I t:.UHIA ut:. CONJUNTOS

I IDEA DE CONJUNTO I Todas tenemos la idea de lo que es un conjun­to: es una colección. agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abs­tracias. Los integrantes puedensernúmeros, letras, dias de la semana, alumnos, paises, astros. continentes. etc. a estos integrantes en general, se les conoce como "Elementos del conjunto",

Ejemplos:

a) El conjunto formado por los primeros veinte números naturales

b) El conjunto formado por profesores de un colegio

e) El conjunto formado por los actuales presiden1es de los países de América. Latina

d) El conjUnlo formado por la carpelas de un salón de clase

Sin embargo. el concepto que tenemos es un ~CoocepIO Intuitivo", el cual no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elemenlos locualconlradice la idea que tenía­mos.

Ejemplos:

a) E\ conjunto c::onstituido r.-or las plantas que dan flores.

bJ El conjunto de ciudades de la SIerra peruana

e) Elconjuntode números naturales meno­res que 5 y mayores que 4

d) El c::onjunto de personas mayoreo; que 400 años de edad

I NOTACIONES EN UN CONJUNTO I 1 Q AlosconjunlOS Se les denotará con letras

mayúsculas A, B. C .... y a sus elementos con letras minúsculas; a, b, e, d •.. .

Ejemplo:

P={m, n, r, sl ==-I Elemento del Conjunto "po' I 2g El símbolo empleado para expresar que

un elemento pertenece a un conjunto "'S~F

Ejemplo:

P = (m, n, r, s,}

@ I (El elemenlo'n~ pertenece al conjunto "P1 I

~ El simbolo utilizado para expresar que un elemento "no pertenece"a un conjun­to es: ,{

Ejemplo:

P = {m. n, r, sl . ,

Q¡t P

I (El eremenlo "q" no pertenece al conjunto"P1 I 4° Cuando un conjunto "R" está constituido

por varios elementos como por ejemplo: a, b, e, d, e. f, los escribiremos entre LLAVES

R = (a, b, e, d, e, f)

I DETERMItIACION DE CONJUNTOS I ~rExteI'Si6n: )

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Un conjuntos "A'" está determinado por exten· sión cuando se mencionan uno por uno todos los elementos o cuando. si son numerosos, se meooonan los primeros de ellos (y se colocan puntos suspensivOs)

Ejemplos:

1. A = (lunes, Martes, Miércoles. Jueves, viemes, Sábado. Domingo)

2. B= (O, 1,3,5,7, ... )

Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser delerminados de esta manera, sobre lodo cuando el número de elementos que constituyen el conjunlo es muy elevado.

Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjun­tos de estrellas del universo.

Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos queticncn muchos elementos. A esta otra forma de determinar un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.

( Por Comprensión: )

Un conjunto A está detenninado porcom­prensión cuando se enuncia una ley o una funcIÓn que permite conocer Qué elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al con­junto A.

Para diferenciar cada forma de determi­nar un conjunto veamos los siguientes ejem­plos:

Ejemplo 1

Por extensión:

A = {lunes. Martes, Miércoles. Jueves, Vier· nes, Sábado, Domingo}

Por comprensión: (Una pasilIe feSPUes1a seria)

A = (xf'x" es un día de la semana)

Se lee:

"El conjunto A esta formado por todos los elementos ')''' que satisfacen la condición de ser un día de la semana",

Otra posible respuesta seria:

"A eS el conjunto constituido por todos los elementos"x" tal que x esun diade la semana"

EJemplo 2

Por extensión: B = (1. 3, 5,7 .... )

PoroomprensiOn: (Una posIlIe respuesta seria)

Se lee:

"a es un conjunto formadoporlosefementos "1("

tal que '"x" es un nUmero ;ropaf y "X-pertenece al conjunto de los números naturales",

EJemplo 3

Determinar el conjunto de las cinco vocales

Por extensión: A = {a, e, i, 0, u}

Por comprensión: A = {x/ · x" es una vocal}

1 Esta barra indicada s'ignifica "tal que" l Ejemplo 4

Determinar el conjunto de los números pares naturales menores que 15

Por extensión:

B = (2, 4, 6,8, lO, 12, 14)

Por COmprensión:

B = {x/Y es LtI lUneto par natural menor que 15}

Se lee:

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"B~ es el conjunfo formado por Jos Y, tal que "xl> es un número par natural menor que 15.

CLASES DE CONJUNTOS POR EL NUMERO DE ELEMENTOS

( Conjunlo Unitario: )

Es aquel oo .... uoto que tiene un sólo elemento.

Ejemplo!J:

1. El conjunto del adual presidente de Ar-gentina

2. 0= {x/3 <x< S, -X- es un número entero}

3. M;{)(Ix+6 ;8l

4. R = IY E N J3< y< Sl

5. G;IOl

( ConJunto v~ Es aquel conjunt') que no tiene elementos.

Se le representa por la letra 4> "se lee FI". También se le representa por un conjunto que no tiene elementos dentro de las llaves. AsI por ejemplo:

0: 11

Simbólicamente se define como:

1; {)(Ix" xl

Ejemplo:

A = {Es el conjunb de mujeres que ti enen 3 piernas}

Comosehabrádadocuenla no ex,:ste flfnguna mujer que posee 3 piemas, por tanto, este conjunto carece de elementos y oeclmo5 que es un conjunto vacfo.

NOTA: lO}; Representa. a un conJ~'1.tO de un sólo el.(!m.(!nlo. el nlÍmero cero.

O' Indica ausencia de cantidad (es un número, más no un conjunto)

(tfJ); Representa a un conjunto de un sólo elemento. el ekf11'-nto "tfJ lO

! ConJunto Universal: (o UnIverso) J Esclconjoo­

lo Que contiene. comprende o den-t ro del cual están todos los demás

u

conjuntos , se le simboliza por la le- '------------'

tra U ,gráfica.mentese le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (unorualquiera) se coloca la letra U.

s. consideramos como un conjunto uni· versal al sistema universitano de nuestro país, entonces cada universidad x, será elemento de dicho universo. El conjunto de libros de una Biblioteca determinada. puede ser otro ejem· plo, sus elementos serán cada uno de los libros de los que consta. El marco de referercia es relativo. de modo que podemos referir como conjunto universal por ejempo al Conjunto de Bibtiotecas de la ciudad

( Conjunto Finito: )

Es aquel royos elementos se pueden contar en forma usual desde el primero hasta el último. El numero de sus elementos se llama cardinal de conjunto.

EjemplO$:

1. {El número de carpetas del salón}

2.

3.

4 .

{24 675 gramos de Brena}

{Hojas de un árbol}

{Números enteros entre 1 y 20}

( Conjunto InfinIto: )

s. contarnos no se llega nunca a un úttimo ele­mento del coníunto se ltama intW1ito o indefinido.

Ejemplos:

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(1) {Punto de una recta} (Es infinitO) (2) {Números enteros mayores que 100)

(Es infinito)

NOTA: Lospunlossu.spensiv~ ooooo en­tre dos elementos se leen ~y asi sucesioomentehasto-o Esospun­tos como lerminación, se lee "'y asi suct!siuamenle"

Ejemplos:

(1,2,3, ... 100) es fin~o

(1 ,3. 5. 7. oo.) es ¡nl¡nito

I RELACIONES ENTRE CONJUNTOS I

( Inclusión: )

Se dice que "AH está incluido en el con­junto "B", cuando todo elemento de A, pertene· Ce a -S"o La inclusión Se simboliza por " e "o

AcB -H 7I.EA -+ x e B

También se puede decir que A es subco~unto del conjunto B. Se puede denotar por B :> A, que se lee "8- incluye, contiene o es un subconjunto del conjunto A. Ejemplo de subco!iunto o inclusión es el Siguiente:

Si: P = (Perros)

M = (Mamíferos)

Entonces se tiene:

P e M ("P" está incluido en HM")

e Se lee: ~Esta incluido en"o Su negativa es: ~

:> Se lee: "Incluye a"o Su negativa es; ~

Sean, por ejemplO, los conjuntos:

A = (a, b, c, d); B = (a, d)

C _ (b, d, a. e); D - (a. e, e)

En es1e caso se observan las siguientes inclu­siones:

Be A;C e A;A e c

En cambio los conjuntos C y D son incompara­bles, porque ni ~C" incluye a ND", ni "O" incluye a ·C", es decir:

D¡fC ;.C$Z'D

Hemos visto que pueden ocurrir al mis­mo tiempo las dos inclusiones e e A y A e C, eslo quiere decir, sencillamente. que A::: Co

( Conjuntos 19u1Jles:)

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elemen[Qso Su forma simbólica es: A _ B.

