" en la >ig. )" que el punto?$r" h% pertenece a la recta que pasa porlos puntos $)" -% y $4" :%. La pendiente de

esa recta es

4 mt

$4":%

m (: -

( 44 ) r ? $r" h%

?ara escribir la ecuacin de la rectase usa cualquiera de los dos puntos

Luego" la ecuacin de la recta quepasa por los puntos $)" - % y $4":% es

y ( 4 $ 2 < ) %

el punto ?$r" h% es un punto de la recta"entonces sustituyendo 2 ( r" y ( hh ( 4 $ r < ) %

despe+ando r

: mt

r (h+)

4

h

$)" -%

) mt >ig. )

$3%


5$h% ( h

)

+)4

$4%

La ecuacin $4% representa el #rea de las secciones transversales del tanque" enfuncin de la altura h.


h )

+)4

dh ( < *-< 3

=6 . *-< ) *9"7) h dt $6%

La ecuacin $6% es la ecuacin diferencial asociada al sistema" la cual debe resolversesu+eta al a condicin de que al tiempo t ( - seg el volumen inicial es 9-K del volumen total.

Como la ecuacin diferencial $6% relaciona las variables tiempo t y altura h" es necesariodeterminar la altura inicial de lquido en el tanque" esto es" la altura cuando el tanque est#lleno al 9-K de su capacidad.

Se debe determinar primero el volumen total del tanque. ?ara ello se usa el mtododel volumen por secciones transversales" seg/n el cual" el volumen viene dada como


36/55

h :

h )

- -

:

) + +

-

h3

h)

:

6*)

))4

( 4:

+ + 4 h

(

-

4:

+ 3) + 3) ( 3

Como el volumen total es & (

337

))4

3

mt3

" entonces el volumen inicial de lquido en el

tanque es &- ( 9-K & ( 6

. Una ve1 conocido el volumen inicial &-" la altura inicial

puede determinarse utili1ando la ecuacin que permite obtener el volumen a partir del #reade las secciones transversales. 5s se tendr#

sustituyendo &- y 5$h%

h-

&0

( 5$h% dh-

337 =

6

h-

h

+4

-

)

)

dh

Como pueden haber observado anteriormente" al resolver la integral definida seobtiene una ecuacin de tercer grado" la cual puede no tener races enteras" por lo tantosera necesario contar con una calculadora para poder determinar las races del polinomio.

5 efecto de evitar este tipo de complicaciones" la integral definida puede resolverseefectuando un cambio de variable

u

h Si h =-entonces u =)

Sea

= +)4

Si

h =h- entonces u =h- +)4

entonces

h =4 (u ))

h-)

h- +)4

dh =4 du

h- +)4

3 4

u

du = u3

= 3 4

+) )

337 =

h - ) 4 3

h

; )

;


37/55

) ) 4h- 3

de aqu resulta que


38/55

337 (

4 h 3

+)

)3

multiplicando por

3

4

6

3

3

337

4

h- 3

( +) :

sumando : y elevando a *;34 6 4

*; 3)6) +:

restando ) y multiplicando por 4

6 4

)6) h- = 4 3 6

)

( 7"==

Una ve1 obtenida la altura inicial" se procede a resolver la ecuacin diferencial $6%su+eta a la condicin inicial h$-% ( 7"==" esto es" para el tiempo t ( - seg" la altura esh- ( 7"== mt. Se desea determinar el tiempo de vaciado tv total del tanque" es decir" eltiempo tv para el cual la altura de lquido en el tanque es h ( -.

Se plantea entonces resolver el problema de valor de frontera

h )

+) dh = =6 . *- 6

*9"7) h dt

4 h$-% =7"==h$t

% =-

La ecuacin diferencial a resolver es una ecuacin de variables separables. ?ara

*-6 separar las variables se multiplica la ecuacin por el factor =6 *9"7)

)

h6 +)

*- 4 dh = dt $7%

=6 *9"7) h*; )

integrando la ecuacin $7% de forma definida' el tiempo t vara entre t ( - seg y t ( tv@ laaltura h vara entre h ( : mt y h ( -

- h ) t v

= *-6 +)= 4

dh = dt $=%=6 *9"7):

h*; )

-

-

v

h


39/55

Fesolviendo las integrales definidas

) - h )

: h +h +4 : +) *7 h3 ; )

dh *7: - -

*; ) *; )

$ : %3 ; )(

$ : %*; ) 4 $ : % *;)

( (: )*; ) :

+* +4

*7

( ) :t v t v

*7 :

dt ( t ; ( tv-

-

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin $=%6

t = *-

() : ) ( 66*6" 63=6v=6 *9"7)

,l tanque demora un tiempo t ( 66*6" 63=6 seg" equivalente a * hora 3* min 67 seg"en vaciarse totalmente.

