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CONTENIDO
Pág.
Presentación 2
Introducción 3
1. Espacios Euclidianos 4
2. Distancia entre dos puntos 5
3. Concepto de vector. Definición geométrica 8
4. Igualdad de Vectores 11
5. Translación de vectores. Definición analítica 13
6. Producto por escalar - Vectores paralelos 18
7. Suma de Vectores 22
8. Propiedades de suma de vectores y producto por escalar 25
9. Norma de vectores - Distancia entre dos vectores 29
10. Producto interno 32
11. Angulo entre dos vectores. Ortogonalidad 39
12. Vector proyección 50
13. Propiedades de determinantes de tercer orden 54
14. Producto vectorial - Producto mixto. 65
15. Planos en el espacio _ 83
16. Rectas en el espacio 98
Bibliografía 109
PRESENTACION
La puesta en marcha de los nuevos planes de estudio
para Ingenierías que hacen énfasis particular en
el trabajo extraclase del estudiante requiere de
la producción de abundante material de referencia
bibliográfica que complemente convenientemente las
directrices de las clases.
Con este propósito, y dirigidas a estudiantes de
Matemáticas de primer semestre en Ingenierías, el
Profesor OCIAR EVELIO OSPINA A. ha preparado sus NOTAS
DE GEOPETRIA VECTORIAL en donde expone su punto de
vista sobre lo que debe ser el enfoque y la secuencia
pedagógica con la que se debe afrontar esta temática.
Ante las expectativas que se están generando alrededor
de nuevas metodologías, éste y otros documentos deben
considerarse como alternativas que, respaldadas en
la experiencia docente de sus autores, sugieren
estrategias de discusión para el cumplimiento de
los objetivos de las materias de los nuevos
curriculos.
CARLOS EDUARDO ORREGO ALZATE
Director Departamento de Ciencias
INTRODUCCION
Las presentes notas de Geometría Vectorial pretenden
ser una ayuda para los estudiantes que se inician
en el tema de vectores y deberá ser complementado
con ejercicios sobre el tema.
Agradezco la lectura y comentarios que del primer
borrador de estas notas hicieron los profesores LUCY
YANETH MEDINA DE POLO y LUIS ALVARO SALAZAR SALAZAR.
OMAR EVELIO OSPINA A.
Profesor
Universidad Nacional
u
1. ESPACIOS EUCLIDIANOS
Recordemos que R, el conjunto de los números reales,
se puede representar por los puntos sobre una recta,
llamada recta real.
R 2 = R X R = {(x, y) | x e R , y , Y e R}
es decir el producto cartesiano de R consigo mismo,
se puede representar por el conjunto de puntos en
el plano.
R 3 = {(x, y, z) | x e R, y e R, z e R)
se puede representar por el conjunto de puntos en
el espacio. Pero el conjunto
R n = R X R X ... X R = N Y f n veces
= í(xi» x 2 , xs, ..., x n ) | x. e R, para i = 1,
2, ... n}
no se puede representar gráficamente para n > 3,
pero no por ello son conjuntos menos importantes
que R 2 o R 3 , como lo podrán apreciar en cursos
posteriores.
5
FIGURA 1
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Observemos la Figura 2. Sean P 0 = (x 0, y o t z D ) y
pi • (xi» Yi» zi) dos puntos cualesquiera en el
espacio. Vamos a calcular la distancia entre los
puntos P 0 y P l t es decir la longitud del segmento
6
de recta P 0 Pj ; sea L la magnitud de la proyección
del segmento P 0 Pi sobre el plano x y; los puntos
P o tQ» pi determinan un triángulo rectángulo. Si
notamos d(P 0, Pi) la distancia entre P 0 y Pi, entonces
por el teorema de Pitáqoras se tiene que
[d(P0,Pi)]2 = L 2 + (zi - z Q )
2 . Analicemos ahora el
triángulo que reposa en el plano x y cuyos vértices
son (x 0,y 0), (xi, yi) y Q 1 , evidentemente este
triángulo es rectángulo, por consiguiente utilizando
nuevamente el teorema de Pitágoras tenemos que L 7
= (xi - x 0)2 + (yi - y D )
2 .
Reemplazando este valor de L z en la ecuación de arriba
tenemos que:
[d(P 0, Pi)]2 = (xi - x 0)
2 + ( y i - y 0)2 + ( Z l - z 0)
2
es decir
[d(P 0, Pi)] = / (xx - x 0)2 + ( y i - y 0)
2 + ( 2 l - z 0)2
donde se está considerando la raíz positiva.
