1

CONTENIDO

SERIES DE FOURIER SOBREEL CÍRCULO

1.1 Motivación y heurística 11.1.1 Motivación de la física 1

1.1.-1.1 La cuerda-vibrante 11.1.1.2 Flujo de calor en -los sólidos 2

1.1.2 Series trigonométricas absolutamente convergentes 31.1.3 *Ejemplos de funciones factoria1es y de Bessel 61.1.4 Ejemplo del núcleo de Poisson 71.1.5 *Demostración del método de Laplace 91.1.6 *Series trigonométricas no absolutamente convergentes 11Formulación de las series de Fourier 131.2.1 Coeficientes de Fourier y sus propiedades básicas 131.2.2 Series de Fourier de medidas finitas 191.2.3 *Rapideces de decaimiento de los coeficientes de Fourier 20

1.2.3.1 Funciones seccionalmente suaves 211.2.3.2 Caracterización de Fourier

de las funciones analíticas1.2.4 Integral senoidal

1.2.4.1 Otras demostraciones de que SiC00) = 11.2.5 Criterios de convergencia puntual1.2.6 *Integración de las series de Fourier

1.2.6.1 Convergencias de las seriesde Fourier de medidas

1.2.7 Principio de localización de Riemann1.2.8 Fenómeno de Gibbs-Wilbraham

1.2.8.1 El caso generalSeries de Fourier en L 2

1.3.1 Aproximación media cuadrática; teorema de Parseval1.3.2 *Aplicación a la desigualdad isoperimétrica

1.2

1.3

1

2224242529

30313134

353538

v

vi CONTENIDO

1.3.3 *Rapideces de convergencia en L21.3.3.1 Aplicación de las series de Fourier

absolutamente convergentes

1.4 Convergencia en la norma y sumabilidad1.4.1 Identidades aproximadas

1.4.1.1 Convergencia en casi todas partesde las medias de Abel

1.4.2 Matrices de sumabilidad

1.4.3 Medias de Fejér de una serie de Fourier1.4.3.1 Teorema de cerradura de Wiener

sobre el círculo1.4.4 *Equidistribución módulo uno1.4.5 Teorema tauberiano de Hardy

1.5 Aproximación trigonométrica mejorada1.5.1 Rapideces de convergencia en C(1r)1.5.2 Aproximación con las medias de Fejér1.5.3 *Teorema de Jackson

1.5.4 *Aproximación de orden superior1.5.5 *Teoremas inversos de Bemstein

1.6 Divergencia de las series de Fourier1.6.1 El ejemplo de du Bois-Reymond1.6.2 Análisis a través de las constantes de Lebesgue1.6.3 Divergencia en el espacio L 1

*Apéndice: Complementos acerca del método de Lap1ace1.7.0.1 Primera variación del tema acerca

de la aproximación gaussiana1.7.0.2. Segunda variación mejorada del tema acerca

de la estimación de error

1.7.1 *Aplicación a las funciones de Bessel1.7.2 *El teorema del límite local de DeMoivre-Laplace

1.8 Apéndice: Demostración del teorema de la acotabilidaduniforme

1.9 *Apéndice: Funciones de Bessel de orden superior

1.10 Apéndice: Teorema de Cantor de la unicidad

1.7

2 TRANSFORMADAS DE FOURIER SOBRE LA RECTAY EL ESPACIO

2.1 Motivación y heurística2.2 Propiedades básicas de la transformada de Fourier

2.2.1 Lema de Riemann-Lebesgue2.2.2 Identidades aproximadas y sumabilidad gaussiana

2.2.2.1 Identidades aproximadas mejoradaspara la convergencia puntual

2.2.2.2 Aplicación a la transformada de Fourier

l

39

43

4545

495154

575759

616162656670

73747578

80

80

808182

84

8586

89

89919497

100102

CONTENIDO vii

2.2.32.2.2.3 El núcleo n-dimensional de PoissonTransformadas de Fourier de distribuciones

con pesos*Caracterización de la densidad gaussiana*Teorema de Wiener de la densidad

2.2.42.2.5

2.3 Invertibilidad de la transformada de Fourier en una dimensión2.3.1 Núcleo de Dirichlet y sumas parciales simétricas2.3.2 Ejemplo de la función indicadora2.3.3 Fenómeno de Gibbs- Wilbraham2.3.4 Teorema de Dini de la convergencia

2.3.4.1 Extensión a la integral sencilla de Fourier2.3.5 Operaciones y regularización en JRl;

promediación y sumabilidad2.3.6 Promediado y convergencia débil2.3.7 Sumabilidad de Cesaro