Nótese Que decimos los mismos ele­mentos que no es igual a decir el mismo número de elementos.

De la definición podemos ¡nfem que: A ::: A (Todo conjunto es igual a si mismo).

Ejemplo 1

Si: A - (1, 3, 7, 9, a, b)

B - (a, b, 9, 3, 1, 7)

Entonces: A ::: B pues son los mismos elemen­tos aunque estén en diferente ordeno Recuer­de, no importa el norrbre dado al conjunto sino los elementos que lo 1orman.

Ejemplo 2

Si: C = (a, e, i, o, u)

D _ (a, e, o, 4, i)

Entonces C .,. O porque a pesar de que cada conjunto tiene 5 elementos (igual número de elementos) basta que exista un elemento dife­rente para que ya no sean igualeso

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( eonfunlos DIferentes=-)

Dos conjuntos son diferentes si sus ele­mentos no son iguales.

Ejemplo:

A ={m, n, p, q}

B = {r, s, m, p}

_. lA'#. B (~ : significa no igualo diferente) I [Con/unt08 Disjuntos: )

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ning(rn elemento en común: es decir, todos sus etementos de un conjunto son diferentes a los etementos del otro conjunto.

Ejemplo:

A = {O, 1, 2, 3, 4, 5}

B = [9,S,7,S,lO}

f~OP~iéi)

Se llama a~; al oonjunto fonnado por todos los subconjuntos que es posible formar de lWl conjunto dado. Se sirrboJiza por P. La notación P(A), se Jea potencUi del conjunto A. El romero de subconjuntos que es posible formar con k>selementos de un conjunto 8S2"; siendo -n" el nUmero de elementos integrantes del conjuoto.

EJemplo:

Si se tiene: A = (a, b, e),

hallar la potencia del conjunto A

Resolución:

Se tiene:

P[A) = [[a}; lb}; (e); (a,b), (a,e); {b,e}; (a,b,e};,) . I Subconjunlos o partes del conjunto Al

Esto es; número de elementos de A; es n = 3, de donde:

rl-2-'-=-S-S-ubc- O-n-ju-n-to- s' l

I REPRESENTACiÓN GRÁFIC'-A- D- E'

CONJUNTOS

Se pueden i .... uir muchos sistemas auxi­liares para visualizar las relaciones. Enre con­juntos; k>s más conocidos son los Diagramas UneaJes y tos de Venn-Euler

I DIAGRAMAS UNEALES I Son segmentos de rectas que ilustren las

relaciones entre conjuntos.

I DIAGRAMAS DE VENN-EULER I Consiste en graficar mediante círculos.

etipses, rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjuntos con los que se labora. Generaln lenle los puntos interiores a un rectángulo representa al con· junto del sistema.

Ejemplo:

Si el conjunto universal lo tounan las letras del alfabeto y además se tienen los siguientes conjuntos:

A = (a, b , e, d) B = (e, a, di e = (a, dI

Representar las relaciones entre dichos co~untos gráficamente.

Resolución:

Observamos que: e e B; además Be A: y como U es el coniunto universal (Todas las letras del alfabeto)

La representacoo lineal será:

~cr, Q

Elconjunto Deslamás aoojolk aquel enelque Queda incluido, y asi sucesivamenlf!'. ~ --~

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La representación de los diagramas de Venn Eu&er,

u

x

m

Ob5ervarque el conjtJ nto"O~ está en el interior del conjunto que lo incluye del mismo mooo "8" respecto a '"N. El conjunto uriversal está re­presentado p:>r el rectángulo en nuesUo ejern-­plo. Esta formado por las letras del alfabeto. D c B c AcU.

I OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS I Las operacKmes entre conjuntos son disposi­cionesespeclfeasdecooonarconj ..... tospara 10000000r otros, de semejarte estructura . Dichas operaciones son la unión, la intersecd6n, la aterencia, la cof11>lementaci6n. el conjunlo producto o conjunto cartesiano y la diferencia siméfrica.

( ÚnI6<1 o Reunlón-. )

Unión o Reunión de los conjuntos A y B es el conjunlo de elementos ")(' que pertene­cen a "A-, a "S- o a ambos, se simboliza por A v B; y se lee: "A" unión "'B·.

Por Comprensión:

Av S;I"'x E Avx E SI

es decir: )( e A u B $:> ){ e A v x e B

~ : significa: "Si y solo si"

Gráficamente. la unión de conjuntos se represenla, en un dagrama de Venn-Euler. achurando la zona donde se encuentran los dversos elementos que pertenecen a los con­juntos: qLK> pertenecen a la unión.

u

r7'\\ <:> I A v BI

A~B

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {a, b, e, d. el y el conjunlo B = {t, b, d}; el universo las lelras del aHabeto. Hallar. A u B.

Resolución:

Como tos elementos de Ay B pueóen pertene­cersófa a · A"', sókl a "B'" o simultáneamente a ambos, entonces:

Av B ; la, b, e, d, e, 1}

Su representación gráfica en el diagrama de Vem-Euler es toda la superficie achurada_

G[)u

8 b m e f

d n •

p, q, r, ....... Z

I A v B ; la,b,c,d,e,n I I Propiedades de la unión de conjuntos I

Dados los conjuntos:

A ~ la, b, el

S; la, b, e, d, eJ

C~la , mI

Se cumple que:

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l. IAuB = BuAI

(Propiedad conmutativa)

Ejemplo

A u B = (a, b, e, d, el

BuA = (a, b, e, d, el

2. IA C(AU Bl A B e (A u Bl I Ejemplo:

(a, b, e)c (a. b, e, d, el la, b, e, d, e)c la, b, e, d, e)

3. ISi: Ae B =O A u B=BI I=> se lee: ~mp/ica'1

Ejemplo:

(a, b,el e la, b, e,d, el

la. b, el u la, b, e, d, el = la, b, e, d, el

4. 1 (Au B} u e = A u (B u C) I

Ejemplo;

(a, b, e , a, b, e, d, e ) u la, m}

= la, b, e} u (a, b, e, d, e, a , m)

De cIoncle:

la, b, e, d, el u la, m} = (a, b, e, d, e, mJ

~~~v~~~~a,~ =~~~da,~

¡ IntersecciÓn: J

Intersección de los conjuntos A yB es el CClrlunlo de elementos .. ](' que pertenecen a "A"ya"B". Estáformado por elementos comu-nes a k>s COrluriOS Que forman la i1terseo-ción. Se simboliza por A n S, y se lee: "A" intersección "8".

Por compresión:

A n B : (xlx e A Ax e BJ

Es decir:

XE (A n B)(::)(xE A ,., XE B}

Gráficamente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

Si: A:

B=

{2, 4 . 6.1.~. ~.~}

{I,3,5, 7,9, lO, 12, 14} G;ll:;ZIc;:::II =

An B: 17,9,10, 14J 1

Gráficamente:

u

1,. n B: (7, 9,~

Problema:

En el colegio 'San Miguel" de Piura. se ha evaluado a mil alumnos en las astgnaturas de lenguaie, Biologia y matemáticas y, se ha obtenido el siguiente resultado.

a) 680 alumnos aprobaron lenguaje. b) 320 alumnos aprobaron biologra. e) 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje. d) 50 alumnos aprobaron lenguaje y biolo·

gía: pero no matemáticas. el 170 alumnos aprobaron biología, y

matemáticas, pero no lenguaje. 40 1) alumnos aprobaron biologia,lenguaje

y Matemáticas

¿Cuántos alumnos aprobaJon sólo matemáti· cas?

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ResolucIón:

Para resolver este lipo de problemas es con­veniente errpezar su desarrollo a partir del último dato (O sea: la intersección de los 3 conjuntos). Veamos:

f} -40 alul1YlOS aprobaron Biologfa. len­guaje y Mate~ttca". esto quiere decir que 40 alumnos son elementos comu­nes (están en la intersección) de los 3 conjuntos.

u

Donde:

L = alumnos que estudian Lenguaje. B = Alumnos que estudian Biología e = AllIfJYlos Que astucian Matemática

e) "170alumnos aprobaron Biología y Ma­temática pero no lenguaje" o sea que. estos 170 alurmos son elementos co­munes (esta n en la intersección) de los alunTlosque aprobaron Biología y Mate­mática

u

d) .. SO aprobaron Lenguaje y Biología pero no Matemática-; el razonamiento es s;" milar al anterior.

Tenemos ya 40 que aprobaron Lengua­je. Biología y Matemática pero, como la condición es que no aprobaron matemá­tica estos 50 alumnos pertenecen s610 a la intersección de Iosque aprobaron len­guaje y Biología.

u

e) "400 aprobaron sólo Lengua}e"; estos alullTlos son elementos Que pertenecen al conjunto exclusivo de Lenguaje, es decir no son elementos comunes a los conjuntos -aprobaron Biología·ylo "apro­baron Matemáttca".

u

b) "320 aprobaron Biologla"

u

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de la gráfica tenemos:

5O+4O+170+x= 320

26O+x= 320

1 x= 60 1 (Aprobaron sólo B/ologla)

a) "680 aprobaron Lenguaje-

u

De la gráfica, lenemos:

4OO+50+40+y = 680

490 + y= 680

· · E~ (Aprobaron sófo Lenguaje y Matemática)

Como hay 1 000 alumnos podemos obtener cuantos alumnos aprobaron sólo Matemática procediendo de la siguiente manera;

u

Del dagrama tenemos:

400+50+60+190+ 4O+170+z= 1000

910+z=1000

:.lz=901 (Aprobaron sólo Matemáticas)

Propiedades de la Intersección de ~ Conjuntos ~

1.1 A"B=B"AI

(Propiedad Conmutativa)

2. I (A" B) CAl 3·I {A"B)CB I

4· IA C B=>A " B = AI

5. HA" B) " e = A" {B "C) I (Propiedad Asociativa)

6. lA " (B u e) = (A" B) u {A" C)I (Prop;edad distributiva respecto a la umón)

7. lA u (B" C) = (A u B) ,, {A u e)1

(Propiedad distributiva de la unión respecto a la intersección)

Dl1erencia entre los conjuntos "N' Y "8", es el conjunto de los elementos "x" que pertenecen a "A~ pero no a "8", se simbotiza ~r NA - S-,

Por compresión:

A-B ={xlxE Ay,xE Bl Es decir:

x e (A-B)pXE A AXt! B

Ejemplo 1

Sean los conjunlos: A= (1, 2, 3, 4, 5, 61: B= (4, '0 6,7, B, 9} Y conjunto universal, el conjunto de L{ls números naturales.

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Hallar:

a) A- B b) B-A c)U -(A v B)

'3ralicándolo en el diagrama de Venn-Euler

Resolución:

De la definición de diferencia de conjuntos, tenemos:

a) A- B={1.2.3.~-~7. 8. 9)

IA- B=[1.2. 3) I En el diagrama, la parte achurada. re­presenta: "~A - S"

A-B = {l. 2. 3}

b) Si el conjunto universal, eslá formado por los números naturales. la diferenda será:

B-A=~ 7. 8.9)-(1.2.3, 4. ~.6J

I B - A = (7.8. 9) I En el diagrama, la parte achurada repre­senta: • B - A"

B - A=(7. 8, 9)

e) U - (A v S), serán los elementos que pertenecen al U (universo) pero no al conjunto A v B.

u = {Números naturates}

Observar el diagrama:

A B 10 ~~7 15 8

11 3 6 9

U 12,13, •• ,06

Propiedades de la Diferencia de Conjuntos:

1. A - B=B- A ~ A = B

2. Si: A c B = A- B = (3

3. A - 0 = A, "i A ("i: significa "para 1000")

4. A -B = (A u B) - B = A - (An B)

5. (A - B) n B=0

( c omplerm;nlacI6n:)

Complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a U (Conjunto universal), es el conjunto de elementos de U que no pertene-cen a "8". Se llama también complemento de B en U. o simplemente conjunto dilerencia U - B.

A' U

Notación: CuB, <ifB; B'; BC

Por Comprensión:

CuB= B' = (xix E U VX . B)

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Definición2:Complementodeunsubconjunto cualquiera "8" respecto a un conjunto· A" es el conjunto de elementos de "Aro que no pertene­cen a "8". Se le nama complemento de B en A, o simplemente conjunto diferencia A-B.

Por comprensión:

C.S=S'={x/XE Ay .. S}

Ejemplo t:

Si el conjurto universal está formado por los habitames de nuestro país. y si ~A" es el conjunto de habitantes de nuestra ciudad, entonces 'A representa los habitantes de nuestro pals que 110 son de nuestra ciudad.

Ejemplo 2:

u = {1,3,5,7,9,11}

A = (3,5,7)

S = (5,7,9)

Hallar:

A) A' O}(A roS)'

S) S' E)(S - A}'

Resolución: Tenemos que:

A} A'={l,9,ll}

S) S' = {l,3,ll}

C) (AuSl'={l,11)

O) (A n Sr = (1,3,9,11) E) {B-A)'={ 1,3,5,7,11}

C}(A U S)'

Propiedades del complemento de un Conjunto:

Para conjuntos A y B contenido en \J se cum­ple:

1. 1l'(Il'A) = A

2. A c S S e \fA 1 • =>

3. A-S=An\fS

4. 'if(A u S) = \fA n \fS (Ley de MO'llan)

5. \f(A ro S) = \fA u \fS (ley de Mocgan)

6. Au 'ifA=U

7. An 'ifA=,

8 . 'ifU=,

9. 'if(>= u

( DIFERENCIA S/METRICA 1 Diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es el conjunto de elementos de uA" y de "8", excepto los que pertenecen a la intersección. Esto es. que pertenecen a "A" o a "8"_