Si consideramos los dos puntos P 0 y Pi en el plano,
se puede verificar fácilmente que si P 0 = (xQ , y 0)
y pi = (x l t yi) entonces:
7
FIGURA 2
d(P 0, P j = / (xx - x 0)2 + (yi - y 0)
2'
Generalizando, si se tienen dos puntos: P 0 = (xi
, x 2 , x 3 , ... , x n) y Q 0 = (yi, y 2 , ... y n ) de R n ,
la distancia entre estos dos puntos se define como:
d(P„> Q 0 ) = / (yi - xi)2 + (y2 - X2)2 + ... + ( Y - x j 2
8
3. CONCEPTO DE VECTOR - DEFINICION GEOMETRICA.
Al conjunto de números reales lo llamaremos
frecuentemente conjunto de escalares. Estos escalares
(reales) se utilizan para representar ciertas
magnitudes como distancias, temperaturas, peso etc.,
que quedan totalmente determinadas por un número
real. Pero además de estas magnitudes escalares
existen otras magnitudes que no pueden ser
representadas solamente por un número: consideremos
por ejemplo un objeto con un peso determinado, ubicado
en un punto A, sabiendo que si queremos llevarlo
del punto A al punto B en línea recta se requiere
aplicar una fuerza de K Kgs; es evidente que para
llevarlo a ese punto B, no basta solamente con aplicar
esta fuerza, sino que es necesario también "orientar"
la fuerza que se hace, hacia el punto B, pues si se
orienta en otro sentido no se llegará en línea recta
al punto deseado. Esto pone de manifiesto que no
se puede representar la fuerza para llevar el objeto
del punto A al punto B solamente mediante el número
K, sino que es necesario además indicar en que
dirección se aplica. Estas "nuevas magnitudes" las
llamaremos VECTORES. Daremos inicialmente una
definición geométrica de ellos, y más adelante los
representaremos en forma analítica.
9
DEFINICION (Definición geométrica de vector).
Dados dos puntos P y Q en el espacio R 3 o en el plano
R 2 , el segmento de recta orientado que tenga punto
inicial en P y punto final en Q lo notaremos PQ y
lo llamaremos el vector que va de P hacia Q, o
simplemente el vector A = PQ (en ese orden).
De acuerdo con esta definición A = PQ se puede
representar geométricamente por una flecha que sale
del punto P y llega al punto Q.
En la Figura 3(a) la flecha que va desde Q = (6,1)
hasta P = (-2, -1), representa un vector A en el
plano R 2 , con punto inicial en Q y punto final en
P, es decir A = QP. Mientras que en la Figura 3(b)
tenemos un vector B en el espacio R 3 , con punto
inicial en P = (1, 1, 0) y punto final en Q = (1,
4, 5) representado por la flecha que va desde P hasta
Q, es decir B = PQ.
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Tres elementos importantes caracterizan un vector:
a. La magnitud: La determina la longitud del segmento
de recta que separa el punto inicial y el punto
final, es decir es la distancia entre estos dos
puntos.
b. La dirección: La determina la recta sobre la
cual reposa el vector, o cualquier recta paralela
a ellai Lo que equivale a decir que para que
dos vectores tengan la misma dirección deben
reposar en una misma recta o en rectas paralelas.
c. El Sentido: Está determinado por la orientación
11
que toma el segmento de recta que representa
el vector, lo que significa que el único segmento
de recta que une dos puntos P y Q puede represen-
tar dos vectores: Uno que tiene el sentido de
P hacia Q, es decir con punto inicial en P y
punto final en Q, y otro que tiene el sentido
de Q hacia P.
4. IGUALDAD DE VECTORES (VECTORES LIBRES)
DEFINICION: Dos vectores se dicen "iguales", si tienen
la misma magnitud, la misma dirección y el mismo
sentido, sin importar la posición en el espacio.
NOTAS:
1) Realmente la palabra "igualdad" usada aquí,
es un- abuso de Lenguaje, pues rigurosamente
deberíamos hablar de vectores equivalentes y
considerar diferentes "clases de equivalencia"
en lugar de diferentes vectores, lógicamente
después de definir una relación de equivalencia
entre vectores. Pero por comodidad seguiremos
utilizando el término "igualdad".
12
2) Los vectores que se estudian con esta definición
de igualdad, y que son los únicos que trataremos
en estas notas se llaman Vectores Libres»
diferentes de los llamados vectores ligados,
los cuales responden a otra definición de
igualdad a saber: "Dos vectores son iguales
si tienen la misma magnitud, dirección, sentido
y posición en el espacio".
3) Los vectores los notaremos con letras mayúsculas
con una flecha encima, o simplemente con letras
mayúsculas cuando no haya lugar a confusión.