2.3.7.1 Propiedades de aproximacióndel núcleo de Fejér

2.3.8 Desigualdad de Bemstein2.3.9 *Representación unilateral de la integral

de Fourier2.3.9.1 Transformada cosenoidal de Fourier2.3.9.2 Transformada senoidal de Fourier

2.3.9.3 Transformada h generalizada

Teoría de L2 en JRn2.4.1 Teorema de Plancherel

2.4.2 *Teorema de Bemstein para las transformadasde Fourier

2.4.3 El principio de incertidumbre2.4.3.1 Principio de incertidumbre sobre el círculo

2.4.4 Análisis espectral de la transformada de Fourier2.4.4.1 Polinomios de Hermite2.4.4.2 Función propia de la transformada de Fourier2.4.4.3 Propiedades de ortogonalidad2.4.4.4 Completez

2.4

2.5 Inversión esférica de Fourier en JRn2.5.1 Procedimiento de Bochner2.5.2 Punto de vista de la suavidad por secciones2.5.3 Relaciones con la ecuación de onda

2.5.3.1 El método de Brandolini y Colzani2.5.4 Sumabilidad de Bochner-Riesz

2.5.4.1 Un teorema general sobre la sumabilidadcasi en todas partes

Funciones de Bessel2.6.1 Transformadas de Fourier de funciones radiales

2.6

106

108109110

112112114115115117

117118119

121122

124124125125

128128

129131133134134136137138

139139145146149152

153

154157

. viii

3

,11

L

Motivación y heurística 169

El teorema de interpolación de M. Riesz- Thorin 1693.2.0.1 Desigualdad generalizada de Young 1743.2.0.2 Desigualdad de Hausdorff- Young 174

3.2.1 Teorema de Stein de la interpolación compleja 175

Función conjugada o transformada discreta de Hilbert 1763.3.1 Teoría en LP de la función conjugada 1773.3.2 Teoría en L1 de la función conjugada 179

3.3.2.1 Identificación como una'integral singular 183Transformada de Hilbert en IR. 1843.4.1 Teoría de la transformada de Hilbert en L2 185

3.4.2 Teoría de la transformada de Hilbert, LP en 1 < P < 00 1863.4.2.1 Aplicaciones a la convergencia

de las integrales de Fourier3.4.3 Teoría de la transformada y extensiones

de Hilbert en L 1

3.4.3.1 Desigualdad de Kolmogorov parala transformada de Hilbert

3.4.4 Aplicación a las integrales singularescon núcleos impares 194

Función maximal de Hardy-Littlewood 1973.5.1 Aplicación al teorema de Lebesgue de la diferenciación 2003.5.2 Aplicación a los operadores de convolución radial 2023.5.3 Desigualdades maximales para promedios esféricos 203

El teorema de Marcinkiewicz de interpolación 206

Descomposición de Calderón-Zygmund 209

Una clase de integrales singulares 210

Propiedades de las funciones armónicas 2123.9.1 Propiedades generales 2123.9.2 Teoremas de representación en el disco 2143.9.3 Teoremas de representación en el semiplano superior 2163.9.4 Teoremas de Herglotz/Bochner

y las funciones definidas positivas

CONTENIDO

2.7

2.6.2 Teoremasde restricciónen L2 para la transformadade Fourier

2;6.2.1 Un resultado mejorado2.6.2.2 Limitaciones sobre el rango de p

El método de la fase estacionaria2.7.1 Enunciado del resultado2.7.2 Aplicación a las funciones de Bessel.2:7.3 Demostración del método de la fase estacionaria2.7.4 Lema de Abel

ANÁLISIS DE FOURIER EN LOS ESPACIOS U,

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

1~8159161162163164165167

169

187

188

192

219

4

CONTENIDO ix

FÓRMULA DE LA SUMA DEPOISSONy LAS SERIES MÚLTIPLES DE FOURIER 222

222223223225228

230231

4.14.2

Motivación y heurísticaFórmula de la suma de Poisson en ]H.!4.2.1Periodización de una función4.2.2 Enunciado y demostración4.2.3 Muestreo de Shannon

Series múltiples de Fourier4.3.1 Teoría básica en L!

