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CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO

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CONJUNTOS Y TECNICAS DE CONTEO

INTRODUCCIÓN

El origen de la teoría de la probabilidad se encuentra en el trabajo motivado por los juegos de azar de los matemáticos Pedro de Fermat (1601- 1665), Blas Pascal (1623- 1662). De este trabajo surgió el concepto primitivo de probabilidad. Posteriormente existe una larga lista de matemáticos que han contribuido a desarrollar la Teoría de Probabilidad, de entre ellos cabe mencionar a:

Bernoulli (1654- 1705) Bayes (1751-1800)Laplace (1749-1827) Gauss (1777- 1855)Poisson (1781 -1840) Chebyshev (1821 -1894)Markov (1856 -1922)

“La Teoría de Probabilidad tiene por objetivo el análisis matemático de los eventos aleatorios”.

Clasificamos a los eventos que manifiesta la naturaleza en Determinísticos y Aleatorios.

Eventos determinísticos: Son aquellos que ofrecen exclusivamente un solo resultado.Por ejemplo, el combinar (bajo condiciones apropiadas) dos partes de Hidrógeno con una de oxígeno, necesariamente resulta agua.

Eventos aleatorios: Son aquellos que ofrecen dos o más resultados.Por ejemplo, en la lotería nacional el premio mayor se ofrece a las 50,000 personas que participan en el sorteo.La vida en años de un componente electrónico es de 6, entonces un evento aleatorio puede ser que el componente falle antes de que finalice el sexto año.

Claro esta que al efectuarse un evento aleatorio se presenta solamente un resultado, pero en repeticiones sucesivas del mismo evento aleatorio los resultados pueden ser distintos.Un evento determinístico carece de importancia para la teoría de probabilidad, por que se reduce a un caso trivial de esta. En realidad la teoría de probabilidad siempre se ha dirigido al análisis de los eventos aleatorios.

Para entender la probabilidad necesitamos recordar conjuntos y técnicas de conteo.

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS.

Lo que aquí se mencionará sobre conjuntos serán solo algunos principios elementales, se presentará la notación referente a ellos y se hará una presentación axiomática de aspectos referentes a conjuntos.

Al iniciar este trabajo con conjuntos establezcamos que la idea conjunto es un concepto primitivo. No se da una definición de conjunto. Nos basta, inicialmente, con cualquier idea intuitiva que tengamos. Respecto al la concepción primitiva de conjuntos aceptamos la relación de pertenencia, para un conjunto cualquiera y un objeto indistinto: El objeto pertenece al conjunto o el objeto no pertenece al conjunto.

Si un objeto pertenece a un conjunto. Diremos que tal objeto es un elemento de dicho conjunto.Notación: b A ; b es un elemento de A

Axioma: Todo conjunto debe estar bien definido

El axioma anterior establece que si un supuesto conjunto no esta bien definido, no es conjunto.Existen dos maneras de definir un conjunto, la primera se llama forma enumerativa a la segunda se llama representación descriptiva.

Forma enumerativa o por extensión del conjunto:Es cuando se listan los elementos, se utiliza cuando el conjunto es pequeño o no existe una correlación en común para definir el conjunto.

p.e.: U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; A = { 1,2,3,5,7 }; B = { 0,2,4,6,8 }

Forma descriptiva o por comprensión:Existe una regla que permite describir los elementos del conjunto.

p.e. : A = { x | x es un numero primo } ó B = { x | x es un numero par }

mailto:[email protected]


* La línea | significa tal que.

SUBCONJUNTOS

Existen conjuntos tales que todos sus elementos pertenecen a otro conjunto. Por ejemplo: A = a, i, o están en el conjunto B = a, e, i, o, u

Todos los elementos del conjunto múltiplos de tres pertenecen al conjunto de los enteros.

Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B decimos que el conjunto A es subconjunto del conjunto B o que A están contenidos en B.Notación : Si un conjunto A es subconjunto de un conjunto B escribimos : A B

Un conjunto A no es subconjunto de B, si existe un elemento de A que no este en B: A B

Ejemplo: Sea A = {1,2,3,4,5 } y sea B = {1,3,5 }, C = { 2,4 }, D = {1,4 } y E = { 3,4,5,6 }.Los conjuntos B, C y D son subconjuntos del conjunto A, E A

Sea A = { 1,3,5,7,9 } y sea p(x) = {x |x es par }, entonces el conjunto formado por los elementos de A que hacen verdadera a la proposición p(x) es {x A | p(x) es verdadera }, pero como en A no hay números pares entonces en dicho conjunto no hay elementos , pero es un conjunto y como no tiene elementos le llamamos conjunto vacío.Notación: Al conjunto vacío lo denotaremos con el símbolo .

Como consecuencia de la definición de subconjunto podemos concluir que todo conjunto es subconjunto de si mismo y que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

Teorema: Todo conjunto es subconjunto de si mismo.Teorema: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

Axioma: Existen conjuntos cuyos elementos son también conjuntos.

Definición: Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto se le llama Potencia de dicho conjunto.

Ejemplo: Si S = {1,2,3 } la potencia de S es: P ( S ) = { , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }

En forma general para encontrar cuantos subconjuntos tiene un conjunto dado se usa la expresión 2 n, donde n es el número de elementos del conjunto.

GLOSARIOTermino Definición

Conjunto

Elemento


Diagrama de Venn Euler

ConjuntosMutuamente excluyentes

ConjuntosColectivamente exhaustivo

Cardinalidad de un conjunto

Conjunto universo

Conjunto vacío

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Sean A y B conjuntos arbitrarios.

La Unión de A y B, expresada por A B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A y/o B: A B = x | x A / x B

A y B son disjuntos A y B no son disjuntos B AMutuamente excluyentes No M. E.

A = 1,2,3 A = 1,2,3 A = 1,2,3,4 B = 4,5,6 B = 2,4,6 B = 3,4 A B = {1,2,3,4,5,6} A B = 1,2,3,4,6 A B = {1,2,3,4}

(A B) = (A) + (B) (A B) = (A) + (B) - (A B) (A B) = (A) + (B) - (A B)

(A B) = (A) + (B) - (B)(A B) = (A)

La Intersección de A y B, expresada por A B , es el conjunto de elementos comunes a A y B:A B = x | x A x B

A y B son ajenos ó M.E. A y B no son ajenos B A A = 1,2,3 A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3,4 }

B = 4,5,6 B = { 2,4,5 } B = { 3,4 }A B = A B = { 2 } A B = { 3,4 }


(A B) = 0 (A B) = (A) + (B) - (A B) (A B) = (A) + (B) - (A B)(A B) = (A) + (B) - (A)(A B) = (B)

La Diferencia de A y B o el complemento relativo de B con respecto a A expresada por A – B (se lee que tiene A diferente de B), es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B: A - B = xx A x B

A = 1,2,3 A = { 1,2,3 } A = { 1,2,3,4 }B = 4,5,6 B = { 2,4,5 } B = { 3,4 }A - B = { 1,2,3 } A - B = { 1,3 } A - B = { 3,4 }

(A - B) = (A) (A - B) = (A) - (A B) (A - B) = (A) - (B)

El complemento absoluto o, simplemente complemento de A, expresado por , es el conjunto de elementos que no pertenecen a A: = x x U x A

Sea: U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y A = { 1,2,3 }, entonces = 4,5,6,7,8,9 O sea que es la diferencia entre el conjunto universal U y el conjunto A. U - A = = A’

(A’) = (U) - (A)


LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

1a. A A = A ; A A = A Leyes de igual potencia

2a. ( A B ) C = A ( B C ); ( A B ) C = A ( B C ) Leyes asociativas

3a. A B = B A; A B = B A Leyes conmutativas

4a. A (B C) = (A B) (A C) ; A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Leyes distributivas

5a. A = A; A = ; A U = U; A U = A Leyes de identidad

6a. A = U; A = ; (A) = A; = Leyes de complemento

7a. ( A B ) ‘ = A’ B’; ( A B ) = Leyes de De Morgan

TÈCNICAS DE CONTEO

Cuando el estadístico necesita considerar o evaluar la posibilidad asociada a una ocurrencia de eventos cuando se realiza un experimento, en muchos casos debe de ser capaz de resolver un problema mediante el conteo del número de puntos en el espacio muestral, sin listar cada uno de los elementos, para ello utilizamos las técnicas de conteo.