EJEMPLO;
FIGURA 4
13
De acuerdo a nuestra definición de vectores, y
observando la Figura 4, los vectores A, B y C son
iguales, pues los tres tienen la misma magnitud,
dirección y sentido, sin importar que el vector
A vaya de (0,0) a (2,0), el vector B vaya de (2,1)
a (4,1), y el vector C vaya de (-5, 1.5) a (-3,
1.5). Los vectores B y D son diferentes, pues a
pesar de tener la misma dirección y magnitud tienen
diferente sentido.
5. TRANSLACION DE VECTORES. DEFINICION ANALITICA.
Yi — 0(Xi,Yi)
Yi - Yo
Yo R
Q'"(XI-XO,YI-YO)
(YI-YO)
O (XI-XO) R' Xo Xi
FIGURA 4
14
Consideremos el vector A (Figura 5) con punto inicial
P 0 = ( xo» Yo) y Punto final Q = (xi,yi), según
nuestra definición de igualdad de vectores, sabemos
que hay infinitos vectores iguales a A, en particular
trataremos de encontrar uno que sea igual a A y
que tenga punto inicial en (0,0). Para ello
simplemente tomemos el triángulo rectángulo con
vértices en P, Q, R, y llevémolo al origen, de tal
forma que el punto inicial del vector A, es decir
P, coincida con (0,0), y el cateto PR repose sobre
el eje x, sin que el vector A que hace de hipotenusa
cambie ni de dirección ni de sentido. Este triángulo,
cuyos vértices llamamos OR'Q', tiene como hipotenusa
un vector que es igual a A, que tiene punto inicial
en (0,0) y punto final en (xi-x 0, yi - y 0). Es decir,
dado un vector cualquiera en el plano, con punto
inicial (ai, 3i) y punto final (a2> B 2)> se puede
trasladar al origen o lo que es lo mismo, se puede
encontrar un vector igual a él pero con punto inicial
en el origen: este ^vector tendrá como punto final
(«2 - ai , 3 2 - 3i) y será único.
Análogamente en el espacio: si P = (x0 , y 0 , z 0 )
y Q = (xi , yi , zi), podemos encontrar un vector
igual a PQ que parte del origen: es el vector que
15
desde él, llega al punto R = (XJ-XQ, yi-y0, ZX-ZQ)
y es único.
El hecho de que dado cualquier vector, exista un
único vector igual a él con punto inicial en el
origen, nos permite reducir el estudio de vectores
solamente a aquellos que tengan punto inicial en
el origen (si no lo tiene, se traslada), y puesto
que un vector queda determinado por sus puntos
inicial y final, ya conociendo que todos tienen
el mismo punto inicial, solamente nos interesa de
un vector así, su punto final, para que quede
totalmente determinado.
Por tanto, existe una correspondencia biunívoca
entre los puntos del espacio (o del plano) y los
vectores en el espacio (o en el plano), pues a un
vector cualquiera le podemos hacer corresponder
un único punto, precisamente aquel, que es el punto
final del vector una vez trasladado su punto inicial
al origen; y recíprocamente, a cada punto en el
espacio le corresponde un único vector, precisamente
el vector que tiene punto inicial en el origen,
y punto final en el punto dado. Esto permite
identificar a los vectores en el espacio con los
puntos en R 3 , y a los vectores en el plano con los
puntos de R 2 , y a esta representación se le llama:
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representación analítica de los vectores.
El punto 0 = (0,0) se le llama vector nulo en el
plano» y al punto 0 = (0,0,0) se le llama vector
nulo en el espacio. Estos dos vectores no tienen
ni dirección ni sentido, y su magnitud es cero.
Una de las múltiples ventajas que presenta este
tipo de representación analítica es que ofrece la
posibilidad de generalizar el estudio de los vectores
a espacios R n con n > 3, en donde es imposible
trabajar gráficamente, simplemente identificando
un vector que va de P = (pi , P2, ..., P R ) hasta
Q = (qx , q 2 , ... , q n ) con el punto
V = (qi-Pi*q2 - P2 » ••• , q n - p n ) y recíprocamente
cada punto p 0 = (xi, ..., x nJ se identifica con
el vector que va de 0 = (o, ..., o) hasta el punto v /
n veces
P 0 . (Análogo al caso de R Z y R 3 , al vector 0 = (o,
»»•» o)j se le llama el vector nulo o cero de R n ,
n veces
y no tiene dirección ni sentido, teniendo como
magnitud cero.
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EJEMPLOS:
1. Si 1) es un vector con
y punto final en (2,3)
3 - 5) = (- 2, - 2).
Si W es un vector con
y punto final en (5.1)
-3) = (-3 , -2).