/0+ El d:a /@ de >uli! de 200. a la 2.2@ "$. e "!ne a %aciar un &an'ue cil:ndric! c!ne>e 8!ri!n&al. el cual e&3 inicial$en&e llen! en un /00G+ La l!n,i&ud del &an'ue e de/0 $&. el radi! $&+ Si el a,ua flu1e "!r un !rifici! de 3rea 2 c$2 . i&uad! en el f!nd!

del &an'ue 1 e 8a e&a#lecid! el c!eficien&e de decar,a en 0.. de&er$ine 'ue d:a 1 a'ue 8!ra el &a'ue e %ac:a &!&al$en&e+

SOLUCIN7

*- mt

4 mt

: mt

h

r >ig. *

h +h +4 h


40/55


5$h% dh ( < a c ) g hdt

$*%

,l #rea del orificio de salida es a ( ) cm). Como las dimensiones del tanque est#ndadas en metros" debe efectuarse la conversin a mt" del #rea del orificio de salida

a ( ) cm)

( ) $*-< )

mt %)

( ) . *-< 4

mt)

,l coeficiente de descarga es -"7 y la gravedad 9":* mt;seg)

Si se observa en la >ig. *" las secciones transversales son rect#ngulos de largo *- mty ancho variable" dependiendo de la altura a la cual se efect/e el corte transversal. Sea r lalongitud del lado variable" entonces el #rea de las secciones transversales es

5$h% ( *- r $)%

La longitud r debe e2presarse en funcin de la altura h. ?ara ello se debe" efectuandouna abstraccin del slido que es el tanque" visuali1ar el tanque de frente y representarlo enun sistema de coordenadas cartesianas rectangulares como una figura plana como semuestra en la >ig. )

altura

:

h

2)

A y)< : y ( -

? $r" h%

r radio

Ee acuerdo con la >ig. )" la curvaplana que resulta es una circunferenciade centro en $-" 4% y radio 4" la cual tienepor ecuacin

2) A $ y < 4 %) ( *7desarrollando y simplificando

2)

A y)

< : y ( -

Como puede observarse en la >ig.)el puntp ?$r" h% es un punto de laCircunferencia" es decir" las coordenadasdel punto satisfacen la ecuacin.

4 mt>ig. )

Sustituyendo en la ecuacin de lacircunferencia 2 ( r " y ( h

despe+ando rr)

A h)

< : h ( -

r ( : h h) $3%


5$h% ( *-: h h)



41/55

simplificando

*- : h h) dh ( < ) . *- < 4 7 . *- < * *9"7) h dt

*- : h h) dh ( < *) . *-< 6 *9"7) h dt $4%

La ecuacin $4% es la ecuacin diferencial asociada al problema" la cual deberesolverse su+eta a la condicin inicial h$-% ( :" es decir" para el tiempo t ( - seg" la altura delquido en el tanque es doble del radio del cilindro h ( : mt


*-6

variables se multiplica la ecuacin $4% por el factor *)

*9"7) h*; )

integrando

*-7

*) *9"7)

: h h)

hdh ( dt

*-7

*) *9"7)

: h h)

h

dh ( dt $6%5mbas integrales son inmediatas

): h dh (

h

: h(dh )

(

: h d $ : h %(

) $ : h %3 ;)

3

A B*

dt ( t A B2sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin $6%

*-7

*) *9"7)

)$ : h %3 ; )

3

( t A B $7%

?ara determinar el valor de B se usa la condicin inicial h$-% ( :" es decir" se sustituyet ( - seg y h ( : mt en la ecuacin $7%" resultando B ( -. ,ste valor obtenido para B sesustituye en la ecuacin $7%

t ( *-7

)

$ : h %3 ; )

*) *9"7) 3 efectuando las operaciones y simplificando

7

t (*-


42/55

$ : h %3 ; ) (7)*: *9"7)

La ecuacin $=% representa la ley de variacin de la altura h en funcin del tiempo t


43/55

?ara saber cuando se vaca totalmente el tanque" es decir" cuando la altura de lquidoen el tanque es h ( - mt" se sustituye este valor de h en la ecuacin $=%

tv ( *-

7 $ : %3 ; )

(* -

7 6*) ( ):3:--"3:-:

*: *9"7) *: *9"7)

