Contenido

Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto

Contenido

Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto

Cambio de masa = entrada - salida

Ecuación de continuidad conservativa

t t t x x x

t t t x x x

adv dif dis

dif dis

c c A x j j A t

c c j j

t xc

jt

j j j j

qc c c

D D

x

jx jx+x

A

Condiciones de contorno

Tres tiposFijar concentración

Fijar caudal másico (adv.+dif.+dis.)

Fijar relación caudal-concentración

= fijar concentración = 0, = q fijar caudal

ctec contorno

contornocontornocontornocqctej

contornocontornoccj

Transporte reactivo 'monosoluto' (1)

Adsorción

Desintegración

Ecuación de continuidad

ckc dads

ckr desdes

adsads

desads

rt

c

rrcLt

c

)(

ccL disdif DDq ()

¡¡ Ojo unidades !!

Transporte reactivo 'monosoluto' (2)

Sumamos las dos ecuaciones de continuidad

Sustituimos ecuaciones para adsorción y desintegración

desads rcLt

c

t

c

)(

ckcLt

ck desd

)(1

Factor de retardo (Rd)

Transporte reactivo 'monosoluto' (3)

Ejemplos 1D sin dispersión o difusión

Conservativo

Retardo

Desintegración

Retardo +Desintegraciónx t

c

c

c

c

Contenido

Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto

Transporte reactivo multisoluto

Más solutos (especies químicas), más reacciones

Notación con matrices y vectoresAlgo de teoría de matrices y vectoresAplicación a transporte reactivo

Matriz por matriz

Ejemplo

Ojo, No. de columnas de A = No. de filas de BAB BA

65

43

21

A

42

31B

3917

2511

115

46352615

44332413

42312211

AB

Matriz por matriz, particularidad

Ejemplo

21 AAA

2

1

B

BB

2211 BABAAB

3917

2511

115

2412

168

84

155

93

31

42

6

4

2

31

5

3

1

AB

65

43

21

A

42

31B

Matriz de unidad (I)

Tiene 1 en el diagonal y ceros en los demás elementos

Particularidades

100

010

001

I

AIA AAI

Matriz transpuesta (AT)

Filas y columnas se intercambianEjemplo

Particularidades

642

531

65

43

21T

T T TAB B AII t

Sistemas lineales

Escribir sistema de ecuaciones lineales como

A debe ser cuadrática (no. filas/ecuaciones = no. columnas/incógnitas)

A es singular y no se puede resolver el sistema cuando una ecuación es combinación de otras

A es invertible o linealmente independiente cuando se puede resolver el sistema

bAx

451

430

021

A

6

5

43

21

2

1

x

x

643

52

21

21

xx

xxp.e.

Matriz inversa (A-1)

DefiniciónPodemos escribirA debe ser cuadrática y linealmente

independienteEjemplo

Particularidades

IAA 1

5.05.1

12

43

21 1AA

10

01

43

21

5.05.1

12Porque

CABCAB 1

11 T T A AII 1

Subespacios vectoriales

X 1

X 2

X 3

2

1

1

0

v

1

0

2

1

v

1

1

2

w

Subespacio 2D definido por combinación lineal de v1 y v2: a1v1 + a2v2

(v1 y v2 linealmente independiente)

Subespacio 1D definido por combinación lineal de w: bw

1

2

0 2 1

1 1 0

t

t

vU

v

1 1 2 tS w

Subespacios son ortagonales si

tUS 0

Rango = 2

Rango = 1Suma de rangos máximos de subespacios ortagonales = número total de dimensiones

U es núcleo de S

Escribir reacciones químicas como matriz

Por convenioCoeficiente estequiométrico positivo: productoCoeficiente estequiométrico negativo: reactante