Claramente \l U, pues
y (-3 , -2) tienen
diferentes.
punto inicial en (4,5)
entonces V = (2 - 4,
punto inicial en (8,3)
entonces ÜJ = (5 -8, 1
las parejas (-2 ,-2)
primeras componentes
2. Si \l es un vector con punto inicial en (1, 2)
y punto final en (3, 4), entonces V = (3 -1,
4 -2) = (2, 2).
Si W es un vector con punto inicial en (7,2)
y punto final en (9, 4) entonces UJ = (9 -7,
4 -2) = (2, 2).
Qbserve que aquí \l = W a pesar de no tener los
mismos puntos inicial ni final.
18
B. PRODUCTO POR ESCALAR - VECTORES PARALELOS:
DEFINICION: Sea X e R, T = ( U l , v 2 , v 3 ) e R3.
Llamamos el producto del escalar X por el vector
V y lo notamos AV, al vector que resulta de multi-
plicar cada una de las componentes de V por X , es
decir
X\1 = A(VI , V 2 , v 3 ) = (Avi , AV?, Av 3).
Análogamente para R n en general (n = 2, 3, 5,
AV = A(vj, ..., v n ) = (Avi, ... , A V ^ ) .
Veamos inicialmente que significa el producto por
escalar desde un punto de vista geométrico.
i) Si V = IF= (o,o) -* A T = A(O,O) = 0.
S I A = o - » - A V = A(VI,V 2) = o(vi, v 2 ) = (ovi,
ov 2) = 0
ii) Sea A o , V*"= (vj , v 2 ) 0
La magnitud de AV, es la distancia de AV al
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origen, es decir es iqual a
/ A M + x V 2 ' « |x| / v ¡ + vV
Como / v/i + v 2 es la distancia de V al origen,
o lo que es lo mismo la magnitud de \l, podemos
concluir que la magnitud de MI es |X| por la magnitud
d e T .
Resulta evidente por tanto, que si |X| > 1 el vector
MI será de mayor longitud que V, y si |X| < 1 enton-
ces su longitud será menor que la de V.
En lo que se refiere a la dirección de XV, observemos
que la recta que pasa por el origen y contiene al
punto MI = (Xvi, Xv 2), que es la recta sobre la cual
reposa MI, tiene como pendiente
X V2 _ V2 Xvi ~ vi '
si vi ^ o, que es la misma pendiente de la recta
que contiene a V, es decir V y XV tienen la misma
dirección.
Para determinar el sentido de XV consideremos dos
casos:
Si X > o, Xvi tendrá el mismo signo que vj, v Xv2
20
el mismo signo que v 2 » lo que indica que (v^,
v 2) y (Avi , Xv 2) están en el mismo cuadrante, lo
cual significa que V y XV/ tienen el mismo sentido.
Si X < o, Xvi tendrá signo opuesto a vi, y Xv 2 signo
opuesto a v/2, lo que indica que XV y V tienen senti-
dos opuestos. (FIG. 6(a), 6(bV).
NOTA: Si X = - 1, el v/ector XV = (-1) V se acostumbra
a notar -V, y de acuerdo a lo dicho atrás tienen
la misma dirección que V, la misma magnitud, y
sentido opuesto a V. Por consiguiente si V es un
vector con punto inicial en P y punto final en Q,
el vector - V se puede considerar como el vector
con punto inicial en Q y punto final en P. Si V
= (a, B) , - V = (-a, - B). FIG. 7(a).
DEFINICION Dos vectores se dicen paralelos, si uno
es el producto de un escalar por el otro; es decir
si A = X B entonces A y B son paralelos.
NOTA: Es claro que dos vectores paralelos pueden
tener el mismo sentido o sentido opuesto (FIG. 7(b)).
EJEMPLO:
Si V = ( 2 , -7, 5)
21
W = 3\l = (6, -21, 15) es paralelo a \l con el mismo
sentido.
R = -\l = (-2, 7, -5) es paralelo a \1 con sentido
opuesto
s 1/2 y = (1, - 7/-, 5/-) es paralelo a \l con
el mismo sentido.
22
7. SUCIA DE V/ECTORES
Dados dos vectores V = (vi v 2 , ... , \in), W = (OJI
g)2, ... 0)^) en R°, llamamos la suma de \l y lü y la
notarnos u + ÜT al vector cuyas componentes están
dadas por:
\l + W = (v i + Ü)i, v? +o)2 > ... Í v n + o> ).
En R 2 esta suma se puede representar gráficamente,
(lo misma en R 3 ) , situando los dos vectores en un
punto de partida común P D; estos dos, con vectores
paralelos a ellos, determinan un paralelogramo;
\/ + W es entonces el vector representado por la
diagonal de este paralelogramo, con punto inicial
el punto común de V y UJ.