Ee aqu que el tanque demora en vaciarse un tiempo t ( ):3:--"3:-: seg" lo queequivale a =: horas 6- min. ?ero =: horas equivale a 3 das y 7 horas. Luego" el tanque sevaci despus de 3 das" 7 horas y 6- min de iniciado el proceso de vaciado" el cualcomen1 el da *6 de +ulio de )--7 a las )')6 pm. ?or lo tanto el tanque termin de vaciarseel da *: de +ulio de )--7 a la 9'*6 pm

//+ Un &an'ue en f!r$a e$ief=rica de H $& de radi! e&3 &!&al$en&e llen! de a,ua+ Sere&ira un &a"n 'ue e&3 en el f!nd!. >u&! a la 72 "$+ Una 8!ra de"u= la"r!fundidad del a,ua en el &an'ue 8a decendid! / $&+ De&er$ine7a9 5A 'u= 8!ra el &an'ue e&ar3 %ac:!6#9 5A 'u= 8!ra 'uedar3 en el &an'ue ;/.2@G del %!lu$en inicial+

SOLUCIN7

a% La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es'

5$h% dh ( < a c ) g hdt

$*%

: mt

: mt

,l coeficiente de descarga es c ( *y la gravedad es g ( 9":* mt;seg

)

,l #rea a del orifico de salida sedesconoce@ debe determinarse.

Las secciones transversales deltanque" tal y como puede observarse enla >ig. *" son circunferencias de radio rvariable" dependiendo de la altura a lacual se efect/e el corte transversal.

h

r

>ig. *

Como las secciones transversalesson circunferencias de radio r" el #rea es

5$h% ( r) $)%

,l radio r deber# e2presarse enfuncin de la altura h.

Si se observa el tanque de frente" como una figura plana" y se representa en unsistema de coordenadas cartesianas rectangulares" el resultado se muestra en la >ig. )


44/55

Hbserve que de la semicircunferenciase puede e2traer un tri#ngulo rect#ngulo talque los catetos miden r y $ : < h % y lahipotenusa : $ya que va desde el centro dela semicircunferencia a un punto de la ella%.

:: < h

r>ig.3

: mt

: < h

h

: mt

r

>ig. )

5plicando el 0eorema de ?it#goras al tri#ngulo de la >ig. 3$ : %

)( $ : < h %

)A r

)

desarrollando

simplificando y despe+ando r)

74 ( 74 < *7 h A h)

A r)

r)

( *7 h < h)

$3%

Sustituyendo la ecuacin $3% en la ecuacin $)%5$h% ( $ *7 h < h) %

Sustituyendo 5$h%" c y g en la ecuacin $*%

$ *7 h < h) % dh ( < a*9"7) h

*; ) dt $4%

La ecuacin $4% es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado@ sta debe

resolverse su+eta a dos condiciones' para el tiempo t ( - seg la altura es h ( :mt y para eltiempo t ( 4--- seg la altura es h ( = mt. ?or lo tanto" se debe resolver el problema de valorde frontera

$ *7 h h

)% dh = a *9"7) h*; ) dt

h $-% =:h $37--% ==



h*; )

*9"7)

h*; )

*9"7)

$ *7 h < h)

% dh ( a dt $6%

La ecuacin $6% se integra de forma definida' la altura h vara entre h ( : mt yh ( = mt @ el tiempo t vara entre t ( - seg y t ( 37--seg


45/55

*9"7)

=

$ *7 h1/ 2 h3 ; )

% dh ( a

37--

dt $7%: -

Fesolviendo las integrales definidas= : :

$ *7 h*; ) h3 ; ) % dh ( $ *7 h*; ) h3 ; ) %dh ( 3)

h3 ; ) +

)h

6 ; ) ; 3 6

: = =

( 3)

$ : %3 ; ) +

)$ : %

6 ; ) +3)

$ = %3 ; )

)$ =

%6 ; )

(


46/55

-

$ *7 h*; ) h3 ; ) % dh(:

$ *7 h*; ) h3 ; ) %dh(

3)h

3 ; ) +

:

)h

6 ; ) ;

3 6 : - -

( 3)

$ : %3 ; ) +

)$ : %

6

; )

( < *7:"96)

3 6t v t v

dt ( t ; ( tv-

-


*-3 tv ( $ < *7:"96) % ( )7*73" 743964"6: *9"7)

Luego" el tanque demora en vaciarse )7*73"74396 seg" lo que equivale a = horas*7 min 4 seg. Si comen1 a vaciarse a las 4 horas )= min de la tarde entonces estar#totalmente vaco a las = horas 43 min 4 seg de la noche.