Notación: A I'l B, se lee "A" delta "B" ó "A" diferencia simétrica "8"

A6S=(A-S)u(S-A) Ó

A6 S = (Au S) - (A ro S)

Por comprensión

A LlS= {x/(X E A AX E S)V(XE SA" A))

Ejemplo:

Sean: A = {a,b,c,d,e,f,g} y

S = {c,d,g,h,i}

Hallar: A ~ S

Resolución:

Por definición: A ~ S = (A - B) u (S - A)

= {a,b,e,!} U (h,i)

.. lA LI S = {a,b.e,l,h,ij I

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o también:

A,.. B = (A v B) - (A r. B)

= (a,b,c,d,e,f,g,h,i)' {c,d,g}

lA <lB={., b, e, 1, h, j} 1 Graficanoo:

u

A<lB= (A v B) - (A r. B)

A ti. B = Area sombreada

A" e = (A - B) v (B - A)

A .ó. B = Area sombreada

Propiedades de la Oiferecla Simétrica

1_ A.ó. B = B I'! A (Propiedad Conmu1afiva)

2_ (AA B) A e= A <l (B<l e) (Propie<lad Asociativa)

3, AAA=0

4. AI'!0=A

5. (A" B) n C = (A nC)" (e n C) (Propiedad Distributiva de la intersec­ción respecto a la diferencia simétrica)

6_ De la detinicióo de diferencia simétrica:

AAB=(A - B)v(B-A)

=(A n B') u (A' n 8)

A" 8 = (A v 8) - (A n 8)

= (A v 8) n (An 8')

7_ AI'!B=0 .;:::. A=B

8. (AAB)u(8Ae) = (A v B v C) - (An 8nC)

'1 p-R-O-e-l-e-M-AS-R-ES- U- E-l-T-O--,S 1

ProblemaG)

Determinar el conjunto ~B"

8={X/x'-Sx+6=O}

Resolución:

Factorizamos la expresión:

x2 ·5x+6 = 0

'*-3 x -2

Luego: (x-3)(x-2)=0

i)

ii)

x - 3= O

x - 2 = O

Luego, el conjunto "B" queda determinado:

1 B = {xix = 2;, = 3}

PrOblemaCV

Expresar por extensión el siguiente conjunto:

B={xlx e N; 18< x< 27)

Resolución:

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Segun la expresión:

18 < x < 27. los valores que toma ·x" son:

x = (19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26)

LuegO:

r---------------~ I B={19, 2O,21,22,23,24,25,26)I

prot>¡ema(i)

Determinar por extensión, el siguiente conjun­to:

A "" {2x + 1/x e N, 3 :5: x < 61

Resolución:

SegUn la expresión: 3 s: x < 6; los valores Que toma Y son:

I x = (3.4,5)1

Luego, reemplazamos cada valor de "X' en la expresión:

Para: x:; 3 Para: x :; 4

Para: x = 5-

probl'ema @

A ~ (2x+l)

--> 2(3). 1 = 7

--> 2(4). , = 9

--> 2(5) .1 =1 1

I A = (7,9, 11} 1

Determinar porcof1lXensi6n el siguiente con­junto:

A = (3. 5,7,9. 11}

Resolución:

Determinar un conjunlo por comprensión im­plica definir dicho conjunlo mediante una fór­mula que proyec1e las propiedades comunes que caracterizan dicho conjunto.

Luego:

I A_ (xe NI"" impar, 2<x < t2) I problema@

Si: A = (3,(5)};

decir cuál de las siguientes afirmaciones eS verdadera.

AH3, 5) cA

0){(5)} e A

Resolucl6n:

B)(5} c A G)Se A

E) {({5}}) e A

Del conjunto: A = (3, (5)}. calcuramos los subconjuntos de dicho conjunto '"Ah

A = ((3); [(5)) ; (3;(S}} ,~)

4!@d) ' Rpta. O

Problema (!)

Cel sigr;iente diagrama de Venn-Eulel. Deter­minar el cardinal del siguiente conjunto.

(A · 6) . le . E¡

--- - ------,

u

A)2 B} 3 C)4 0)5 E) 6

Resolución:

En primer lugar, calculamos: "'A - 8" A ~~_~~~

A· B = (a, b. c. m)

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En segundo lugar, calculamos: "C - Bto

B

I C·B = lm.p.q.w} I Ahora, cak::u1amos:

(A· B) . (C . B)

Cl tJ (a, b, e,!!,) • {'!l, p. q, w} = la. b, e}

Numerocardinalesolnúmero de elemenlos del conjunto

El numero cardinal es 31 Rpta. B

prOblemaQ)

Para dos conjuntos A y B se cumole que:

n(AuB)=B

además: n(P(A)) + n{P(B)) = 40.

Determinar: n(P(A ,.., B))

A)3 R)4 C)5 D)B E)8

Resolución:

Consideremos:

n(A) :: )( entonces: n{P(A)} :: 2lf

n(B) = y enlonces: n(P(B)) = 2'

Reef11)lazamos estos valores en la expresión:

n{P(A)) + n (P(B)) = 40

2" + 2Y "" 23 + 25 (Unica posibilidad)

Donde: 1.=3 ;

Pero: I nIAIB~ I =In{iA} I + n(B) .ln(AjB} I

6=x+y-n(A ....... S)

6=3+5·n(A " B)

Entonces: I n(A " B) = 2 I Luego: I n{p(A " Bn = 2" = 2' = 41

Rpta. B

Problema (!) En un colegto 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primero. 3gelsegundoy48~tercerexamen. Aprobaron 1 O Iostresexámenes. 21 no aprobaron 8JCamen alguno, 9 aprobaron los dos plimefOs, pero no el lercero; 19 no aprobaron los dos primeros exámenesperosfeltercero. Calcúlese cuAntos alumnos aprobaron por lo menos 2 exAmenes.

Resolución:

Disponemos los dalas del problema en un diagrama de Venn-Euler. tomando oomo oon­junto la. cantidad de alumnos que llevan el primer, el segundo y el tercer curso y como corlunto universal los 100 alumnos del cole­gio.

2"E~

(39)

~Ex.

(48)

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Del diagrama tenemos que:

x+y+1O+9::4Q

w+z+ 10+9=39

y+z+10+19=48

...... (1 )

... ... (2)

...... (3)

Se ptde; calcular. 9 + Y + z + 10 :c ?

De (3): .-_ I=y=+=z== ='9:.1 ___ •

Luego: 19 + '1+ z+ 10 = 9 + 19+ 10 = 38 _ Rpta.

Alumnos que ap'obaron por los menos dos cursos.

NOTA: 1..08 JO alumnos qUi!aprobaron 3 cursos, ackmós de aprobar 'os .1 cursos quiere decir QU€

aprobaron 2 curoos. Si en el problema nos preguntaran . ¿Cuántos aprobaron sólo 2 curo SOS mtonces lo que nos piden será:

problema @

Una persona come huevos o losino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si con 10 locino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?

Resolución:

LlQvando nuostros dalos a un diagrama tQr-Kr­

mos:

Luego:

Tocino (25) Huel'OS(18)

ffiu (25 - x) +X + (18 - xl =~ (1 do di. quQ tkIn9 AbrW)J

-)(+43=30

El número de días que la persona come tocino y huevos duranle er mes de Abril es de 13 mañanas.

Rpta .

Problema ® De un grupo de 105 deportistas. se observó que:

A) 15son311e13S. que practican eltútbol yla nalación.

B) 52 son atletas.

C) 55 son nadadores.

O) TodOS IOSfu!boljstassona!'(~tas y 12son deportistas que sólo practican el atletis­mo.

E) 15 depomslrts no ~raClK:an ninguno de los deportes mencionaooo

¿ Cuántos deportistas sen atletas y nadado­res. per~ no flJlbolfmas?

Resolución:

Sean: A = {Con¡unl{l de Atletas}

F = {Con!untc de FLtbolislas}

N = (CQnOl,n'? de t-.~dado",s}

(No practican ningun deporte)

Del diagrama:

i) 12+'1+15+)( = 52

ly=2S o ·1

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;;1 52+(4O-xl+15=105

52 + (40 -xl = 90

92-x=90