Apreciémolo en la Figura Q
23
Los triángulos con vértices en 0, wi »
\l + tiJ son iguales, por consiguiente Oü)i
y U)i üi = R, \l + W
La primera componente de \l + W es
Ov/i + Vi l s Vi + (Di
La segunda componente de V + W es
0v 2 + R, V + W = v 2 + u>i W = v 2 + W2
EJEflPLO:
Sea (4, 1) "w = (-2, 2).
Geométricamente:
/>
VtW«(2,3)
24
Analíticamente:
y + y = (4, 1 ) + (-2, 2).
= (4 -2, 1 + 2)
= (2, 3).
Si A y B son dos vectores, podemos definir la
diferenciaT - ~B = T + (^B).
Apreciémolo gráficamente en la Figura 9.
Y
X
FIGURA 9
Como se Duede apreciar el vector A + (-B) = A -B
25
abajo, es igual al vector que tiene punto inicial
en B y punto final en A.
EJEMPLO:
Sea V = (2, -3, 8)
W = (3, 7, -1)
\l —UJ = (2 -3, -3 -7, 8 + 1) = (-1, -10, 9)
NOTA: Es preciso aclarar que si se desean sumar
o restar analíticamente dos vectores que no tienen
punto inicial en el origen, o inclusive que no tienen
punto inicial común, se les debe primero trasladar
al origen, y entonces si sumarlos componente a
componente.
8. PROPIEDADES DE SUMA DE VECTORES Y PRODUCTO POR
ESCALAR:
Las siguientes 8 propiedades de la suma de vectores
y producto por escalar, son básicas en el manejo
de los vectores y en el estudio del algebra lineal
(concretamente en el estudio de espacios
vectoriales), y sus demostraciones son sencillas,
pues requieren únicamente de las definiciones de
estas operaciones y propiedades de números reales:
26
1. Propiedad asociativa de la suma de vectores
SÌ T , T , T e R n » T + (b" + ~c) = (T + ~b) +
c"
2. Propiedad conmutativa de la suma de vectores.
Si T , B e R n , T + ~B=~B + ~A
~*>. Propiedad modulati va de la suma de vectores.
FI LI e Rn , satisface la propiedad 0 + A = A
+ 0 = A para todo A e R n
4. Propiedad invertiva de la suma de vectores.
Para cada vector A e Rn, existe -A e R
n, tal
que "A + (.TA) = (IA) + "A = 0*
5. Propiedad asociativa del producto por escalar.
Para todo a, 3 e R, para todo A z Rn,
A(3~A) = (a 3) A" = 3 (a T )
fl• propiedad distributiva riel producto por escalar,
27
respecto a la suma de escalares.
Para todo a, & e R, para todo A £ R n ,
(« + B ) T = o í T + G T
7. Propiedad distributiva del producto por escalar,
respecto a la suma de vectores.
Para todo a e R, para todo A, B e R n ,
a (/T+ IT) = a T + a ?
8. Propiedad modulativa del producto por escalar.
El 1 e R, satisface que 1. A = A para todo A
e R n .
Con las propiedades 1 y 6 ilustraré como se demues-
tran estas propiedades; en base a ésto las demás
se pueden demostrar como ejercicio:
Para propiedad 1:
Sea A = (ai , a 2 , a 3 ) B = (&i» S 2» B 3 )
C = (Yi. Y 2 » Y»)
28
A + (B + C) = («!, a 2 , a 3 ) + ((3i * Yi)» (32 + Y2)»
(3s + Ys))
= (ai + (0i + Yi). ot2 + (3î + Y2 )» <*3 + (33 + Yj))
= ((«i + 3i) * Yi » (<*2 + 32) + Y 2 » («3 + 3 3 ) + Yj)
= (ai * 3i, a 2 + 32 » a 3 + 3 3 ) + (yt , y 2 » Ys)
= (A + B) + C.
para la propiedad 6:
Sean a, 0 e R, A => ( a, b, c)
(a «• 3) A = ((a • 3) a , (a • 3) b , (a 3) c)
= (aa + 3 a , a b « - 3 b , a c + 3 c )
- (aa, ab, ac) + (3a, 3b, 3c)
= a(a, b, c) • 3 (a, b, c)
= a A • 3 A
29
9. NORMA OE VECTORES - DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES:
La norma de un vector V = (v í f v n ) e Rn está
dada por:
||V|| « • VI* + ... +
Si V e R 3 (o R 2 ) es evidente que ||ü| | coincide con
la distancia de V al origen, o lo que es lo mismo
(puesto que V ya está trasladado al origen) con la
longitud del vector V.