DIAGRAMA DE ÁRBOL


Es un gráfico que presenta todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras.

Ejemplos

Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un dólar. El hombre empieza con un dólar y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana tres dólares. Esto es, si tiene cuatro. Hallar el número de casos en que la apuesta puede ocurrir.

Observar del diagrama de árbol que se suspenderá la apuesta en solamente tres casos.

Cuántas maneras hay para contestar un examen de 4 preguntas cuya opción es F y V si una persona contesta al azar el examen.

24 = 16 ManerasCuantos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4 sin repetición.


Como se ve algunos experimentos generan demasiados resultados en donde el diagrama de árbol resulta inconveniente; por esta razón se necesitan utilizar las técnicas de conteo.

Técnicas de conteo.- Son métodos que nos permiten conocer el número total de resultados de un experimento, sin enumeración directa.

Principio de multiplicación.- Supongamos que un experimento, designado como 1 puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento designado como 2 se puede hacer de n2 maneras diferentes y así sucesivamente entonces el total de resultados posibles de un experimento viene dado por n1 x n2 x n3 x … nk .

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si

n1 ≠ n2 ≠ n3 ≠ n4 ≠… nkEntonces

principio multiplicativon1 * n2 * n3 * n4 *… nk

Sin1 = n2 =n3 = n4 =… nk

Entoncesprincipio multiplicativo

n1 * n2 * n3 * n4 *… nk

= nk

Sin2 = n1 -1, n3 = n2-1… nk

= nk-1 -1Entonces:

Permutaciones

En donde el orden es importante

Algunos Simples

TodosSimples

RepeticiónCirculares

Entonces:Combinaciones


En donde no importa el orden

Ejemplo:1) Si no se permiten repeticiones cuantos números de 3 dígitos diferentes se pueden formar con los siguientes 6 dígitos 2-3-5-6-7-9 Números diferentes con los 6 dígitos

¿ Cuántos números son pares ? Números pares

¿ Cuantos números son impares ? Números impares

2) Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que solo pueden abrirse por dentro. ¿De cuantas formas puede una persona entrar y salir de la tienda?

n1=7 ; n2=12 ; n1n2 = 7 x 12 = 84 maneras

3) De cuantas formas diferentes se puede responder un examen que consta de 4 preguntas de falso y verdadero si un estudiante contesta el examen al azar.

n1=2 n2=2 n3=2 n4=2 ; n1=n2=n3=n4 ; nk=24=16

4) Cuantos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4 sin repetición.

n1=4 n2=3 n3=2 ; n2=n1-1 ; n3=n2-1 ; 4*3*2=24

Para aplicar las técnicas de conteo de permutaciones y combinaciones se hace necesario recordar el concepto de:NOTACIÓN FACTORIALEl factorial de un número es el producto de los enteros positivos desde uno hasta n, se emplea con mucha frecuencia y se denota por símbolo n! que se lee “n factorial” por otra parte se define el cero factorial como:0!=1; 1!=1; 2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6; 4!=1*2*3*4=24

Calcular:

a)

b)

c)

PERMUTACIONES

DEFINICIÓN: Una permutación es un arreglo de todos ó algunos elementos, en donde una permutación es diferente de otra si el arreglo ó el contenido es diferente.

Ejemplos:

-Permutaciones diferentes en arreglo: 123 132-Permutaciones diferentes en contenido: 123 124

a) Se puede permutar los n elementos tomándolos todos a la vez.b) O bien se puede permutar los n elementos tomando parte de ellos a la vez donde (r n).