x= 2 I Problema @

Apta.

De 1 BOalumnos de una Academia Pre-Univer­sitana que gustan de Ioscursos "Razonamien­to Matemático", "Algebl'a", o -Aritmébca" se supo Que:

Al 34 gustan de "Razonamiento Matemáti­co" pero no de "Algebra"

e) 28 gustan do "Razonamiento Matemáti­co" pero no de "Aritmética"

e) 16 gustan de "Algebra" pero no de "Ra­zonamiento Matemático"

O) 24 gustan do MAJgobra" pero no de "Arit­mética"

E) 4B gustan de "Aritmética pero no de "Razonamiento Matemático·

FJ 18 gustan de "Aritmétk;a" pero no de "Algebra"

¿A t:uállllr.i jÚ\'vllw ~ ym>lClI1 IIA> 3 cur~

mencionados?

Resolución:

Llevando nuestros datos. tenemos:

Del diagrama:

a+p=34 a+q=28 b+r=16

b+q=24 c+ r = 48 e + p = 18

1: m.a .m. 2a + 2b + 2c + 2p ... 2q + 2r = 168

2(3 .. b .. e .. p ... q .. r) :: 168

a+b+c+p+q+r:: 841 Pero:

a+b+c+p+q+r+x::180 . L. 84+x=180

(Les gusta los 3 cursosl

Problema ® En un avión transcontinental viajan 9 mucha­chos. 5 niños latinoamericanos. 9 hombres. 7 muchachos extranjeros. 14 latinoamericanos. S latinoamericanos hombres. 7 mujeres ex­tranjeras. Determinar el número de personas que viajan en el avión.

Resolución:

Realizando un ól8grama con los datos. se tiene:

El número de personas que \Jiajan en el avión:

I 3 .. 6 + 3 + 5 + 2 + 7 .. 7.:= 33' Rpta.

Problema ~

De un grl4X> de postulantes a Universidades, se sabe que:

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A) El 46% pos.ulan a la "UNI"

Bl El 4~.k postulan a "San Marcos"

C) El 58% pos.ulan a ·Ca.ólica"

O) El B% postulan a las tres universidades

E) El 5% no postulan a ninguna de estas 3 universidades

Si 1 290estudiantespostularon apor lo menos a 2 universidades, diga ¿Cuántos¡x>stutanles hubieron en total?

Resolución:

ReaiZando un áagama con los dalos, se tiene:

UNI(46%x) San Marcos (42'1'. x)

Sea: # de postulantes: x <: > 100% )( de este 1 ~(,. el 5% no postulan a ninguna de estas 3 universidades. esto quiere decir que los que poStulan so .... el 95% x.

Del diagrama:

a + b+ p+ 8% x::::; 46% x

a + e + q + SOlo x = 4~k x

b +c +r + 8% )( =58%x

E M.A.M: (a + b+ e) + (a + b + e) + (p + q + r) + 24% x= 146% x

(a + b+ e) +[(a+b + el +(p+ q .r)J = '22% x ... (a)

Sabemos que: 1290 estudiantes postularon a por lo menos a 2 universidades. Del enuncia­do, obtenemos:

(a+b+c) = 1290-8% x ., , (~)

Además sabemos que:

a+b+ c +p+q + r+ 80/0)( = 95% x

[(a + b + e) + (p + q .,)J = 87% x .. ,(O)

Ahora , reemplazamos (~) y (O) en (a):

(1290 - 8% x) + 87% x = 122%x

1290 = 43%x

1290 = .~x

Ix=3oool (# de postulantes en total)

Problema @

Rpta,

En una fiesta donde hablan 120 personas. 30 eran hombres que no les gustaba la música "criolla-, 50 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gusta­ban de la música "criolla" es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos le gus1a la mústca -criolla"?

Resolución:

Realzando un ciagrama coo los datos, se tiene:

H M

Como el número total de personas es 120, tenemos:

X 30+)(+ '3+50 = 120

4 '3)( :: 40

,', 1.=301 Por lo Tanto gustan de la música criolla:

I i + 50 "" 60 personas l

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Problema @

Al realizarse una encuesta entre los alumnos del QUinto año de un colegio, se sabe que:

A) 1 '200 los alumnos postulan a la KUNI'"

S) 7 12 de los alumnos postulan a "San

Marcos"

e) 1 6" de los alumnos postuan a las dos

universidades

O) 35 alumnos aún no deciden dondE! don­de postular.

¿Cuántos alumnos hay en el Quinto año de dicho colegio?

Resolución:

7x San Marcos 1'2'"

...--~----~

(;; -t) 35 U

CA un no deciden postular)

Sea: "x" = # de alumnos del quinto año de dicho colegio:

Poslulan a la UN!: f 7x

Postulan a SeUl Marcos: W

A las dos universidades: ~

Entonces:

x x Sólo poslulan a la UN1: "2 - "6

7x x Sólo postulan a la San Marcos: 12 - 6'

LuegO: ( i - i)+ i+( ~~ - i )+35 = X

2x + !+~+35= x 6 6 12 ---..-...

x 5x 2"+""12+ 35 = x

11 12x + 35=x

11 x-t-420 :;:. 12x

.". I x ~ 420 I (' total de a1urrnos

de Quinto año)

Problema @ Rpla.

Hallar: b + e - a, sabiendo Que los conjuntos: A, B Y e son conjunto iguales

A ~ (a+2;3-a)

B ~ (a-l ; 6· a)

e = (1 : b + e)

A) 2 B) 3 e)4

Resolución:

D) 5 E)6

Para que dtchos conjuntos sean iguales; debe cum~irse que:

A ~ (W;~}

S~(~;~

i) 8+2=6-a ~ 2a=4 ~ 1 a=2 1

ii) 3-a=a-1 ~ 4 =2a ~ I a=21

De los conjuntos 6 y C, obtenemos:

B = (ª-:J; 6- al

e = I!; b + el

i) a-1=1

ii) 6-a=b+c

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4 = b+c

luego: b+c - a = 4 - 2 = 2 Rpta A

Problema@

Se- hizo ona encoe-sta a 832 personas sobre pre1erencias respecto a 2 revistas A y B, observándose que:

ab teen la revista A aOb leen la revista B

ba leen la r~ista A y B

Sí todos leen por 10 menos una de las 2 revistas. Hallar; '"a + b"

Alll B)13 C) 12 0)15 Ell7

Resolución:

A(ab) B aOb)

Aldecirque todos leenporlo menos unade/as 2 revistas quiere decir que mínimo leen 1 fe\lista, aunque también algunos leen 2 reMs­taso

De' gráfico; obtenemos:

• ab:P9 +iii. +.3m;; ¡;¡; t 832

Por descomposición polinomica. se tiene:

(lOa + b) + (l00a + b) • (I Ob +., ; 832

s 5

portanteo; a = B Y b = 5

luego: Rpla. B

Problema 0 Se reunen en un club, 80 socios de los coales 25 juegan a'''cachito'', 45 juegan al"dominó~ y 20 juegan sólo "ajedrez", Entonces los que juegan "cachito" y "dominó" son:

A)5 B) 10 C) 15

O) 20 E) Falta más información

Resolución:

Del diagrama:

m + n + a+b+20+x=BO

I m+n+a+b+x=60 I Ademas:

i)

ii) n + b + x == 45

... (ll

LM.A,M. m ... n + a ... b + x + )(:; 70 . .

6O+x= 70

RptaB

prQblema @

Si: A = {1 , 2, {4, 3}, a}, determinar cuántas expresiones son correctaS:

1. {{4, 311 a: A

111. {4.3) C A

V. "EA

A) 1 B) 2

Resolución:

11. {{l ,2]} E A

IV. ({l, Sil e A

C) 3 0)4 E)Q

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Analizamos cada uno de las expresiones da­das, veamos:

1. {{4, 3)) si es subconjunto de A

11. la pertenencia e se usa enlfe un ele­mento y un ronjunto

111. {4. 3} es un elemento de A Y no un subconjunto

IV. ({l. an es un subconjunto de Ay no un elemento de A

V. " no está como elemento de A