Las siguientes cuatro propiedades son básicas en
el trabajo con normas:
1. | |U| | £ G para todo iTe R n
2. | [V/11 = 0 si y solo si =~Q
3. IIXVll = |A| ||V|| si A e R , 7 e R n
4. | |V + U| | < | |V| | + | |bl| | para todo V, W e Rn
(Desigualdad triangular)
Las propiedades 1. 2. y 3. resultan evidentes de
la definición de norma. La propiedad 4. se demostrará
30
más adelante cuando se vea el producto interno de
vectores; pero geométricamente se puede visualizar
para R ? (o para R 3 ) en la Figura 10, teniendo en
cuenta que la suma de las longitudes de dos lados
de un triángulo es mayor que la del tercero (Tome
| |\/| | |w| | como dos lados y | |V + W| | el tercer
lado).
figura 10.
DEFINICION: Un vector se dice unitario si tiene norma
1.
Dado un vector V o", el vector 1 V, es un vector
T M J
paralelo a V, pues es un escalar ( 1/1|v| |) multipli-
cado por V; tiene el mismo sentido que V, pues el
escalar V I M I > ü, y además es unitario, pues:
31
1 V
I
W'W ¡MI I M J
EJEMPLO:
sí \i = (1, -3, -1) , | M | = / 1 + 9 + r = / I T
, entonces el v/ector:
1 1 3 1 V = ( , - —— , - ) es unitario con
| \M | | / I T / I T / T T
el mismo sentido y dirección que V/.
DEFINICION: Sean "\T, vectores en R n , llamamos la
distancia entre V y U y lo notamos d (V,W), a la
norma del vector \l - li!, es decir
d(v,ui) = ] | v - m| |.
E.sta definición resulta ¡nuy natural, si entendemos
que la distancia entre dos vectores es la distancia
¿ntre sus puntos finales, una vez que los vectores
coincidin en su punto inicial. Asi, si el tanto
inicial está en el origen y los puntos finales en
V y W la distancia entre los dos vectores es la
distancia entre los puntos V y U.
Si \l = (vi, v? .... v ) >iJ = (tú-,, U)2, ..., ta) )
32
d(V, W) = /(u>. - v/x)2 + (ü)2 - v 2)2 + ... + (o» - y j2'
n n
= llv - w||.
De las propiedades de la norma resultan inmediatas
(ejercicio) las siguientes propiedades básicas de
la distancia.
1. d(V, Ui) > o
2. d(V,üi) = d(W,V)
3. d(V,W) = o Si y solo si V = U.
U. d(V,W) $ d(V,Z) + d(Z,W) para cualesquiera V,
W, Z e R n
EJEMPLO:
v = (2, 7, -1) UJ = (8, 7, 15)
d(V,W) = / (2-8)2 + (7-7)2 + (-1-15) 2'
= / 36 + O + 256 '= / 292 '
10. PRODUCTO INTERNO.
Definiremos a continuación una operación entre dos
v/ectores que produce como resultado, no un vector,
33
sino un número real. Esta operación se llama producto
interno o producto punto o producto escalar y está
definida así.
DEFINICION:
Dados dos vectores V = (vi, v 2 , ... » v n)
y UJ = (coi, Ü>2» ...» w n ) llamamos el Producto interno
de \l y W, y lo notamos V. W» al número real dado
por:
n V . W = l w k
3 «i «i + ••• + un u
n i
k-i
NOTA:
i) Observe que si V » (w», v 2 , ..., v n )
\l.\l = vi \j\ + v 2 v 2 + ... + v n v n
= v* + vf + ... + v n8 = \ \\l\\z
ii) \l.\l se acostumbra a notar V2. y como se puede
apreciar es yn número real, razón por la cual
notaciones como V 3 , \lk, \l*, .... etc. carecen
de sentido.
34
La importancia de este producto tanto geométricamente,
para vectores en R* y R J , como analíticamente, en
espacios de dimensión superior, se hará notoria cuando
en las siguientes secciones estudiemos el ángulo
entre dos vectores, y el vector proyección. Por lo
pronto enunciemos las principales propiedades, que
caracterizan el producto interno:
1. V.U) = W.V para todo V/, W, e R n
2. V.(üJ + Z) = V.W + V .Z
para todo V, Id, Z e R n
3. (AV).ID = A(V.üi) = V.(A W)
para todo A e R, V/, W t R n
4. Si V = 0 entonces V.V = o
5. V.V > o Si V vt O,
Las demostraciones de estas propiedades sort muy
sencillas, pues solo se requiere de la definición
y de propiedades elementales de números reales, ft
manera de ilustración se demostrará la propiedad
3.
prop. 3: (AV).to = A(U.ui) = w.(AW)
35
para todo X e R, V, W e R n
Sea V = (vi, v/2» ..., v n ) W = » o)2, ...» u>n).
