contamates
DESCRIPTION
Presentació del programa amb reflexions respecte a la posada en comú amb alumnes (aplicable a primària i secundària)TRANSCRIPT
Matemàtiques Constructivistes.
Els Gatges (visual-manipulatiu) en la representació
de la realitat matemàtiques des d’una perpectiva
VygotsKiana.
Bernat Orellana López 2005-2011
Programa Informàtic Generador de Situacions Matemàtiques a partir de l’operació de contar. (COPYRIGHT 2011, Bernat Orellana López)
NO ESTA PERMES TREBALLAR AMB AQUEST PROGRAMA EN ACTIVITATS DE FORMACIÓ DEL PROFESSORAT SENSEL’AUTORITZACIÓ PER ESCRIT DE L’AUTOR.
Llicència respecte a aquesta presentació:
Una proposta per treballar les
matemàtiques d’una forma
reflexiva.
D'una manera natural l'alumne descobreix,
assenyala i descriu diferents realitats
matemàtiques com són les propietats
commutativa, associativa, l'ús de parèntesi, el
concepte d'igualtat, propietats elementals en el
càlcul amb més de dues operacions diferents.
D’una forma oberta i participativa ens fem
preguntes -amb respostes diverses– les
matemàtiques, en tant que llenguatge, admet
diferents possibilitats comunicatives.
Bernat Orellana López
CONTAR D’UN EN UN...
Presentem un grup de monedes sense cap tipus d’ordenació
espacial amb la consigna. “Conta les monedes amb la única
condició de que ni les pots tocar ni desplaçar”
L'única resposta per part dels alumnes va ser:
Una,dues,tres...set.
Al demanar que representessin l'operació amb números és va
arribar a la conclusió que l'única forma possible és la següent:
1+1+1+1+1+1+1=7.
CONTAR DE DOS EN DOS...
Al disposar les monedes en “un altre ordre espacial" i davant la mateixa
pregunta dos grups diferents d'alumnes de diferent nivell realitzen
l'operació de contar. Les respostes van ser:
• una,dues,tres,quatre ...vuit
• dues, quatre,sis,vuit
I les operacions associades a les dues solucions van ser:
1+1+1+1+1+1+1+1=8
2+2+2+2=8
POSADA EN COMUNA
Una forma de contar és més ràpida que l'altra.
Per a contar de dos en dos les monedes han d'estar
ordenades.
Contar de tres en tres resulta més complicat.
Contar és una operació.
Les operacions es realitzen amb nombres.
L'operació està acabada sempre que el signe igual
tingui una resposta.
ALTRES FORMES DE CONTAR:
Observem que existeixen "altres formes de contar” que es poden
representar mitjançant operacions: (i que totes elles tenen una
representació gràfica)
2+2+2+2+2+2=12.
3+3+3+3=12.
4+4+4=12.
6+6=12.
Lliurem un foli a4 segons model i demanem als
alumnes que escriguin diferents operacions que
representin el nombre d'unitats de la figura.
Els resultats obtinguts en el treball realitzats
d'una manera individual van ser aquests:
1+1+1+1+...= 9
3+3+3=9
1+2+3+2+1= 9 (un únic alumne)
3x3=9 (proposat per un grup important d'alumnes)
3^2 = 9 (proposta per alguns alumnes)
POSADA EN COMUNA Hi ha diferents operacions.
Les operacions recullen diferents formes de veurer la realitat
matemàtica.
1+1+1+1+...= 9
3+3+3=9
1+2+3+2+1= 9
En el diccionari es defineix a la multiplicació com "la suma de
conjunts iguals". Anem a analitzar les operacions que hem
realitzat i vam observar que:3+3+3 = 3 x 3.
Conjunts sumables i
"multiplicables"
3+3=6 ; 2x3=6.
Conjunts sumables i "no
multiplicables"
3+2=5 ;
Amb l'experiència anterior i amb la idea clara que "hi ha
diverses formes de contar" els alumnes donen diferents
respostes a aquesta nova situació:
1+1+1+1+...= 24 (proposta minoritària)
3+3+3+...= 24 (proposta majoritària)
8+8+8 = 24 (proposta molt minoritària)
La primera forma de contar resulta lenta.
1+1+...+1=24
La segona forma de contar no és tan lenta i resulta més fàcil, més operativa.