. , 1 ~ de las expresiones es correcta I Rpta. E

probfema @

De 3Opersonasqueviajanrumbo a Europa. 16 dijeron que visilarian Francia. 16 Inglaterra y 11 Suiza, 5 de los escuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitarán tam­bién Inglaterra. 5 sólo van a Suiza y a sólo a Inglaterra. ¿Cuántos visitarán sólo Francia?

A) 3 8)5 C)7 0)9 E).

Resolucl6n:

ToIalde personas queviajan rumbo a Europa = 30

Por diagrama de Venn. obtenemos:

8.aa(11)

• 5 de los encuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitaran también Ingla­le rra. esto nos da a entender que 3 visitarán Francia. Suiza e Inglaterra. lo cual el 3 lo colocamos en el centro del diagrama.

Del enunciado, obtenemos:

i) a+ 3 =5 ..... I-dl ii} a+3+c+5=11

2+8+c=11 -> 1 c= I 1 ¡ji) b + 3 + e + a ;:;; 16

b + 3 + 1 + e = 16 ..... 1 b';'4 1 iv) x+a+3+b= 16

x + 2 + 3 + 4 :=. 16 ..... 1':=7:1 luego, las personas que s610 visitaron Francia 500:7

Rpta. C

PROBLEMAS CON REGIONES SOMBREADAS

Problema CD Sean k:ls conjuntos:

A = (0, 1, 2,3,4, S, 6, 7)

B= [O. 2, 4, 6. S. tO)

Hallac"A · B" y "S· A"

Resolución:

Aplicando la definición; cak::ulamos:

A · B =@ I,@3,@S,@7) . ~~

«J.@'@@ S, 10J -.'. 1 A·B = (1 , 3,S, 7J1

Gráficamente tenemos:

u

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Apltcando la delinición. calculamos:

B - A = 1(Q¡~@(&M )­

l@ 1,~ 3,@lS,(7)

-- 1 B-A=18,10) 1

Gráficamente tenemos:

problema @

Dados los conjuntos:

u

A = la, b, e, d, e, 1, g, h}

B = [e, e, 1, g}

Hallar: -A· BOl Y -8 - A­

ResolucIón;

Gráficamente calculamos "A . B" ~-;:-........ A

Gráficameme calculamos "B . A"

B-A =(l

pues no hay ele· mentos de"B"que no esten en · A-

[B- A)

u

u

Problema G)

Dados los conjuntos:

A:12,4, 6,a,10)

B=la, b,e, d, e, fl

Hallar:

Resolución:

Gráficamente tenemos:

B

(8):. O"e 6 d. 10 f

U

IA- B=12, 4, 6, 8,10) 1

¿ Recuerda ladefinidón dI; COfluntos disjuntos?

prOblema @

Achurar en el diagrama de Venn·Euler cada una de las siguientes operac;ones:

al b) el

lli)B 1:fu

A vBu e A-lB v C) [A ,-; C) v (B ,-; CJ

Resolución:

A v B vC

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rAJB Uu

A-(B v C)

rAJB Uu

(AnB)v(B n C)

Problema G) ¿Cuál de la siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región achurada?

A)

Bl e) O) E)

rAJB Uu

(Av B)" C (A IIB)ve

AII(B v C) (A 11 B) - (A n B n C)

N.A.

Resolucl6n:

Para su mejor enlendimiento acada una de las regiones le designamos una \elra minúscula o un número: y el'fl)ezamos a reemplazar en cada una de las relaciones dadas. veamos:

A)

q@B

• : b

g .. -d

e e u

Región sombreada = (a, b. e, d] ... (ex)

(A u B) 11 e = (a, b, el, e, 1, g),; (e, d. e, g)

B)

• ¡

M

= (M - C) v (C- M)

= (a, b. I) v {e}

e

.. leA v B) A C = (a. b, e, 1)1 (fa/so), no se parece a la expresión "a lO

q@a : bB

. 9 _ d

e e u

I Región sombreada = (a, b, e, d)l ... (n)

(A "B) v C = I(A - B) v lB - A)] v C

C)

= (( a. g) v lb, dll v {c. d • •. g}

= (a, b, d, g) v (e , d, e, g)

.. [ (A'; Bl vC = (a, b. e, d, e, g)1

(Falso), no se parece a la expresi6n "a ~

~. B

, a : b ,

. g d

• e u

I Región sombreada = {a. b. e, el} [ .. . (n)

A"NvC)=~~tm,,~~el,~t~ , . ' . . .

A N = (A - Nl v (N - A)

= {a} v lb. e. d}

AA (B vC) = (a, b. e. d)

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·'. I A A (8 v CI = Aeg;ón sombreada I NOTA:Como ya hemos encontrado la

relación correcta,siendo esta la "'c", ya 110 es necesario conti­nuar con las relacWnes D y E.

Rpta. e

Problema @

¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región, achurada?

Al (A-8) vIC - (AuB))

B) (e - 8) v (e - A)

C) (A- C),,(B - C) vC

DI «A" BI - C) v (C - (A vB)) E) N;nguna

(A) '\5 U

Resolución:

Al igual que el problema. anterior a cada región le designamos una letra mln.;.scula, veamos"

~g: ,B

C e

. b ." e u

I RegKln Sombreada = (a. b) I

Al lA - 81v1C- lA v B)}

= Ig. c} v {(b. c. d. e) - la. c. d. e. f. gil

=(g. c}ulb)

~ (g. c. b) I M erente al área achurada

BI (e - SI v (e - Al = (b. e) u [b, e}

4 {b. e, e} I diferente al área achurada

C) [(A - C}) N.B - C)} u C

=[a. g} ,, [a, f) v (b. c, d. e}

=[a) u (b.e,d,e)

1 (a. b. e, d , e)ldHeren,e a' area achurada

O) (lA " Bl - C) v (e , (Av 8)}

= (la, di - (b. c, d , e)) v

{(b,c, d, e ) - (a:<:, d, e: f.g)}

=Ia}v(b)

~ luego:

I(A "B)- e) v IG - (A v BII = ja.b) = =:!ct. Rpta. o

Problema (j) ¿Cuál de las siguaantes relaciones expresa mejor la siguiente región achurada?

A) (A n09 n [Bc v C)

B) (A n Oj n (B neCj

G) (A v C"] n (BC "C)

O) (A u B"] u (C " OCI

El IAnB9,,(Cvo"]

Resolución:

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I Región achurada = Ca, b, c. d, e, f, g}

De la primera relación (A), obtenemos:

A ,, [)C = {a, b,(:, d, El, ',9, h, i, j} n

(a, b, e, d, e, 1, g, i, j)

I [A " OCl = (a, b, c, d, e, 1, g, i, j) I ... (a)

[B" v C) = {a, b, c, d] U (e, 1, g, h)

I [B" v C) = (a, b, c, d, e, 1, g, h) I ... (~) Ahora intcrsectamos (o:) y @):

[A " OCl" [Sc u C] = (a, b, e, d, e, 1, g)

.. lA" OC) " [B" u C) = Regí'" sombreada I Rpla. A

I PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1.·Detenninarelconjunlosolución del siguiente conjunto:

{ ,5 I } A ~ xeO/x - t"'+6~0

A) A = { - ;.~} S) A~G;}

C) A=G - ~} O) A= {',·H E) A~{1.·n Problema 2,- Determinar por extensión el si--9tiente eotlunto:

p "" { 2x ~ 5 / x e N. 2 5 x 5 B} {I.I.I.I . ,}

A) TI' 13' Is' TI" rr

{, . l . l . l . l. '}

B) 9' 13' 15' 17' 19' 21

{l. 1 . 1 . 1. l . 1. I}

C) 9' TI' 13' 15' ""ir 19' 2f

{1 , 1 , 1 , 1 , 1 . 1, 1}

D) '1 TI 13' 15' 17- W 21 E} Ninguna anterior

Problema 3.- 0adoelconjunlo A={7, 10. 15, 22, 31, 42, 55, 70). Oelenninar por compren·

sión, un subconjunto de "A". cuyos elementos sean los números; 10,22. 42.70.

A) (4,,2+ 6/n E N, 1 < n <3)

S) (4,,2 + 6/n E N, 1 < n < 4)

C) (2,,2 + Sin E N, 1 < n < 4)

O) (2,,2+81n. N, 1 < n < 6)

E) Ninguna anterior

Problema 4.- Determinar por comprensión el siguiente conjunto:

A = (36, 45, 54, 63, 72)

A) A= (xix = 3"{2" + n), donde: OSn S 4.n E: A}

S) A= (xix = 2"(32 + n), donde: O s nS4,n E R)

C) A= (xix = 3"(2" • n), donde: 05nS4,nE: A}