EjemploR1: HCO3

- = CO32- + H+

R2: X2Ca +2Na+ = 2XNa + Ca2+

R3: H2O = H+ + OH-

R4: CaCO3(s) = Ca2+ +CO32-

SqMatriz estequiométrica Especie química

Escribir reacciones químicas como matriz

3

2

2

2-3

-

-3

2

CaCO

OH

CaX

CO

OH

H

XNa

Na

HCO

Ca

1001000001

0100110000

0010002201

0001010010

R4

R3

R2

R1

Sq

Escribir ley de acción de masas como matrizUsar logaritmos

En notación de matrizlog loge S a k

Vector de actividades de todas las especies químicas

Vector de constantes de equilibrio

3.10)HCOlog()COlog()(Hlog

10)HCO(

)CO)((H

-3

2-3

3.10-3

-23

K

Matriz estequiométrica para reacciones en equilibrio

Ejemplo ley de acción de masa como matriz

5.8

0.14

8.0

3.10

)log(CaCO

O)log(H

Ca)log(X

)log(CO

)log(OH

)log(H

log(XNa)

)log(Na

)log(HCO

)log(Ca

1001000001

0100110000

0010002201

0001010010

3

2

2

2-3

-

-3

2

Especies primarias/secundarias

Si hay Ns especies y Nr reacciones químicas podemos escribir las actividades de Nr especies secundarias en función de (Nc = Ns– Nr) especies primarias mediante leyes de a. m.

Rescribimos la ley de acción de masas

Despejamos a2

Ojo, S2 debe ser invertible

1 1 2 2log log log log loge S a k S a S a k

21 SSS

2

1

a

aa

*

1*

1211

122

loglog

logloglog

kaS

kSaSSa

Especies primarias/secundarias ejemplo

1-001000001R4

01-00110000R3

001-00022-01R2

000101001-0R1

CaCOOHCaXCOOHHXNaNaHCOCa 322-2

3--

32

S

01-0011CaCO

110000OH

0022-01CaX

01-0010CO

OHHXNaNaHCOCa

000001

110000

002201

010010

1001

0100

0010

0001

3

2

2

-23

--3

2

1

11

2* SSS

Primarias Secundarias

S1 S2

Nr

NrNc = Ns–Nr

Especies primarias/secundarias ejemplo

8.1

0.14

8.0

3.10

5.8

0.14

8.0

3.10

1001

0100

0010

0001

loglog

1

12

* kSk

8.1

0.14

8.0

3.10

)OHlog(

)Hlog(

)XNalog(

)Nalog(

)HCOlog(

)Calog(

010011

110000

002201

010010

)log(CaCO

O)log(H

Ca)log(X

)COlog(

-

-3

2

3

2

2

2-3

*1

*2 logloglog kaSa

Especies primarias/secundarias comentariosHay más posibles conjuntos de

primarias/secundarias, cambiando columnas en Se

No todos los conjuntos son posible (S2 debe ser invertible)

En nuestro ejemploNo es posible como primarias: CO3

2- (en lugar de Ca2+), HCO3

-, Na+, XNa, H+, OH-

Es posible como primarias: Ca2+, CO32- (en lugar

de HCO3-), Na+, XNa, H+, OH-

Velocidad de reacción (reaction rate)

Una reacción aA + bB = AaBb

En notación matricial

Para reacciones cinéticas r es una función de todas las concentraciones:ley cinética

Para reacciones en equilibrio no hay expresión explícita

art

cA

brt

cB

rt

cbaBA

cinética

Tk kt

c

S r

k r f c

Velocidad de reacción

Nuestro ejemplo con todas las reacciones en cinética:R1: HCO3

- CO32- + H+

R2: X2Ca + 2Na+ 2XNa + Ca2+

R3: H2O H+ + OH-

R4: CaCO3(s) Ca2+ + CO32-

2

-3

1

2

-3

2-43

2

2

3

0 1 0 1Ca

1 0 0 0HCO

0 2 0 0Na

0 2 0 0XNa

1 0 1 0H

0 0 1 0OH

1 0 0 1CO

0 1 0 0X Ca

0 0 1 0H O

0 0 0 1CaCO

Tk

r

r

r

r

S r

Ejemplos leyes cinéticas

Disolución/precipitación

Monod

k mkxc

mkmki

m N

k

NN

im

pimk

RT

Ea

mmm akeAr1 1

1

)(O

)(O)OCH(

22

222

o

o kr