PERMUTACIONES SIMPLES:

a) Tomando todos los elementos de un conjunto a la vez.Teorema 1: Si S es un conjunto y (s) = entonces el número de permutaciones posibles utilizando todos los elementos de S a la vez, es : P (n,n) se lee permutaciones de n elementos tomando n a la vez.

Ejemplo 1: Hay cinco personas que se van a formar en una fila. De cuantas maneras diferentes se pueden formar ? P ( 5,5 ) = 5! ó 5*4*3*2*1= 120 maneras

Ejemplo 2: Debe asignarse a siete hombres a siete trabajos diferentes de cuantas formas se puede hacer ? P ( 7,7 ) = 7! ó 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 maneras

Ejemplo 3: En una operación de manufactura, una pieza se produce por maquinado, pulido y pintado. Si hay tres herramientas de maquinado, cuatro herramientas de pulido y tres herramientas de pintado, ¿cuántas rutas diferentes para una pieza son posibles?

Por la regla de multiplicación:

b) Tomando parte de los n elementos a la vez.

Teorema 2: Sea S un conjunto y (S) = entonces el número de subconjuntos ordenados de S, cada uno con r elementos donde ( r n ) es:

P ( n,r ) = n( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ..... ( n - r+1 )

La notación P ( n,r ) se lee “ El número de permutaciones de n elementos tomando r a la vez ”ó bien:

Ejemplo : Sea S = Pérez, López, González, Moreno de este conjunto se escogerán 2 personas para los puestos de gerente y supervisor, de cuantas maneras se puede hacer.

( S ) = 4 ; r = 2 ; P ( 4,2 ) = 4 x 3 = 12

Ejemplo : La presidencia, la vicepresidencia y la tesorería de una compañía, están vacantes y hay ocho candidatos.¿De cuantas maneras pueden ser ocupadas las vacantes?

( S ) = 8 ; r = 3 ; P ( 8,3 ) = 8 x 7 x 6 = 336 formas diferentes

Teorema 3: Permutaciones con repetición Si de los objetos , n1 son iguales , n2 son iguales...nk son iguales, entonces el número de permutaciones de los n objetos en donde n1 pertenece a la clase 1, n2 pertenece a la clase 2 y así sucesivamente.

P(n1 ,n2 , n3 . ..nk )=n!

n1 ! .n2 ! .n3 ! . . .nk ! ; donde : n1 + n2 + n3 + ...+ nk = n ; De otra manera

Ejemplo 1: Cuantas palabras diferentes de cinco letras se pueden formar con las letras de la palabra TATTY ?

n = 5 ; n1 = 3T ; n2 = 1A ; n3 = 1Y ; P ( 3,1,1 ) = 20 palabras diferentes.


P(3,1,1)= 5!3 !⋅1!⋅1 !

=1206

=20

Ejemplo 2 :Cuantas señales diferentes, cada una de seis banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas azules y dos verdes idénticas.

n = 6 ; n1 = 4A ; n2 = 2V ; P ( 4,2 ) = 15 señales.

PERMUTACIONES CIRCULARES

Teorema 4: n objetos pueden distribuirse en un circulo de (n-1)(n-2)...(n-1)! maneras.

Ejemplo 1: ¿De cuantas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor de una mesa redonda ?Si estamos de acuerdo en que estas dos maneras de sentarse son iguales, entonces:

la primera persona que se siente puede escoger cualquiera de los asientos y solo servirá como referencia.Por lo tanto la solución al problema anterior será:Una persona puede sentarse en cualquier puesto en la mesa redonda. Las otras seis personas pueden acomodarse de 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! maneras alrededor de la mesa.En general, n objetos pueden distribuirse en un circulo de (n-1) (n-2) ...(n-1)! maneras.

Ejemplo 2: ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 ingleses, 2 italianos pueden sentarse en una mesa redonda de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos ?(4-1)! x 3! x 4! x 4! x 2! = 41472 maneras. Observar que los de cada nacionalidad se consideran un paquete por ello (4-1)!