O) A= (xix = 2'(4' . n), donde: O:snS4, nE: R)

E) Ninguna anteñor

Problema 5.- Sea el conjunto:

A = (m, n,(p), (q,r))

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y dadas las siguientes proposiciones.

1. El conjunto A, tiene 5 elementos

11. El conjunto A, tiene 4 elementos

111. El conj...,to P(A), tiene 16 elementos

IV. El conjunto A, t)ene 16 subconjuntos

Marcar la ahemativa correcta:

A) S<>n verdaderas sólo 11 Y IV B) Son falsas sók) I y 111 C) Sólo I es lalsa O) Sólo 111 es falsa E) Todas son lalsas

Problema 6.· Se tiene los conjuntos:

A=(xIx E N AX'.2x- 15=0)

B = (xix E Z· A x' - 9 = O)

C={xlxe RI\ x2 +25 =O}

Ernonces: (B u C) 1""\ A, será igual a:

A) (3,5)

O) (5)

B) (3)

E) "Jlnguna C){-3, 5)

Problema 7.· Se tiene los conjuntos:

A= {2, 5, 7, 91

B = (1 , 2, 3, 4, 5, 7, 9)

C={2,3, 6, 8, 9)

y el <:anjlJ1l0 universal:

u = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

EnlOflCes:

(A' A B) 1""\ (B' A C) - (A 1""\ C')' será igual a:

A){1,3,5] 8)0 e] (2, 6, 6)

O] (1 , 2, 4, 6) E) Ninguna

Problema 8.· Se tiene los conjuntos:

•

A ={xe NI3 ~ x< 17}

S = (xe NIx $ 3x - 2 <20)

Entonces: CA u S] - (A 1""\ B), tiene:

A) 4 elementos

C) 10 elementos

E) 12 elementos

B) 6 elementos

O) 16 elementos

Problema ti.· en un salón de clase hay 90 alumnos: 32 postulan a fa UNJ, 43 postulan a San Marcos, 29 a Villarreal. 8 postulan a la UNI y San Marcos, 10 a San Marcos, V Villarreal V 6ala Vilfaffeal y UNI y 4 alurmos postulan a las tres universidades, Determinar:

a) ¿Cuántos postlÁan solamente a San Marcos?

b) ¿Cuántos postulan a UNI o San Marcos pero no a Villarreal?

A) 22 Y 59

0)17yl0

S)29y55

E) N.A.

C)29y59

Problema 10.· El departamento de estadística de la UNI, realiza una encuesta entre los eS1u· diantes, obtenlt::ndo los siguientes resultados:

a) E175C1Jt~ fuman ·Premler"

b) El 65% fuman "Nevado"

e) Et5O'fofuman "prerlier" o~evado", pero no ambos

d) 300 estudiantes no fuman ninguna de estas marcas de cigarrillos

¿Cuántos estu¡jantes 1ueron encuestados?

A) 2 000

0)6000

B) 3000 E) N.A.

e) 4000

Problema 11.· En una fIeSta donde habfan 100 personas, 30 eran hombres que no gus~ bao música "salsa-, 60 eran mujeres que gus­taban de esta músk:a, Si el número de hom­bresque gusta de la mUsica ·salsa" eslacuarta parte de las I)'lujeres que no gustan de esta

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música. ¿A cuantos les gusta la música "sal­sa"?

Al 70

0164

BI62 El N_A.

C)68

Problema 12.- ¿ Cierto numero de medallas de oro, deplatay decobre son repartM:lasenlre 100 atlelas en un festival deportivo, se sabe que 45 personas reciben medallas de oro, 45 personas reciben medallas de plata. 60 perso­nas reciben medallas cobre, 15 personas reci­ben tantas medallas de oro como de plala. 25 personas reciben medallas de plata y cobre, 20 personas reciben medallas de oro y de cobre y 5 personas rociben medallas de oro, plata y cobre. Se p1de: ¿Cuántas personas no reciben medallas?

AI4 BI3 C)5

016 EI7

Problems 13.- ¿Cuál de las siguientes relaciooes,expresa mejor la siguiente región achurada?

e

Al (AvBIC v (AnBIC

B) e n(AvB)

C) e n(Ac n Be¡ v (A n BI

O) e n (AvB)c

El e n (AvBlv(An B)

Problema 14.- ¿Cual de las stguientes rela­ciones. expresa mejor la siguiente región achurada?

A) (A v B v C) - (Av B n el

BI (AAelvB

el (AvBvel n(A'vB've')

DI (A Ae) - (Bv C)

El (A v B v C) n (A v B v C)C

Problema 15.- En lasfguienle figura , la reglón sombreada está representada por:

~ ______ D wCI A) (e - BI v (A n DI

BI e' v (B' n Al

C) (O-C) v [e-IA nB))

O) (D-C) v (B-AI

EIO-(e-(B-AI]

Problema 16.- En el siguiente gráfico. la re· gión sombreada representa:

Al (A n C) - B

81 (A v B) - (AA 8)) - e

el (A n B " C)-C

DI (A n BI-18-C)

El Ninguna

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Problema 17.- la región sombreada está representada. por.

r!:: A) (Av B)- (evO) B) (A v B) v (e - O)e C) (A v B)ó (e v o) O) (A v B) v (enO) E) (A v B) n(evO)

Problema 18.· ¿Cuántos puntos hay en el triángu50 V cuadrado pero no en el círculo?

g) 2 personas no leen ninguno de estos pert6dk;os

¿Cuántas personas leen el Popular e Idolo. pero no Expreso?

A)2 0)7

B)3 E) Ninguna

C)4

Problema 21.- En una encuesta realizado en un grupo de 100 estudiantes de un Instituto de idiomas, se obtuvo el siguiente resultado: es­tudiaban español 28; alemán 30; francés 42; español y alemán 8; español y frances 10; aleman V fral1(;és 5; los tres iciomas 3. ¿Cuán­los estudiantes tOf1"\a.n el fraocés como único idioma de estudios?

A) 15

0)35

B)20

E)NA

e ) 3Q

• • • Problerrut 22.- Al simplif;car:

A)2 B) 4 C)6 0)8 E) 12

Problema 19.- ¿Qué representa la región sorrbreada?

A) (A n B) - e e)(A n B) - (An C) EJAye

B) A, (B n C) O)(A v B)-e

Problema 20.- De un grupo de 59 personas. se observa lo siguiente:

a) 8 personas leen sólo elllPopular"

b) 16 personas leen sólo el "Idolo-

e) 20 personas leen sóto el "expreso"

d) 7 personas leen "'El Popular e Idolo"

e) 8 personas leen "'8 Popular y Expreso·

f) 4 personas leen "'El ldolo V Expreso"

(B n A')v(Av B)" ~ (B' nA)

Se obliene:

A) A' U B' B)(A U B')

D) (A n B')' E) Ninguna

G)A'nB

Problema 23.- Sean A, B V e corjuntos tales que:

A c: B c: e simpUficar la siguiente expresión:

(A' n B/v (A n B) v(B n e) v (e n B')

AJA 0)0

B) B E) Ninguna

e) e

Problema 24.- El registro central de la "Univer­sidad Nacional del Callao" proporciona los siguientes datos: respecto a un grupo de 200 estudiantes del primer ciclo:

") 105 están inscritos en Básica I

-) 115 están inscritos en Matemátic:a I

-) 75 están inscritos en Fisk:a I

') 65 eslán inscritos en Básica I Y Malemá!ica I

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.) 35 están Inscritos en Física I "1 Básica I

-) 30 estan inscritos en Matemáticas I V Físi· cal

-} 20 están inscritos en los tres cursos

Determinarel número que están inscritos exac­tamente en dos de los tres cursos.

AlBO 0115

Bl70 EIN.A

C)95