b% 5hora debe determinarse a que hora quedar# en el tanque 3*")6K del volumentotal. ?ara obtener el volumen total se usa el mtodo de obtencin del volumen por lassecciones transversales

h-

& ( 5$h%dh

-

:

( $ *7 h-

h ) % dh ( $ : h):h3 %

3-

( 6*) 6*) (*-)4

3 3

5s se tiene que" el volumen total de lquido en el tanque es & (

3*")6K del volumen total es

*-)4

3 mt3

. ,l

3*")6 *-)4 3)-3*")6K & (

*-- 3 ( 3

5hora" usando nuevamente el mtodo de las secciones transversales para calcularvolumen" se puede determinar a altura h* de lquido en el tanque cuando en este queda3*")6K del volumen total

sustituyendo 5$h% y 3*")6K &

;


47/55

h*3*")6K & ( 5$h% dh

-


48/55

3)- (

3

h*

5$h%dh

-

h*

( $ *7 h-

h ) % dh ( $ : h) h

%3

h*

( $ : h*

-

3

* %3

multiplicando por 3

3)4 h* + 3)- = -

resolviendo la ecuacin de tercer grado en h" resulta h* ( 4 $las otras dos soluciones sedescartan " puesto que" una es mayor que la altura del tanque y la otra es negativa%

Conociendo la altura de lquido en el tanque cuando queda 3*")6K del volumen total"se puede determinar el tiempo que demora en llegar a ese volumen. ?ara ello" la ecuacindiferencial $=% se integra de forma definida' el tiempo t vara entre t ( - seg y t ( t*' la altura h

vara entre h ( : mt y h ( 4 mt4 10

3

*; )t*

3 ; )4"6: *9"7) ( 16 h h % dh ( dt (9)

: -

Fesolviendo las integrales definidas4

$ *7 h

*; ) h3 ; ) % dh

(

:

$ *7 h

*; ) h3 ; ) %

dh

( 3)

h3 ; ) +

:

)h

6 ; )

; 3 6 : 4

4

( 3)

$ : %3 ; ) +

)$ : %

6 ; ) +3)

$4 %3 ; )

)$ 4

%6 ; )

( < 97"4*9

3 6 3 6t* t*

dt ( t

;( t*

--


*-3

t* ( $ < 97"4*9 % ( *493*")973:4"6: *9"7)

Luego" el tanque demora *493*")973: seg en alcan1ar 3*")6K del volumen total" loque equivale a 4 horas : min 6* seg. Si comen1 a vaciarse a las 4 horas )= min de latarde entonces alcan1ar# el 3*"36K del volumen total a las : horas 36 min 6* seg de lanoche.

3

; )h

h *


49/55

/2+ El &an'ue 'ue e $ue&ra en la Fi,+ / e&3 llen! de a,ua en un /00G7 C!$iena a%aciare "!r un !rifici! i&uad! en u #ae inferi!r de JAK c$2 de 3rea+ Si &rancurrida/ 8!ra $inu&! 0 e,und! el ni%el li#re de l:'uid! 8a decendid! @ $& 1 elc!eficien&e de decar,a e 8a e&a#lecid! en 0.H+ De&er$ine7a9 *rea del !rifici! de alida#9 Tie$"! de %aciad! &!&al

SOLUCIN7

4 mt

4 mt

9 mtL mt

h

) mt ) mt

>ig.*


5$h% dh ( < a c ) g hdt

$*%

,l coeficiente de descarga es c ( -": ( : . *-< *

y la gravedad es g ( 9":* mt;seg)

,l #rea del orificio de salida es a ( 5 cm)@ haciendo la conversin a metros" que son

las unidades en las que est#n dadas las dimensiones del tanque resultaa ( 5 cm

)( 5 $ *-

< )mt %

)( 5 . *-

< 4mt

)

Ee la >ig. ) puede deducirse que las secciones transversales del tanque soncuadrados de lado variable L" el cual vara dependiendo de la altura a la cual se efect/e elcorte transversal. ,l #rea de las seccin transversal del tanque viene dado como

5$h% ( L)

$)%


50/55

Se debe establecer una relacin entre el lado 2 del cuadrado y la altura h. ?ara ello"visuali1ando el tanque de frente y ubicando la figura en un sistema de coordenadasrectangulares" se observa como se muestra en la >ig. )

yHbserve en la >ig. $)% que el punto de

) mt coordenadas ? (L " h)

es un punto de la recta

$)" 9% que pasa por los puntos $*" -% y $)" 9%.