(AV).tiJ = (Xv/i, ...» Awn).(u)i, ... , w n )
= Xv/i o)i + Xv2u)2 + ... + Xvn<¿)n
= A(v/1 0)1 + \¡2 0)2 + ...+ « n 0)n)
= x[(vi, ..., v ). (o)i ,..., U )]
= X(V.liJ)
y también:
(XV).W = Xui o)i + Xv/2 0)2 + ... + Xu n o>n
= V/1 (X 0)1 ) + v 2 (X 0)2) + ... + v n (X u )
= («i, ..., w ).(Xü)i, ...» Xo>n) = V.(XW)
Anteriormente se había enunciado la desigualdad
triangular sin demostración, se hará la demostración
36
en este momento, pero para ello se requiere primero
demostrar un resultado de gran utilidad conocido
como la desigualdad de Cauchy - Schiuartz:
- DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARTZ.
Si V, W e R 3 , entonces:
Para demostrarla partimos del hecho que para cualquier
par de números reales x, y se tiene que:
|v.u| ||v|| I N I
o 4 | |xu" + yW| | 2 = (xV + yüi).(xV + yüF).
x 2V.V + xyV.UJ + yxlii.V + y 2W.W
x 2 ||V||2 + 2xy(V.W) + y 2 | |ld| | 2
Es decir tenemos que para cualquier par de números
reales x, y
x 2 IMI2 + 2xy(V.W) + y 2 | |U]| | 2 ^ 0
Como esto se tiene para cualquier número real x e
y» en particular se tendrá para: para:
37
x = liJ.li/ e y= -U.W
Con estos valores de x e y tenemos de (*).
(ÜJ.UÍ)2 ||\/||2 + 2(liJ.li/)(-\/.liJ)(V.liJ) +
+ (-V.ÜJ)2 | |U/| | 2 » o
«m. ||u|r I M I 2 -2 I M I 2 (V.U/)2 +
+ (V.Id)2 | |W| | 2 * o
•• IMI2 \\\¡\\2 -2(V.W)2 + (V.li/)2 »o si |M | * o
~ IMI2 IM|2 "(V-W)2 * o
IMI2 IMI2 » (v-w)2
~ IMI IMI » /(v.w)2'
IMI IMI » ly-wl Can lo que queda demostrada la desigualdad de Cauchy-
Schuartz.
Si | M I = 0 0 IMI- o se tiene la igualdad.
Ahora sí, usando este resultado, podemos demostrar
la desigualdad triangular:
38
||v+w|| < I M I + I M I
IIv+wlI2 = (v+w).(v+w)
= \I.M + V.W + W.V + W.W
= ||U||2 + 2 V.W + ||Ui||2
* \\\l\\* + 2 |V.lil| + ||UI||2
(pues A < |A|, para todo AeR)
s IMI2 + 2 | |v| | | N | • IMI2
(por desigualdad Cauchy-Schujarz)
- I I M I 2 « IMI* + 2 \\M\\ ||tal|| + ||W||2
- ||V/+Ui||2 « ( | M | + ||Ul||)2
||V+W|| 4 ||U|| + ||üi|| que es lo que
se quería demostrar.
EJEMPLO
a) Sea V = (2, -3, 5) U = (3, 0, 1)
V.W = (2)(3) + (-3)(o) + (5)(1) = 11
39
b) V = (3, 2, 1 ) W = (4, -1, -1U)
V.LJ = (3)(4) + (2)(-1 ) + (1)(-10) = o
observe que el producto puede dar cero sin que
V ni W sean ceros.
1. ANGULO ENTRE DOS VECTORES - ORTOGONALIDAD
Inicialmente definiremos el ángulo entre dos vectores,
solamente para vectores de R 2 o de R 3 , pues para
ello recurriremos a la representación geométrica
de estos vectores.
Después generalizaremos esta definición para vectores
en R n con n > 3.
DEFINICION: Sean V y W vectores en R 2 o R 3 diferentes
de cero. Llamamos el ángulo entre V y W, al ángulo
comprendido entre o y ir, que forman los segmentos
de recta que representan los vectores, al hacer
coincidir sus puntos iniciales.