Problema 25.- Cierta Col"ll'añía solicitó jóve­nes que hubieran seguido cursos en Ingenie­ria Civil, Mecánica O Industrtal para realizar trabaios relacionados con estas especialida­des. El criterio utiliZado para la selecaón fue de que hltlieran llevado más de un curso en dichas especialidades . Treinta de los postulantes habían llevado cursos de Ingenie. ría Civil, 35 en Ingeniería Industrial, 50 en Ingenieria Mecánica y 3 fueron aceptados por haber llevado cursos en todas las carreras, mientras Que 26 tueron desertados porque sók> siguieron Ingeniería Mecána. 10 por sólo seguir Ingenierla Industrial y 14 por sólo seguir Ingeniería Civil. ¿Cuántos se presenta· ron? ¿Cuántos 1ueron seleccionados?

Al 81 Y 31 SI 61 y29 el 79 Y 31 O} BO y 40 E) Ninguna anterior

Problema 26.- La parte achurada representa :

Al (x u y u z)-1x u z) SI C) O) El

x u y v z · x n z x nz y n (x u x) Otra relación

Problema 21.· La parte achurada de la ligura representa:

A) x n y n z

Bl (x n v) u (znv)

el (y - xl u (z - yl 01 (x u y u zl - y E) Teda lo anteriores falso

Problema 28.- La diferencia simétrica entre los COrluntOS P y a esta representada sólo por uno de los siguientes diagramas de Venn. ¿cuál?

A) tW S) tW e) tW O)tm

El PCill Problema 29.· ¿ Cuál de los diagramas del problema anterior representa:

(p . O) u(O - P) u P?

AlA SlB ele OlO ElE

Problema 30.- ¿Cuál de los diagramas del problema 28, corresponde a:

(P n O)u (p. O) v (O n PI

A)A BIS C)e 010 ElE

Problema 31.- La parte "Acnurada" de la figu­ra, representa:

Al P n O el 0 - P El (P - 01 n O

S) P - O DI (P v 01 n P

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Problema 32.- la parte -Achurada" de la figura, representa:

A,r,.,O C)O- P

p

E)(P - 01 ,., (O - P)

Bl P-o O) (P - 01 v(O- P)

Problema 33.- la pane "Achurada" de la flQUra. representa:

AlP "' O C)O-P E)(P - 01 ,., (O - P)

Bl P-O O) (P - 01 v (O - PI

p

@ los cuatro diagramas siguientes se re­fieren a laspreguntas 34 y 35

O O p'-1- P - -

1-1- -

- R ~ R (1) (11)

r-----, o p p

R R

(111) (IV)

Problema34.- La parte "Achurada" ele ruáJ de estos diagtamas representa:

(O,., R) - (p ,., O ,., Rl

A)I O)IV

B)II E) Ninguno

C)III

Problema 35.- La parte "Achurada" de cuál de estos diagramas representa:

(R - (P vOlv IP - (R vOll

A) I DI IV

B)II EJ Ninguno

C)III

ProbleIf1ll36. .. En un grupo de 230 estudiantes el minero de los que sOlo rindieron el segundo examen es un tercio de los que rindieron sólo el primer examen. El número de los que riodia. ron sólo el primer examen es el doble de los rindieron ambos exámenes e igual a la mitad de tos que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos alumnos rindieron solamente un examen?

Al 120 0160

S) 140 E) 90

Cl210

Problema 37.- Dado tos siguientes conjuntos iguales:

A = {a + 1; a + 2}

B={8-a;7-a)

C=(4;b+2}

0=(c+1;b+1}

Calcular: -a + b + c·

A)7 B)8 C)O 0)10 E)ll

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ProlJlems38.- En un grupo de l00es1udian­tes; 49 no llevan el curso de Algebra y 53 no siguen elcurso de Arimélica: si 27 alumnos. no siguen Arilmelica ni Algebra. cuántos alumnos llevan exaC1amente uno de tales cursos.

Al 24 8l3O el 36 Dl48 El 26

Problema 39.- Dado el conjunto:

A - (O; 1; 2; (1); (1; 2); (3); (O; 3))

y dadas las proposiciones:

1) 2 e A 11) (1l cA IIIl (O) e A IV) (3) c A

V) (0:3J e A VI) O cA VII) (3)) cA VIII) 0< A

El nlÍmero de proposiciones verdaderas es:

A)6 S) 5 C)4 D)2 E)7

Problema 40.- ¿Cuántas personas habrá en un grupo de estudiantes de los cuales, 18 estudian aritmética, 19 algebra y 17 geomelña; además 3 estudian aritmética V algebra. 6 estudiaban aritmética y geometria, 7 estudian a~ra y geometria pero no arttmética. 42 estudian 105 3 cursos y 12 estudian olros cursos?

A) 38 8)39 C)50 D) 56 El 58

PrOblema4t.-Traducira un Diagrama UneaJ. el siguiente Diagrama de Venn Euler.

Al B 5 1/ i

C) e

/\ B A

I

Bl/\ A e

I e s s

D) /\ E) Ninguna

B A

1/ 5

Problema 42.-5i: A= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7], e ={5; 6; 7; e; 9J Ae = (4; 5). Entonces: cuáles son los elementos que deben estar achurada en el diagrama.

A)4,5,6

B) 4, 5, 6,7

C)4,6,7

O) 1,2,3

E) 6, 7

B

Prob/ema43.-5i: p={e; 9; tOJ, Q=(1; 3; 4; 5; e; 9} y R = (2; 4; 5; 6; 7; e).Entonces: cuáles son los elementos que deben estar en la parte achurada del c:iagrama.

All;2;3 R

B) 4;5

C) 4; 5;9

O) 1: 3;8

El 4; 6; 7; 9 L-_--'p

Problema 44.- ¿Cuál de lassiguienles expre­siones representa a la parte sombreada.

A

Al [(A • C) n Bl n [(e - Al n Bl el (A f"\ B) v{BnC) e)(A· el v{e· Al Ol{AIIC)f"\B El e· {A n el

e

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Problema 45.- Si el conjunto A tiene cuatro elementos y el conjunto B tiene tres elemen­tos. ¿Cuál de los siguientes enunciados p~ dria ser verdadero?

A) A v S, tiene 8 elementos. S) s v e, tiene un elemento, e) A u B, tiene 5 elementos. O) B u A, tiene 6 elementos. E) A v 8. liene 2 elementos.

Problema46.- ¿Cuál es el mlnimo numero de elementos. que puede tener (A .. B) .. C; Si: n (A) =4; n (B) = 3 Y n (C) = 2?

A)2 8) 3 C)4 0)6

Problems 47 ... 0el siguiente diagrama:

Hallar: "(PuA) " O"

p

6

2

3

5

o

4

7

1()1-----:9-r--¡S R

A) (1 ; 3 ; 4 : 5)

B) (3: 5; 9)

C) {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9}

0){2; 3; 5 ; 9; 11}

E)(1;3; 4;5; 6; 7;8; 9; 10)

E}9

Problema 48. .. Dado el conjunto A y B, se tien<! que: n(A) = 2n(8); n(A " 8} = 5 Y n(A u B) = 19. ¿Cuántos elementos tiene A?

A)118)4 e)8 O}16 E)13

Problema 49."Si: A ={1; 2; 3; 4}: B={3; 4; 5; 6: 7) " e = (4; 5). Entonces: cuáles son los

elemenlosquedebenestarenlaparteachurada del diagrama?

A) 3; 4; 5

8}1 : 2;3;4

C)1;3;2

O} 1; 2; 3; 4; 5

E} 3; 4; 5

Problema 50.- Dado los conjuntos A y 8 se tiene que: A e 8; 3n (A) = 2n (B) y n (A u 8) = 18. ¿Cuántos elementos tiene B?

Al6 8)S C) 12 O}18 El 16

I CLAVE OE RESPUESTAS I I

1.B 14. e 27. 8 40. e 2.e 15. D 2S.E 41 . O

3. 8 15. B 2~.P 42. e

4. A 17. e 30.0 43.C

5. e 18. A 31 . 8 44.0

6.8 19 E 32. A 45. 0

78 20.e 3:' O 46, 8

S, E 21 , e 34. B 47,A

9.8 22. A 35. 0 46.0

10. O 23. C 36. 0 49, 0

11. 8 24, 8 37.0 50 O

12. e 25. A 38.0

13. e 26. A 39. e

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