4.3.1.1 Convergencia puntual paralas funciones suaves

4.3.1.2 Representación de las sumas parcialesesféricas 233

4.3.2 Teoría básica en L 2 2354.3.3 Teoremas de restricción para los coeficientes de Fourier 236Fórmula de la suma de Poisson en ]H.d 2384.4.1 *No localización simultánea 239

Aplicación a lospl1ntos reticulares' 2414.5.1 Error medio cuadrático de Kendall 2414.5.2 Fórmula asintótica de Landau 243

4.5.3 Aplicación a las series múltiples de Fourier 2444.5.3.1 Caso tridimensional 2454.5.3.2 Caso con dimensiones superiores 247

Ecuación de Schrodinger y sumas de Gauss 2474.6.1 Distribuciones sobre el círculo 248

4.6.2 La ecuación de Schrodinger sobre el círculo 250Recurrencia del camino aleatorio 252

4.3

233

4.4

4.5

4.6

4.7

5 APLICACIONES A LA TEORÍA DE PROBABILIDADES 256

5.1 Motivación y heurística 256

5.2 Definiciones básicas 2565.2.1 El teorema del límite central 260

5.2.1.1 Reenunciado en términos

de variables aleatorias independientes 261

5.3 Extensión hacia las series con n no consecutivos 2625.3.1 Extensión hacia las sumas de Abel 266

5.4 Convergencia débil de las medidas 2685.4.1 Teorema mejorado de continuidad 269

5.4.1.1 Otra demostración del teorema de Bochner 270

5.5 Semigrupos de convoluciones 272

5.6 Teorema de Berry-Esséen 2765.6.1 Extensión a las distribuciones diferentes 279

5.7 Ley dellogaritmo iterado 280

x CONTENIDO

6

Motivación y heurística 284

6.1.1 Tratamiento heurístico de la transformada por ondoleta 285

Transformada por ondoleta 2866.2.0.1 Caracterización de la suavidad por ondoletas 290

Desarrollo de Haar en ondoletas 2916.3.1 Funciones y serie de Haar 2916.3.2 Sumas de Haar y proyecciones diádicas 2926.3.3 Completud de las funciones de Haar 295

6.3.3.1 Serie de Haar en los espacios Ca y Lp 2966.3.3.2 Convergencia puntual de la serie de Haar 298

6.3.4 *Construcción del movimiento browniano estándar 299

6.3.5 *Representación en funciones de Haardel movimiento browniano

6.3.6 *Demostración de la continuidad

6.3.7 *Módulo de continuidad de LévyAnálisis de multirresolución6.4.1 Sistemas ortonormales y sistemas de Riesz6.4.2 Ecuaciones de escala y constantes de estructura6.4.3 De la función de escala al AMR

6.4.3.1 Observaciones adicionales

6.4.4 Ondoletas de Meyer6.4.5 De la función de escala a la ondoleta ortonormal

6.4.5.1 Demostración directa de que VI e Vaes generado por {'l'(t - k) hEZ

6.4.5.2 Integrabilidad nula de las ondoletassin funciones de escala

Ondoletas con soporte compacto6.5.1 Del filtro de escala a la función de escala6.5.2 Construcción explícita de ondoletas compactas

6.5.2.1 Modelo de Daubechies6.5.2.2 Modelo de Hemández-Weiss

6.5.3 Suavidad de las ondoletas6.5.3.1 Un resultado negativo

6.5.4 Extensión de Cohen del teorema 6.5.1

Propiedades de convergencia de los desarrollos en ondoletas6.6.1 Series de ondoletas en los espacios LP

6.6.1.1 Análisis de escala grande6.6.1.2 Convergencia casi en todas partes6.6.1.3 Convergencia en un punto preasignado

6.6.2 Teoremas de aproximación de Jackson y BemsteinOndoletas en varias variables6.7.1 Dos ejemplos importantes

6.7.1.1 Producto tensorial de ondoletas

INTRODUCCIÓN A LAS ONDOLETAS

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

284

301301302

303304310313315318319

324

325

326327330331333334336338

341341345346347347

352352354

6.7.2

6.7.3

Bibliografía

Notaciones

Índice

CONTENIDO xi

Fonnulación general del AMR y las ondoletas en ]Rd6.7.2.1 Notaciones para subgrupos

y clases de equivalencia6.7.2.2 Los sistemas de Riesz y los sistemas

ortononnales en ]Rd

Ecuación de escala y constantes de estructuraExistencia del conjunto de ondoletasDemostración de que el conjuntode ondoletas genera VI e Vo

6.7.2.6 Teorema de Cohen en]Rd

Ejemplos de ondoletas en ]Rd

6.7.2.36.7.2.46.7.2.5

354

355

356357358

361362362

365

369

373