3+3+...+3 = 24
L'última forma de contar resulta més complicada. (menys visual)
8+8+8 = 24
•La primera forma de contar resulta lenta.
•L'última forma de contar resulta més complicada
•La segona forma de contar no és tan lenta i resulta més fàcil, més operativa.
3+3+3+...+3 = 24 (proposta majoritària)
POSADA EN COMÚ
Demanem als alumnes que observin la figura i que l'analitzin. Els comentaris
que es realitzen en el desenvolupament de la classe van ser molts i
interessants, com és pot comprovar a continuació:
La figura no “està completa”.
Presenta "una irregularitat" .
Si contem de dues en dues, al final sobra una unitat.
Sobra una unitat perquè és no es par.
Les propostes per a representar la figura són diferents i
determinen la capacitat de abstracció matemàtica dels diferents
alumnes del grup de classe.
1+1+1+1+...= 13 (només una alumne)
2+2+2+...+1 = 13 (proposta majoritària)
7+6 = 13 (només un alumne)
En la posada en comuna i com a conseqüència del treball
en grup obtenim respostes "més elaborades". Sorgeix la necessitat de
representar l'operació de contar amb operacions distintes a les de la
suma.
Preguntem als alumnes la possibilitat de presentar l'operació
mitjançant una resta i vam obtenir una resposta d'un alumne que va
explicar als seus companys la següent operació:
2+2+2+2+2+2+2-1=13.
A la pregunta: ¿Com agrupar els dosos en una sóla operació? Vam
trobar aquesta solució:
2x7=14; 14-1=13.
Que agrupada mitjançant dues operacions:
2x7-1=13.
Altra forma d'interpretar l'operació:
2x6 = 12 ; 12+1 = 13; 2x6+1= 13.
Demanem als alumnes que trobin
diverses formes de contar, de
representar mitjançant operacions
distintes aquestes situacions
gràfiques.
Resulta interessant realitzar diverses
preguntes de cara a formalitzar els
resultats i establir propietats:
Són iguals aquestes figures? -respecte a la seva forma-
Tenen una mateixa dimensió?
Són quadrats?
Presenten regularitat quant a la seva forma?
Tenen una mateixa base?
Tenen una mateixa altura?
POSADA EN COMUNA
Les dues figures tenen la mateixa dimensió.
Les dues figures són iguals .
Cada figura té una posició diferent.
El costat que guarda l'horitzontal és la base.
Cadascun dels costats pot ser la base.
La figura és un rectangle.
La figura és un cuadrilater.
2+2+2=6 representa una disposició espacial i 3+3=6 altre.
Després s'establix que 3+3=2+2+2 -igualtat-
2x3 = 3x2 = 6.
propietat commutativa
Es comença a complicar les figures geomètriques i amb això
les possibilitats de trobar solucions operatives a l'operació
de contar.
Demanem als alumnes que d'una manera individual trobin
totes les possibles solucions per a establir mitjançant
operacions el nombre d’unitats, encara que aquestes estiguin
molt reiteratives i repetides.
Escrivim totes les solucions oposades, les més fàcils
van ser proposades per tot el grup de classe i les més
complexes les van formular els alumnes amb un millor
nivell en l'àrea de matemàtiques.
Escrivim totes les solucions i en la posada en comuna
els alumnes expliquen cada operació sobre la base
d'unes dades, a una situació espacial, a una forma, etc.Els resultats van anar en alguns casos sorprenents:
Les formes més senzilles es realitzen amb
l'operació de sumar:
1+1+1+1...+1 = 12.
4+1+1+1+1+4 = 12.
4+2+2+4 = 12.
L'alumne que proposa aquestes solucions mostra
una gran capacitat de percepció de l'espai i
reconeix mitjançant les dues operacions dues
figures geomètriques.
Opera "el tot , opera amb "la part" i realitza la
resta...
4 x 4 = 16; 2 x 2 = 4; 16-4=12.
En aquest cas treballem amb les dues
operacions:
4x4-2x2 = 16-4 = 12
Observar la capacitat d’anàlisis
que expressa un alumne en
aquesta expressió matemàtica.
Junt conjumina bona capacitat
per a interpretar la realitat
espacial i demostra un bona
capacitat per al desenvolupament
de les matemàtiques
4^2 - 2^2 = 16-4 = 12.