La pendiente de la recta es

9 mt? $2"y%

h

$*"-% 2

*mt

L>ig. )

)

m (9 -

( 9) *

y la ecuacin de la recta esy ( 9 $ 2 < * %

,l punto ? (L

" h )

satisface la

ecuacin de la recta. Sustituyendo en la

recta 2 ( L)

y ( hL

despe+ando L

L ( ) h

9

h ( 9 $)

D * %

$3%


5$h% ( 4 h

9

)

+ *

Si ahora se sustituyen 5$h%" a" c y g en la ecuacin $*%

h )

* 9

dh ( < 5 . *-< 4

: . *-< * *9"7)

h*; )

dt$4%

La ecuacin $4% es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanques

y debe resolverse su+eta a dos condiciones' para el tiempo t ( - seg" la altura es h ( 9 mt@para el tiempo de *hora 7 min 4- seg $t ( 4--- seg% la altura del lquido en el tanquedescendi 6 mt" es decir" h ( 4 mt

Lo que queda planteado entonces es un problema de valor de frontera

h )

4 +* dh = 5 . *-4 : .*-*

*9"7) h*; )

dt

9 h $-% =9h $4---% =4

)

)

+ *

4 +


51/55


52/55

La ecuacin diferencial $4% es una ecuacin de variables separables. ?ara separar las

variables se multiplica la ecuacin $4% por el factor *-

h*; )

:

+ )

*9"7)

*-

) *9"7)h

*; )

h 9

9 dh ( 5. *-

< 4dt $6%

Integrando la ecuacin $6% de forma definida. La altura h vara de h ( 9 mt a h ( 4 mt@el tiempo t vara de t ( - seg a t ( 4--- seg

4

*-

h 9 ) 4---

) *9"7)

9 9 dt (6)

-

Fesolviendo las integrales definidas

4 1/ 2 h 9 ) 9 1/ 2 h 9 )9 1/ 2 h

)18 h 81

h

9 4 4

9

:* dh

( *

:* (h3 / 2 +*: h1/ 2 +:* h1/ 2 )dh4

9

( *

:* ) h

+*) h

3 ; )

+*7)

h*; )

* ) $9%6 ;)

4

) $4%6 ; )

3 ; ) *; ) 3 ; ) *; ) ( :*

*

6

4:7

+*) $9% +*7) $9%

74

6

*

*) $4%

4))

*7) $4%

)3=)

( :* 6

+3)4 +4:7 6

97 3)4 (

:* 6

+39- (

4-6

4--- 4---

dt ( t ;( 4---

--

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin $7%

*- )3=) < 4

despe+ando 5

*9"7)

4-6 ( 4--- 5 . *-

5 . *-< 4

( )3=) .*-

(693 ( *"76) . *-

< 3

;6

)


53/55

3)4. *-4

*9"7) :*. *-3

*9"7)


54/55

5s se tiene que" el #rea del orificio de salida es 5 ( *"76) . *-< 3

m)

Sustituyendo el valor 5 en la ecuacin $6%

+ )

*-

) *9"7)

3

h*; )

h 9

9

dh ( *"76) *-< 3

dt

multiplicando por *- " efectuando las operaciones y simplificando*"76)

(h3 ; ) +*: h*; ) +:*h *; )

)dh**:6"4)73

( dt $=%

b% ?ara obtener el tiempo de vaciado" es decir" el tiempo para el cual la altura delquido en el tanque es cero" se integra la ecuacin $=% de forma definida' la altura h

vara de h ( 9 mt a h ( - mt' el tiempo t vara de t ( - seg a t ( tv

*-6

-

(h3 / 2 18 h1/ 2 81 h 1/ 2

)dh =

t v

dt $:%**:6"473

9 -

resolviendo las integrales definidas- 9

(h3 / 2 +*: h1/ 2 +:* h1/ 2 )dh (9

9

(h3 / 2 +*: h1/ 2 +:* h1/ 2 )dh-

6 ; ) 6 ; ) ( ) h + *) h3 ; ) +

*7)h

*; ) ;( ) $ 9 % +*) $9%3 ; ) +*7) $9% *; )

-

4:7

4637(

6+3)4 +4:7 (

6t v t v

dt ( t

;( tv

--


*- 4 4637 ( tv

efectuando las operaciones

**:6"4)73 6

*-4

6 6


55/55

tv ( =76)"943

Luego" el tanque demora en vaciarse totalmente t ( =76)"943 seg " es decir" )horas= min 33 seg.

contenido_ma3b06_tema35

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