COMBINACIONES

Si “A” es un conjunto de n elementos, los subconjuntos de “A” que constan de “r” elementos se llaman también combinaciones de n elementos de “A” tomados de “n” en “r”.Cn

r el número de combinaciones de “n” elementos tomados de “n” en “r”; es decir, el número de subconjuntos con “r” elementos de un conjunto de “n” componentes se denota por Cn

r.

así Pnr=n (n−1 ) (n−2 ) .. . (n−r+1 )

y Pn=n!


Esta es nuestra formula de combinaciones. A los números de la formula Cnr se les acostumbra llamar coeficientes binomiales

pues aparecen como coeficientes en el desarrollo de la formula del binomio de Newton.

(C0r= 1), pues es el número de subconjuntos de “A” que no tienen elementos de los cuales hay uno solo, el conjunto vacío

Ejemplo . Un examen consta de 13 preguntas, si se tienen que contestar 10 de estas preguntas cuantas formas diferentes existen de contestarlas:

a) maneras posibles

b) Cuantas maneras si las 5 primeras son obligatorias: maneras

Ejemplo . Una clase consta de 9 niños y 3 niñas

a) De cuantas maneras se puede escoger un comité de 4

comités

b) Cuantos comités contarán con una niña exactamente

C (¿ 39) xC (¿ 13 )=9 x8 x 7

1 x2 x3=504

6=84 (3 )=252

comités

c) Cuantos comités contarán al menos con una niña

Ejemplo: Un lote de 140 chips semiconductores se inspecciona escogiendo una muestra de cinco chips. Suponer que 10 de los chips no cumplen con los requerimientos del cliente.a)¿Cuántas muestras diferentes son posibles?b)¿Cuántas muestras de cinco chips contienen exactamente uno no satisfactorio?c)¿Cuántas muestras de cinco chips contienen al menos uno no satisfactorio?

Solución:

a) El número de muestras de tamaño 5 es


b) Hay 10 chips no conformes y hay formas de seleccionar 4 chips conformes. Por lo tanto, el número de muestras

que contiene exactamente un chip no conforme es 10c) El número de muestras que contienen al menos un chip no conforme es el total del número de muestras

menos el número de muestras que contienen chips no conformes . Esto es -

=

Ejemplo : En un torneo de ajedrez se jugaron 66 partidas, de tal manera que cada participante se enfrentó a otro ¿Cuántas personas participaron en este torneo?

Solución:

12 personas; 12C2 = 66

n C r=n P rr !

=n(n−1)(n−2) .. .(n−r+1)

r !

para el caso:

n C2=n(n−1)

2!=66⇒n(n−1)=132⇒n2−n−132=0

(n−12)(n+11)=0⇒n=12 Personas

Ejemplo: Un profesor de probabilidad y estadística posee cuatro mansiones, las cuales están en bosques de Las Lomas, en Cuernavaca, en la zona residencial de Acapulco y en la bahía de Miami. Cada una de sus mansiones tiene lugar para dos autos tipo limosina y tres de tamaño normal. Un auto normal puede quedarse en un lugar para limosina, pero lo contrario no es posible. Si el profesor es dueño en total de tres limosinas Mercedes Benz, además de siete autos tamaño normal (cuatro Ferraris, dos Jaguares, y un Mercedes Benz deportivo), ¿de cuántas maneras puede guardar 10 vehículos en sus cuatro casas?

Solución:

Las 3 limosinas las puede guardar en cualquiera de los 8 sitios grandes (4 mansiones * 2 sitios grandes / mansión). Una vez hecho esto, dispone de 17 lugares (5 grandes pues de los 8 disponibles se ocuparon 3 y 12 sitios normales, “4 mansiones * 3 sitios normales / mansión”), mismos que pueden ser ocupados por los restantes 7 autos. Por eso, 8 C 3 * 17 C 7 = 56 * 19448 = 1’089,088 maneras de guardar 10 vehículos en sus cuatro casas.

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