Utilizaremos ahora esta definición para buscar una
fórmula que nos permita hallar analíticamente el ángulo
entre dos vectores:
40
Para ello consideremos dos v/ectores V y UJ, no nulos
eri R 2 o en R 3 con punto inicial en el origen, sea
0 el ángulo comprendido entre ellos (o < 0 < ir),
estos dos vectores, junto con el vector V-W (vector
que va del punto final de ÜJ al punto final de \l)
determina un triángulo (ver Figura 11) con vértices
en o, V, W y lados de longitud ||v|l [|U||, ||V-W||
w
FIGURA 11
Como el lado de longitud | |V-W| | es opuesto al ángulo6,
entonces por el teorema del coseno tenemos:
I M I 2 = IMI2 + IMI2 - 2 IMI IN I eos 0 (i)
Por otra parte como | |V-W| | 2 _ (V-lü) . (u-w), usando
las propiedades del producto interno tenemos:
41
| |V-UI| |2 = (V-U).(U-W)
= (v/.v) - (v.w) - (w.v) + (u.u)
= ||v|l2 - 2 (v.w) + | M I 2 (II)
igualando (I) y (II) tenemos:
IMI2 + IMI* - 2 |M| | N | eos 0 = IMI2 " 2(V.W) • ||üi||2
de donde:
- 2 | M | I M I eos e * - 2(y.w)
es decir
c o s 6 i k ü
IMI IMI
EJEMPLO: Hallemos el ángulo entre los vectores
V = (6,0)' y Ul = (3,3):
V.W = (B)(3) + (0)(3) = 18
|\M\| = y/ 6 2 + O 2 ' = 6
42
I M I - / a + 9'- 3 S T
V.UJ 18 1 / ? entonces: eos 0 =
I M I I M I 6(3 / T ) / T 2
Z 2 7
Luego 0 es el ángulo entre 0 y TT cuyo coseno es
PS decir 0 = tt/4
Puesto que por la desigualdad de Cauchy - Schwarz,
dados dos vectores en R n , V y W (diferentes de cero).
M I « I M I I N I
. M I
M I I N
« 1
Es decir la expresión en valor absoluto
IMI IMI es siempre menor que uno. Esto nos permite definir
el coseno del ángulo entre dos vectores en cualquier
espacio R n por esta expresión. Así entonces para
todo V, W e R n , El ángulo 0 tal que eos 0 = — ^
I M I I M
con o < 0 « TT es el ánqulo entre U y UJ. (con \l,
W e R n).
Haciendo uso de la representación geométrica de
43
vectores en R 2 y R 3 , diremos que dos vectores son
perpendiculares (u ortogonales) , si el ángulo entre
estos vectores es TT/2
De acuerdo a esto: Para \l, lil ̂ 0 Si V y li) son
perpendiculares entonces:
0 = TT/2 > eos rr/2 = U
M I I M
V. W .. .. ->- o = =— -*• V.Ill = o
l l v l l l N I
Y recíprocamente Si il.lil s o entonces:
Cos 0 = •»• eos 0 =
M U N I l|v|||N
•*• cos 0 = o + 0 = tt/2
+ V y W son perpendiculares
Es decir dos vectores V y lii son perpendiculares si
y solo si V.llJ = o.
4 4
Esta equivalencia de la definición de
perpendicularidad» que es analítica, nos sirve para
generalizar el concepto de ortogonalidad a espacios
R n , asi, diremos que en R n dos vectores U y lil son
ortogonales si y solo si V J = o
EJEMPLOS:
1 ) v = (-2, - 1 , 3 ) w = (2, 2, 2)
V/.üJ = (-2)(2) + (-1 )<2) + (3)(2) = o
•*• \l y üJ son ortogonales (en R 3 , es decir perpen-
diculares).
¿E V * (3, -4, 2, -1 ) Ul = (2, 2, 3, 4)
V.üí = (3)(2) + ( - 4 X 2 ) + (2 )(3) + (-1 )(4) = 0
V y ÜJ son ortogonales (en R")
NOTA:
Dados los vectores V y üJ, sabiendo que 9 es el ángulo
comprendido entre II y lil, Se acostumbra también a
definir el producto interno enre V y W como lo que
65
resulta al despejar \1.\¡¡ de la expresión que define
el ángulo entre dos vectores, es decir:
V/.ÜJ = I |v|11 |w| I eos 0
Existen en R n unos conjuntos de vectores ortogonales
entre si, de gran importancia, que son los llamados
vectores coordenados unitarios, veámoslos inicialmente
en R 2 , luego en R 3 y R n:
Consideremos en R 2 , los dos vectores, que notaremos
r.7:
T = ( 1 , o) 7 = 1 )
Es claro que los dos vectores son unitarios, es decir
I|i|I = IIj|I = 1» Y s o n perpendiculares entre si,
pues i.j = o. (fig. 12)
Y
í kJ = (o,i)
7» (i.o)
FIGURA 12